TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN TRẦN THỊ MAI YÊN XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Phương pháp giảng dạy Người hướng dẫn khoa học ThS DƯƠNG THỊ HÀ HÀ NỘI - 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới cô giáo – Th.S Dương Thị Hà người tận tình bảo hướng dẫn hoàn thành khóa luận Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô tổ Phương pháp dạy học khoa Toán nhiệt tình giảng dạy, cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Ban giám hiệu nhà trường tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu trường Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Tác giả khóa luận Trần Thị Mai Yên LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu riêng hướng dẫn cô giáo - Th.S Dương Thị Hà Khóa luận với đề tài “Xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp” chưa công bố công trình nghiên cứu Nếu có sai phạm người viết chịu hình thức kỉ luật theo quy định việc nghiên cứu khoa học Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Tác giả khóa luận Trần Thị Mai Yên MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU……………………………………………………… 1 Lí chọn đề tài……………………………………………………………1 Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….1 Nhiệm vụ nghiên cứu………………………………………………………2 Phương pháp nghiên cứu………………………………………………… Cấu trúc khóa luận………………………………………………………….3 PHẦN 2: NỘI DUNG……………………………………………………… CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN………………………………………………3 1.1 Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……3 1.2 Các dạng tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp……………….5 1.3 Một số khó khăn, sai lầm thường gặp giải toán chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp…………………………………………………………… 11 CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP………………………………………………… 17 2.1 Dạng 1: Thực toán đếm…………………………………………17 2.2 Dạng 2: Rút gọn tính giá trị biểu thức……………………………… 29 2.3 Dạng 3: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức………………………… 37 2.4 Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình hệ phương trình, hệ bất phương trình………………………………………………………………… 45 PHẦN 3: KẾT LUẬN……………………………………………………… 58 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Toán học có nguồn gốc từ thực tiễn có ứng dụng rộng rãi thực tiễn Tính trừu tượng cao độ làm cho toán học mang tính thực tiễn phổ dụng ứng dụng nhiều lĩnh vực khác khoa học, công nghệ sản xuất đời sống xã hội đại Trong chương trình toán trung học phổ thông “Tổ hợp xác suất” mảng kiến thức cần thiết Trong đó, hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp nội dung quan trọng, liên quan đến nhiều lĩnh vực khác toán học như: đại số, lí thuyết xác suất, hình học, đến ngành ứng dụng khoa học máy tính vào vật lí, thống kê Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ba quy tắc đếm cụ thể nhằm để đếm phần tử tập hữu hạn theo quy luật thứ tự Song song với học sinh làm quen với dạng tập có liên quan chẳng hạn: thực toán đếm; rút gọn tính giá trị biểu thức; chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức; giải phương trình, bất phương trình hệ có chứa đại lượng số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Với lí nhằm củng cố, khắc sâu kiến thức, rèn luyện kĩ biết phân biệt, áp dụng công thức, tính chất vào làm tập có liên quan đến phần hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp” Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp SGK, sở xây dựng khai thác hệ thống tập liên quan chủ đề góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán trường phổ thông Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu sở lí luận chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp - Xây dựng khai thác hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lí luận - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Cấu trúc khóa luận Phần 1: Mở đầu Phần 2: Nội dung Bao gồm chương là: Chương 1: Cơ sở lí luận Chương 2: Xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phần 3: Kết luận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.1.1 Hoán vị a) Hoán vị Cho tập hợp A có n (n  1) phần tử Khi xếp n phần tử theo thứ tự, ta hoán vị phần tử tập A (gọi tắt hoán vị A) b) Số hoán vị - Kí hiệu Pn số hoán vị tập hợp có n phần tử - Định lí: Số hoán vị tập hợp có n phần tử là: Pn = n! = n(n  1)(n  2) 1.1.2 Chỉnh hợp a) Chỉnh hợp Cho tập hợp A gồm n phần tử số nguyên k với  k  n Khi lấy k phần tử A xếp chúng theo thứ tự ta chỉnh hợp chập k n phần tử A (gọi tắt chỉnh hợp chập k A) b) Số chỉnh hợp - Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử kí hiệu Ank - Định lí: Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 k  n) là: Ank  n(n 1)(n  2) (n  k  1)  Nhận xét: Từ định nghĩa ta thấy hoán vị tập hợp n phần tử chỉnh hợp chập n tập hợp nên Ann  Pn  n! 1.1.3 Tổ hợp a) Tổ hợp Cho tập hợp A có n phần tử số nguyên k với 1 k  n Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A (gọi tắt tổ hợp chập k A) Như lập tổ hợp chập k A lấy k phần tử A (không quan tâm đến thứ tự) b) Số tổ hợp - Kí hiệu Cnk (hoặc   ) số tổ hợp chập k tập hợp có n n k phần tử - Định lí: Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 k  n) là: Ank n (n  1)( n  2) (n  k  1) C   k! k! k n (3)  Chú ý:  Với  k  n, ta viết công thức (3) dạng: Cnk  n! k !(n  k )! (4)  Ta quy ước C n  (coi  tổ hợp chập tập hợp có n phần tử) Với quy ước công thức (4) với k = Vậy công thức (4) với số nguyên k thỏa mãn  k  n 1.1.4 Một số tính chất số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp  Ank  k !Cnk  Cn0  Cnn   Cho số nguyên dương n số nguyên k với  k  n Khi đó: Cnk  Cnn  k  Cho số nguyên n k với 1 k  n k k k 1 Khi đó: Cn 1  Cn  Cn (5) (5) gọi số Pa-xcan  Để phân biệt chỉnh hợp tổ hợp ta cần lưu ý đến nhận xét sau: - Chỉnh hợp cách chọn k phần tử n phần tử mà “quan tâm” đến thứ tự xếp - Tổ hợp cách chọn k phần tử n phần tử mà “không quan tâm” đến thứ tự xếp - Việc phân biệt lúc dùng công thức tổ hợp lúc dùng công thức chỉnh hợp quan trọng Nếu chọn nhầm cách sử dụng, kết phép tính sai hoàn toàn 1.2 Các dạng tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp  Trong chương trình sách giáo khoa ta làm quen với số dạng tập sau: Thực toán đếm Ví dụ: (SGK – ĐS>NC11, trang 63) Một thi có 15 người tham dự, giả thiết hai người có điểm a) Nếu kết thi việc chọn người điểm cao có kết có thể? b) Nếu kết thi việc chọn giải nhất, nhì, ba có kết có thể? Giải a) Chọn người điểm cao số kết là: C15  1365 b) Chọn người thứ tự nhất, nhì, ba chỉnh hợp Do số kết là: A15  2730 Chứng minh đẳng thức Ví dụ: (SBT – ĐS>CB11, trang 63) Chứng minh với số nguyên k, n không âm, 1 k  n Ta có: Cnk11  Cnk  Cnk1   Ckk1  Ckk Giải Ta có: C nk11  C nk  C nk 1 C nk 1  C nk1  C nk11 C kk 21  C kk1  C kk11  C nk11  C nk  C nk1   C kk1  C kk11  C nk11  C nk  C nk1   C kk1  C kk  Trong chương trình môn Toán nói chung dạng ta thấy số dạng tập sau: Rút gọn tính giá trị biểu thức Ví dụ: Rút gọn biểu thức: T Pn 1 n!   n  3! An2  n  ! Giải Ta có: n ! n   ! n! n!    n  2  n  3! An  n  3 ! n !  n  3 ! n !  n  !  ( m  1) 1    ( m  2)   12  2   (m  2)  ( m  1)( m  2)(m  1) ( m  2)(m  1)(2m  3)  m( m  1)(m  2)   Cm3  Do ta có: Sm 1  S m Cm3  S m  Sm 1  Cm3 1  Cm3 1  Cm3 2   C33 Từ toán chuyển việc chứng minh Cm3 1  Cm3 2   C33  Cm4 (1) Đẳng thức chứng minh phương pháp quy nạp toán học Bài 5: Chứng minh rằng: k k 1 1000 1001 C2001  C2001  C2001  C2001 ,  k  1000, k   Giải k 1 1001  C2002 Biến đổi bất đẳng thức dạng: C2001 k 1 ,  k  1000, k   Ta xét dãy số: u k  C 2002 Ta chứng minh dãy {uk} đơn điệu tăng, thật vậy: k 2 k 1 uk 1  uk  C2002  C2002 2002! 2002!  (k  2)!(2000  k )! (k  1)!(2000  k  1)! 1    1999  2k  k  999 k  2001  k k 1 1000 1000 k 1 1001  uk  u999  C2002  C2002  C2002  C2002  C2002  2.4 Dạng 4: Giải phương trình, bất phương trình hệ 2.4.1 Kiến thức thường sử dụng Để giải phương trình, bất phương trình liên quan đến số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp ta tiến hành theo bước sau: 45 - Đặt điều kiện để phương trình, bất phương trình có nghĩa Ngoài điều kiện bình thường phương trình, bất phương trình nói chung cần đặc biệt lưu ý điều kiện sau nói tồn số hoán vị, số tổ hợp, k k số chỉnh hợp Cụ thể là: Pn , An , Cn có nghĩa n nguyên dương, k nguyên không âm k  n k k - Sử dụng công thức tính Pn , An , Cn để quy phương trình, bất phương trình ban đầu phương trình, bất phương trình đại số quen thuộc - Đối chiếu với điều kiện đặt bước (cần đặc biệt lưu ý đến điều kiện tính nguyên nghiệm) để loại bỏ bớt ngiệm ngoại lai Để giải hệ phương trình, bất phương trình liên quan đến số hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp ta sử dụng phương pháp phần Lưu ý xét hệ phương trình (hoặc hệ bất phương trình) nên dĩ nhiên ta sử dụng quy tắc kết hợp nghiệm quen thuộc việc giải hệ phương trình hệ bất phương trình nói chung Đối với toán từ đầu chưa có dạng phương trình có chứa số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp mà phương trình xuất sau ta diễn giải yêu cầu đầu thành dạng phương trình (giống toán “Giải toán cách lập phương trình biết từ cấp 2”) ta làm sau: - Chọn ẩn số - Sử dụng yêu cầu đầu để biểu thị đại lượng chưa biết khác theo ẩn - Lập phương trình với ẩn đặt Đó phương trình với số hoán vị, số chỉnh hợp, số tổ hợp - Giải phương trình đến kết cần tìm 46 2.4.2 Ví dụ Ví dụ 1: Với n nguyên dương, giải phương trình sau: (n  1)!  72 (n  1)! Giải Biến đổi phương trình dạng: ( n  1) n( n  1)!  72 (n  1)!  (n  1)n  72  n  n  72   n  9   n8 Vì n nguyên dương nên n =  bị loại Vậy phương trình có nghiệm n = Ví dụ 2: Giải phương trình sau: a) Ax2  12 b) Ax3  24 Giải a) Điều kiện  x  N () Biến đổi phương trình dạng: () x( x  1)  12   x  x  12   x  Vậy phương trình có nghiệm x  b) Điều kiện  x  N () Biến đổi phương trình dạng: x ( x  1)( x  2)  24  x  3x  x  24  (  )  ( x  4)( x  x  6)   x  Vậy phương trình có nghiệm x  47  Nhận xét: Như thông qua lời giải ví dụ thấy việc thiết lập điều kiện cho ẩn phương trình quan trọng, giúp loại bỏ nghiêm ngoại lai Ngoài nhiều trường hợp giúp thực phép biến đổi nhanh Ví dụ 3: Tìm n   cho Pn   240 Ank33 Pn  k Điều kiện phương trình:  n3 k 3  n  k    0  n  k   () Biến đổi phương trình dạng: (n  3)! ( n  k )! [n   (k  3)]!  (n  5)!  240(n  3)!  (n  4)(n  5)  240 (n  5)!  240 ()  n  9n  220   n  11 Vậy n = 11 thỏa mãn điều kiện đầu Ví dụ 4: (Đề thi tốt nghiệp THPT – 2007) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn phương trình: Cn4  Cn5  3Cn61 Giải Cách 1: Xét phương trình: Cn4  Cn5  3Cn61 (1) Điều kiện để (1) có nghĩa n  () Ta thấy: n! n! ( n  1)!  3 (n  4)!4! ( n  5)!5! (n  5)!6! 1 3(n  1) 1 n 1       n4 30 n4 10  10  2( n  4)  ( n  1)(n  4) (1)   n  1  n  5n      n6 48 Đối chiếu với điều kiện () n = 1 bị loại Vậy n = nghiệm phương trình (1) Cách 2: Xét phương trình: Cn4  Cn5  3Cn61 (1) Điều kiện (1) là: n  k k k 1 Áp dụng công thức Cn 1  Cn  Cn với điều kiện n  ta có: (1)  Cn51  3Cn61   (n 1)! (n 1)! 3 (n 4)!5! (n 5)!6! 1   n    n  n4 Vậy n = nghiệm phương trình (1) Ví dụ 5: (Đề thi tốt nghiệp THPT – 2008) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn phương trình 3Cn2  An21   Giải Xét phương trình: 3Cn2  An21   (1) Điều kiện để (1) có nghĩa là:  n2  n    n  2, n  N  n N  Khi ta có: (1)  n! (n  1)!  7  (n  2)!2! (n  1)! 3n(n  1)  n(n  1)    3n(n  1)  2n(n  1)  14    n2  5n  14   n7  n  2 49 () Đối chiếu với điều kiện (2) n = 2 bị loại Vậy n = số tự nhiên thỏa mãn toán Ví dụ 6: Tìm x, y thỏa mãn: Axy11 Px  y Px 1  72 (1) Giải Điều kiện y  x   () Biến đổi phương trình dạng: ( x  1)! ( x  y )! ( x  y )! (1)   72 ( x  1)!  ( x  1) x  72  x  x  72  ( )  x 8 Vậy (x ; y) thỏa mãn (1) x = 8;  y  N Ví dụ 7: (Đề thi tốt nghiệp THPT – 2003) y y 1 y 1 Giải hệ phương trình (ẩn số x y): C x 1 : C x : C x  : : Giải Ta có: C xy1 : C xy 1 : C xy 1  : :  Cxy1  C y 1   x   y 1  Cx   Cxy 1 50 (1) (2) Điều kiện để (1), (2) có nghĩa là: x   y   x 1    y 1 x  y      x  y   x    x, y  N x  y 1     x, y  N () Với điều kiện () hệ phương trình tương đương với:  ( x  1)!( x  y  1)!( y  1)!   ( x   y )! y ! x !   x !( x  y  1)!( y  1)!   ( x  y  1)!( y  1)! x !  ( x 1)( y 1)   ( x  y)  x  y 1    ( x  y)( x  y 1)   y( y 1) (3) (4) Nhân vế với vế (3) (4) ta có: x 1   x 1  3y  x  3y 1 y Thay (5) vào (3) ta có: y ( y  1) y 1    (2 y  1)2 y 2(2 y  1)  y   y   y  Thay vào (5) ta có x  Vậy ( x ; y)  (8;3) nghiệm hệ cho 51 (5) Ví dụ 8: (Đề thi tuyển sinh Đại học - Cao đẳng khối B – 2006) Cho tập A gồm n phần tử (n  4) Tìm k  {1, 2, 3,…, n} cho số tập gồm k phần tử tập hợp A lớn nhất, biết số tập hợp gồm phần tử A 20 lần số tập hợp gồm phần tử A Giải Số tập hợp có k phần tử tập hợp A Cnk Theo giả thiết ta có phương trình sau để xác định n: Cn4  20Cn2 Điều kiện đặt với (1) là: n  4, n  N (1) () Khi đó: (1)  n! n! 20  20   (n  4)!4! (n  2)!2! 3.4 (n  3)(n  2)  (n  3)(n  2)  240  n2  5n  234   n  18  n  13 Kết hợp điều kiện () n = 13 bị loại Vậy tập hợp A có 18 phần tử Bây toán trở thành: Tìm số lớn C18k với k  {1, 2,…, 18} Muốn ta xét bất phương trình: C18k  C18k 1 Ta có: (3)   18! 18!  (18  k )!k ! (17  k )!( k  1)! 1 17   k   18  k  k  18  k k  Do k nguyên nên k = 1, 2,…, Tương tự C18k  C18k 1  k  17  k  9, 10, , 17 Từ ta đến: 52 (3) C181  C182  C183   C188  C189  C1810  C1811   C1818 (4) Bây từ (4) ta có max C18k  C189 (1  k  18) Vậy số tập hợp gồm phần tử A số tập hợp lớn  Nhận xét: Như vây toán cho dẫn đến việc giải phương trình hai bất phương trình với tổ hợp Ví dụ 9: Tìm k cho số C7k , C7k 1 , C7k  theo thứ tự lập thành cấp số cộng Giải Ta thấy C7k , C7k 1 , C7k  theo thứ tự lập thành cấp số cộng khi: C7k  C7k   2C7k 1 (1) Điều kiện đặt với (1) là: 7  k    k    k  5, k    k   Ta có: (1)  7! 7! 7!  2 (7  k)!k ! (5  k)!(k  2)! (6  k)!(k 1)! 1   (6  k )(7  k ) (k 1)(k  2) (6  k )(k 1)  (k 1)(k  2)  (6  k )(7  k )  2(7  k )(k  2)   k  5k   k   k   Cả hai giá trị tìm thỏa mãn () Vậy k = 1, k = hai giá trị cần tìm k Ví dụ 10: Giải bất phương trình sau: 53 () An4 15  a) (n  2)! (n  1)! b) Cn 1  Cn 1  An   Giải a) Điều kiện n   () An4 (n  1)(n  2)( n  3)(n  4) (n  3)(n  4)   Ta có: ( n  2)! (n  1)!n(n  1)(n  2) ( n  1)! n Khi bất phương trình biến đổi dạng: (n  3)(n  4) 15  (n  1)!n (n  1)!  (n  3)(n  4)  15n  n2  8n  12    n  n   n   n  ( ) Vậy bất phương trình có nghiệm: n  {3, 4, 5} b) Điều kiện  n   () Biến đổi bất phương trình dạng: (n  1)! (n  1)! 5( n  2)!   0 4!( n  5)! 3!( n  4)! 4(n  4)!  (n  4)(n 1)! 4(n 1)!30(n  2)!   (n  2)! n  4 n 1  4 n 1 30   n2 9n  22     n  11 ()   n  11 Vậy nghiệm bất phương trình là: n  {5, 6, 7, 8, 9, 10} 54 2.4.3 Bài tập luyện tập Bài 1: Tìm n   cho: Pn 5  15 Ank Pn  4 k Giải Điều kiện:  n  k  n 1 k   0  n   k  () Biến đổi phương trình dạng: (n  5)!  15 (n  4)! (n   k )!  (n  5)!  15(n  4)! (n   k )!  n   15  n  10 Vậy n = 10 thỏa mãn điều kiện () Bài 2: Giải bất phương trình: < n! + (n + 1)! < 33 Giải Ta có: Với n = n! + (n + 1)! = Với n = n! + (n + 1)! = Với n = n! + (n + 1)! = 30 Với n = n! + (n + 1)! = 144 Vậy nghiệm bất phương trình n{2, 3} Bài 3: Tìm k  N, biết: C14k  C14k   2C14k 1 Giải Điều kiện 12  k  N () Biến đổi phương trình dạng: 55 14! 14! 2.14!   k !(14  k )! (k  2)!(12  k )! (k  1)!(13  k )!  1   (14  k )(13  k ) (k  2)(k  1) (k  1)(13  k ) k  (thỏa mãn điều kiện ())  k  12k  32    k  Vậy tồn hai giá trị k k = k = thỏa mãn điều kiện đầu Bài 4: Giải hệ phương trình: 2 Axy  5Cxy  90  y y A  C  80 x  x Giải  Axy  5Cxy  90 Xét hệ phương trình:  y y  Ax  2Cx  80 1  2 Điều kiện để (1) (2) có nghĩa x  y  0; x  0; x, y  N  Axy  20 Hệ tương đương với  y Cx  10 Từ (3) đến y !C xy  20 (3) (4) (5) Từ (4) (5) suy y !   2!  y  Lại thay vào (3) có: Ax2  20  x!  20  x ( x  1)  20 ( x  2)! x   x  x  20     x  4 Kết hợp với điều kiện x = 4 bị loại Vậy hệ có nghiệm ( x ; y )  (5;2) 56 Bài 5: Giải bất phương trình A2 x  Ax2  Cx3  10 x Giải Điều kiện  x   () Biến đổi bất phương trình dạng: (2 x)! x! x!    10 (2 x  2)! ( x  2)! x 3!( x  3)!  (2 x  1)2 x  ( x  1) x  ( x  2)( x  1)  10 () x  x   x  12   x    x    x  Vậy nghiệm bất phương trình x  {3, 4}  Kết luận: Như chương xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Từ giúp em học sinh hiểu, nắm cách rõ ràng chắn, biết cách trình bày linh hoạt lựa chọn phương pháp giải với tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 57 PHẦN III: KẾT LUẬN Với cấu trúc hai chương khóa luận hoàn thành mục đích nghiên cứu đặt Đó là: nghiên cứu sở lí luận chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp SGK, sở xây dựng khai thác hệ thống tập liên quan đến chủ đề Trong dạng tập lại phân thành ví dụ tập luyện tập với mục đích củng cố khắc sâu kiến thức, đồng thời rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo, linh hoạt nhanh nhạy việc lựa chọn công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp để tránh sai lầm cho học sinh làm tập Thông qua đề tài này, mong góp phần giúp thầy cô giáo em học sinh có thêm tài liệu để dạy học tốt phần Tổ hợp, xác suất liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; đồng thời với thân tư liệu để sau giảng dạy tập toán Do lần tiếp xúc nghiên cứu đề tài toán học, với khả có hạn thân chắn có thiếu sót tránh khỏi Rất mong đóng góp tất thầy cô bạn để đề tài ngày hoàn thiện 58 TÀI LIỆU THAM KHẢO Sách đại số giải tích 11 nâng cao Sách tập đại số giải tích 11 nâng cao Lê Hồng Đức  Lê Bích Ngọc  Lê Hữu Trí (2003), Phương pháp giải toán tổ hợp, Nxb Đại học quốc gia, Hà Nội Phan Huy Khải (2012), Bài tập nâng cao theo chuyên đề Toán THPT – Tập “Tổ hợp xác suất số phức”, Nxb Giáo dục, Hà Nội Lê Bích Ngọc (Chủ biên)  Lê Hồng Đức (2010), Học ôn tập toán Đại số giải tích 11, Nxb Đại học quốc gia, Hà Nội Đoàn Quỳnh (chủ biên) – Trần Nam Dũng – Nguyễn Vũ Lương – Đặng Hùng Thắng (2010), Tài liệu chuyên toán tập Đại số - Giải tích 11, Nxb Giáo dục, Hà Nội Phan Doãn Thoại – Nguyễn Xuân Bình – Trần Hữu Nam (2010), Phương pháp giải toán Đại số Giải tích theo chủ đề 11, Nxb Giáo dục, Hà Nội Nguyễn Tất Thu  Nguyễn Văn Dũng (2012), 17 chủ đề Đại số - Giải tích 11, Nxb Đại học quốc gia, Hà Nội 59 [...]... dạng bài tập trong chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Ở mỗi dạng trước hết có các ví dụ minh họa bao gồm: một số bài tập trong sách giáo khoa, trong các đề thi tốt nghiêp của các năm, các bài toán chọn lọc nâng cao, các bài toán giải bằng nhiều cách khác nhau Sau đó đưa ra một số bài tâp luyện tâp 16 CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG HỆ THỐNG BÀI TẬP TRONG CHỦ ĐỀ HOÁN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP 2.1 Dạng 1: Thực hiện bài. .. tổ hợp, khi giải phương trình còn chưa chú ý đến tập xác định của phương trình Với mục đích giúp học sinh có được cái nhìn tổng quan, hiểu được bản chất của hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, từ đó đưa ra phương pháp giải phù hợp 15 với yêu cầu của bài toán nên tôi đã sắp xếp hệ thống các kiến thức, các dạng bài tập trong sách giáo khoa và trong chương trình môn Toán của chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp; ... thường gặp khi giải toán về chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Cơ sở để giải các bài toán tổ hợp là việc vận dụng các quy tắc nhân, quy tắc cộng và các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Đối với học sinh khi mới học về toán tổ hợp thì ít nhiều cũng gặp khó khăn nhất định Khó khăn đầu tiên gặp phải là một bài toán không biết khi nào sử dụng tổ hợp, khi nào sử dụng chỉnh hợp, tuy nhiên khó khăn này... Kết hợp với điều kiện thì x   5 bị loại 2 Vậy nghiêm của phương trình đã cho là x  5  Kết luân: Chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình môn Toán, là cơ sở để có thể học tốt phần xác suất thống kê và còn được sử dụng rất nhiều trong đời sống hàng ngày Trong quá trình giải các bài toán thuộc chủ đề này học sinh còn hay nhầm lẫn giữa chỉnh hợp và tổ. .. là số các chỉnh hợp a) Vậy số đoạn thẳng mà hai đầu mút là hai điểm thuộc P chính bằng số tổ hợp chập 2 của n phần tử tức là bằng: Cn2  n! n(n  1)  2!(n  2)! 2 b) Số vectơ cần tìm bằng số chỉnh hợp chập 2 của n phần tử tức là bằng: An2  n!  n(n  1) (n  2)! 24 2.1.3 Bài tập luyện tập Bài 1: Cho tập E = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} a) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E? b) Có... thỏa mãn yêu cầu bài toán là:  A   B  C  C   A   B (3) Thay (1), (2) vào (3) ta có C  495  270  225 2.2 Dạng 2: Rút gọn và tính giá trị biểu thức 2.2.1 Kiến thức thường sử dụng  Để thực hiện việc rút gọn hoặc tính giá trị biểu thức có chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp chúng ta thường sử dụng công thức khai triển và trong nhiều trường hợp việc sử dụng các hệ thức giữa các... a3, a4, a5) ứng với một chỉnh hợp chập 4 của các 4 phần tử của tập A\{5} – có 6 phần tử Do đó có A6 cách chọn Như vậy, trong khả năng này, ta được 1.A64 số 21 - Khả năng 2: Nếu 5  {a2, a3, a4, a5} thì có 4 cách chọn Tiếp theo:  a1 được chọn từ tập A\{0,5} – có 5 phần tử nên có 5 cách chọn  Mỗi bộ số dành cho 3 vị trí còn lại ứng với một chỉnh hợp chập 3 của các phần tử của tập A\{5, a1} – có 5 phần... Ngoài ra khi giải phương trình có chứa các toán tử hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp học sinh cũng có thể mắc sai lầm Ví dụ 6: Giải phương trình Ax3  C xx  2  14 x  Cách giải sai: Phương trình đã cho tương đương với: x! x!   14 x ( x  3)! 2!( x  2)! x ( x  1)  x( x  1)( x  2)   14 x 2 14  2 x 2  5 x  25  0  x5  5 x    2 5  Vậy tập nghiệm của phương trình là S  5;   2  ... gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E, trong đó các chữ số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau? c) Có bao nhiêu số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E bắt đầu bằng 123? Giải a) Mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E ứng với chỉ một hoán vị của 7 phần tử của tập E và ngược lại Vậy số các số phải tìm bằng: P7 = 7! = 5040 số b) Xét 2 trường hợp: - Trường hợp 1: Các số 3, 4, 5 đứng cạnh nhau... 3!P5 = 720 số c) Mỗi số gồm 7 chữ số phân biệt hình thành từ tập E bắt đầu bằng 123 ứng với chỉ một hoán vị của 4 chữ số (4, 5, 6, 7) Vậy số các số phải tìm bằng: P4 = 4! = 24 số Bài 2: Tìm số hoán vị của n phần tử trong đó có hai phần tử a và b không đứng cạnh nhau? 25 Giải Trước hết ta có số hoán vị của n phần tử là: Pn = n! Trong đó kể cả số hoán vị mà hai phần tử a và b đứng cạnh nhau Ta đi xem có ... vị, chỉnh hợp, tổ hợp lựa chọn nghiên cứu đề tài: Xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu sở lí luận chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp SGK, sở xây. .. quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp …3 1.2 Các dạng tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp …………….5 1.3 Một số khó khăn, sai lầm thường gặp giải toán chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp …………………………………………………………... 2: Xây dựng hệ thống tập chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp Phần 3: Kết luận PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Nội dung kiến thức liên quan đến chủ đề hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp 1.1.1 Hoán