TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN NGUYỄN HỒNG NHUNG BÀI TOÁN LOGARIT RỜI RẠC VÀ ỨNG DỤNG TRONG MẬT MÃ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Người hướng dẫn khoa học TS Trần Vĩnh Đức Hà Nội - 2015 Em xin chân thành cảm ơn Thầy giáo Trần Vĩnh Đức tận tình hướng dẫn, giúp đỡ cm suốt thời gian thực hiộn khóa luận Em xin chân thành cảm ơn thầy, cô tổ ứng dụng-khoa Toán, trường Dại học sư phạm Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn gia đình bạn bè tạo điều kiện thuân lợi cho em trình thực khóa luận Em xin chân thành cảm ơn LỜI CẢM ƠN Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Hồng Nlmng Em xin cam đoan, hướng dẫn Thầy giáo Trần Vĩnh Dức khóa luận "Bài toán logarit rời rạc ứng dụng mật mã" hoàn thành không trùng với đề tài khác Trong trình hoàn thành khóa luận, em thừa kế thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh vicn Nguyễn Hồng Nhung Mục lục MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài toán logarit rời rạc có ứng dụng quan trọng thực tiễn, xuất sở phát triển khoa học kĩ thuật yêu cầu đòi hỏi thực tế Đặc biệt toán logarit rời rạc có ứng dụng quan trọng mật mã Với mong muốn sâu tìm hiểu vồ môn góc độ sinh viên sư phạm Toán phạm vi khóa luận tốt nghiệp với hướng dẫn thầy giáo - TS Trần Vĩnh Dức, em xin trình bày hiểu biết vồ đồ tài "Bài toán logarit rời rạc ứng dụng mật mã." Mục đích nghiên cứu Quá trình thực đề tài bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, tìm hiổu sâu toán logarit rời rạc ứng dụng mật mã Nhiệm vụ nghiên cứu Dề tài nghicn cứu nhằm sâu khai thác ứng dụng toán logarit rời rạc mật mã Phương pháp nghiên cứu Dề tài hoàn thành dựa kết hợp phương pháp: nghiên cứu lí luận, phân tích, tống hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo khóa luận bao gồm chương: Chương 1: Tong quan lí thuyết nhóm Chương 2: Dài toán logarit rời rạc ứng dụng mật mã Chương Tổng quan lý thuyết nhóm Chương giới thiộu tổng quan vài kốt lý thuyết nhóm có ứng dụng toán logarit rời rạc Trước hết, ta nói lũy thừa phần tử F* (với Fp = {0,1, ,p — 1}, p nguyên tố trường) lũy thừa đơn giản việc lặp lại phép nhân Chúng ta nhấn mạnh số đặc trưng quan trọng phép nhân F* vài tính chất Các tính chất là: • Có phần tử G thỏa mãn l.a = a với a G F* • Mỗi a G F* có nghịch đảo a~l G F* thỏa mãn a.a~l = a~l.0, = • Phép nhân có tính kết hợp: a.(b.c) = (a.b).c với a, 6, c G F* • Phcp nhân có tính giao hoán: a.b = b.a với a, b G F* Giả sử thay phép nhân F* phép cộng ¥p Ta thay vị trí số —a vị trí a-1 Khi tất bốn tính chất đúng: • + a = a với a G Fp Mỗi a E ¥p có phần tử đối — a G ¥p với a + (—a) = (—a) + a = • Ngoài có tính kết hợp, a + (b + c) = (a + b) + c với a, 6, c G Fp • Ngoài có tính giao hoán, a + b = b + a với a, b G ¥p Định nghĩa 1.1 Một nhóm gồm, m,ột tập G phép toán, mà chúng biểu thị ★, kết hợp hai phần tử a, b G G để có (ỈUỢc phần tử a * b G G Phép toán -k yêu cầu phải có ba tính chất sau đây: [ Nhân với phần tử đơn vị] Có e £ G cho e* a = a* e = a với a G G [Nhân với phần tử nghịch đảo] Dối với a G G có (duy nhất) a~ l G G thỏa mãn a ★ a~ l = a~ l ★ a = e [Kết hỢp] a ★ (b ★ c) = (a *b)* c với a, 5,cG G Ngoài ra, phần tử thỏa mẫn [Luật giao hoán] a-kb — b* a với a,b G ơ, nhóm, gọi m,ột nhóm, giao hoán nhóm, abel Nếu G cố hữu hạn phần tử, ta nói G nhóm, hữu hạn Bậc G số phần tử G; ký hiệu \G\ Ví dụ 1.1 Nhóm có mặt khắp nơi toán học khoa #G học tự nhiên Dưới m,ột số ví dụ: (a) G = F* * = phép nhân Phần tử đơn vị ỉ,à e = 1,phần tử nghịch đảo tồn G ỉà nhóm hữu hạn có bậc p — (b) G = 'LỊN7J * = phép cộng Phần tử đơn vị e — phần tử đối a —a G ỉ,à nhóm, hữu hạn cố bậc N Kìióa luận tốt nyỉiiệp (c) G = z * = phép cộng Phần tử đơn vị e = phần hi đối nhóm, phép nhân bên z a —0, Nhỏm, G nhóm, vô hạn (d) Chú ý G = z * = phép nhân hầu hết phần tử phần tử nghịch đảo (e) Tuy nhiên, G = M* ★ = phép nhân nhóm,, tất phần tử cố phần tử nghịch đảo phép nhân bên K* (Ị) Một ví dụ nhóm, không giao hoán : a, 6, c, d G K ad — bc 7^ G với phép toán * = phép nhân ma trận Phần tử đơn vị ỉ,à e = nghịch đảo cho công thức quen thuộc Chú ý G nhóm không giao hoán, ví dụ (g) Tổng quát hơn, ta sử dụng ma trận có kích thước Diều tạo nhóm tuyến tính tểng quát GL n (R) = ịm,a trận vuông A cấp n với hệ số thực det(A) Ỷ 0} phép toán * = phép nhân ma trận Ta tạo nhóm, khác cách thay K với số trường khác, ví dụ trường hữu hạn ¥p Nguyễn Hồng luận nyỉiiệp Cho g phần tử Kìióa nhóm G tốt cho X số nguycn dương Khi đóg x có nghĩa làNguyễn Hồng ta áp dụng phép toán nhóm X lần tới phần tử g , g x = g * g * g * .*g ^ V ^ X lần lặp lại Nếu X số nguycn âm, ta định nghĩa gx g° = e phần {g~1)~x Cho X = 0, tập tử đơn vị G Định nghĩa 1.2 Cho G nhỏm, cho a phần £ G tử số nguyên dương d, với a d = e số d nhỏ nhóm Giả sử tồn gọi bậc a Nếu d, vậy, a cho cố bậc vô hạn Mệnh đề 1.1 Cho G ỉ,à nhóm, hữu hạn Thì m,ỗi phần tử G cỏ bậc hữu hạn Ngoài ra, a G G có bậc d a k — e, d I k Chứng minh Vì G hữu hạn, dãy a, a2, a3, a4, cuối phải có lặp lại Nghĩa tồn số nguyên dương ỉ j với ỉ < j cho aĩ = aJ Nhân hai vế với a _ỉ áp dụng tính chất nhóm ta al~^ — e Khi i — j > 0, gọi d số mũ dương nhỏ thỏa mãn a d = e Bây giả sử k > d thỏa mãn ak = e Chúng ta chia k cho d, đc có k = dq + r với < r Sử dụngak = ad = [...]... m,ột số nguyên m giữa 2 và p — 1, trong khi văn bản viết thành mật m,ẫ bao gồm, hai số nguyên Cị và C2 trong cùng khoảng biến thiên 2.4 Bài toán logarit rời rạc khó đến mức nào? Ký hiệu bậc đã được phát minh ra để thực hiện những ý tưởng chính xác Nó phổ biến khắp toán học và khoa học máy tính và cung cấp một cách tiện dụng để có được sự thu hút về độ lớn của con số Kìióa luận tốt nyỉiiệp Nguyễn Hồng... đúng Nói chung, đối với bất kỳ g G và bất kỳ h £ ¥*, bài toán logarit rời rạc là xác định một số mũ X thỏa mẫn g x = h mocl p, giả sử rằng tồn tại X Định nghĩa 2.2 Cho G là một nhóm, với phép nhân * Dài toán logarit cho G là bài toán có đầu vào ỉà hai phần tử g G G và h G G Tìm số nguyên X thỏa mãn: g*g*g* *g = h ^ V ^ X lần 2.2 Diffĩe-Hellman trao đối khóa bảo mật Thuật toán Diffie-Hellman trao đổi giải... dàng cho cô ấy để tính toán khóa chia sỏ gab của họ (Trong thực tế, Evc cần phải tính toán duy nhất a và b.) Nhưng chuyện này là chưa rõ ràng 2.3 Hệ thống mật mã khóa công khai ElGamal Trong phần này chúng ta mô tả phiên bản hệ thống mật m,ã khóa công khai của ElGamal (PKC ElGamal) được dựa trên bài toán logarit rời rạc cho F* PKC ElGamal là ví dụ đầu tiên của ta về một hệ thống mật mã khóa công khai Alice... “các” logarit rời rạc như các số nguyên X nằm giữa 0 và p — 2 thỏa mãn g x = h mod p Chú ý 2.2 Không khó để chứng minh rằng log g (ab) = log g (a) + log g (b) với mọi a,b G F* Trong thuật ngữ toán học, logarit rời rạc logg là phép đẳng cấu nhóm từ F* đến z/ ( p — 1)Z Ví dụ 2.1 Số p = 56509 là số nguyên tố, và ta kiểm, tra xem, g = 2 có là một căn nguyên thủy mô đun p Làm, thế nào để tính toán ỉogarit rời. .. bậc là số nguycn tố và xấp xỉ p/2 Định nghĩa 2.3 Cho p ỉ,à một số nguyên tố và g là một số nguyên Dài toán Diffie-Hellrnan (DHP) ỉà bài toán tính toán giá trị g ab mod p từ các giá trị đã biết g a mod p và g b mod p Rõ ràng là DHP không khó hơn DLP Nếu Eve có thể giải quyết DLP, thì cô ấy có thể tính toán số mũ bí mật a và b của Alice và Bob cắt ra từ các giá trị Ả = ga và D = gb, và sau đó nó rất dễ... cách sử dụng nỏ đê giải quyết bài toán ỉogarit rời rọ,c g x = h trong F* với g — 9704, h — 13896, và p = 17389 Số 9704 có bậc 1242 trong F^7389 Dặt n = ịy/ 1242J + 1 và u = g~ n = 9704-36 = 2494 Bảng 2.1 dẫy các giá trị của g k và h.u k khỉ k = 1,2, Từ bảng, chúng ta tìm, thấy sự va chạm, Nguyễn Hồng Kìióa luận tốt nyỉiiệp Nguyễn Hồng 97047 = 14567 = 13896.249432 trong F17389 Dằng cách sử dụng m,ột... Alice và Bob muốn chia sẻ một khóa bí mật để sử dụng trong một thuật toán mã hóa đối xứng, nhưng phương tiện truyền thông duy nhất của họ không an toàn Mỗi mẩu thông tin mà họ trao đổi được quan sát bởi đối thủ của họ là Eve Làm thế nào Alice và Bob có thể chia sẻ một chìa khóa mà Eve không thể thấy? Thoạt nhìn nó dường như Alice và Bob phải đối mặt với một nhiộm vụ không thể Khi đó thấy rằng bài toán logarit. .. khai và một thuật toán Khóa công khai chỉ đơn giản là một con số, và các thuật toán là phương pháp mà Bob mã hóa thông tin của mình bằng cách sử dụng khóa công khai của Alice Alice không tiết lộ khóa riêng của mình Các khóa riêng cho phép Alice giải mã các thông tin đã được mã hóa bằng khóa công khai của mình Kìióa luận tốt nyỉiiệp Nguyễn Hồng Vì PKC ElGamal, Alice cần một số nguyên tố lớn p mà bài toán. .. A và D, vì chúng được gửi qua các kênh truyền thông không an toàn Cuối cùng, Bob và Alice một lần nữa sử dụng số nguyên bí mật của họ để tính toán A' = Da mod p và D' = Ab mod p s ' -V ' V -' Alice tính toán này Bob tính toán này Các giá trị mà họ tính toán, A và D tương ứng, thực sự giống nhau, khi đó A' = D a = (g l ’Ỵ = g ab = (g“) b = A h = D' mod p Giá trị chung này là chìa khoá. .. là một vài ví dụ kí hiệu về o lớn (a)x2 + ựx = 0(x2) (,c)k 300 = 0(2 k ) (d)(ỉnkf 75 = O(k omi ) (6)5 + 6x2 — 37x5 = ơ(x5) (e)k 2 2 k = ơ(e 2k ) (f)N ỉ0 2 N = 0(e N ) 2.5 Kìióa luận tốt nyỉiiệp Nguyễn Hồng Thuật toán va chạm cho DLP Trong phần này, chúng ta mô tả một thuật toán logarit rời rạc do Shanks Nó là một thuật toán ví dụ về sự va chạm, hoặc giao ở giữa Thuật toán của Shanks làm viộc trong ... Chương Bài toán logarit rời rạc ứng dụng mật mã 2.1 Bài toán logarit rời rạc Bài toán logarit rời rạc toán xuất nhiều dạng, bao gồm dạng mod p mô tả phần dạng đường cong elliptic hiộn sử dụng rộng... với việc nghiên cứu khoa học, tìm hiổu sâu toán logarit rời rạc ứng dụng mật mã Nhiệm vụ nghiên cứu Dề tài nghicn cứu nhằm sâu khai thác ứng dụng toán logarit rời rạc mật mã Phương pháp nghiên cứu... đề tài Bài toán logarit rời rạc có ứng dụng quan trọng thực tiễn, xuất sở phát triển khoa học kĩ thuật yêu cầu đòi hỏi thực tế Đặc biệt toán logarit rời rạc có ứng dụng quan trọng mật mã Với