Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Nguyễn Thế Duy TUYỂN TẬP NHỮNG BÀI HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC SẮC ÔN THI THPT QUỐC GIA NĂM 2016 I, Lời nói đầu Cũng lâu viết tài liệu, tài liệu lại đặc biệt định đưa để chào đón ngày đặc biệt thân Đồng thời số lượng toán số đặc biệt thân Mục đích đưa TÀI LIỆU giúp bạn ôn thi THPT QUỐC GIA có nhiều nhìn nhận dạng TỐN khó, dạng TOÁN lấy điểm – kỳ thi THPT, khơng dễ để học cần phải có thời gian đầu tư Tài liệu tổng hợp HỆ PHƯƠNG TRÌNH với nguồn đề mạng xã hội, từ thân lời giải thân tác giả tổng hợp đưa Đồng thời cám ơn người anh trai Nguyễn Xuân Nam nhiều, anh vừa đóng góp, vừa chỉnh sửa để hồn thiện TÀI LIỆU Bản tài liệu có sai xót, hi vọng q khán giả đọc vui lịng góp ý kiến nội dung hình thức vào hịm mail duynguyenthe1995@gmail.com để tác giả hồn thiện tính xa xơi cho việc VIẾT SÁCH II, 21 tốn HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải hệ phương trình   2y xy     x  y  x  y  2y    2   2 x  y  3x  y  11   x , y   Lời giải: Điều kiện: x  y  0; x  y  0; x  y  x  y  y  + Xét y   x  , khơng thỏa mãn hệ phương trình + Xét y  , phương trình thứ tương đương với: x  y  x  y  2y 2y    x  y  x y  xy 8  1 xy 2y xy  x  y  x y 1  (1) Phương trình thứ hai tương đương với x  y  x2  y  x  y  x  y  11 Page https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc (2)   x  y  11   x  y x  y  x  y  1    Từ (1) (2), ta có hệ phương trình      x  y  x  y   x  y  11      Nguyễn Thế Duy x y  xy 2 a b  1  a  x  y Đặt  Hệ phương trình trở thành    b  x  y  x  y ; b  b  a  11   2 a  11  b a  11  b     ab  a  a            2  b3 11  b  b  11  b   b  b  11b     b  a  11            13  x  y  x  3  x  y   a          Với         b  x  y  x  y  x  y         y3 2        13 9 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    2;       Bài Giải hệ phương trình    x  y 1      x  y 1 yx5   x , y      y  y  y  x2  y    1 x   x 1    x  y   Lời giải: Điều kiện:  y  x   0; x  y   0; x 1  2   x  y  Phương trình thứ tương đương với:     x  y   x  y 1  (1) x  y 1 2   x  y 1 x  y 1  x  y 1 Phương trình thứ hai tương đương với y  x2  y    x  1  y  x2  y   1 y  x2  y  y  y   x2 x 1  y  x2  y    (*)   y  x  y      y  x2  y   x  (**)  Page 2 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Phương trình (*) vơ nghiệm, x2  y  Nguyễn Thế Duy x  y     x  1 ( không t/m điều kiện )  y x  y            y  y  2 Phương trình (**) tương đương với y   x2  y2   x  y  1  y 1  y  1    1  (vn) x2  y   x  2 x  y 1  x  + Với y  1 , vào phương trình (1), ta x  x   x  + Với y  , vào phương trình (1), ta x 2  x2   x 2 x  x2    x2    x    x2    x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y  1;  1 , 2; 1 Bài Giải hệ phương trình   x y   y x2   x3  y     2     3x  y   x   y   x , y   Lời giải: Điều kiện: 3x2  y   Phương trình hệ tương đương với: y x y x2   x y   x3  y    2 y 1 x 1 Xét hàm số f t  t t 1 với t   , có f 't  x3  y x2  1y2  1 t  1 t   Nếu x  y từ i suy f  y  f x  y  x  x  y  Nếu x  y từ i suy f  y  f x  y  x  x  y i  0; t   Do đó, từ phương trình ta có x  y , vào phương trình hai ta được: 3x2  2x   x   x2   2x2  3  x  1  x   x2   2x2  3  x  1  x  1  2x  1 x2   x2  2  x 1  x2   2 x  1 x2   x2   2x  1      3x  x   Page https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Nguyễn Thế Duy 4  13 4  13  4  13   x   x; y   ;   3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm kể Bài Giải hệ phương trình   y   y  x   x  1     x    y  2   y  1 x  1       x , y   1 Lời giải: Điều kiện: 1  x  ; y    a  x  1; a     Đặt   b  y  1; b        Phương trình thứ hai trở thành a  1 b2  1  2  b2 a2  2    1  a b4 a2  2ab2 a  1  (*) Ta có  a2  2a  41  a  a2  2a  2 2 2   a  2a  a  2a  2 b   (vn)   a 1  a  Phương trình (*) có nghiệm là:  2   a  2a  a  2a  2  a 1 b  1  a  Với b2  a   y  x   x  y  , vào phương trình thứ nhất, ta y   y  y  y (**) Điều kiện: y 2 , không thỏa mãn phương trình (**) + Xét  y  , phương trình (**) tương đương với 2 y  6 y  3  y   y  3  y  32 y  y  1    + Xét y   3 y   y  2y 1  2y 1  y 3 y   y   4y   2y  33 y   y   Page https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc    y   x   3y   y       y   x      y     (vn)  2y   2y   4y2   2y   Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  0; 1 ,  ;  Nguyễn Thế Duy    Bài Giải hệ phương trình   y2  x   y    y  y 1   x 1     4y2  x   x   3 x   y    Lời giải: Điều kiện: x  0; y  1; x2   Phương trình thứ tương đương với   y  y      x   x 1  x , y   4y2 0 y 1 x 1 y  x 1  y   1  y 1  y  y 1 (*)  y 1   y  a ; a1  1 Đặt  , phương trình (*)  x 1    1 a  a  b2  b   b  y  1; b    a  b2   a2  a   b2  b  a  b  0  a2   b2  2 a  b  y  y   y  x   y   x  y 1 y 1 x 1   ab   (vn) 1    a2   b2  y2  Phương trình thứ hai tương đương với x   x2  4  1   x  y   Page https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Nguyễn Thế Duy  x   x2  4x   x Điều kiện: x   Chia hai vế phương trình cho x Đặt t  x  x x , ta 1  x 4  x x (**) ( t  ), phương trình (**) trở thành t  t     2t 3    3  t   t 6  3t   t    t t   3  t        x   5 17   x   Với t   x   x  ( l) x x   y      y2 5 Với x       y       y 1 2  y         Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  4;   Bài Giải hệ phương trình     x  x   y  1  y          5x  y    x  y  Lời giải: Điều kiện: x  1; 5x  y  5;  x  y  x , y   Nhận xét: x  khơng nghiệm hệ phương trình Với x  , ta có:   x   6 6x    5x  y    x  y   x  y   5x  y    x  y  x  5x  y    x  y 5x  y     x   1 x  y   x    y  x2  10 x  45   x  5  20  20  y     Với x  1; y  , xét phương trình hệ, ta được: Page https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc x  Nguyễn Thế Duy  x   y  1  y    x  x   y 7 0 y 1 2 y2  y  y  10    x 1   0 y 1 y 1  x 1  2   y  5 y  2  x 1   0   x y5   y 1 y     Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y  5; 5   x 1 x 1      Bài Giải hệ phương trình   x x   x  y    y  5 y      x   4 x  y y   y  25    Lời giải: Điều kiện: x  3; y 1  x , y   Từ phương trình hệ, ta có: x    x   y   x  3y   y   x  y  3 y   x x  y  3 x2  y 1  xy3 x  3y   y    x  y  3 y        x    x  y  3   y  1    x   y  x  3y   y      f x ,y   f x, y  0; x  2; y 1  xy30  x y 3 Với x  y  vào phương trình hai hệ, ta được: y  12 y   y  25 Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có:   y  y 1    y  12 y   y  24   y  8.8  y  23      Nên suy y  25  y  12 y   y  24  y  y     y  1   y   x  ( thỏa mãn điều kiện x  3; y 1 ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y  4;1 Page https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Nguyễn Thế Duy Bài Giải hệ phương trình    y  1 x  y  x  x  xy   2    x  y  xy  3x    x , y   Lời giải: Điều kiện: 2x  y Phương trình hệ tương đương với: y  1     2x  y  x   x2  y      y  1   2x  y  x  x2   y  1  2x  y  x   x   2x  y x   2x  y  2x  y  x     2x  y  x  y  2 Mặt khác, từ phương trình hai x  y  3x    x   nên từ   x  y ta x  y  x  y     2   x  y  xy  x  y Do hệ phương trình cho trở thành:     xy xy    x     2    y   x  x  y  xy  x  y        2 y    x  y  xy  x   x   x         Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y  2;0 Bài Giải hệ phương trình    x  y  x  x y  x  y       2 x  y  x   19 y   x , y   Lời giải: Điều kiện:  x  2; y  Nhận thấy x  y  khơng nghiệm hệ phương trình Với x, y  , phương trình hệ trở thành: x     x   3y x 4x 2  x2  x   3y     x   2x y    x   2x y  4x 2  y 3   4x 2 y0 Page  https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Đặt t   4x 2  y  t2   Nguyễn Thế Duy   x  y , từ suy ra:   x2  2xt  3t   x  tx  3t   x  t  x  4x 2  y  2 4x  y  2 y  4x  y  y         x  y  y  4  y  y   x   Do đó, phương trình thứ hai hệ tương đương với:   x   x   1  1  x  y  y   x    y  x  5x   x    x  x  3 x2   x  x2  x  x3  x x  3  x2 1 1 4 x      x2    x  3   x   x   y     x2 1 1 4 x   0; x 2;4    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y  3;1 Bài 10 Giải hệ phương trình      xy  xy  y   y x  y       x2  y  4 y    y  x  1 y      x , y   Lời giải: Điều kiện: x  ; y 1 Phương trình hệ tương đương với:   y   1  x y   1 y   1   xy  y   y x    x y   1  xy  y   y x  2x y   1  xy  y   y 2x   y 1 1  x y   y x    x  1 y  2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có: 2 x  y   y 2x   x2  2x  1 y  y  4  2x y   y 2x   x  1 y  2 Page https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Dấu xảy x 2x   Nguyễn Thế Duy y 1 y   x2  k 2x  1   k  2   4 y   k y Khi phương trình hai hệ trở thành: y 1 y  y2  2x  y2  2x   k   k3   k  2 2 x  4y  k 2 x  1  k y x  0; y   x  x   x        Từ suy   x  x        y  y  y   2          y  y     Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y   2;  2 Bài 11 Giải hệ phương trình   x  xy y  xy    4   xy x  y      2y   x  2x2   2x2  2x  y    x , y   Lời giải: Điều kiện:  x  ;  y  2; x , y  Phương trình hệ tương đương với: x2   xy  y   xy  1   4 2 xy x 1 y 1  1     2 xy  1  20  x  y  1 xy  1 1  2 xy  1      x  y  xy    0  x  Vì    xy  suy bổ đề bất đẳng quen thuộc:    0  y  1 2      xy  xy   xy   xy  x  y  xy  xy xy  Với xy     x , xuống phương trình hai hệ ta được: y x  x2  x   x2  x Page 10 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc  5x  x2   2 2   Nguyễn Thế Duy x  2x 4x  1  2x x  2x 4x  1  4x 1  x4 x  x  x 2  2x  4x2  x  2x  3x   3x   x  x   x  0  2x  4x2  x   1  x  1  17   x y 2  1  17    4 x  x    xy  1 Với  suy x  y  vào phương trình hai hệ ta   xy   1  1  1 22  2    2   2  , điều vơ lý Do hệ 2       phương trình vơ nghiệm  1  17  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   ;   1  17  Bài 12 Giải hệ phương trình    y2  x2   x  y xy    x2  1 y      x  x    y Lời giải: Điều kiện: x  ;  x , y    y  Bình phương hai vế phương trình hệ, ta được: 2   x2   1  y     xy  x2  xy  y x2   y    x2    y  2 2 2   x2   y   y  1   x x  y   y  y  x    x2       x2   y  y2  x2    x2 x2  y   y2  y x2  y   x2  x2 y      x2  y     y  x2  Page 11 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc  x  y  x  y  1 Nguyễn Thế Duy 1  x2 1  y    x2  y Thế phương trình thứ hai hệ, có: x3  3x    x2  x3  3x    x2   2  x2 x     x  2 x  1   x  2 x  1  0  x2   x2  1     x  2 x  1  x2  x2  3x  3   x   y  2     2  Vì  x  1  x  0; x  3x   x     0; x   2 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y  2; 2 Bài 13 Giải hệ phương trình   x2  xy  1y  xy  1      1    x2  x   y     y   x Lời giải: Điều kiện: x; y   x , y   y2  y  1     x2  x    0 y0 y y x Từ phương trình hệ, ta có: Ta có: y  x  xy y  xy  x2  y  2xy   x  y 2  xy x  y  x  y   x  y xy  1      xy     1   x2  x   x   Với x  y , từ phương trình hai ta x x 1   x2  x   x   x x Do đó, để kết luận nghiệm hệ phương trình ta cần giải phương trình: Với xy  , từ phương trình hai ta 1   x  x   x    3x   x x  x   x  x  x x Page 12 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc      3x2   x   x x  x  1 x2  x   x  x  x  1 0 3x   x  x2  x   x x    2  x  x   x  x   x  x    2 i   x  x   x   x   Giải i , ta có: i     Nguyễn Thế Duy 4 x2  x  1  3x  x2  x   3x   x 1 x2  x   x 1 x2  x   3x2   x3    x  1  1    x  x   3x   x    2  x  x   3x   x   ii Lấy i  ii suy ra:  2  x  ( vô nghiệm ) x2  x   x    x2  x    x      3x  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y  1;1 Bài 14 Giải hệ phương trình   x  y  4 x  y  y       x  yx2  5  y     Lời giải: Điều kiện: x  y  x , y    a  x  y  a  b2  x  y  x  y  y , phương trình Đặt    b  x  y    hệ tương đương với: a  4b  a  b2    ab  1  b2  4b   ab  1  b  1b  5  b  1a  b  5   ab  50  x  y x y  5  5 x y  x y Thế xuống phương trình hai hệ, ta được: Page 13 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc x  yx2  Nguyễn Thế Duy  x  y  x  y  y2    x  y x   x  y x  y  x  y  y   x  x  y  1   x  y x  y    x  y  1x  y    x  x  y  1    x  y  1 x   x y 1 x y  x y   0 xy 1 x y 1  x  y  x  y  1    x  y  1 x     x  y     xy 1  Do đó, hệ phương trình cho trở thành: x  y     5 x  y      x; y   ;      2    x  y  x  y    x  y     5 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   ;    2  Bài 15 Giải hệ phương trình   x2  xy  y  3x2  xy  y  x  y     8 y  6 x    y  y  x      Lời giải: Điều kiện: x  2; y  Ta có:    x , y    x  xy  y  2 1 5 x  y   x  y   x  y  5x  y  4 2 3x  xy  y  2 1 3x  y   x  y   3x  y  3x  y  4 2 Suy x2  6xy  3y  3x2  6xy  y  4x  y Dấu đẳng thức xảy x  y  nên từ phương trình ta x  y  Thế xuống phương trình hai hệ, có: 8x  6    x 1   x  x  x   Page 14 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc       x   x    1  2  x   2      f  x    f 2  x   Nguyễn Thế Duy   4 x  3 x    x   x   x   x2    1   Xét hàm số f a  aa2  1 với a  , có f 'a  3a2   0; a  suy f a hàm số đồng biến 0; nên từ phương trình  ta có:   f     4x   f  x   4x    x   x    x   x   3x   x  x   y    x2     34 34    9 x  52 x  68   x   y      34 34   Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   2; 2 , ;     9      Bài 16 Giải hệ phương trình   y  y  x   y  1 y   x     2  y  2 x  1 x  x   x  x   x , y   Lời giải: Điều kiện: y  0; y  2x Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:  y  y  2x   y  y  x  y  y  2x  Dấu đẳng thức xảy y    y  1y   2x  y  1 y   2x y  2x  y  y  x   y  2xy  x2  x2    y  x  x2   y  x  x2  2 Thế xuống phương trình hai hệ, ta được:  x  x2    2x  1 x2  2x   2x2  4x Page 15 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Nguyễn Thế Duy  x   x x    x  1 x  x   x  x  x   x x    x  1 x  x    x    x  1 x  x   x x   x  x    x  1 x  1   x  x x  2 Xét hàm số f t  t  t t  , có f 't   t   t2 t2  i   0; t   suy f t hàm số đồng biến  , nên từ i thu được: f x  1  f x  x   x  x    y    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   ;1   Bài 17 Giải hệ phương trình   x  y x2  x  y  y      x  31  y    y  3x       2 3y  x , y   Lời giải: Điều kiện: x  y  0; x2  x  y  0;  y  Đặt x  y  t ( t  ), suy y  t  x Phương trình thứ trở thành t x2  2x  t  t  x x     x  x  t t  t  x  t  1 x   t  t  1 (l)  + Với x  , vào phương trình thứ hai, ta 31  y   y  (vô nghiệm) 2 3 y 2 2 2 + Với x  y   y   x , vào phương trình thứ hai, ta x  32    x  3   x  2  y   y  3x  x   3x  (*) Điều kiện x 2 Đặt t  x  ( t  ), phương trình (*) trở thành Page 16 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Nguyễn Thế Duy t  2t  t   2t   3t   t  2t  t    2t    t  1  3t   2t 2t  2t   Do t  nên t   t t  3 t  1 2t 2t  2t    t  1 3t    3 3t  1 0t0 t2  t  1  t  1 3t   3 3t  1 0 Với t   x 2  y  Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y  2; 3 Bài 18 Giải hệ phương trình    xy   8x  y    x       8x  y   x  y   x  Lời giải: Điều kiện: x  0; x  y  1; 8x   y   x , y   Phương trình thứ hai hệ tương đương với: x  8x  y   x  y   x y5   x y5 x  8x  y  x  y 1  x  y      x  x  y   x  y   Với x  y   y   x vào phương trình hệ, ta được: x5  x  x  x  5x2  x3  3x   x   y  Với x  8x  y   x  y   , kết hợp với phương trình hai ta suy x  x  y   y  8x  , vào phương trình hệ, ta được: x8 x  1  x   x3  x2  x  vô nghiệm Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y  1; 4 Page 17 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Nguyễn Thế Duy Bài 19 Giải hệ phương trình   xy  2 x  y x  y  3x  5x        2 y x  y  x  x  x  x   x , y   Lời giải: Điều kiện: x  y  0; xx2  6  Phương trình hệ tương đương với: x  xy  y  x  y x  y  x  y  x  x    x y  xy   y  x  y2  x    2 x  1    y  x  y   3x  Với y  x  y2  x  , ta có y x  y  x2  3x  , vào phương trình thứ hai hệ, ta được: x  3x   x  x  x  x   x  x  x  x   xx2  6  x2   x   x2   x  0 x2   x  x    y   y   y2     y 1   y   y      Với y  x  y   3x , ta có y x  y  9x2  x  , vào phương trình thứ hai hệ, ta được: x  x   x  x  x  x   x  5x   x  x    x2   x   6x  x  2  , phương trình vơ nghiệm 2    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y  3;1    Bài 20 Giải hệ phương trình     2   4 x  x  x  y  y  y     x  2 y   x  y  y       x , y   Lời giải: Điều kiện: x  ;  y 1 Phương trình hệ tương đương với:       x x  x2   x  x2  x  x2  y  y  y  Page 18 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc    Nguyễn Thế Duy    4x x  x2   y  y  y   4x2  4x x2   y y  y    2 x2 x   2x     y y  y         Xét hàm số f t  t t  t  , có f 't  2t  t   t2 t2   suy f t hàm số liên tục đồng biến  nên từ  ta thu được: f 2x  f  y  y  2x Thế vào phương trình thứ hai hệ, ta có: 2x  2  2x  2x 2x   2x   i  a   x Đặt   2ab  a  b  , phương trình i trở thành:     b  x  b2  a2 ab2  1  a2  1b    2b  a  b2  a2  2aba  b   a  b  2b  a  a  ba  b  2a  b  2   a  b  2 b  a  a  ba  b  2      a  0; b   x   y  1   a  b   ab    b  0; a     x  1  y       Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    ; 1 ,1; 3         Bài 21 Giải hệ phương trình   y x   x  y2  2x  y     x  y  4 x  y  xy  y     x , y   Lời giải: Điều kiện: x  1; x  y Đặt t  x  y   t  x  y  x  t  y , phương trình hai hệ trở thành: t  y  5y  4t  2t  y  y  y  t  yt   y  y  4t  y  y   t  y  2t  2t  y  y    x  y  2y  x  y  x  y 2   x  y2  2y   0  2 x  y2  x  y  Page 19 https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc   y  + Với x  y  y     x  y  y       Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: Nguyễn Thế Duy y  x  3 x  y  1 x  y    2 1  1   2x  y  2x  y2   y  y    y  y 1 2  y  Do phương trình vơ nghiệm   y  2x  y  y x   x  y  + Với x  y2  x  y  , phương trình trở thành: y x   x  y  x  y  2x  y  y x   x  y  x  y  2x  y  y x   x  y  x i Áp dụng bất đẳng thức AM – GM ta có: y2  x  x  y2  y x   x  y2   x 2   y  y    y  x   i             2 x  y      2  y   y   x y 1   y  1  5   y x   2  y  y     1    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y   ;   2 III, Lưu bút Chúc người đọc tài liệu vui vẻ hi vọng có điều sau đọc TÀI LIỆU Chào thân !!! Tác giả Nguyễn Thế Duy Page 20 https://facebook.com/starfc.manunited ... https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Nguyễn Thế Duy 4  13 4  13  4  13   x   x; y   ;   3 Vậy hệ phương trình cho có nghiệm kể Bài Giải hệ phương trình   y...  3; y 1 ) Vậy hệ phương trình cho có nghiệm x; y  4;1 Page https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Nguyễn Thế Duy Bài Giải hệ phương trình    y ... https://facebook.com/starfc.manunited Tuyển tập Hệ phương trình đặc sắc Phương trình (*) vô nghiệm, x2  y  Nguyễn Thế Duy x  y     x  1 ( không t/m điều kiện )  y x  y            y  y  2 Phương trình