Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyên sơ

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2KHOA TOÁN=======***=======PHÙNG THỊ NGÂNVỀ CÁC IDEAL NGUYÊN TỐ,CỰC ĐẠI VÀ NGUYÊN SƠKHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌCChuyên ngành: Đại sốNgƣời hƣớng dẫn khoa họcThS. Đỗ Văn KiênHÀ NỘI, 2015LỜI CẢM ƠNSau một thời gian nghiên cứu miệt mài, nghiêm túc cùng sự hƣớngdẫn, giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên, đếnnay khóa luận tốt nghiệp của tôi đã đƣợc hoàn thành. Tôi xin bày tỏ lòngcảm ơn sâu sắc chân thành, sâu sắc tới các thầy cô giáo đặc biệt là thầygiáo-ThS Đỗ Văn Kiên, ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn tôi hoàn thànhkhóa luận này.Do còn hạn chế về thời gian và kiến thức của bản thân nên khóaluận của tôi không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận đƣợc sựgóp ý của các thầy cô và các bạn sinh viên.Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn!Hà Nội, tháng 05 năm 2015.Sinh viên thực hiệnPhùng Thị NgânLỜI CAM ĐOANKhóa luận tốt nghiệp “Về các ideal nguyên tố, cực đại và nguyênsơ” đƣợc hoàn thành do sự cố gắng, nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu của bảnthân cũng sự giúp đỡ tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiên.Tôi xin cam đoan kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trungthực và không trùng với kết quả của các tác giả khác.Hà Nội, tháng 05 năm 2015Sinh viên thực hiệnPhùng Thị Ngân.MỤC LỤCMỞ ĐẦU ................................................................................................... 1Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNH ........................................ 21.1. Vành và các tính chất cơ bản .......................................................... 21.2. Vành con và các tính chất cơ bản ................................................... 31.3. Miền nguyên, trƣờng ....................................................................... 31.4. Iđêan. ............................................................................................... 41.5. Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit ..................................... 71.6. Vành thƣơng và đồng cấu vành ...................................................... 81.7. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự ................................................... 12Chƣơng 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ .................... 142.1. Iđêan cực đại ................................................................................. 142.2. Iđêan nguyên tố ............................................................................. 19Chƣơng 3: IĐÊAN NGUYÊN SƠ .......................................................... 323.1. Iđêan nguyên sơ ............................................................................ 323.2. Mối liên hệ giữa iđêan cực đại, iđêan nguyên tố và iđêan nguyênsơ .......................................................................................................... 39KẾT LUẬN ............................................................................................. 43TÀI LIỆU THAM KHẢOMỞ ĐẦU1. Lý do chọn đề tàiĐại số là một nghành rất quan trọng của Toán học. Kiến thức Đại số rấtphong phú, trừu tƣợng và đƣợc xây dựng, phát triển từ những kiến thức cơsở của của cấu trúc đại số nhƣ: nhóm, vành, trƣờng…Các khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại là nhữngkhái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào đại sốhình học. Tuy nhiên trong chƣơng trình đại học vấn đề này mới chỉ đƣợctrình bày một cách sơ lƣợc gây nhiều khó khăn cho việc tìm hiểu của bạnđọc, đặc biệt là sinh viên khoa Toán.Đƣợc sự giúp đỡ hƣớng dẫn tận tình của thầy giáo-ThS Đỗ Văn Kiênvà mong muốn tìm hiểu sâu về đại số giao hoán tôi chọn đề tài “Về các idealnguyên tố, cực đại và nguyên sơ” để làm khóa luận tốt nghiệp hi vọng giúpích cho các bạn yêu thích môn Đại số có thêm tài liệu để tham khảo.2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứuNghiên cứu sâu về các iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại,sự phân tích nguyên sơ và mối liên hệ giữa chúng.3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứuLý thuyết về iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại trên cácvành giao hoán.4. Phƣơng pháp nghiên cứu: Nghiên cứu tài liệu, phân tích, tổng hợp.5. Cấu trúc khóa luậnKhóa luận này đƣợc chia làm 3 chƣơngChƣơng 1. Kiến thức cơ bản về vành.Chƣơng 2. Iđêan cực đại và iđêan nguyên tố.Chƣơng 3. Iđêan nguyên sơ1Chƣơng 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ VÀNHTrong chƣơng này ta sẽ trình bày lại một số kiến thức về vành vàcác tính chất cơ bản về vành, miền nguyên và trƣờng, iđêan, quan hệ thứtự và tập sắp thứ tự.1.1. Vành và các tính chất cơ bảnĐịnh nghĩa 1.1.1. Cho X là tập khác rỗng, trên X trang bị hai phéptoán hai ngôi, ký hiệu là (+), (.) và gọi là phép cộng và phép nhân.X đƣợc gọi là vành nếu thỏa mãn các điều kiện saui)X cùng với phép cộng là nhóm Aben,ii) X cùng với phép nhân là nửa nhóm,iii) Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là với các phầntử tùy ý x, y, z  X ta cóx( y  z )  xy  xz ,( y  z ) x  yx  zx .Chú ý 1.1.2.+ Vành X gọi là vành có đơn vị nếu X là vị nhóm nhân.+ Vành X đƣợc gọi là vành giao hoán nếu phép nhân có giao hoán.+ Vành X gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu X là vị nhóm nhângiao hoán.+ Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0.+ Phần tử đơn vị của phép nhân (nếu có) ký hiệu là 1.+ Trong khoá luận này luôn giả thiết rằng vành là vành giao hoáncó đơn vị 1.2Định nghĩa 1.1.3. Cho X là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyêndƣơng n nhỏ nhất sao cho n.1  0 thì ta nói X có đặc số là n , ngƣợc lạita nói X có đặc số bằng 0. Đặc số của vành X ký hiệu là char ( X ) .Định lý 1.1.4. Với mọi x, y , z  X , n ta có+ x.0  0  0.x với mọi x  X ;+ Nếu vành X có ít nhất hai phần tử thì 0  1;+ (n.x) y  n.x. y  x.(n. y ) với mọi x, y  X , n  ;+ ( x  y ) z  xz  yz .Định nghĩa 1.1.5 (Tập con nhân đóng). Cho R là vành có đơn vị 1. Tậpcon S của R đƣợc gọi là tập con nhân đóng của R nếu thỏa mãni) 1 S ,ii) Với mọi x, y  S thì xy  S .1.2. Vành con và các tính chất cơ bảnĐịnh nghĩa 1.2.1. Giả sử X là một vành, A là một bộ phận của X , ổnđịnh với hai phép toán trong X , nghĩa là x  y  A , x. y  A với mọix, y  A . A là một vành con của X nếu A cùng với hai phép toán cảmsinh trên A là một vành.Định lý 1.2.2 . Cho X là một vành, A là một bộ phận khác rỗng của X .Khi đó các điều kiện sau là tƣơng đƣơngi)A là một vành con của X ;ii)x, y  A : x  y  A , x. y  A ,  x  A ;iii) x, y  A : x  y  A , x. y  A .1.3. Miền nguyên, trƣờngĐịnh nghĩa 1.3.1 (Ƣớc của không). Cho a  X , a  0 , a đƣợc gọi làước của không nếu tồn tại b  X , b  0 sao cho a.b  0 .3Định nghĩa 1.3.2 (Phần tử khả nghịch). Phần tử u  X đƣợc gọi là phầntử khả nghịch nếu u là ƣớc của 1, tức là tồn tại v X sao cho u.v  1 .Định nghĩa 1.3.3 (Phần tử liên kết). Với a, a '  X ta nói a, a ' liên kếtvới nhau nếu tồn tại u khả nghịch sao cho a  u.a ' hoặc a '  u.a . Kýhiệu: aa ' hoặc a ' a .Định nghĩa 1.3.4 (Ƣớc thực sự). a đƣợc gọi là ước thực sự của b nếu alà ƣớc của b , a không khả nghịch và a không liên kết với b .Định nghĩa 1.3.5 (Phần tử bất khả quy). a  X là phần tử bất khả quynếu a  0 , a không khả nghịch và a không có ƣớc thực sự.Định nghĩa 1.3.6 (Phần tử nguyên tố). Phần tử a  0 , không khả nghịchđƣợc gọi là phần tử nguyên tố nếu từ a u.v thì a u hoặc a v .Định nghĩa 1.3.7 (Miền nguyên). Một vành giao hoán X có đơn vị cónhiều hơn một phần tử và không có ƣớc của không đƣợc gọi là một miềnnguyên.Định nghĩa 1.3.8 (Trƣờng). Một miền nguyên trong đó mọi phần tửkhác không đều khả nghịch trong vị nhóm nhân đƣợc gọi là một trường.Nhƣ vậy X là trƣờng thì+ X ,   là nhóm Aben+ X ,  là nhóm Aben, trong đó X** X \ 0+ Phép nhân phân phối đối với phép cộng.Nhận xét 1.3.9. Đặc số của một miền nguyên hoặc bằng 0 , hoặc là mộtsố nguyên tố.1.4. Iđêan.Định nghĩa 1.4.1. Cho R là vành giao hoán, I là tập con của R . I đƣợcgọi là iđêan của R khi nó thỏa mãn các điều kiện saui)I ,4ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I ,iii) Với mọi a  I , r  R thì ra  I .Định lý 1.4.2. Cho X là vành, I  X , I  . Các khẳng định sautƣơng đƣơngi)I là iđêan của X ;ii) Với mọi a, b  I thì a  b  I và x  X thì a.x  I , x.a  I .Định lý 1.4.3. a) Giao của tất cả các iđêan của X là một iđêan của X .b) Cho X là vành giao hoán có đơn vị là 1, I là mộtiđêan của X , 1 I thì I  X .Định nghĩa 1.4.4 (Iđêan sinh bởi một tập). Cho U là tập con của vànhX . Giao của họ tất cả các iđêan của X chứa U là một iđêan chứa U vàđƣợc gọi là iđêan sinh bởi tập U .Ký hiệu: U hoặc XU .Nhận xét 1.4.5. Cho X là vành giao hoán, tập U  X+ U là iđêan nhỏ nhất của X chứa U ;+ Nếu U là tập con hữu hạn của X thì ta nói I  U là iđêanhữu hạn sinh của X ;+ Nếu U  ui \ i  1, n thìnU   xiui n  i 1*, xi  X , ui U  ;+ Nếu U   thì U    0 .Định nghĩa 1.4.6 (Iđêan chính). Cho X là vành, iđêan sinh bởi tập chỉgồm một phần tử đƣợc gọi là iđêan chính.Biểu diễn: I là iđêan chính sinh bởi phần tử a  X thì I xác định bởiI   xa x  X  .5Định nghĩa 1.4.7 (Căn của iđêan). Cho R là vành giao hoán và cho I làiđêan của R . Căn của iđêan I ký hiệu làI hoặc Rad  I  xác định bởiRad  I   x  R n *: xn  Ivà cũng là một iđêan của I .Đặc biệt. 0 là một iđêan của R , Rad 0  x R n *:x n  0đƣợc gọi là căn lũy linh của R và ký hiệu là Rad  R  .Định lý 1.4.8. Cho I1, I 2 ,...., I n là các iđêan của R , ta cónIi i 1nIi(*)i 1Chứng minh. Ta chứng minh bằng cách quy nạp theo nI1  I 2  I1  I 2 .+ Với n = 2 ta cần chỉ raThật vậy, với mọi a  I1  I 2 luôn tồn tại m Suy ra tồn tại m **sao cho am  I1  I 2thỏa mãn a m  I1 m a  I 2Suy raa  I1 a  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2 .a  I 2Mặt khác với mọi b  I1  I 2 thìb  I1b  I 2Suy ra tồn tại t , k *để bt  I1 , bk  I 2 . Giả sử k  t , k  t  q . Khi đóbk  bt q  bt .bq  I1 (do bt  I1 ).6Lại có bk  I 2 suy rabk  I1  I 2  b  I1  I 2  I1  I 2  I1  I 2 I1  I 2  I1  I 2 .n 1+ Giả sử (*) đúng với n-1 tức là cói 1Ii n 1Ii .i 1Ta chứng minh (*) đúng với nThật vậy,n 1Ii i 1n 1n 1Ii  I n i 1I i  I n (theo chứng minh trên)i 1n 1I i  I n (theo giả thiết quy nạp)i 1nIii 1nVậyi 1Ii nIi . □i 11.5. Vành chính, vành nhân tử hóa, vành ƠclitĐịnh nghĩa 1.5.1 (Vành chính). Miền nguyên X đƣợc gọi là vành chínhnếu mọi iđêan của X đều là iđêan chínhVí dụ 1.5.2. Vành các số nguyênlà vành chính.Định nghĩa 1.5.3 (Vành nhân tử hóa). Miền nguyên X đƣợc gọi là vànhnhân tử hóa nếu và chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đềuphân tích đƣợc một cách duy nhất thành tích các phần tử bất khả quy.Nhận xét 1.5.4+ Mọi vành chính đều là vành nhân tử hóa+ Nếu K là một trƣờng thì K  x là vành nhân tử hóa.7Định nghĩa 1.5.5 (Vành Ơclit). Cho X là miền nguyên, X * là tập cácphần tử khác 0 của X . X đƣợc gọi là vành Ơclit nếu tồn tại ánh xạ : X* i)thỏa mãn các điều kiện sauNếu a là bội của b và a  0 thì  (b)   (a) .ii) Với a, b  X và b  0 thì tồn tại q và r thuộc X sao choa  bq  r và  (r )   (b) nếu r  0 .Ký hiệu: ( X ,  ) trong đó  đƣợc gọi là ánh xạ Ơclit.1.6. Vành thƣơng và đồng cấu vànhĐịnh nghĩa 1.6.1. Cho A là iđêan của vành X . Khi đó nhóm thƣơngXA x  A x  X cùng với 2 phép toán (  ),() xác định nhƣ sau, với mọi x, y  X( x  A)  ( y  A)  x  y  A,( x  A).( y  A)  xy  A.lập thành một vành gọi là vành thương của X theo iđêan A .Nhận xét 1.6.2+ Nếu X là vành giao hoán thì X cũng là vành giao hoán.A+ Nếu X là vành giao hoán có đơn vị là 1 thì X cũng là vànhAgiao hoán có đơn vị là 1  A .+ Đặc biệt, 0, X là 2 iđêan của X nên tồn tại 2 vành thƣơngXXVí dụ 1.6.3. Ta có n x  0 x X  X ,0 X  x  X x  X    X   0 .là iđêan của vành các số nguyêncó vành thƣơng8(n  ) nênn x  n x   n,1  n ,..., n  1  nvới hai phép toán (+), () xác định nhƣ sau, với mọi x, y (x  n )  ( y  n )  x  y  n( x  n ).( y  n )  xy  nĐịnh lý 1.6.4. Cho R là vành giao hoán, I là iđêan của R . Khi đói) Nếu J là iđêan của R sao cho J  I thì J là một iđêan củaIvành thƣơng R .Iii) Mỗi iđean J của RIđều có dạng KIvới K là iđêan của Rthỏa mãn K  I . Tồn tại duy nhất iđêan K  a  R a  I  J  của Rthỏa mãn điều kiện.iii) Nếu J1, J 2 là các iđêan của R sao cho J1, J 2  I thìJ1IJ2Ikhi và chỉ khi J1  J 2 .Chứng minh. i) Ta cóJsuy ra JI a  I a  J   r  I r  R  RIlà nhóm con của nhóm cộng R . Hơn nữa, với mọi r  R vàIIa  J ta có(r  I )(a  I )  ra  I  Jsuy ra JIIlà một iđêan của R .Iii) Lấy  là một iđêan bất kỳ của R , tập K  a  R a  I   .I+ Hiển nhiên I  K do a  I  I   với mọi a  I .9+ Lấy a, b  K và r  R thì ta có a  I , b  I  . Do đó(a  b)  I   , ra  I   . Suy ra a  b , ra  K và K là một iđêancủa R .Từ đó theo định nghĩa của K và K  I suy ra rằng K   .I+ Mặt khác, giả sử L là 1 iđêan khác của R cũng có tính chấtL  I và L I   . Cho a  L thì a  I  L I   . Suy ra a  K . Suy raLK.Lại có nếu b  K thì b  I    L . Theo (i) ta có b  L . Suy ra K  L .IVậy L  K hay K là duy nhất.iii) Theo (i) ta cóJ1I,J2Ilà các iđêan của R .ITừ (ii) ta có điều phải chứng minh. □Định nghĩa 1.6.5 (Đồng cấu vành). Cho X , Y là hai vành. Ánh xạf : X  Y gọi là đồng cấu vành nếu với mọi x, y  X ta có f ( x  y )  f ( x)  f ( y ) f ( x. y)  f ( x). f ( y)Hơn nữa,+ f gọi là đơn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là đơn ánh,+ f gọi là toàn cấu nếu f là đồng cấu vành và f là toàn ánh,+ f gọi là đẳng cấu nếu f vừa là đơn cấu vừa là toàn cấu,+) Cho hai vành X , Y ta nói X đẳng cấu với Y nếu tồn tại mộtđẳng cấu vành f : X  Y .Định lý 1.6.6. Ta có các khẳng định sau(i). Tích của hai đồng cấu vành là một đồng cấu vành;10(ii). Cho f : X  Y là đồng cấu vành, trong đó X là một trƣờngthì f là đồng cấu không hoặc đơn cấu;(iii). Cho f : X  Y là đồng cấu vành;+ Nếu f có nghịch đảo trái, tức là tồn tại một đồng cấu vànhg : X  Y sao cho g  f  1X thì f là đơn cấu;+ Nếu f có nghịch đảo phải, tức là tồn tại một đồng cấuvành g : X  Y sao cho f  g  1Y thì f là toàn cấu;+ Nếuf có nghịch đảo trái và nghịch đảo phải thì f làđẳng cấu.(iv). f : X  Y là đồng cấu vành, A là vành con của X , B làiđêan của Y thì+ f ( A) là vành con của Y ;+ f 1 ( B) là iđêan của X.Đặc biệt, cho f : X  Y là đồng cấu vành.Hạt nhân của f ký hiệu là Kerf , Kerf   x  X f ( x )  0 .Ảnh của đồng cấu f ký hiệu Im f , Im f  f ( X )   f ( x)  Y x  X  .Khi đó+ X là vành con của X nên Im f là vành con của Y ;+ 0Y  là 1 iđêan của Y nên Kerf là một iđêan của X .Vậy f là đơn cấu khi và chỉ khi Kerf  0 X  ,f là toàn cấu khi và chỉ khi Im f  Y .Định lý 1.6.7 (Định lý cơ bản của đồng cấu vành). Cho đồng cấu vànhf : X  Y , A, B tƣơng ứng là các iđêan của X , Y sao cho f ( A)  B .11Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu vành f : XAYBsao cho biểu đồsau giao hoánfX YpBpAXYfAnghĩa là f p A  pB f với p A : X  XAB, pB : Y  YBlà các toàn cấuchính tắc.Đặc biệt, nếu A  Kerf , B  0Y  thì YBY0Y  Y , khi đó tacó f p  f với p : X  X Kerf là toàn cấu chính tắc.Nếu f là toàn cấu vành thì XKerf Y . Hơn nữa, f là đơn cấu vàImf  Im f .Hệ quả 1.6.8. Cho A, B là hai iđêan của vành R thỏa mãn B  A . Khi đóRBRAB.A1.7. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tựĐịnh nghĩa 1.7.1. Cho tập X   . Quan hệ hai ngôi “  ” trên X đƣợcgọi là quan hệ thứ tự trên X nếu thỏa mãn 3 tính chất saui)Phản xạ: với mọi u  X : u  u ,ii)u  vPhản xứng: với mọi u, v  X : thì u  v ,v  uu  viii) Bắc cầu: với mọi u, v, w  X nếu thì u  w .vw12Khi đó ta viết  X ,   đƣợc gọi là tập sắp thứ tự.Tập sắp thứ tự  X ,   đƣợc gọi là tập sắp thứ tự toàn phần nếu với mọiu  vu  v. Ta viết u  v nếu .u, v  X luôn có v  uu  vĐịnh nghĩa 1.7.2 (Phần tử cực đại, cực tiểu, cận trên, cận dƣới). Cho X ,   là tập sắp thứ tự+ Phần tử m  X đƣợc gọi là phần tử cực đại (cực tiểu) của X nếutồn tại n  X mà m  n  n  m thì m  n .+ A X , X , là tập sắp thứ tự, a0  X gọi là cận trên (cậndưới) của A nếu với mọi a  A thì a  a0 ( a0  a ).Bổ đề 1.7.3 (bổ đề Zorn). Cho tập sắp thứ tự  X ,   khác rỗng. Nếu mọitập con sắp thứ tự toàn phần (khác rỗng) của X đều chứa một cận trêncủa X thì X có ít nhất một phần tử cực đại.13Chƣơng 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ2.1. Iđêan cực đạiĐịnh nghĩa 2.1.1. Iđêan A của vành giao hoán R đƣợc gọi là iđêan cựcđại nếu thỏa mãn hai điều kiện sauA  R,i)ii) Giả sử tồn tại iđêan B của R mà AVí dụ 2.1.2. Trong vành các số nguyêndạng pB thì B  R .các iđêan cực đại đều cóvới p là số nguyên tố.Thật vậy, nếu I là một iđêan cực đại tùy ý củaI  0, Inên I có dạng I  pthìvới p  , p  1 , ta sẽ chỉ ra p là sốnguyên tố. Giả sử p không là số nguyên tố thì p  p1. p2 với1  p1, p2  p . Khi đó với mọi x  pta có x  px1  p1 p2 x1  p1 ,p1  .Suy ra pp1(trái với giả thiết plà iđêan cực đại).Vậy p là số nguyên tố.Ngƣợc lại, giả sử p là số nguyên tố nhƣng pcực đại thì tồn tại iđêan mcủa,m sao cho pkhông là iđêanmtức m làƣớc thực sự của p . Điều này trái với giả thiết p là số nguyên tố. Vậyplà iđêan cực đại.Mệnh đề 2.1.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. A là iđêan cực đạicủa R nếu và chỉ nếu R là trƣờng.AChứng minh. Giả sử A là iđêan cực đại của R . Vì R là vành giao hoáncó đơn vị nên RAlà vành giao hoán có đơn vị. Ta có A  R nên R cóA14ít nhất hai phần tử 0  A và 1  A . Xét phần tử x  A  R , x  A  A .AKhi đó x  A . Đặt B  x  A thì B là iđêan của R và BA . Do A làiđêan cực đại nên B  R . Do đó 1 B , suy ra tồn tại x0  R , a  A saocho 1  xx0  a .Suy ra1  A  xx0  a  A  xx0  A  ( x  A)( x0  A)Vậy x  A có nghịch đảo trong RNgƣợc lại, giả sử RAAlà x0  A . Do đó R là một trƣờng.Alà trƣờng. Khi đó R có ít nhất hai phầnAtử là 0  A và 1  A . Suy ra A  R . Nếu B là iđêan của R thỏa mãnAB thì tồn tại x  B \ A . Suy ra x  A  A .Do RAlà trƣờng nên tồn tại x0  A  RAsao cho( x  A)( x0  A)  1  ASuy ra xx0  A  1  A hay xx0  1 A .Vậy tồn tại a  A để a  xx0  1. Suy ra 1  xx0  a  B (vì B là iđêancủa R và tập x, a  B ). Vậy B  R hay A là iđêan cực đại của R . □Định lý 2.1.4. Nếu R là vành giao hoán không tầm thƣờng thì R luôncó ít nhất một iđêan cực đại.Chứng minh. Gọi  là tập tất cả các iđêan thực sự của R . Do R khôngtầm thƣờng nên 0 là iđêan thực sự của R . Suy ra    .Quan hệ bao hàm là một quan hệ thứ tự bộ phận trên  và iđêan cực đạicủa R chính là phần tử cực đại của tập sắp thứ tự bộ phận (, ) .Cho  là tập con sắp thứ tự toàn phần của  .Đặt J I , rõ ràng J   vì 0  J .I 15+ Với mọi a  J , r  R thì ra  J .+ Với a, b  J luôn tồn tại I1, I 2  sao cho a  I1, b  I 2 .Do (, ) sắp thứ tự toàn phần nên ta luôn có I1  I 2 hoặc I 2  I1 .Không mất tính tổng quát ta giả sử I1  I 2 . Khi đó a  b  I 2  J . Dovậy J là iđêan của R và là iđêan thực sự (vì với mọi I  thì 1 I suyra 1 J ).Suy ra J   . Vì vậy J là cận trên của  trong  .Áp dụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận (, ) luôn có phần tửcực đại nên R luôn có ít nhất một iđêan cực đại. □Hệ quả 2.1.5. Cho R là vành giao hoán, I là iđêan thực sự của R . Khiđó luôn tồn tại một iđêan cực đại M của R sao cho M  I .Chứng minh. Do I là iđêan thực sự nên vành thƣơng R không tầmIthƣờng. Theo định lý 2.1.4 thì Rcó iđêan cực đại và theo định lýI1.5.4.ii) thì iđêan cực đại đó phải có dạng MIvới đúng một iđêan Mcủa R thỏa mãn M  I .Lại có:RIMRIMRIM(theo hệ quả 1.5.8). Mà Mlà một trƣờng. Suy ra RIMIlà iđêan cực đại nêncũng là một trƣờng.Vậy M là iđêan cực đại của R và M  I . □Hệ quả 2.1.6. Cho R là vành giao hoán và a  R . Khi đó a là phần tửkhả nghịch của R nếu và chỉ nếu với mọi iđêan cực đại M của R thìaM .16Chứng minh. Giả sử a là khả nghịch của vành giao hoán R thì a  R .Nếu a  M với M là iđêan cực đại nào đó của R suy ra M  R . Điềunày mâu thuẫn với giả thiết M là iđêan cực đại. Vậy a  M .Ngƣợc lại, giả sử a  M với mọi M là iđêan cực đại của R .Nếu a không khả nghịch thì a là iđêan thực sự của R . Theo hệ quả2.1.5 thì tồn tại iđêan cực đại M của R chứa a . Điều này mâuthuẫn với giả thiết.Vậy a là khả nghịch. □Nhận xét 2.1.7. Tập các phần tử khả nghịch của R làM,R\M SpecmRtrong đó SpecmR là tập các iđêan cực đại của R .Định nghĩa 2.1.8. Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đạiđƣợc gọi là vành địa phương.Nếu M là iđêan cực đại duy nhất của vành địa phƣơng R thìRMlà trƣờng và đƣợc gọi là trường thương của R theo M .Ví dụ 2.1.9. Nếu R là trƣờng thì R là vành địa phƣơng vì R có duynhất iđêan cực đại là iđêan 0 .Mệnh đề 2.1.10. Cho R là vành giao hoán. Khi đó R là vành địaphƣơng nếu và chỉ nếu tập các phần tử không khả nghịch của R là mộtiđêan của R .Chứng minh. Giả sử R là vành địa phƣơng với một iđêan cực đại duynhất M . Theo hệ quả 2.1.6 thì M là tập các phần tử không khả nghịchcủa R.Ngƣợc lại, ta có R  0 vì nếu R  0 thì tập các phần tử khôngkhả nghịch của R là tập  . Do đó R có iđêan cực đại, chẳng hạn là M .17Gọi I là tập các phần tử không khả nghịch của R . Theo giả thiết, I làiđêan của R . Do 0  I nên R là không tầm thƣờng. Theo định lý 2.1.4thì R có ít nhất một iđêan cực đại. Theo hệ quả 2.1.6 thì mọi phần tử củaM không khả nghịch  M  I  R .Nếu M  I thì I  R (vì M là iđêan cực đại của R ). Điều này mâuthuẫn vì phần tử đơn vị 1 của R không thuộc I do 1 là khả nghịch.Vậy M  I . Do đó R có ít nhất một iđêan cực đại và iđêan cực đại nàocũng bằng I , nghĩa là R có duy nhất một iđêan cực đại.Vậy R là vành địa phƣơng. □Nhận xét 2.1.11. Giả sử vành giao hoán R là vành địa phƣơng. Khi đótừ hệ quả 2.1.6 suy ra iđêan cực đại duy nhất của R là tập các phần tửkhả nghịch của R .Định nghĩa 2.1.12. Cho R là vành giao hoán căn Jacobson của R , kýhiệu Jac ( R ) , là giao của tất cả các iđêan cực đại của R .Nhận xét 2.1.13.+ Jac ( R ) là một iđêan của R .+ Nếu R là vành giao hoán tầm thƣờng thì ta quy ƣớcJac0  0+ Khi R là vành địa phƣơng thì Jac ( R ) chính là iđêan cực đạiduy nhất của R .có Jac( ) Ví dụ 2.1.14. Vành các số nguyênp 0.pMệnh đề 2.1.15. Cho R là vành giao hoán và r  R . Khi đó r  Jac ( R )nếu và chỉ nếu với mọi a  R thì (1  ra ) là phần tử khả nghịch của R .18Chứng minh. Gọi M là iđêan cực đại bất kỳ của R . Suy ra r  M . Thếthì ra  M . Mà 1 M suy ra (1  ra )  M . Theo hệ quả 2.1.6 suy ra(1  ra ) là phần tử khả nghịch của R .Ngƣợc lại, giả sử với mọi a  R thì (1  ra ) là phần tử khả nghịchcủa R . Gọi M là iđêan cực đại bất kỳ của R . Ta chỉ ra rằng r  M .Thật vậy, M là iđêan cực đại của R nên theo hệ quả 2.1.6 thì(1  ra )  M . Giả sử r  M thì M  M  Rr  R . Do M là iđêan cựcđại nên M  Rr  R . Suy ra 1 M  Rr . Suy ra tồn tại b  M , a  Rthỏa mãn 1  b  ra . Do đó 1  ra  b  M (mâu thuẫn).Vậy r  M . Vì M bất kỳ nên r  Rac ( R ) . □2.2. Iđêan nguyên tốĐịnh nghĩa 2.2.1. Cho R là vành giao hoán. Iđêan A của R đƣợc gọi làiđêan nguyên tố nếu thỏa mãni)A  R,ii)x  ANếu với mọi x, y  R mà xy  A thì y AVí dụ 2.2.2. Trong vành các số nguyêndạng ncác iđêan nguyên tố đều cóvới n là số nguyên tố.Thật vậy, nếu I là iđêan nguyên tố tuỳ ý củacó dạng I  nthì I  0 , Ivới n  , n  1, ta sẽ chỉ ra n là số nguyên tố. Giả sử nkhông là số nguyên tố thì n  n1.n2 với 1  n1, n2  nDo n  n1.n2 nên Ivà n(1)là iđêan nguyên tố nên ta có n1  n n1 nn  n  n n 2 2(2)Vì (1) và (2) mâu thuẫn nên điều giả sử là sai. Vậy n là số nguyên tố.19Ngƣợc lại, giả sử n là số nguyên tố, ta sẽ chỉ ra nThật vậy, với mọi xy  nlà iđêan nguyên tố.thì xy nx nx ny nynVậy nlà iđêan nguyên tố. □Chú ý 2.2.3.+ 0 là iđêan nguyên tố nhƣng không là iđêan cực đại vì0  nvới mọi n *.+ R không là iđêan nguyên tố của R .+ Khi R là miền nguyên, iđêan không của nó là một iđêannguyên tố của RĐịnh lý 2.2.4. Cho R là vành giao hoán có đơn vị, I là iđêan nguyên tốcủa R nếu và chỉ nếu R là miền nguyên.IChứng minh. Nếu I là iđêan nguyên tố của R thì với mọi xy  I ta cóx  IyI .Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R là vành giao hoán có đơn vị làI0  I  RI.1  I . Vậy R I   vì R1  I  IVới mọi x  I , y  I  RInếu ( x  I )( y  I )  xy  I  I thì xy  I . Vì Ix  Ilà iđêan nguyên tố nên .yI20Suy rax  I  Iy  I  IDo đó RIkhông có ƣớc của không. Vậy RNgƣợc lại giả sử RIIlà miền nguyên.là miền nguyên, I là iđêan của R . Nếu cóx, y  R mà xy  I thì xy  I  I . Suy ra ( x  I )( y  I )  I . Do RIlàx  I  Ix  Imiền nguyên nên hay .yIIyIVậy I là iđêan nguyên tố. □Chú ý 2.2.5. Cho R là vành giao hoán. Mọi iđêan cực đại của R đều làiđêan nguyên tố. Điều ngƣợc lại không đúng.Ví dụ 2.2.6. Iđêan 0 củalà nguyên tố nhƣng 0  2 nên 0 khônglà iđêan cực đại.Nhận xét 2.2.7.+ Cho f : S  R là đồng cấu vành, I là iđêan nguyên tố của Rthì f 1 ( I ) là iđêan nguyên tố của S .fp R RThật vậy, hợp thành của hai đồng cấu S có hạt nhân là f 1 ( I ) . Suy ra Sf 1 ( I )Ilà đồng cấuđẳng cấu với vành con của miềnnguyên R . Do đó S 1không có ƣớc của không. Mà phần tửIf (I )không và phần tử đơn vị thuộc SS1f (I )f 1 ( I )nên nó có nhiều hơn 1 phần tửcũng là miền nguyên. Vậy f 1 ( I ) là iđêan nguyên tố.+ Tạo ảnh của iđêan cực đại chƣa chắc đã là iđêan cực đại.21Ví dụ 2.2.8. f :, I  0 là iđêan cực đại củakhông là iđêan cực đại củanhƣng f 1 (0)  0.Định lý 2.2.9. Cho I , J là hai iđêan của vành giao hoán R thỏa mãnJ  I . Khi đó J là iđêan nguyên tố của R nếu và chỉ nếu J I là iđêannguyên tố của vành thƣơng R .IChứng minh. Theo định lý 2.2.4 ta có J là iđêan nguyên tố của R khi vàchỉ khi RMà RJVậy RIJRlà miền nguyên. Lại cólà miền nguyên nênRIRIJRIJ(theo hệ quả 1.5.8).cũng là miền nguyên.Jlà iđêan nguyên tố. □Định nghĩa 2.2.10. Cho R là vành giao hoán. Phổ nguyên tố (hay gọitắt là phổ) của R là tập tất cả các iđêan nguyên tố của R . Ký hiệu:Spec ( R ) .Mệnh đề 2.2.11. Cho R là miền nguyên và a, b  R \ 0 . Khi đóa  b nếu và chỉ nếu a, b là hai phần tử liên kết, tức a  ub với u làphần tử khả nghịch của R .Chứng minh. Nếu a  b thì a  b , b  a , suy ra tồn tại u, v  Rsao cho a  ub và b  va . Do đó a  uva .Mà R là miền nguyên và a  0 nên uv  1 hay u là phần tử khả nghịch.Ngƣợc lại, nếu a  ub với u là phần tử khả nghịch của R thìa  b . Suy ra a  b . Mà b  u 1a nên b  a .Vậy a  b . □22Mệnh đề 2.2.12. Cho R là một miền chính và p  R \ 0 . Khi đó cácđiều kiện sau là tƣơng đƣơngi)pR là iđêan cực đại của R ,ii)pR là iđêan nguyên tố khác 0 của R ,iii)p là một phần tử nguyên tố của R ,iv)p là phần tử bất khả quy của R .Chứng minh.(i)  (ii). Hiển nhiên vì p  0 và mọi iđêan cực đại của R lànguyên tố.(ii)  (iii). Vì pR là iđêan nguyên tố khác 0 nên p  0 , p khôngkhả nghịch. Nếu p | ab thì ab  pR a  pRp|a.b  pRp|bVậy p là phần tử nguyên tố.(iii)  (iv). Vì p là phần tử nguyên tố nên p  0 và p khôngkhả nghịch.Nếu a | p thì tồn tại b  R sao cho ab  p . Suy ra p | ab .p|aMà p là phần tử nguyên tố suy ra . Chẳng hạn p | a thì tồn tạip|bu  R sao cho a  pu pbu  p  bu  1 (vì p  0 )  b khả nghịch.Tƣơng tự với p | b suy ra a khả nghịch.Vậy p là phần tử bất khả quy.(iv)  (i): Vì p là phần tử bất khả quy nên p không khả nghịch,suy ra pR  R . Giả sử I là iđêan của R mà pR  I  R . Từ R là miền23chính, tồn tại a  R sao cho I  aR và a không khả nghịch, do I làiđêan thực sự của R nên p  I . Vì vậy p  ab với b  R .Vì p là phần tử bất khả quy và a không khả nghịch nên b là phần tửkhả nghịch của R . Do đó theo bổ đề 2.2.11 thì pR  aR  I .Vậy pR là iđêan cực đại của R . □Định nghĩa 2.2.13 (Tập nhân đóng). Cho R là vành giao hoán. Một tập conS của R đƣợc gọi là tập nhân đóng nếu nó thỏa mãn hai điều kiệu saui)1 S ,ii)s1,s2  S thì s1s2  S .Định lý 2.2.14. Cho I là một iđêan nguyên tố của vành giao hoán có đơn vịR và S là tập con nhân đóng của R sao cho I  S   . Khi đó tập   J là các iđêan của R | J  I , J  S  có ít nhất một phần tử cực đại và các phần tử cực đại của  là iđêannguyên tố của R .Chứng minh. Ta thấy    J là các iđêan của R | J  I , J  S   làtập sắp thứ tự bộ phận theo quan hệ bao hàm. Ta có: I  nên    .Cho ( A, ) là tập con sắp thứ tự toàn phần khác rỗng của  . Khi đó đặtQJ thì Q là một iđêan của R thỏa mãn Q  I , Q  S   . Do AJ Alà tập sắp thứ tự toàn phần theo quan hệ bao hàm nên với mọi J1, J 2  Ata luôn có J1  J 2 hoặc J 2  J1 . Suy ra Q là cận trên của A trong  .Do đó theo bổ đề Zorn thì  có ít nhất một phần tử cực đại. Gọi P làphần tử cực đại bất kỳ  . Do P  S   , 1 S nên 1 P . Vậy P  R .+ Với a, a '  R \ P ta phải chỉ ra rằng aa '  P .24Thật vậy, a  P suy ra I  P  P  a . Do P là phần tử cực đại của nên  P  a   S   . Suy ra tồn tại s  S , u  P sao cho u  ra  s .Tƣơng tự a '  P suy ra tồn tại s '  S , r '  R, u '  P sao cho u ' r '.a '  s ' .Nhƣng ss '  (u  a.r )(u ' a ' r ')  (uu ' a.r.u ' u.a '.r ')  a.r.a '.r 'Vì S là tập con nhân đóng nên s.s '  S . Lại có  u.u ' a.r.u ' u.a '.r '  P(vì P là iđêan nguyên tố của R ). Mà P  S   s.s '  P  r.r '.a '.a  P .Lại có P là iđêan cực đại của R nên a.a '  P .Vậy P là iđêan nguyên tố của R . □Nhận xét 2.2.15. Nếu S  1 thì phần tử cực đại của  là iđêan cựcđại của R .Hệ quả 2.2.16. Mọi iđêan nguyên tố đều tồn tại iđêan cực đại chứa nó.Bổ đề 2.2.17. Cho I là iđêan của vành giao hoán R . Ký hiệu Var ( I ) làtậpgồmcáciđêannguyêntốcủaRchứaI,Var ( I )   P  Spec( R ) P  I  .Khi đóI PPVar ( I )PPSpec ( R )PIChứng minh. Với mọi a  I , p Var ( I ) ta có tồn tại n an  I  PSuy ra a  P (vì P là iđêan nguyên tố) aP  IPVar ( I )P(1)PVar ( I )25*:tứcP . Giả sử b  I , đặt S  b n n Ngƣợc lại cho b PVar ( I )* làtập con nhân đóng của R , suy ra I  S   . Theo định lý 2.2.14 thì tồntại iđêan nguyên tố P ' của R sao cho P '  I , P ' S   . Từ đóP '  Var ( I )  b  P ' S (mâu thuẫn với P ' S   ) b I P I(2)PVar ( I )Từ (1) và (2) suy raIP. □PVar ( I )Hệ quả 2.2.18.0PPSpec ( R )Chứng minh. Vì mọi iđêan nguyên tố của R đều chứa iđêan 0 nên hệquả đƣợc suy ra trực tiếp từ bổ đề 2.2.17.Định lý 2.2.19. Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán R . Khi đóVar ( I ) có ít nhất một phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm. Phần tửcực tiểu của Var ( I ) đƣợc gọi là iđêan nguyên tố cực tiểu chứa I hoặciđêan nguyên tố cực tiểu của I .Chứng minh. Theo hệ quả 2.1.5 thì luôn tồn tại một iđêan cực đại Mcủa R chứa I . Từ định lý (2.1.3) và (2.1.4) suy ra một iđêan cực đạiluôn là iđêan nguyên tố. Do đó M là iđêan nguyên tố. Suy raM Var ( I ) và Var ( I )   .Với P1 , P2 Var ( I ) , ta định nghĩa quan hệ bao hàm ngƣợc nhƣ sau:P1P2 nếu và chỉ nếu P1  P2 . Khi đó “ ” là quan hệ thứ tự trên Var ( I )và Var ( I ), là tập sắp thứ tự bộ phận. Nhƣ vậy phần tử cực đại củaVar ( I ),  là phần tử cực tiểu của Var (I ),  . Để chứng minh định lý26này ta sử dụng bổ đề Zorn để chỉ ra tập Var ( I ), tồn tại ít nhất mộtphần tử cực đại hay Var ( I ),   tồn tại ít nhất một phần tử cực tiểu.Thật vậy, cho tập   Var ( I ) ,    và  ,Đặt Q  là tập sắp thứ tự toàn phần.P , Q là iđêan thực sự của R (do    ). Ta sẽ chỉ raPQ  Spec( R ) .Cho a  R \ Q , b  R sao cho ab  Q . Ta cần chỉ ra b  Q . Vì Q PPnên tồn tại P1  sao cho a  P1 . Do  ,nên P1P hoặc P là tập sắp thứ tự toàn phầnP1 . Tức là P1  P hoặc P  P1 . Không mất tính tổngquát, giả sử P  P1 ( PP1 ).Vì ab  Q nên ab  P1 mà a  P suy ra b  P1  P (vì P1 nguyên tố). DoP là phần tử bất kỳ của  nên b  . Suy ra Q  Spec( R ) .Mà có Q  I nên Q Var ( I ) .QP  Q  P ( P  )  PQ với mọi P .PDo đó Q là cận trên của  ,.Theo bổ đề Zorn thì Var ( I ),luôn có ít nhất một phần tử cực đại hayVar ( I ) luôn có một phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàm. □Ta kí hiệu tập tất cả các iđêan nguyên tố cực tiểu của I là Min( I ) .Hệ quả 2.2.20. Cho I là iđêan thực sự của vành giao hoán R .Khi đóI P.PMin ( I )Chứng minh. Theo bổ đề 2.2.17 ta cóIP.PVar ( I )Rõ ràng Min( I )  Var ( I ) nên27PPVar ( I )(1)PPMin ( I )Với mỗi iđêan nguyên tố P của R thỏa mãn P  I , ta đặt   P '  Spec( R) P  P '  I  .Vì P nên    , do đó tập  ,quan hệlà tập sắp thứ tự bộ phận vớiđịnh nghĩa ở trên. Lập luận tƣơng tự nhƣ phần chứng minh ởđịnh lý trên ta có tập  luôn có phần tử cực tiểu theo quan hệ bao hàmvà đó cũng là iđêan nguyên tố cực tiểu của I . Suy ra luôn tồn tại mộtiđêan nguyên tố cực tiểu P ' của I sao cho P '  P với mỗi P Var ( I ) .PVậy(2)PPMin ( I )PVar ( I )PTừ (1) và (2) ta cóPMin ( I )P PVar ( I )P I .□PMin ( I )Bổ đề 2.2.21. Cho P là iđêan nguyên tố của vành giao hoán R vàI1, I 2 ,..., I n là các iđêan của R . Các khẳng định sau là tƣơng đƣơngi)ii)Tồn tại j để P  I j với 1  j  n ;PnIi ;i 1niii) P   I i .i 1Chứng minh.(i)  (ii): Hiển nhiên.(ii)  (iii): Ta cómI a1 j a2 j ....anj aij  I i , i  1, n, j  1, m ii 1 j 1nnDo các I i là các iđêan nên mỗi phần tử x   I i đều thỏa mãni 128x  Ii (với mọi i  1, n ). Suy ra x nIi 1innI i . Theo (ii) thìi 1I i  P nêni 1 P.(iii)  (i): Ta cónIi 1i P . Giả sử với mọi j (với j  1, n ) ta cóIj  P.nSuy ra tồn tại a j  I j \ P j  1, n . Khi đó a1a2 ....an   I i \ P (do P lài 1niđêan nguyên tố). Điều này mâu thuẫn với giả thiếtIi 1iP.Vậy tồn tại j với 1  j  n sao cho P  I j . □Định lý 2.2.22 (Định lý tránh nguyên tố). Cho P1, P2 ,...., Pn  n  2 là cáciđêan nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị R , sao cho có nhiều nhấthai trong số đó không là iđêan nguyên tố. Cho S là nhóm con với phépcộng và cũng là tập nhân đóng của R . Nếu S nPi thì tồn tại j sao choi 1S  Pj với 1  j  n .Chứng minh. Ta chứng minh quy nạp theo n+ Với n  2 ta có S  P1  P2 và giả sử P1, P2 chỉ đơn thuần là cáciđêan. Giả sử SP1 , SP2 . Khi đó tồn tại a j  S \ Pj  j  1;2 .Từ S  P1  P2 ta có a1  P2 và a2  P1 . S là nhóm con đối với phép cộnga  a  Pnên a1  a2  S  P1  P2   1 2 1 . Do vai trò của P1, P2 nhƣ nhau a1  a2  P2nên ta giả sử a1  a2  P1 suy ra a1   a1  a2   a2  P1 . Điều này mâuthuẫn với điều kiện a1  P1 . Suy ra điều giả sử là sai.29 j  1;2Vậy tồn tại Pj để Pj  S+ Giả sử định lý trên đúng với n  k . Ta chứng minh định lý cũngđúng với n  k  1.Thật vậy, ta có S k 1i 1Pi trong đó có nhiều nhất hai iđêan Pi không làiđêan nguyên tố và k  2 . Đánh số lại các Pi sao cho Pk 1 là iđêannguyên tố. Giả sử rằng với mỗi j  1, k  1 ta có Sk 1Pi .i 1Suy ra tồn tại a j  S \k 1Pii 1 j  1, k  1Suy ra a j  Pj j  1, k  1 và a1, a2 ,..., ak  Pk 1 . Do Pk 1 là iđêan nguyêntố nên a1a2 ...ak  Pk 1 . Do đó a1a2 ...ak k Pi \ Pk 1 kvà ak 1  Pk 1 \i 1P.i 1Xét b  a1a2 ...ak  ak 1 . Vì a1a2 ...ak  Pk 1 nên a1a2 ...ak  ak 1  Pk 1 . j  1, k Và nếu b  Pjthì ak 1  b  a1a2 ...ak  Pj j  1, n  . VìS lànhóm con đối với phép cộng và là tập con nhân đóng của R nên từ điềukiện a j  S j  1, k  1 ta có b  S .Nhƣ vậy b  S nhƣng b k 1j 1Suy ra b  S \k 1Pj (do b  Pj , với j  1, k  1).Pj . Điều này mâu thuẫn với S j 1nhất một giá trị j 1  j  k  1 sao cho S k 1Pi . Vậy tồn tại íti 1k 1Pi .i 1Theo giả thiết quy nạp ta có kết luận luôn tồn tại i để S  Pi1  i  k  1 .□30Định lý 2.2.23. Cho P1, P2 ,...., Pn  n  1 là các iđêan nguyên tố của vànhgiao hoán R . Cho I là iđêan của R và a  R thỏa mãn a  InPii 1thì tồn tại c  I để a  c nPi .i 1Chứng minh. Không giảm tính tổng quát ta có thể coi với mọii, j  1, n  i  j  thì Pi+ Nếu a nPj và PjPi .Pi thì chọn c  0 suy ra điều phải chứng minh.i 1+ Nếu a kPi nhƣng a i 1d I \nkPi . Suy ra tồn tạiPi thì Ii  k 1i 1kPi .i 1Mà Pk 1  ...  PnP1  ...  Pk vì nếu Pk 1  ...  Pn thì theo định lýtránh nguyên tố tồn tại j 1  j  k  để Pk 1  ...  Pn  Pj  Pt  Pj vớik  1  t  n (mâu thuẫn với giả thiết).Vậy tồn tại b  Pk 1  ...  Pn \ P1  ...  Pk .Đặt c  db  c  Pk 1  ...  Pn \ ( P1  ...  Pk ) .Lại có a  P1  ...  Pk \  Pk 1  ...  Pn  . Suy ra a  c 31nPi . □i 1Chƣơng 3: IĐÊAN NGUYÊN SƠ3.1. Iđêan nguyên sơĐịnh nghĩa 3.1.1. Cho Q là iđêan của vành giao hoán R . Ta nói Q làiđêan nguyên sơ của R khi hai điều kiện sau đƣợc thỏa mãni)Q  R,ii)Nếu ab  Q , a  Q thì tồn tại n *sao cho bn  Q .Nhận xét. Mọi iđêan nguyên tố trên vành giao hoán R đều là iđêannguyên sơ của R .Ví dụ 3.1.2. Vành giao hoáncó 4là iđêan nguyên sơ.Mệnh đề 3.1.3. Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Khi đó(i) I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi R là vành không tầmIthƣờng và mọi ƣớc của không trong RIđều là luỹ linh.(ii) Cho Q là iđêan nguyên sơ của S và f : R  S là đồng cấuvành thì Qc  f 1 (Q) là iđêan nguyên sơ của R .Chứng minh. (i). Giả sử I là iđêan nguyên sơ. Theo định nghĩa iđêannguyên sơ thì I  R , vì vậy R không tầm thƣờng. Gọi x  I là một ƣớcIcủa không trong R . Suy ra tồn tại y  I để  x  I  y  I   I . Suy raIxy  I . Do y  I và I nguyên sơ nên x  I . Vì vậy tồn tại n  0 saocho x n  I . Suy ra  x  I   I .nNgƣợc lại, nếu Rtrong RIIkhông tầm thƣờng và mọi ƣớc của khôngđều là luỹ linh thì hiển nhiên ta có I là iđêan nguyên sơ.32(ii) Vì tạo ảnh của iđêan là iđêan nên ta có f 1 (Q) là iđêan củaR . Xét hợp thành các đồng cấufR  S Scó hạt nhân là Qc . Suy ra RQcQđẳng cấu với vành con của SQ nguyên sơ nên mọi ƣớc của không trong Sƣớc của không trong RQcQQ. Dolà luỹ linh. Vậy mọicũng là luỹ linh. Suy ra Qc là iđêannguyên sơ của R . □Mệnh đề 3.1.4. Cho Q là iđêan nguyên sơ của vành giao hoán R . Khiđó P  Q là iđêan nguyên tố của R . Ta nói Q là P  nguyên sơ. Hơnnữa P là iđêan nguyên tố tối tiểu duy nhất của Q .Chứng minh.Q là giao của tất cả các iđêan nguyên tố chứa Q nênP  Q là iđêan thực sự của R . Cho a, b  R thỏa mãn ab  Q ,a  Q . Khi đó tồn tại n *để  ab   Q hay anbn  Q . Mà an  Qnnên theo định nghĩa iđêan nguyên sơ tồn tại m *sao cho bnm  Q b  Q  Q là iđêan nguyên tố.Hơn nữa theo tính chất củaQ là giao của tất cả các iđêan nguyên tốchứa Q suy ra P  Q là iđêan nguyên tố tối tiểu của Q . □Mệnh đề 3.1.5. Cho Q là iđêan của vành giao hoán R suy ralà 1 iđêan cực đại của R . Khi đó Q là M  nguyên sơ.33Q MChứng minh. Vì Q  Q  M  R nên Q là iđêan thực sự của R . Lấya, b  R sao cho ab  Q , b  Q . VìQ  M là iđêan cực đại vàb  M nên ta có M  Rb  R . Vì vậyQ  Rb  R .Do đó Q  Rb  R . Vì vậy tồn tại d  Q, c  R sao cho d  cb  1 vàa  a.1  a.(d  cb)  ad  c(ab)  Q (vì d , ab  Q ).Vậy Q là M  nguyên sơ. □Hệ quả 3.1.6. Tất cả các lũy thừa dƣơng M n  n * của iđêan cực đạiM là M  nguyên sơ.Ví dụ 3.1.7. Với p là số nguyên tố, p nThật vậy, hiển nhiênp pnlà nguyên sơ.pn vàq pnênqpn p . Mà plà iđêan cực đại nên p nlà nguyên sơ.Chú ý 3.1.8. Điều ngƣợc lại là không đúng, tức là một iđêan nguyên sơchƣa chắc đã là lũy thừa dƣơng của iđêan cực đại.Ví dụ 3.1.9. 42là iđêan nguyên sơ nhƣng 4không là iđêan cực đại.Ví dụ 3.1.10. Cho trƣờng K và R  K  x, y  , M  Rx  Ry . Khi đó Mlà iđêan cực đại của R (vì R  K ). Ta có  X , Y 2  là M  nguyên sơMnhƣng  X , Y 2  không là luỹ thừa của 1 iđêan nguyên tố nào.Thật vậy, ta có M 2   X 2 , XY ,Y 2    X , Y 2    X , Y   MSuy raM  M2  X ,Y  234M MSuy ra X ,Y   M2là iđêan cực đại và  X , Y 2  là iđêan nguyên sơ, vàtất nhiên là M  nguyên sơ. Mặt khác nếu P là iđêan nguyên tố sao cho X ,Y   M . Xét dãy tăngP k   X , Y 2  , k  0 nào đó thì P  P k 2M  M 2  ...  M i  M i1  ...Do M 2   X , Y 2   M và M k   X , Y 2   k  1 hoặc k  2 .+ Nếu k  1 thì M   X , Y 2   Y   X , Y 2  (mâu thuẫn).+ Nếu k  2 thì M 2   X , Y 2   X  M 2 (mâu thuẫn)Vậy  X , Y 2  không thể là luỹ thừa của một iđêan nguyên tố nào. □Bổ đề 3.1.11. Cho P là iđêan nguyên tố của vành giao hoán R vàQ1, Q2 ,..., Qn n  1là các P  nguyên sơ. Khi đónQi cũng là P i 1nguyên sơ.nChứng minh. Vì Qi là các iđêan thực sự nênQi cũng là iđêan thực sự.i 1Ta cónQi i 1Lấy ab nQi sao cho a i 1nQi i 1ni 1nP  P.i 1Qi . Suy ra tồn tại j để a  Q j nhƣngab  Q j . Suy rab  Qj  P nQj .j 1nVậyQi là P  nguyên sơ. □i 135Định lý 3.1.12. Cho Q là P  nguyên sơ của vành giao hoán R vàa  R . Khi đóNếu a  Q thì  Q : a   R .i)ii) Nếu a  Q thì  Q : a  là P  nguyên sơ.iii) Nếu a  P thì  Q : a   Q .Chứng minh. (i).  Q : a   r  R ar  Q . Do Q là iđêan của R nên vớia  Q thì với r  R luôn có ar  Q . Suy ra  Q : a   R .(ii). Ta có  Q : a   Q nênx  Q : a thì tồn tại n *Q : a  Q  P . Ngƣợc lại với mọisao cho xn a  Q . Suy ra x n  Q  P (vìa  Q ).Suy ra x  P (vì P nguyên tố). Do đó Q : a   P . Vậy  Q : a   P .Hơn nữa nếu xy   Q : a  và xa  Q thì do xya  Q nên ( xa ) y  QSuy ra y  Q  P  Q : a  . Vậy Q : a là P  nguyên sơ.(iii): Ta luôn có Q   Q : a  theo định nghĩa của  Q : a  .Ngƣợc lại với mọi x   Q : a  thì xa  Q . Do a  P nên a  Q (vì Q làP  nguyên sơ). Suy ra  Q : a   Q . Vậy Q   Q : a  . □Định nghĩa 3.1.13 (sự phân tích nguyên sơ). Cho I là iđêan thực sự củaR . Một phân tích nguyên sơ của I là giao của hữu hạn các iđêan nguyênsơ của R , tức làIni 1Qi với Qi là các Pi  nguyên sơ.Hơn nữa I gọi là có phân tích nguyên sơ tối tiểu nếu Pi  Pj , với mọii  j và với 1  j  n thì Q jQi .i j36Nhận xét+ QjQi  I i jQi , 1  j  n .i j+ Mọi phân tích nguyên sơ đều có thể đƣa về phân tích nguyên sơtối tiểu.+ Khi I có phân tích nguyên sơ thì ta nói nó phân tích đƣợc.Định lý 3.1.14. Cho I là iđêan phân tích đƣợc của R . Đặt I nQ j vớij 1Q j là các Pj  nguyên sơ, là phân tích nguyên sơ tối tiểu của I . ChoP  Spec ( R ) . Các khẳng định sau là tƣơng đƣơngi)P  Pi ,1  i  n ;ii)Tồn tại a  R sao cho  I : a  là P  nguyên sơ; I : a  P .iii) Tồn tại a  R sao choChứng minh. (i)  (ii). Ta có tồn tại 1  i  n để P  Pi nên Qi làP  nguyên sơ. Do phân tích là tối tiểu nên QinQ j . Suy ra tồn tạij 1j iai nj 1j iQjQ j \ Qi . Theo định lý 3.1.12 ta có  Qi : ai  là P  nguyên sơ và: ai   R, với mọi i  j . Ta có n I : ai    Q j : ai   j 1nj 1Qj: ai    Qi : ai  .Vậy  I : ai  là P  nguyên sơ.(ii)  (iii). Hiển nhiên.(iii)  (i). Giả sử a  R sao cho37 I : a   P . Ta cóP  I :a nQ : a jj 1Nếu a  Qi thì  Qi : a   R nên tồn tại 1  i  n để a  Qi  P nPi .i 1aQiVì P  Spec( R )  tồn tại 1  i  n, a  Qi để P  Pi . □Định lý 3.1.15 (định lý duy nhất thứ nhất). Cho I là iđêan phân tíchđƣợc vàInQi vớiQi  Pi , i  1, n .(1)Q ' j vớiQ j '  Pj ' , j  1, n '(2)i 1In'j 1là hai phân tích nguyên sơ tối tiểu của I . Khi đó n  n ' vàP1,..., Pn  P1 ',..., Pn ' .Chứng minh. Áp dụng định lý 3.1.14 ta có P1  Spec( R) nên tồn tạia1  R để I : a1   P1 . Áp dụng định lý 3.1.14 ta cóP1 P1 ',...., Pn ' ' .Tƣơng tự suy ra P1,..., Pn   P1 ',..., Pn ' ' .Hoàn toàn tƣơng tự ta có P1 ',..., Pn ' '  P1,..., Pn  .Suy ra điều phải chứng minh. □Định nghĩa 3.1.16. Ta gọi tập P1,..., Pn  trong định lý trên là tập cáciđêan nguyên tố liên kết của I . Ký hiệu ass ( I ) .Nhận xét 3.1.17.+ Tập ass ( I ) không phụ thuộc vào cách chọn phân tích của I .+ Theo định lý 3.1.14 thì P  ass ( I ) khi và chỉ khi tồn tại a  Rsao cho I : a  Pvà  I : a  là P  nguyên sơ. Mà I 38 I : a  P P Var ( I )  ass( I )  Var ( I ) .Định lý 3.1.18 (định lý duy nhất thứ hai). Cho I là iđêan có hai phântích nguyên sơ tối tiểuInnQi Qi 'i 1i 1Qi  Qi '  Pi , ass(I )  P1,..., Pn  .Khi đó với mọi 1  i  n sao cho Pi  Min( I ) thì Qi  Qi ' .Chứng minh.+ Nếu n  1 thì mệnh đề hiển nhiên đúng.+ Nếu n  1 và Pi  Min( I ) thì do PiPj suy ra tồn tạij iaPj \ Pi .j iDo Pi  Min( I ) nên với mọi Pj  Ass( I ), j  i thì Pj  Pi .Ta có: a  Pj  Q j , với mọi j  i thì tồn tại h j  0 để a j  Q j , vớihmọi j  i .Đặt t  max h j j i at  Pi   I : at  Tƣơng tự tồn tại t 'nQ : a   Qtjj 1i( theo định lý 3.1.12)0 để  I : a t '   Qi ' .Đặt s  max t , t '   I : a s   Qi  Qi ' . Suy ra điều phải chứng minh. □3.2. Mối liên hệ giữa iđêan cực đại, iđêan nguyên tố và iđêan nguyên sơĐịnh lý 3.2. i) Một iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố.ii) Một iđêan nguyên tố luôn là iđêan nguyên sơ.39Chứng minh. (i). Cho R là vành giao hoán có đơn vị. Giả sử I là iđêancực đại của R . Khi đó R là trƣờng. Do đó R là miền nguyên. Suy raIII là iđêan nguyên tố.(ii): Giả sử I là iđêan nguyên tố của vành giao hoán có đơn vị R .Với mọi xy  I , giả sử x  I thì y  I . Suy ra tồn tại n *: y n  I . VậyI là iđêan nguyên sơ.Chú ý 3.2.2. Chiều ngƣợc lại của định lý là không đúng, tức iđêannguyên sơ chƣa chắc đã là nguyên tố và iđêan nguyên tố chƣa chắc đã làcực đại.thì A  n . Nếu n là số nguyên tốVí dụ 3.2.3. Ta có A là iđêan củathì nlà iđêan nguyên tố.+ Có 32là iđêan nguyên sơ nhƣng không là iđêan nguyên tố.+ 0 là iđêan nguyên tố vì0không là iđêan cực đại vì 0  n , n là miền nguyên nhƣng 0*.Định lý 3.2.4. Trong vành chính mọi iđêan nguyên tố khác iđêan 0luôn là iđêan cực đại.Chứng minh. Giả sử R là vành chính, A là iđêan nguyên tố khác iđêan0 củaR thì A  a  ax x  R , a  0 , a  R . Giả sử tồn tại iđêanB của R mà BA thì B là iđêan chính. Vì vậy ta cóB  b  by y  R , b  0 , b  R . Ta có b  A vì nếu b  A thì với mọiz  B ta có z  bt , t  R mà b  A nên z  A . Do đó B  A (mâu thuẫnvới BA ). Vì A  B và a.1 A a  B  a  b.u  A, u  R . Mà A là iđêan nguyên tố và b  A nênu  A.40Suy rau  at  a  b.u  b.at .Do a  0 và R là miền nguyên nên ta có b.t  1 . Do đó 1 B suy raBRVậy A là iđêan cực đại.Định lý 3.2.5. i). Cho R là vành giao hoán không tầm thƣờng. Mỗi iđêancực đại của R đều là nguyên tố nếu và chỉ nếu Spec ( R )   .ii). Cho f : R  S là đồng cấu vành, R và S là các vànhgiao hoán, Q  Spec( S ) thì f 1 (Q)  Spec( R) .Chứng minh. (i). Vì R không tầm thƣờng nên R có ít nhất một iđêancực đại. Mà iđêan cực đại luôn là iđêan nguyên tố nên R luôn có ít nhấtmột iđêan nguyên tố. Vậy Spec ( R )   .Ngƣợc lại, nếu Spec ( R )   thì R luôn có ít nhất một iđêannguyên tố I . Khi đó R   . Vậy R luôn có iđêan cực đại là nguyên tố.(ii): Xét hai đồng cấu vành f : R  S và p : S  S Q ( p là toàncấu chính tắc). Khi đó pf có hạt nhânKerpf  r  R pf  r   0  Q r  R p  f  r   Q r  R f  r   Q  f 1 Q  .Áp dụng định lý cơ bản tổng quát cho trƣờng hợp pf là đồng cấu vành,41pf : R  SQ sao cho A  Kerpf  f 1 (Q) là iđêan của R , B  0 sSiđêan của SQ. Suy raQBSQlàQ. Khi đó tồn tại đồng cấu vành flàm cho biểu đồ sau giao hoánpfR ShQfRf 1  Q tức là f h  pf . Hơn nữa f là đơn cấu và Im f  Impf . Từ đó ta cóRf 1  Q đẳng cấu với một vành con của SQ. Mặt khác SQlà miềnnguyên vì với mọi a, b  S đặt a  a  Q , b  b  Q .Nếu ab  0 thì a  Qb  Q   0  Q ab  Q  0  Q ab  Qa  Qthì b  Qa  0(do Q là iđêan nguyên tố) hay . Suy ra S Q là vànhb  0giao hoán không có ƣớc của không nên S Q là miền nguyênRf 1  Q cũng là miền nguyên.Vậy f 1 (Q)  Spec( R) . □42KẾT LUẬNKhóa luận nghiên cứu về các iđêan nguyên tố, cực đại và nguyênsơ gồm những nội dung chính sau+ Khái niệm iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại+ Mối liện hệ giữa iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ và iđêan cực đại+ Sự phân tích nguyên sơ.Do thời gian có hạn nên sự phân tích nguyên sơ chỉ đƣợc trình bàymột cách sơ lƣợc. Mặc dù đã rất cố gắng nhƣng do kiến thức và trình độcủa bản thân còn hạn chế nên khóa luận của tôi không tránh khỏi nhữngthiếu sót, vì vậy rất mong nhận đƣợc những ý kiến đóng góp của cácthầy cô và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi đƣợc hoàn thiện hơnnữa.Một lần nữa tôi xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ tận tình của thầygiáo-ThS Đỗ Văn Kiên, các thầy cô trong khoa Toán, các bạn sinh viênđã giúp tôi hoàn thành khóa luận này.Tôi xin chân thành cảm ơn!Sinh viên thực hiệnPhùng Thị Ngân.4344TÀI LIỆU THAM KHẢO[1] Nguyễn Tự Cƣờng (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, Nhà xuất bảnĐại học Quốc gia Hà Nội.[2] Nguyễn Hữu Việt Hƣng (1999), Đại số đại cương, Nhà xuất bảnGiáo dục.[3] Hideyuki Matsumura (1980), Commutative ring theory, CambridgeUniversity.[4] M.F. Atiyah and I.G. Macdonald (1969), Introduction toCommuatative Algebra, Addison – Wesley Publishing Company.[5] R.Y.Sharp (1990), Steps in Communitative Algebra, CambridgeUniversity.[...]... ít nhất một phần tử cực đại 13 Chƣơng 2: IĐÊAN CỰC ĐẠI VÀ IĐÊAN NGUYÊN TỐ 2.1 Iđêan cực đại Định nghĩa 2.1.1 Iđêan A của vành giao hoán R đƣợc gọi là iđêan cực đại nếu thỏa mãn hai điều kiện sau A  R, i) ii) Giả sử tồn tại iđêan B của R mà A Ví dụ 2.1.2 Trong vành các số nguyên dạng p B thì B  R các iđêan cực đại đều có với p là số nguyên tố Thật vậy, nếu I là một iđêan cực đại tùy ý của I  0,... Ii □ i 1 1.5 Vành chính, vành nhân tử hóa, vành Ơclit Định nghĩa 1.5.1 (Vành chính) Miền nguyên X đƣợc gọi là vành chính nếu mọi iđêan của X đều là iđêan chính Ví dụ 1.5.2 Vành các số nguyên là vành chính Định nghĩa 1.5.3 (Vành nhân tử hóa) Miền nguyên X đƣợc gọi là vành nhân tử hóa nếu và chỉ nếu mọi phần tử khác 0, không khả nghịch đều phân tích đƣợc một cách duy nhất thành tích các phần tử bất... SpecmR là tập các iđêan cực đại của R Định nghĩa 2.1.8 Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đại đƣợc gọi là vành địa phương Nếu M là iđêan cực đại duy nhất của vành địa phƣơng R thì R M là trƣờng và đƣợc gọi là trường thương của R theo M Ví dụ 2.1.9 Nếu R là trƣờng thì R là vành địa phƣơng vì R có duy nhất iđêan cực đại là iđêan 0 Mệnh đề 2.1.10 Cho R là vành giao hoán Khi đó R là vành địa phƣơng... iđêan cực đại và theo định lý I 1.5.4.ii) thì iđêan cực đại đó phải có dạng M I với đúng một iđêan M của R thỏa mãn M  I Lại có: R I M R I M R I M (theo hệ quả 1.5.8) Mà M là một trƣờng Suy ra R I M I là iđêan cực đại nên cũng là một trƣờng Vậy M là iđêan cực đại của R và M  I □ Hệ quả 2.1.6 Cho R là vành giao hoán và a  R Khi đó a là phần tử khả nghịch của R nếu và chỉ nếu với mọi iđêan cực đại. .. iđêan cực đại Mệnh đề 2.1.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị A là iđêan cực đại của R nếu và chỉ nếu R là trƣờng A Chứng minh Giả sử A là iđêan cực đại của R Vì R là vành giao hoán có đơn vị nên R A là vành giao hoán có đơn vị Ta có A  R nên R có A 14 ít nhất hai phần tử 0  A và 1  A Xét phần tử x  A  R , x  A  A A Khi đó x  A Đặt B  x  A thì B là iđêan của R và B A Do A là iđêan cực đại. .. P là iđêan nguyên tố của R ) Mà P  S    s.s '  P  r.r '.a '.a  P Lại có P là iđêan cực đại của R nên a.a '  P Vậy P là iđêan nguyên tố của R □ Nhận xét 2.2.15 Nếu S  1 thì phần tử cực đại của  là iđêan cực đại của R Hệ quả 2.2.16 Mọi iđêan nguyên tố đều tồn tại iđêan cực đại chứa nó Bổ đề 2.2.17 Cho I là iđêan của vành giao hoán R Ký hiệu Var ( I ) là tập gồm các iđêan nguyên tố của... là iđêan nguyên sơ của R khi hai điều kiện sau đƣợc thỏa mãn i) Q  R, ii) Nếu ab  Q , a  Q thì tồn tại n  * sao cho bn  Q Nhận xét Mọi iđêan nguyên tố trên vành giao hoán R đều là iđêan nguyên sơ của R Ví dụ 3.1.2 Vành giao hoán có 4 là iđêan nguyên sơ Mệnh đề 3.1.3 Cho R là vành giao hoán có đơn vị Khi đó (i) I là iđêan nguyên sơ khi và chỉ khi R là vành không tầm I thƣờng và mọi ƣớc của không... của R nếu và chỉ nếu J I là iđêan nguyên tố của vành thƣơng R I Chứng minh Theo định lý 2.2.4 ta có J là iđêan nguyên tố của R khi và chỉ khi R Mà R J Vậy R I J R là miền nguyên Lại có là miền nguyên nên R I R I J R I J (theo hệ quả 1.5.8) cũng là miền nguyên J là iđêan nguyên tố □ Định nghĩa 2.2.10 Cho R là vành giao hoán Phổ nguyên tố (hay gọi tắt là phổ) của R là tập tất cả các iđêan nguyên tố... một iđêan cực đại Theo hệ quả 2.1.6 thì mọi phần tử của M không khả nghịch  M  I  R Nếu M  I thì I  R (vì M là iđêan cực đại của R ) Điều này mâu thuẫn vì phần tử đơn vị 1 của R không thuộc I do 1 là khả nghịch Vậy M  I Do đó R có ít nhất một iđêan cực đại và iđêan cực đại nào cũng bằng I , nghĩa là R có duy nhất một iđêan cực đại Vậy R là vành địa phƣơng □ Nhận xét 2.1.11 Giả sử vành giao... (I ) không và phần tử đơn vị thuộc S S 1 f (I ) f 1 ( I ) nên nó có nhiều hơn 1 phần tử cũng là miền nguyên Vậy f 1 ( I ) là iđêan nguyên tố + Tạo ảnh của iđêan cực đại chƣa chắc đã là iđêan cực đại 21 Ví dụ 2.2.8 f :  , I  0 là iđêan cực đại của không là iđêan cực đại của nhƣng f 1 (0)  0 Định lý 2.2.9 Cho I , J là hai iđêan của vành giao hoán R thỏa mãn J  I Khi đó J là iđêan nguyên tố ... cứu sâu iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại, phân tích nguyên sơ mối liên hệ chúng Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Lý thuyết iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ iđêan cực đại vành giao hoán... nguyên sơ, iđêan cực đại + Mối liện hệ iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ iđêan cực đại + Sự phân tích nguyên sơ Do thời gian có hạn nên phân tích nguyên sơ đƣợc trình bày cách sơ lƣợc Mặc dù cố... Mối liên hệ iđêan cực đại, iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ Định lý 3.2 i) Một iđêan cực đại iđêan nguyên tố ii) Một iđêan nguyên tố iđêan nguyên sơ 39 Chứng minh (i) Cho R vành giao hoán có đơn