Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân A MỞ ĐẦU: Lí chọn đề tài: Phép tính tích phân phần quan trọng giải tích toán học nói riêng toán học nói chung, đối tượng nghiên cứu trọng tâm giải tích mà đắc lực nghiên cứu lý thuyết phương trình, lý thuyết hàm số Ngoài phép tính vi phân sử dụng nhiều khoa học khác vật lý thiên văn học, học…nó giải pháp hữu hiệu mô hình toán học cụ thể Bài toán tích phân đổi biến dạng 1, phần chiếm tần suất cao đề thi học sinh lớp12 ôn thi Tốt nghiệp phổ thông, thi Đại học – Cao đẳng thường gặp khó khăn giải tập tích phân Những người học chưa có phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt khâu vận dụng lý thuyết vào giải toán thực tế Một lý không phần quan trọng chương trình sách giáo khoa giải tích lớp 12 (chuẩn) hành trình bày ít, hạn hẹp tiết lý thuyết tiết luyện tập, giới thiệu sơ lược ví dụ tập đưa sau học hạn chế Do số tiết phân phối chương trình nên trình giảng dạy giáo viên đưa nhiều tập cho dạng để hình thành kỹ giải cho học sinh Nhưng thực tế để giải toán tích phân đòi hỏi học sinh phải nắm vững kiến thức, phải có tư mức độ cao phải có lực biến đổi toán học nhanh nhẹn, thục Với tất lí thúc đẩy chọn sáng kiến kinh nghiệm “Giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 học tốt tích phân” Đối tượng nghiên cứu: - Học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng - Giải pháp giúp học sinh học tốt Tích phân (theo chuẩn Toán 12 bản) Phạm vi đề tài: Đề tài nghiên cứu, thử nghiệm phạm vi lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng Phương pháp nghiên cứu: 4.1 Nghiên cứu tài liệu: Nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài: - Sách giáo khoa, sách giáo viên Giải tích lớp 12, tài liệu chuẩn kiến thức kỹ 4.2 Điều tra: - Nắm chất lượng học sinh: -1- Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân Đa số học sinh yếu, kém; khả tư Các em thường sợ tích phân, bỏ qua không hứng thú Các em thụ động bắt đầu toán từ đâu Thường xuyên cho em làm kiểm tra khoảng – phút (xác suất lớp) vào đầu để kịp thời phát hiện, điều chỉnh sai sót em tiếp thu, trình bày giải - Đàm thoại: + Trao đổi với đồng nghiệp để có kinh nghiệm phương pháp dạy phù hợp với phân môn + Thường xuyên trao đổi với em để biết khả tiếp thu bài, khả vận dụng lý thuyết vào giải tập em - Thực nghiệm kiểm tra: Trong trình nghiên cứu đề tài, tiến hành thực nghiệm lớp 12B2 trường sau: Lớp: 12B2 (2010-2011): thực nghiệm Lớp: 12B2 (2009-2010): đối chứng 4.3 Giả thuyết khoa học: Trong tiết dạy tích phân giáo viên hướng dẫn, giúp em nhận dạng, nêu rõ ràng phương pháp giải dạng từ học sinh hiểu bài, làm tốt; kết kiểm tra tiết, thi HKII khả quan B Nội dung: Cơ sở lí luận: Định lí: (phương pháp đổi biến số) Cho hàm số f(x) liên tục [ a; b ] Giả sử hàm số x = ϕ ( t ) có đạo hàm liên tục đoạn [ α ; β ] cho ϕ ( α ) = a,ϕ ( β ) = b a ≤ ϕ ( t ) ≤ b với t ∈ [ α ; β ] Khi b β a α ∫ f ( x ) dx = ∫ f ( ϕ ( t ) )ϕ ′ ( t ) dt Định lí: (phương pháp tích phân phần) Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a;b] b ∫ u( x)v '( x) dx a b b b = (u ( x)v( x)) − ∫ u '( x)v( x) dx hay ∫ u dv = uv − ∫ v du b a b a a a a Nếu lần tiếp xúc toán tích phân có nhớ định lí học sinh không (do không nhận dạng; tích phân loại nào, cách giải sao) Với đặc điểm, đặc thù vậy, giáo viên cần giúp học sinh nhận dạng, nắm phương pháp giải dạng -2- Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân Cơ sở thực tiễn: 2.1 Thực trạng sách giáo khoa sách giáo viên lớp 12: - Sách giáo khoa: trình bày lý thuyết, cho ví dụ tập ví dụ tập khác dạng - Sách giáo viên: Có hướng dẫn cụ thể chi tiết thủ thuật chưa cụ thể 2.2 Thực trạng việc học học sinh: Đa số học sinh từ trung bình trở xuống - Học sinh thường lúng túng - Kiến thức hệ thống tập chưa nắm - Khả tưởng tượng, tư logic hạn chế - Ý thức học tập học sinh chưa tốt - Đa số học sinh có tâm lí sợ gặp toán tích phân Chất lượng thực tế qua khảo sát chất lượng năm 2009-2010: Lớp TSHS 12B2 42 Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu TS % TS % 19 45.2 23 54.8 2.3 Sự cần thiết đề tài: Tích phân môn học khó đòi hỏi tư phân tích người học khó cho giáo viên việc truyền thụ kiến thức Người dạy cần nắm rõ đặc điểm, tình hình đối tượng học sinh để có biện pháp giúp đỡ, việc cần thực từ đầu tiết học biện pháp rèn luyện tích cực: phân dạng phương pháp giải cụ thể cho dạng Nội dung vấn đề: 3.1 Vấn đề đặt ra: Điều quan tâm lớn người giáo viên giúp học sinh phát triển lực trí tuệ, rèn cho học sinh kỹ tư tích cực, độc lập sáng tạo Đối với đối tượng học sinh yếu để đạt điều giáo viên cần giúp học sinh nhận dạng cách giải đơn giản để từ hình thành kỹ cho em; giúp nâng cao chất lượng học tập chất lượng dạy tiết học 3.2 Sơ lược trình thực sáng kiến kinh nghiệm: Để hoàn thành đề tài, tiến hành bước sau: - Chọn đề tài - Điều tra thực trạng -3- Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân - Nghiên cứu đề tài - Xây dựng đề cương lập kế hoạch - Tiến hành nghiên cứu - Thống kê so sánh - Viết đề tài 3.3 Những giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 trường THPT Lộc Hưng học tốt Tích phân: Do Tích phân khó học sinh lớp 12 nên giáo viên cần phải nắm vững thủ thuật giải toán, cách giải khác toán (nếu có) Học sinh cần phải: - Thuộc bảng nguyên hàm, định nghĩa, định lí - Nắm dạng cách giải - Dùng máy tính bỏ túi để kiểm tra kết 3.3.1 Phương pháp đổi biến số dạng 1: Khi đổi biến điều quan trọng chọn biến cho tích phân theo biến đơn giản so với tích phân ban đầu gắn liền với việc đổi biến phải đổi cận Trên tinh thần giúp cho học sinh nhận dạng làm quen dần từ dễ đến khó, chia thành dạng phổ thông thường gặp sau: Dạng 1: Nếu hàm có chứa dấu ngoặc kèm theo lũy thừa ta đặt t phần bên dấu ngoặc có lũy thừa cao Ví dụ1: Tính tích phân I = ∫ ( x + 1)( x + x − 1) dx Nhận xét đề có chứa hai ngoặc ngoặc có lũy thừa cao nhất, ta đặt t = x2 + 2x – 1 Bài giải: Tính I = ∫ ( x + 1)( x + x − 1) dx Đặt t = x2 + 2x – dt = ( 2x + 2)dx = 2( x + 1)dx ⇒ ( x + 1) dx = dt Đổi cận x = ⇒ t = -1; x = ⇒ t = 2 dt t I = ( x + 1)( x + x − 1) dx t = Do = ∫ ∫0 −1 3 -4- 24 ( −1) 15 = − = 8 −1 Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân Ví dụ 2: Tính J = ∫ x ( − x ) dx Tương tự ví dụ 1, ta thấy ngoặc chứa lũy thừa cao nên đặt t = – x Đặt t = – x dt = - dx ⇒ dx = −dt Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = -1 Nhưng thay vào J chứa hai biến x, t (không thỏa) Muốn ta thay x = – t (vì đặt t = – x) −1 0  t6 t7  (1 − t ) t ( − dt ) = t − t dt J = x − x dx ) = =  − ÷ = − 13 Lúc đó: ∫−1 ( ∫1 ( ) = ∫0 42   −1 5 e Ví dụ 3: Tính K = ln x ∫ x ( + ln x ) dx( DHKB − 2010) Đặt t = + lnx, dt = dx x Đổi cận x = ⇒ t = 2; x = e ⇒ t = 3 3 t −2 2 1   Khi K = ∫ dt = ∫  − ÷dt =  ln t + ÷ t t t  t 2  2 2  =  ln + ÷− ( ln + 1) = ln − 3  Lưu ý học sinh đặt t = lnx, việc tính tích phân chuyển biến t phức tạp π Ví dụ 4: Tính L = ∫ sin x cos xdx π Đối với mũ cao ta không đặt t = sinx (vì tích phân không chuyển hoàn toàn theo biến t) Gặp tích phân chứa hàm lượng giác ta phải dùng công thức lượng giác bản, công thức hạ bậc, nhân đôi, biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích …trước đặt π π π π 3 Bài giải: L = ∫ sin x cos xdx = ∫ ( − cos x ) cos Đặt t = cosx, dt = -sinxdx ⇒ sin xdx = −dt -5- x sin xdx Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân Đổi cận: x = π π ⇒t = ; x = ⇒t =0 2 Do L = ∫ ( 1− t ) t 2 2 (−dt ) = ∫ ( t − t ) dt =  t − t ÷ = 17   480 Bài tập tự luyện: Tính tích phân sau a ∫ x2 ( 1+ x) ln b ∫ π 12 c ∫ (e dx ex x + 1) HD: đặt t = + x dx HD: đặt t = ex + 1 dx HD: đặt t = + tan 3x cos x(1 + tan x) Dạng 2: Nếu hàm chứa mẫu số đặt t mẫu số ex ( + x) dx Ví dụ 1: Tính I = ∫ + xe x Bài giải: Đặt t = + xex ⇒ dt = (1 + x)ex dx Đổi cận: x = ⇒ t = 1, x = ⇒ t = + e ex ( + x) dx = Khi đó: I = ∫ + xe x e2 Ví dụ 2: Tính J = 1+ e ∫ t dt = ln t 1+ e = ln(1 + e) ∫ x ln xdx e Nhận xét: ta có mẫu chứa xlnx ta không đặt hoàn toàn t = xlnx dt = (lnx + 1)dx đề Khi làm tập đổi biến giáo viên nhắc nhở học sinh không đặt t = x không tham lam đặt; ta đặt biến t thử nhẩm xem đạo hàm t có đề không, có yên tâm khả chuyển hết biến cao e2 Bài giải: Tính J = ∫ e Đặt t = lnx; dt = dx = x ln x e2 1 ∫ ln x xdx e dx x -6- Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = e2 ⇒ t = 2 ∫1 t dt = ln t Khi J = = ln Bài tập tự luyện: π 2x dx + x −1 sin x a.∫ dx + 3cos x b ∫ c.∫ 2x +1 dx x + x−2 Dạng 3: Nếu hàm có chứa thức, đặt t thức (hoặc biểu thức dấu căn) ln ex ∫ Ví dụ 1: Tính I = ex −1 ln dx Đặt t = e x − Suy 2tdt = exdx Đổi cận: x = ln4 ⇒ t = ; x = ln6 ⇒ t = 5 2tdt = Khi I = ∫ t Ví dụ 2: Tính J = π ∫ ∫ 2dt = 2t = 2( − 3) + 6sin x cos xdx Đặt t = + 6sin x ; t2 = + 6sinx Suy 2tdt = 6cosxdx ⇒ cosxdx = Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = tdt π ⇒ t=2 2 tdt t = = Do J = ∫ t 91 9 Ví dụ 3: Tính K = ∫x − xdx Đặt t = − x , t3 = – x ⇒ x = – t3 Suy 3t2 dt = - dx hay dx = - 3t2 dt Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = -2 −2 0 3t 3t 468 − ) =− Do K = ∫ ( − t ) t (−3t )dt = ∫ ( 3t − 3t ) dt = ( −2 −2 3 -7- Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân π sin x ∫ Ví dụ 4: Tính H = cos x + 4sin x 2 dx (ĐHKA – 2006) Đặt t = cos x + 4sin x dt = 3sin2xdx Đổi cận: x = t = 1; x = π t = 4 dt 2 = t = Ta có: H = ∫ 31 t 3 e3 ∫ Ví dụ 5: Tính K = ln x dx (Dự bị khối D năm 2005) x ln x + Đặt t = ln x + , t2 = lnx +1 ⇒ lnx = t2 – ⇒ 2tdt = dx x Đổi cận: x = t = 1; x = e3 t = Khi K = ∫ ( t − 1) dt = 388 35 Bài tự luyện: Tính tích phân: x+3 a ∫ 3 b ∫ ln c ∫ x + 6x dx HD: đặt t = dx x x +4 e x dx ex +1 x2 + 6x HD: đặt t = x2 + HD: đặt t = ex + e d ln x + ln xdx ∫1 x b Dạng 4: Tích phân dạng ∫ e HD: đặt t = + ln x u( x ) u′ ( x ) dx Đặt t = u(x) a Ví dụ 1: Tính I = π e tan x ∫0 cos2 xdx Đặt t = tan x ⇒ dt = dx cos x -8- Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân π ⇒ t=1 Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = 1 t t Khi I = ∫ e dt = e = e − π sin x sin xdx Ví dụ 2: Tính J = ∫ e π Đặt t = sin2x ⇒ dt = sin2xdx Đổi cận: x = π π ⇒ t = ;x = ⇒ t =1 2 π sin x sin xdx = ∫ et dt = et Khi J = ∫ e π 1 = e − e2 Sau tập nâng cao, kết hợp nhiều dạng: Bài1: Tính: I = π sin x + sin x (ĐHKA – 2005) dx + 3cos x ∫ Đặt t = + 3cos x , t = + 3cos x ⇒ 2tdt = −3sin xdx Đổi cận: x = ⇒ t = 2; x = I= π ∫ sin x ( 2cos x + 1) + 3cos x ln Bài 2: Tính: I = ∫e ln π ⇒ t =1 2  2t +  2t 34 dx = − ∫ dt =  +t÷ = 32 9  27 e2 x x −1 + ex − dx Đặt t = e x − , t2 = ex - ⇒ 2tdt = e x dx Đổi cận: x = ln ⇒ t = 0; x = ln ⇒ t = 1  t2  2t +     dt = − t + ln t + t + I = 2∫  t − + ( )  ÷ =  − + ln ÷ ÷ t + t +1   2 0 0 Bài 3: Tính I = Đặt t = x−3 ∫0 x + + x + 3dx x + ⇔ t = x + ⇒ 2tdt = dx -9- Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân Đổi cận x = 0, t = 1; x = 3, t = Khi I = x−3 dx x +1 + x + ∫3 2 2 t2 − 2t − 8t dt tdt = dt = t − dt + ( ) 2 ∫1 3t + t + ∫1 ∫1 t + 3t + t + =∫ 2 = ( t − 6t ) + 6ln t + 1 = 6ln − Bài 4: Tính I = ∫ ( 1+ x +1 2x +1 Đặt t = + + 2x ⇒ dt = ) dx dx t − 2t ⇒ dx = ( t − 1) dt x = + 2x Đổi cận: x = 0, t = 2; x = 4, t = 4 Khiđó:I= ∫ ( x +1 + 2x +1 ) dx 4 ( t − 2t + ) ( t − 1) t − 3t + 4t − = ∫ dt = dt 22 t2 ∫2 t2 4  2  t2 2 = ∫  t − + − ÷dt =  − 3t + 4ln t + ÷ = 2ln − 2 t t  2 t 2 3.3.2 Tích phân phần: b b Công thức: ∫ udv = uv a − ∫ vdu b a a Nhận dạng: hàm số dấu tích phân thường tích hai hàm số khác Ý nghĩa: đưa tích phân phức tạp tích phân đơn giản Trong nhiều trường hợp sử dụng tích phân phần giảm bớt hàm số dấu tích phân hàm số dấu tích phân b Như để tính ∫ udv ta chuyển tính a b ∫ vdu , điều quan trọng tính a tích phân phần phải chọn u, v thích hợp đảm bảo hai nguyên tắc sau - Chọn u,v cho du đơn giản, dv dễ tính - 10 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân - b b a a Tích phân ∫ vdu dễ tính so với ∫ udv Giáo viên lưu ý tính tích phân phân bước đổi cận Sau số dạng (thường dùng tích phân phần) b k Dạng 1: I = ∫ P( x) ln f ( x ) dx a Chọn  f ′( x) k −1 dx u = ln k f ( x)  du = k ln f ( x) f ( x ) ⇒   dv = P( x)dx v = P ( x)dx ∫  Ví dụ 1: Tính I = ∫ x ln xdx (HKII 2008 - 2009) Lời giải:  u = ln x du = dx ⇒ x Đặt  dv = xdx v = x  2 2 I = ∫ x ln xdx = ( x ln x ) − ∫ xdx = ( x ln x ) − x = 8ln − 1 e2 Ví dụ 2: Tính J = ∫( x 2 1 + x ) ln xdx Lời giải:  du = dx u = ln x  x ⇒ Đặt  dv = ( x + x ) dx v = x + x  e2 J= ∫ ( x + x ) ln xdx - 11 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân e2 e  x x    x2 x  =  + ÷ln x  − ∫  + ÷dx   1  2 e2 e2  x x    x3 x  =  + ÷ln x  −  + ÷ 1   1  5e6 3e 13 = + + 36 Ví dụ 3: Tính K = ∫ ln ( x − x ) dx (ĐHKD – 2004) Lời giải: 2x −1  u = ln ( x − x ) dx  du = ⇒ x −x Đặt  dv = dx v = x 3 2x −1   dx = x ln( x − x) − ∫  + K = x ln( x − x) − ∫ ÷dx = 3ln3 – 2 x −1 x −1  2 2 Ví dụ 4: Tính L = ln x dx x ∫ Lời giải:  du = dx u = ln x   x Đặt  dx ⇒  dv =  v = − x3  2x2 2 2 ln x − ln x dx − ln x − 2ln +∫ = − = L = ∫ dx = 2 x 2x 1 2x 2x 4x 16 Nhận xét: công thức nguyên hàm lnx nên mục đích đặt khử lnx, nên số lần tính tích phân phụ thuộc vào k e Chẳng hạn: H = ∫x ln xdx 1  du = ln xdx  u = ln x  x ⇒ Đặt  dv = x dx v = x  - 12 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân e e x4 3 = (ln x ) − x ln xdx H = ∫ x ln xdx ∫1 14 43 e K e Tính K = ∫x ln xdx 1  du = dx  u = ln x  x ⇒ Đặt  dv = x dx v = x  e e e  e4  3e x4 x = −  − ÷= + x ln xdx = (ln x ) − ∫ dx K= ∫ 16 16 16 16 4   1 e 5e − Do H = 32 Đôi gặp phải kết hợp phương pháp đổi biến lẫn phần π Chẳng hạn Tính L = sin x ln(1 + cos x) dx ∫ Đặt t = + cosx; dt = - sinxdx Đổi cận: x = ⇒ t = 2; x = π ⇒ t =1 π 2 Do L = sin x ln(1 + cos x) dx = ∫ ln tdt = 2ln2 – ∫ 1 ln( x + 1) dx ( x + 2) Bài tập tự luyện: Tính M = ∫ u = ln( x + 1)  Hướng dẫn đặt dv = dx Kết quả: − ln + ln 3  ( x + 2)  - 13 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân b Dạng Dạng ∫ P( x) cos(ax + b)dx 2: a u = P( x) đặt  dv = cos(ax + b)dx u = P ( x) P ( x )sin( ax + b ) dx đặt  ∫a  dv = sin( ax + b)dx b π ∫ x cos xdx Ví dụ1: Tính I = Lời giải: du = dx u = x  ⇒ Đặt  dv = cos xdx v = sin x  π π π π I= x cos xdx =  x.sin x  − sin xdx =  x.sin x + cos x  = π −  ÷  ÷ ∫0  ∫0 0   Ví dụ 2: Tính J = π ∫ ( x + 1) sin xdx Lời giải: u = x + du = 2dx ⇒ Đặt  dv = sin xdx v = − cos x π π J = −  ( x + 1) cos x  + ∫ 2cos xdx π 0 π = −  ( x + 1) cos x  + 2s inx 02 = + = Trước sử dụng tích phân phần, cần biến đổi để đưa tích phân có dạng Ví dụ 3: Tính K = π ∫ ( x − 1) cos xdx Lời giải: K= π ∫ ( x − 1) cos = π 2 π  + cos x  xdx = ∫ ( x − 1)  ÷dx   π 1 ( x − 1) dx + ∫ ( x − 1) cos xdx ∫ 20 20 - 14 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân π π Tính L1 = ( x − 1) dx =  x − x  = π − π 0 ∫0 2 π Tính L2 = ( x − 1) cos xdx ∫0  du = dx u = (2 x − 1)  ⇒ Đặt  dv = cos xdx v = sin x π π 1 L2 = ( (2 x − 1)sin x) − ∫ sin xdx = − 20 π2 π − − Do đó: K = Ví dụ 4: Tính L = π π 0 x ∫ x sin x cos xdx = ∫ ( sin3x − sin x ) dx Lời giải:  x  du = dx  u =  2 ⇒ Đặt  dv = ( sin x − sin x ) dx v = − cos3 x + cos x   π π x  −1    L =  cos3 x + cos x ÷ − ∫  − cos3x + cos x ÷dx 2 0 0  π = +  sin x − sin x ÷ = −  18 0 π Bài tập tự luyện: Tính M = x ( sin x + cos x ) dx ∫ b f ( x) Dạng 3: ∫ P( x)e dx Đặt a u = P( x)  f ( x) dv = e dx - 15 - KQ: 3π 32 Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân x Ví dụ1: Tính I = ∫ (2 x + 1)e dx Lời giải: u = x + du = 2dx ⇒ Đặt  x x dv = e dx v = e 1 x Do I = ∫ (2 x + 1)e dx = ( x + 1) e  − ∫ e dx = e + x x 0 2x Ví dụ2: Tính J = ∫ ( x − 2)e dx Lời giải: du = dx u = x −  ⇒ Đặt  2x 2x dv = e dx v = e  1 1 2x − 3e 2x − ∫ e dx = Do J = ∫ ( x − 2)e dx = ( x − ) e 20 0 2x Ví dụ 3: Tính K = x ∫ x e dx (Dự bị Khối D 2003) du = xdx u = x  ⇒ Đặt  x2 x2 dv = xe dx v = e  1 1 x2 1 x2 x2 = Do K = ∫ x e dx = x e − ∫ xe dx = e − e 2 2 0 0 x2 −2 x Bài tậptự luyện: ∫ (3 x − 4).e dx  u = 3x − −7e−4 − ⇒ KQ = HD: Ñaët  −2 x dv = e dx b b kx Dạng 4: ∫ e cos mxdx ∫ e sin mxdx kx a a - 16 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân du = ke kx dx u = e  ⇒  dv = cos mxdx v = sin mx m  kx Đặt: du = ke kx dx u = e kx  ⇒ đặt  dv = sin mxdx v = − cos mx m  π Ví dụ: Tính K = e x cos3 xdx ∫ du = 2e x dx u = e x  ⇒ Đặt  dv = cos xdx v = sin x  π π π 2x 2x K = e x cos3 xdx = e sin x − ∫ e sin xdx 30 ∫0 44 43 L π Tính L = e x sin 3xdx ∫ du = 2e x dx u = e x  ⇒ Đặt  dv = sin xdx v = − cos3 x  π π π 2x 2x L = e x sin xdx = − e cos3 x + ∫ e cos3 xdx 30 ∫0 44 43 K π 2 = − e x cos3 x + K 3 ⇒ K = − eπ − − K 9 π −3e − ⇒K= 13 Nhận xét: - 17 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân - du = −3sin xdx u = cos3 x  ⇒ Ta đặt  , cho kết 2x 2x dv = e dx v = e  b - ∫e kx cos mxdx phải dùng tích phân phần hai lần, song điều a ý hai lần dùng phải thống kiểu đặt, không sau hai lần sử dụng tích phân lại trở ban đầu π Bài tập tự luyện: Tính M = e3 x sin xdx ∫ 3π du = 3e3 x dx u = e3 x  e +5 ⇒ HD: Đặt  KQ: M = dv = sin xdx v = − cos5 x 34  3.4 Kết cụ thể: Qua thực sáng kiến kinh nghiệm, nhận thấy em có nhiều tiến qua tiết học, lớp dạy thử nghiệm 12B2 Đối tượng học sinh 12B2 (2009-2010) có trình độ ngang (đối chứng) với 12B2 Ở lớp thử nghiệm, đa số em nhận biết dạng hướng giải toán, khả giải hoàn chỉnh toán cao Với biện pháp áp dụng, sau thử nghiệm đối chứng đề tài lớp, thu kết sau: Lớp TSHS 12B2 42 Lớp TSHS 12B2 42 Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu TS % TS % 19 45.2 23 54.5 Đạt yêu cầu Không đạt yêu cầu TS % TS % 28 66.7 14 33.3 Ghi Thử nghiệm Với kết trên, thấy học sinh có tiến qua kiểm tra Nhiều em yếu, giải tốt toán tích phân Tạo điều kiện cho tiếp tục áp dụng kết đạt cho năm học sau - 18 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân C- KẾT LUẬN: Để đạt mục đích đề sáng kiến kinh nghiệm giúp học sinh 12B2 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân, Tôi nghiên cứu tìm hiểu thêm tài liệu chuyên môn, chọn lọc xếp tập dạng từ dễ đến khó; học tập kinh nghiệm từ đồng nghiệp Bài học kinh nghiệm: Qua thử nghiệm nêu, Tôi thấy dạy tích phân không không khí nặng nề trước, học sinh bước đầu nhận dạng, biết xuất phát từ đâu, tự giải toán tích phân Điều cho thấy để giúp học sinh yếu lớp 12 học tốt toán tích phân giáo viên cần hướng dẫn cụ thể, giúp em nhìn nhận dạng cách giải, từ toán dễ đến nâng cao dần; để thực điều giáo viên cần phải tích cực nghiên cứu tài liệu, trao dồi lực chuyên môn, lắng nghe ý kiến góp ý đồng nghiệp phản hồi từ học sinh Khi nghiên cứu đề tài “Giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 học tốt tích phân”, Tôi nhận thấy thân mở rộng thêm kiến thức, nâng cao hiểu biết Bên cạnh mặt đạt hạn chế, số học sinh yếu không nắm bảng nguyên hàm; kỹ tính toán yếu nên nắm phương pháp giải chưa hoàn toàn Tôi cố gắng tìm biện pháp để nâng cao hiệu năm tới Trong viết đề tài này, thân không tránh khỏi sai sót, mong quý thầy cô, anh chị đồng nghiệp góp ý chân thành để rút kinh nghiệm cho năm sau viết tốt hơn; có phương pháp giảng dạy tích phân tốt Hướng phổ biến áp dụng đề tài: Đề tài thực có hiệu lớp 12B 2và phổ biến tổ chuyên môn khối 12 trường THPT Lộc Hưng Hướng nghiên cứu tiếp đề tài: Hướng dẫn học sinh khối 12 trường THPT Lộc Hưng kỹ giải hoàn chỉnh toán tích phân Lộc Hưng, ngày 20 tháng 03 năm 2011 Người viết Nguyễn Thị Phương Toàn Chức vụ: Giáo viên; Đơn vị trường: THPT Lộc Hưng - 19 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân MỤC LỤC  Trang A- MỞ ĐẦU 01 1- Lý chọn đề tài 01 2- Đối tượng nghiên cứu .01 3- Phạm vi nghiên cứu 01 4- Phương pháp nghiên cứu 01 4.1 Nghiên cứu tài liệu 01 4.2 Điều tra 01 4.3 Giả thuyết khoa học 02 B- NỘI DUNG 02 1- Cơ sở lý luận .02 2- Cơ sở thực tiễn 03 2.1 Thực trạng sách giáo khoa sách giáo viên lớp 12 03 2.2 Thực trạng việc học học sinh 03 2.3 Sự cần thiết đề tài 03 3- Nội dung vấn đề 03 3.1- Vấn đề đặt .03 3.2- Sơ lược trình thực sáng kiến kinh nghiệm 03 3.3- Những giải pháp giúp học sinh lớp 12B trường THPT Lộc Hưng học tốt Tích phân 3.3.1 Phương pháp tính đổi biến số dạng 3.3.2 Phương pháp tích phân phần 3.4- Kết cụ thể 18 C- KẾT LUẬN 19 1- Bài học kinh nghiệm 19 2- Hướng phổ biến áp dụng đề tài 19 3- Hướng nghiên cứu tiếp đề tài .19 - 20 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách giáo khoa giải tích 12 – Trần Văn Hạo chủ biên Sách giáo khoa giải tích 12 – Đoàn Quỳnh chủ biên Sách tập giải tích 12 – Vũ Tuấn chủ biên Sách tập giải tích 12 – Nguyễn Huy Đoan chủ biên Tài liệu bồi dưỡng giáo viên – Khu Quốc Anh Các đề thi TNPT, ĐH-CĐ - 21 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân NHẬN XÉT GÓP Ý Ý kiến phê duyệt đề tài tổ chuyên môn trường THPT Lộc Hưng Ý kiến phê duyệt đề tài Hội đồng khoa học trường THPT Lộc Hưng Ý kiến phê duyệt đề tài Hội đồng khoa học Sở GD – Đ T Tây NInh - 22 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân - 23 - [...]... nghiệm Với kết quả trên, tôi thấy học sinh có tiến bộ qua kiểm tra Nhiều em yếu, kém giải rất tốt toán tích phân Tạo điều kiện cho tôi tiếp tục áp dụng kết quả đạt được cho những năm học sau - 18 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân C- KẾT LUẬN: Để có thể đạt được mục đích đề ra của sáng kiến kinh nghiệm là giúp học sinh 12B2 trường THPT Lộc Hưng học tốt tích phân, Tôi nghiên cứu tìm hiểu... sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Sách giáo khoa giải tích 12 – Trần Văn Hạo chủ biên 2 Sách giáo khoa giải tích 12 – Đoàn Quỳnh chủ biên 3 Sách bài tập giải tích 12 – Vũ Tuấn chủ biên 4 Sách bài tập giải tích 12 – Nguyễn Huy Đoan chủ biên 5 Tài liệu bồi dưỡng giáo viên – Khu Quốc Anh 6 Các đề thi TNPT, ĐH-CĐ - 21 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân NHẬN XÉT GÓP... Những giải pháp giúp học sinh lớp 12B 2 trường THPT Lộc Hưng học tốt Tích phân 3.3.1 Phương pháp tính đổi biến số dạng 1 3.3.2 Phương pháp tích phân từng phần 3.4- Kết quả cụ thể 18 C- KẾT LUẬN 19 1- Bài học kinh nghiệm 19 2- Hướng phổ biến áp dụng đề tài 19 3- Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài .19 - 20 - Giải pháp giúp học sinh lớp. .. đến khó; học tập kinh nghiệm từ đồng nghiệp 1 Bài học kinh nghiệm: Qua thử nghiệm đã nêu, Tôi thấy giờ dạy tích phân không còn không khí nặng nề như trước, học sinh đã bước đầu nhận được dạng, biết xuất phát từ đâu, tự giải được bài toán tích phân Điều đó cho thấy để giúp được học sinh yếu kém lớp 12 học tốt toán tích phân giáo viên cần hướng dẫn cụ thể, giúp các em nhìn nhận dạng cùng cách giải, đi.. .Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân - b b a a Tích phân ∫ vdu dễ tính hơn so với ∫ udv Giáo viên lưu ý khi tính tích phân từng phân không có bước đổi cận Sau đây là một số dạng (thường được dùng trong tích phân từng phần) b k 1 Dạng 1: I = ∫ P( x) ln f ( x ) dx a Chọn  f ′( x) k −1 dx u = ln k... hiệu quả ở lớp 12B 2và sẽ được phổ biến trong tổ chuyên môn khối 12 cơ bản trường THPT Lộc Hưng 3 Hướng nghiên cứu tiếp của đề tài: Hướng dẫn học sinh khối 12 trường THPT Lộc Hưng kỹ năng giải hoàn chỉnh bài toán tích phân Lộc Hưng, ngày 20 tháng 03 năm 2011 Người viết Nguyễn Thị Phương Toàn Chức vụ: Giáo viên; Đơn vị trường: THPT Lộc Hưng - 19 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân MỤC... nhiều tiến bộ qua tiết học, lớp được dạy thử nghiệm 12B2 Đối tượng học sinh 12B2 (2009-2010) có trình độ ngang nhau (đối chứng) với 12B2 Ở lớp thử nghiệm, đa số các em nhận biết dạng cùng hướng giải bài toán, khả năng giải hoàn chỉnh bài toán cao Với những biện pháp đã áp dụng, sau khi thử nghiệm và đối chứng đề tài ở lớp, tôi thu được kết quả sau: Lớp TSHS 12B2 42 Lớp TSHS 12B2 42 Đạt yêu cầu Không... được điều đó giáo viên cần phải tích cực nghiên cứu tài liệu, trao dồi năng lực chuyên môn, lắng nghe ý kiến góp ý của đồng nghiệp cùng sự phản hồi từ học sinh Khi nghiên cứu đề tài Giải pháp giúp học sinh lớp 12B2 học tốt tích phân , Tôi nhận thấy bản thân tôi đã mở rộng thêm kiến thức, nâng cao sự hiểu biết Bên cạnh những mặt đạt được cũng còn những hạn chế, một số học sinh yếu không nắm được bảng... − 2 ⇒K= 13 Nhận xét: - 17 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân - du = −3sin 3 xdx u = cos3 x  ⇒ Ta cũng có thể đặt  , vẫn cho kết quả như vậy 1 2x 2x dv = e dx v = e 2  b - ∫e kx cos mxdx bao giờ cũng phải dùng tích phân từng phần hai lần, song điều a chú ý là trong hai lần dùng phải thống nhất một kiểu đặt, nếu không thì sau hai lần sử dụng tích phân lại trở về ban đầu π 2... 2009) 1 Lời giải: 1  u = ln x du = dx ⇒ x Đặt  dv = 4 xdx v = 2 x 2  2 2 2 2 2 I = ∫ 4 x ln xdx = ( 2 x ln x ) − ∫ 2 xdx = ( 2 x ln x ) − x 1 = 8ln 2 − 3 2 1 1 e2 Ví dụ 2: Tính J = ∫( x 1 2 2 1 1 + x ) ln xdx Lời giải: 1  du = dx u = ln x  x ⇒ Đặt  2 3 2 dv = ( x + x ) dx v = x + x  3 2 e2 J= ∫ ( x 2 + x ) ln xdx 1 - 11 - 2 Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân e2 2 ... - 10 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân - b b a a Tích phân ∫ vdu dễ tính so với ∫ udv Giáo viên lưu ý tính tích phân phân bước đổi cận Sau số dạng (thường dùng tích phân phần)... thấy học sinh có tiến qua kiểm tra Nhiều em yếu, giải tốt toán tích phân Tạo điều kiện cho tiếp tục áp dụng kết đạt cho năm học sau - 18 - Giải pháp giúp học sinh lớp 12 B2 học tốt tích phân. .. thấy dạy tích phân không không khí nặng nề trước, học sinh bước đầu nhận dạng, biết xuất phát từ đâu, tự giải toán tích phân Điều cho thấy để giúp học sinh yếu lớp 12 học tốt toán tích phân giáo