TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH ———————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN BANACH VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP Mã số: Thuộc nhóm ngành: Khoa học tự nhiên năm 2015 Mục lục TRANG PHỤ BÌA MỤC LỤC MỞ ĐẦU KẾT LUẬN TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động lĩnh vực Toán học nhiều nhà Toán học quan tâm Trong lý thuyết này, ngồi định lí tồn điểm bất động, người ta quan tâm đến cấu trúc tập hợp điểm bất động, phương pháp tìm điểm bất động ứng dụng chúng Người ta thấy ứng dụng đa dạng lý thuyết điểm bất động toán học lý thuyết toán học ứng dụng, vật lý, tin học nghành khoa học khác Với mục đích tìm hiểu áp dụng định lí điểm bất động không gian Banach phương pháp lặp để giải số tốn phương trình vi phân, giải tích hàm nên lựa chọn đề tài Lịch sử vấn đề nghiên cứu: Những định lý điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỷ XX, phải nói đến kết kinh điển “Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1922) Một hướng nghiên cứu nhà Toán học lĩnh vực xây dựng không gian mới, sau mở rộng kết kinh điển Banach cho lớp ánh xạ Lý thuyết gắn liền với tên tuổi nhà toán học lớn Brouwer, Banach, Shauder, Kakutani, Tikhonov, Ky Fan, Browder,… Mục tiêu nghiên cứu: - Trình bày kiến thức liên quan đến đề tài - Trình bày ứng dụng điểm bất động không gian Banach phương pháp lặp - Đưa giải số toán điểm bất động không gian Banach phương pháp lặp Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu: - Đối tượng: điểm bất động phương pháp lặp - Phạm vi : không gian banach - Phương pháp nghiên cứu: + Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu làm rõ nội dung lý thuyết Sau trình bày lại tính chất theo hệ thống có lơgic + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tổng kết kinh nghiệm thân, bạn học, anh chị xung quanh để tổng hợp hệ thống hóa kiến thức, vấn đề nghiên cứu đầy đủ khoa học kết hợp đưa ví dụ cụ thể để minh họa chi tiết + Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Semina, lấy ý kiến giảng viên hướng dẫn để hồn thành mặt nội dung hình thức đề tài nghiên cứu Bố cục đề tài Chương I: Điểm bất động không gian Banach Chương II: Phương pháp lặp Chương III Hệ phương trình tuyến tính IRn Chương I: Điểm bất động khơng gian Banach Định nghĩa không gian Banach Không gian Banach định nghĩa không gian vectơ định chuẩn đầy đủ Điều nghĩa không gian Banach không gian vectơ X trường số thực hay số phức với chuẩn || || cho dãy Cauchy (tương ứng với metric d ( x, y ) = x − y ) hội tụ X Điểm bất động không gian Banach 2.1 Định nghĩa T : M ⊆ X → M không gian mêtric (X, d) gọi ánh xạ k-co với x, y∈ M, cố định k, cho < k < • Nếu d ( Tx,Ty ) ≤ kd ( x, y ) với k =l, T khơng giãn • Nếu < k < ∞ , T gọi liên tục Lipschitz • Nếu d ( Tx, Ty ) < d ( x, y ) với x, y∈ M x ≠ y, T gọi co Với t hiển nhiên ta có: k-co → co → không giãn → liên tục Lipschitz Mỗi không gian Banach ( X , ) không gian mêtric đầy đủ (X, d) với d ( x, y ) = x − y Trên không gian Banach, d ( Tx, Ty ) ≤ kd ( x, y ) trở thành Tx − Ty ≤ k x − y Ánh xạ liên tục T: X → X khơng gian X, trở thành: Tx − Ty ≤ T x − y Do đó, T Lipschitz liên tục Nếu T ≤ , T không giãn, T < , T k-co với k = T 2.2 Định lý điểm bất động không gian Banach Ta kiểm tra điều kiện phương trình phi tuyến x = Tx x∈M giải phép tính xấp xỉ liên tiếp xn+1 = Txn , x0 ∈ M n = 0,1,2 Định lý 1.A (Định lý điểm bất động không gian banach (1922)) Giả sử: (i) Cho T: M ⊆ X → M , nghĩa là, M ánh xạ vào T; (ii) M tập đóng khác rỗng không gian mêtric đầy đủ (X, d) (iii) T gọi k co, nghĩa là: d ( Tx, Ty ) ≤ kd ( x, y ) với x, y∈ M cho k cố định, ≤ k < *Thì kết luận kết sau đây: (a) Phương trình x = Tx có xác nghiệm, nghĩa là, T có điểm bất động M (b) Dãy (xn) hội tụ đến x nghiệm phương trình x = Tx , ∀x0 ∈ M (c) Với n = 0,1,2,… Ta ước lượng độ sai tiên nghiệm d ( xn , x ) ≤ k n ( − k ) d ( x0 , x1 ) −1 Và ước lượng độ sai hữu nghiệm d ( xn+1 , x ) ≤ k ( − k ) d ( xn , xn +1 ) −1 (d) Với n = 0,1,2,….Ta có d ( xn+1 , x ) ≤ kd ( xn , x ) 2.3 Chứng minh định lý điểm bất động không gian Banach (I) (xn) dãy Cauchy Từ d ( xn xn +1 ) = d ( Txn−1 ,Txn ) ≤ kd ( xn −1 , xn ) ≤ k d ( xn− , xn−1 ) ≤ ≤ k n d ( x0 , x1 ) Ta có: d ( xn , xn + m ) ≤ d ( xn , xn +1 ) + d ( xn +1 , xn + ) + + d ( xn + m −1 , xn + m ) ≤ ( k n + k n+1 + + k n + m−1 ) d ( x0 , x1 ) ≤ k n ( − k ) d ( x0 , x1 ) −1 Từ X đầy đủ, dãy Cauchy hội tụ, nghĩa x n → x với n → ∞ Bất đẳng thức d ( xn , x ) ≤ k n ( − k ) d ( x0 , x1 ) tương tự với m → ∞ −1 (II) Ước lượng độ sai bất đẳng thức d ( xn+1 , x ) ≤ k ( − k ) d ( xn , xn +1 ) cho m → −1 ∞ d ( xn+1 , xn+ m+1 ) ≤ d ( xn+1 , xn+ ) + + d ( xn+ m , xn+ m+1 ) ≤ ( k + k + + k m ) d ( xn , xn +1 ) ≤ k ( − k ) d ( xn , xn+1 ) −1 (III) x nghiệm x = Tx T liên tục d ( Tx, Ty ) ≤ kd ( x, y ) Từ T ( M ) ⊆ M với x0 ∈ M , xn ∈ M , với n Từ M đóng với xn → x với n → ∞ , x ∈ M Phương trình xn +1 = Txn , x0 ∈ M n = 0,1,2 trở thành Tx = x n → ∞ (IV) Phương trình d ( xn+1 , x ) ≤ kd ( xn , x ) : d ( xn +1 , x ) = d ( Txn ,Tx ) ≤ kd ( xn , x ) (V) Tính nghiệm Giả sử x = Tx y = Ty, d ( x, y ) = d ( Tx,Ty ) ≤ kd ( x, y ) với d ( x, y ) = hay x=y 2.4 Ví dụ minh họa Giả sử X = IR Xét ánh xạ sau khơng có điểm bất động: x T : M → M , M = ] 0,1[ , Tx = M (i) π  (ii) T : M → M , M = R, Tx =  ÷+ x − arctan ( x ) M 2 (iii) T : M → N , M = [ 0,1] , N = [ 2,3] Trong (i) M khơng đóng Ánh xạ T khơng có điểm bất động M Trong (ii), T co, k-co Vì cho đạo hàm T ' ( x ) = − ứng dụng định lý trung bình giá trị ta có Tx − Ty ≤ − x− y ≤ x− y 1+ ξ Trong (iii), M khơng phải ánh xạ vào Chương II: Phương pháp lặp Tốc độ hội tụ phương pháp Newton’s - Nếu x∈ ]a,b[ nghiệm phương trình: , + x2 x = F ( x) - Và giả sử có dãy lặp lặp lại (xn), đó: xn+1 = F ( xn ) Và xn ∈ ]a, b[ với n, xn → x n → ∞ - Bây giả sử F khả vi [a,b], với: F '( x) = F ''( x) = = F ( m+1) ( x) = - Trong trường hợp này, định lí taylor nói rằng: m F ( xn ) − F ( x) = F m (λn ) xn − x / m!, λn ∈ ]a, b[ (1) - Từ xn+1 = f ( xn ) x = f ( x) , ta thấy: xn+1 − xn ≤ sup F m (λ ) xn − x / m! (2) a < λ 0 cho |g’(x)| ≤ q||x - xn|| ≤ ( 101− a ( n ) ) − nR∞ x − x0 , n = 1,2, a(n) → n → ∞ Do đó, cho n lớn xn → x Chứng minh định lí 4.1(a) (I) Nếu A < ||I|| + ||A|| + ||A2||+… ≤ 1+ ||A|| + ||A2||+… Và chuỗi lớn hội tụ cấp số nhân Do đó, chuỗi định nghĩa F(A) = I + A + A2 +…… hội tụ tồn phần khơng gian Banach L(X,X) Từ I = F(A)(I – A) = (I – A)F(A), F(A) = (I – A)-1 (II) Tập hợp Tx = Ax + b, ta có: ||Tx – Ty|| = ||Ax – Ay|| ||A|| ||x – y||, với x,y ∈ X Nghĩa là, T ánh xạ k- co với k = ||A|| Từ định lí 1.A bao gồm : ||x – xn|| ≤ ||An|| ||x1 – x0||/(1 - ||A||) ||x – xn+1|| ≤ ||An|| ||xn+1 – xn||/(1 - ||A||) ||x – xn+1|| ≤ ||A|| ||x – xn|| Chứng minh định lí 4.1(b) Nếu r(A) < có phương pháp lặp ổn định cho x = Ax + b, hệ 4.1(a) Kết hợp với xn = Axn-1 + b, ta có: x – xn = A(x – xn-1) ứng dụng tích phân lặp x – xn = An(x – x0)sao cho ||x – xn|| ||An|| ||x – x0|| Cho r(A) > 1, phương trình x = Ax + b khơng có phương pháp lặp ổn định, từ hệ 4.1(b) Hệ 4.1: Cho X → X tốn tử tuyến tính liên tục khơng gian Banach thực (a) Nếu r(A) 0, có số dương C(ℰ) cho: ||x - xn|| ≤ C(ℰ)(r(A) + ℰ)n ||x1 – x0||, n= 1,2,…… (b) Nếu r(A) >1, tồn điểm b ∈ X để dãy (xn) phân kì với x0 = Nếu ta gọi K0 kí hiệu tập tất b ∈ X để dãy (xn) hội tụ x0 = 0, K0 Baire phạm trù X Phần bù X –K Baire phạm trù X trù mật X (c) Nếu r(A) = 1, A có giá trị riêng λ ∈ ¡ với |λ| = tương ứng với vectơ riêng y, có hai dãy (xn) (yn), xn = Axn-1, x0 = (yn) = Ayn-1, y0 = y hội tụ đến điểm giống X, nghĩa X = Ax + b khơng có ổn định phương pháp lặp Tập K0 phạm trù Baire thứ rõ ràng khó so sánh X với X - K Ví dụ cho X = ¡ có compact đếm nhiều điểm đường phạm trù thứ Do hệ 4.1(b) nói r(A)> ta nên xét phân kì phương pháp lặp Chứng minh hệ 4.1(a) Dựa vào tiêu chuẩn tương đương ||.||ℰ X với ℰ > 0: m(ℰ)||x|| ≤ ||x||ℰ ≤ M(ℰ)||x||, với x ∈ X cho tiêu chuẩn ánh xạ tuyến tính tương ứng ||A|| ℰ thỏa mản bất đẳng thức r(A) ≤ ||A||ℰ ≤ r(A) + ℰ Từ r(A) < 1, r(A) + ℰ, với ℰ đủ bé, ||A||ℰ < Từ định lí 4.1(a), phương trình X = Ax + b có nghiệm x với b X, cho Xn = Axn-1 + b, ta có: n ||x – xn||ℰ ≤ A ε (1 - ||A||ℰ)-1||x1 – x0||ℰ ≤ ( r ( A ) + ε ) ( − r ( A) − ε ) x1 − x0 ε Bất đẳng thức m(ℰ)||x|| ≤ ||x||ℰ ≤ M(ℰ)||x||, với x ∈ X bao hàm n −1 ||x - xn|| ≤ C(ℰ)(r(A) + ℰ)n ||x1 – x0||, Chứng minh hệ 4.1(b) Giả sử r(A) > 1, từ An An 1/ n 1/ n n= 1,2,… → r ( A ) n → ∞ , ta có: ≥ q >1 Sao cho ||An|| ≥ qn, với n lớn Vì vậy, ||An|| → ∞ n → ∞ Cho b ∈ K0 xn+1 = Axn + b, x0 = 0, ta có: xn+1 = b + Ab + A2b + …+ Anb, n ≥ Bằng định nghĩa Ko ta có (xn) hội tụ nên Xn+1 - xn= Anb → n → với b ∈ Ko Nếu Ko phạm trù thứ nhất, phải phạm trù thứ Bằng nguyên lý bị chặn ta có Supn ||An||< ∞ , phủ định ||An|| → ∞ n Nếu K0 phạm trù thứ nhất, X – K0 phạm trù thứ hai trù mật X Chứng minh hệ 4.1(c) Từ yn – xn = A(yn-1 – xn-1), ta được: yn – xn = An(y0 – x0) = Any = λny Từ |λ| = y ≠ 0, ta khơng thể có (x n) (yn) hội tụ đến điểm giống Ứng dụng hệ thống phương trình tuyến tính Ta lấy hệ tuyến tính cho = ci , i = 1,…,N Trong đó, bij ≠ với i viết lại ứng dụng tương đương N ξi = ∑ aijξ j + bi , i = 1,….,N j =1 Trong bi = ci/bii aij = -bij/bii với i ≠ j aii = Phương pháp lặp tương ứng gọi phương pháp lặp toàn phần N ξi( n +1) = ∑ aijξ j( n ) + bi , n = 0,1,2… ; i = 1,…,N j =1 Ví dụ (Tiêu chuẩn tổng hàng cột cho phương pháp toàn phần) Cho (bij ) thực, N N – ma trận thỏa mãn hai điều kiện sau với i = 1,…,N ∑j bij < |bii| ∑b k ki (tổng hàng) < bii < |bii| (tổng cột) Ở đây, phép lấy tổng toàn j=1,…,N, với j ≠ i ( tương tự k = 1,…,N, với k ≠ i) Cho ci ∈ ¡ cố định, i = 1,…,N, phương trình = c i , i = 1,…,N có N ( n +1) (n) nghiệm ξi ∈ ¡ , i = 1,…,N, phương pháp lặp ξi = ∑ aijξ j + bi , n = j =1 (0) hội tụ tiến dần đến phần tử ban đầu tùy ý ξi ∈ ¡ , i = 1, 0,1,2… ; i = 1,…,N …,N Chứng minh: Tập hợp x = ( ξ1 ,…, ξ N ); b = (b1,…,bN) X = , i = 1,….,N trở thành phương trình X = Ax + b, A∈ L(X,X) Với tiêu chuẩn X, ta chọn ∞ , , cho ta đạt tiêu chuẩn A, N A ∞ = max1≤i ≤ N ∑ aij < j =1 N A = max1≤ j ≤ N ∑ aij < i =1 Định lí 4.1(a) thiết lập kết luận Lưu ý hội tụ ∞ , , để ξi( n ) → ξi n → ∞ với i Mệnh đề 4.2: Giả sử A = (aij) ma trận thực (N N) N ξi = ∑ aijξ j + bi , i = 1,….,N có phương pháp lặp ổn định tồn j =1 giá trị riêng λ A thỏa mản λ < Chứng minh: Thỏa mản bán kính phổ r(A) = max i λi , λi giá trị riêng A Bằng N định lí 4.1(b) hệ 4.1(c), phương trình ξi = ∑ aijξ j + bi , i = 1,….,N có j =1 phương pháp lặp ổn định r(A) < Chú ý: Định lý 4.1(b) cung cấp ước lượng độ sai ví dụ Ta có r(A) ≤ ( A , A ∞ ) Chú thích R∞ = log10 r ( A ) −1 N A ∞ = max1≤i ≤ N ∑ aij < j =1 N A = max1≤ j ≤ N ∑ aij < i =1 với aij = -bij/bii, i ≠ j Ta đến kết luận : đường chéo b ii lớn so sánh với phần tử lại bij,i ≠ j, lớn tốc độ hội tụ tiệm cận , hay nhanh phương pháp lặp hội tụ Áp dụng giải hệ phương trình đại số tuyến tính a Giới thiệu Cho hệ phương trình tuyến tính a x1 + a12 x2 + + a1n xn = a1n+1  a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = a2 n+1   an1 x1 + an x2 + + ann xn = ann +1 11 Hệ phương trình cho ma trận  a11 a12 a1n a1n +1  a a22 a2 n a2 n+1 ÷ 21  ÷ Ann+1 =  ÷  ÷  an1 an ann ann +1  r Vấn đề: tìm vectơ nghiệm x = ( x1 , x2 , , xn ) Phương pháp: - Phương pháp (Krame, Gauss, khai căn): Đặc điểm phương pháp sau số hữu hạn bước tính, ta nhận nghiệm q trình tính tốn khơng làm trịn số - Phương pháp gần (Gauss Siedel, giảm dư): Thông thường ta cho ẩn số giá trị ban đầu, từ giá trị tính giá trị nghiệm gần tốt theo qui tắc Q trình lặp lại nhiều lần với số điều kiện định, ta nhận nghiệm gần Phương pháp Krame - Khai báo hàm Dt tính định thức ma trận vuông cấp n ( ) - Nhập n, aij i = 1, n; j = 1, n + - d = Dt(A) -Xét +d=0 +d≠0 {d i = Dt (A); x i = d i / d } Phương pháp Gauss a) Nội dung phương pháp - Biến đổi ma trận A ma trận tam giác  a11 a12 a1n a1n +1  a a22 a2 n a2 n +1 ÷ 21  ÷ A=  ÷  ÷  an1 an ann ann+1   a11 a12 a1n  a ' a ' 22 2n → A=   a 'nn 0 a1n +1  a '2 n +1 ÷ ÷ ÷ ÷ a 'nn+1  Cách biến đổi A → A’: Thực n-1 lần biến đổi Lần biến đổi I (làm cho aij = : j = i + → n ) cách: Dòng j=dòng j + dòng i*m(m= −aij / aij ) Tìm nghiệm theo trình ngược: xn → xn −1 → x1 Ví dụ 1: giải hệ phương trình 1 −2x  1x  −1  1x  −2 −1 −1 5  −1  ÷  −3 −7 −8 ÷ 2÷  ÷ → ÷ /  13 ÷ ÷  ÷  /  14    −1  −1  −3 ÷  −3 − − −7  ÷   13 −14 −1 ÷→  13 −14 −17  0 0  3 ÷ 3 ÷  13  49  0 17 −7 10 ÷  0  ÷  3   13  → x1 = 1; x2 = 1; x3 = 1; x4 = Vậy nghiệm hệ phương trình x = ( 1,1,1,1) Phương pháp lặp Gauss-Siedel(tự sửa sai) a) Nội dung phương pháp Biến đổi hệ phương trình dạng r r ur x = Bx + g r x = (x1 , x , , x n ); B = (bij ) n ur g = (g1 ,g , ,g n )  −8 ÷ ÷ −1 ÷ ÷ ÷ 49 ÷ ÷ 13    a x + a x + + a x = a 12 1n n 1n +1  a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = a2 n+1    an1 x1 + an x2 + + ann xn = ann +1 11 Cách biến đổi n    x = a − aij x j ÷ / a11 (j ≠ 1)   n +1 ∑ j =1      n  xn =  ann +1 − ∑ anj x j ÷ / ann (j ≠ n) j =1    n   Tổng quát: xi =  ain +1 − ∑ aij x j ÷ / aii (j ≠ i) j =1   (*) uu r 0 x Cho hệ phương trình xấp xỉ nghiệm ban đầu o = ( x0 , x2 , xn ) uu r Thay x0 vào (*) để tính ur x1 = ( x01 , x21 , x1n ) xi1 =  ain +1 − ∑ aij x 0j ÷ / aii (j ≠ i)   uu r uu r Tương tự tính x2 , x3 , n  k +1 k  Tổng quát: xi =  ain+1 − ∑ aij x j ÷ / a ij (i ≠ j) j =1   Quy trình lặp dừng lại thỏa mãn tiêu chuẩn hội tụ tuyệt đối: xik + i − xik < ε (∀ i = 1, n) k k k Khi xk = ( x1 , x2 , , xn ) nghiệm hệ phương trình Điều kiện hội tụ: Hệ phương trình có ma trận lặp B thỏa mãn: n r1 = max ∑ | bij |< j =1 n Hoặc r2 = max ∑ | bij |< j =1 n Hoặc r3 = ∑∑ bij < i =1 j =1 Thì trình hội tụ đến nghiệm Ví dụ 2: Giải hệ phương trình 10 10   10 10 ÷  ÷  1 10 ÷    x1 = −0, 2x − 0,1x +   x2 = −0,1x1 − 0,2x + 1,2  x = −0,1x − 0,1x + 0,8  −0,2 −0,1    B =  −0,1 −0,2 ÷ ÷  −0,1 −0,1 ÷   ur g = ( 1,1.2,0.8 ) Do r1 = max ∑ bij = 0,3 < Thỏa mãn điều kiện hội tụ j =1 Áp dụng phương pháp Gauss-siedel: uu r ur Chọn x0 = ( 0,0,0 ) thay vào có x1 = ( 1,1.2,0.8 ) uu r uu r x , x Tương tự tính , Bảng kết quả: x1 x2 x3 1.2 0.8 0.68 0.94 0.58 0.754 1.016 0.638 0.733 0.997 0.623 0.738 1.002 0.627 0.737 1.001 0.626 0.737 1.001 0.626 Nghiệm hệ phương trình: r x = ( 0.737,1.001,0.626 ) −3 Vì xi − xi < 10 ∀i = 1,3 Lưu ý: - Phương pháp thực aii # 0, khơng phảI đổi dịng - Q trình hội tụ khơng phụ thuộc vào x0 mà phụ thuộc vào chất hệ phương trình - Mọi hệ phương trình có giá trị riêng λ ≥ hội tụ đến nghiệm cách nhanh chóng - Nếu phần tử aii lớn phần tử dịng q trình hội tụ nhanh KẾT LUẬN Với nội dung nghiên cứu trình bày, đề tài “Về định lí điểm bất động khơng gian Banach phương pháp lặp” giải vấn đề đặt Đề tài trình bày số kiến thức sở liên quan, khái niệm, định lý, ví dụ điểm bất động không gian Banach phương pháp lặp Đồng thời đưa hệ phương trình tuyến tính IR n số ứng dụng Chúng tơi tìm hiểu áp dụng định lí điểm bất động không gian Banach phương pháp lặp để giải số tốn phương trình vi phân, giải tích hàm Qua q trình nghiên cứu giúp tơi hiểu sâu nửa nhóm afin tương giao đầy đủ nắm vững kiến thức Đại số đại cương Nội dung đề tài dừng lại việc nghiên cứu nửa nhóm afin, chưa nghiên cứu tương giao đầy đủ đa tạp xoắn Trong tương lai cố gắng nghiên cứu sâu toàn diện vấn đề Trong trình thực đề tài nhận hướng dẫn giúp đỡ tận tình thầy giáo Trần Mạnh Hùng Thầy giúp lĩnh hội kiến thức chuyên môn làm quen với việc soạn thảo văn Latex rèn luyện tác phong nghiên cứu khoa học Chúng tơi xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy, xin gửi lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm khoa, thầy giáo bạn sinh viên khoa tốn Trường Đại học Quảng Bình quan tâm, giúp đỡ, tạo điều kiện để chúng tơi hồn thành đề tài Chúng tơi cố gắng để hồn thiện nội dung lẫn hình thức khơng thể tránh khỏi thiếu sót Nên chúng tơi mong nhận góp ý thầy giáo, cô giáo bạn để đề tài hồn thiện Chúng tơi xin chân thành cảm ơn! ... dụng điểm bất động khơng gian Banach phương pháp lặp - Đưa giải số toán điểm bất động không gian Banach phương pháp lặp Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu: - Đối tượng: điểm bất động phương. .. Chương II: Phương pháp lặp Chương III Hệ phương trình tuyến tính IRn Chương I: Điểm bất động không gian Banach Định nghĩa không gian Banach Không gian Banach định nghĩa không gian vectơ định chuẩn... lí điểm bất động khơng gian Banach phương pháp lặp? ?? giải vấn đề đặt Đề tài trình bày số kiến thức sở liên quan, khái niệm, định lý, ví dụ điểm bất động không gian Banach phương pháp lặp Đồng