TRNG I HC s PHM H NI KHOA TON v TH HU NG DNG PHNG PHP NEWTON V PHNG PHP DY CUNG GII GN NG PHNG TRèNH PHI TUYN KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Gii tớch H NI - 2015 TRNG I HC s PHM H NI KHOA TON V T H H U NG DNG PHNG PHP NEWTON V PHNG PHP DY CUNG GII GN NG PHNG TRèNH PHI TUYN KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Gii tớch Nguũi huúng dn khoa hc PGS.TS Khut Vn Ninh H NI - 2015 LI CM N Trong thi gian hc tp, nghiờn cỳn ti khoa Toỏn Trng i Hc S Phm H Ni 2, c s dy d v ch bo tn tỡnh ca cỏc thy cụ, em ó tip thu c nhiu kin thc khoa hc, kinh nghim v phng phỏp hc mi, bc u lm quen vi vic nghiờn cu khoa hc Qua õy em xin gi li cm n sõu sc ton th cỏc thy cỏc cụ khoa Toỏn trng i Hc S Phm H Ni - nhng ngi ó luụn chm lo, dỡu dt chỳng em trng thnh nh ngy hụm c bit em xin cm n thy giỏo PGS.TS KHUT VN NINH, ngi ó tn tỡnh hng dn, ch bo v úng gúp nhiu ý kin quý bỏu thi gian em thc hin khúa lun ny Em xin chõn thnh cm n! H Ni, thng 05 nm 2015 Sinh viờn thc hin V Th Hu LI CAM OAN Khúa lun ny c hon thnh di s hng dn tn tỡnh ca thy giỏo PGS.TS KHUT VN NINH cựng vi s c gng ca bn thõn em Trong quỏ trỡnh nghiờn cu em ó k tha nhng thnh qu nghiờn cu ca cỏc nh khoa hc, cỏc nh nghiờn cỳn vi s trõn trng v bit n Em xin cam oan nhng kt qu khúa lun ny l kt qu nghiờn cu ca bn thõn, khụng trựng vi khúa lun ca tỏc gi no H Ni, thng nm 2015 Sinh viờn thc hin V Th Hu MC LC LI CM N LI CAM OAN LI NểI U NI DNG CHNG CC KIN THC LIấN QUAN .3 1.1 S gn ỳng, sai s tuyt i, sai s tng i 1.1.1 S gn ỳng 1.1.2 Sai s tuyt i 1.1.3 Sai s tng i 1.2 Lm trũn s v sai s ca phộp lm trũn s 1.2.1 Lm trũn s 1.2.2 Sai s ca phộp lm trũn s 1.3 Cỏch vit s xp x 1.3.1 Ch s cú ngha, ch s chc 1.3.2 Ch s ỏng tin 1.3.3 Cỏch vit s xp x 1.4 S tn ti nghim thc v khong tỏch nghim ca phng trỡnh 1.4.1 S tn ti nghim thc ca phng trỡnh 1.4.2 Khong tỏch nghim (khong phõn li nghim) 1.5 o hm v vi phõn ca toỏn t CHNG PHNG PHP NEWTON 2.1 Mụ t phng phỏp 2.2 Mụ t phng phỏp bng hỡnh h c 11 2.3 Bc hi t 12 2.4 Tc hi t ca phng phỏp Newton 12 2.5 Sai s ca phng phỏp Newton 14 2.6 Mt s vớ d .14 CHNG PHNG PHP DY CUNG 32 3.1 Mụ t phng phỏp 32 3.2 Mụ t phng phỏp bng hỡnh h c 34 3.3 Tc hi t ca phng phỏp dõy cung 34 3.4 Sai s ca phng phỏp dõy cung 36 3.5 Mt s vớ d .37 KT LUN 57 TI LIU THAM KHO LI NểI U Lý chn ti Toỏn hc bt ngun t nhu cu gii quyt cỏc bi toỏn cú ngun gc t thc tin Cựng vi thi gian, Toỏn hc ngy cng phỏt trin chia lm hai lnh vc: Toỏn hc lý thuyt v Toỏn ng dng Núi n Toỏn hc ng dng khụng th khụng núi n Gii tớch s, ú l mt mụn khoa hc nghiờn cỳn cỏch gii gn ỳng cỏc phng trỡnh, cỏc bi toỏn xp x, bi toỏn ti u Vic gii cỏc phng trỡnh phi tuyn f(x) = 0, nhiu trng hp khụng cú cụng thc gii chớnh xỏc nờn hu ht cỏc phng trỡnh cn gii gn ỳng Do vy, mt t l tỡm cỏch xỏc nh nghim gn ỳng ca phng trỡnh ú Phng phỏp Newton v Phng phỏp dõy cung l cụng c hu hiu gii gn ỳng phng trỡnh f(x) = Vỡ nh hai phng phỏp ny phng trỡnh phi tuyn f(x) = c thay th bi phng trỡnh tuyn tớnh xp x v nghim gn ỳng ca phng trỡnh tuyn tớnh thay th s hi t n nghim ca phng trỡnh phi tuyn núi trờn Di gúc ca mt sinh viờn s phm chuyờn ngnh Toỏn v phm vi ca mt khúa lun tt nghip em xin mnh dn trỡnh by hiu bit ca mỡnh v : ng dng phng phỏp Newton v phng phỏp dõy cung gii gn ỳng phng trỡnh phi tuyn Mc ớch nghiờn cỳn Hiu v lm vng hai phng phỏp gii gn ỳng phng trỡnh phi tuyn, tỡm nghim ca phng trỡnh vi chớnh xỏc cn thit hoc sai s cho phộp p dng phn mm Toỏn hc nh: Maple v Pascal vo gii quyt mt s bi toỏn Nhim v nghiờn cỳn Nghiờn cu Phng phỏp Newton v phng phỏp dõy cung gii phng trỡnh f(x) = , tro n g /l hm s mt bin s thc; ng dng cỏc phng phỏp ú gii mt s phng trỡnh phi tuyn c th i tng nghiờn cu Phng trỡnh phi tuyn tớnh Cỏc cỏch gii v bi ỏp dng Gii toỏn trờn Maple v trờn Pascal Phng phỏp nghiờn cu Tra cu v tham kho ti liu Vit thut toỏn chy chng trỡnh a v gii cỏc vớ d minh cho tng phng phỏp N01 DUNG CHUệNG CC KIEN THĩC LIEN QU AN Trong chuong nọy chỹng ta trinh bay mot so kien thuc ca bọn ve so gọn dỹng, sai so tuyet dửi, sai so tuang dửi, lọm trửn so vọ sai so cỹa phep lọm trửn so, cọch viet so xọp xi, su tửn tai nghiem thuc vọ khoọng tọch nghiem cỹa phuong trinh, dao họm vọ vi phọn cỹa toọn tỹ 1.1 So gọn dỹng, sai so tuyet dửi, sai so tirong dửi 1.1.1 So gọn dỹng Ta nửi rang q lọ so gọn dỹng cỹa q* neu q khửng sai khọc q* nhieu, hieu so A = q* - q goi lọ sai so thuc su cỹa q Neu A > Othi q \ọ giọ tri gọn dỹng thieu cỹa q* Neu A < thi q lọ giọ tri gọn dỹng thỹa cỹa 00 thỡ q l s thp phõn vụ hn Lm trũn s q l b i mt s cỏc ch s bờn phi ca q c q gn hon v gn ỳng vi s q Quy tc lm trũn s nh sau: Xột s q dng (1.2.1 ) v ta s gi li n bc th , phn b i l |Hthỡ : q = (qp l + + q i+.Oi+ + + qi.l) Trong ú: r qt, < < i = 10' , + , 1U > J Nu = - 10' thỡ Qi = \ ^ ^ [qi + nu = 2i.M ) = 21 + (/E N) Bng ỏnh giỏ sa s cựa vớ d 3.5.2 vi nghim JC*^ 0.2542641358: n x 0.304718427 0.26103454 0.259245694 0.745735864 0.050454306 6.7704042.13 4.981558.10~3 n Xn 0.259174085 0.259171221 0.259171106 0.25970 An = lx - x*\ 4.90994.13 4.907085.13 4.9069702 è3 4.906965.103 An = Ijc - x*\ Gii vớ d 3.5.2 bng chng trỡnh Pascal: Progam Giaividu3.5.2; Uses crt; Var xO, x ỡ, w, e, a, b, m : real; : byte; x: array [1 10] o f real; function/ (x: real): real; begin f: = -5*x+ exp(x); 44 end; Begin WriteC nhap a, b : readln(a, b); WriteC nhap m = '); readln(m); WriteC nhap sai so w = '); readln(w); WriteC chon xO = '); readln(xO); WritelnC cac xap xi tiep theo la: '); i: = 1; e: = 0; repeat i f f (a) > then xl:= xO - f(xO)*(xO -a)/(f(xO) -f (a)) else xl:= xO - f(xO)*(b - xO)/(f(b) - f(xO)) writeln (' x[, i , = x l: 2: 3); e: = abs(xl - xO); xO: = x l; i: = / + / , until (e < w); writelnC vay nghiờm xap xi cua phuong trinh la: End Ket qua: Nhap a, b : Nhap m = -2.28 Nhap sai so w = 0.0005 Chon xO = ] Cac xap xi tiep theo la: x[l ] = 0.304718427 x[2] = 0.26103454 X [3] = 0.259245694 45 x [ i ]: 2: 3);readln; x[4] = 0.259174085 x[5] = 0.259171221 x[6] = 0.259171106 x[7] = 0.259171101 Vay nghiem xap x cua phuong trinh la : 0.259171101 c) Vớ d 3.5.3 Tỡm nghim dng ca phng trỡnh bng phng phỏp dõy cung vi chớnh xỏc = 0 : ( x - ý -/2.ex = (3.5.3) Gii t f(x) = ( x - l ý -l/2.ex Cúf(0) = 1/2 > 0, f (l) = -l/2e < = > m - n < => (3.5.3) cú nghim Jt* (0, 1) D thy/'(jc) = 2(x - ) - 1/2 ex, f \ x ) =2 - 1/2 ex > Vx e (0, ) Vỡ f{) = f(0 ) > nờn nghim ca (3.5.3) s c xõy dng theo cụng thc (3.1.2) Chn xp x ban u x0 = Ta tớnh c: =JC IM (X - a ) / ( x ) - / ( a ) (x a) = 1- / ( | ^ 1L )(1 - 0) * 0.2689414214 - = - ' - ^ ) < I= - |ằ * a213532151 46 X4 = X ,- / f t ) (x,-0)ô0.213323105 / ( x 3) - / ( ) * = * - - ( X - ) ~ f ( x b) - f ( o y 0.2 3308638 X* = *7 -7 ^ r ^ - (*7 - 0) ô 0.2133086376 / ( x 7) - / ( ) v ; ^ = - 77 \Z T n \ ( * - 0) * 0.213308634 *m = *Q -, *Q- ) * 0.213308633 f ( x 9) - f ( o y Ta cú f(x,) & 1.192.10'9&0 Vy nghim dng gn ỳng ca (3.5.3) vi chớnh xỏc = 0.03 l x10ằ 0.213308633 Gii vớ d 3.5.3 trờ n Maple: [>fsolve((x-l)A2-l/2*exp(x),{x}); {x = 0.2133086343 th ca phng trỡnh l: 47 Bng ỏnh giỏ sai s ca vớ d 3.5.3 vúi nghim: 0.2133086343 n l xn 0.268941421 0.216759117 0.213532151 0.786691365 0.055632786 3.450482 l 2.235167.l n xn 0.213323105 0.21330957ỡ 0.2 ỡ 3308695 0.2 3308638 n = lx - x*\ 1.44707.l 9.367.l 6.07.10* 3.7 l n = lx - x*\ n 48 10 x 0.2133086376 0.213308634 0.213308633 3.3.109 3.10 10 1.3.1 An = lx - JC*I Gii vớ d 3.5.3 bng chng trỡnh Pascal: Progam Giaividu3.5.3; Uses crt; VarxO, x , w, e, a, b, m : real; : byte; x: a rray [1 10] o f rea l; function/ (x: real): real; begin f: = 2*(x - 1) - l/2*exp(x); end; Begin WriteC nhap a, b : '); readln(a, b); Wrte(' nhap SCI so w = '); readln(w); WriteC chon xO = ); readln(xO); W ritelnf cac xap x tiep theo la: '); i: = 1; e: = 0; repeat iffla) > then xJ:= xO -f(x0)*(x0 -a)/(f(x0) -f (a)) else xJ:= xO - f(x0)*(b - x0)/(f(b) - f(x0)) writeln (' xf, i ,'] = x l: 2: 3); e: = abs(xl - xO); xO: - x l ; i: = i + 1; 49 until (e < w); writeln(' vay nghiem xap x cua phuong trinh la: x [ ]: 2: 3);readln; End Kt qu: Nhap a, b : Nhap sai so w = 0.03 Chon xO = Cac xap xi tiep theo la: x [l ] = 0.268941421 x[2] = 0.216759117 x[3] = 0.213532151 X [4] = 0.213323105 x[5] = 0.213309571 x[6] =0.213308695 x[7] =0.213308638 X[8] =0.2133086376 x[9] =0.213308634 x[ 10] =0.213308633 Vay nghiem xap x cua phuong trinh la : 0.213308633 d) Vớ d 3.5.4 Gii phng trỡnh sau bng phng phỏp dõy cung: X4 - 6x + = Gii t /(x) = X - 6x + C m = 4> 0,f) = - 'f(0 ).f() < => (3.5.4) cú nghim Jt* e (0, 1) 50 (3.5.4) D th y / (x) = 4x3 - 6, f (x) = 12x2> Vx E {0, 1) Vi ) =f (0) > nờn nghim ca (3.5.4) s c xõy dng theo cụng thc (3.1.2) Chn xp x ban u x0 = Ta tớnh c: V = J t _ M ' (x - a ) / ( x 0) - / ( a ) ( = (1-0) ô0.8 / ( ! ) - / ( )v = XI - w t 7 ^ < x i - ) * 8 f ( X j ) f ( ) X;,= x - / ) f ( x 2) - f ( 0) ( x 2- ) ô 7 z *4 = *3- (X3- 0) ô0.7094644357 x5 = x4 - f xý m (X4 - ) ô 0.7088555864 / 3) - / ( 0) J *6 = *5 - ( ) (x5 -> a 0.70877402134 x? = *6 ~ / ( ( ) - / ( ) (x~ 0) :*'-7087'183775 X8= x7- (x 7-0) = 0.7087142457 * = xs ~ ) (xằ~0) a -7087134639 xằ= x9 - 77 *0.708713316 51 x" = X| ~ / ( x f ? - (X| ~ 0) a 0,7087:13288 x 12= 1~ n x - m *13= * 12 - 77 ( x 0) a -7087132827 (x 12-0)ô0.7087132817 *14= *13-77 ^ (xl3-0 ) ô0.7087132815 / ( x |3) - / ( ) Vy nghim gn ỳng ca phng trỡnh (3.5.4) l: Xj w 0.7087132815 Gii vớ d 3.5.4 trờn Maple: [> fsolve(xA4-6*x+4,{x}); {X = 7087132815), x = 1.491538269} th ca phng trỡnh l: JC*^0.7087132815 n 52 x An = lx - JC*I 0.8 0.7288629738 0.7126570468 0.291286718 0.09128678 0.020149692 3.943765.103 n x 0.7094644357 0.7088555864 0.708774021 0.708718377 An = lx - x*\ 7.511547.14 1.423049J O 6.07398.105 5.096.106 n 10 11 x 0.7087142457 0.7087134638 0.708713316 0.708713288 n 12 13 14 x 0.7087132827 0.7087132817 0.708713281 1.2.1010 2.103 0.0000000 All = lx - JC*I An = lx - x*\ 9.642.107 1.824.17 Gii vớ d 3.5.4 bng chng trỡnh Pascal: Progam Giaividu3.5.4; Uses crt; VarxO, x , w, e, a, b, m : real; i: byte; x: array [1 10] o f real; function/ (x: real): real; begin 53 3.45.10-' 6.5.10 * * * f: = x x x x - o x + 4; end; Begin WriteC nhap a, b : '); readln(a, b); WriteC nhap m = '); readln(m); Write(' nhap SCI so w = '); readln(w); WriteC chon xO = '); readln(xO); WritelnC cac xap xi tiep theo la: ') i: = 1; e: = 0; repeat iff(a) > then xl:= xO -f(xO)*(xO -a)/(f(xO) -f (a)) else xJ:= xO - f(xO)*(b - xO)/(f(b) - f(xO)) writeln (' x f, i , = x l: 2: 3); e: = abs(xl - xO); xO: = x l; i: = / + / , until (e < w); wrteln(' vay nghiờm xap xi cua phuong trinh la: End Ket qua: Nhap a, b : Nhap m = Nhap sai so w = 0.001 Chon xO = Cac xap xi tiep theo la: x[l] = 0.8 x[2] = 0.7288629738 54 x [ i ]: 2: 3);readln; x[3] = 0.7 26570468 x[4] = 0.7094644357 x[5] = 0.7088555864 X [6] = 0.70877402134 x[7] = 0.708783775 x[8] = 0.7087142457 x[9] = 0.7087 34638 x[ 10] = 0.708713316 x [ l l ] = 0.708713288 x[12] = 0.7087132827 x[13] = 0.70871328 x[ 14] = 0.7087132815 Vay nghiờm xap xi cua phuong trinh la : 0.7087132815 > Gii vớ d 3.5.4 bng phng phỏp Newton t f(x) = X - 6x +4 = => f \ x ) = 4x - Ta cú:f() = -1 < 0,f(0) = 4> = > < Do ú phng trỡnh f(x ) = cú nghim x * e (;7) Theo phng phỏp Newton, dóy xp x liờn tip c xõy dng nh sau: f ( x n) x n +1 = Chn xp x ban u l _ x n f ' ( x n) ',n = ,1 ,2 , Xo = ) _ /fe ) ô ô , x = X! - ~ ~ ~ ô 0.693181818 /fe ) 55 /te ) X = x - ^ - ô 0.708562049 / ( * 2) X = X - /fe ) / te ) 0.708713265 ô x - X - l i ô 0.7087132815 f (* ) Ta cú /(x5) & 0 0 & Vy nghim gn ỳng ca (3.5.4) l x ^ Bng ỏnh giỏ sai s vúi nghim X* ~ 8 n x 0.5 0.693181818 0.291256718 0.208713281 0.015531463 n x 0.708562049 0.708713265 0.7087132815 1.5.l 1.65.10* 0.0000000 Ai = \xn - x*\ Ai = \xn - x*\ Nhn xột: Ta bit rng phng phỏp dõy cung cú bc hi t /7 = 1.6 cũn phng phỏp Newton cú bc hi t p = 2, nờn phng phỏp Newton hi t n nghim nhanh hon phng phỏp dõy cung, vớ d trờn cng chng t iu ú e t sai s An = 0.0000000, phng phỏp dõy cung cn 14 bc cũn phng phỏp Newton ch cn bc * Bi tõy: 56 Bi 3.6.1: Bng phng phỏp dõy cung tỡm cỏc nghim gn ỳng ca phng trỡnh vi chớnh xỏc s - 10~3 a)x^ - 6x ^ + 20x -1 = b ) x + sin X - x +1 = c )x - x - = d ) x - ranx=0;x E [0, n / 2] Bi 3.6.2: Hóy tỏch nghim bng th v tỡm mt cỏc nghim ú bng phng phỏp dõy cung vi chớnh xỏc s = .1CT3 a ) x x +10x 10 = b)-Jx-1 + - = X c)x6 + X + 0.5x = 57 KẫT LUN Trong khúa lun ny, em ó thu c mt s kt qu sau - Trỡnh by c phng phỏp Newton v phng phỏp dõy cung gii gn ỳng phng trỡnh f(x) = - Trỡnh by phng phỏp tớnh tc hi t ca cỏc phng phỏp ú - Vn dng hai phng phỏp ny vo gii cỏc bi c th Em ó gii mu mt s vớ d bng lp trỡnh trờn Maple v trờn Pascal tỡm nghim gn ỳng ca phng trỡnh phi tuyn t ú cú th dng v gii cỏc bi tng t mt cỏch d dng Mc dự ó ht sc c gng nhng thi gian cú hn v bc u lm quen vi nghiờn cu khoa hc nờn khúa lun ca em khụng trỏnh nhng thiu sút Em rt mong c s úng gúp ý kin ca quý thy cụ v bn c khúa lun ca em c hon chnh hn 58 [...]... CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP NEWTON Trong chương này, em trình bày phương pháp Newton giải gần đúng phương trình phi tuyến Đồng thời em cũng giải mẫu một số ví dụ bằng phương pháp Newton, lập trình trên Maple, trên Pascal và đưa ra các bài tập áp dụng 2.1 Mô tả phương pháp Xét phương trình: f(x) = 0 (2 1 1) với giả thiết / E c 2 [a , b] và thỏa mãn: i)f(a).f(b)< 0 ii) Các đạo hàm / ( x), f M không đổi dấu... điểm (xo,f(xo)) nên phương pháp Newton cũng là phương pháp tuyến tính hóa và là phương pháp tiếp tuyến Nhìn vào (2.1.3), (2.1.4) ta thấy phương pháp Newton thuộc loại phương pháp lặp với hàm lặp là: 10 2.2 Mô tả phương pháp bằng hình học Giả sử hàm sốf(x) liên tục trên [a, b] có đồ thị là cung AB + N euf ( x) f (x)> 0 thì qua điểm B(b,f(b)) dựng tiếp tuyến với đồ thị У =ЛХ)>tiếp tuyến cắt Ox tại X]... tương tự ra *2, và một cách tổng quát khi đã biết x n ta tính Xn + 1 theo công thức: xn+l= x „ - ụ ^ ; n = 0,1,2, / On) Xo chọn trước thuộc [a, b] (2.1.3) (2.1.4) và xem xn là một giá trị gần đúng của nghiệm a Phương pháp tính xntheo (2.1.3) và (2.1.4) gọi là phương pháp Newton Chú v: Phương trình (2.1.2) dùng để thay cho phương trình (2.1.1) là tuyến tính đối với X và là phương trình tiếp tuyến với đường... 0.806443932 Ví dụ 2.6.5: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton: (2.6.5) x2- e x - 2 = 0 Giải Đặt f(x)= X2 - e x - 2 Theo khai triển Taylor ta có: e x = l + x + ^ + ^ + OO4) 2 6 2 e x X* 1 + X + 2 3 6 =>f(x)*ex = - 3 - x + ị - ? r = 0 2 6 27 ( 2 6 6 ) Nghiệm của phương trình (2.6.5) xấp xỉ bằng nghiệm của phương trình (2 6 6 ) Việc giải phương trình (2.6.5) ta đi giải phương trình: 2 3 g( x ) = -... [a, b] Định nghĩa: Điểm Xo được gọi là điểm Fourier của f(x ) nếu f(x0) / M > 0 Ý chủ đạo của phương pháp Newton là tìm cách thay phương trình (2.1.1), phi tuyến đối vói X, bằng một phương trình gần đúng, tuyến tính đối với X Ta có công thức Taylor Cho hàm P(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n + I tại Xo và lân cận x0 Khi đó công thức sau đây gọi là khai triển Taylor bậc n của P(x) tại x0: P(x ) =... Vay nghiem xap xi cua (2.6.1) la : -1.147757632 Ví dụ 2.6.2: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton, với độ chính xác là l ơ 4: X5 - X - (2 6 2) ỉ =0 Giải Đặt f(x ) = X5 - X - 1 =>f (x) = 5x4 - 1 Ta có: / ( /) =-1 0 =>,f { l ) j { 3 / 2 ) < 0 Do đó phương trình f(x) = 0 có nghiệm X* e (7;3/2) Theo phương pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau: 'f Tí +1... xap xi cua (2.6.2) la : 1.167303979 Ví dụ 2.6.3: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton với sai số tuyệt đối không vượt quá 10'5 3x - cosx - 1 = 0 (2.6.3) Giải Đặt f(x ) = 3x - cosx - I =^>Ị (X) = 3 + sinx Ta có: /(//2 ) = -0.5 < 0,f{3/2) = 2.5 > 0 ^ f(l/2 ).f(3 /2 ) < 0 Do đó phương trình f(x ) = 0 có nghiệm X * e (1/2;3/2) Theo phương pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau:... 0.6071016481 Vay nghiem xap xi cua (2.6.3) la : 0.6071016481 Ví dụ 2.6.4: Giải phương trình sau bằng phương pháp Newton, với độ chính xác là ì ơ 5 2x3 + 3x2- 3 =0 (2.6.4) Giải Đặt f(x) = 2x + 3x2-3 = > / (x) = 6x2+ 6x Ta có: f(0 ) = -3< 0, f ( Ị ) = 2 > 0 =>A0).fU) < 0 Do đó phương trình f{x) = 0 có nghiệm X*e (0;ỉ) Theo phương pháp Newton, dãy xấp xỉ liên tiếp được xây dựng như sau: y лп+1 — y / (^n)... bậc hội tụ của phương pháp Newton là p = 2 2.5 Sai số của phương pháp Newton Ta có: l/(* n )l m 0 < m > | / ’(x ) |,a < X < b Ngoài ra ta có công thức đánh giá sai số khác là: \ a - x n \ < ^ - \ x n - x n+1\2 , với | / " 0 ) | 2 M Vì đạo hàm / , / không đổi dấu trên [a, b] nên ta có: m = m in \\f \à ) \ \ f (fr)|Ị 2.6 Một số ví dụ a) Ví dụ Ví dụ 2.6.1: Giải phương trình bằng phương pháp Newton: X2 —... - x 2.4 Tốc độ hội tụ của phương pháp Newton Cho r là nghiệm của phương trình f(x) = 0 và xn là giá trị xấp xỉ thứ n của r, ta xác định một số Çt như sau: Çn - r - xnNeu với n đủ lớn thì chúng ta có mối quan hệ xấp xỉ như sau: kr„+il=*kr«r với к là hằng số dương thì ta nói tốc độ hội tụ của phương pháp bằng p, p càng lớn thì dãy x„ hội tụ càng nhanh đến r Theo phương pháp Newton ta có: xn+l = xn - ... cu Phng phỏp Newton v phng phỏp dõy cung gii phng trỡnh f(x) = , tro n g /l hm s mt bin s thc; ng dng cỏc phng phỏp ú gii mt s phng trỡnh phi tuyn c th i tng nghiờn cu Phng trỡnh phi tuyn tớnh... (x+h) - L(x) = Lè) CHNG PHNG PHP NEWTON Trong chng ny, em trỡnh by phng phỏp Newton gii gn ỳng phng trỡnh phi tuyn ng thi em cng gii mu mt s vớ d bng phng phỏp Newton, lp trỡnh trờn Maple, trờn... dõy cung bng p nú l nghim dng ca ca phng trỡnh p - p -1 = l /7=- ^ - ~ 1.618 Do ú bc hi t ca phng phỏp dõy cung cho bi p giỳp ta thy tc hi t ca phng phỏp dõy cung chm hn tc hi t ca phng phỏp Newton