TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN =======***======= PHÙNG THỊ NGÂN VỀ CÁC IDEAL NGUYÊN TỐ, CỰC ĐẠI VÀ NGUYÊN SƠ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. Đỗ Văn Kiên HÀ NỘI, 2015 LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc cùng sự hƣớng dẫn, giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đến nay khóa luận tốt nghiệp của tôi đã đƣợc hoàn thành. Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo đặc biệt là thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này. Do còn hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên khóa luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận đƣợc sự góp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2015. Sinh viên thực hiện Phùng Thị Ngân LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp “Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ” đƣợc hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bản thân cũng sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên. Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 05 năm 2015 Sinh viên thực hiện Phùng Thị Ngân. MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................... 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH ........................................ 2 1.1. Vành và các tính chất cơ bản .......................................................... 2 1.2. Vành con và các tính chất cơ bản ................................................... 3 1.3. Miền nguyên, trƣờng ....................................................................... 3 1.4. Iđêan. ............................................................................................... 4 1.5. Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit ..................................... 7 1.6. Vành thƣơng và đồng cấu vành ...................................................... 8 1.7. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự ................................................... 12 Chƣơng 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ .................... 14 2.1. Iđêan cực đại ................................................................................. 14 2.2. Iđêan nguyên tố ............................................................................. 19 Chƣơng 3: IĐÊAN NGUYÊN SƠ .......................................................... 32 3.1. Iđêan nguyên sơ ............................................................................ 32 3.2. Mối liên hệ giữa iđêan cực đại, iđêan nguyên tố và iđêan nguyên sơ .......................................................................................................... 39 KẾT LUẬN ............................................................................................. 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số là một nghành rất quan trọng của Toán học. Kiến thức Đại số rất phong phú, trừu tƣợng và đƣợc xây dựng, phát triển từ những kiến thức cơ sở của của cấu trúc đại số nhƣ: nhóm, vành, trƣờng… Các khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại là những khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào đại số hình học. Tuy nhiên trong chƣơng trình đại học vấn đề này mới chỉ đƣợc trình bày một cách sơ lƣợc gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu của bạn đọc, đặc biệt là sinh viên khoa Toán. Đƣợc sự giúp đỡ hƣớng dẫn tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên và mong muốn tìm hiểu sâu về đại số giao hoán tôi chọn đề tài “Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ” để làm khóa luận tốt nghiệp hi vọng giúp ích cho các bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu để tham khảo. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu sâu về các iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại, sự phân tích nguyên sơ và mối liên hệ giữa chúng. 3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Lý thuyết về iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại trên các vành giao hoán. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp. 5. Cấu trúc khóa luận Khóa luận này đƣợc chia làm 3 chƣơng Chƣơng 1. Kiến thức cơ bản về vành. Chƣơng 2. Iđêan cực đại và iđêan nguyên tố. Chƣơng 3. Iđêan nguyên sơ 1 Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH Trong chƣơng này ta sẽ trình bày lại một số kiến thức về vành và các tính chất cơ bản về vành, miền nguyên và trƣờng, iđêan, quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự. 1.1. Vành và các tính chất cơ bản Định nghĩa 1.1.1. Cho X là tập khác rỗng, trên X trang bị hai phép toán hai ngôi, ký hiệu là (+), (.) và gọi là phép cộng và phép nhân. X đƣợc gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện sau i) X cùng với phép cộng là nhóm Aben, ii) X cùng với phép nhân là nửa nhóm, iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phần tử tùy ý x, y, z  X ta có x( y  z )  xy  xz , ( y  z ) x  yx  zx . Chú ý 1.1.2. + Vành X gọi là vành có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân. + Vành X đƣợc gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có giao hoán. + Vành X gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân giao hoán. + Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0. + Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có) ký hiệu là 1. + Trong khoá luận này luôn giả thiết rằng vành là vành giao hoán có đơn vị 1. 2 Định nghĩa 1.1.3. Cho X là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên dƣơng n nhỏ nhất sao cho n.1  0 thì ta nói X có đặc số là n , ngƣợc lại ta nói X có đặc số bằng 0. Đặc số của vành X ký hiệu là char ( X ) . Định lý 1.1.4. Với mọi x, y , z  X , n  ta có + x.0  0  0.x với mọi x  X ; + Nếu vành X có ít nhất hai phần tử thì 0  1; + (n.x) y  n.x. y  x.(n. y ) với mọi x, y  X , n  ; + ( x  y ) z  xz  yz . Định nghĩa 1.1.5 (Tập con nhân đóng). Cho R là vành có đơn vị 1. Tập con S của R đƣợc gọi là tập con nhân đóng của R nếu thỏa mãn i) 1 S , ii) Với mọi x, y  S thì xy  S . 1.2. Vành con và các tính chất cơ bản Định nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X , ổn định với hai phép toán trong X , nghĩa là x  y  A , x. y  A với mọi x, y  A . A là một vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảm sinh trên A là một vành. Định lý 1.2.2 . Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X . Khi đó các điều kiện sau là tƣơng đƣơng i) A là một vành con của X ; ii) x, y  A : x  y  A , x. y  A ,  x  A ; iii) x, y  A : x  y  A , x. y  A . 1.3. Miền nguyên, trƣờng Định nghĩa 1.3.1 (Ƣớc của không). Cho a  X , a  0 , a đƣợc gọi là ước của không nếu tồn tại b  X , b  0 sao cho a.b  0 . 3 Định nghĩa 1.3.2 (Phần tử khả nghịch). Phần tử u  X đƣợc gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ƣớc của 1, tức là tồn tại v X sao cho u.v  1 . Định nghĩa 1.3.3 (Phần tử liên kết). Với a, a '  X ta nói a, a ' liên kết với nhau nếu tồn tại u khả nghịch sao cho a  u.a ' hoặc a '  u.a . Ký hiệu: a a ' hoặc a ' a . Định nghĩa 1.3.4 (Ƣớc thực sự). a đƣợc gọi là ước thực sự của b nếu a là ƣớc của b , a không khả nghịch và a không liên kết với b . Định nghĩa 1.3.5 (Phần tử bất khả quy). a  X là phần tử bất khả quy nếu a  0 , a không khả nghịch và a không có ƣớc thực sự. Định nghĩa 1.3.6 (Phần tử nguyên tố). Phần tử a  0 , không khả nghịch đƣợc gọi là phần tử nguyên tố nếu từ a u.v thì a u hoặc a v . Định nghĩa 1.3.7 (Miền nguyên). Một vành giao hoán X có đơn vị có nhiều hơn một phần tử và không có ƣớc của không đƣợc gọi là một miền nguyên. Định nghĩa 1.3.8 (Trƣờng). Một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân đƣợc gọi là một trường. Nhƣ vậy X là trƣờng thì +  X ,   là nhóm Aben +  X ,  là nhóm Aben, trong đó X * *  X \ 0 + Phép nhân phân phối đối với phép cộng. Nhận xét 1.3.9. Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0 , hoặc là một số nguyên tố. 1.4. Iđêan. Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán, I là tập con của R . I đƣợc gọi là iđêan của R khi nó thỏa mãn các điều kiện sau i) I , 4 ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I , iii) Với mọi a  I , r  R thì ra  I . Định lý 1.4.2. Cho X là vành, I  X , I  . Các khẳng định sau tƣơng đƣơng i) I là iđêan của X ; ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I và x  X thì a.x  I , x.a  I . Định lý 1.4.3. a) Giao của tất cả các iđêan của X là một iđêan của X . b) Cho X là vành giao hoán có đơn vị là 1, I là một iđêan của X , 1 I thì I  X . Định nghĩa 1.4.4 (Iđêan sinh bởi một tập). Cho U là tập con của vành X . Giao của họ tất cả các iđêan của X chứa U là một iđêan chứa U và đƣợc gọi là iđêan sinh bởi tập U . Ký hiệu: U hoặc XU . Nhận xét 1.4.5. Cho X là vành giao hoán, tập U  X + U là iđêan nhỏ nhất của X chứa U ; + Nếu U là tập con hữu hạn của X thì ta nói I  U là iđêan hữu hạn sinh của X ;  + Nếu U  ui \ i  1, n thì n U   xiui n   i 1 *  , xi  X , ui U  ;  + Nếu U   thì U    0 . Định nghĩa 1.4.6 (Iđêan chính). Cho X là vành, iđêan sinh bởi tập chỉ gồm một phần tử đƣợc gọi là iđêan chính. Biểu diễn: I là iđêan chính sinh bởi phần tử a  X thì I xác định bởi I   xa x  X  . 5 Định nghĩa 1.4.7 (Căn của iđêan). Cho R là vành giao hoán và cho I là iđêan của R . Căn của iđêan I ký hiệu là  I hoặc Rad  I  xác định bởi Rad  I   x  R n  * : xn  I  và cũng là một iđêan của I .  Đặc biệt. 0 là một iđêan của R , Rad 0  x R n  * :x n  0  đƣợc gọi là căn lũy linh của R và ký hiệu là Rad  R  . Định lý 1.4.8. Cho I1, I 2 ,...., I n là các iđêan của R , ta có n Ii  i 1 n Ii (*) i 1 Chứng minh. Ta chứng minh bằng cách quy nạp theo n I1  I 2  I1  I 2 . + Với n = 2 ta cần chỉ ra Thật vậy, với mọi a  I1  I 2 luôn tồn tại m  Suy ra tồn tại m  * * sao cho am  I1  I 2 thỏa mãn  a m  I1  m  a  I 2 Suy ra a  I1  a  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2 .  a  I 2 Mặt khác với mọi b  I1  I 2 thì b  I1  b  I 2 Suy ra tồn tại t , k  * để bt  I1 , bk  I 2 . Giả sử k  t , k  t  q . Khi đó bk  bt q  bt .bq  I1 (do bt  I1 ). 6 Lại có bk  I 2 suy ra bk  I1  I 2  b  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2 . n 1 + Giả sử (*) đúng với n-1 tức là có i 1 Ii  n 1 Ii . i 1 Ta chứng minh (*) đúng với n Thật vậy, n 1 Ii  i 1 n 1 n 1 Ii  I n  i 1 I i  I n (theo chứng minh trên) i 1  n 1 I i  I n (theo giả thiết quy nạp) i 1  n Ii i 1 n Vậy i 1 Ii  n Ii . □ i 1 1.5. Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit Định nghĩa 1.5.1 (Vành chính). Miền nguyên X đƣợc gọi là vành chính nếu mọi iđêan của X đều là iđêan chính Ví dụ 1.5.2. Vành các số nguyên là vành chính. Định nghĩa 1.5.3 (Vành nhân tử hóa). Miền nguyên X đƣợc gọi là vành nhân tử hóa nếu và chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đều phân tích đƣợc một cách duy nhất thành tích các phần tử bất khả quy. Nhận xét 1.5.4 + Mọi vành chính đều là vành nhân tử hóa + Nếu K là một trƣờng thì K  x là vành nhân tử hóa. 7 Định nghĩa 1.5.5 (Vành Ơclit). Cho X là miền nguyên, X * là tập các phần tử khác 0 của X . X đƣợc gọi là vành Ơclit nếu tồn tại ánh xạ  : X*  i) thỏa mãn các điều kiện sau Nếu a là bội của b và a  0 thì  (b)   (a) . ii) Với a, b  X và b  0 thì tồn tại q và r thuộc X sao cho a  bq  r và  (r )   (b) nếu r  0 . Ký hiệu: ( X ,  ) trong đó  đƣợc gọi là ánh xạ Ơclit. 1.6. Vành thƣơng và đồng cấu vành Định nghĩa 1.6.1. Cho A là iđêan của vành X . Khi đó nhóm thƣơng X A  x  A x  X  cùng với 2 phép toán (  ),() xác định nhƣ sau, với mọi x, y  X ( x  A)  ( y  A)  x  y  A, ( x  A).( y  A)  xy  A. lập thành một vành gọi là vành thương của X theo iđêan A . Nhận xét 1.6.2 + Nếu X là vành giao hoán thì X cũng là vành giao hoán. A + Nếu X là vành giao hoán có đơn vị là 1 thì X cũng là vành A giao hoán có đơn vị là 1  A . + Đặc biệt, 0, X là 2 iđêan của X nên tồn tại 2 vành thƣơng X X Ví dụ 1.6.3. Ta có n  x  0 x X  X , 0  X   x  X x  X    X   0 . là iđêan của vành các số nguyên có vành thƣơng 8 (n  ) nên n  x  n x    n ,1  n ,..., n  1  n  với hai phép toán (+), () xác định nhƣ sau, với mọi x, y  (x  n )  ( y  n )  x  y  n ( x  n ).( y  n )  xy  n Định lý 1.6.4. Cho R là vành giao hoán, I là iđêan của R . Khi đó i) Nếu J là iđêan của R sao cho J  I thì J là một iđêan của I vành thƣơng R . I ii) Mỗi iđean J của R I đều có dạng K I với K là iđêan của R thỏa mãn K  I . Tồn tại duy nhất iđêan K  a  R a  I  J  của R thỏa mãn điều kiện. iii) Nếu J1, J 2 là các iđêan của R sao cho J1, J 2  I thì J1 I  J2 I khi và chỉ khi J1  J 2 . Chứng minh. i) Ta có J suy ra J I  a  I a  J   r  I r  R  R I là nhóm con của nhóm cộng R . Hơn nữa, với mọi r  R và I I a  J ta có (r  I )(a  I )  ra  I  J suy ra J I I là một iđêan của R . I ii) Lấy  là một iđêan bất kỳ của R , tập K  a  R a  I   . I + Hiển nhiên I  K do a  I  I   với mọi a  I . 9 + Lấy a, b  K và r  R thì ta có a  I , b  I  . Do đó (a  b)  I   , ra  I   . Suy ra a  b , ra  K và K là một iđêan của R . Từ đó theo định nghĩa của K và K  I suy ra rằng K   . I + Mặt khác, giả sử L là 1 iđêan khác của R cũng có tính chất L  I và L I   . Cho a  L thì a  I  L I   . Suy ra a  K . Suy ra LK. Lại có nếu b  K thì b  I    L . Theo (i) ta có b  L . Suy ra K  L . I Vậy L  K hay K là duy nhất. iii) Theo (i) ta có J1 I , J2 I là các iđêan của R . I Từ (ii) ta có điều phải chứng minh. □ Định nghĩa 1.6.5 (Đồng cấu vành). Cho X , Y là hai vành. Ánh xạ f : X  Y gọi là đồng cấu vành nếu với mọi x, y  X ta có  f ( x  y )  f ( x)  f ( y )   f ( x. y)  f ( x). f ( y) Hơn nữa, + f gọi là đơn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh, + f gọi là toàn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh, + f gọi là đẳng cấu nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu, +) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại một đẳng cấu vành f : X  Y . Định lý 1.6.6. Ta có các khẳng định sau (i). Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành; 10 (ii). Cho f : X  Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trƣờng thì f là đồng cấu không hoặc đơn cấu; (iii). Cho f : X  Y là đồng cấu vành; + Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X  Y sao cho g  f  1X thì f là đơn cấu; + Nếu f có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấu vành g : X  Y sao cho f  g  1Y thì f là toàn cấu; + Nếu f có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f là đẳng cấu. (iv). f : X  Y là đồng cấu vành, A là vành con của X , B là iđêan của Y thì + f ( A) là vành con của Y ; + f 1 ( B) là iđêan của X. Đặc biệt, cho f : X  Y là đồng cấu vành. Hạt nhân của f ký hiệu là Kerf , Kerf   x  X f ( x )  0 . Ảnh của đồng cấu f ký hiệu Im f , Im f  f ( X )   f ( x)  Y x  X  . Khi đó + X là vành con của X nên Im f là vành con của Y ; + 0Y  là 1 iđêan của Y nên Kerf là một iđêan của X . Vậy f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf  0 X  , f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f  Y . Định lý 1.6.7 (Định lý cơ bản của đồng cấu vành). Cho đồng cấu vành f : X  Y , A, B tƣơng ứng là các iđêan của X , Y sao cho f ( A)  B . 11 Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : X A Y B sao cho biểu đồ sau giao hoán f X  Y pB pA X  Y f A nghĩa là f p A  pB f với p A : X  X A B , pB : Y  Y B là các toàn cấu chính tắc. Đặc biệt, nếu A  Kerf , B  0Y  thì Y B Y 0Y   Y , khi đó ta có f p  f với p : X  X Kerf là toàn cấu chính tắc. Nếu f là toàn cấu vành thì X Kerf  Y . Hơn nữa, f là đơn cấu và Imf  Im f . Hệ quả 1.6.8. Cho A, B là hai iđêan của vành R thỏa mãn B  A . Khi đó R B  R A B . A 1.7. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự Định nghĩa 1.7.1. Cho tập X   . Quan hệ hai ngôi “  ” trên X đƣợc gọi là quan hệ thứ tự trên X nếu thỏa mãn 3 tính chất sau i) Phản xạ: với mọi u  X : u  u , ii) u  v Phản xứng: với mọi u, v  X :  thì u  v , v  u u  v iii) Bắc cầu: với mọi u, v, w  X nếu  thì u  w . v  w  12 Khi đó ta viết  X ,   đƣợc gọi là tập sắp thứ tự. Tập sắp thứ tự  X ,   đƣợc gọi là tập sắp thứ tự toàn phần nếu với mọi u  v u  v . Ta viết u  v nếu  . u, v  X luôn có  v  u u  v Định nghĩa 1.7.2 (Phần tử cực đại, cực tiểu, cận trên, cận dƣới). Cho  X ,   là tập sắp thứ tự + Phần tử m  X đƣợc gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của X nếu tồn tại n  X mà m  n  n  m thì m  n . + A X ,  X ,  là tập sắp thứ tự, a0  X gọi là cận trên (cận dưới) của A nếu với mọi a  A thì a  a0 ( a0  a ). Bổ đề 1.7.3 (bổ đề Zorn). Cho tập sắp thứ tự  X ,   khác rỗng. Nếu mọi tập con sắp thứ tự toàn phần (khác rỗng) của X đều chứa một cận trên của X thì X có ít nhất một phần tử cực đại. 13 Chƣơng 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ 2.1. Iđêan cực đại Định nghĩa 2.1.1. Iđêan A của vành giao hoán R đƣợc gọi là iđêan cực đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau A  R, i) ii) Giả sử tồn tại iđêan B của R mà A Ví dụ 2.1.2. Trong vành các số nguyên dạng p B thì B  R . các iđêan cực đại đều có với p là số nguyên tố. Thật vậy, nếu I là một iđêan cực đại tùy ý của I  0, I nên I có dạng I  p thì với p  , p  1 , ta sẽ chỉ ra p là số nguyên tố. Giả sử p không là số nguyên tố thì p  p1. p2 với 1  p1, p2  p . Khi đó với mọi x  p ta có x  px1  p1 p2 x1  p1 , p1  . Suy ra p p1 (trái với giả thiết p là iđêan cực đại). Vậy p là số nguyên tố. Ngƣợc lại, giả sử p là số nguyên tố nhƣng p cực đại thì tồn tại iđêan m của ,m  sao cho p không là iđêan m tức m là ƣớc thực sự của p . Điều này trái với giả thiết p là số nguyên tố. Vậy p là iđêan cực đại. Mệnh đề 2.1.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. A là iđêan cực đại của R nếu và chỉ nếu R là trƣờng. A Chứng minh. Giả sử A là iđêan cực đại của R . Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R A là vành giao hoán có đơn vị. Ta có A  R nên R có A 14 ít nhất hai phần tử 0  A và 1  A . Xét phần tử x  A  R , x  A  A . A Khi đó x  A . Đặt B  x  A thì B là iđêan của R và B A . Do A là iđêan cực đại nên B  R . Do đó 1 B , suy ra tồn tại x0  R , a  A sao cho 1  xx0  a . Suy ra 1  A  xx0  a  A  xx0  A  ( x  A)( x0  A) Vậy x  A có nghịch đảo trong R Ngƣợc lại, giả sử R A A là x0  A . Do đó R là một trƣờng. A là trƣờng. Khi đó R có ít nhất hai phần A tử là 0  A và 1  A . Suy ra A  R . Nếu B là iđêan của R thỏa mãn A B thì tồn tại x  B \ A . Suy ra x  A  A . Do R A là trƣờng nên tồn tại x0  A  R A sao cho ( x  A)( x0  A)  1  A Suy ra xx0  A  1  A hay xx0  1 A . Vậy tồn tại a  A để a  xx0  1. Suy ra 1  xx0  a  B (vì B là iđêan của R và tập x, a  B ). Vậy B  R hay A là iđêan cực đại của R . □ Định lý 2.1.4. Nếu R là vành giao hoán không tầm thƣờng thì R luôn có ít nhất một iđêan cực đại. Chứng minh. Gọi  là tập tất cả các iđêan thực sự của R . Do R không tầm thƣờng nên 0 là iđêan thực sự của R . Suy ra    . Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự bộ phận trên  và iđêan cực đại của R chính là phần tử cực đại của tập sắp thứ tự bộ phận (, ) . Cho  là tập con sắp thứ tự toàn phần của  . Đặt J  I , rõ ràng J   vì 0  J . I  15 + Với mọi a  J , r  R thì ra  J . + Với a, b  J luôn tồn tại I1, I 2  sao cho a  I1, b  I 2 . Do (, ) sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có I1  I 2 hoặc I 2  I1 . Không mất tính tổng quát ta giả sử I1  I 2 . Khi đó a  b  I 2  J . Do vậy J là iđêan của R và là iđêan thực sự (vì với mọi I  thì 1 I suy ra 1 J ). Suy ra J   . Vì vậy J là cận trên của  trong  . Áp dụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận (, ) luôn có phần tử cực đại nên R luôn có ít nhất một iđêan cực đại. □ Hệ quả 2.1.5. Cho R là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của R . Khi đó luôn tồn tại một iđêan cực đại M của R sao cho M  I . Chứng minh. Do I là iđêan thực sự nên vành thƣơng R không tầm I thƣờng. Theo định lý 2.1.4 thì R có iđêan cực đại và theo định lý I 1.5.4.ii) thì iđêan cực đại đó phải có dạng M I với đúng một iđêan M của R thỏa mãn M  I . Lại có: R I M R I M R I M (theo hệ quả 1.5.8). Mà M là một trƣờng. Suy ra R I M I là iđêan cực đại nên cũng là một trƣờng. Vậy M là iđêan cực đại của R và M  I . □ Hệ quả 2.1.6. Cho R là vành giao hoán và a  R . Khi đó a là phần tử khả nghịch của R nếu và chỉ nếu với mọi iđêan cực đại M của R thì aM . 16 Chứng minh. Giả sử a là khả nghịch của vành giao hoán R thì a  R . Nếu a  M với M là iđêan cực đại nào đó của R suy ra M  R . Điều này mâu thuẫn với giả thiết M là iđêan cực đại. Vậy a  M . Ngƣợc lại, giả sử a  M với mọi M là iđêan cực đại của R . Nếu a không khả nghịch thì a là iđêan thực sự của R . Theo hệ quả 2.1.5 thì tồn tại iđêan cực đại M của R chứa a . Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Vậy a là khả nghịch. □ Nhận xét 2.1.7. Tập các phần tử khả nghịch của R là M, R\ M SpecmR trong đó SpecmR là tập các iđêan cực đại của R . Định nghĩa 2.1.8. Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đại đƣợc gọi là vành địa phương. Nếu M là iđêan cực đại duy nhất của vành địa phƣơng R thì R M là trƣờng và đƣợc gọi là trường thương của R theo M . Ví dụ 2.1.9. Nếu R là trƣờng thì R là vành địa phƣơng vì R có duy nhất iđêan cực đại là iđêan 0 . Mệnh đề 2.1.10. Cho R là vành giao hoán. Khi đó R là vành địa phƣơng nếu và chỉ nếu tập các phần tử không khả nghịch của R là một iđêan của R . Chứng minh. Giả sử R là vành địa phƣơng với một iđêan cực đại duy nhất M . Theo hệ quả 2.1.6 thì M là tập các phần tử không khả nghịch của R. Ngƣợc lại, ta có R  0 vì nếu R  0 thì tập các phần tử không khả nghịch của R là tập  . Do đó R có iđêan cực đại, chẳng hạn là M . 17 Gọi I là tập các phần tử không khả nghịch của R . Theo giả thiết, I là iđêan của R . Do 0  I nên R là không tầm thƣờng. Theo định lý 2.1.4 thì R có ít nhất một iđêan cực đại. Theo hệ quả 2.1.6 thì mọi phần tử của M không khả nghịch  M  I  R . Nếu M  I thì I  R (vì M là iđêan cực đại của R ). Điều này mâu thuẫn vì phần tử đơn vị 1 của R không thuộc I do 1 là khả nghịch. Vậy M  I . Do đó R có ít nhất một iđêan cực đại và iđêan cực đại nào cũng bằng I , nghĩa là R có duy nhất một iđêan cực đại. Vậy R là vành địa phƣơng. □ Nhận xét 2.1.11. Giả sử vành giao hoán R là vành địa phƣơng. Khi đó từ hệ quả 2.1.6 suy ra iđêan cực đại duy nhất của R là tập các phần tử khả nghịch của R . Định nghĩa 2.1.12. Cho R là vành giao hoán căn Jacobson của R , ký hiệu Jac ( R ) , là giao của tất cả các iđêan cực đại của R . Nhận xét 2.1.13. + Jac ( R ) là một iđêan của R . + Nếu R là vành giao hoán tầm thƣờng thì ta quy ƣớc Jac0  0 + Khi R là vành địa phƣơng thì Jac ( R ) chính là iđêan cực đại duy nhất của R . có Jac( )  Ví dụ 2.1.14. Vành các số nguyên p 0. p Mệnh đề 2.1.15. Cho R là vành giao hoán và r  R . Khi đó r  Jac ( R ) nếu và chỉ nếu với mọi a  R thì (1  ra ) là phần tử khả nghịch của R . 18 Chứng minh. Gọi M là iđêan cực đại bất kỳ của R . Suy ra r  M . Thế thì ra  M . Mà 1 M suy ra (1  ra )  M . Theo hệ quả 2.1.6 suy ra (1  ra ) là phần tử khả nghịch của R . Ngƣợc lại, giả sử với mọi a  R thì (1  ra ) là phần tử khả nghịch của R . Gọi M là iđêan cực đại bất kỳ của R . Ta chỉ ra rằng r  M . Thật vậy, M là iđêan cực đại của R nên theo hệ quả 2.1.6 thì (1  ra )  M . Giả sử r  M thì M  M  Rr  R . Do M là iđêan cực đại nên M  Rr  R . Suy ra 1 M  Rr . Suy ra tồn tại b  M , a  R thỏa mãn 1  b  ra . Do đó 1  ra  b  M (mâu thuẫn). Vậy r  M . Vì M bất kỳ nên r  Rac ( R ) . □ 2.2. Iđêan nguyên tố Định nghĩa 2.2.1. Cho R là vành giao hoán. Iđêan A của R đƣợc gọi là iđêan nguyên tố nếu thỏa mãn i) A  R, ii) x  A Nếu với mọi x, y  R mà xy  A thì  y A Ví dụ 2.2.2. Trong vành các số nguyên dạng n các iđêan nguyên tố đều có với n là số nguyên tố. Thật vậy, nếu I là iđêan nguyên tố tuỳ ý của có dạng I  n thì I  0 , I với n  , n  1, ta sẽ chỉ ra n là số nguyên tố. Giả sử n không là số nguyên tố thì n  n1.n2 với 1  n1, n2  n Do n  n1.n2  nên I và n (1) là iđêan nguyên tố nên ta có  n1  n  n1 n n  n  n n  2  2 (2) Vì (1) và (2) mâu thuẫn nên điều giả sử là sai. Vậy n là số nguyên tố. 19 Ngƣợc lại, giả sử n là số nguyên tố, ta sẽ chỉ ra n Thật vậy, với mọi xy  n là iđêan nguyên tố. thì xy n x n x n   y n yn Vậy n là iđêan nguyên tố. □ Chú ý 2.2.3. + 0 là iđêan nguyên tố nhƣng không là iđêan cực đại vì 0  n với mọi n  * . + R không là iđêan nguyên tố của R . + Khi R là miền nguyên, iđêan không của nó là một iđêan nguyên tố của R Định lý 2.2.4. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan nguyên tố của R nếu và chỉ nếu R là miền nguyên. I Chứng minh. Nếu I là iđêan nguyên tố của R thì với mọi xy  I ta có x  I yI .  Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R là vành giao hoán có đơn vị là I 0  I  R  I . 1  I . Vậy R I   vì  R 1  I  I Với mọi x  I , y  I  R I nếu ( x  I )( y  I )  xy  I  I thì xy  I . Vì I x  I là iđêan nguyên tố nên  . yI 20 Suy ra x  I  I y  I  I  Do đó R I không có ƣớc của không. Vậy R Ngƣợc lại giả sử R I I là miền nguyên. là miền nguyên, I là iđêan của R . Nếu có x, y  R mà xy  I thì xy  I  I . Suy ra ( x  I )( y  I )  I . Do R I là x  I  I x  I miền nguyên nên  hay  . y  I  I y  I   Vậy I là iđêan nguyên tố. □ Chú ý 2.2.5. Cho R là vành giao hoán. Mọi iđêan cực đại của R đều là iđêan nguyên tố. Điều ngƣợc lại không đúng. Ví dụ 2.2.6. Iđêan 0 của là nguyên tố nhƣng 0  2  nên 0 không là iđêan cực đại. Nhận xét 2.2.7. + Cho f : S  R là đồng cấu vành, I là iđêan nguyên tố của R thì f 1 ( I ) là iđêan nguyên tố của S . f p  R  R Thật vậy, hợp thành của hai đồng cấu S  có hạt nhân là f 1 ( I ) . Suy ra S f 1 ( I ) I là đồng cấu đẳng cấu với vành con của miền nguyên R . Do đó S 1 không có ƣớc của không. Mà phần tử I f (I ) không và phần tử đơn vị thuộc S S 1 f (I ) f 1 ( I ) nên nó có nhiều hơn 1 phần tử cũng là miền nguyên. Vậy f 1 ( I ) là iđêan nguyên tố. + Tạo ảnh của iđêan cực đại chƣa chắc đã là iđêan cực đại. 21 Ví dụ 2.2.8. f :  , I  0 là iđêan cực đại của không là iđêan cực đại của nhƣng f 1 (0)  0 . Định lý 2.2.9. Cho I , J là hai iđêan của vành giao hoán R thỏa mãn J  I . Khi đó J là iđêan nguyên tố của R nếu và chỉ nếu J I là iđêan nguyên tố của vành thƣơng R . I Chứng minh. Theo định lý 2.2.4 ta có J là iđêan nguyên tố của R khi và chỉ khi R Mà R J Vậy R I J R là miền nguyên. Lại có là miền nguyên nên R I R I J R I J (theo hệ quả 1.5.8). cũng là miền nguyên. J là iđêan nguyên tố. □ Định nghĩa 2.2.10. Cho R là vành giao hoán. Phổ nguyên tố (hay gọi tắt là phổ) của R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của R . Ký hiệu: Spec ( R ) . Mệnh đề 2.2.11. Cho R là miền nguyên và a, b  R \ 0 . Khi đó a  b nếu và chỉ nếu a, b là hai phần tử liên kết, tức a  ub với u là phần tử khả nghịch của R . Chứng minh. Nếu a  b thì a  b , b  a , suy ra tồn tại u, v  R sao cho a  ub và b  va . Do đó a  uva . Mà R là miền nguyên và a  0 nên uv  1 hay u là phần tử khả nghịch. Ngƣợc lại, nếu a  ub với u là phần tử khả nghịch của R thì a  b . Suy ra a  b . Mà b  u 1a nên b  a . Vậy a  b . □ 22 Mệnh đề 2.2.12. Cho R là một miền chính và p  R \ 0 . Khi đó các điều kiện sau là tƣơng đƣơng i) pR là iđêan cực đại của R , ii) pR là iđêan nguyên tố khác 0 của R , iii) p là một phần tử nguyên tố của R , iv) p là phần tử bất khả quy của R . Chứng minh. (i)  (ii). Hiển nhiên vì p  0 và mọi iđêan cực đại của R là nguyên tố. (ii)  (iii). Vì pR là iđêan nguyên tố khác 0 nên p  0 , p không khả nghịch. Nếu p | ab thì ab  pR  a  pR p|a .   b  pR p|b Vậy p là phần tử nguyên tố. (iii)  (iv). Vì p là phần tử nguyên tố nên p  0 và p không khả nghịch. Nếu a | p thì tồn tại b  R sao cho ab  p . Suy ra p | ab . p|a Mà p là phần tử nguyên tố suy ra  . Chẳng hạn p | a thì tồn tại p | b  u  R sao cho a  pu  pbu  p  bu  1 (vì p  0 )  b khả nghịch. Tƣơng tự với p | b suy ra a khả nghịch. Vậy p là phần tử bất khả quy. (iv)  (i): Vì p là phần tử bất khả quy nên p không khả nghịch, suy ra pR  R . Giả sử I là iđêan của R mà pR  I  R . Từ R là miền 23 chính, tồn tại a  R sao cho I  aR và a không khả nghịch, do I là iđêan thực sự của R nên p  I . Vì vậy p  ab với b  R . Vì p là phần tử bất khả quy và a không khả nghịch nên b là phần tử khả nghịch của R . Do đó theo bổ đề 2.2.11 thì pR  aR  I . Vậy pR là iđêan cực đại của R . □ Định nghĩa 2.2.13 (Tập nhân đóng). Cho R là vành giao hoán. Một tập con S của R đƣợc gọi là tập nhân đóng nếu nó thỏa mãn hai điều kiệu sau i) 1 S , ii) s1,s2  S thì s1s2  S . Định lý 2.2.14. Cho I là một iđêan nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị R và S là tập con nhân đóng của R sao cho I  S   . Khi đó tập    J là các iđêan của R | J  I , J  S   có ít nhất một phần tử cực đại và các phần tử cực đại của  là iđêan nguyên tố của R . Chứng minh. Ta thấy    J là các iđêan của R | J  I , J  S   là tập sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm. Ta có: I  nên    . Cho ( A, ) là tập con sắp thứ tự toàn phần khác rỗng của  . Khi đó đặt Q J thì Q là một iđêan của R thỏa mãn Q  I , Q  S   . Do A J A là tập sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm nên với mọi J1, J 2  A ta luôn có J1  J 2 hoặc J 2  J1 . Suy ra Q là cận trên của A trong  . Do đó theo bổ đề Zorn thì  có ít nhất một phần tử cực đại. Gọi P là phần tử cực đại bất kỳ  . Do P  S   , 1 S nên 1 P . Vậy P  R . + Với a, a '  R \ P ta phải chỉ ra rằng aa '  P . 24 Thật vậy, a  P suy ra I  P  P  a . Do P là phần tử cực đại của  nên  P  a   S   . Suy ra tồn tại s  S , u  P sao cho u  ra  s . Tƣơng tự a '  P suy ra tồn tại s '  S , r '  R, u '  P sao cho u ' r '.a '  s ' . Nhƣng ss '  (u  a.r )(u ' a ' r ')  (uu ' a.r.u ' u.a '.r ')  a.r.a '.r ' Vì S là tập con nhân đóng nên s.s '  S . Lại có  u.u ' a.r.u ' u.a '.r '  P (vì P là iđêan nguyên tố của R ). Mà P  S    s.s '  P  r.r '.a '.a  P . Lại có P là iđêan cực đại của R nên a.a '  P . Vậy P là iđêan nguyên tố của R . □ Nhận xét 2.2.15. Nếu S  1 thì phần tử cực đại của  là iđêan cực đại của R . Hệ quả 2.2.16. Mọi iđêan nguyên tố đều tồn tại iđêan cực đại chứa nó. Bổ đề 2.2.17. Cho I là iđêan của vành giao hoán R . Ký hiệu Var ( I ) là tập gồm các iđêan nguyên tố của R chứa I, Var ( I )   P  Spec( R ) P  I  . Khi đó I  P PVar ( I ) P PSpec ( R ) PI Chứng minh. Với mọi a  I , p Var ( I ) ta có tồn tại n  an  I  P Suy ra a  P (vì P là iđêan nguyên tố)  a P  I PVar ( I ) P (1) PVar ( I ) 25 * : tức  P . Giả sử b  I , đặt S  b n n  Ngƣợc lại cho b  PVar ( I ) *  là tập con nhân đóng của R , suy ra I  S   . Theo định lý 2.2.14 thì tồn tại iđêan nguyên tố P ' của R sao cho P '  I , P ' S   . Từ đó P '  Var ( I )  b  P ' S (mâu thuẫn với P ' S   )  b I  P I (2) PVar ( I ) Từ (1) và (2) suy ra I P. □ PVar ( I ) Hệ quả 2.2.18. 0 P PSpec ( R ) Chứng minh. Vì mọi iđêan nguyên tố của R đều chứa iđêan 0 nên hệ quả đƣợc suy ra trực tiếp từ bổ đề 2.2.17. Định lý 2.2.19. Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán R . Khi đó Var ( I ) có ít nhất một phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm. Phần tử cực tiểu của Var ( I ) đƣợc gọi là iđêan nguyên tố cực tiểu chứa I hoặc iđêan nguyên tố cực tiểu của I . Chứng minh. Theo hệ quả 2.1.5 thì luôn tồn tại một iđêan cực đại M của R chứa I . Từ định lý (2.1.3) và (2.1.4) suy ra một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố. Do đó M là iđêan nguyên tố. Suy ra M Var ( I ) và Var ( I )   . Với P1 , P2 Var ( I ) , ta định nghĩa quan hệ bao hàm ngƣợc nhƣ sau: P1 P2 nếu và chỉ nếu P1  P2 . Khi đó “ ” là quan hệ thứ tự trên Var ( I ) và Var ( I ),  là tập sắp thứ tự bộ phận. Nhƣ vậy phần tử cực đại của Var ( I ),  là phần tử cực tiểu của Var (I ),  . Để chứng minh định lý 26 này ta sử dụng bổ đề Zorn để chỉ ra tập Var ( I ),  tồn tại ít nhất một phần tử cực đại hay Var ( I ),   tồn tại ít nhất một phần tử cực tiểu. Thật vậy, cho tập   Var ( I ) ,    và  , Đặt Q   là tập sắp thứ tự toàn phần. P , Q là iđêan thực sự của R (do    ). Ta sẽ chỉ ra P Q  Spec( R ) . Cho a  R \ Q , b  R sao cho ab  Q . Ta cần chỉ ra b  Q . Vì Q  P P nên tồn tại P1  sao cho a  P1 . Do  , nên P1 P hoặc P  là tập sắp thứ tự toàn phần P1 . Tức là P1  P hoặc P  P1 . Không mất tính tổng quát, giả sử P  P1 ( P P1 ). Vì ab  Q nên ab  P1 mà a  P suy ra b  P1  P (vì P1 nguyên tố). Do P là phần tử bất kỳ của  nên b  . Suy ra Q  Spec( R ) . Mà có Q  I nên Q Var ( I ) . Q P  Q  P ( P  )  P Q với mọi P . P Do đó Q là cận trên của  , . Theo bổ đề Zorn thì Var ( I ),  luôn có ít nhất một phần tử cực đại hay Var ( I ) luôn có một phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm. □ Ta kí hiệu tập tất cả các iđêan nguyên tố cực tiểu của I là Min( I ) . Hệ quả 2.2.20. Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán R .Khi đó I  P. PMin ( I ) Chứng minh. Theo bổ đề 2.2.17 ta có I P. PVar ( I ) Rõ ràng Min( I )  Var ( I ) nên 27 P PVar ( I ) (1) P PMin ( I ) Với mỗi iđêan nguyên tố P của R thỏa mãn P  I , ta đặt    P '  Spec( R) P  P '  I  . Vì P nên    , do đó tập  , quan hệ  là tập sắp thứ tự bộ phận với định nghĩa ở trên. Lập luận tƣơng tự nhƣ phần chứng minh ở định lý trên ta có tập  luôn có phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm và đó cũng là iđêan nguyên tố cực tiểu của I . Suy ra luôn tồn tại một iđêan nguyên tố cực tiểu P ' của I sao cho P '  P với mỗi P Var ( I ) . P Vậy (2) P PMin ( I ) PVar ( I ) P Từ (1) và (2) ta có PMin ( I ) P  PVar ( I ) P I .□ PMin ( I ) Bổ đề 2.2.21. Cho P là iđêan nguyên tố của vành giao hoán R và I1, I 2 ,..., I n là các iđêan của R . Các khẳng định sau là tƣơng đƣơng i) ii) Tồn tại j để P  I j với 1  j  n ; P n Ii ; i 1 n iii) P   I i . i 1 Chứng minh. (i)  (ii): Hiển nhiên. (ii)  (iii): Ta có m  I   a1 j a2 j ....anj aij  I i , i  1, n, j  1, m   i i 1  j 1  n n Do các I i là các iđêan nên mỗi phần tử x   I i đều thỏa mãn i 1 28 x  Ii (với mọi i  1, n ). Suy ra x  n I i 1 i n n I i . Theo (ii) thì i 1 I i  P nên i 1  P. (iii)  (i): Ta có n I i 1 i  P . Giả sử với mọi j (với j  1, n ) ta có Ij  P.   n Suy ra tồn tại a j  I j \ P j  1, n . Khi đó a1a2 ....an   I i \ P (do P là i 1 n iđêan nguyên tố). Điều này mâu thuẫn với giả thiết I i 1 i P. Vậy tồn tại j với 1  j  n sao cho P  I j . □ Định lý 2.2.22 (Định lý tránh nguyên tố). Cho P1, P2 ,...., Pn  n  2 là các iđêan nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị R , sao cho có nhiều nhất hai trong số đó không là iđêan nguyên tố. Cho S là nhóm con với phép cộng và cũng là tập nhân đóng của R . Nếu S  n Pi thì tồn tại j sao cho i 1 S  Pj với 1  j  n . Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo n + Với n  2 ta có S  P1  P2 và giả sử P1, P2 chỉ đơn thuần là các iđêan. Giả sử S P1 , S P2 . Khi đó tồn tại a j  S \ Pj  j  1;2 . Từ S  P1  P2 ta có a1  P2 và a2  P1 . S là nhóm con đối với phép cộng a  a  P nên a1  a2  S  P1  P2   1 2 1 . Do vai trò của P1, P2 nhƣ nhau  a1  a2  P2 nên ta giả sử a1  a2  P1 suy ra a1   a1  a2   a2  P1 . Điều này mâu thuẫn với điều kiện a1  P1 . Suy ra điều giả sử là sai. 29  j  1;2 Vậy tồn tại Pj để Pj  S + Giả sử định lý trên đúng với n  k . Ta chứng minh định lý cũng đúng với n  k  1. Thật vậy, ta có S  k 1 i 1 Pi trong đó có nhiều nhất hai iđêan Pi không là iđêan nguyên tố và k  2 . Đánh số lại các Pi sao cho Pk 1 là iđêan nguyên tố. Giả sử rằng với mỗi j  1, k  1 ta có S k 1 Pi . i 1 Suy ra tồn tại a j  S \ k 1 Pi i 1   j  1, k  1  Suy ra a j  Pj j  1, k  1 và a1, a2 ,..., ak  Pk 1 . Do Pk 1 là iđêan nguyên tố nên a1a2 ...ak  Pk 1 . Do đó a1a2 ...ak  k  Pi \ Pk 1  k và ak 1  Pk 1 \ i 1 P. i 1 Xét b  a1a2 ...ak  ak 1 . Vì a1a2 ...ak  Pk 1 nên a1a2 ...ak  ak 1  Pk 1 .  j  1, k  Và nếu b  Pj thì ak 1  b  a1a2 ...ak  Pj  j  1, n  . Vì S là nhóm con đối với phép cộng và là tập con nhân đóng của R nên từ điều kiện a j  S  j  1, k  1 ta có b  S . Nhƣ vậy b  S nhƣng b  k 1 j 1 Suy ra b  S \ k 1 Pj (do b  Pj , với j  1, k  1). Pj . Điều này mâu thuẫn với S  j 1 nhất một giá trị j 1  j  k  1 sao cho S  k 1 Pi . Vậy tồn tại ít i 1 k 1 Pi . i 1 Theo giả thiết quy nạp ta có kết luận luôn tồn tại i để S  Pi 1  i  k  1 .□ 30 Định lý 2.2.23. Cho P1, P2 ,...., Pn  n  1 là các iđêan nguyên tố của vành giao hoán R . Cho I là iđêan của R và a  R thỏa mãn a  I n Pi i 1 thì tồn tại c  I để a  c  n Pi . i 1 Chứng minh. Không giảm tính tổng quát ta có thể coi với mọi i, j  1, n  i  j  thì Pi + Nếu a  n Pj và Pj Pi . Pi thì chọn c  0 suy ra điều phải chứng minh. i 1 + Nếu a  k Pi nhƣng a  i 1 d I \ n k Pi . Suy ra tồn tại Pi thì I i  k 1 i 1 k Pi . i 1 Mà Pk 1  ...  Pn P1  ...  Pk vì nếu Pk 1  ...  Pn thì theo định lý tránh nguyên tố tồn tại j 1  j  k  để Pk 1  ...  Pn  Pj  Pt  Pj với k  1  t  n (mâu thuẫn với giả thiết). Vậy tồn tại b  Pk 1  ...  Pn \ P1  ...  Pk . Đặt c  db  c  Pk 1  ...  Pn \ ( P1  ...  Pk ) . Lại có a  P1  ...  Pk \  Pk 1  ...  Pn  . Suy ra a  c  31 n Pi . □ i 1 Chƣơng 3: IĐÊAN NGUYÊN SƠ 3.1. Iđêan nguyên sơ Định nghĩa 3.1.1. Cho Q là iđêan của vành giao hoán R . Ta nói Q là iđêan nguyên sơ của R khi hai điều kiện sau đƣợc thỏa mãn i) Q  R, ii) Nếu ab  Q , a  Q thì tồn tại n  * sao cho bn  Q . Nhận xét. Mọi iđêan nguyên tố trên vành giao hoán R đều là iđêan nguyên sơ của R . Ví dụ 3.1.2. Vành giao hoán có 4 là iđêan nguyên sơ. Mệnh đề 3.1.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Khi đó (i) I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi R là vành không tầm I thƣờng và mọi ƣớc của không trong R I đều là luỹ linh. (ii) Cho Q là iđêan nguyên sơ của S và f : R  S là đồng cấu vành thì Qc  f 1 (Q) là iđêan nguyên sơ của R . Chứng minh. (i). Giả sử I là iđêan nguyên sơ. Theo định nghĩa iđêan nguyên sơ thì I  R , vì vậy R không tầm thƣờng. Gọi x  I là một ƣớc I của không trong R . Suy ra tồn tại y  I để  x  I  y  I   I . Suy ra I xy  I . Do y  I và I nguyên sơ nên x  I . Vì vậy tồn tại n  0 sao cho x n  I . Suy ra  x  I   I . n Ngƣợc lại, nếu R trong R I I không tầm thƣờng và mọi ƣớc của không đều là luỹ linh thì hiển nhiên ta có I là iđêan nguyên sơ. 32 (ii) Vì tạo ảnh của iđêan là iđêan nên ta có f 1 (Q) là iđêan của R . Xét hợp thành các đồng cấu f R   S  S có hạt nhân là Qc . Suy ra R Qc Q đẳng cấu với vành con của S Q nguyên sơ nên mọi ƣớc của không trong S ƣớc của không trong R Q c Q Q . Do là luỹ linh. Vậy mọi cũng là luỹ linh. Suy ra Qc là iđêan nguyên sơ của R . □ Mệnh đề 3.1.4. Cho Q là iđêan nguyên sơ của vành giao hoán R . Khi đó P  Q là iđêan nguyên tố của R . Ta nói Q là P  nguyên sơ. Hơn nữa P là iđêan nguyên tố tối tiểu duy nhất của Q . Chứng minh. Q là giao của tất cả các iđêan nguyên tố chứa Q nên P  Q là iđêan thực sự của R . Cho a, b  R thỏa mãn ab  Q , a  Q . Khi đó tồn tại n  * để  ab   Q hay anbn  Q . Mà an  Q n nên theo định nghĩa iđêan nguyên sơ tồn tại m  * sao cho bnm  Q  b  Q  Q là iđêan nguyên tố. Hơn nữa theo tính chất của Q là giao của tất cả các iđêan nguyên tố chứa Q suy ra P  Q là iđêan nguyên tố tối tiểu của Q . □ Mệnh đề 3.1.5. Cho Q là iđêan của vành giao hoán R suy ra là 1 iđêan cực đại của R . Khi đó Q là M  nguyên sơ. 33 Q M Chứng minh. Vì Q  Q  M  R nên Q là iđêan thực sự của R . Lấy a, b  R sao cho ab  Q , b  Q . Vì Q  M là iđêan cực đại và b  M nên ta có M  Rb  R . Vì vậy Q  Rb  R . Do đó Q  Rb  R . Vì vậy tồn tại d  Q, c  R sao cho d  cb  1 và a  a.1  a.(d  cb)  ad  c(ab)  Q (vì d , ab  Q ). Vậy Q là M  nguyên sơ. □ Hệ quả 3.1.6. Tất cả các lũy thừa dƣơng M n  n  *  của iđêan cực đại M là M  nguyên sơ. Ví dụ 3.1.7. Với p là số nguyên tố, p n Thật vậy, hiển nhiên p  pn là nguyên sơ. pn  và q p nên q pn  p . Mà p là iđêan cực đại nên p n là nguyên sơ. Chú ý 3.1.8. Điều ngƣợc lại là không đúng, tức là một iđêan nguyên sơ chƣa chắc đã là lũy thừa dƣơng của iđêan cực đại. Ví dụ 3.1.9. 42 là iđêan nguyên sơ nhƣng 4 không là iđêan cực đại. Ví dụ 3.1.10. Cho trƣờng K và R  K  x, y  , M  Rx  Ry . Khi đó M là iđêan cực đại của R (vì R  K ). Ta có  X , Y 2  là M  nguyên sơ M nhƣng  X , Y 2  không là luỹ thừa của 1 iđêan nguyên tố nào. Thật vậy, ta có M 2   X 2 , XY ,Y 2    X , Y 2    X , Y   M Suy ra M  M2   X ,Y   2 34 M M Suy ra  X ,Y   M 2 là iđêan cực đại và  X , Y 2  là iđêan nguyên sơ, và tất nhiên là M  nguyên sơ. Mặt khác nếu P là iđêan nguyên tố sao cho  X ,Y   M . Xét dãy tăng P k   X , Y 2  , k  0 nào đó thì P  P k  2 M  M 2  ...  M i  M i1  ... Do M 2   X , Y 2   M và M k   X , Y 2   k  1 hoặc k  2 . + Nếu k  1 thì M   X , Y 2   Y   X , Y 2  (mâu thuẫn). + Nếu k  2 thì M 2   X , Y 2   X  M 2 (mâu thuẫn) Vậy  X , Y 2  không thể là luỹ thừa của một iđêan nguyên tố nào. □ Bổ đề 3.1.11. Cho P là iđêan nguyên tố của vành giao hoán R và Q1, Q2 ,..., Qn  n  1 là các P  nguyên sơ. Khi đó n Qi cũng là P  i 1 nguyên sơ. n Chứng minh. Vì Qi là các iđêan thực sự nên Qi cũng là iđêan thực sự. i 1 Ta có n Qi  i 1 Lấy ab  n Qi sao cho a  i 1 n Qi  i 1 n i 1 n P  P. i 1 Qi . Suy ra tồn tại j để a  Q j nhƣng ab  Q j . Suy ra b  Qj  P  n Qj . j 1 n Vậy Qi là P  nguyên sơ. □ i 1 35 Định lý 3.1.12. Cho Q là P  nguyên sơ của vành giao hoán R và a  R . Khi đó Nếu a  Q thì  Q : a   R . i) ii) Nếu a  Q thì  Q : a  là P  nguyên sơ. iii) Nếu a  P thì  Q : a   Q . Chứng minh. (i).  Q : a   r  R ar  Q . Do Q là iđêan của R nên với a  Q thì với r  R luôn có ar  Q . Suy ra  Q : a   R . (ii). Ta có  Q : a   Q nên x  Q : a thì tồn tại n  * Q : a   Q  P . Ngƣợc lại với mọi sao cho xn a  Q . Suy ra x n  Q  P (vì a  Q ). Suy ra x  P (vì P nguyên tố). Do đó  Q : a   P . Vậy  Q : a   P . Hơn nữa nếu xy   Q : a  và xa  Q thì do xya  Q nên ( xa ) y  Q Suy ra y  Q  P   Q : a  . Vậy Q : a  là P  nguyên sơ. (iii): Ta luôn có Q   Q : a  theo định nghĩa của  Q : a  . Ngƣợc lại với mọi x   Q : a  thì xa  Q . Do a  P nên a  Q (vì Q là P  nguyên sơ). Suy ra  Q : a   Q . Vậy Q   Q : a  . □ Định nghĩa 3.1.13 (sự phân tích nguyên sơ). Cho I là iđêan thực sự của R . Một phân tích nguyên sơ của I là giao của hữu hạn các iđêan nguyên sơ của R , tức là I n i 1 Qi với Qi là các Pi  nguyên sơ. Hơn nữa I gọi là có phân tích nguyên sơ tối tiểu nếu Pi  Pj , với mọi i  j và với 1  j  n thì Q j Qi . i j 36 Nhận xét + Qj Qi  I  i j Qi , 1  j  n . i j + Mọi phân tích nguyên sơ đều có thể đƣa về phân tích nguyên sơ tối tiểu. + Khi I có phân tích nguyên sơ thì ta nói nó phân tích đƣợc. Định lý 3.1.14. Cho I là iđêan phân tích đƣợc của R . Đặt I  n Q j với j 1 Q j là các Pj  nguyên sơ, là phân tích nguyên sơ tối tiểu của I . Cho P  Spec ( R ) . Các khẳng định sau là tƣơng đƣơng i) P  Pi ,1  i  n ; ii) Tồn tại a  R sao cho  I : a  là P  nguyên sơ;  I : a  P . iii) Tồn tại a  R sao cho Chứng minh. (i)  (ii). Ta có tồn tại 1  i  n để P  Pi nên Qi là P  nguyên sơ. Do phân tích là tối tiểu nên Qi n Q j . Suy ra tồn tại j 1 j i ai  n j 1 j i Q j Q j \ Qi . Theo định lý 3.1.12 ta có  Qi : ai  là P  nguyên sơ và : ai   R, với mọi i  j . Ta có  n   I : ai    Q j : ai    j 1  n j 1 Q j : ai    Qi : ai  . Vậy  I : ai  là P  nguyên sơ. (ii)  (iii). Hiển nhiên. (iii)  (i). Giả sử a  R sao cho 37  I : a   P . Ta có P  I :a  n Q : a  j j 1 Nếu a  Qi thì  Qi : a   R nên tồn tại 1  i  n để a  Qi  P  n Pi . i 1 aQi Vì P  Spec( R )  tồn tại 1  i  n, a  Qi để P  Pi . □ Định lý 3.1.15 (định lý duy nhất thứ nhất). Cho I là iđêan phân tích đƣợc và I n Qi với Qi  Pi , i  1, n . (1) Q ' j với Q j '  Pj ' , j  1, n ' (2) i 1 I n' j 1 là hai phân tích nguyên sơ tối tiểu của I . Khi đó n  n ' và P1,..., Pn  P1 ',..., Pn ' . Chứng minh. Áp dụng định lý 3.1.14 ta có P1  Spec( R) nên tồn tại a1  R để  I : a1   P1 . Áp dụng định lý 3.1.14 ta có P1 P1 ',...., Pn ' ' . Tƣơng tự suy ra P1,..., Pn   P1 ',..., Pn ' ' . Hoàn toàn tƣơng tự ta có P1 ',..., Pn ' '  P1,..., Pn  . Suy ra điều phải chứng minh. □ Định nghĩa 3.1.16. Ta gọi tập P1,..., Pn  trong định lý trên là tập các iđêan nguyên tố liên kết của I . Ký hiệu ass ( I ) . Nhận xét 3.1.17. + Tập ass ( I ) không phụ thuộc vào cách chọn phân tích của I . + Theo định lý 3.1.14 thì P  ass ( I ) khi và chỉ khi tồn tại a  R sao cho  I : a  P và  I : a  là P  nguyên sơ. Mà I  38  I : a  P  P Var ( I )  ass( I )  Var ( I ) . Định lý 3.1.18 (định lý duy nhất thứ hai). Cho I là iđêan có hai phân tích nguyên sơ tối tiểu I n n Qi  Qi ' i 1 i 1 Qi  Qi '  Pi , ass(I )  P1,..., Pn  . Khi đó với mọi 1  i  n sao cho Pi  Min( I ) thì Qi  Qi ' . Chứng minh. + Nếu n  1 thì mệnh đề hiển nhiên đúng. + Nếu n  1 và Pi  Min( I ) thì do Pi Pj suy ra tồn tại j i a Pj \ Pi . j i Do Pi  Min( I ) nên với mọi Pj  Ass( I ), j  i thì Pj  Pi . Ta có: a  Pj  Q j , với mọi j  i thì tồn tại h j  0 để a j  Q j , với h mọi j  i . Đặt t  max h j  j i  at  Pi   I : at   Tƣơng tự tồn tại t ' n Q : a   Q t j j 1 i ( theo định lý 3.1.12) 0 để  I : a t '   Qi ' . Đặt s  max t , t '   I : a s   Qi  Qi ' . Suy ra điều phải chứng minh. □ 3.2. Mối liên hệ giữa iđêan cực đại, iđêan nguyên tố và iđêan nguyên sơ Định lý 3.2. i) Một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố. ii) Một iđêan nguyên tố luôn là iđêan nguyên sơ. 39 Chứng minh. (i). Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Giả sử I là iđêan cực đại của R . Khi đó R là trƣờng. Do đó R là miền nguyên. Suy ra I I I là iđêan nguyên tố. (ii): Giả sử I là iđêan nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị R . Với mọi xy  I , giả sử x  I thì y  I . Suy ra tồn tại n  * : y n  I . Vậy I là iđêan nguyên sơ. Chú ý 3.2.2. Chiều ngƣợc lại của định lý là không đúng, tức iđêan nguyên sơ chƣa chắc đã là nguyên tố và iđêan nguyên tố chƣa chắc đã là cực đại. thì A  n . Nếu n là số nguyên tố Ví dụ 3.2.3. Ta có A là iđêan của thì n là iđêan nguyên tố. + Có 32 là iđêan nguyên sơ nhƣng không là iđêan nguyên tố. + 0 là iđêan nguyên tố vì 0 không là iđêan cực đại vì 0  n , n  là miền nguyên nhƣng 0  * . Định lý 3.2.4. Trong vành chính mọi iđêan nguyên tố khác iđêan 0 luôn là iđêan cực đại. Chứng minh. Giả sử R là vành chính, A là iđêan nguyên tố khác iđêan 0 của R thì A  a  ax x  R , a  0 , a  R . Giả sử tồn tại iđêan B của R mà B A thì B là iđêan chính. Vì vậy ta có B  b  by y  R , b  0 , b  R . Ta có b  A vì nếu b  A thì với mọi z  B ta có z  bt , t  R mà b  A nên z  A . Do đó B  A (mâu thuẫn với B A ). Vì A  B và a.1 A  a  B  a  b.u  A, u  R . Mà A là iđêan nguyên tố và b  A nên u  A. 40 Suy ra u  at  a  b.u  b.at . Do a  0 và R là miền nguyên nên ta có b.t  1 . Do đó 1 B suy ra BR Vậy A là iđêan cực đại. Định lý 3.2.5. i). Cho R là vành giao hoán không tầm thƣờng. Mỗi iđêan cực đại của R đều là nguyên tố nếu và chỉ nếu Spec ( R )   . ii). Cho f : R  S là đồng cấu vành, R và S là các vành giao hoán, Q  Spec( S ) thì f 1 (Q)  Spec( R) . Chứng minh. (i). Vì R không tầm thƣờng nên R có ít nhất một iđêan cực đại. Mà iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố nên R luôn có ít nhất một iđêan nguyên tố. Vậy Spec ( R )   . Ngƣợc lại, nếu Spec ( R )   thì R luôn có ít nhất một iđêan nguyên tố I . Khi đó R   . Vậy R luôn có iđêan cực đại là nguyên tố. (ii): Xét hai đồng cấu vành f : R  S và p : S  S Q ( p là toàn cấu chính tắc). Khi đó pf có hạt nhân     Kerpf  r  R pf  r   0  Q  r  R p  f  r   Q    r  R f  r   Q  f 1 Q  . Áp dụng định lý cơ bản tổng quát cho trƣờng hợp pf là đồng cấu vành, 41 pf : R  S Q   sao cho A  Kerpf  f 1 (Q) là iđêan của R , B  0 s S iđêan của S Q . Suy ra Q B S Q là Q . Khi đó tồn tại đồng cấu vành f làm cho biểu đồ sau giao hoán pf R  S h Q f R f 1  Q  tức là f h  pf . Hơn nữa f là đơn cấu và Im f  Impf . Từ đó ta có R f 1  Q  đẳng cấu với một vành con của S Q . Mặt khác S Q là miền nguyên vì với mọi a, b  S đặt a  a  Q , b  b  Q .Nếu ab  0 thì  a  Qb  Q   0  Q  ab  Q  0  Q  ab  Q a  Q thì  b  Q a  0 (do Q là iđêan nguyên tố) hay  . Suy ra S Q là vành b  0 giao hoán không có ƣớc của không nên S Q là miền nguyên R f 1  Q  cũng là miền nguyên. Vậy f 1 (Q)  Spec( R) . □ 42 KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu về các iđêan nguyên tố, cực đại và nguyên sơ gồm những nội dung chính sau + Khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại + Mối liện hệ giữa iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại + Sự phân tích nguyên sơ. Do thời gian có hạn nên sự phân tích nguyên sơ chỉ đƣợc trình bày một cách sơ lƣợc. Mặc dù đã rất cố gắng nhƣng do kiến thức và trình độ của bản thân còn hạn chế nên khóa luận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót, vì vậy rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của các thầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi đƣợc hoàn thiện hơn nữa. Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên, các thầy cô trong khoa Toán, các bạn sinh viên đã giúp tôi hoàn thành khóa luận này. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sinh viên thực hiện Phùng Thị Ngân. 43 44 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Nguyễn Hữu Việt Hƣng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục. [3] Hideyuki Matsumura (1980), Commutative ring theory, Cambridge University. [4] M.F. Atiyah and I.G. Macdonald (1969), Introduction to Commuatative Algebra, Addison – Wesley Publishing Company. [5] R.Y.Sharp (1990), Steps in Communitative Algebra, Cambridge University. [...]... ít nhất một phần tử cực đại 13 Chƣơng 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ 2.1 Iđêan cực đại Định nghĩa 2.1.1 Iđêan A của vành giao hoán R đƣợc gọi là iđêan cực đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau A  R, i) ii) Giả sử tồn tại iđêan B của R mà A Ví dụ 2.1.2 Trong vành các số nguyên dạng p B thì B  R các iđêan cực đại đều có với p là số nguyên tố Thật vậy, nếu I là một iđêan cực đại tùy ý của I  0,... Ii □ i 1 1.5 Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit Định nghĩa 1.5.1 (Vành chính) Miền nguyên X đƣợc gọi là vành chính nếu mọi iđêan của X đều là iđêan chính Ví dụ 1.5.2 Vành các số nguyên là vành chính Định nghĩa 1.5.3 (Vành nhân tử hóa) Miền nguyên X đƣợc gọi là vành nhân tử hóa nếu và chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đều phân tích đƣợc một cách duy nhất thành tích các phần tử bất... SpecmR là tập các iđêan cực đại của R Định nghĩa 2.1.8 Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đại đƣợc gọi là vành địa phương Nếu M là iđêan cực đại duy nhất của vành địa phƣơng R thì R M là trƣờng và đƣợc gọi là trường thương của R theo M Ví dụ 2.1.9 Nếu R là trƣờng thì R là vành địa phƣơng vì R có duy nhất iđêan cực đại là iđêan 0 Mệnh đề 2.1.10 Cho R là vành giao hoán Khi đó R là vành địa phƣơng... iđêan cực đại và theo định lý I 1.5.4.ii) thì iđêan cực đại đó phải có dạng M I với đúng một iđêan M của R thỏa mãn M  I Lại có: R I M R I M R I M (theo hệ quả 1.5.8) Mà M là một trƣờng Suy ra R I M I là iđêan cực đại nên cũng là một trƣờng Vậy M là iđêan cực đại của R và M  I □ Hệ quả 2.1.6 Cho R là vành giao hoán và a  R Khi đó a là phần tử khả nghịch của R nếu và chỉ nếu với mọi iđêan cực đại. .. iđêan cực đại Mệnh đề 2.1.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị A là iđêan cực đại của R nếu và chỉ nếu R là trƣờng A Chứng minh Giả sử A là iđêan cực đại của R Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R A là vành giao hoán có đơn vị Ta có A  R nên R có A 14 ít nhất hai phần tử 0  A và 1  A Xét phần tử x  A  R , x  A  A A Khi đó x  A Đặt B  x  A thì B là iđêan của R và B A Do A là iđêan cực đại. .. P là iđêan nguyên tố của R ) Mà P  S    s.s '  P  r.r '.a '.a  P Lại có P là iđêan cực đại của R nên a.a '  P Vậy P là iđêan nguyên tố của R □ Nhận xét 2.2.15 Nếu S  1 thì phần tử cực đại của  là iđêan cực đại của R Hệ quả 2.2.16 Mọi iđêan nguyên tố đều tồn tại iđêan cực đại chứa nó Bổ đề 2.2.17 Cho I là iđêan của vành giao hoán R Ký hiệu Var ( I ) là tập gồm các iđêan nguyên tố của... là iđêan nguyên sơ của R khi hai điều kiện sau đƣợc thỏa mãn i) Q  R, ii) Nếu ab  Q , a  Q thì tồn tại n  * sao cho bn  Q Nhận xét Mọi iđêan nguyên tố trên vành giao hoán R đều là iđêan nguyên sơ của R Ví dụ 3.1.2 Vành giao hoán có 4 là iđêan nguyên sơ Mệnh đề 3.1.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị Khi đó (i) I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi R là vành không tầm I thƣờng và mọi ƣớc của không... của R nếu và chỉ nếu J I là iđêan nguyên tố của vành thƣơng R I Chứng minh Theo định lý 2.2.4 ta có J là iđêan nguyên tố của R khi và chỉ khi R Mà R J Vậy R I J R là miền nguyên Lại có là miền nguyên nên R I R I J R I J (theo hệ quả 1.5.8) cũng là miền nguyên J là iđêan nguyên tố □ Định nghĩa 2.2.10 Cho R là vành giao hoán Phổ nguyên tố (hay gọi tắt là phổ) của R là tập tất cả các iđêan nguyên tố... một iđêan cực đại Theo hệ quả 2.1.6 thì mọi phần tử của M không khả nghịch  M  I  R Nếu M  I thì I  R (vì M là iđêan cực đại của R ) Điều này mâu thuẫn vì phần tử đơn vị 1 của R không thuộc I do 1 là khả nghịch Vậy M  I Do đó R có ít nhất một iđêan cực đại và iđêan cực đại nào cũng bằng I , nghĩa là R có duy nhất một iđêan cực đại Vậy R là vành địa phƣơng □ Nhận xét 2.1.11 Giả sử vành giao... (I ) không và phần tử đơn vị thuộc S S 1 f (I ) f 1 ( I ) nên nó có nhiều hơn 1 phần tử cũng là miền nguyên Vậy f 1 ( I ) là iđêan nguyên tố + Tạo ảnh của iđêan cực đại chƣa chắc đã là iđêan cực đại 21 Ví dụ 2.2.8 f :  , I  0 là iđêan cực đại của không là iđêan cực đại của nhƣng f 1 (0)  0 Định lý 2.2.9 Cho I , J là hai iđêan của vành giao hoán R thỏa mãn J  I Khi đó J là iđêan nguyên tố ... cứu sâu iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại, phân tích nguyên sơ mối liên hệ chúng Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Lý thuyết iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ iđêan cực đại vành giao hoán... nguyên sơ, iđêan cực đại + Mối liện hệ iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ iđêan cực đại + Sự phân tích nguyên sơ Do thời gian có hạn nên phân tích nguyên sơ đƣợc trình bày cách sơ lƣợc Mặc dù cố... Mối liên hệ iđêan cực đại, iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ Định lý 3.2 i) Một iđêan cực đại iđêan nguyên tố ii) Một iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ 39 Chứng minh (i) Cho R vành giao hoán có đơn