1 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Một số tập toán nâng cao LỚP PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x2 + y2 a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : b) Cho a, b, c > Chứng minh : ab  ab bc ca ab   abc a b c c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a3 + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết rằng: a  b  a  b a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho: a) | 2x – | = | – x | b) x2 – 4x ≤ c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ 14 Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  x  4x  17 So sánh số thực sau (không dùng máy tính) :  15 a) 23  19 c) 27 b) 17   d) nhỏ 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 19 Giải phương trình : 45 3x  6x   5x  10x  21   2x  x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x2y với điều kiện x, y > 2x + xy = 21 Cho S  1 1      1.1998 2.1997 k(1998  k  1) 1998  Hãy so sánh S 1998 1999 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phương a số vô tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : a) x y  2 y x  x y2   x y  b)         x  y x y  x y4   x y2   x y  c)             x  y x  y x y 24 Chứng minh số sau số vô tỉ : a) b) 1 m với m, n số hữu tỉ, n ≠ n 25 Có hai số vô tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không ? 26 Cho số x y khác Chứng minh : x y x y2    3   y x y x 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : x y2 z2 x y z      y2 z2 x y z x CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức : a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh :  x    y   x  y 32 Tìm giá trị lớn biểu thức : A  33 Tìm giá trị nhỏ : A  x  6x  17 x y z với x, y, z >   y z x 34 Tìm giá trị nhỏ : A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a) ab a số vô tỉ b b) a + b a số hữu tỉ (a + b ≠ 0) b c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh: 39 Chứng minh  2x  a b c d    2 bc cd da ab  x   x   40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x  B x  4x  C x  2x  D 1 x2  E x  2x x G  3x   5x   x  x  42 a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy ? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU M  x  4x   x  6x  4x  20x  25  x  8x  16  x  18x  81 c) Giải phương trình: 43 Giải phương trình: 2x  8x  x  4x   12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A  x2  x  E B 1  3x x  x2 x 4 G 2x   x C    9x D x  5x  H  x  2x    x 2 x  3x 45 Giải phương trình: 0 x 3 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B   x  x 48 So sánh : a) a   b= c) n   n  n+1  n 1  13  b) 1 (n số nguyên dương) 49 Với giá trị x, biểu thức sau đạt giá trị nhỏ : A    6x  9x  (3x  1) 50 a) Tính 42 b) : 11  c) d) A  m  8m  16  m  8m  16 27  10 e) B  n  n   n  n  (n ≥ 1) 41 51 Rút gọn biểu thức : M  52 Tìm số 45  41  45  41 x, y, z thỏa mãn đẳng thức : (2x  y)  (y  2)  (x  y  z)  53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  25x  20x   25x  30x  54 Giải phương trình sau: a) x  x   x   b) x    x c) x  x  x  x   CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU d) x  x  2x   e) x  4x   x   h) x  2x   x  6x   g) x   x   5 i) x    x  x  25 k) x   x   x   x   l) 8x   3x   7x   2x  55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện : xy = x > y CMR: x  y2 2 xy 56 Rút gọn biểu thức : a) 13  30   b) m  m   m  m  c)          2  57 Chứng minh d) 227  30  123  22  2 58 Rút gọn biểu thức : a) C  62    3  62  6 3  b) D  96  59 So sánh : a)  20 1+ 17  12 b) 60 Cho biểu thức : A  1 c) 28  16  x  x  4x  a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau: a) 11  10 b)  14 c)  11        10 62 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: 1 1 1      a b2 c2 a b c 63 Giải bất phương trình : 64 Tìm x cho : x  16x  60  x  x2    x2 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x2 + y2 , biết : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A  16  x b) B   x  8x  2x  1 x  2x  67 Cho biểu thức : A  x  x  2x x  x  2x  x  x  2x x  x  2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số : 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn : A = | x - | + | y – | với | x |+|y|=5 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n  n  n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A     Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : (   5)(   5)(   5)(   5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3 ; 75 Hãy so sánh hai số : a  3  b=2  ; 76 So sánh  1     số 77 Rút gọn biểu thức : Q  78 Cho 3 ; 2 3 2 3 6 84 2 3 P  14  40  56  140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết : x  y  y  x  80 Tìm giá trị nhỏ lớn : A   x   x 81 Tìm giá trị lớn : M   a b  với a, b > a + b ≤ 82 CMR số 2b  c  ad ; 2c  d  ab ; 2d  a  bc ; 2a  b  cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 83 Rút gọn biểu thức : N     18 84 Cho x  y  z  xy  yz  zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh :  a b   2(a  b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành a , b , c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài tam giác (x  2)  8x b) B  x x ab  b a 88 Rút gọn : a) A   b b 89 Chứng minh với số thực a, ta có : a2  a2 1  Khi có đẳng thức? 90 Tính: A     hai cách 91 So sánh : a) 92 Tính : P  5 6,9 2  2 93 Giải phương trình :  b) 2  2 1.3.5 (2n  1)  2.4.6 2n 2n  95 Chứng minh a, b > A= a b ; n  Z+ a2 b2  b a x  4(x  1)  x  4(x  1)   1   x    x  4(x  1) 97 Chứng minh đẳng thức sau : a) > ; a ≠ b) 7 x   2x   x   2x   2 94 Chứng minh ta có : Pn  96 Rút gọn biểu thức : 13  12 a b b a : ab ab a b (a, b CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU  14  15   b)    2 : 1    1  a  a  a  a  c) 1  1    1 a a   a 1   (a > 0) 98 Tính : a)  c)     29  20 c)  28  16    48  99 So sánh : a) ; b)   13  48  48  15 18  19 d) b)  15 12  16 25 100 Cho đẳng thức : a  a2  b a  a2  b (a, b > a2 – b > 0) a b   2 Áp a) c) dụng 2  2 kết  2  2 ; b) để 3 2 17  12  rút gọn 3 2 17  12 2 10  30  2  : 10  2 1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A  b) B  xy  x  y  xy  x  y  a  bx  a  bx a  bx  a  bx với x  với 102 Cho biểu thức P(x)  x 1 1 1 1 a   , y  b   2 a 2 b (a > ; b > 1) 2am , m  b 1  m  2x  x  3x  4x  a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < 103 Cho biểu thức A  x24 x2  x24 x2 4  1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên : CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a)  x b) x  x (x  0) e)   3x c)   x g) 2x  2x  105 Rút gọn biểu thức : A  h)   x  2x  2x  x  94  42  94  42 c) 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥  a  b  a  b  a  a2  b a b   48  10  4  10    10  a) i) x  2x   x  2x  , ba cách ? 106 Rút gọn biểu thức sau : a) b) d) x   b  b) a  a2  b a  a2  b  2 108 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  xy2  x  y  109 Tìm x y cho : a  c   b  d  110 Chứng minh bất đẳng thức : a  b2  c2  d  111 Cho a, b, c > Chứng minh : a2 b2 c2 abc    bc ca ab 2 112 Cho a, b, c > ; a + b + c = Chứng minh : a) a   b   c   3,5 113 CM: a  c  b  c   b) a ab  bc  ca   d  b  d   (a  b)(c  d) với a, b, c, d > 114 Tìm giá trị nhỏ : A  x  x 115 Tìm giá trị nhỏ : A  (x  a)(x  b) x 116 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = 2x + 3y biết 2x2 + 3y2 ≤ 117 Tìm giá trị lớn A = x + 2x 118 Giải phương trình : x   5x   3x  119 Giải phương trình : x  x 1  x  x 1  10 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 120 Giải phương trình : 3x  21x  18  x  7x   121 Giải phương trình : 3x  6x   5x  10x  14   2x  x 122 Chứng minh số sau số vô tỉ : 3 ; 2 x 2  4x  123 Chứng minh 124 Chứng minh bất đẳng thức sau phương pháp hình học : a  b b  c  b(a  c) với a, b, c > (a  b)(c  d)  ac  bd với a, b, c, d > 125 Chứng minh 126 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành tam giác đoạn thẳng có độ dài a , b , c lập thành tam giác 127 Chứng minh (a  b) a  b   a b  b a với a, b ≥ 128 Chứng minh a b c   2 bc ac ab với a, b, c > 129 Cho x  y  y  x  Chứng minh x2 + y2 = 130 Tìm giá trị nhỏ A  x  x 1  x  x 1 131 Tìm GTNN, GTLN A   x   x 132 Tìm giá trị nhỏ A  x   x  2x  133 Tìm giá trị nhỏ A   x  4x  12   x  2x  134 Tìm GTNN, GTLN : a) A  2x   x  b) A  x 99  101  x 135 Tìm GTNN A = x + y biết x, y > thỏa mãn  a b   (a b x y số dương) 136 Tìm GTNN A = (x + y)(x + z) với x, y, z > , xyz(x + y + z) = 137 Tìm GTNN A  138 Tìm GTNN xy  yz  zx  xy yz zx với x, y, z > , x + y + z =   z x y A x2 y2 z2   xy yz zx biết x, y, z > , 54 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 211 Thay a =  vào phương trình cho : 2 + 2a + b + c = (b + 2) = -(2a + c) Do a, b, c hữu tỉ nên phải có b + = 2a + c = Thay b = - , c = 2a vào phương trình cho : x3 + ax2 – 2x – 2a =  x(x2 – 2) + a(x2 – 2) =  (x2 – 2)(x + a) = - a Các nghiệm phương trình cho là: ± 212 Đặt A  1    n a) Chứng minh A  n  : Làm giảm số hạng A : 2   2 k k k k 1  k Do 2   2    k 1  k      A           n  n      n 1  n 1  2  n 1   n  b) Chứng minh A  n  : Làm trội số hạng A : 2   2 k k k k  k 1 Do : A       n  n    k  k 1     3      n   213 Kí hiệu a n      có n dấu Ta có : a1   ; a   a1    ; a   a    a100   a 99    Hiển nhiên a100 > > Như < a100 < 3, [ a100 ] = 214 a) Cách (tính trực tiếp) : a2 = (2 + Ta có  48 nên < <  Cách (tính gián tiếp) : Đặt x = (2 + Xét biểu thức y = (2 Dễ thấy < - )2 = + 13 < a2 < 14 Vậy [ a2 ] = 13 )2 x = + )2 y = - Suy x + y = 14 < nên < (2- < 14 Vậy [ x ] = 13 tức [ a2 ] = 13 b) Đáp số : [ a3 ] = 51 )2 < 1, tức < y < Do 13 < x 55 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x y b 215 Đặt x – y = a ; (1) a b số hữu tỉ Xét hai trường hợp : a) Nếu b ≠ xy a   x y b x y a số hữu tỉ b (2) Từ (1) (2) ta có : 1 a x   b   số hữu tỉ ; 2 b 1 a y   b   số hữu tỉ 2 b b) Nếu b = x = y = 0, hiển nhiên x , y số hữu tỉ 216 Ta có n   1   1   n     n   (n  1) n n(n  1) n   n n 1   n n 1  n  n  1     1       2  Từ ta giải toán n  n n  n n        217 Chứng minh phản chứng Giả sử 25 số tự nhiên cho, hai số Không tính tổng quát, giả sử a1 < a2 < … < a25 Suy : a1 ≥ , a2 ≥ , … a25 ≥ 25 Thế : 1 1 1        a1 a2 a 25 25 (1) Ta lại có : 1 1 2         1  25 24 25  25 24  24 2  2 2    1  24  24 23  23 2   25      25  24  24  23      (2) Từ (1) (2) suy : 1     , trái với giả thiết Vậy tồn a1 a2 a 25 hai số 25 số a1 , a2 , … , a25 218 Điều kiện : ≤ x ≤ Đặt Ta có : ab =  x , a2 + b2 = Phương trình :  a2 - a2b + b2 + ab2 =   x  a  ;  x  b  a2 b2   2 a b (2 - b + a - ab) (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b) 56 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU  (2 + ab) = (a – b)(2 + ab)  a–b= (chú ý : a2 + b2 = 4) (do ab + ≠ 0) Bình phương : a2 + b2 – 2ab =  2ab =  ab =   x = Tìm x = 219 Điều kiện : 1 x2  < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : a 1 a 1 Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = a a 1 Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) Kết luận : Nghiệm x = a Với a ≥ a 1 220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > Từ hệ phương trình cho ta có : x 2y 2y   y 1 y y y  z ; z  x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất Tương tự đẳng thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh toán, cần tìm số B cho < B < A + B số tự nhiên 107 Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : 8      83 107   107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b  N B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên Do  B  107 A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a 57 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 222 Ta thấy với n số phương phương n số vô tỉ, nên n số tự nhiên, n khác số n dạng ,5 Do ứng với số n  N* có số nguyên an gần n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … an 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh an nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 1 1  x  1 có hai nghiệm tự nhiên 2 2 1 có bốn nghiệm tự nhiên  x  2 2 3 1  x  3 có sáu nghiệm tự nhiên 2 Tổng quát : k 1  x k 2 thức tương đương với : k2 – k + có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng 1 < x < k2 + k + Rõ ràng bất phương 4 trình có 2k nghiệm tự nhiên : k2 – k + ; k2 – k + ; … ; k2 + k Do :        1 1 1  1  1 1                      2.44  88 a1 a2 a1980   2  2 44 44 44 1        soá 88 soá  soá      223 Giải tương tự 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ an ] = c) Ta thấy : 442 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46 Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp Ta có : (4n + 1)2 < 16n2 + 8n + < (4n + 2)2  4n + 16n2  8n  < 4n +  4n2 + 4n + < 4n2 + 16n2  8n  < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + < 58 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 16n2  8n  < (2n + 2)2  (2n + 1)2 < 4n2 + Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) x + y số tự nhiên có tận Ta chọn y =  3  200 (2)  < 0,3 nên < y < 0,1 Ta có < Điều kiện (1) chứng minh Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có : x y   3  200   3  200   5  100   5  100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X2 -10X + = 0, tức : a2 = 10a – Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : (3) ; b2 = 10b – (4) an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2  - Sn+1 (mod 10) Do Sn+4  - Sn+2  Sn (mod 10) (5) Ta có S0 = (5 + )0 + (5 - )0 = + = ; S1 = (5 + ) + (5 ) = 10 Từ công thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 226 Biến đổi  3  250   5  125 Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36) 227 Ta có :        A   1    3   4    8   9    15   16    24  Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm 59 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 228 a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = bất đẳng thức Cauchy cho số không âm x x (3 – x) Áp dụng 2 x x x x , , (3 – x) ta : (3 – x) 2 2 x x     3 x  ≤        Do A ≤ (1) b) Xét x > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận x   3 x maxA     x  x  229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x  1  x  3.3 (x  1)(7  x).2   (x  1)(7  x)   x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - (1) Đặt x   y ; x   z Khi x – = y2 ; x + = z2 y  z  (2)  nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ : z2  y3  (3) z  (4)  Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y3 – y2 + 6y – =  (y – 1)(y2 + 6) =0  y=1 Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : 1   2 b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà a  b  Bình phương hai vế : a  b  ab   ab   (a  b) Bình phương vế : 4ab = + (a + b)2 – 2(a + b)  2(a + b) (a + b)2 – 4ab Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vô tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn =2+ 60 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 231 a) Giả sử số hữu tỉ m m3 (phân số tối giản) Suy = Hãy n n chứng minh m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết m phân số n tối giản b) Giả sử m3  n3  3 m (phân số tối giản) Suy : n  số hữu tỉ     3.3 m 6m  6  m3  6n3  6mn2 (1)  m3   m n n Thay m = 2k (k  Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2  4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho  n3 chia hết cho  n chia hết cho Như m m phân số tối giản n n chia hết cho 2, trái với giả thiết 232 Cách : Đặt a = x3 , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh a b c x3  y3  z3  abc tương đương với  xyz hay x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 3 Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập sbt) Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : a b c  abc Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số không âm Ta có : a b c  d  1 a b c  d     2 2    ab  cd  ab cd  abcd a b c  a b c  d  Trong bất đẳng thức  ta :   abcd , đặt d    a b c    a b c   a b c a b c  a b c       abc   abc 3       61 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU Chia hai vế cho số dương a b c (trường hợp số a, b, c 3 a b c  a b c  0, toán chứng minh) :   abc   abc    Xảy đẳng thức : a = b = c = 233 Từ giả thiết suy : đẳng thức a b c  a=b=c=1 b c d a Áp dụng bất    1  b c d  a a Cauchy cho số dương : b c d bcd Tương tự :     3.3 a b c  d  (b  1)(c  1)(d  1) acd  3.3 b (a  1)(c  1)(d  1) abd  3.3 c (a  1)(b  1)(d  1) abc  3.3 d1 (a  1)(b  1)(c  1) Nhân từ bốn bất đẳng thức : 1 81abcd  abcd  234 Gọi A  x2 y2 z2   Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : y2 z2 x2  x2 y2 z2   x y z 3A      (1 1 1)       y z x y z x  Áp dụng 81 bất đẳng x y z x y z    3.3  y z x y z x thức (1) Cauchy với ba số không âm : (2) Nhân vế (1) với (2) :  x y z  x y z x y z 3A      3     A    y z x  y z x  y z x 235 Đặt x  3 3 ; y  3 3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = 62 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n  1) n(n  1)(n  2) n(n  1) 2.1  1 2   n  1   1 n  n 2! n 3! n n! n  n 1 1     n!   2! 3! < 1 1  Dễ dàng chứng minh : 1 1 1         2! 3! n! 1.2 2.3 (n  1)n = 1 1 1 1       1  2 n n n b) Với  (2)   3 (1) Thật vậy, (1)   32 > 22 Với n ≥ 3, ta chứng minh n1 n = 2, ta chứng minh     n Do (1 )n   n n(n1)   n n n n(n1) n  n1 n  (2) Thật : n n1  (n  1)  n n (n  1)n  1   n   1   n (3) n n  n n  1 Theo câu a ta có  1   , mà ≤ n nên (3) chứng minh  n Do (2) chứng minh   237 Cách : A  x2  1 x4  x2   A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A  24 (x2  x  1)(x2  x  1)  24 x4  x2   A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số không âm : x x     x  2 A x x  2x     (x  2)        2 3       - A ≤ 32  A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x2 ≤ 63 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU  x2 x2     x2  2  x x A  x4(9  x2 )  (9  x2 )  4 2   4.27 2     max A = với x = ± 240 a) Tìm giá trị lớn : A = x(x2 – 6) ≤ Cách : Với ≤ x < Với x ≥ ≤ x ≤  ≤ x2 ≤  ≤ x2 – ≤ Ta có Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 == (x + 2 )(x2 2 x + 8) – 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - ≥ - A = - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : x3 + 2 + 2 ≥ 3 x3.2 2.2 = 6x x x Suy x3 – 6x ≥ - A = - với x = x x x Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : 4x = – 2x  x = max V = Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vuông nhỏ ; 10  242 a) Đáp số : 24 ; - 11 b) Đặt x 3-2x 241 Gọi x cạnh hình vuông nhỏ, V thể tích hình hộp  4x  3 2x  3 2x  4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤   =   x 3-2x dm 2  x  a; x  1 b Đáp số : ; x 64 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± d) Đặt 2x  = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) =  x = y Đáp số : ; 1 e) Rút gọn vế trái : g) Đặt   x  x2  Đáp số : x =  x  a; x   b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải phương trình cho a3  b3 Phương trình cho trở thành : a b a3  b3 = a b Do a3 + b3 a  b a3  b3 = nên  (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3)  a  b a3  b3 Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = h) Đặt x  1 a; x  1 b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho Đặt x x1 x  a;  b Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm x x Cách : Đặt x  = y Chuyển vế : y3   y3    y Lập phương hai vế ta : y3 – + y3 + + 3 y6  1.(- y) = - y3  y3 = y Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y2 = y6  y6  Lập phương : y6 = y6 – Vô n0 Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vô nghiệm, xem bảng : 65 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x x1 x x < -2 < -1 < < < x > -x > -1 > > > k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), Theo Vế trái x bất đẳng thức mn  Cauchy ab  a  b = (2) m n , ta có a  b 1 a 1 b    2 1 a 1 b a b  a  b  1   1   2 3 a b  a  b  Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a  x  m  ; b  x  n  m4 + n4 = a + b – 2x Phương trình cho trở thành : m + n = m4  n4 Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m2 + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a2 + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) Đặt x  a  x ; b  y , ta có : A   y   (xy) 2 x  xy  y 2 x  x  x y  y x  2x y  y  2x y  = x  xy  y x  xy  y  y  xy  x  y  xy  Vậy : A  a  b  ab x  y  xy 2  x  y  xy (với a2 + b2 ≠ 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A  x2  x 1  x2  x 1  x  x  x  x   (x  x  1)(x  x  1) = = x  x   Đẳng thức xảy :  x  x   x  x   x  Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy :  x  x    A =  x = 66 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = 0, nên 245 Vì + ta có : 3(1 + )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) = + (2a + b + 18) Vì a, b Z nên p = 4a + b + 42  Z q = 2a + b + 18 Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = =- Nếu q ≠ p , vô lí Do q = từ p + q = ta suy p = q nghiệm phương trình 3x3 + ax2 + bx + 12 = Vậy + : 4a  b  42  Suy a = - 12 ; b =  2a  b  18  246 Giả sử 3 số hữu tỉ p p p3 ( phân số tối giản ) Suy : = Hãy q q q chứng minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết p phân số tối q giản 247 a) Ta có : Do : b) 1  1    1 2    2    2   2  2  32  2      1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a  20  14  20  14  3 (20  14 2)(20  14 2).a  a  40  3 202  (14 2) a  a3 – 6a – 40 =  (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên  a = 249 Giải tương tự 21 250 A = + 3 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3  Suy x3 = 12 + 3.3x  x3 – 9x – 12 = 67 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 252 Sử dụng đẳng thức (A – B)3 = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x3 Kết M = 253 a) x1 = - ; x2 = 25 u  v3   u = v = -  x = b) Đặt u = x - , v = x - , ta :   v  u  c) Đặt : x  32  y  Kết x = ± 254 Đưa biểu thức dạng : A  x3    x   Áp dụng | A | + | B |≥|A+B|  A = -1 ≤ x ≤ 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt x  y x  y 258 Ta có : P  x  a   P  23 x   x  b =|x–a|+|x–b|≥|x–a+b–x|= b – a (a < b) Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥  a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a  a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a  b  c)  (b  c  a) (b  c  a)  (c  a  b)  b (b  c  a)(c  a  b)  c 2 (c  a  b)  (a  b  c) (c  a  b)(a  b  c)  a (a  b  c)(b  c  a)  Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b  a = b = c (tam giác đều) 260 x  y  (x  y)  (x  y)  4xy    2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = 262 Đưa pt dạng :    x  1    y3 2   z    68 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 263 Nếu ≤ x ≤ y = 264 Đặt : x   y  M  x     x 1   x 1 265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x2 + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64  x = y = 266 Với a, b ta có : a2 + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab  2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab  2c2 ≥ (a + b)2  c ≥ a + b  c ≥ ab Dấu đẳng thức xảy a = b 267 Biến đổi ta :  a 'b  ab ' 268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ -Hết   a 'c  ac '   b 'c  bc '  0 [...]... của A  x x  y y biết 1 79 Giải phương trình : x  y  1 1  x  x 2  3x  2  (x  2) x 1  3 x2 180 Giải phương trình : x 2  2x  9  6  4x  2x 2 181 CMR, n  Z+ , ta có : 182 Cho A 1 1 1 1      2 2 3 2 4 3 (n  1) n 1 1 1 1 Hãy so sánh A và     1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 1 ,99 9 183 Cho 3 số x, y và x  y là số hữu tỉ Chứng minh rằng mỗi số x; y đều là số hữu tỉ 184 Cho a  3...  (x – 1)2 < 2  - 2 < x – 1 < c) A < 2  2  kq 68 Đặt 0 ,99 9 99    = a Ta sẽ chứng minh 20 chữ số thập phân đầu tiên của 20ch鲺so� a là các chữ số 9 Muốn vậy chỉ cần chứng minh a < a < 1 Thật vậy ta có : 0 < a < 1  a(a – 1) < 0  a2 – a < 0  a2 < a Từ a2 < a < 1 suy ra a< Vậy a < 1 0 ,99 9 99     0 ,99 9 99    20ch鲺so� 20ch鲺so� 69 a) Tìm giá trị lớn nhất Áp dụng | a + b | ≥ | a | + | b... 3 a 198 0 213 Tìm phần nguyên của các số (có n dấu căn) : a) a n  2  2   2  2 b) a n  4  4   4  4 a n  199 6  199 6   199 6  199 6 214 Tìm phần nguyên của A với n  N : A  4n 2  16n 2  8n  3 c) 18 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 215 Chứng minh rằng khi viết số x =  3 2  200 dưới dạng thập phân, ta được chữ số liền trước dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9 216... 2  5x  6  x 9  x 2 3x  x 2  (x  2) 9  x 2 1 1 1 1     1 2 2 3 3 4 24  25 170 Tìm GTNN và GTLN của biểu thức A  1 2  3  x2 14 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 171 Tìm giá trị nhỏ nhất của A  172 Tìm GTLN của : a) A  B 2 1 với 0 < x < 1  1 x x x 1  y  2 biết x + y = 4 ; b) y2 x 1  x y 173 Cho a  199 7  199 6 ; b  199 8  199 7 So sánh a với b, số nào lớn hơn... 1)2 + (b – 1)2 + 2. 199 8 ≥ 2. 199 8  M ≥ 199 8 25 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU a  b  2  0  Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời : a  1  0 Vậy min M = 199 8  a = b b  1  0  = 1 14 Giải tương tự bài 13 15 Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0 16 A  17 a) b) c) 1 1 1 1   max A=  x  2 2 x  4x  9  x  2   5 5 5 2 7  15  9  16  3  4  7... a1 a2 a3 a 25 tại 2 số bằng nhau 208 Giải phương trình 2 x 2  2 x 2 09 Giải và biện luận với tham số a  2 x 2  2 x  2 1 x  1 x  a 1 x  1 x  x 1  y   2y  210 Giải hệ phương trình  y 1  z   2z   z 1  x   2x 211 Chứng minh rằng : a) Số b) Số  83 7  7 có 7 chữ số 9 liền sau dấu phẩy 7  4 3  10 có mười chữ số 9 liền sau dấu phẩy 212 Kí hiệu an là số nguyên gần 1  1... z   1    1    1       3 y  z  x  y z x 28 Chứng minh bằng phản chứng Giả sử tổng của số hữu tỉ a với số vô tỉ b là số hữu tỉ c Ta có : b = c – a Ta thấy, hiệu của hai số hữu tỉ c và a là số hữu tỉ, nên b là số hữu tỉ, trái với giả thiết Vậy c phải là số vô tỉ 29 a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2)  (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2... nguyên của số 204 Cho a  2  3 Tính a) 6  6   6  6 a 2  b) a 3  (có 100 dấu căn) 17 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU x  y là số hữu tỉ Chứng minh rằng mỗi số 205 Cho 3 số x, y, x , y đều là số hữu tỉ 206 CMR, n ≥ 1 , n  N : 207 Cho 25 số tự 1 1 1 1     2 2 3 2 4 3 (n  1) n nhiên a1 , a2 , a3 , … a25 thỏa đk : 1 1 1 1      9 Chứng minh rằng trong 25 số tự nhiên... hay 7n 2  m 2 (1) 7 n n Đẳng thức này chứng tỏ m 2  7 mà 7 là số nguyên tố nên m  7 Đặt m = 7k (k  Z), ta có m2 = 49k2 (2) Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3) Từ (3) ta lại có n2  7 và vì 7 là số nguyên tố nên n  7 m và n cùng chia hết cho 7 nên phân số m không tối giản, trái giả thiết Vậy n 7 không phải là số 7 là số vô tỉ hữu tỉ; do đó 2 Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung,... đúng 39 - Nếu 0 ≤ x -  x  < ½ thì 0 ≤ 2x - 2  x  < 1 nên  2x  = 2  x  - Nếu ½ ≤ x -  x  < 1 thì 1 ≤ 2x - 2  x  < 2  0 ≤ 2x – (2  x  + 1) < 1   2x  = 2x + 1 30 CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 40 Ta sẽ chứng minh tồn tại các số tự nhiên m, p sao cho : 96 000 00    ≤ a + 15p < 97 000 00    mch鲺so� Tức là 96 ≤ mch鲺so� a 15p  < 97 10m 10m (1) Gọi a + 15 là số có ... 1 Hãy so sánh A     1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 1 ,99 9 183 Cho số x, y x  y số hữu tỉ Chứng minh số x; y số hữu tỉ 184 Cho a  3  ; b   2   CMR : a, b số hữu 3 tỉ  2 a a   a... xy = 21 Cho S  1 1      1. 199 8 2. 199 7 k( 199 8  k  1) 199 8  Hãy so sánh S 199 8 199 9 22 Chứng minh : Nếu số tự nhiên a số phương a số vô tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh : a) x y  2... 2y 2 max B  x   x  2 2       4 y   y  a 183 1 ,b 199 7  199 6 199 8  199 7 Ta thấy 199 7  199 6  199 8  199 7 Nên a < b 184 a) A = - với x = max A = b) B = với x = ± 185 Xét –