Một số chuyên đề nâng cao số học A Phần mở đầu Số học môn hấp dẫn, lí thú nhng không phần rắc rối Đây môn học em đợc làm quen từ nhỏ, từ biết làm phép tính đếm, thực đợc phép tính cộng, trừ, nhân, chia Đối với em học sinh lớp lần em làm quen với kiến thức số nguyên tố_ hợp số Nhằm giúp em hiểu sâu vấn đề số học nh số nguyên tố _ hợp số, toán điền chữ số, phơng pháp tìm chữ số tận lũy thừa Đây dạng toán không đòi hỏi suy luận thông minh, lập luận chặt chẽ sở sơ đồ ra, việc giải toán giúp phát triển t duy, cách suy nghĩ sáng tạo Đối với thân em, xác định sau trờng giáo viên giảng dạy môn toán_tin, tài liệu bổ ích sử dụng để tham khảo trình giảng dạy, bồi dỡng học sinh giỏi Với giúp đỡ, bảo tận tình thầy giáo, Thạc sĩ_NCS Nguyễn Quang Hòe em chọn đề tài Một số chuyên đề nâng cao số học Đề tài gồm chuyên đề: Chuyên đề 1: Số nguyên tố_ hợp số Chuyên đề 2: Điền chữ số Chuyên đề 3: Tìm chữ số tận số lũy thừa Vì điều kiện hạn hẹp, không đủ tài liệu, lần em làm đề tài nghiên cứu nên không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận đợc giúp đỡ, góp ý thầy, bạn để đề tài đạt đợc kết cao Hy vọng tài liệu bổ ích để em học sinh, giáo viên môn toán THCS tham khảo Em xin chân thành cảm ơn! Đồng Hới, ngày 15 tháng 12 năm 2008 Sinh viên thực Nguyễn Thị Thanh Hiệu b.Phần nội dung SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 Một số chuyên đề nâng cao số học Chuyên đề 1: Số nguyên tố-hợp số i Một số vấn đề lịch sử số nguyên tố Số nguyên tố đợc nghiên cứu từ nhiều kỉ trớc công nguyên nhng nhiều toán số nguyên tố cha đợc giải trọn vẹn 1) Sàng Ơratosten (Euratosthene) Làm để tìm đợc tất số nguyên tố giới hạn đó, chẳng hạn từ đến 100 ? Ta làm nh sau: Trớc hết xóa số Giữ lại số xóa tất bội mà lớn Giữ lại số xóa tất bội mà lớn Giữ lại số (số bị xóa) xóa tất bội mà lớn Giữ lại số (số bị xóa ) xóa tất bội mà lớn Các số 8, 9, 10 bị xóa Không cần xóa tiếp bội số lớn 10 kết luận đợc không hợp số Thật vậy, giả sử n hợp số chia hết cho số a lớn 10 n10 nên n phải chia hết cho số b nhỏ 10, n bị xóa Nhà toán học cổ Hi Lạp Ơratoxten (thế kỉ III trớc công nguyên) ngời đa cách Ông viết số giấy cỏ sậy căng khung dùi thủng hợp số đợc vật tơng tự nh sàng: hợp số đợc sàng qua, số nguyên tố dợc giữ lại Bảng số nguyên tố đợc gọi sàng Ơratoxten Ví dụ: Dùng bảng số nguyên tố nhỏ 100, nêu cách kiểm tra số nhỏ 10000 có số nguyên tố không ? Xét toán với số 259, 353 Giải Cho số n < 10000 (n>1) Nếu n chia hết cho số k (1 n 2n - có số nguyên tố Ta có mệnh đề sau: Nếu n >5 n 2n có số nguyên tố ví dụ Cho số tự nhiên n > Chứng minh số n! - có ớc nguyên tố lớn n Giải Gọi a = n! - Do n > nên a > Mọi số tự nhiên lớn có ớc nguên tố Gọi p ớc nguyên tố a ta chứng minh p > n Thật giả sử p n tích n chia hết cho p, ta có n! chia hết cho p, mà a chia hết cho p nên chia hết cho p, vô lí 3) Công thức cho số nguyên tố Ví dụ: a) Chứng minh số nguyên tố m lớn viết đợc dới dạng 6n + 6n - ( n N ) b) Có phải số có dạng 6n ( n N ) số nguyên tố hay không? SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 Một số chuyên đề nâng cao số học Giải: a) Mỗi số tự nhiên chia cho có số d 0, 1, 2, 3, , Do số tự nhiên viết đợc dới dạng 6n 2, 6n 1, 6n, n + 1, n + 2, n + Vì m số nguyên tố lớn nên m không chia hết cho 2, không chia hết cho 3, m dạng 6n 2, 6n, 6n + 2, 6n + m viết đợc dới dạng 6n +1 6n - (ví dụ: 17 = - 1, 19 = + 1) b) Không phải số có dạng 6n 1(n N ) số nguyên tố Chẳng hạn + 1= 25 không số nguyên tố (đpcm) Liệu có công thức mà với giá trị tự nhiên chữ cho ta số nguyên tố không ? Cho đên nay, ngời ta cha tìm thấy công thức nh Tuy nhiên có số biểu thức mà với nhiều giá trị chữ, biểu thức cho ta số nguyên tố Biểu thức 2n + 29 cho ta giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, ,28 Biểu thức n + n + 41 Ơ_le (Euler 1707 - 1783) đa cho giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, , 39 (còn n = 40 402 + 40 + 41 = 40(40 + 1) + 41 chia hết cho 41) Biểu thức n 79n + 1601 cugx cho giá trị nguyên tố với n = 0, 1, 2, , 79 (còn với n = 80 biểu thức 412) Số Phec-ma Nhà toán học kiêm luật gia Pháp Phec- ma (Pierre de Fermat 1601 - 1665) xét biểu thức 2m +1 m = 2n với n = 0, 1, 2, 3, cho số nguyên tố + = 3, 22 + = 5, 24 + = 17, 28 + =257, 216 + = 65537 Với n = 5, đợc số 232 + = 4294967297, Phec- ma cho số nguyên tố ông đa giả thuyết: Biểu thức 2m + với m lũy thừa cho ta số nguyên tố ý kiến đứng vững lâu Mãi đến năm 1732, Ơ- le bác bỏ giả thuyết cách số 232 + chia hết cho 641 Đây ví dụ điển hình chứng tỏ phép quy nạp không hoàn toàn dẫn đến sai lầm Các số có dạng 2m + với m lũy thừa đợc gọi số Phec- ma 4) Biểu diễn số dới dạng tổng số nguyên tố Năm 1742 nhà toán học Đức Gôn_bách viết th báo cho Ơ_le biết ông mạo hiểm đa toán: số tự nhiên lớn biểu diễn đợc dới dạng tổng số nguyên tố Ơ_ le trả lời theo ông, số chẵn lớn biểu diễn đợc dới dạng tổng số nguyên tố chứng minh đợc hai mệnh đề chứng minh đợc mệnh đề lại Trong 200 năm, nhà toán học giới không giải đợc toán Gôn bách- Ơ le Đến năm 1937, nhà toán học Liên Xô Vinôgrađốp giải gần SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 Một số chuyên đề nâng cao số học trọn vẹn toán cách chứng minh rằng: Mọi số lẻ đủ lớn biểu diễn đợc dới dạng tổng số nguyên tố Cho đến toán Gônbách- Ơ le cha đợc chứng minh hoàn toàn Ví dụ Công nhận mệnh đề nói Ơ le, chứng minh toán Gôn bách Giải Cho số tự nhiên n > 5, ta chứng minh n viết đợc dới dạng tổng số nguyên tố Xét hai trờng hợp: a) Nếu n chẵn n = + m với m chẵn, m > b) Nếu n lẻ n = + m với m chẵn, m > Theo mệnh đề Ơ le, m chẵn, m > nên m viết đợc dới dạng tổng số nguyên tố II Số nguyên tố-hợp số A.Tóm tắt lý thuyết 1.Số nguyên tố số tự nhiên lớn có ớc dơng Số nguyên tố nhỏ 2, số nguyên tố chẵn nhất.Tất số nguyên tố lại số lẻ 2.Hợp số số tự nhiên lớn có nhiều ớc dơng Ước nguyên tố nhỏ hợp số a số không vợt a Phân tích số thừa số nguyên tố viết số dới dạng tích nhiều thừa số, thừa số số nguyên tố lũy thừa số nguyên tố Dù phân tích thừa số thừa số nguyên tố cách cuối ta đợc kết Hai hay nhiều số đợc gọi nguyên tố UCLN chúng Hai số tự nhiên liên tiếp hai số nguyên tố hệ Số a>1 ớc nguyên tố từ đến a a số nguyên tố Tập hợp số nguyên tố vô hạn B.các dạng toán Dạng sử dụng tính chất phép chia số nguyên i)Trong n số nguyên liên tiếp có số chia hết cho n ii) Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n iii) Mọi số nguyên tố lớn có dạng 6n SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 Một số chuyên đề nâng cao số học Cho p số nguyên tố số 8p+1 8p-1 số nguyên tố, hỏi số nguyên tố thứ số nguyên tố hay hợp số? Giải Với p =3 ta có 8p+1=25 hợp số, 8p-1 số nguyên tố Với p ta có 8p-1,8p,8p+1 số nguyên tố liên tiếp nên có số chia hết cho 3.Do p nguyên tố khác nên 8p không chia hết cho 3,do 8p-1 8p+1 có số chia hết cho Vậy số thứ hợp số Bài Hai số 2n 2n + (n>2) đồng thời số nguyên tố đợc không? Tại sao? Giải Trong số nguyên liên tiếp 2n 1, 2n , 2n + có số chia hết cho 3, nhng 2n không chia hết cho 3, 2n 2n + có số chia hết cho lớn Vậy 2n 1, 2n + không đồng thời số nguyên tố Bài Chứng minh p p+2 hai số nguyên tố lớn tổng chúng chia hết cho 12 Giải Ta có: p+(p+2)=2(p+1) p số nguyên tố lớn nên p số nguyên tố lẻ suy ra: p + 1M2 2( p + 1)M4 * p, p+1, p+2 số nguyên liên tiếp nên có số chia hết cho 3, mà p p+2 không chia hết cho nên: p + 1M3 2( p + 1) M3 ** Từ * và** suy ra: 2( p + 1)M12 (đpcm) Bài Tìm số nguyên tố p cho p+10 p+14 số nguyên tố Giải Với p=3 p+3=13 p+14=17 số nguyên tố Với p>3 p = 3k Nếu p = 3k + p + 14 = 3k + 15M3 ; Nếu p = 3k p + 10 = 3k + 9M3 ; Vậy với p = p + 10 p + 14 số nguyên tố Bài a) Tìm số lẻ liên tiếp số nguyên tố b) Tìm số nguyên tố p cho p vừa tổng vừa hiệu hai số nguyên tố giải SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 Một số chuyên đề nâng cao số học a) Trong số lẻ liên tiếp có số chia hết cho Vậy số nguyên tố cho phải có số chia hết cho số nguyên tố lẻ liên tiếp 3, 5, b) giả sử p = p1 + p2 = p3 + p4 với p1 , p2 , p3 , p4 số nguyên tố Vì p1 , p2 số nguyên tố nên p > , suy p lẻ Trong hai số p1 , p2 phải có số chẵn, hai số p3 , p4 phải có số chẵn Chẳng hạn p2 = p4 = Khi đó: p = p1 + = p3 p4 + = p3 Ta có p1 , p1 + 2, p1 + số nguyên tố lẻ liên tiếp nên theo câu a) p1 = từ p = Thử lại: = + = Bài Tìm số tự nhiên k để dãy: k + 1, k + 2, k + 3, , k + 10 chứa nhiều số nguyên tố giải Với k=0 ta có dãy 1, 2,3, ,10 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, Với k =1 ta có dãy 2, 3, 4, , 11 chứa số nguyên tố 2, 3, 5, 7, 11 Với k=2 ta có dãy 3, 4, 5, , 12 chứa số nguyên tố 3, 5, 7, 11 Với k dãy k + 1, k + 2, k + 3, , k + 10 chứa số lẻ liên tiếp, số lẻ lớn nên chia có số chia hết cho 3, mà số chẵn dãy hiển nhiên không số nguyên tố Vậy dãy số nguyên tố Tóm lại k=1 dãy k + 1, k + 2, , k + 10 chứa nhiều số nguyên tố Bài Ta gọi p,q hai số tự nhiên liên tiếp, p q số nguyên tố khác Tìm số nguyên tố liên tiếp p, q, r cho p + q + r số nguyên tố giải Nếu số nguyên tố p, q, r khác p, q, r có dạng 3k suy p , q , r chia cho d Khi p + q + r M3 p + q + r > nên p + q + r hợp số Vậy p=3, q=5, r=7, p + q + r = 32 + 52 + 72 = 83 số nguyên tố Bài tìm số nguyên tố cho p q + q p = r giải giả sử có số nguyên tố p, q, r cho p q + q p = r Khi r > nên r số lẻ, suy p, q không tính chẵn lẻ Giả sử p=2 q số lẻ Khi ta có 2q + q = r Nếu q không chia hết cho q (mod 3) Mặt khác q lẻ nên 2q (mod 3), từ suy 2q + q M3 r M3 , vô lí Vậy q=3, lúc r = 23 + 32 = 17 số nguyên tố SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 Một số chuyên đề nâng cao số học Vậy p = 2, q = 3, r = 17 p = 3, q = 2, r = 17 Bài a) Chứng minh số d phép chia số nguyên tố cho 30 là số nguyên tố Khi chia cho 30 kết sao? b) Chứng minh tổng n lũy thừa bậc số nguyên tố lớn số nguyên tố (n,30)=1 Giải a) Giả sử p số nguyên tố p = 30k + r với < r < 30 Nếu r hợp số r có ớc nguyên tố q 30 q = 2;3;5 Nhng với q =2; 3; q lần lợt chia hết cho 2; 3; 5, vô lí.Vậy r=1 r số nguyên tố Khi chia cho 60 kết không nữa, chẳng hạn p= 109= 60.1+ 49, 49 hợp số b) Số nguyên tố p chia cho 30 d 1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Với r=1, 11, 19, 29 p (mod 30) Với r =7, 13, 17, 23 p 19 (mod 30) Suy p (mod 30) Giả sử p1, p2 , pn số nguyên tố lớn Khi q = p14 + p2 + + pn n(mod 30) q = 30k + n số nguyên tố nên (n,30)=1 Bài 10 Tìm tất ba số nguyên tố a, b, c cho abc < ab + bc + ca Giải Vì a, b, c có vai trò nh nên giả sử a b c Khi ab + bc + ca 3bc abc < 3bc a < a = (vì a số nguyên tố) Với a =2 ta có 2bc < 2b + 2c + bc bc < 2(b + c) 4c b < b = b=3 Nếu b=2 4c < + 4c thõa với c số nguyên tố Nếu b=3 6c < + 5c c < c = c = Vậy cặp số (a, b, c) cần tìm (2, 2, p), (2, 3, 3), (2, 3, 5) hoán vị chúng, với p số nguyên tố Bài 11 Cho dãy số nguyên dơng a1 , a2 , , an đợc xác định nh sau: a1 = , an ớc nguyên tố lớn a1a2 a3 an + với n Chứng minh ak với k SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 Một số chuyên đề nâng cao số học Giải Ta có a1 = 2, a2 = , giả sử với n mà có số ớc nguyên tố lớn số A = 2.3.a3 an1 + A chia hết cho 2, cho Vậy xảy A = 5m với m , suy A = 5m 1M4 Mà A = 2.3.a3 an1 không chia hết cho a3, an1 số lẻ, vô lí Vậy A ớc nguyên tố 5, tức ak , k N * Bài 12 Tìm tất số nguyên tố p để p + p số nguyên tố giải p Với p=2 ta có + p = 22 + 22 = không số nguyên tố Với p=3 ta có p + p = +32 = 17 số nguyên tố Với p>3 ta có p + p = ( p 1) + (2 p + 1) Vì p lẻ p không chia hết p 1M3 p + 1M3 , p + p hợp số Vậy, với p=3 p + p số nguyên tố Dạng áp dụng định lí fermat p số nguyên tố (a,p)=1 a p (mod p) Bài Nhà toán học Pháp Fermat đa công thức 22 n + để tìm số nguyên tố với n tự nhiên Hãy tính giá trị công thức n=4 Với giá trị chứng tỏ ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu cuối tổng chữ số lại b) Tổng bình phơng chữ số số phơng c) Hiệu tổng bình phơng hai chữ số đầu cuối với tổng bình phơng chữ số lại tổng chữ số số giải Ta thay n= vào công thức Fermat đợc: 22 + = 65537 số nguyên tố 2.Số nguyên tố 65537 có ba tính chất sau: a) Tổng hai chữ số đầu cuối 6+7=13 tỏng ba chữ số lại 5+5+3=13 SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 Một số chuyên đề nâng cao số học b) Tổng bình phơng chữ số 62 + 52 + 52 + 32 + = 36 + 25 + 25 + + 49 = 144 số phơng 144 = 122 c) Tổng bình phơng hai chữ số đầu cuối 62 + 72 = 36 + 49 = 85 Tổng bình phơng ba chữ số lại 52 + 52 + 32 = 25 + 25 + = 59 Tổng chữ số + + + + = 26 Ta nhận thấy 85 59 = 26 Hiệu tổng chữ số số nguyên tố 65537 Bài Cho n N * , chứng minh rằng: 22 + 19 23 + 32 + hợp số giải ta chứng minh 22 + 19M23 với n 10 n+1 n +1 n +1 10 n+1 Ta có: 210 1(mod1) 210 n+1 2(mod 22) 210 n+1 = 22k + 2, (k N ) Theo định lý Fermat: 222 1(mod 23) 22 = 222 k + 4(mod 23) 22 + 19M23 10 n+1 10 n+1 Mặt khác: 22 + 19 > 23 nên 22 + 19 hợp số với n N * Ta chứng minh: 23 + 32 + 5M11 với n Bài Tìm số nguyên tố p cho p + chia hết cho p giải Giả sử p số nguyên tố thỏa: p + 1Mp Theo định lý Fermat: p 2(mod p ) p 2Mp = (2 p + 1) (2 p 2) Mp p = Với p=3 ta có p + = 9M3 Bài Cho p số nguyên tố lớn Chứng minh có vô số số tự nhiên n thỏa n.2n chia hết cho p giải ta có p 1(mod p) , ta tìm n = ( p 1) cho n.2n 1(mod p) 10 n+1 10 n+1 n +1 n +1 Ta có: n.2n = m( p 1).2m ( p 1) (mod p) n.2n m 1(mod p) m = kp 1, (k N *) Vậy, với n = (kp 1)( p 1), (k N *) n.2n 1Mp Cho p số nguyên tố, chứng minh số p có ớc nguyên tố có dạng pk + SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 10 Một số chuyên đề nâng cao số học Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải chữ số vào bên trái số tăng gấp 36 lần Bài 14 Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết viết xen vào hai chữ số số số tăng gấp 99 lần Bài 15 Tìm số tự nhiên có chữ số, cho nhân số với ta đợc số gồm chữ số viết theo thứ tự ngợc lại Bài 16 Tìm số tự nhiên có chữ số, cho nhân với ta đợc số gồm chữ số viết theo thứ tự ngợc lại Bài 17 a) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết xóa chữ số hàng trăm số giảm lần b) Giải toán không cho biết chữ số bị xóa thuộc hàng Bài 18 Tìm số tự nhiên n có chữ số khác nhau, biết xóa chữ số ta đợc số ớc n Bài 19 Một số tự nhiên tăng gấp lần viết thêm chữ số vào chữ số hàng chục hàng đơn vị Tìm số Bài 20 Tìm số tự nhiên A biết xóa nhiều chữ số tận đợc số B mà A = 130B Hớng dẫn giải Bài a) a chữ số lẻ nên b c lẻ Ta lại có b c khác để a c Vậy b, c { 3, 7,9} Lần lợt xét b 9, 7, ý a, b, c lẻ, khác Đáp số: 177 = 531 b) ac.ac = acc Thực phép chia acc cho ac đợc 10 Vậy c = 0, a = Đáp số: 10 10 = 100 c) Xét chữ số bên trái thừa số tích, ta có a a a nên Ta có: 1b.1b = 1cc SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 39 Một số chuyên đề nâng cao số học Ta thấy b b thì: 1b.2b 15.15 = 225 > 1cc Xét tích 10 10, 11 11, 12 12, 13 13, 14 14, ta có đáp số 12 12 = 144 Bài a) Đặt abc = A thì: ( 1000 + A) = 10 A + 2000 + A = 10 A + 1992 = 8A A = 294 Đáp số: 1249 = 2498 b) Chuyển thành phép trừ: ab = b0 b Đáp số: 45 = Bài Đặt abcde = A thì: ( 10 A + g ) = 100000 g + A (1) A + g = 15390 (2) Từ (1) ta tìm đợc: A = 2564g Đa toán tìm hai số biết tổng tỉ số, ta đợc: g = 6; A = 15384 Bài abba Xét tích riêng (2) ì cd abba ì (1) **** c (2) * * * ***7 ***** Ta thấy ac 1, 1b1.8 đợc số có chữ số nên b < 3, b = Số bị nhân 121, số nhân 809, tích 97889 Bài a) ab.cb = ddd = d 111 = 3.3.37 Hai số ab cd có tích chia hết cho số nguyên tố 37 nên tồn số chia hết cho 37, giả sử abM37 Khi ab { 37, 74} Nếu ab = 37 37.c7 = 999 Khi c7 = 999 : 37 = 27 Nếu ab = 74 74.c = 666 Khi c = 666 : 74 = , loại Đáp số: 37 27 = 999 b) Tích chia hết cho 111 nên chia hết cho số nguyên tố 37 Do số bị nhân chia hết cho 37(hoặc 74), số nhân chia hết cho Có đáp số: 37.3 = 111;37.6 = 222;37.9 = 333;74.3 = 222;74.6 = 444; 74.9 = 666 c) Có đáp số: 37.21 = 777;15.37 = 555 Bài Đặt abc = x , deg = y ( 1000 x + y ) = 1000 y + x , suy 857 x = 142 y Chú ý (857, 142) = nên y chia hết cho 857 857, x = 142 Ta có: 142857 = 857142 Bài Thơng **7 2000 2099 **7 > 153 Mặt khác **7 **7 161 13 13 Do **7 = 157 Số bị chia: 157 13 = 2041 Bài a) 10098 : 99 = 102 b) 1089708 : 12 = 90809 Bài Ta có abc = 11( a + b + c ) 100a + 10b + c = 11a + 11b + 11c 89a = 10c + b 89a = cb a = 1, cb = 89 Vậy 198 : 11 = 1+ + SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 41 Một số chuyên đề nâng cao số học Bài 10 Không tồn hai số ab cd Bài 12 Đáp số: 17948 Bài 13 Đáp số: 77 Bài 14 Cách Viết aabb = 99.ab thành aabb + ab = ab00 Cách aabb = 99.ab 1100a + 11b = 990a + 99b 110a = 88b 5a = 4b a = 4, b = Bài 15 Xét phép nhân abcd ì dcb2 4d tận a nên a chẵn, ta lại có 4a < 10 nên a = Ta đợc: 2bcd ì dcb2 d = 8, mà 4d tận nên d = Ta đợc: 2bc8 ì 8cb2 4c + tận b nên b lẻ, ta laịi có 4b < 10 nên b = 4c + tận nên 4c tận Suy c { 2, 7} c = không thỏa mãn toán, c = cho số phải tìm là: 2178 Thử lại: 2178 = 8712 Bài 16 Gọi số phải tìm abcd Ta có phép nhân (1) abcd Từ (1) ta tìm đợc: a = 1, d = ì (1) dcba Ta có phép nhân (2) 1bc9 Từ (2): b < b tích có chữ số ì (2) Xét b = c = 7, 9cb1 1179 có chữ số, loại Xét b = c = 8, 1089 =9801, thỏa SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 42 Một số chuyên đề nâng cao số học mãn đề Đáp số: 1089 Bài 17 a) abc = 9.bc 100a + bc = 9.bc 8.bc = 100a 2.bc = 25a Nh bcM25 Có đáp số: 225, 450, 675 b) Nếu xóa chữ số tận số ban đầu giảm từ 10 lần trở lên Nếu xóa chữ số hàng chục: có đáp số 135, 225, 315, 405 Nếu xóa chữ số hàng trăm: có đáp số nh câu a) 18 Gọi n = abc Số abc xóa c đợc ab Ta có abc Mab c = Số ab0 xóa b đợc a0 Ta có ab0Ma0 abMa b Ma (1) Số ab0 xóa a đợc b0 Ta có ab0Mb0 abMb 10a + bMb 10a Mb (2) Từ (1) đặt b = ka (k N) Thay b = ka vào (2): 10a Mka 10Mk Do b a nên k { 2,5} Với k = ta có abc 120, 240, 360, 480 Với k = ta có abc 150 Bài 19 Đáp số: 45 Bài 20 Gọi C số tạo k chữ số tận bị xóa A, ta có A = 10k B + C, 10k B + C = 130B Nh 10k.B 130 B k = 1, k = Với k= 10B + C = 130B C = 120B C có chữ số, loại Với k= 100B + C = 130B C = 30B C có chữ số Vậy C 30; 60; 90 Có ba số thỏa mãn toán 130; 260; 390 Chuyên đề 3: Tìm chữ số tận số toán Dạng Tìm chữ số tận số an SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 43 Một số chuyên đề nâng cao số học - Nếu a tận 0, 1, an lần lợt tận 0, 1, - Nếu a tận 2, 7, ta có nhận xét sau với k N * : 24 k = 16k 6(mod10) 34 k = 81k 1(mod10) k = 492 k 1(mod10) Do để tìm số tận a n với a có tận 2, ta lấy n chia cho Giả sử n = 4k + r với r { 0,1, 2,3} - Nếu a 2(mod10) a n 2n = 24 k + r 6.2r (mod10) - Nếu a 3(mod10) a 7(mod10) a n = a k + r a r (mod10) - Nếu số tận 2, 4, nâng lên lũy thừa đợc số có tận - Nếu số có tận 3, 7, nâng lên lũy thừa đợc số có tận Bài 1: Chứng minh 8102 2102 chia hết cho 10 Giải: Ta thấy số có tận nâng lên lũy thừa (khác 0) tận (vì nhân hai số tận với nhau, ta đợc số có tận 6) Do ta biến đổi nh sau: ( ) =(2 ) 8102 = 84 2102 25 82 = ( ) 64 = ( ) 64 = 4, 25 22 = 1625.4 = ( ) = 25 Vậy 8102 2102 tận nên chia hết cho 10 Bài Chứng minh 0,3 ( 19831983 19171917 ) số nguyên (Đề thi HSG 1983) Giải Ta có 1983 1983 k +3 (mod10) Vì 34 k 1(mod10) nên 34 k +3 33 7(mod10) Mặt khác: 19171917 4l +1 7(mod10) SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 44 Một số chuyên đề nâng cao số học Vậy: ( 1983 1983 ) 19171917 M 10 , Từ suy 0,3 ( 19831983 19171917 ) số nguyên Bài 3.Chứng minh 23 + 3M11 với số tự nhiên n Giải Theo định lí Fermat: 210 1(mod11) ta phải tìm số tận 34 n+1 Ta có: n+1 34 n +1 = 3.81n 3(mod10) n +1 23 n+1 = 210 k + 8(mod11) 23 + 3M 11 Bài Chứng minh 333555 + 777555 chia hết cho 10 Giải Ta có: 555 1(mod 4) 555777 (1)777 = 3(mod 4) , 777 333 555333 (1)333 = 3(mod 4) Do đó: 333555 = 34 k +3 33.(34 ) k 7(mod10) 777 333 777555 = 4l +3 = 73.(7 )l 3(mod10) Suy ra: 333555 + 777555 0(mod10) , (đpcm) 777 333 Dạng Tìm hai chữ số tận số an Ta có nhận xét sau: 220 76(mod100); 320 01(mod100); 65 76(mod100); 01(mod100); Mà 76n 76(mod100) với n , 5n 25(mod100) với n Suy kết sau với k N * : a 20 k 00(mod100) a 0(mod10) , a 20 k 01(mod100) a 1;3;7;9(mod10) , a 20 k 25(mod100) a 5(mod10) , SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 45 Một số chuyên đề nâng cao số học a 20 k 76(mod100) a 2; 4;6;8(mod100) Vậy để tìm hai chũ số tận an ta lấy số mũ chia cho 20 Bài Tìm hai chữ số tận của 2100 Giải 10 Chú ý rằng: = 1024, bình phơng số tận 24 tận 76, số tận 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận 76 Do đó: 2100 = (210)10 = 102410 = (10242)5 = ( 76)5 = 76 Vậy hai chữ số tận 2100 76 Bài Tìm hai chữ số tận 71991 Giải Ta thấy: = 2401, số có tận 01 nâng lên lũy thừa tận 01 Do đó: 71991 = 71988 73 =(74)497 343 = ( 01)497.343 = ( 01) 343 = 43 1991 Vậy có hai chữ số tận 43 Bài Tìm hai chữ số tận 29 Giải Ta tìm d phép chia 91991 cho 20 = Ta có 91991 = (10 1)1991 4(mod 5) 1991 91991 1(mod 4) D r0 = 5t + 4, t = 0,1, 2,3 Vơi t = r0 = 1(mod14) Vậy 29 = 20k + Do 29 = 220 k +9 76.29 12(mod100) 1991 1991 Bài Tìm hai chữ số tận 1414 Giải Cách Ta có 1414 = 714 214 14 14 14 14 1414 = 214.714 M4 nên 714 = k 1(mod100) 14 220 76(mod100) Ta tìm d phép chia 1414 cho 20 = SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 46 Một số chuyên đề nâng cao số học Ta có 1414 = (15 1)14 1(mod 5) r0 = 5t + , t = 0, 1, 2, 1414 (mod 4) Với t = r0 = 16M4 Vậy 1414 = 20k + 16 Suy 214 = 220 k +6 216.76 36(mod100) Vậy 1414 có hai chữ số tận 36 14 14 Cách Ta có 1414 414 6(mod10) 14 14 1414 = 1410 k + = 146.1410 k 146.76(mod100) 146 = 6.26 2.64 36(mod100) Vậy hai chữ số tận 1414 36 14 Bài Chứng minh với n N * ta có: Giải Ta có: = 2401 1(mod100) 410 76(mod100) Do đó: n +1 Suy ra: n +1 n +1 + 43 65 chia hết cho 100 4n = 2.2 = k 1(mod100) n +1 n +1 + 43 65 + 64 65 0(mod100) (đpcm) Giả sử n = 100k + r với r 100 , đó: a n = a100 k + r = (a100 )k a r Giả sử: a x(mod10), x { 0,1, 2, ,9} Ta có: a100 = (10k + x)100 x100 (mod100) Vậy ba chữ số tận a100 ba chữ số tận x100 Dùng quy nạp với n , ta có: 625n 625(mod1000) , 376n 376(mod1000) * Nếu x = x100 000(mod1000) , * Nếu x = x = 54 = 625 x100 = (54 ) 25 625(mod1000) , * Nếu x = 1;3;7;9 ta có tơng ứng: x = 1;81; 2401;6561 1(mod 40) x100 = (40k + 1) 25 1(mod1000) , * Nếu x = 2; 4;6;8 x100 M2100 M8 Ta có: ( x,125) = nên x100 1(mod125) (Định lí Ơ le) SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 47 Một số chuyên đề nâng cao số học Giả sử ba chữ số tận x100 abc ta có: x100 = 1000k + abc abc M abc 1(mod125) Trong số 1, 126, 376, 501, 626, 751, 876 (các số có ba chữ số chia cho 125 d 1) có số chia hết cho số 376 Vậy x100 376(mod1000) Do ta có kết sau: a1000 k 000(mod103 ) a 0(mod10) a1000 k 001(mod103 ) a 1,3, 7,9(mod10) a1000 k 625(mod103 ) a 5(mod10) a1000 k 376(mod103 ) a 2, 4, 6,8(mod10) Vậy để tìm ba chữ số tận an ta tìm hai chữ số tận số mũ n Bài Tìm ba chữ số tận 29 Giải Trớc hết ta tìm hai chữ số tận 92003 Ta có: 92003 = 93.92000 = 93.(320 )200 29(mod100) 2003 Suy ra: 29 = 2100 k + 29 = 229.(2100 ) k 912.376 912(mod1000) Vậy ba chữ số tận 29 912 Bài Tìm ba chữ số tận số 29 Giải Trớc hết ta tìm hai chữ số tận 91991 Ta có 91991 = 9.91990 = 9.(320 )199 9(mod100) 2003 2003 1991 1991 29 = 2100 k +9 376.29 512(mod1000) Vậy ba chữ số tận 29 512 Bài Tìm bốn chữ số tận 51992 Giải 51992 = (54 ) 498 = 0, 625498 = 0625 Bài tập Bài Chứng tỏ 175 + 244 1321 chia hết cho 10 Bài Chứng minh với số tự nhiên n a) n chia hết cho 5; b) 34 n+1 + chia hết cho 5; c) 24 n+1 + chia hết cho 5; 1991 SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 48 Một số chuyên đề nâng cao số học d) 24 n+ + chia hết cho 5; e) 92 n+1 + chia hết cho 10 Bài Tìm số tự nhiên n để n10 + chia hết cho 10 Bài Có tồn số tự nhiên n để n + n + chia hết cho hay không? Bài Cho số tự nhiên n Chứng minh rằng: a) n tận chữ số chẵn n 6n có chữ số tận nh b) Nếu n tận chữ số lẻ khác n tận Nếu n tận chữ số chẵn khác n tận c) Số n5 n có chữ số tận nh Bài Trong số tự nhiên từ đến 10000, có số tận mà viết đợc dới dạng 8m + 5n (m, n N ) ? Bài Cho A = + 22 + 23 + + 220 Tìm chữ số tận A Bài Tìm hai chữ số tận của: a) 5151 ; b) 9999 ; c) 6666 ; d) 14101.16101 Bài Tìm 20 chữ số tận 100! Hớng dẫn giải Bài Chữ số tận Bài a) n = (7 ) n = 2401n = = , tận 99 Vậy n 1M5 b) 34 n +1 + = (3n ) n + = 81n.3 + = 1.3 + , tận Vậy 34 n+1 + 2M5 c) 24 n+1 + = (2 ) n + = 16n.2 + = 6.2 + , tận Vậy 24 n+1 + 3M5 d) 24 n+ + tận nên chia hết cho e) 92 n +1 + = (92 ) n + = 81n.9 + = 1.9 + , tận Vậy 92 n+1 + chia hết cho 10 Bài n tận Bài Không Lần lợt xét n tận 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, n + n + tận 2, 4, Bài Cách 1: Xét trờng hợp n tận 0, 2, 4, 6, 6n tận nh SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 49 Một số chuyên đề nâng cao số học Cách 2: Xét hiệu 6n n = 5n M10 n chẵn b) Nếu n tận n tận , n4 tận - Nếu n tận n tận 9, n tận -Nếu n tận n tận 6, n4 tận -Nếu n tận n tận 4, n4 tận c) Nếu n tận n5 tận nh Nếu n tận 1, 3, 7, n4 tận Ta có n5 = n n = 1.n nên chữ số tận n5 n nh Nếu n tận 2, 4, 6, n4 tận Ta có n5 = n n = 6.n nên chữ số tận n5 6n nh Nhng chữ số tận 6n n nh Vậy chữ số tận n5 n nh Chú ý: Dùng kiến thức lớp giải câu c cách chứng minh n5 nM10 , tức n(n + 1)(n 1)M10 Thật vậy, n2 số phơng nên không tận 2, 3, 7, tức chia cho d hay Nếu n5 M5 nM5 Nếu n2 chia d n 1M5 Nếu n2 chia hết cho n + 1M5 Do n(n + 1)(n 1)M5 tức n5 n M5 Dễ dàng chứng minh đợc n5 n M2 Vậy n5 n M10 Bài Ta thấy 5n tận 5, m phảI tận Xét lũy thừa ta thấy 82 = 64, 83 = 512, 84 = 4096, 85 > 10000 Vậy số phảI đếm có dạng 84 + 5n với n = 1, 2, 3, 4, Có số Bài : Cách : Chứng minh AM5 cách nhóm A thành nhóm số Ta lại có A M2 nên A M10 A tận Cách : Hãy chứng minh A = 221-2 A = 221 - = ( 24 ) = 165.2 = 6.2 , tận Bài a) 1551= ( 512 ) 51 = ( 01) 51 = ( 01) 51 = 51 25 25 b) 9999 = 992 k +1 = ( 992 ) 99 = ( 01) 99 = ( 01) 99 = 99 99 k k SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 50 Một số chuyên đề nâng cao số học c) 6666 = ( 65 ) = ( 76 ) 133 = ( 76 ) = 56 133 d) 14101.16101 = ( 14.16 ) 101 = 224101 = ( 2242 ) 224 = ( 76 ) 224 = ( 76 ) 224 = 24 50 50 Bài 9: Ta chứng minh đợc 100! tận 24 chữ số Thật số thừa số 100! bằng : 100 100 + = 24 Số thừa số 100! lớn 24 (cụ thể 25 100 100 100 100 100 100 + + + + + = 50 + 25 + +12 + + + = 97 ) 16 32 64 Tích cặp thừa số tận chữ số Do 100! tận 24 chữ số SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 51 Một số chuyên đề nâng cao số học số tài liệu tham khảo Chuyên đề bồi dỡng học sinh giỏi toán THCS ( số học ) Nguyễn Vũ Thanh NXB Giáo dục Năm 2002 Toán nâng cao chọn lọc lớp Nguyễn Vĩnh Cận NXB Giáo dục Năm 2000 Tuyển tập theo chuyên đề Toán học tuổi trẻ 2007 Chuyên đề bồi dỡng chuyên toán cấp - số học Nguyễn Vũ Thanh Năm 2000 SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 52 Một số chuyên đề nâng cao số học mục lục SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 53 [...]... đúng b) áp dụng tính chất chia một tổng cho một số: ( 260 000 + abc ) : abc = 62 6 260 000 : abc + 1 = 62 6 260 000 : abc = 62 5 abc = 260 000 : 62 5 abc = 4 16 Vậy 260 4 16 : 4 16 = 62 6 Bài 16 Tìm chữ số a và số tự nhiên x, sao cho: ( 12 + 3x ) 2 = 1a 96 Giải ( 12 + 3x ) 2 = 3 ( 4 + x ) = 9 ( 4 + x ) Nh vậy 1a 96 chia hết cho 9 a = 2 2 2 Suy ra ( 4 + x ) 2 = 12 96 : 9 = 144 = 122 Vậy a = 2, x = 8 Bài 17 SV thực... 11 Một số chuyên đề nâng cao số học 6 Với p=4 có 2003 + 23 .6 = 2141 Với p=2003 thì tồn tại k theo định lí Fermat thỏa mãn 2003 + 23k = 200323 Bài 7 Tìm bảy số nguyên tố sao cho tích của chúng bằng tổng các lũy thừa bậc sáu của bảy số đó giải: Gọi bảy số nguyên tố là p1, p2, p13, ., p7 Ta có: (*) p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 = p 16 + p 26 + p 36 + p 46 + p 56 + p 66 + p 76 Ta cần dùng định lí Fecma nhỏ: Nếu số nguyên... Một số chuyên đề nâng cao số học 6 4 Chứng minh rằng nếu p là số nguyên tố lớn hơn 3 thì (p - 1)(p + 1) chia hết cho 24 5 Một số nguyên tố p chia cho 42 có d là một hợp số r Tìm r 6 Một số nguyên tố p chia cho 30 có số d là r Tìm r biết rằng r không là số nguyên tố { { 7 Chứng minh rằng số 11 1211 1 là hợp số với n 1 n n 8 Tìm n số sao cho 10101 0101 (n chữ số 0 và n + 1 chữ số 1 xen kẽ nhau) là số. .. 35 76 abc = abcd Thêm chữ số d vào cuối của số bị trừ và số trừ: abc ca = ca ac SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 33 Một số chuyên đề nâng cao số học 6 3576d abcd = abcd 0 3576d = 11.abcd Thực hiện phép chia 3576d cho 11, ta tìm đợc d = 1 Từ đó ta tìm đợc abc = 325 Ta có: 3251 + 325 = 35 76 Bài 15 Thay các chữ bằng các chữ số thích hợp a) ab.b = 1ab b) 260 abc : abc = 62 6 ... chia hết cho 7 thì a 6 1(mod 7) (Có thể chứng minh trực tiếp điều này thông qua việc biến đổi a 3 = (7k + r )3 = 7t 1 với mọi r thỏa mãn 0 r 6 , còn t là số nguyên) Giả sử trong bảy số nguyên tố trên có k số khác 7 với 0 k 7 Nếu k = 0, nghĩa là cả bảy số trên đều bằng 7 thì ta có 7 7 7 7 7 7 7 = 76+ 76+ 76+ 76+ 76+ 76+ 76 thỏa mãn (*) Nếu k = 7, nghĩa là cả bảy số trên đều là số nguyên tố khác... số chuyên đề nâng cao số học 6 Dạng 4 Giải phơng trình nghiệm nguyên nhờ sử dụng tính chất số nguyên tố Trong nhiều trờng hợp khi giải phơng trình nghiệm nguyên dẫn đến việc xét các số nguyên tố của số dạng n = a 2 + b 2 Xin nêu ra một số tính chất của ớc số nguyên tố của số n để sử dụng vào giải phơng trình Mệnh đề 1 Nếu số nguyên tố p = 2t k + 1 với các số nguyên dơng t, k và k t t lẻ, là ớc của số. .. 3 3 Số nguyên tố lớn hơn 3 có dạng 6n +1, 6n + 5 Do đó 3 số a, a + k, a + 2k phải có ít nhất 2 số có cùng một dạng, hiệu là k hoặc 2k chia hết cho 6, suy ra k chia hết cho 3 SV thực hiện: Nguyễn Thị Thanh Hiệu_CĐSP Toán Tin K48 23 Một số chuyên đề nâng cao số học 6 4 Ta có ( p 1) p( p + 1)M3 mà (p,3) = 1 nên (1) ( p 1)( p + 1)M3 p là số nguyên tố lớn hơn 3 nên p là số lẻ, p - 1 và p + 1 là hai số. .. a nhân với số chia đợc tích riêng A có ba chữ số, còn 8 nhân với số chia đợc tích riêng C có hai chữ số Do đó a > 8, vậy a = 9 ở dòng B, ta hạ liền hai chữ số ở số bị chia xuống, do đó b = 0 Số chia nhân với 9 đợc tích riêng A có ba chữ số nên số chia lớn hơn 11 Số chia nhân với 8 ta đợc tích riêng C có hai chữ số nên số chia nhỏ hơn 13 Vậy số chia bằng 12 Số bị chia bằng 908 12 = 108 96 Toàn bộ phép... phép nhân ở trên ta thấy ngay A = 0 Do mỗi số trong hai số H 0 NOI và H 0000 chia hết cho 62 5 nên hiệu của chúng là NOI cũng chia hết cho 62 5 Vậy NOI = 62 5 Nhng số H 062 5 = 10000 H + 62 5 khi chia cho 62 5 cho thơng là 16 H + 1và để cho thơng này chia hết cho 5 thì chữ số H phải là 4 hoặc 9 Với H = 4 ta đợc số 40 62 5 không thỏa mãn bài ra Với H = 9 ta đợc số 90 62 5 thích hợp Trờng hợp thứ hai cũng xét... số có 3 chữ số mà có đúng 5 ớc Giải Giả sử p và q là hai số nguyên tố khác nhau, khi đó pq có 4 ớc đó là 1, p, q, pq và số p2q có 6 ớc đó là 1, p, p2, q, pq, p2p Do đó số phải tìm có dạng pn Vì số pn có n + 1 ớc nên muốn có đúng 5 ớc thì rõ ràng n = 4 Số p4 là số có 3 chữ số khi p = 5 Vậy số phải tìm là 54 = 62 5 Bài 5 Tìm 3 số nguyên tố biết rằng một trong ba số đó bằng hiệu các lập phơng của hai số ... + abc ) : abc = 62 6 260 000 : abc + = 62 6 260 000 : abc = 62 5 abc = 260 000 : 62 5 abc = 4 16 Vậy 260 4 16 : 4 16 = 62 6 Bài 16 Tìm chữ số a số tự nhiên x, cho: ( 12 + 3x ) = 1a 96 Giải ( 12 + 3x ) =... Toán Tin K48 50 Một số chuyên đề nâng cao số học c) 66 66 = ( 65 ) = ( 76 ) 133 = ( 76 ) = 56 133 d) 14101. 161 01 = ( 14. 16 ) 101 = 224101 = ( 2242 ) 224 = ( 76 ) 224 = ( 76 ) 224 = 24 50 50 Bài... = để 6x có chữ số Xét sáu số x, 2x, 3x, 4x, 5x, 6x, chữ số sau lớn chữ số số trớc nên sáu chữ số sáu số khác khác Các chữ số chữ số x, sáu chữ số x khác nhau, khác 0, có chữ số Các chữ số tận