Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận trước hết em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy cô giáo tổ Giải tích - khoa Toán - trường ĐHSP Hà Nội động viên giúp đỡ em suốt trình làm khóa luận Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn thầy giáo hướng dẫn Ts.Nguyễn Văn Hùng tạo điều kiện tốt bảo tận tình để em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do thời gian kiến thức có hạn nên vấn đề trình bày khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Nhung GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học, nhà nghiên cứu với trân trọng biết ơn Em xin cam đoan kết khóa luận kết nghiên cứu thân, không trùng với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Hồng Nhung GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp MỤC LỤC Lời cảm ơn Lời cam đoan Lời mở đầu Chƣơng 1: Một số kiến thức sở 1.1 Không gian metric 1.2 Không gian định chuẩn 1.3 Không gian Hilbert 16 1.4 Không gian Ca ;b  22 1.5 Không gian Lp a ; b  25 Chƣơng 2: 30 Toán tử tích phân 30 2.1 Toán tử tích phân với hạch liên tục 30 2.2 Toán Tử tích phân với hạch bình phương khả tích 32 2.3 Toán tử tích phân không gian Ca ;b  33 2.4 Toán tử tích phân không gian Lp a ; b  35 2.5 Toán tử tích phân Fredholm 43 Chƣơng 3: 45 Ứng dụng giải phương trình tích phân 45 3.1 Khái niệm phương trình tích phân tuyến tình 45 3.2 Giải phương trình tích phân tuyến tính 47 3.2.1 Phương pháp xấp xỉ dần Hạch lặp 47 3.2.2 Phương pháp nhân suy biến 57 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 3.2.3 Phương trình tích phân với nhân không suy biến 65 Kết luận 76 Tài liệu tham khảo 77 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp LỜI MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết hàm Giải tích hàm môn lý thuyết đời phát triển từ năm đầu kỷ XX tích lũy nội dung phong phú, phương pháp kết mẫu mực, Giải tích hàm xâm nhập vào tất ngành toán học có liên quan sử dụng đến công cụ giải tích Vì lẽ Giải tích hàm trở thành nơi gặp gỡ nhiều ngành khoa học lý thuyết ứng dụng như: lý thuyết phương trình vi phân_tích phân, điều khiển tối ưu, lý thuyết toán cực trị Phương pháp Giải tích hàm tiền đề hóa tính chất đặc trưng tập hợp số thực thành không gian tương ứng mở rộng vấn đề giải tích cổ điển vào không gian Vì vậy, việc học nắm vững môn học cần thiết sinh viên khoa toán Tuy nhiên kiến thức lớp với thời lượng eo hẹp, với mẻ khó môn học làm cho việc tiếp thu kiến thức Giải tích hàm trở nên không dễ dàng với sinh viên khoa toán Do để nắm vững kiến thức Giải tích hàm, đồng thời tâm vào nghiên cứu khoa học, hướng dẫn tận tình thầy giáo Ts.Nguyễn Văn Hùng, em chọn đề tài: “ Toán tử tích phân ứng dụng giải phƣơng trình tích phân ” để làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với công việc nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu Giải tích hàm, đặc biệt lý thuyết toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số sở lý thuyết liên quan đến toán tử tích phân, tính chất toán tử tích phân, ứng dụng toán tử tích phân vào giải phương trình tích phân GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Phƣơng pháp nghiên cứu Phương pháp đọc sách Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Phương pháp phân tích sản phẩm Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương: Chương 1: Một số kiến thức sở Chương 2: Toán tử tích phân Chương 3: Ứng dụng giải phương trình tích phân GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Chƣơng MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Không gian metric tập hợp  khác rỗng với ánh xạ d từ tích Descartes    vào tập hợp số thực  , thỏa mãn tiên đề sau: 1)  x, y    d  x, y   0, d  x, y    x  y (tiên đề đồng nhất) 2)  x, y   d  x, y   d  y, x   x  y (tiên đề đối xứng) 3)  x, y, z    d  x, y   d  x, z   d  z, y  (tiên đề tam giác) Ánh xạ d gọi metric  , số d  x, y  gọi khoảng cách hai phần tử x y Các phần tử  gọi điểm, tiên đề 1), 2), 3) gọi tiên đề metric Không gian metric kí hiệu    , d   Sự hội tụ không gian metric Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian metric   , d  , dãy điểm x0   Dãy điểm  xn   xn    , điểm gọi hội tụ tới điểm x0 không gian  n   , nếu:      n0  *   n  n0  d  xn , x0    Kí hiệu: lim xn  x0 hay xn  x0  n    n Điểm x0 gọi giới hạn dãy  xn  không gian  GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E Trường ĐHSP Hà Nội Nhận xét: Nếu hai dãy điểm Khóa luận tốt nghiệp  xn  ,  yn  hội tụ tương ứng tới x y n   : lim d  xn , y n   d  x, y  n   Không gian metric đầy Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian metric   , d  Dãy điểm  xn    gọi dãy  , nếu:      n0   *   n, m  n0  d  xn , xm    hay lim d  xn , xm   m,n Dễ thấy dãy điểm xn    hội tụ  dãy Điều khẳng định ngược lai không Định nghĩa 1.1.4 Không gian metric   , d  gọi không gian đầy dãy không gian hội tụ  Nguyên lý Banach ánh xạ co Định nghĩa 1.1.5 Cho hai không gian metric 1   , d1  , 2   , d2  Ánh xạ A từ không gian 1 vào không gian  gọi ánh xạ co, nếu:   0,1 x, x '    d  Ax, Ax '   d  x, x ' Định lý 1.1.1(nguyên lý Banach ánh xạ co) GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Mọi ánh xạ co A ánh xạ từ không gian metric đầy   , d  vào _ _ có điểm bất động x nhất, nghĩa x   thỏa mãn hệ thức: _ _ Ax  x  Định lý Axcoli Giả sử  không gian metric compact Gọi C  tập hợp tất hàm liên tục  (với giá trị thực hay phức) Nếu họ A  C    thỏa mãn điều kiện: a) A bị chặn điểm  b) A đồng liên tục  A tập hợp compact tương đối 1.2 C   Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.1 Không gian định chuẩn (hay không gian tuyến tính định chuẩn) không gian tuyến tính  trường ánh xạ từ tập  vào  , kí hiệu  (       ) với  đọc chuẩn, thỏa mãn tiên đề sau: 1)  x    x  0, x   x   (kí hiệu phần tử không  ); 2)  x        3)  x, y   x    x ; x y  x  y ; Số x gọi chuẩn vectơ x Ta kí hiệu không gian định chuẩn  Các tiên đề 1), 2), 3) gọi lả hệ tiên đề chuẩn GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp  Liên hệ không gian định chuẩn không gian metric Định lý 1.2.1 Cho không gian định chuẩn  Đối với hai vectơ x, y   , ta đặt: d x, y   x  y (1.2.1) Khi d metric  Vì vậy, không gian định chuẩn không gian metric  Không gian Cho không gian định chuẩn  tập hợp 0   ,    Nếu  không gian tuyến tính  chuẩn xác định  chuẩn xác định  ,  gọi không gian định chuẩn không gian định chuẩn   Không gian Banach Định nghĩa 1.2.2 Dãy điểm  xn  không gian định chuẩn  gọi dãy bản, nếu: lim x n  x m  n , m  Định nghĩa 1.2.3 Không gian định chuẩn  gọi không gian Banach, dãy  hội tụ  Sự hội tụ không gian định chuẩn Định nghĩa 1.2.4 Cho không gian đinh chuẩn  , x   GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 10 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Ta có hệ:  c   c    c  2 c   3    4  Suy  c    4  c    12     3  4 Vậy nghiệm phương trình cho là:  ( x)  x  2 4 x   42  122  3    4  Ví dụ 3: Giải phương trình   ( x)    sin  x  s  ( s ) ds  cos x Lời giải: Phương trình cho viết dạng:   ( x)     sin x.cos s  cos x.sin s   ( s) ds  cos x     hay  ( x)   sin x.cos s. ( s)ds  cos x.sin s. ( s)ds  cos x ( 3.1)   Đặt c1  cos s. ( s)ds ,  c2   sin s. ( s)ds (3.2) Thay (3.2) vào (3.1) ta có:  ( x)  c1 sin x  c2 cos x  cos x  c1 sin x  1  c2  cos x (3.3) GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 64 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Thay (3.3) vào (3.2) ta được:  c1   cos s c1 sin s  1  c2   cos s .ds  c2 c  cos 2s    sin 2sds  1  c2   ds  2    c2   sin s c1 sin s  1  c2   cos s  ds    c2 c1  cos 2s  c1  ds  sin sds    2 0 2   c2  c  c       2 1 Ta có hệ:  hay  c    c  c       2  (3.4) Vậy nghiệm phương trình cho là:  2  2   ( x)  sin x  1  cos x 2    2      3.2.2.3 Bài tập vận dụng: Giải phương trình sau:  1)  ( x)   xs ( s )ds  f ( x) 2)  ( x)   1  xs  (s)ds  3)  ( x)  1 x 1 1  xs  s  ( s ) ds  x     10 10 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 65 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 4)  ( x)    x  s  ( s)ds  sin x 1 3.2.4 Phƣơng trình tích phân với nhân không suy biến Phương trình tích phân với nhân không suy biến giải thích xác cách đưa hệ đại số tuyến tính Đối với phương trình tích phân có nhân không suy biến ta xấp xỉ nhân nhân suy biến lấy nghiệm gần phương trình nhân suy biến làm nghiệm gần phương trình xuất phát, nghĩa ta hoàn toàn tìm nghiệm phương trình tích phân với nhân không suy biến Cụ thể: Xét phương trình tích phân tuyến tính Fredholm loại II b  ( x)    K ( x, s) ( s)ds  f ( x) (3.2.13) a Giả sử K ( x, s)  K n ( x, s)   n ( x, s) lim max  n ( x, s)  n a x , s b (3.2.14) Khi phương trình (3.2.13) có dạng: b b  ( x)    K n ( x, s) ( s)ds     n ( x, s) ( s)ds  f ( x) a Vì (3.2.15) a  n ( x, s) nhỏ tùy ý n đủ lớn nên ta coi nghiệm n ( x) phương trình tích phân tuyến tính với nhân suy biến Kn ( x, s) là: b  n ( x)    K n ( x, s ) n ( s)ds  f ( x) (3.2.16) a nghiệm gần phương trình tích phân tuyến tính (3.2.13) Bây ta đánh giá sai số phương trình tích phân không suy biến Kí hiệu:  n ( x)   ( x)  n ( x) GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 66 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Từ (3.2.15) (3.2.16) ta có: b b a a  n ( x)    K n ( x, s) n ( s)ds     n ( x, s) ( s)ds Đây phương trình tích phân tuyến tính với nhân suy biến Do dựa vào công thức (3.2.12) ta có: b  ( x)    Rn ( x, s,  ) f ( s)ds  f ( x)  a n (với R( x, s,  )   Dij pi ( x)q j ( s ) giải thức nhân Kn ( x, s) ) D i , j 1 nghiệm phương trình xác định công thức: b   n ( x)     n ( x, s) ( s)ds    Rn ( x, s,  )   n ( x, s) ( x)d x ds a a a  b b Do đó: x  a; b  n ( x)    n N0 b  a   2 Rn n N b  a 2 Hay  n ( x)    b  a  N 0 n 1   Rn  b  a   x   a; b  (3.2.17)  với  n  max  n ( x, s) , N  max  ( x) , Rn  max Rn ( x, s,  ) a ;b  a  x , s b a  x , a b Bây ta đánh giá N , ta có: b b a a  ( x)    K n ( x, s) ( s)ds  f ( x)     K n ( x, s)  K ( x, s) (s)ds b    K n ( x, s) ( s)ds  F ( x) a F ( x)  f ( x)   b   K ( x, s)  K ( x, s). (s)ds n x  a ; b  a GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 67 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Dựa vào công thức (3.2.12) ta có: b  ( x)  F ( x)    Rn ( x, s,  ) F ( s)ds a Mặt khác, ta lại có: F ( x)  P0    n  b  a  N0 , x  a ;b  , P0  max f ( x) a;b Do  ( x)  P0    n  b  a  N0   Rn  b  a   P0    n b  a  N0  , x a ;b  Mà N0  max  ( x) suy ra: a;b N0  P0 1   Rn  b  a     n  b  a  1   Rn  b  a  N0 Giả sử:   n  b  a  1   Rn  b  a    Khi đó: N0  P0 1   Rn  b  a  (3.2.18)    n  b  a  1   Rn  b  a  Như ta có định lí sau: Định lí Giả sử điều kiện (3.2.14) thỏa mãn, D( )    n  b  a  1   Rn  b  a    Khi dãy hàm số  n (x) xác định theo công thức (3.2.12) hội tụ tới nghiệm phương trình (3.2.13) tốc độ hội tụ tính theo công thức (3.2.18)  Một số ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 68 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp   ( x)   sin  xs  ( s)ds  cos x (1.1) Lời giải: Ta xấp xỉ nhân sin( xs ) tổng hai số hạng khai triển Taylor  xs  sin( xs)  xs  r ( x, s)   r( x, s)3  vô bé  r ( x, s), (rs ) Suy sin( xs )   xs  xs  Khi phương trình (1.1) trở thành:   xs     ( x)    xs   ( s)ds  cos x      2 x3 Hay  ( x)  x s ( s )ds   s  ( s )ds  cos x 0   2   Đặt c1  s ( s )ds, c2  s  ( s )ds (1.2) (1.3) Thay (1.3) vào (1.2) ta có: x3  ( x)  xc1  c2  cos x (1.4) Thay (1.4) vào (1.3) ta được: GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 69 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp  c   c1   s sc1  s  cos s ds     2  c2  c1  s ds   s ds   s cos sds 0 3 5   c1  c2   24 960  c   c2   s  sc1  s  cos s ds     2 c  c1  s ds    s ds   s cos sds 5 7 3  c1  c2   3  160 5376  3 5  c1  24 c1  960 c2   Vậy ta có hệ:  c   c   c    3   160 5376 Suy c1  4.8631  c2  6.2442 Vậy nghiệm gần (1.1) là:  ( x)  4.8631x  6.2442 x  cos x Ví dụ 2: Giải phương trình  ( x)   e xs ( s)ds  (2.1) GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 70 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Lời giải: Ta có e Suy x2s2   xs   r ( x, s ) xs e xs x2s2   xs  Khi phương trình (2.1) trở thành:  x2 s2   ( x)   1  xs   ( s)ds   0 1 1 x2 Hay  ( x)   ( s)ds  x  s ( s)ds   s  ( s)ds  0   Đặt c1   ( s)ds, c2  s ( s)ds, 0 (2.2) c3   s 2 ( s)ds (2.3) Thay (2.3) vào (2.2) ta được: x2  ( x)  c1  xc2  c3  (2.4) Thay (2.4) vào (2.3) ta có: 1 1   c3 s2 c1    c1  sc2  c3  1ds  c1  ds  c2  sds   s ds   ds 2  0 0  c1  c2 c3  1 c2 c3  1  Hay 1   c3 s2 c2   s c1  sc2  c3  1ds  c1  1 sds  c2  s ds   s ds 2   0 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 71 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp  c1 c2 c3    c1 2c2 c3    0 Hay 1   c3 s2 c3   s  c1  sc2  c3  1ds  c1  1 s ds  c2  s ds   s ds 2   0  Hay c1 c2 c3    10 c1 c2 9c3    0 10 c2 c3    1   1  c 2c c Vậy ta có hệ:      2  c1 c2 9c3      10  Suy 3769  c    1312  531  c2   328  375  c    328  Vậy nghiệm phương trình cho là:  ( x)   3769 531 375  x x 1312 328 328 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 72 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp Ví dụ 3: Giải phương trình:  ( x)   sin( xs) ( s)ds   x (3.1) Lời giải: Ta xấp xỉ nhân sin( xs ) tổng hai số hạng khai triển Taylor:  xs  sin( xs)  xs   r ( x, s),   r ( x, s)   r ( x, s)3 vô bé bậc cao vô bé  xs  Suy ra: sin( xs )   xs  xs  Khi phương trình (3.1) trở thành:   xs    ( x)    xs   ( s)ds   x   1 Hay Đặt x3  ( x)  x s ( s)ds   s  ( s)ds   x 0 c1   s ( s)ds, c2   s 3 ( s)ds (3.2) (3.3) Thay (3.3) vào (3.2) ta có: x3  ( x)  xc1  c2   x (3.4) Thay (3.4) vào (3.3) ta được: c   c1   s sc1  s   s ds   GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 73 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp 1 1 c  c1  s ds   s ds   sds   s 3ds 0 0  Hay c1 c2 1 c1 c2       30 30 c1  c2   30 c   c2   s  sc1  s   s ds   1 1 c  c1  s ds   s ds   s 3ds   s ds 0 0  Hay c1 c2 1 c1 c2       42 42 12 43 c2  c1   42 12  c  c    30 Do ta có hệ:   c  43 c   42 12  Suy ra: 2375  c    2171  c  2695   4342 Vậy nghiệm gần phương trình là:  ( x)   2375 2695 x  x2  x 2171 26052 GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 74 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp  Bài tập vận dụng:Giải phương trình sau:  1)  ( x)  sh( xs) ( s)ds   x 2)  ( x)  sin( xs) 0 s  (s)ds  x 3)  ( x)   1  s e xs    ( s)ds   x GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 75 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp KẾT LUẬN Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu khóa luận, em bước dầu làm quen với cách thức làm việc khoa học, hiệu Qua đó, em củng cố them kiến thức Giải tích hàm đồng thời thấy phong phú, lý thú toán học Trong khóa luận này, kiến thức bổ trợ không gian Metric, không gian định chuẩn, không gian Hilbert…Em nêu số tính chất toán tử tích phân, số phương pháp giải phương trình tích phân tuyến tính Trên sở áp dụng vào giải phương trình tích phân VolterraFredholm Đó thành công đề tài Hi vọng tài liệu góp chút cho bạn sinh viên quan tâm đến Giải tích hàm nói riêng toán học nói chung Qua em xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Ts Nguyễn Văn Hùng người trực tiếp giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Đồng thời em xin trân trọng cảm ơn thầy cô giáo tổ giải tích, thầy cô giáo khoa toán trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận tốt nghiệp Do bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, chắn khóa luận không tránh khỏi thiếu sót Em kính mong thầy cô bạn đóng góp ý kiến, trao đổi để khóa luân hoàn thiện tốt GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 76 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Đức Chính (1978), Giải tích hàm, Tập 1: Cơ sở lý thuyết, Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học kĩ thuật Hà Nội Nguyễn Xuân Liêm (1995), Giải tích hàm, Nxb Giáo dục Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, Nxb Đại học quốc gia Hà Nội Jean Dieudonne (1973), Cơ sở giải tích đại, Tập (bản dịch tiếng Việt), Nxb Đại học Trung học chuyên nghiệp GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 77 Trường ĐHSP Hà Nội Khóa luận tốt nghiệp GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 78 [...]... duy nhất bởi phiếm hàm f và f  a  Toán tử liên hợp Định nghĩa 1.3.8 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  vào không gian Hilbert  Toán tử B ánh xạ không gian  vào không gian  gọi là toán tử liên hợp với toán tử A , nếu:  Ax, y  x, By , x  , y   Toán tử liên hợp B thường được kí hiệu là A  Toán tử tự liên hợp Định nghĩa 1.3.9 Toán tử tuyến tính bị chặn A... L2  vào chính nó +) Dễ thấy A là một toán tử tuyến tính +) Đặt   sup K ( x, s) , ta có: x , s  A ( x)   K ( x, s) (s)ds     (s) ds    Do đó A 2   1  2 , x   2 A    ( x ) dx   1  2   Suy ra A bị chặn Vậy A là một toán tử tuyến tính liên tục từ L2  vào L2  A được gọi là toán tử tích phân với hạch liên tục 2.2 Toán tử tích phân với hạch bình phƣơng khả tích Giả...   Toán tử compact Định lí 1.3.6 Cho A là toán tử tuyến tính bị chặn ánh xạ không gian Hilbert  vào không gian Hilbert  A là toán tử compact khi và chỉ khi toán tử A biến mọi dãy hội tụ yếu trong không gian  thành dãy hội tụ mạnh (còn gọi là hội tụ theo chuẩn) trong không gian  Định lí 1.3.7 Nếu  là một không gian Hilbert, thì liên hợp của mọi toán tử compact trong  đều là một toán tử compact... dưới dạng: A  VT trong đó: :    là một toán tử dương bị chặn trong  , và V :    là một toán tử đẳng cự bộ phận với miền gốc  A     và miền ảnh  A    Toán tử Hilbert-Smith Giả sử  và  là hai không gian Hilbert và A :    là một toán tử Compact của không gian  vào không gian  Như đã biết, toán tử A có thể biểu diễn dưới dạng: A  VT GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn... ) Ánh xạ A từ không gian  vào không gian  gọi là tuyến tính, nếu ánh xạ A thỏa mãn điều kiện: 1)  x, x '    2)  x         A  x  x '  Ax  Ax ' A x    Ax Ta thường gọi ánh xạ tuyến tính là toán tử tuyến tính Khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 1) thì A gọi là toán tử cộng tính còn khi toán tử A chỉ thỏa mãn điều kiện 2) thì toán tử A gọi là toán tử thuần nhất GVHD: Ts Nguyễn... chứng minh A là một ánh xạ từ không gian L2    vào chính nó Dễ dàng thấy A là một toán tử tuyến tính GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 32 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Từ (2.2.2) và (2.2.3) suy ra: A 2  K ( x, s)  2 dxds   2 Vậy A là một toán tử tuyến tính bị chặn và: A   2 K ( x, s ) dxds  A được gọi là toán tử tích phân với hạch bình phương khả tích. .. phân với hạch bình phương khả tích 2.3 Toán tử tích phân trong không gian Ca ;b  Cho hàm số K ( x, s) xác định và liên tục trên hình vuông D  a  x  b, a  s  b   2 với mỗi hàm số  ( s)  Ca;b  , ta đặt: b A ( x)  y ( x)   K ( x, s) ( s)ds (2.3.1) a A gọi là toán tử tích phân, K ( x, s) gọi là hạch(hạt nhân) của toán tử Nhờ tính chất của tích phân phụ thuộc tham số, hàm số A ( s... toán tử tuyến tính: A:    ánh xạ mọi dãy hội tụ yếu trong  thành dãy hội tụ (mạnh) trong  thì A là một toán tử compact Định lý 1.2.9 Giả sử  là một không gian định chuẩn tùy ý và  là một không gian Banach Nếu An  L  ,   n  1,2  là một dãy toán tử compact, hội tụ trong L,   đến toán tử A  L,   , tức là: lim An  A  0 n thì A là một toán tử compact Định lý 1.2.10 a) Nếu  và. ..    AB   Nhiều khi f ( x, y ) khả tích / A B thì với y  B hàm số f ( x, y ) xem như hàm số theo một biến x là khả tích trên A(B) Đồng thời với mọi x  A hàm số f ( x, y) xem như một biến y khả tích trên B(A) GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 29 Trường ĐHSP Hà Nội 2 Khóa luận tốt nghiệp Chƣơng 2 TOÁN TỬ TÍCH PHÂN Toán tử tích phân với hạch liên tục 2.1 m Giả sử  là... và  là hai không gian định chuẩn và A :    là một toán tử compact, thì toán tử liên hợp A :     cũng là compact b) Ngược lại, nếu toán tử A là compact và giả thiết thêm rằng  là một không gian Banach, thì A là một toán tử compact GVHD: Ts Nguyễn Văn Hùng - SVTH: Nguyễn T Hồng Nhung K32E 15 Trường ĐHSP Hà Nội 2 1.3 Khóa luận tốt nghiệp Không gian Hilbert  Tích vô hƣớng Định nghĩa 1.3.1 Cho ... 2: 30 Toán tử tích phân 30 2.1 Toán tử tích phân với hạch liên tục 30 2.2 Toán Tử tích phân với hạch bình phương khả tích 32 2.3 Toán tử tích phân không gian Ca ;b  33 2.4 Toán tử tích phân. .. sâu Giải tích hàm, đặc biệt lý thuyết toán tử Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu số sở lý thuyết liên quan đến toán tử tích phân, tính chất toán tử tích phân, ứng dụng toán tử tích phân vào giải... toán tử tích phân không gian L2 a ;b  Ở ta xem xét toán tử tích phân không gian đinh chuẩn, ta xét toán tử tích phân không gian Hilbert, cụ thể ta xét toán tử tích phân Fredholm 2.5 Toán tử