Bài toán thể tích-hình học lớp 12 I Kiến thức bản: 1) Cho ∆ABC vuông A ta có : A a) Định lý Pitago : BC = AB + AC 2 b) BA = BH BC ; CA = CH CB c) AB AC = BC AH 1 = + d) 2 AH AB AC C H AC CB AC , cosB = , tan B = e) sin B = AB AB CB 2) Công thức tính diện tích tam giác : a2 Đặc biệt : ∆ABC vuông A : S = AB AC , ∆ABC cạnh a: S = 3) Định lý đường trung bình, Talet 4) Cách chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng dựa theo định lý:  d ⊥ a; d ⊥ b ⇒ d ⊥α   a, b ⊂ α ; a ∩ b ≠ ∅  d ⊥α ⇒d ⊥a 5) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc dựa theo định lý:  a ⊂ α 6) Cách xác định góc đường thẳng a mặt phẳng α : S + Xác định hình chiếu d a mặt phẳng α + Góc đường thẳng mặt phẳng góc d a 7) Lưu ý công thức tỉ số thể tích A' A ' ∈ SA , B ' ∈ SB , C ' ∈ SC Cho hình chóp SABC, , ta có: VSA ' B 'C ' SA ' SB ' SC ' = (*) C' VSABC SA SB SC A B B' B II Nội dung chính: Bài tập đưa tiết dạy phân theo dạng, lựa chọn cho học C sinh làm từ dễ đến khó dạng, giải theo nhiều cách khác 1) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện cách xác định chiều cao đáy khối đa diện Phương pháp: + Xác định đáy dựng chiều cao khối đa diện + Tính chiều cao, diện tích đáy, thay vào công thức Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh 2a, SA vuông góc đáy Góc SC đáy 60ο a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp MBCD Lời giải: a)Ta có V = S ABCD SA 2 + S ABCD = (2a ) = 4a gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong Bài toán thể tích-hình học lớp 12 + ∆SAC có : SA = AC tan C = 2a S 8a ⇒ V = 4a 2a = 3 M B A H D C b) Kẻ MH / / SA ⇒ MH ⊥ ( DBC ) 1 Ta có: MH = SA , S BCD = S ABCD 2 Yêu cầu: + Học sinh xác định góc + Xác định công thức thể tích khối, 2a tính độ dài đường cao SA ⇒ VMBCD = V = +Xác định đường cao trường hợp chân đường cao không thuộc mặt đáy khối +Sử dụng hệ thức tam giác vuông Nhận xét: +Học sinh gặp khó khăn xác định góc đường thẳng mặt phẳng +Học sinh gặp khó khăn tính SA sử dụng hệ thức tam giác vuông Bài 2: Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC) Lời giải: a) Gọi O tâm ∆ABC ⇒ DO ⊥ ( ABC ) D V = S ABC DO M + S ABC = A H C a2 a , OC = CI = 3 + ∆DOC vuông có : DO = DC − OC O = I a Yêu a a a3 cầu: ⇒V = = + Học sinh nắm cách vẽ khối tứ diện 12 tính chất đặc biệt khối b) Kẻ MH// DO, khoảng cách từ M đến +Xác định đường cao ghi thể tích mp(ABC) MH khối a MH = DO = +Sử dụng định lý Pitago Nhận xét: + Học sinh đa phần quên tứ diện tính chất mặt, cạnh + Còn yếu tính toán độ dài yếu tố có hình vẽ + Bài tập 1/25 sgk lớp 12 bổ sung thêm câu b B gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong Bài toán thể tích-hình học lớp 12 Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a , AD = a, AA’=a, O giao điểm AC BD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật, khối chóp OA’B’C’D’ b) Tính thể tích khối OBB’C’ c) Tính độ dài đường cao đỉnh C’ tứ diện OBB’C’ Lời giải: a) Gọi thể tích khối hộp chữ nhật V Ta có : V = AB AD.AA ' B A O = a 3.a = a 3 M D c A' B' ∆ABD có : DB = AB + AD = 2a * Khối chóp OA’B’C’D’ có đáy đường cao giống khối hộp nên: a3 ⇒ VOA ' B ' C ' D ' = V = 3 b) M trung điểm BC ⇒ OM ⊥ ( BB ' C ') Yêu cầu: +Học sinh xác định công thức thể tích 1 a a a3 ⇒ VO BB 'C ' = S BB 'C ' OM = = khối hộp khối chóp 3 2 12 +Biết khai thác tính chất hình hộp đứng c) Gọi C’H đường cao đỉnh C’ tứ diện để làm bài: Chọn đáy khối OBB’C’ 3VOBB 'C ' (BB’C’) (thuộc mặt bên hình hộp) OBB’C’ Ta có : C ' H = SOBB ' +Giải câu b) tương tự 1b D' C' ∆ABD có : DB = AB + AD = 2a ⇒ SOBB ' = a ⇒ C ' H = 2a + Bài tập rèn kỷ làm toán khối lăng trụ đứng, khối hộp chữ nhật + Học sinh khắc sâu cách tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng dựa theo thể tích 2) Bài tập dạng: Phân chia lắp ghép khối đa diện để tính thể tích khối đa diện Phương pháp: Phân chia lắp ghép khối đa diện theo nhiều khối dễ tính thể tích (Trên sở phát khối dễ xác định đường cao diện tích đáy) Bài 4: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’có cạnh a Tính thể tích khối tứ diện ACB’D’ Lời giải: A B Hình lập phương chia thành: khối ACB’D’ bốn khối CB’D’C’, BB’AC, D C D’ACD, AB’A’D’ + Các khối CB’D’C’, BB’AC, D’ACD, AB’A’D’ có diện tích chiều cao nên có thể tích A' B' 1 Khối CB’D’C’ có V1 = a a = a C' D' + Khối lập phương tích: Yêu cầu: V2 = a +Học sinh biết chọn đáy chiều cao đối 1 với khối nhỏ tính ⇒ VACB ' D ' = a − a = a gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong Bài toán thể tích-hình học lớp 12 Nhận xét: + Học sinh gặp nhiều khó khăn phân chia khối, giáo viên hướng dẫn + Bài toán lấy từ tập 3/25 sách giáo khoa thay đổi giả thiết “hình hộp” thành “hình lập phương cạnh a” có số liệu cụ thể để học sinh dễ tiếp thu Sau đó, yêu cầu học sinh tự giải 3/25 sách giáo khoa nhà Bài 5: Cho hình lăng trụ đứng tam giác có cạnh a a) Tính thể tích khối tứ diện A’B’ BC b) E trung điểm cạnh AC, mp(A’B’E) cắt BC F Tính thể tích khối CA’B’FE Lời giải: a) Khối A’B’ BC: E C A Gọi I trung điểm AB, Ta có: VA ' B ' BC = S A ' B ' B CI a a a3 = = 2 12 F I B b)Khối CA’B’FE: phân hai khối CEFA’ CFA’B’ +Khối A’CEFcó đáy CEF, đường cao A’A C' A' J nên VA 'CEF = SCEF A ' A Yêu cầu: a2 S = S = B' CEF ABC + Học sinh biết cách tính khối 16 A’B’ BC a +Biết phân khối chóp CA’B’FE thành hai ⇒ VA 'CEF = 48 khối chóp tam giác +Gọi J trung điểm B’C’ Ta có khối + Biết đường thẳng vuông góc với mp(CEF), ghi công thức thể tích cho A’B’CF có đáy CFB’, đường cao JA’ nên khối CEFA’ VA ' B 'CF = SCFB' A ' J + Tương tự cho khối CFA’B’ SCFB' = ⇒ V A ' B ' CF + Vậy : a2 SCBB ' = a a a3 = = 24 VCA'B'FE a3 = 16 + Bài tập lấy từ 10/27 SGK 12 thay đổi số giả thiết Elà trung điểm thay cho trọng tâm G để toán dễ hơn, phù hợp với khả học sinh +Sau gợi ý giúp học sinh tính thể tích khối A’CEF, học sinh tính thể tích khối A’B’CF 3) Bài tập dạng: Tính thể tích khối đa diện cách lập tỉ số thể tích hai khối đa diện Phương pháp: + Tìm tỉ số thể tích khối đa diện cho với khối đa diện dễ tìm thể tích + Rút thể tích khối đa diện cho + Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong Bài toán thể tích-hình học lớp 12 Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC = a , SA vuông góc với đáy, SA = a a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Gọi G trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng α qua AG song song với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN Lời giải: S VS ABC = S ABC SA SA = a a)Ta có: + + ∆ABC cân có : AC = a ⇒ AB = a G ⇒ S ABC = a A C M 1 a3 I Vậy: VSABC = a a = Yêu cầu: +Học sinh ghi thể tích khối B b) Gọi I trung điểm BC SABC tính SG = G trọng tâm,ta có : +Biết dùng định lý Talet tìm tỉ lệ đoạn SI thẳng để lập tỉ số thể tích hai khối α // BC ⇒ MN// BC + Nắm công thức (*) để lập tỉ số thể tích SM SN SG khối chóp ⇒ = = = SB SC SI V SM SN ⇒ SAMN = = VSABC SB SC N 2a Vậy: VSAMN = VSABC = 27 Nhận xét: +Một số học sinh không nhớ tính chất trọng tâm tam giác, chưa thành thạo định lý Talet +Qua toán đơn giản học sinh tiếp cận cách tính thể tích khối thông qua khối khác để chuyển qua toán khó sách giáo khoa Bài 7: (Bài 9/26 Sgk) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F a) Hãy xác định mp(AEMF) b) Tính thể tích khối chóp S.ABCD c) Tính thể tích khối chóp S.AEMF S Lời giải: a) Gọi I = SO ∩ AM Ta có (AEMF) //BD ⇒ EF // BD M B I C F + ∆SOC có : SO = AO.tan 60ο = O A VS ABCD = S ABCD SO + S ABCD = a b) E D gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong a Bài toán thể tích-hình học lớp 12 a3 = Vậy : VS ABCD Yêu cầu: +Học sinh dựng E, F pháp vấn c) VS AEMF : giáo viên +Tính thể tích khối S.ABCD sau Xét khối chóp S.AMF S.ACD SM làm qua nhiều tập = Ta có : ⇒ +Giáo viên gợi ý tính thể tích khối S.AMF SC Từ học sinh biết cách tính thể tích khối ∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên: S.AMF cách lập tỉ số ( tương tự SI SF ⇒ = = 5) SO SD V SM SF ⇒ SAMF = = VSACD SC SD 1 a3 ⇒ VSAMF = VSACD = VSACD = 36 ⇒ VS AEMF a3 a3 =2 = 36 18 Nhận xét: +Học sinh gặp khó khăn xác định E,F +Học sinh biết cách sử dụng định lý Talet +Sau làm 6, học sinh tiếp thu số dễ dàng Bài 8: (Bài 5/26 Sgk) Cho tam giác ABC vuông cân A AB = a Trên đường thẳng qua C vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD = a Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD F cắt AD E a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE ⊥ ( ABD) c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF Lời giải: D F C E B Yêu cầu: A minh +Học sinh chứng đường thẳng vuông góc mặt phẳng DE +Nắm nhu cầu tính tỉ số , DA DF DB +Biết dụng hệ thức tam giác vuông a)Tính VABCD Ta có: 1 VABCD = S ABC AD = a 3 b) Ta có: AB ⊥ AC , AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ EC Ta có: DB ⊥ EC ⇒ EC ⊥ ( ABD) c) Tính VDCEF : VDCEF DE DF = (*) VDABC DA DB Mà DE.DA = DC , chia cho DA2 DE DC a2 ⇒ = = = 2 DA DA 2a Tương tự: Ta có: gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong Bài toán thể tích-hình học lớp 12 để suy DE DA DF DC a2 = = = 2 DB DB DC + CB Từ (*) ⇒ VDCEF = VDABC a3 VDCEF = VABCD = 36 Vậy Nhận xét: + Kỷ chứng minh đường thẳng vuông góc mặt phẳng chưa tốt DE DC + Giáo viên giúp học sinh rút tỉ số từ hệ thức DE.DA = DC tam giác = DA DA vuông khắc sâu để sử dụng Bài 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, SA = a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Chứng minh SC ⊥ ( AB ' D ') c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’ Lời giải: S a) Ta có: VS ABCD a3 = S ABCD SA = 3 b) Ta có BC ⊥ ( SAB ) ⇒ BC ⊥ AB ' SB ⊥ AB ' Ta có AB ' ⊥ ( SBC ) Suy ra: B' C' D' c) Tính I B A +Tính VS AB ' C ' : VSA ' B ' C ' SB ' SC ' = (*) VSABC SB SC SC ' = ∆SAC vuông cân nên SC SB ' SA2 2a 2a 2 Ta có: = = = = SB SB SA + AB 3a VSA ' B ' C ' = Từ (*) ⇒ VSABC Ta có: O Yêu cầu: +Học sinh biết chứng minh AB ' ⊥ ( SBC ) + Biết phân thành hai khối chóp nhau: S AB ' C ', S AC ' D ' + Sử dụng tỉ số để giải C D VS A B 'C ' D ' a3 a ⇒ VSA ' B 'C ' = = 3 + VS A B 'C ' D ' = 2VS A B 'C ' 2a = Nhận xét: gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong Bài toán thể tích-hình học lớp 12 + Bài toán lấy từ tập 8/26 sách giáo khoa Tuy nhiên, thay đổi số giả thiết để phù hợp với khả học sinh: “Hình chữ nhật” thay hình vuông cạnh a, “Cạnh SA=c” thay " SA = a " Nếu giữ nguyên kích thước việc tính toán nặng +Sau làm 8, học sinh tiếp thu toán dễ dàng nhẹ nhàng 4)Bài tập nhà: Bài 1: Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên tạo với đáy góc 60ο Tính thể tích khối chóp S.ABC Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC giác cạnh a, SA vuông góc đáy, SA= a Gọi H trực tâm tam giác ABC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính độ dài đường cao đỉnh A SABC Bài 3: Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có AB=a, BC= a , góc AC’ mp(A’A’C’D’) 30ο M trung điểm AD a) Tính thể tích khối hộp chữ nhật b) Tính thể tích khối MACB’ Bài : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh a a) Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’, khối tứ diện A.A’B’C’ b) Tính thể tích khối CBA’B’ Bài 5: Cho hình chóp SABC có tam giác SBC ABC cạnh a Góc mp(SBC) mp(ABC) 60ο Tính thể tích khối chóp SABC Bài 6: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , tam giác ABC vuông cân A, BC = a , SA=2a E trung điểm SB, F hình chiếu A lên SC a) Tính thể tích khối chóp S.ABC b) Tính thể tích khối SAEF c) Tính khoảng cách từ H đến mp(SAE) Bài 7: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, cạnh bên 2a, M trung điểm SB a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.DCM c) Mặt phẳng(MCD) cắt SA N Tính thể tích khối chóp S.MNDC Bài 8: Cho hình chóp S.ABCD có SA vuông góc với đáy, ABCD hình chữ nhật, AB = 2BC=a, SA= a a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) AH, AK đường cao tam giác SAB SAD Tính thể tích khối S.AHK C.Kết quả: Với thời lượng tiết tập, hướng dẫn giáo viên kết hợp thảo luận trao đổi với nhau, học sinh giải tập mà sau có hay vài yêu cầu tương tự tập trước giúp học sinh nắm, hiểu, làm lớp Kết quả, học sinh tích cực tham gia giải tập, nhiều em tiến bộ, nắm vững kiến thức Cụ thể sau: 10 gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong ... thể tích + Rút thể tích khối đa diện cho + Lưu ý công thức tỉ số thể tích dùng cho khối chóp gv :Trần Khánh Long-THPT Lê Hồng Phong Bài toán thể tích- hình học lớp 12 Bài 6: Cho hình chóp S.ABC... Phong Bài toán thể tích- hình học lớp 12 Nhận xét: + Học sinh gặp nhiều khó khăn phân chia khối, giáo viên hướng dẫn + Bài toán lấy từ tập 3/25 sách giáo khoa thay đổi giả thiết hình hộp” thành hình. .. Long-THPT Lê Hồng Phong Bài toán thể tích- hình học lớp 12 + Bài toán lấy từ tập 8/26 sách giáo khoa Tuy nhiên, thay đổi số giả thiết để phù hợp với khả học sinh: Hình chữ nhật” thay hình vuông cạnh