Đang tải... (xem toàn văn)
Trong Toán học, cực trị là một khái niệm rất hẹp nhưng kiến thức liên quan đến nó thì vô cùng rộng r•i. Trong chương trình Toán THCS những bài toán cực trị có mặt rải rác và hầu khắp các phân môn Số học, Đại số và Hình học. Học sinh từ lớp 6 đến lớp 9 đều đ• gặp những bài toán cực trị với những yêu cầu như : tìm số x lớn nhất sao cho..., tìm giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) của biểu thức ..., xác định vị trí của điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi ...) của hình H nào đó đạt giá trị lớn nhất ( nhỏ nhất ) ...,
Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS Môc lôc Môc lôc a phần mở đầu I - Lí chọn đề tài .2 II- Môc ®Ých nghiªn cøu III- Khách thể đối tợng nghiªn cøu IV- Gi¶ thuyÕt khoa häc .3 V- NhiƯm vơ nghiªn cøu VI- Giới hạn đề tài .3 VII- Các phơng pháp nghiên cứu B PhÇn néi dung Chơng I : Đại cơng cùc trÞ Chơng II : cực trị số học I – phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d II - Đồng d thức phơng trình đồng d III – Sè nguyªn tè .9 IV Phơng trình DIOPHANTE 10 V- mét sè toán cực trị khác 12 Chơng III : Cực trị ®¹i sè .14 I Phơng pháp sử dụng tam thức bậc hai 14 II.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào luỹ thừa bậc chẵn .16 III.Phơng pháp tìm cực trị theo tính chất giá trị tuyệt 19 ®èi 19 IV.Phơng pháp tìm cực trị dựa vào tập giá trị hàm 20 V.Phơng pháp tìm cực trị sử dụng bất đẳng thức Côsi .22 VI Phơng pháp tìm cực trị sử dụng BĐT Bunhiacôpxki 26 VII.Phơng pháp tìm cực trị sử dụng phơng pháp phân chia 28 VIII Một số sai lầm giải toán cực trị 31 IX Bµi tËp 34 Hớng dẫn giải tập 38 c phÇn kÕt luËn 52 Tài liệu tham khảo 53 Sinh viªn : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS a phần mở đầu I - Lí chọn đề tài Lí khách quan Toán học môn khoa học bản, mang tính trừu tợng nhng mô hình ứng dụng rộng rÃi gần gũi lĩnh vùc cđa ®êi sèng x· héi, khoa häc lÝ thuyết khoa học ứng dụng Dạy học sinh học Toán không cung cấp kiến thức bản, dạy học sinh giải tập SGK, STK mà quan trọng hình thành cho học sinh phơng pháp chung để giải dạng Toán từ giúp em tích cực hoạt động, độc lập sáng tạo để dần hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo hoàn thiện nhân cách Trong Toán học, cực trị khái niệm hẹp nhng kiến thức liên quan đến vô rộng rÃi Trong chơng trình Toán THCS toán cực trị có mặt rải rác hầu khắp phân môn Số học, Đại số Hình häc Häc sinh tõ líp ®Õn líp ®Ịu đà gặp toán cực trị với yêu cầu nh : tìm số x lớn cho , tìm giá trị lớn ( nhỏ ) biểu thức , xác định vị trí điểm M để độ dài ( diện tích , chu vi ) hình H đạt giá trị lớn ( nhỏ ) , đặc biệt để học sinh dành điểm tối đa đề thi tốt nghiệp THCS Nhng giải giáo viên không dạy phơng pháp tổng quát có dạy nhng học sinh không đợc tiếp thu theo hệ thống dạng toán Nói chung gặp toán cực trị đa phần học sinh e ngại lúng túng cách giải Lí chủ quan Là sinh viên năm cuối, nghiên cứu SGK Toán THCS nhận thấy cần thiết phải hình thành cách có hệ thống dạng toán cực trị phơng pháp giải để dạy học sinh Tôi đà dành nhiều thời gian nghiên cứu tài liệu Đợc khuyến khích, giúp đỡ nhiệt tình bạn bè đặc biệt hớng dẫn tận tình chu đáo thầy giáo Nguyễn Quang Hoè giảng viên khoa Toán Tin trờng ĐH Quảng Bình, đà mạnh dạn nghiên cứu bớc đầu đề tài : Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS II- Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp giải số dạng toán cực trị thờng gặp trờng THCS , nâng cao dần kỹ kỹ xảo giải dạng toán Đồng thời làm tài liệu phục vụ cho việc giảng dạy giáo viên tốt nh gạt bỏ tâm lý e ngại học sinh giải toán cực trị III- Khách thể đối tợng nghiên cứu Khách thể nghiên cứu Phơng pháp giải số dạng toán cực trị Đối tợng nghiên cøu Häc sinh trêng THCS (do ®iỊu kiƯn cha cho phép nên đề tài mang tính tham khảo) Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS IV- Giả thuyết khoa học Nếu học sinh đợc học phơng pháp giải số dạng toán cực trị trình độ , kỹ , kỹ xảo học sinh chắn đợc nâng lên sau thực đề tài hiển nhiên không giả thuyết nh đề tài khác Tôi mong sau thực đề tài, học sinh không cảm thấy sợ toán cực trị mà ngợc lại đa phần em cảm thấy hứng thú học toán nắm đợc phơng pháp giải số dạng toán mà đề tài đề cập V- Nhiệm vụ nghiên cứu - Xây dựng sở lí luận , phơng pháp giải số dạng toán cực trị Số học , Đại số - áp dụng giảng dạy cho học sinh đại trà, học sinh giỏi học sinh ôn thi vào THPT công tác giảng dạy sau VI- Giới hạn đề tài Vì đề tài bớc đầu nghiên cứu nên xây dựng phơng pháp cho số dạng toán cực trị thờng gặp VII- Các phơng pháp nghiên cứu - Quan sát s phạm - Tham khảo tài liệu - Tỉng kÕt kinh nghiƯm - Thùc nghiƯm s phạm - Lấy ý kiến chuyên gia - Phân tích tổng hợp lí thuyết Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS B Phần nội dung Chơng I : Đại cơng cực trị Bài toán cực trị xuất phát từ thực tiễn giải toán lớn Cực trị tên gọi chung cho toán tìm giá trị lớn ( GTLN) giá trị nhỏ ( GTNN) Trong lí thuyết Toán học đại phân môn Số học, Đại số , Hình học đợc định nghĩa qua tập hợp Việc giải toán cực trị phân môn có giới hạn tập hợp số để xét Trong chơng trình THCS xét giới hạn trờng số thực R phân môn Đại số Hình học phân môn Số học xét vành số nguyên Z Theo lí thuyết Giải tích cổ điển, xét tập hợp sè thùc x ∈ E ⊂ R , ®ã E không rỗng bị chặn tồn cận M E ( M = supE ) cận dới m E ( m = infE ) hai Tuy nhiên M m không thuộc E Khi M ∈ E ( hc m ∈ E) ta viÕt M = maxE ( m = minE ) cách viết tắt theo chữ Latin ( max = maximum , = minimum ) mà trờng phổ thông ta thờng gọi giá trị lớn ( GTLN ) giá trị nhỏ ( GTNN ) Theo quan điểm việc tìm maxE = M minE = m phải bao gồm đồng thời hai điều kiƯn : i) M ≥ E hc m ≤ E ii) ∃ x ∈ E ®Ĩ M = E m = E Sau dạng tập phơng pháp cụ thể thuộc phân môn Số học Đại số xét theo quan điểm : Chơng II : cực trị số học I – phÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d A Lí thuyết Định nghĩa 1.1 PhÐp chia hÕt vµ phÐp chia cã d Cho a , b ∈ Z , b > Chia a cho b ta cã : a chia hết cho b a không chia hết cho b NÕu a chia hÕt cho b ta kÝ hiÖu a b ta nói b chia hết a hay b lµ íc cđa a vµ kÝ hiƯu b | a Nếu a không chia hết cho b ta đợc thơng gần q d lµ r , ta viÕt : a = bq + r , < r < b 1.2 íc chung lín nhÊt vµ béi chung nhá nhÊt Cho hai số nguyên dơng a , b ớc chung lớn a b đợc kí hiệu ƯCLN ( a,b) hay (a, b) Sè d gäi lµ íc chung cđa a vµ b vµ chØ d ớc ƯCLN(a ,b) : d | a d | b ⇔ d | (a,b) Sinh viªn : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS Béi chung nhá nhÊt cđa a vµ b đợc kí hiệu BCNN(a,b) hay [a,b] Số m lµ BCNN(a,b) vµ chØ m lµ béi cđa BCNN(a,b) : m a vµ m b ⇔ m [a,b] Hai số đợc gọi nguyên tè cïng vµ chØ (a,b) = * Tuy nhiên , việc tìm ƯCLN hai số dơng a, b ( a>b) ngời ta cã thĨ sư dơng tht to¸n Euclide nh sau : i) a = bq ⇒ (a,b) = b ii) a = bq + r ( r ≠ ) ⇒ (a,b) = (b,r) b = rq1 + r1 ( r1 ≠ 0) ⇒ (b,r) = (r,r1) r = r1q2 + r2 (r2 ≠ 0) ⇒ (r,r1) = (r1,r2) ri = ri+1qi+2 (a,b) = (ri,ri+1) Một số định lí quan träng thêng dïng 2.1 a) (ca,cb) = c(a,b) a b ( a, b ) b) ; = ( víi c =¦C(a,b) ) c c c a.c b vµ (a,b) = ⇒ c b c a vµ c b vµ (a,b) = ⇒ c a.b 2.2 2.3 2.4 Định lí phép chia có d Với cặp số tự nhiên a,b ( b 0) tồn cặp số q , r cho : a = bq + r ( víi ≤ r < b ) 2.5 Định lí Trong phân tích số n! thõa sè nguyªn tè ( n! = 1.2.3 n) số mũ thừa số pi ®ã sÏ lµ : n!= p a p a p a k k n n n = + + + k + ( [ x ] kí hiệu phần nguyên số x , số pi p i pi nguyªn lín không vợt x ) B Một số phơng pháp tìm cực trị thờng dùng giải toán chia hết Để chứng minh A(n) ( n ∈ Z ) chia hÕt cho mét sè nguyªn tè p , ta cã thĨ xÐt mäi trêng hỵp vÒ sè d chia n cho p §Ĩ chøng minh A(n) chia hÕt cho hỵp sè m ta thờng phân tích m thừa số nguyên tố Giả sử m = pq , ta tìm cách chứng minh A(n) p vµ A(n) q suy A(n) pq (p,q) = NÕu (p,q) ≠ ta phân tích A(n) chứng minh tích chia hÕt cho m Ta cịng cã thĨ ph©n tÝch A(n) thành tổng nhiều số hạng chia hết cho m Ta thêng sư dơng kÕt qu¶ sau : NÕu sè d chia a cho b > r ( 0< r 1) cho b lµ sè d chia rn cho b ( sè d nµy b»ng rn rn < b ) C Bài tập áp dụng * Qui ớc : Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS Nếu a số lớn số a ,b ,c, d th× ta kÝ hiƯu max(a,b,c,d) = a NÕu b số nhỏ số a ,b ,c, d th× ta kÝ hiƯu min(a,b,c,d) = b VÝ dụ : Tìm số nguyên dơng n nhỏ cho 2n – Gi¶i : Xét phép chia số nguyên n cho n chØ cã mét ba d¹ng : n = 3k ; n = 3k+1 ; n = 3k+3 ( k ∈ Z) Víi n = 3k ta cã : 2n – = 8k – Víi n = 3k+1 ta cã : 2n -1 = 2.8k -1=2(8k -1) + kh«ng chia hÕt cho Víi n = 3k+2 ta cã : 2n – 1=4.8k-1= 4(8k -1) + kh«ng chia hÕt cho VËy víi n th× 2n – mà n số nguyên dơng nhỏ nên n = Ví dụ : Tìm số tự nhiên k lớn thoả mÃn : ( 1994!)1995 1995k Gi¶i : Ta cã : 1995k = (3.5.7.19)k = 3k.5k.7k.19k Ta cần tìm số mũ lớn thừa số , , ,19 sè (1994!)1995 Ta cã : Sè mị cđa 1994! lµ : 1994 1994 1994 + + + = 664 + 221 + + = 992 T¬ng tù : Sè mị cđa 1994! lµ : 495 Sè mị cđa 1994! lµ : 329 Sè mị cđa 19 1994! : 109 Vậy 1994! có thừa sè : 3992 ; 5495 ; 7329 ; 19109 Suy : (1994!)1995 = (3992 5495 7329 19109 M )1995 Với M tích thừa số không chứa thừa số nguyên tố ; ; ; 19 * Víi k = 109.1995 th× ( 1994!)1995 1995k * Víi k = 109.1995 + ( 1994!)1995 không chia hết cho 1995k Vậy k = 109.1995 số tự nhiên lớn cần tìm Ví dụ Tìm GTLN GTNN n để P = (n+5)(n+6) 6n Giải : Ta xÐt trêng hỵp : * Víi n>0 : Ta phải tìm n để P = (n+5)(n+6) 6n Ta cã : P = (n+5)(n+6) 6n = n2 + 11n + 30 = 12n + ( n2 – n + 30 ) P 6n ⇔ ( n2 – n + 30 ) 6n ; n | n2 – n nªn n | 30 , | 30 nªn | n2 – n = n(n-1) n(n-1) số chẵn tích hai số tù nhiªn liªn tiÕp nªn n(n-1) ⇔ n hc n-1 VËy P 6n n ớc 30 bội bội cộng thêm n = {1;2;3;6;10;15;30} Thay giá trị vào P = ( n+5)(n+6) 6n ta có n = {1;3;10;30} (*) thoả mÃn điều kiện toán Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS * Với n < : Đặt m = - n Ta t×m m cho : P = ( -m+5)(-m+6) -6m Giải nh ta tìm đợc n = { -2;-5;-6;-15} (**) thoả mÃn điều kiện toán Kết hợp (*) (**) ta cã n = {1;3;10;30;-2;-5;-6;-15} VËy max n = max (1; 3; 10; 30; -2; -5; -6; -15 ) = 30 n = min(1; 3; 10; 30; -2; -5; -6; -15 ) = -15 VÝ dô Cho A = m+n vµ B = m2 + n2 m,n số tự nhiên nguyên tố Tìm max (ƯCLN) ( min(BCNN) ) A B Giải : Gọi d = (m+n, m2+n2) ⇒ (m+n)2 d ⇒ (m+n)2 – (m2 + n2) = 2mn d ⇒ d lµ íc chung cđa m+n vµ 2mn (*) (m,n) = ⇒ (m+n , n) = (m+n,m) = (m+n,mn) = (**) Tõ (*) vµ (**) ⇒ d ⇒ d = hc d = hay d = {1,2} VËy max d = max ( 1,2) = d = (1,2) = D Bài tập tự luyện Tìm số nguyên a lớn nhÊt vµ nhá nhÊt cho 100 < a < 150 ; a chia d vµ a chia d II - Đồng d thức phơng trình đồng d A Lí thuyết Định nghĩa tính chất đồng d thức 1.1 Định nghĩa đồng d thức Cho số nguyên dơng m Nếu a hai số nguyên a b có số d chia cho m ( tøc lµ m – n chia hÕt cho m ) ta nói a đồng d víi b modun m vµ ta kÝ hiƯu : a b ( mod m ) Đây đồng d thức với a vế trái, b vế phải Nói riêng, a ( mod m ) nghÜa lµ a chia hÕt cho m Trong trêng hợp b < m a b ( mod m ) cã nghÜa lµ chia a cho m cã d b 1.2 Các tính chất đồng d thøc 1.2.1 Ta cã : a ≡ a víi ∀ a a ≡ b ( mod m) ⇒ b ≡ a ( mod m) a ≡ b ( mod m) vµ b ≡ c ( mod m) ⇒ a ≡ c ( mod m) 1.2.2 NÕu a ≡ b ( mod m) vµ c ≡ d ( mod m) th× a ± c ≡ b ± d ( mod m) ; ac ≡ bd ( mod m) Suy : i) a ≡ b ( mod m) ⇒ a ± c ≡ b ± c ( mod m) ii) a + c ≡ b (mod m ) ⇒ a ≡ b - c ( mod m) iii) a ≡ b ( mod m) ⇒ na ≡ nb ( mod m) iv) a ≡ b ( mod m) ⇒ an ≡ bn ( mod m) 1.2.3 a ≡ b (mod m) ⇒ Sinh viªn : Ngun a b ≡ (mod m) víi d lµ íc chung cđa a b (d,m) = d d Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS 1.2.4 Nếu a b ( mod m) c>0 ac ≡ bc ( mod mc) NÕu d lµ íc chung dơng a,b,m ax b ( mod m) ⇒ a b m ≡ ( mod ) d d d Định nghĩa phơng trình hệ phơng trình đồng d 2.1 Định nghĩa phơng trình đồng d bậc ẩn Phơng trình đồng d bậc ẩn đồng d thức có dạng : ax ≡ b ( mod m) víi a kh«ng chia hết cho m Trong a,b,m>0 số ®· biÕt , x lµ Èn 2.2 TÝnh chÊt 2.2.1 Phơng trình đồng d ax b ( mod m) cã nghiÖm nhÊt nÕu (a,m) = ( ta hiểu phơng trình đồng d ax b ( mod m) có nghiệm nghĩa tất nghiệm thuộc lớp số đồng d víi b modun m ) 2.2.2 B»ng c¸c phÐp biÕn ®ỉi cđa dång d thøc bao giê ta cịng ®a phơng trình đồng d bậc dạng ax b ( mod m) víi m > a > m > b 2.3 Định nghĩa hệ phơng trình đồng d bậc ẩn Hệ phơng trình đồng d bậc ẩn hệ đồng d thức có dạng : a1 x b1 (mod m1 ) a x ≡ b (mod m ) 2 a n x ≡ bn (mod mn ) B»ng c¸ch biến đổi tơng đơng đồng d thức ta quy hệ phơng trình đồng d bậc ẩn phơng trình đồng d bậc ẩn B Phơng pháp giải toán cực trị phơng trình đồng d Từ lí thuyết trên, ta biết đa đợc phơng trình (hệ phơng trình ) đồng d dạng ax b ( mod m) Do vấn đề từ điều kiện đề ta chuyển phơng trình ( hệ phơng trình ) đồng d ẩn, biến đổi tơng đơng phơng trình dạng ax b ( mod m ) theo điều kiện toán ta suy GTLN ( GTNN) ẩn cần tìm C Bài tập áp dụng Ví dụ Tìm số nguyên x lín nhÊt , nhá nhÊt tho¶ m·n : - 10 < x < 25 vµ 17x ≡ 13(mod11) Gi¶i : Ta cã : 17x ≡ 13(mod11) ⇔ 6x ≡ ( mod 11) ⇔ 3x ≡ ( mod 11) ⇒ 3x = + 11t ( t ∈ Z) Do – 10 < x < 25 nªn t = { -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} ⇒ x = {-3, 4, 15} VËy max x = max(-3, 4, 15) = 15 x = ( -3, 4, 15) = -3 VÝ dơ T×m sè häc sinh lín nhÊt mét s©n trêng THCS biÕt cho häc sinh xÕp hàng 3,5,7 số lẻ hàng cuối lần lợt 2,3,4 đoán chừng số học sinh vợt 900 em Giải : Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS Theo đề ta phải giải hệ phơng trình đồng d sau: x ≡ ( mod ) ( 1) x ≡ ( mod ) ( 2) x ≡ ( mod ) ( 3) HÖ (1) , (2) cho ta phơng trình : x (mod 15) (4) Tõ (4) ⇒ x = + 15k (*) thay vµo (3) ta cã : + 15k ≡ ( mod 7) ⇔ 15k ≡ -4 ( mod 7) ⇔ k ≡ ( mod 7) ⇒ k = 3+ 7t Do (*) ⇒ k ≤ 59 ⇒ +7t ≤ 59 ⇔ t ≤ Để x đạt max k ®ã t ®¹t max ⇒ t = ⇒ k = 59 ⇒ x = 893 VËy sè häc sinh lín nhÊt cã thĨ cã trêng lµ 893 em D Bài tập tự luyện Tìm số tự nhiên x lớn , nhỏ thoả mÃn : x ≤ 1000 vµ chia x cho 3,5,9,11 đợc số d lần lợt 1, ,4 ,9 III – Sè nguyªn tè A Lí thuyết Định nghĩa Số nguyên tố số tự nhiên lớn , chØ cã hai íc lµ vµ chÝnh nã Các số lạ gọi hợp số Từ suy ra, số số số nguyên tố, số số nguyên tố chẵn nhỏ 2.1 Định lí số học Mọi số lớn phân tích đợc thừa số nguyên tố cách ( không kể thứ tự thừa số ) 2.2 Có vô số số nguyên tố Các tính chất 2.3 Ước số nguyên tố nhỏ hợp số N số không vợt N Từ suy : số N > ớc nguyên tố từ N N số nguyên tố 2.4 Có vô số số nguyên tè d¹ng ax + b víi (a,b) = 2.5 Mọi số nguyên tố lớn có dạng 4n 1, số nguyên tố lớn có dạng 6n ( n > ) B Phơng pháp tìm cực trị với số nguyên tố Không có phơng pháp chung để giải dạng tập số nguyên tố, ta thờng phân tích thành dạng tích từ kiện đề sử dụng tính chất chia hết để lọc quét trờng hợp số lần quét kiểm soát đợc C Bài tập áp dơng VÝ dơ ab T×m sè lín nhÊt , nhá nhÊt cã hai ch÷ sè ab cho a b số nguyên tố Giải : Vì a,b có vai trò nh nên ta giả sử a>b Gäi p = ⇒ ab p ⇒ a p hc b p ⇒ p = 2, 3, : Sinh viên : Nguyễn ab với p nguyên tố ab Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 Phơng pháp giải toán cực trị cho häc sinh THCS a + p = p a = p − p ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ab=pa-pb (a+p)(p-b)=p p − b =1 b = p − * Víi p =2 ta cã sè ab =21, 22 * Víi p =3 ta cã sè ab = 62, 26 * Víi p =5 p =7 a có hai chữ số nên lo¹i ⇒ ab ={21,22,26,62} VËy max ab = max ( 21, 22, 26, 62) = 62 ab = min( 21, 22, 26, 62) = 21 VÝ dụ Tìm số nguyên tố p lớn , nhỏ cho 13p+1 lập phơng số tự nhiên Giải : Với số n tự nhiên , theo đề ta phải tìm số p cho : 13p = n3 – ⇔ 13p = ( n-1)(n2+n+1) Do (13,p)=1 nên n-1=13 n 2+n+1 = 13 ⇒ n= 14 hc n =3 ⇒ p =211 hc p =2 VËy max p = 211 p = VÝ dơ 10 T×m k ®Ó d·y : k +1, k+2, , k+9, k+10 cã nhiều số nguyên tố Giải : Trong 10 số liên tiếp có số chẵn ( có nhiều số nguyên tố 2) Vậy có không số nguyên tố * Với k=0 từ đến 10 có số nguyên tố ( 2,3,5,7) * Với k=1 từ đến 11 có số nguyên tố ( 2,3,5,7,11) * Víi k >1 th× tõ trë số chẵn nguyên tố , số lẻ liên tiếp có số bội dÃy có số nguyên tố Vậy với k=1 dÃy có nhiều số nguyên tố D Bài tập tự luyện Tìm số nguyên tố lớn không vợt 98 có dạng p3 + IV Phơng trình DIOPHANTE A Lí thuyết 1.Định nghĩa Một phơng trình có nhiều ẩn số với tất hệ số số nguyên ta phải tìm nghiệm nguyên đợc gọi phơng trình DIOPHANTE Nói chung phơng trình DIOPHANTE có nhiều nghiệm nguyên nên ta gọi phơng trình vô định Ví dụ : 7x + 4y = 10 x2+y2 = z2 x3 – 7y2 = 2.Phơng trình bậc 2.1.Phơng trình bậc hai ẩn Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 10 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS 1 9 V× g(x) = x + x − = x + ÷ − ≥ − (8) x = − nªn kÕt luËn r»ng f(x, y) 2 4 x cã GTNN lµ − x = − vµ x − 2y = ⇒ y = = − 2 NhËn xÐt: DÊu b»ng x¶y ë (7) x=2y x=1, dấu (8) x¶y 1 x = − , nh x = hai dấu không đồng thời xảy nên GTNN 2 g(x) GTNN f(x) Lời giải : f(x,y) = 4x + 4y − 4xy − 3x = 4y − 4xy + x + 3(x − x) 2 1 3 ≥ (2y − x) + x − ÷ − ≥ − 2 4 x 1 Đẳng thức xảy x = y = = , lúc f , ÷ = − lµ GTNN 2 2 f(x,y) IX Bài tập A- Phần tự luận 1.a) T×m GTNN cđa A = 2x2 – 8x + b) T×m GTLN cđa B = –5x2 – 4x + Tìm GTNN biểu thức : a A = (x − 1)(x − 3)(x − 4x + 5) d D = x − 6x + 10x − 6x + b B = (0,5x + x)2 − 0,5x + x e E = (x + x − 6)(x + x + 2) c C = x − 2x + 3x − 2x + Tìm giá trị nhỏ biểu thøc : a A = x − + x − c C = x − x + + x − x − b B = 2x − + 2x − d D = x + x + + x + x − Cho x + 2y = T×m GTNN cđa x2 + 2y2 Cho 4x – 3y =7 T×m GTNN cđa 2x2 + 5y2 Cho a +b = T×m GTNN cđa a4 + b4 Cho a + b =1 T×m GTNN cđa a3 + b3 Cho xy=1 T×m GTNN cđa x + y T×m GTNN cđa c¸c biĨu thøc a) A= 2x2 + y2 – 2xy – 2x + b) B = x2 – 2xy + 2y2 + 2x – 10y + 17; c) C = x2 – xy + y2 – 2x – 2y; d) D = 2x2 + 2xy + 5y2 – 8x 22y 10 Tìm GTLN : Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 34 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS 2x − 16x + 41 x + 27 b B = x − 8x + 22 x − 3x + 6x − 9x + x + 512 c C = x +8 11 T×m GTNN cđa : x − 4x + 4x − 6x + a A = b B = x2 (2x − 1)2 12 T×m GTLN cđa : x x a G = b H = (x + 10) (x + 100)2 13 Tìm GTLN GTNN : 27 12x 8x + a A = b B = x +9 4x + 2x + 3x − 2x + c C = d D = x +2 x2 + x2 + y2 14.a) T×m GTNN cđa A = x + 2xy + y x2 b) T×m GTLN cđa B = x +1 c) T×m GTNN cđa C = x + ÷ y + ÷ y x 15 T×m GTNN cđa : (x + 4)(x + 9) (x + 100) a A = víi x > b B = víi x>0 x x 1 x + ÷ − x + ÷− x x x c C = + víi x>2 d D= 3 x−2 3+ x + ÷ +x ÷ x x 16 Cho x + y = 1, x > 0, y > T×m GTNN cđa : 1 a + x y a A = a b2 b + x y víi x>0 (a, b lµ h»ng số dơng đà cho) 2 c x + ÷ + y + ÷ x y Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 35 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS với x, y cïng dÊu xy 1 18 Cho số dơng x y thoả mÃn + = T×m GTNN cđa x y a P = xy ; S=x+y 19 T×m GTNN cđa 1 1 a A = (a + b) + ÷ víi a > 0, b > ; a b 1 1 b B = (a + b + c) + + ÷ víi a, b ,c > ; a b c 1 1 1 c C = (a + b + c + d) + + + ÷ víi a, b, c, d > a b c d 20 Cho a, b, c số dơng Tìm GTNN a b c a G = + + ; b+c c+a a+b a b+c b a+c c a+b b P = + + + + + b+c a a+c b a+b c 21.a) Cho số dơng x, y, z cho x + y + z =1 T×m GTNN cđa x+y C= xyz b) Cho số dơng x, y, z, t tho¶ m·n x + y + z + t = T×m GTNN cđa (x + y + z)(x + y) B= xyzt 1 + + 22 T×m GTNN cđa A = biÕt r»ng x, y, z số dơng thoả mÃn xy yz zx x2 + y + z ≤ x z 23.T×m GTNN cđa B = + biÕt r»ng ≤ x ≤ y ≤ z ≤ t ≤ 25 y t 24 T×m GTLN cđa a) C = (x + z)(y + t) biÕt r»ng x + y + z + t = b) D = (x + z)(y + t) biÕt r»ng x + y + 2z + 2t = 25 T×m GTNN cđa a Q = x − + x − + x − ; 2 17 T×m GTNN cđa x + y + b P = x − + x − + x − + x − 26 T×m GTLN G= x−y + x−z + y−z Sinh viªn : Ngun víi ≤ x,y,z ≤ Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 36 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS 27.a) T×m GTLN cđa tÝch xy víi x, y số dơng, y 60 x + y =100 b) T×m GTLN cđa tÝch xyz víi x, y, z số dơng thoả mÃn z ≥ 60 vµ x+ y + z =100 28 Cho x, y, z số dơng thoả mÃn xy + yz +xz = T×m GTNN cđa A = x4 + y4 + z4 29 Cho x2 + y2 = 52 T×m GTLN cđa B = 2x + 3y 30 T×m GTLN cđa C = ab + bc + cd, biết a, b, c, d số không âm có tổng 31 Tìm GTNN a f(x) = (1 + x)3 (1 − x) x b f(x) = ; x +2 x2 c f(x) = ; (x + 3)3 32 Gäi x lµ sè thùc d¬ng lín nhÊt sè thùc d¬ng x, y, z T×m GTNN cđa biĨu x y z + 1+ + 1+ thøc : y z x 2 33 Cho x + y =1 T×m GTLN cña M = x 1− y + y 1− x 34 T×m GTNN cđa S = x2 + y2 + z2 víi P = ax + by + cz kh«ng ®ỉi ( víi a + b + c2 ) Giá trị đạt đợc ? 35 T×m GTLN cđa biĨu thøc : ab c − + bc a − + ca b − ®ã a ≥ 3,b ≥ 4,c ≥ F= abc 36 Cho sè d¬ng a, b, c thoả mÃn abc = Tìm GTNN : bc ac ab P= + + 2 a b + a c b a + b c c a + c2b B- Phần trắc nghiệm Cho số dơng a, b a + b = GTNN cđa tỉng P = 1 + lµ : a b C D 5 2 Cho a + b + c = BiÓu thøc : P = a3 + b3 + c3 + a2(b + c) + b2(c + a) + c2(a + b) đạt GTNN : A B C D 3 Hµm sè y = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) đạt GTNN b»ng : A Sinh viªn : Ngun B Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 37 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS A − B − C.1 D Cho a + 2b = Tích ab đạt GTLN b»ng : 1 A B C D 8 Cho P = x − xy + 3y − x + GTNN cña P lµ : 1 A.3 B C.2 D − 2 x + x +1 Hµm sè y = đạt GTLN GTNN tơng ứng : x − x +1 1 A vµ B vµ C vµ -1 D vµ 3 2 Cho biĨu thøc S = x + y biÕt x, y lµ nghiƯm phơng trình 5x2 + 8xy + 5y2 = 36 GTLN GTNN S tơng ứng : A ;36 B ;9 C 36 ; D ; 4 a b c Cho a, b, c, số dơng P = + ữ + ữ + ÷ 5b 5c 5a GTNN cđa P lµ : 216 125 A B C D 125 216 5 Híng dÉn giải tập A- Phần tự luận Ta có : a) A = 2x2 – 8x + = 2(x2 – 4x + 4) – = 2(x – 2)2 – ≥ – VËy minA = - vµ chØ x = 2 9 b) B = −5x − 4x + = −5 x + x + ÷+ = −5 x + ÷ + ≤ 25 5 5 maxB = vµ chØ x = − 5 2.a) §Ỉt x – 4x + = y ; minA = - x = ⇔ y = ; x1 = 1, x = −3 b) Đặt 0,5x + x = y; B = − ⇔ x= c) C = (x2 – x + 1)2 ; C = 16 d) D = (x2 – 3x)2 + (x – 3)2 ≥ ; minD = x = e Đặt x2 + x = y Ta có : Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 38 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS E =(y – 6)(y + 2) = y2 – 4y – 12 = (y – 2)2 – 16 minE = -16 y = 2; x1= -2 ; x2= A = x −3 + 7−x ≥ x −3+7−x = x − ≥ A = ⇔ ⇔3≤x≤7 − x ≥ b) B = ⇔ ≤ x ≤ 2 c) Ta cã : x + x + > nªn C = x2 − x + + + x − x2 ≥ x2 − x + + + x − x = 3.a) C = ⇔ + x − x ≥ ⇔ (x + 1)(2 − x) ≥ ⇔ −1 ≤ x ≤ d) D = ⇔ −3 ≤ x ≤ C¸ch : Thay x = – 2y vào A= x2 + 2y2 , đợc A = 6y2 – 4y + 1 1 A = ⇔ y= ,x= 3 C¸ch 2: Sư dơng BĐT Côsi Bunhiacôpski , ta có : (x + 2y)2 ≤ (x + 2y )(12 + 2) ⇒ x + 2y ≥ 1 VËy { x + 2y } = x = y = 3 4x Cách : Thay y = vào B = 2x2 + 5y2 đợc : 9B = 98x − 280x + 245 = 2(7x − 10)2 + 45 ≥ 45 10 B = ⇔ x = ,y = − 7 C¸ch : Sử dụng BĐT Côsi Bunhiacôpski ta có : 9 2 2x 2.2 − 5y ÷ ≤ (2x + 5y ) + ÷ 5 ⇒ 2x + 5y ≥ 72 = 49 10 VËy B = x = ,y = − 7 (a + b)4 4 Ta chứng minh đợc : a + b ≥ = 8 1 min(a + b ) = ⇔ a=b= VËy Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 39 Phơng pháp giải toán cực trị cho häc sinh THCS (a + b)3 = a + b + 3ab(a + b) ⇒ = (a + b ) + 3ab Do ®ã a3 + b3 nhá nhÊt vµ chØ ab lớn Mặt khác, ta có : a + b = nªn ab lín nhÊt ⇔ a = b = x2 + ≥2 x + y − x + = x x ( v× ( x − 1) 1 Khi ®ã a + b = ≥0 ) x + y = ⇔ x = ⇔ x = ±1 y = ±1 Ta cã : a) A = x − 2xy + y + x − 2x + + = (x − y)2 + (x − 1) + ≥ A = ⇔ x = y = b) B = (x − y)2 − 2(x − y) + + (y − 4) = (x − y + 1) + (y − 4) ≥ B = ⇔ x = 3,y = c) C = x − xy + y − 2x − 2y ⇒ 2C = (x − y)2 + (x − 2)2 + (y − 2)2 − ≥ C = −4 ⇔ x = y = d) D = x + xy + y − 3x − 3y = x − 2x + y − 2y + xy − x − y = (x − 1)2 + (y − 1)2 + (x − 1)(y 1) Đặt x = a , y – = b th× D +3 = a2 + b2 + ab ≥ VËy minD = - ⇔ a = b = ⇔ x = y = C¸ch kh¸c : D = x + xy + y − 3x − 3y = x + (y − 3)x + y − 3y (y − 3)2 (y − 3)2 y − 4y − 12y − y + 6y − = x + (y − 3)x + + y − 3y − = x + ÷+ 4 2 y − 3y − 6y − y −3 = x + = x + ÷+ ÷ + (y − 1) − ≥ −3 y = x = D = −3 ⇔ ⇔ y −3 y = x + = 10.a) BiÕn ®ỉi : A = − (x − 4)2 + x = VËy A = 3 ⇔ x=− b) B = x + 3x + ; B = Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 40 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS c) C = x − 8x + 64 ; D = 48 ⇔ x ± 11.a) A = + + x x 1 Đặt y = ; A = x = x 3 b) Đặt y = 2x – ; B = ⇔ x = 10 12.a) Đặt y = x + 100 , ta cã: G = − y y 1 x = 10 Đặt = z ; max G = y 40 ⇔ x = 100 b) max H = 400 13 Ta cã : 27 − 12x (x − 12x + 36) − (x + 9) (x − 6)2 a) A = = = − ≥ −1 x +9 x2 + x +9 A = −1 ⇔ x = 27 − 12x (4x + 36) − (4x + 8x + 9) (2x + 3)2 A= = =4− ≤4 x +9 x2 + x +9 max A = ⇔ x = − 2 8x + 4x + 8x + − 4x − 4(x + 1)2 b) B = = = − ≥ −1 4x + 4x + 4x + B = −1 ⇔ x = −1 16x + − 16x + 8x − 4(4x + 1) − (4x − 1)2 (4x − 1)2 B= = =4− ≤4 4x + 4x + 4x + (x − 2)2 1 c) C = − ; C = − ⇔ x = −2 2(x + 2) 2 (x − 1)2 C =1− ; max C = ⇔ x = x +2 (x − 1)2 d) D = + 2; D = ⇔ x = x +1 (x + 1)2 D=4− ; max D = ⇔ x = −1 x +1 14.a) A = x=y Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 41 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS b) * x = th× B = x2 =0 x4 + * x ≠ th× x + ≥ 2x > nªn VËy maxB = x2 x2 ≤ = x + 2x 2 ⇔ x ± 2 C = ⇔ xy = ±1 c) C = + x y + 2 ÷; x y x + 13x + 36 36 15.a) Ta cã : A= =x+ + 13 x x 36 Các số dơng x có tích không đổi nên tổng chúng nhỏ vµ chØ x 36 x= x VËy minA = 25 t¹i x = x + 200x + 10000 10000 = x + b) B = ÷+ 200 x x VËy B = 400 ⇔ x = 100 x−2 + + c) C = x−2 a b x−2 + ≥ víi a, b > ta cã : + ≥2 Sư dơng B§T b a x−2 ⇒ C = ⇔ x−2=3 ⇔ x =5 3 2 1 x + ÷ − x + ÷ x x 1 d) D = = x + ÷ −x + ÷ x x 1 x + + x + ÷ ÷ x x3 1 D = = 3x + = x + ÷ ≥ x x ⇒ D = ⇔ x = x+y A= = 16 a) Ta cã : xy xy Do x, y > nªn nhá nhÊt ⇔ xy lín nhÊt ⇔ x = y xy ⇒ A = Sinh viªn : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 42 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS b) B = a b a (x + y) b (x + y) + = + x y x y a 2y b 2x a 2y b 2x 2 =a + +b + = + + a + b2 ÷ x y x y bx a2y V× số dơng có tích không đổi nên tổng cđa chóng nhá nhÊt vµ y x chØ : a2y b2x a b = ⇔ a y = b x ⇔ ay = bx ⇔ a(1 − x) = bx ⇔ x = ,y= x y a+b a+b ⇒ B = (a + b)2 1 c) Đặt a = x + , b = y + Dễ dàng ta chứng minh đợc x y C = a + b (a + b)2 Bài toán quy tìm giá ttrị nhỏ a + b 1 1 1 Ta cã : a + b = x + y + + = + + Ta cần tìm giá trị nhỏ + , x y x y x y 1 theo c©u a ta cã : + = x y 25 ⇒ C = ⇔ a = b,x = y ⇔ x = y = 2 1 Chó ý : Tuy ta cã x + ≥ 2, y + ≥ nhng biÓu thøc x y 2 1 1 C = x + ÷ + y + ữ GTNN 22 + 22 = 8, v× dÊu b»ng cđa hai x y BĐT không đồng thời xảy cã ®iỊu kiƯn x + y = 2 2 ≥ 2xy + = xy + ÷≥ 2.2 = 17 Ta cã : A = x + y + xy xy xy x = y = ⇒ A = ⇔ x = y, xy = ⇔ x = y = −1 18.a) Sư dơng BĐT Côsi ta đợc : 1 = 2+ 2≥ ⇒ xy ≥ (chó ý x > 0, y > 0) x y xy VËy P = ⇔ x = y = b) Ta cã : (x + y)2 ≥ 4xy ≥ 16 (áp dụng câu a) Do x + y > nªn ta cã minS = ⇔ x = y = Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 43 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS a b 19.a) Ta cã : A = + + ÷≥ b a ⇒ A = ⇔ a = b = a b a c b c b) B = + + ÷+ + ÷+ + ÷≥ b a c a c b ⇒ B = ⇔ a = b = c c) C = 16 ⇔ a = b = c = d 20.a) Đặt x= b + c, y = a + c , z = a + b ⇒ a = y+z−x x+z−y ,b= , 2 x+y−z Khi ®ã ta cã : y + z − x x + z − y x + y − z y x y z x z G= + + ÷ = x + y ÷+ z + y ÷+ z + x ữ áp x y z dơng B§T C«si ta cã : x y + ≥2 y x y z + ≥2 z y x z + ≥2 z x ⇒ G ≥ (2 + + − 3) = 2 VËy G = ⇔ x = y = z ⇔ a = b = c b c b+c a+c a+b a b) P = + + + + ÷+ ÷ b c b+c a+c a+b a 15 b a c a c b = G + + ÷+ + ÷+ + ÷ ≥ + + + = 2 a b a c b c 15 VËy P = ⇔ a = b = c 2 21.a) Tõ gi¶ thiÕt suy [ (x + y) + z ] = ¸p dơng B§T (a + b)2 ≥ 4ab , ta cã : c= = [ (x + y) + z ] ≥ 4(x + y)z x+y Nh©n vÕ víi số dơng đợc : xyz Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 44 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS x + y 4z(x + y)2 4z.4xy ≥ ≥ = 16 xyz xyz xyz x + y = z ⇒ B = 16 ⇔ x = y x + y + z = b) T¬ng tù c©u a, ta cã : = [ (x + y + z) + t ] ≥ 4(x + y + z).t ⇒ ≥ (x + y + z)t ⇒ x + y + z ≥ [ (x + y) + z ] t ≥ 4(x + y).zt (x + y + z)(x + y) 4(x + y)2 zt ⇒ ≥ ≥ 16 xyzt xyzt 1 VËy C = 16 ⇔ x = y = , z = , t = 1 1 22 Sư dơng B§T (a + b + c) + + ÷≥ (tù chøng minh) víi a, b, c > 0, a b c ®ã a = xy, b = yz, c = zx, ta đợc (xy + yz + zx).A Do ®ã : ≤ (xy + yz + zx).A ≤ (x + y + z ).A ≤ 3A VËy A = ⇔ x = y = z x z z 23 Do ≤ x ≤ y ≤ z ≤ t ≤ 25 nên , ( dấu = xảy vµ chØ y z t 25 x = 1, y =z, t =25) x z z Ta cã : B = + ≥ + y t z 25 z Hai số dơng có tích không đổi nên tổng chúng nhỏ z 25 z = (v× z > 0) ⇔ z = 25 ⇔ z = z 25 Suy : B = ⇔ x = 1,y = z = 5,t = 25 24.a) C = xy + xt + yz + zt Ta cã : 2xy ≤ x + y , 2xt ≤ x + t , 2yz ≤ y + z , 2zt ≤ z + t nªn 2C ≤ 2(x + y + z + t ) = VËy max C = ⇔ x = y = z = t = ± b) D = xy + xt + yz + zt Ta cã : 4xy ≤ x + y , 4zt ≤ z + t , 4xt ≤ x + t , 4yz ≤ y + z nên Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 45 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS 4D ≤ 3(x + y + 2z + 2t ) = 3 VËy max D = ⇔ x = y, z = t, x = 2t, y = 2z vµ x + y + 2z + 2t = 1 x = y = x = y = − 3 ⇔ hc z = t = z = t = − 3 25.a) x − + − x ≥ vµ x − ≥ 2 ≤ x ≤ Q = ⇔ ⇔ x=3 x = b) x − + − x ≥ vµ x − + − x ≥ 1 ≤ x ≤ P = ⇔ ⇔2≤x≤3 2 ≤ x ≤ 26 Kh«ng mÊt tÝnh tổng quát, giả sử x y z Ta cã : G = x – y + x – z + y – z = 2x – 2z Do x ≤ nªn 2x ≤ , z ≥ nªn −2z ≤ Suy G ≤ Ta cã : G = ⇔ x = 3,z = , y tuú ý (0 ≤ y ≤ 3) VËy maxG = vµ chØ sè cã mét sè b»ng 3, số 0, số lại có giá trị từ đến 27.a) Cách 1: Ta có : x < 60,y ≥ 60 nªn (60 − x)(60 − y) ≤ ⇒ 3600 − 60(x + y) + xy ≤ ⇒ 3600 − 6000 + xy ≤ ⇒ xy ≤ 2400 VËy max(xy) = 2400 y = 60, x = 40 Cách 2: Đặt y = 60 + t ( t ≥ ) Ta cã : xy = (100 − y)y = (100 − 60 − t)(60 + t) = (40 − t)(60 + t) = 2400 − 20t − t ≤ 2400 max(xy) = 2400 ⇔ t = ⇔ y = 60,x = 40 b) Ta cã : y < 60,z ≥ 60 nªn : (60 − y)(60 − z) ≤ ⇒ 3600 − 60(y + z) + yz ≤ ⇒ yz ≤ 60(y + z − 60) ⇒ xyz ≤ 60x(y + z − 60) (x + y = z − 60)2 ≤ 60 = 30.402 = 48000 Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 46 Phơng pháp giải toán cùc trÞ cho häc sinh THCS z = 60 x = y + z − 60 z = 60 ⇔ max(xyz) = 48000 ⇔ x = y = 20 x + y + z = 100 x,y ≥ 28 áp dụng BĐT Bunhiacôpski, ta có : 16 = (xy + yz + zx)2 ≤ (x + y + z )(y + z + x ) = (x + y + z )2 x2 + y + z Suy : Cũng theo BĐT Bunhiacôpski , ta cã : 16 = (x + y + z )2 (12 + 12 + 12 )(x + y + z ) = 3(x + y + z ) 16 x4 + y4 + z4 ≥ Suy : Dấu xảy x = y = z = ± 16 VËy minA = x = y = z = ± 3 29 áp dụng BĐT Côsi Bunhiacôpski ta cã : (2x + 3y)2 ≤ (2 + 32 ).52 ⇒ (2x + 3y)2 ≤ 13.52 ⇒ 2x + 3y ≤ 26 ⇒ 2x + 3y ≤ 26 x y x = = ⇔ VËy max { 2x + 3y} = 26 ⇔ y = 2x + 3y ≥ 30 C¸ch : Không tính tổng quát, giả sử a ≥ b ≥ c ≥ d ≥ Ta cã : C = ab + bc + cd ≤ ab + ac + ad = a(b + c + d) 1 1 = a(1 − a) = a − a = − a − ÷ + ≤ 2 4 1 VËy maxC = , chẳng hạn a = b = , c = d = C = ab + bc + cd ≤ ab + ad + bc + cb = (a + c)(b + d) C¸ch : 2 x+y áp dụng BĐT xy ÷ Ta cã : Sinh viªn : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 47 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS a+b+c+d C = (a + c)(b + d) ≤ ÷ = a + c = 1 C = ⇔ b + d = ad = a,b,c, d ≥ 1 Vậy maxC = khi, chẳng hạn a = b = , c = d = 31.a) f(x) = (1 + x )(1 – x) * NÕu x < - hc x > th× f(x) ≤ * NÕu –1 < x < th× f(x) = (3 − 3x)(1 + x)(1 + x)(1 + x) 4 − 3x + + x + + x + + x ≤ ÷ =2÷ 3 27 VËy f(x) đạt GTLN x = x x ≤ b f(x) = Ta cã : + x ≥ 2x ≥ 2x Suy x +2 2 x +2 VËy maxf = x = 2 x2 x + + ≥ 3 x Ta cã : c (x + 2) ⇒ (x + 2)3 ≥ 27x ⇒ f(x) ≤ 27 VËy maxf = , x = ±1 27 32 Sử dụng BĐT Côsi cho số căn, ta có : x y z x y z A = + 1+ + 1+ ≥ + + = y z x y z x x y z x 6 z + − + 4 + 6 ÷+ − ÷ ÷ z x 2 y 2y 2 x Sử dụng BĐT Côsi cho 11 số, ta có : = Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 (1) 48 ... nghiên cứu bớc đầu đề tài : Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS II- Mục đích nghiên cứu Giúp học sinh nắm đợc phơng pháp giải số dạng toán cực trị thờng gặp trờng THCS , nâng cao... pháp giải số dạng toán cực trị Số học , Đại số - áp dụng giảng dạy cho học sinh đại trà, học sinh giỏi học sinh ôn thi vào THPT công tác giảng dạy sau VI- Giới hạn đề tài Vì đề tài bớc đầu nghiên... tổng hợp lí thuyết Sinh viên : Nguyễn Thị Huệ Lớp CĐSP Toán - Tin K48 Phơng pháp giải toán cực trị cho học sinh THCS B Phần nội dung Chơng I : Đại cơng cực trị Bài toán cực trị xuất phát từ thực