TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ******** TRỊNH THỊ PHA ỨNG DỤNG QUY TẮC CỘNG, QUY TẮC NHÂN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học Th.S NGUYỄN THỊ BÌNH Hà Nội - 2014 LỜI CẢM ƠN Khóa luận tốt nghiệp đƣợc hoàn thành tại Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2. Có đƣợc bản khóa luận tốt nghiệp này em xin đƣợc bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Ban giám hiệu trƣờng Đại học Sƣ phạm Hà Nội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán, đặc biệt là ThS. Nguyễn Thị Bình đã trực tiếp hƣớng dẫn và giúp đỡ em trong quá trình học tập và nghiên cứu để em có thể hoàn thành đề tài này. Với mong muốn viết đƣợc một bản khóa luận đầy đủ, phong phú và hữu ích cho ngƣời đọc em đã rất cố gắng nhƣng do lƣợng thời gian và kinh nghiệm bản thân còn hạn chế nên không thể tránh khỏi sai sót và chƣa hoàn thiện. Rất mong đƣợc sự góp ý của quý thầy cô và bạn đọc để đề tài đƣợc hoàn chỉnh và phát triển hơn nữa. Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 14 tháng 4 năm 2015 Sinh viên Trịnh Thị Pha LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp "Ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài toán xác suất" đƣợc hoàn thành dƣới sự hƣớng dẫn của cô giáo Nguyễn Thị Bình. Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã đƣợc cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong khóa luận đã đƣợc ghi rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 14 tháng 4 năm 2015 Sinh viên Trịnh Thị Pha MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU .................................................................................. 1 1. Lý do chọn đề tài ............................................................................... 1 2. Mục đích yêu cầu ............................................................................... 2 3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu ......................................................... 2 4. Nhiệm vụ nghiên cứu......................................................................... 2 5.Phƣơng pháp nghiên cứu .................................................................... 2 PHẦN II: NỘI DUNG ............................................................................. 3 CHƢƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ .......................................... 3 1.1. Quy tắc đếm cơ bản. ....................................................................... 3 1.1.1 Quy tắc cộng.............................................................................. 3 1.1.2 Quy tắc nhân ............................................................................. 5 1.2. Hoán vị ............................................................................................ 9 1.3. Tổ hợp ........................................................................................... 13 1.3.1.Định nghĩa tổ hợp.................................................................... 13 1.3.2.Các ví dụ.................................................................................. 15 1.4. Hoán vị lặp .................................................................................... 18 1.4.1 Hoán vị của tập hợp có các phần tử khác nhau ...................... 18 1.4.2 Hoán vị của tập hợp có các phần tử đồng nhất hay phần tử không phân biệt ................................................................................ 19 1.5. Hoán vị vòng tròn. ........................................................................ 21 1.5.1. Khái niệm hoán vị vòng tròn .................................................. 21 1.5.2. Các ví dụ................................................................................. 24 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT................................................................... 27 2.1. Một số bài toán sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân ................... 27 2.1.1.Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán ........................... 27 2.1.2.Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán. .......................... 28 2.1.3. Các dạng toán thường gặp ..................................................... 30 2.2. Các ví dụ và bài tập ...................................................................... 37 2.2.1. Các ví dụ................................................................................. 37 2.2.2. Bài tập áp dụng ...................................................................... 38 KẾT LUẬN ............................................................................................. 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO ....................................................................... 43 PHẦN I: MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán xác suất là một ngành toán học có nhiều ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kinh tế…Vì vậy lí thuyết xác suất đã đƣợc đƣa vào chƣơng trình toán lớp 11 nhằm cung cấp cho học sinh THPT những kiến thức cơ bản về ngành toán học quan trọng này. Để có thể học tốt toán xác suất học sinh phải nắm vững các khái niệm và các công thức cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác suất . Nhƣng đa số học sinh chỉ biết giải bài toán xác suất trong một số kiểu bài tập quen thuộc mà chƣa biết sử dụng linh hoạt các quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài tập về xác suất. Tôi đã đi tìm hiểu các tài liệu Toán học về cách giải các bài toán xác suất và sau khi đọc đƣợc một số tài liệu Toán học của Singapore nói về chuyên đề này, tôi đã đầu tƣ thời gian học tập và nghiên cứu. Một mặt là giúp học sinh hiểu đƣợc bản chất của vấn đề và không còn lúng túng trong việc giải các bài toán xác suất. Mặt khác sau khi nghiên cứu tôi sẽ có thêm một phƣơng pháp giải các bài toán về xác suất. Hơn nữa tôi hy vọng rằng những nghiên cứu nhỏ của tôi có thể giúp thấy đƣợc phần nào thực tế việc đƣa ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân vào giải các bài toán xác suất trong chƣơng trình sách giáo khoa sắp tới. Với mong muốn ấy tôi chọn đề tài: “Ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải các bài toán về xác suất ”. Nội dung đề tài gồm: Chƣơng 1. Một số kiến thức cơ sở. Chƣơng 2. Ứng dụng quy tắc đếm cơ bản để giải các bài toán xác suất. 1 2. Mục đích yêu cầu Giúp học sinh nắm vững các khái niệm và các quy tắc cơ bản của xác suất đồng thời phải biết vận dụng các kiến thức đó để giải quyết các bài toán về tính xác suất. Tự học, bồi dƣỡng nâng cao chuyên môn nghiệp vụ. 3. Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Đối tƣợng nghiên cứu: Quy tắc cộng, quy tắc nhân và cách giải các bài toán về xác suất. Phạm vi nghiên cứu: Mở rộng thêm các kiến thức cơ bản về xác suất trong chƣơng trình SGK môn Toán lớp 11. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu. a) Hệ thống các kiến thức cơ bản về xác suất. b) Hƣớng dẫn học sinh ứng dụng nguyên lý đếm vào giải các bài toán về xác suất . 5.Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, phân tích, so sánh, tổng hợp. 2 PHẦN II: NỘI DUNG CHƢƠNG I: MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1. Quy tắc đếm cơ bản. 1.1.1 Quy tắc cộng 1.1.1.1. Khái niệm quy tắc cộng Giả sử một công việc có thể đƣợc hoàn thành bằng cách thực hiện một trong hai phƣơng án A hoặc B.  Nếu phƣơng án A có a cách thực hiện.  Nếu phƣơng án B có b cách thực hiện. Khi đó công việc có thể đƣợc thực hiện bởi một trong hai phƣơng án A hoặc B là a+b. Chú ý: Phƣơng án A và phƣơng án B loại trừ lẫn nhau. Nếu thực hiện phƣơng án A sẽ loại trừ khả năng thực hiện phƣơng án B và ngƣợc lại. (Phƣơng án A và phƣơng án B không thể xảy ra cùng một lúc ). Ví dụ: Giả sử cần chọn hoặc là một học sinh nam của khối 12 hoặc một học sinh nữ của khối 11 làm đại biểu cho một trƣờng THPT. Hỏi có bao nhiêu cách chọn vị đại biểu này nếu khối 12 có 81 học sinh nam và khối 11 có 72 học sinh nữ? Giải : Ta gọi:  Việc thứ nhất là việc chọn một học sinh nam của khối 12, nó có thể làm bằng 81 cách.  Việc thứ hai là việc chọn một học sinh nữ của khối 11, nó có thể làm bằng 72 cách. Theo quy tắc cộng ta có: 81 + 72 = 153 cách chọn vị đại biểu này. 3 Quy tắc cộng dạng tổng quát: Giả sử các công việc T1, T2, … , Tm có thể làm tƣơng ứng bằng n1, n2, …, nm cách và giả sử không có hai việc nào làm đồng thời. Khi đó số cách làm một trong m việc đó là: n1 + n2 +…+ nm . 1.1.1.2. Ví dụ Ví dụ 1: Từ các số 1, 2, 3 có thể lập đƣợc bao nhiêu số khác nhau có những chữ số khác nhau. Giải: Từ các số 1, 2, 3 có thể lập đƣợc:  Ba số khác nhau có một chữ số là: 1, 2, 3. Trong trƣờng hợp này có 3 cách lập.  Sáu số khác nhau mỗi số có 2 chữ số là: 12, 13, 21, 23, 31, 32. Trong trƣờng hợp này có 6 cách lập.  Sáu số khác nhau mỗi số có ba chữ số là: 123, 132, 213, 231, 312, 321. Trong trƣờng hợp này có 6 cách lập. Các cách lập trên đôi một không trùng nhau. Vậy theo quy tắc cộng, ta có: 3 + 6 + 6 = 15 cách lập những số khác nhau có những chữ số khác nhau từ các chữ số 1, 2, 3. Ví dụ 2: Một sinh viên có thể chọn bài thực hành máy tính từ một trong ba danh sách tƣơng ứng có 23, 15 và 19 bài. Có bao nhiêu cách chọn bài thực hành? Giải: Ta nhận thấy:  Có 23 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ nhất.  Có 15 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ hai. 4  Có 19 cách chọn bài thực hành từ danh sách thứ ba. Vì vậy có: 23 + 15 + 19 = 57 cách Ví dụ 3: Đi từ thành phố X đến thành phố Y một khách du lịch có thể đi bằng đƣờng bộ hoặc đƣờng biển. Du lịch bằng đƣờng bộ, ông lựa chọn 1 trong 4 tuyến đƣờng khác nhau: l1, l2, l3, l4. Du lịch bằng đƣờng biển, ông lựa chọn 1 trong 3 tuyến đƣờng biển khác nhau:s1, s2, s3. l1 l2 l3 l4 Y X s1 s2 s3 Du lịch bằng đƣờng bộ và du lịch bằng đƣờng biển là những phƣơng án loại trừ lẫn nhau. Vì nếu ông ấy du lịch bằng đƣờng bộ ông ấy không thể cùng lúc du lịch bằng đƣờng biển và ngƣợc lại. Vì thế, số cách đi du lịch từ thành phố X đến thành phố Y bằng đƣờng bộ hoặc đƣờng biển là: 4+3 =7. 1.1.2 Quy tắc nhân 1.1.2.1. Khái niệm quy tắc nhân Giả sử một công việc có thể đƣợc hoàn thành bởi hai công đoạn A và B, công đoạn A và công đoạn B là độc lập. Nếu công đoạn A có a cách thực hiện và công đoạn B có b cách thực hiện thì số cách hoàn thành công việc bằng cách thực hiện công 5 đoạn A và công đoạn B liên tiếp là: a.b Ví dụ 1: Ngƣời ta có thể ghi nhãn cho những chiếc ghế trong một giảng đƣờng bằng một chữ cái và một số nguyên dƣơng không vƣợt quá 100. Bằng cách nhƣ vậy, nhiều nhất có bao nhiêu chiếc ghế có thể đƣợc ghi nhãn khác nhau? Giải: Thủ tục ghi nhãn cho một chiếc ghế gồm hai việc:  Gắn một trong 26 chữ cái.  Và sau đó gắn một trong 100 số nguyên dƣơng. Quy tắc nhân chỉ ra rằng có: 26.100=2600 cách khác nhau để gắn nhãn cho một chiếc ghế Nhƣ vậy, nhiều nhất ta có thể gắn nhãn cho 2600 chiếc ghế. Ví dụ 2: Trong một trung tâm máy tính có 32 chiếc máy vi tính. Mỗi máy có 24 cổng. Hỏi có bao nhiêu cổng khác nhau trong trung tâm này? Giải: Thủ tục chọn cổng gồm có hai việc, việc chọn máy và sau đó chọn cổng của chiếc máy này.  Có 32 cách chọn máy.  Có 24 cách chọn cổng bất kể máy nào đƣợc chọn. Quy tắc nhân cho thấy có 32.24=768 cổng. Ví dụ 3: Đi từ thành phố X đến thành phố Y khách du lịch phải đi qua thành phố M. Du lịch từ thành phố X đến thành phố M , ông lựa chọn 1 trong 4 tuyến đƣờng bộ khác nhau: l1, l2, l3, l4. Du lịch từ thành phố M đến thành phố Y ông lựa chọn 1 trong 3 tuyến đƣờng biển khác nhau: s1, s2, s3. 6 l1 s1 l2 X l3 M s2 Y s3 l4 Du lịch từ thành phố X đến thành phố M và du lịch từ thành phố M tới thành phố Y là các hoạt động độc lập. Nếu chúng ta giả định rằng việc lựa chọn du lịch bằng 1 trong 4 tuyến đƣờng bộ không ảnh hƣởng đến việc lựa chọn đi lại bằng bất kì 1 trong 3 tuyến đƣờng biển và ngƣợc lại. Do vậy, số cách đi du lịch từ thành phố X đến thành phố Y bằng đƣờng bộ và đƣờng biển là: 3.4 = 12. Quy tắc nhân dạng tổng quát: Giả sử để hoàn thành một nhiệm vụ H cần thực hiện k công việc nhỏ là H1, H2, … , Hk trong đó: H1 có thể làm bằng n1 cách. H2 có thể làm bằng n2 cách, sau khi hoàn thành H1. ................................................................................ Hk có thể thực hiện bằng nk cách, sau khi hoàn thành công việc Hk-1. Khi đó để thực hiện công việc H sẽ có n1.n2...nk cách. 1.1.2.2.Ví dụ Ví dụ 1: Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng ký xe ô tô nếu mỗi biển chứa một dãy ba chữ cái tiếp sau là ba chữ số (không bỏ dãy chữ nào ngay cả khi nó có ý nghĩa không đẹp). Giải: Ta nhận thấy: 7  Có tất cả 26 cách chọn mỗi một trong ba chữ cái.  Có 10 cách chọn cho mỗi chữ số. Vì thế theo quy tắc nhân, nhiều nhất có: 26.26.26.10.10.10= 17 576 000 biển đăng ký xe. Ví dụ 2:Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8. Giải: Số cần lập có dạng a1a2 a3 . Ta có 4 cách chọn a1, vì a1  0. Ứng với mỗi cách chọn a1 có 4 cách chọn a2. Ứng với mỗi cách chọn a1, a2 có 3 cách chọn a3. Theo quy tắc nhân ta có 4.4.3 = 48 số cần lập. Ví dụ 3: 1. Cho ba tập hợp chữ cái A = { a, b } B = { c, d, e, f } C={g} Nếu chọn một chữ cái bất kì từ bộ ba tập hợp thì số cách chọn là: 2+4+1=7 (A, B và C là các tập hợp loại trừ lẫn nhau, vì không có yếu tố chung). Nếu một chữ cái đƣợc chọn từ một tập hợp của ba tập hợp thì số lựa chọn của ba chữ cái khác nhau là: 2 . 4 .1 = 8 (A, B và C là những tập hợp độc lập vì khi lựa chọn bất kì một yếu tố nào trong một tập hợp không gây ra bất kì sự hạn chế về một yếu tố bất kì trong tập hợp khác ). 2. Cho ba tập hợp chữ cái: A = {a,b} B = { b, d, e, f } C = {g} Nếu chọn một chữ cái bất kì từ ba tập hợp thì số các lựa chọn ba chữ cái khác nhau không là: 2 + 4 + 1= 7 Nếu chọn một chữ cái từ một tập hợp trong ba tập hợp thì số các lựa chọn khác nhau không là: 2 .4 . 1= 8. 8 (A, B và C không là các tập hợp độc lập vì lựa chọn b từ tập hợp A sẽ hạn chế sự lựa chọn b từ tập hợp B ). 1.2. Hoán vị Ví dụ: Cho 5 đối tƣợng phân biệt đƣợc dán nhãn a, b, c, d, e và 5 ô trống nhƣ hình vẽ dƣới đây: Chúng ta có thể sắp xếp 5 đối tƣợng khác nhau vào 5 ô trống bằng một số cách nhƣ sau: a b c d e a b c e d e d c b a Mỗi cách sắp xếp có thứ tự 5 đối tƣợng khác nhau đƣợc gọi là một hoán vị của 5 đối tƣợng khác nhau. Để tìm số hoán vị của 5 đối tƣợng khác nhau, chúng ta xem xét nhiệm vụ sắp xếp nhƣ một hoạt động 5 bƣớc, nhƣ sau: Ô trống đầu tiên, có thể đƣợc lấp đầy bởi bất kì 1 trong 5 đối tƣợng nên có 5 cách. Ô trống thứ hai, có thể đƣợc lấp đầy bởi bất kì 1 trong 4 đối tƣợng nên có 4 cách. Ô trống thứ ba, có thể đƣợc lấp đầy bởi bất kì 1 trong 3 đối tƣợng nên có 3 cách. Ô trống thứ tƣ, có thể đƣợc lấp đầy bởi 1 trong 2 đối tƣợng nên có 2 cách. Ô trống cuối cùng, có thể đƣợc lấp đầy bởi đối tƣợng còn lại nên có 1 cách. 9 5 4 3 2 1 Mỗi hoạt động của 5 hoạt động độc lập với nhau. Vì thế, theo nguyên tắc nhân số hoán vị là: 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5! Định nghĩa hoán vị: Cho tập hợp A gồm n phần tử (n  1). Mỗi cách sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đƣợc gọi là hoán vị của n phần tử đó. Kí hiệu: Pn Công thức tính: Pn là số hoán vị của n phần tử đó. n, n 1 Pn  n !  1.2....( n  1).n Chứng minh: Ta chứng minh công thức này dựa trên nguyên lý nhân. Xét công việc xây dựng một hoán vị của n vật ban đầu. Công việc này đƣợc chia thành các bƣớc sau: Bước 1: Chọn vật đứng đầu có n cách chọn (n vật đều có thể đứng đầu). Bước 2: Chọn vật đứng thứ hai có n-1 cách chọn (do đã chọn vật đứng đầu nên bây giờ ta chỉ còn n - 1 vật ). … Bước n: Chọn vật còn lại cuối cùng chỉ có một cách duy nhất. Nhƣ vậy, theo nguyên lý nhân, số cách xây dựng hoán vị cũng chính là số các hoán vị của n vật ban đầu là: n.(n-1)…2.1 = n!. Chú ý: (1) n! = n(n-1)(n-2)(n-3)...(3)(2)(1) (2) n! = n(n-1)! (3) Với n=1: 1! = 1(1-1)! = 0! = 1 10 Ví dụ 1: Cho 7 đối tƣợng phân biệt đƣợc dán nhãn a, b, c, d, e, f, g và 3 ô trống nhƣ sau: Chúng ta có thể sắp xếp 7 đối tƣợng khác nhau, lấy 3 đối tƣợng tại cùng một thời điểm vào trong 3 ô trống bởi một số cách nhƣ sau: a b c a e g e a g Để tìm số hoán vị của 7 đối tƣợng khác nhau lấy 3 đối tƣợng tại một thời điểm. Chúng ta xem xét nhiệm vụ sắp xếp nhƣ một hoạt động 3 bƣớc nhƣ sau: Ô đầu tiên có thể đƣợc lấp đầy bởi 1 trong 7 đối tƣợng nên có 7 cách. Ô thứ hai có thể đƣợc lấp đầy bởi 1 trong 6 đối tƣợng còn lại nên có 6 cách. Ô thứ cuối cùng có thể đƣợc lấp đầy bởi 5 đối tƣợng còn lại nên có 5 cách. Ví dụ 2: Có bao nhiêu hoán vị n phần tử, trong đó có 2 phần tử đã cho không đứng cạnh nhau. Giải: Nếu a đứng ở vị trí thứ nhất thì b đứng ở vị trí thứ hai. Do vậy, a đứng ở vị trí thứ n - 1 thì b đứng ở vị trí thứ n và chúng có thể đổi vị trí cho nhau. Với mỗi cách đó có (n - 2 )! cách hoán vị các phần tử khác 11 nhau. Do đó số hoán vị a, b đứng cạnh nhau là: 2.(n – 1 ). (n – 2 )! = 2. (n – 1 )!. Vậy số hoán vị 2 phần tử đã cho không đứng cạnh nhau là: n! – 2. (n – 1)! = (n – 1)!.(n – 2 ) Kí hiệu: Số hoán vị của n phần tử khác nhau lấy r phần tử, kí hiệu là nPr . 7 . 6 . 5 .  4 . 3 . 2 . 1 =  4 . 3 . 2 . 1 7 P3 = 7 . 6 . 5 = n P5 = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4) 7! 4! = n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)[(n-5)(n-6) … (3)(2)(1)] [(n-5)(n-6) … (3)(2)(1)] = n n! (n-5)! Pr = n(n-1)(n-2)(n-3) ... (n-r+1) = n(n-1)(n-2)(n-3) … (n-r+1)(n-r)(n-r-1)] [(n-r)(n-r-1) … (3)(2)(1)] = n! (n – r)! 12 Định lý: Số hoán vị của n phần tử khác nhau lấy r phần tử tại một thời điểm hoặc số hoán vị của r phần tử lấy từ n phần tử khác nhau. Khi đó, 0  r  n đƣợc kí hiệu là nPr và đƣợc cho bởi: n n! Pr = n(n-1)(n-2) ... (n-r+1) = (n – r)! Chú ý: (1) nPn = (2) nP0 = n! (n – n)! n! 0! = n! (n – 0)! = n! n! = n! =1 1.3. Tổ hợp 1.3.1.Định nghĩa tổ hợp Giả sử tập A có n phần tử (n  1). Mỗi tập con gồm r phần tử của A đƣợc gọi là một tổ hợp chập r của n phần tử đã cho. Ví dụ: Cho 4 đối tƣợng khác nhau đƣợc dán nhãn a, b, c, d. Ta có thể chọn từ 4 đối tƣợng khác nhau lấy 3 đối tƣợng cùng một thời điểm bởi một số cách nhƣ sau: { a, b, c } hoặc { a, c, d } Mỗi lựa chọn 3 đối tƣợng từ 4 đối tƣợng khác nhau đƣợc gọi là một tổ hợp của 4 đối tƣợng lấy ra 3 đối tƣợng tại một thời điểm. 4 P3 = 24 hoán vị của việc chọn 3 trong 4 đối tƣợng khác nhau tại cùng một thời điểm thể hiện bởi bảng sau: Hoán vị Tổ hợp abc acb bac bca cab cba { a, b, c } abd adb bad bda dab dba { a, b, d} acd adc cad cda dac dca { a, c, d } bcd bdc cbd cdb dbc dcb { b, c, d } 13 24 lần hoán vị đƣợc tạo thành từ 4 nhóm không giống nhau: Mỗi nhóm gồm 3! = 6 hoán vị khác nhau với 3 đối tƣợng giống nhau đƣợc xem nhƣ một tổ hợp từ 3 đối tƣợng không quan tâm đến thứ tự. 4 Vậy tổ hợp chập 3 của 4 là: P3 4 3! Chú ý: Số tổ hợp chập r của n phần tử đƣợc kí hiệu bởi C hoặc   . n r 4 P3 4.3.2  3! 3! C3  4 n C5  n n r P5 n(n  1)(n  2)(n  3)(n  4) n!   5! 5! 5!(n  5)! n Cr  Pr n(n  1)(n  2)...(n  r  1) n!   r! r! r !(n  r )! n Định lý: Tổ hợp chập r của n phần tử là một cách chọn không phân biệt thứ tự r phần tử lấy từ tập n phần tử đã cho (mỗi phần tử không đƣợc n lấy lặp lại), với 0  r  n đƣợc kí hiệu bởi Cr hoặc   và đƣợc n r tính bởi: n Cr  Pr n(n  1)(n  2)...(n  r  1) n!   r! r! r !(n  r )! n Chứng minh: Ta dễ thấy rằng sự khác nhau giữa chỉnh hợp và tổ hợp chỉ là có xét hay không xét đến thứ tự các phần tử đƣợc chọn. Đối với tổ hợp ta không xét đến yếu tố thứ tự điều đó có nghĩa nếu hoán vị r phần tử đƣợc chọn một cách tùy ý thì tổ hợp ban đầu của chúng cũng không thay đổi, 14 Anr n!  do đó ta có công thức: C  r ! ( n  r )!r ! r n Chú ý: n Pn n!  1 n! n! 1) Cn  n 2) C0  n n 3) Cnr  n P0 1  1 0! 1 n! n!   nCr (n  r )![n  (n  r )]! (n  r )!r ! 1.3.2. Các ví dụ Ví dụ 1: Lớp có 70 sinh viên, trong đó 40 nam và 30 nữ . Hỏi có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 10 sinh viên nam và 10 sinh viên nữ đi dự hội sinh viên của trƣờng? Giải: Số cách chọn 10 sinh viên nam trong số 40 sinh viên nam của lớp là một tổ hợp chập 10 của 40. Do vậy có 40 C10 cách chọn. Số cách chọn 10 sinh viên nữ trong 30 sinh viên nữ của lớp là một tổ hợp chập 10 của 30. Do vậy có  Theo quy tắc nhân, có 30 C10 cách chọn. 30 C10 . C10 cách chọn 20 sinh viên theo 40 yêu cầu. Ví dụ 2: Có 3 ghế trong một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách để 5 cậu bé chiếm đƣợc chúng? Giải: Số cách bằng: 5P3 = 60 Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách có thể sắp xếp 10 ngƣời trong một hàng 1. 7 ngƣời đƣợc chọn một lần. 15 2. Tất cả 10 ngƣời đƣợc chọn một lần. Giải: 1. Số cách bằng: 10P7 = 604800 2. Số cách bằng: 10P10 = 3628800 Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách có thể: 1. 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba và 1 giải tƣ đƣợc trao cho một lớp 20 học sinh. 2. 4 giải khuyến khích đƣợc trao cho một lớp có 20 học sinh. 3. 16 giải khuyến khích đƣợc trao cho một lớp 20 học sinh. Giải: 1. Số cách bằng: 20P4 = 116280 2. Số cách bằng: 3. Số cách bằng: 20 C4 = 4845 20 C16 = 20C4 = 4845 Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách có thể chọn 4 nữ từ 10 nữ nếu: 1. Nữ trẻ nhất phải đƣợc chọn. 2. Nữ trẻ nhất không đƣợc chọn. Giải: 1. Số cách bằng: 9C3 = 84 2. Số cách bằng: 9C4 = 126 (hoặc 10C4 – 9C3 = 126 ). Ví dụ 6: Có bao nhiêu cách có thể chọn một ủy ban gồm 4 quý ông và 5 quý bà đƣợc chọn từ 8 quý ông và 7 quý bà. Giải:  Số cách chọn quý ông bằng: 8C4 = 70  Số cách chọn quý bà bằng: 7C5 = 21 Số cách chọn một ủy ban bằng: 8C4 .7C5 = 70 .21 = 1470 Ví dụ 7: Từ 7 nam và 5 nữ , một đội gồm 7 ngƣời đƣợc thành lập. Có bao nhiêu đội khác nhau đƣợc thành lập nếu cả nam và nữ đƣợc chọn và nam 16 là chủ yếu (nam > nữ). Giải: TH1: 4 nam và 3 nữ Số cách chọn một đội khác nhau bằng: 7C4 .5C3  350 TH2: 5 nam và 2 nữ Số cách chọn một đội khác nhau bằng: 7C5.5C2  210 TH3: 6 nam và 1 nữ Số cách chọn một đội khác nhau bằng: 7C6 .5C1  35 Tổng số đội khác nhau bằng: 350 + 210 +35 = 595 Ví dụ 8: 5 nam và 5 nữ đƣợc chọn từ 10 nam và 8 nữ thành lập một đội gồm 5 cặp hỗn hợp chơi tennis (bóng bàn ). Tìm tổng số đội khác nhau của các cặp khác nhau có thể thành lập. Giải:  Số cách chọn nam bằng: 10C5 = 252  Số cách chọn nữ bằng: 8C5 = 56 Số cách chọn mỗi đội gồm 5 cặp bằng: 5P5 = 5! = 120 Tổng số đội khác nhau của các cặp khác nhau có thể thành lập C5.8C5.5 P5  252.56.120  1693440 10 Ví dụ 9: Có 6 quả bóng tất cả có màu sắc khác nhau, có bao nhiêu cách chọn 1. 4 bóng. 2. 3 bóng và sắp xếp chúng thành một hàng. 3. Đặt 2 bóng vào một hộp A, B, C. 4. Chia bóng làm 3 nhóm mỗi nhóm 2. Giải: 1. Số cách bằng: 6C4 = 16 17 2. Số cách bằng: 6C3.3! hoặc 6P3 =120 3. Số cách bằng: 6C2 . 4C2 . 2C2  90 6 C2 . 4C2 . 2C2  15 4. Số cách bằng: 3! (hoặc 5 . 3 = 15 ). 1.4. Hoán vị lặp 1.4.1 Hoán vị của tập hợp có các phần tử khác nhau Ví dụ: Cho 7 số khác nhau đƣợc dán nhãn a, b, c, d, e, f, g và ô trống nhƣ hình vẽ: Nếu ta cho phép bất cứ số nào trong 7 số khác nhau đƣợc nhắc lại sau đó sắp xếp bất kì trong 7 đối tƣợng đó chọn 3 đối tƣợng cùng thời điểm. a a a c e c e c c Số hoán vị của 7 đối tƣợng khác nhau chọn 3 tại một thời điểm với phép lặp đƣợc cho phép nhƣ hình sau: 7 7 7 Do vậy, số phép lặp là: 73 = 343 Nhận xét: Ở đây có sự tƣơng tự nhƣ chỉnh hợp (có thứ tự), nhƣng cho phép sự lặp lại của các đối tƣợng. 18 Số chỉnh hợp lặp chập k của n phần tử là một cách sắp xếp có thứ tự k k phần tử của n phần tử, mỗi phần tử có thể lấy lặp lại , kí hiệu: n Ví dụ 10: Từ bảng chữ cái Tiếng Anh có thể tạo ra đƣợc bao nhiêu xâu có độ dài n? Giải: Theo quy tắc nhân, vì có 26 chữ cái và vì mỗi chữ cái có thể đƣợc dùng lại nên chúng ta có 26 xâu với độ dài n. Ví dụ 11: Tính xác suất lấy liên tiếp đƣợc 3 quả bóng đỏ ra khỏi bình kín chứa 5 quả đỏ và 7 quả xanh nếu sau mỗi lần lấy một quả bóng ra lại bỏ nó trở vào bình. Giải: Theo quy tắc nhân, số cách lấy đƣợc 3 quả bóng đỏ là 5 3, vì mỗi lần lấy ta có 5 quả bóng đỏ trong bình. Toàn bộ quá trình lấy có thể là 123, vì mỗi lần lấy trong bình có 12 quả. 53 Nhƣ vậy, xác suất cần tìm là: 123 1.4.2 Hoán vị của tập hợp có các phần tử đồng nhất hay phần tử không phân biệt Ví dụ: Cho 4 đối tƣợng khác nhau đƣợc dán nhãn a1, a2, a3, b 4 P4 = 4! = 24 hoán vị của 4 đối tƣợng khác nhau cho dƣới bảng: a1a2a3b a1a3a2b a2a1a3b a2a3a1b a3a1a2b a3a2a1b Hoán vị của a, a, a,b aaab a1a2ba3 a1a3ba2 a2a1ba3 a2a3ba1 a3a1ba2 a3a2ba1 aaba a1ba2a3 a1ba3a2 a2ba1a3 a2ba3a1 a3ba1a2 a3ba2a1 abaa ba1a2a3 ba1a3a2 ba2a1a3 ba2a3a1 ba3a1a2 Hoán vị của a1, a2, a3, b 19 ba3a2a1 baaa 24 hoán vị đƣợc thành lập từ 4 nhóm không giống nhau. Nếu ta xét a1, a2, a3 là các số đồng nhất hoặc không phân biệt (ta có thể gọi chung là a), vậy mỗi nhóm có 3! = 6 hoán vị đƣợc xem nhƣ một phép hoán vị. Do đó, số hoán vị của 4 đối tƣợng với 3 đối tƣợng đồng nhất là 4! 4 3! Định lý: Số hoán vị của n phần tử với p phần tử đồng nhất hoặc không phân biệt đƣợc tính bởi n! với p  n . p! Số hoán vị của n phần tử, nếu có p1 phần tử nhƣ nhau thuộc loại 1 p2 phần tử nhƣ nhau thuộc loại 2 p3 phần tử nhƣ nhau thuộc loại 3 ............................................ pk phần tử nhƣ nhau thuộc loại k ở đây p1 + p2 + ... + pk đƣợc tính bởi n! với p1 + p2 + p3 +...... + pk  n. p1 ! p2 ! p3 !... pk ! Chứng minh: Để xác định số hoán vị trƣớc tiên chúng ta nhận thấy có:  n C p1 cách giữ p1 chỗ cho p1 phần tử loại 1, còn lại n – p1 chỗ trống. n  p1 C p2 cách đặt p2 phần tử loại 2 vào hoán vị, còn lại  Sau đó có n – p1 – p2 chỗ trống.  Tiếp tục đặt các phần tử loại 3, loại 4,..., loại k - 1vào chỗ trống trong 20 hoán vị. Cuối cùng có n p1 ... pk 1 C pk cách đặt pk phần tử loại k vào hoán vị. Theo quy tắc nhân tất cả các hoán vị có thể là: C p1 . n p1C p2 ... n p1... pk 1C pk  n n! p1 !. p2 !... pk ! Ví dụ 12: Có bao nhiêu số có 5 chữ số có thể lập từ các số 2, 3, 5, 6, 8 và 9 nếu: 1. Không chữ nào đƣợc sử dụng nhiều hơn một lần trong số đó. 2. Bất kì chữ số nào cũng có thể nhắc lại trong một số. Giải: 1. Số có 5 chữ số là 6P5 = 720 2. Số có 5 chữ số là: 65 = 7776 Ví dụ 13: Tìm số cách sắp xếp các chữ cái của từ MAMMAL ? Giải: 6!  60 Số cách sắp xếp các chữ cái là: 3!.2! Ví dụ 14: Ba cặp sinh đôi cùng trứng nằm trong một hàng có 6 ghế. Cho biết các cặp sinh đôi không phân biệt. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp họ ? Giải: Số cách sắp xếp các cặp sinh đôi không phân biệt là: 6!  90 2!.2!.2! 1.5. Hoán vị vòng tròn. 1.5.1. Khái niệm hoán vị vòng tròn Định nghĩa: Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi cách sắp xếp n phần tử này vào n vị trí theo một đƣờng tròn gọi là một hoán vị vòng tròn cuả tập hợp A. 21 Ví dụ: Cho 4 số đƣợc dán nhãn a, b, c, d. Ta có thể sắp xếp 4 số khác nhau này quanh một vòng tròn trong một phép chọn nhƣ sau: a a d b b b d c c d c a Mỗi vòng tròn sắp xếp 4 số đó đƣợc gọi là một hoán vị vòng tròn của 4 số khác nhau. Một vòng tròn sắp xếp của n đối tƣợng khác nhau có thể coi nhƣ sự tham gia của 2 đối tƣợng kết thúc trong sắp xếp một hàng của n đối tƣợng khác nhau tạo thành một vòng tròn. Tuy nhiên, không giống nhƣ sắp xếp hàng, một vòng tròn sắp xếp không có điểm bắt đầu và kết thúc. Vậy 4 cách sắp xếp hàng: abcd dabc cdab bcda tƣơng ứng với 4 vòng tròn sắp xếp: a d b c d c c a b b b d a c a d Đƣợc coi nhƣ là cùng một hoán vị vòng tròn từ vị trí tƣơng đối của 4 đối tƣợng (phân biệt) khác nhau là nhƣ nhau trong mỗi trƣờng hợp. 4 P4 = 4 ! = 24 hàng hoặc hoán vị vòng tròn của 4 đối tƣợng khác nhau trong đó có 4 đối tƣợng khác nhau đƣợc bố trí trong một hàng, lập bảng sau: 22 Hoán vị vòng tròn của a, b, Hoán vị hàng của a, b, c, d c, d abcd dabc cdab bcda (1) abdc cabd dcab bdca (2) acdb dacb bdac cbda (3) adbc cadb bcad dbca (5) acdb bacd dbac cdba (4) adcb badc cbad dcba (6) Có 24 hoán vị hàng đƣợc phân chia làm 6 nhóm không chồng lên nhau (trùng nhau). (1) d b c (2) b d b a a (4) c c d (5) b c (3) d c b a a a a d b (6) d c Do đó, số hoán vị của 4 đối tƣợng khác nhau sắp xếp trong cùng một vòng tròn là: 4!  3!  6 4 23 Nhận xét: Số hoán vị vòng tròn của n phần tử khác nhau trong đó n phần tử khác nhau sắp xếp trong một vòng tròn cho bởi: n!  (n  1)! n Số hoán vị vòng tròn của n phần tử khác nhau lấy ra r phần tử tại n Pr n!  một thời điểm, kí hiệu: r r (n  r )! Chú ý: Hai hoán vị vòng tròn đƣợc coi là tƣơng đƣơng nếu chúng sai khác nhau một phép quay. 1.5.2. Các ví dụ Ví dụ 15: Có bao nhiêu cách sắp xếp 5 quả bóng trong một vòng tròn nếu: 1. Tất cả các bóng có màu khác nhau. 2. Có 3 quả màu vàng và 2 quả màu đỏ. Giải: 1. Số cách bằng: (5-1)! = 24 2. Số cách bằng: (5  1)! 4!  2 3!.2! 3!.2! Ví dụ 16: Có bao nhiêu cách sắp xếp để một bên của 4 chàng trai và 4 cô gái đƣợc ngồi vào một bàn tròn nếu: 1. Không có điều kiện gì? 2. Không có 2 nam ngồi cạnh nhau. Giải: 1. Số cách để 4 nữ có thể ngồi trong một vòng tròn bằng: (4 -1)! = 3! = 6 (hoán vị vòng tròn). 24 G1  Số cách nếu không có thêm điều kiện chỗ ngồi bằng: (8-1)! = 7! =5040 2. B4 B1  G4 B3 G2   G3 B2 Số cách để 4 nam có thể ngồi cạnh 4 nữ bằng: 4! = 24 (hoán vị hàng).  Số cách để không có 2 nam ngồi cạnh nhau bằng: 3! .4! = 6 . 24 = 144 Chú ý: Sau khi sắp xếp 4 nữ trong một vòng tròn, các vị trí của 4 ghế đƣợc cố định bằng 4 nữ. Vì vậy khi 4 nam đƣợc bố trí trong 4 ghế còn lại việc bố trí đƣợc xem xét nhƣ hoán vị hàng hoặc hoán vị vòng tròn. Ví dụ 17: Có 10 hạt màu khác nhau: 1. Chọn 6 hạt sắp xếp trong một vòng tròn. Có bao nhiêu cách có thể sắp xếp nhƣ vậy? 2. Chọn 6 hạt và chạy quanh tạo thành một vòng tròn. Có thể có bao nhiêu vòng tròn nhƣ vậy? Giải: 10 1. P6  25200 6 Số cách sắp xếp bằng: 10 2. Số vòng có thể có bằng: P6  12600 2.6 Chú ý: Ví dụ trên là một hoán vị vòng tròn: Số hoán vị tròn của n phần tử khác nhau lấy ra r phần tử tại một thời n điểm cho bởi công thức: Pr n!  2r 2r (n  r )! Ví dụ 18: Tại một bữa ăn tối đám cƣới, 4 cặp vợ chồng và 2 ngƣời đàn ông ngồi trong một bàn tròn riêng biệt. Tìm số cách để họ có thể ngồi trong một bàn tròn. 1. Không có điều kiện gì? 2. Nếu 2 ngƣời phụ nữ không ngồi canh nhau. 3. Mỗi cặp vợ chồng phải ngồi lại với nhau và chỗ ngồi đó có đánh số. 25 Giải: 1. Số cách nếu không có điều kiện gì bằng: (10 – 1)! = 9! = 362880. 2. Số cách có 6 ngƣời đàn ông có thể ngồi trong một vòng tròn bằng: (6 – 1)! = 5! = 120 (hoán vị tròn). Số cách để 4 ngƣời phụ nữ có thể phù hợp với 6 khoảng trống giữa những ngƣời đàn ông bằng: 6P4 = 360 (hoán vị hàng).  Số cách nếu 2 ngƣời phụ nữ không ngồi cạnh nhau bằng: 120 . 360 = 43200. 3. Số cách nếu các cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau và chỗ ngồi đƣợc đánh số bằng: (6 – 1)! . 2 . 2 . 2 . 10 = 19200. M1  M6 M5 M2     M3  M4 26 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT 2.1. Một số bài toán sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân 2.1.1.Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán Thực hiện các bƣớc: Bước 1: Phân tách công việc H thành k công việc nhỏ liên tiếp: H1, H2, …, Hk. Bước 2: Nếu ta có: + n1 cách khác nhau để thức hiện H1 + Ứng với mỗi cách thực hiện xong H1 ta có n2 cách thực hiện H2. ..................................... + Ứng với mỗi cách thực hiện xong H1, H2,...,Hk – 1 ta có nk cách thực hiện Hk Bước 3: Khi đó ta có tất cả n1.n2...nk cách thực hiện H. Bài 1: (ĐH B- 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 sinh viên gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện về giúp đỡ 3 xã miền núi sao cho mỗi xã có 4 nam và 1 nữ. Giải: 12 3  Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ nhất có C4 . C1  495 cách.  Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ 2 có 8C4 . 2C1  140 4 1  Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ 3 có C4 . C1  1 Vậy số cách phân công là: 495.140.1 = 69300 cách. Bài 2: Một cô giáo có 4 quyển sách Toán và 6 quyển sách Lý khác nhau. Lấy từ đó 5 quyển đủ cả 2 loại đem tặng cho 5 em học sinh mỗi em có một quyển . Hỏi có bao nhiêu cách? 27 Giải: Chọn đủ số lƣợng: 10 + Số cách lấy ra 5 quyển bất kì là C5  252 cách. 6 + Số cách lấy ra 5 quyển Lý là C5  6 + Do số sách Toán ít hơn số lƣợng cần lấy nên số cách lấy ra 5 quyển đủ 2 loại là: 252 – 6 = 246 cách. Sắp xếp: Lấy 5 quyển đem tặng 5 học sinh có 5! cách  Số cách tặng cần tìm là 246.5! = 29520 cách. 2.1.2.Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán. Ta thực hiện theo các bƣớc sau: Bước 1: Phân tách các phƣơng án thành k nhóm độc lập với nhau: H1, H2,...,Hk. Bước 2: Nếu ta có: n1 cách khác nhau để thực hiện H1 n2 cách khác nhau để thực hiện H2 ............................... nk cách khác nhau để thực hiện Hk Bước 3: Khi đó ta có tất cả n1 + n2 + .... + nk cách để thực hiện công việc H. Bài 1: Tổ một lớp 11A có 11 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh có cả nam và nữ? Giải: TH1: 1 nam và 3 nữ, ta có: C1. C3  28 7 4 28 7 4 TH2: 2 nam và 2 nữ, ta có: C2 . C2  126 7 4 TH3: 3 nam và 1 nữ, ta có: C3. C1  140 Vậy có 28 + 126 + 140 = 294 cách. Bài 2: Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C. Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh. Tính xác suất để 8 học sinh đƣợc chọn thuộc vào không quá hai trong ba lớp . Giải:  Xác suất để 8 học sinh đƣợc chọn là: 19 C8 phần tử 8  Số cách nếu 8 học sinh đƣợc chọn đều thuộc lớp A là: C8  1 14  Số cách nếu 8 học sinh đƣợc chọn thuộc lớp A và B là: C8  1 13  Số cách nếu 8 học sinh đƣợc chọn thuộc lớp A và C là: C8  1  Số cách nếu 8 học sinh đƣợc chọn thuộc lớp C và B là: 11 C8 Vậy xác suất để 8 học sinh đƣợc chọn thuộc vào không quá hai trong ba lớp bằng: 14 1 C8  1 13C8  1 11C8 131  19  19  19  19 C8 C8 C8 C8 2223 Bài 3: Một chiếc hộp đựng 9 chiếc thẻ đƣợc đánh số từ 1 đến 9. Rút ngẫu nhiên 2 thẻ. Tính xác suất kết quả nhận đƣợc ghi trên 2 tấm thẻ là một số chẵn? Giải: Xác suất kết quả nhận đƣợc ghi trên 2 tấm thẻ là một số bằng: Xác suất để “Rút đƣợc một thẻ chẵn và một thẻ lẻ” bằng: 5 C1. 4C1 20 5 C1. C1  20  9   C2 36 9 5 4 29 9 C2 Xác suất để “Rút đƣợc hai thẻ đề chẵn” bằng C2  4 4 C2 6 1   C2 36 6 9 Xác suất để “Kết quả nhận đƣợc ghi trên 2 tấm thẻ là một số chẵn” 5 1 13   9 6 18 Theo qui tắc cộng xác suất, ta có: 2.1.3. Các dạng toán thường gặp Dạng 1 : Dạng bài toán lập số Ví dụ 1. Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 7. Giải: Một xâu nhị phân có độ dài 7 gồm 7 bít, mỗi bít có hai cách chọn (hoặc giá trị 0 hoặc giá trị 1), theo quy tắc nhân ta có: 2.2.2.2.2.2.2 = 27 = 128 xâu bít nhị phân độ dài 7 . Ví dụ 2: Có bao nhiêu số có 7 chữ số không bắt đầu bằng số 0. Có thể đƣợc lập từ các chữ số 0, 1, 2, 2 , 3, 3, 3 ? Giải: Tổng số các số có 7 chữ số là 7!  420 2!.3! Số có 7 chữ số bắt đầu bằng 0 là 6!  60 2!.3! Số có 7 chữ số không bắt đầu bằng 0 là 420 - 60 = 360. Ví dụ 3: Có bao nhiêu chữ số có 5 chữ số và 6 chữ số lớn hơn 50000 có thể lập từ các số 0,1, 2, 3, 4 và 5 nếu: 1. Không chữ số nào đƣợc nhắc lại. 2. Tất cả các chữ số có thể đƣợc nhắc lại. Giải: 1. Chữ số có 5 chữ số lớn hơn 50000 là: {5} {} {} {} {} 5 P4 = 120 30 Có 6 chữ số lớn hơn 50000 có thể lập từ các số 0,1, 2, 3, 4 và 5 là: { 1 hoặc 2 hoặc 3 hoặc 4 hoặc 5} {} {} {} {} 5 .5 ! = 600 Số 5 chữ số và 6 chữ số bằng: 5P4 + (5 . 5 !) = 120+ 600 = 720 Chú ý: 054321 không xét là 6 chữ số mà là 5 chữ số 2. Chữ số có 5 chữ số là: {5} {} {} {} {} 64 – 1 = 1295 (chƣa bao gồm 50000) 6 chữ số lớn hơn 50000 có thể lập từ các số 0,1, 2, 3, 4 và 5 là: { 1 hoặc 2 hoặc 3 hoặc 4 hoặc 5} {} {} {} {} {} 5 . 65 = 38880 Số có 5 và 6 chữ số là: (64 – 1) + (5 . 65) = 1295 + 38880 = 40175 Bài tập áp dụng: Bài 1: Có bao nhiêu số lớn hơn 2000 có thể tạo thành khi sử dụng khi sử dụng các số 2, 3, 4, 5 nếu các số chỉ đƣợc dùng một lần ? Bài 2: Có bao nhiêu số lớn hơn 40000 có thể tạo thành khi sử dụng các số 0, 2, 3, 4, 5 nếu mỗi số chỉ đƣợc dùng một lần? Bài 3: X = {0,1,..,9} từ tập X có thể lập đƣợc: 3. Bao nhiêu số lẻ gồm 6 chữ số chia hết cho 9. 4. Bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ. Bài 4: Cho A = {0,1, ..., 5} có bao nhiêu số có 6 chữ số mỗi chữ số xuất hiện nhiều nhất một lần. Tính tổng tất cả các số đó. Bài 5: Dạng của số điện thoại ở Bắc Mỹ đƣợc qui định nhƣ sau: số điện thoại gồm 10 chữ số đƣợc tách ra thành một nhóm mã vùng gồm 3 chữ số, nhóm mã chi nhánh gồm 3 chữ số và nhóm mã máy gồm 4 chữ số. Vì những nguyên nhân kỹ thuật nên có một số hạn chế đối với một số con số. Ta giả sử, X biểu thị một số có thể nhận các giá trị từ 0…9, N là số 31 có thể nhận các chữ số từ 2…9, Y là các số có thể nhận các chữ số 0 hoặc 1. Hỏi theo hai dự án đánh số NYX NNX XXXX và NXX NXX XXXX có bao nhiêu số điện thoại đƣợc đánh số khác nhau ở Bắc Mỹ. Bài 6: Có 5 chữ số tự nhiên 1, 2, 3, 4, 5. Hỏi có bao nhiêu số có 3 chữ số đôi một khác nhau tạo thành từ 5 số đã cho? Dạng 2: Bài toán chọn vật, chọn người, cách sắp xếp. Ví dụ 5: Một phòng chờ có môt ghế với 7 chiếc: 1. Có bao nhiêu cách để 3 ghế đƣợc ngồi bởi 1 đàn ông, 1 phụ nữ và 1 trẻ em. 2. Có bao nhiêu cách để 1 phụ nữ, 1 trẻ em ngồi ở 2 ghế liền nhau. 3. Có bao nhiêu cách để tất cả 3 ghế đƣợc ngồi bởi 3 ngƣời liền nhau. Giải: 1. Số cách để 3 ghế đƣợc ngồi bởi 1 đàn ông ,1 phụ nữ và 1 trẻ em là: 7 P3 = 720 2. Tƣơng tự, số để 1 phụ nữ, 1 trẻ em ngồi ở 2 ghế liền nhau là: 6 P2 .2 ! = 60 3. Tƣơng tự, số cách để tất cả 3 ghế đƣợc ngồi bởi 3 ngƣời liền nhau là: 5 P1 .3 ! = 5 .3 ! = 30 Ví dụ 6: Tìm chính xác số cách sắp xếp 26 chữ cái trong bảng chữ cái trong một hàng nếu cho chỉ đúng 5 chữ cái đứng giữa x và y. Giải: {x #####y} {} {} {} .... {}: 26 - 7+1 = 20 Số cách là: 20 ! .2 .24C5 .5 ! hoặc 20 ! .2 .24P5 Ví dụ 7: Tìm số cách sắp xếp khác nhau của chữ cái PENCILS nếu: 1. E bên cạnh I. 2. Có 3 chữ cái giữa E và I. 32 Giải: 1. Số cách sắp xếp khác nhau của chữ cái PENCILS nếu E bên cạnh I là: 6 ! .2 ! = 1440 2. Số cách sắp xếp khác nhau của chữ cái PENCILS nếu có 3 chữ cái giữa E và I là: 3 ! .2 .5C3 .3 ! hoặc 3 ! .2 .5P3 = 720 Ví dụ 8: Có 12 học sinh trong một bữa tiệc 7 nam và 5 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh trong một hàng nếu: 1. Không có điều kiện gì ? 2. 5 nữ ngồi liền nhau. 3. Không có 2 nữ ngồi liền nhau. Giải: Ta kí hiệu 7 nam và 5 nữ nhƣ sau : 7 nam : {B1} {B2} {B3 } {B4} {B5} {B6} {B7} 5 nữ : {G1} {G2 }{G3}{G4}{G5 } 1. Số cách nếu không có điều kiện gì là: 12P12 = 12 ! 2. {G1 G2 G3 G4 G5 }{B1} {B2} {B3 } {B4} {B5} {B6} {B7} Số cách nếu 5 nữ ngồi gần nhau là: 5 ! .8 ! = 4838400 3. {B1} {B2} {B3 } {B4} {B5} {B6} {B7}       Nam:7 ! =5040  Nữ: 8P5 = 6720 {G1} {G2} {G3} {G4} {G5} Số cách nếu không có 2 nữ ngồi liên tiếp là: 7 ! .8P5 = 33868800 Ví dụ 9: Có bao nhiêu tổng số tiền khác nhau có thể tạo thành khi sử dụng tất cả các loại đồng tiền sau: 1 đồng 5 cent, 1 đồng 10 cent, 1 đồng 20 cent, 1 đồng 1 đô. Giải: Tổng số tiền khác nhau tạo thành khi sử dụng 1 đồng tiền bằng: 4C1 = 4 Tổng số tiền khác nhau tạo thành khi sử dụng 2 đồng tiền bằng: 33 4 C2 = 6 Tổng số tiền khác nhau tạo thành khi sử dụng 3 đồng tiền bằng: 4C3 = 4 Tổng số tiền khác nhau tạo thành khi sử dụng 4 đồng tiền bằng: 4C4 = 1  Tổng số tiền khác nhau có thể sử dụng một hoặc tất cả các đồng tiền bằng: 4 C1 . 4C2 . 4C3 . 4C4 = 15 . Lựa chọn một trong các khả năng: 5¢ Chọn hoặc 10¢ 20¢ Chọn hoặc 1$ Chọn hoặc không chọn: không chọn: không chọn: 2 lựa chọn 2 lựa chọn 2 lựa chọn Chọn hoặc không chọn: 2 lựa chọn  Tổng số lựa chọn khác nhau có thể (không gồm chọn tất cả 4 đồng tiền) bằng: (2 . 2 . 2 . 2) – 1 = 24 – 1 = 15 Ví dụ 10: 4 quân đƣợc lấy từ bộ bài 52 quân. Hỏi có thể có bao nhiêu tay chơi nếu: 1. Không có điều kiện gì thêm. 2. 4 quân đều là bích. 3. Chỉ 2 quân là bích. 4. 1 quân cơ, 1 quân bích, 2 quân tép. 5. ít nhất 1 quân là thẻ tranh 6. Cả 4 quân là những chất khác nhau. Giải: 1. Số tay chơi có thể nếu không có điều kiện gì bằng: C4  270725 52 13 2. Số tay chơi có thể nếu 4 quân đều là bích: C4  715 34 3. Số tay chơi có thể nếu 2 quân đều là bích: C2 .39C2  78.741  57798 13 4. Số tay chơi có thể nếu có 1 quân cơ, 1 quân bích, 2 quân tép: C1.13C1.13C2  13182 13 40 5. Số tay chơi có thể nếu không có 4 quân là thẻ tranh: C4  91390  Số tay chơi có ít nhất 1 quân là thẻ tranh: C4 . 40C4  270725  91390  179335 52 6. Số tay chơi có thể nếu cả 4 quân là những chất khác nhau: C1.13C1.13C1.13C1  134 13 Ví dụ 11: Một hội thảo gồm 4 ngƣời chọn từ một nhóm 10 ngƣời trong đó có 4 đàn ông và 6 phụ nữ, 3 phụ nữ trẻ tuổi. Tìm số cách chọn đội có thể lập nếu có: 1. 2 nữ và 2 nam. 2. ít nhất 1 nữ trẻ đƣợc chọn. Giải: 6 6 1. Số cách chọn đội nếu có 2 nữ và 2 nam là: C2 . C2  15.6  90 10 2. Số cách chọn nếu không có điều kiện gì là: C4 = 210 Số cách nếu không ai trong đó là nữ trẻ: C4  35 7  Số cách nếu ít nhất 1 nữ trẻ đƣợc chọn: C4  7C4  210  35  175 10 Ví dụ 12: Có bao nhiêu cách sắp xếp 3 quả bóng đỏ, 1 quả bóng xanh da trời, 1 xanh lá cây và 1 quả vàng trong một vòng tròn nếu lấy đúng 2 quả bóng đỏ cùng lúc. Giải: 35  Số cách nếu không có điều kiện gì bằng: (6  1)! 5!   20 3! 3!  Số cách nếu lấy cả 3 quả bóng đỏ cùng lúc bằng: (4 – 1)! = 3! = 6  Số cách nếu không lấy các quả bóng đỏ cùng lúc bằng: (3 – 2)! = 2! = 2  Số cách lấy đúng 2 quả bóng đỏ cùng lúc bằng: 20 – 6 – 2 = 12 Bài tập áp dụng: Bài 1: Có 20 học sinh (8 nữ trong đó có Lan, 12 nam trong đó có Nam và Tí). 1. Có bao nhiêu cách chọn ra một tổ 7 ngƣời trong đó có nhiều nhất 2 trong 3 bạn Tí, Nam và Lan. 2. Có bao nhiêu cách sắp xếp thành một hàng dọc sao cho Lan đứng đầu và các bạn nam luôn đứng cạnh nhau nhƣng Tí và Nam không đứng cạnh nhau. Bài 2: 3 nam và 4 nữ đƣợc ngồi trong một hàng. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu: 1. Không có điều kiện gì thêm ? 2. Nam và nữ ngồi so le. 3. 2 nữ khác nhau ngồi cạnh nhau. Bài 3: Có bao nhiêu cách phân phát 4 bản sao của một cuốn sách cho 6 ngƣời nếu: i. Không ai có nhiều hơn 1 bản sao của cuốn sách. ii. Một ngƣời có thể có bất kì số bản sao nào của cuốn sách. Lƣu ý rằng không cần quan tâm đến thứ tự phân phối các bản sao đó. Đ/S: i. 15 ii. 1296 Bài 4: Trên giá CD có 5 CD nhạc Quan Thoại khác nhau, 6 CD nhạc 36 Quảng Đông khác nhau và 4 CD nhạc Phúc Kiến khác nhau. Có bao nhiêu cách để chọn. i. 1 đĩa nhạc bất kì . ii. 1 CD nhạc tiếng Quan Thoại, 1 CD tiếng Quảng Đông, 1 CD tiếng Phúc Kiến. iii. 2 đĩa nhạc bằng 2 tiếng địa phƣơng bất kì. Chú ý: Thứ tự các đĩa CD đƣợc chọn không quan trọng. Đ/S: i. 15 ii. 120 iii. 74 Bài 5: Tìm cách sắp xếp các chữ cái khác nhau của từ “FLOWERS” nếu: i. Không có điều kiện gì? ii. Tất cả các nguyên âm đƣợc tách ra. Chú ý: Tất cả 7 chữ trong từ “FLOWERS” khác nhau. Đ/S: i. 5040 ii.3600 2.2. Các ví dụ và bài tập 2.2.1. Các ví dụ Ví dụ 1:Có 6 ngƣời xếp thành hàng để chụp ảnh. Hỏi có thể bố trí chụp bao nhiêu kiểu khác nhau? Giải: Mỗi kiểu ảnh là một hoán vị của 6 ngƣời. Do đó có 6! = 720 kiểu ảnh khác nhau có thể chụp. Ví dụ 2: Có thể nhận đƣợc bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp xếp lại các chữ cái của từ SUCCESS? Giải: Vì mỗi chữ cái của từ SUCCESS là nhƣ nhau nên câu trả lời không phải là số hoán vị của 7 chữ cái đƣợc. Từ này chứa 3 chữ S, 2 chữ C, 1 chữ U, 1 chữ E. để xác định số xâu có thể tạo ra đƣợc ta nhận thấy có: 37 7 C3 cách chọn 3 chỗ cho 3 chữ S, còn lại 4 chỗ. 4 C2 cách chọn hai chỗ cho hai chữ C, còn lại 2 chỗ. Có thể đặt chữ U bằng 2 C1 cách và 1C1 cách đặt chữ E vào xâu. Theo quy tắc nhân, số các xâu khác nhau có thể tạo đƣợc là: 7 C3. 4C2 . 2C1.1C1 = 420. Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách chia những xấp bài 5 quân cho mỗi một trong 4 ngƣời chơi từ một cỗ bài 52 quân? Giải: Chúng ta sẽ dùng quy tắc nhân để giải bài toán này. Trƣớc tiên ta thấy: 52 C5 cách.  Ngƣời đầu tiên có thể nhận 5 quân bài bằng  Ngƣời thứ hai có thể đƣợc chia 5 quân bài bằng 47 C5 cách, vì chỉ còn 47 quân bài. 42 C5 cách.  Ngƣời thứ ba có thể đƣợc nhận 5 quân bài bằng  Cuối cùng, ngƣời thứ tƣ nhận đƣợc 5 quân bài bằng Vì vậy, tổng cộng có: C5 . 47C5 . 42C5 .37C5  52 37 C5 cách. 52! cách chia. 5!5!5!5!32! 2.2.2. Bài tập áp dụng Bài 1: Tìm số cách khác nhau để sắp xếp các chữ của từ “ATTENTION” i. Trong một hàng. ii. Tạo thành một vòng tròn. Bài 2: Có bao nhiêu mã từ 3 chữ cái có thể tạo nên từ các chữ cái của từ “PARENT” ? 38 Đ/S: 120 Bài 3: Có bao nhiêu số có 4 chữ số có thể tạo thành từ các số 1 đến 9 nếu các số không lặp lại (sự lặp lại không đƣợc phép)? Đ/S: 3024 Bài 4: Tìm số cách sắp xếp khác nhau các chữ cái của từ “BIOLOGY” nếu: i. Không có điều kiện gì thêm? ii. Tất cả các nguyên âm cùng nhau? Đ/S: i. 2520 ii.360 Bài 5: Có 8 cuốn sách trên giá. Tím số cách có thể lấy đƣợc bất kì cuốn sách nào mà mỗi cuốn sách chỉ đƣợc lấy một lần. Đ/S: 255 Bài 6: Một đội có 15 thành viên đi du lịch bằng ô tô để tham dự một hội thảo. Trong 15 thành viên có 3 ngƣời lái ôtô riêng. Tìm số cách để có thể chia các thành viên đi bằng 3 ô tô, biết rằng mỗi ôtô có thể chở 5 ngƣời gồm cả ngƣời lái. Đ/S: 34650 Bài 7: Một nhóm sinh viên đƣợc chọn từ 9 sinh viên bao gồm 3 nữ và 7 nam. Tìm số cách tạo nhóm có thể nếu: i. Không nhiều hơn 1 nữ đƣợc chọn. ii. Ít nhất 1 nữ đƣợc chọn. Đ/S: i. 105 ii. 91 Bài 8: Tìm số cách chia 12 ngƣời thành: i.2 nhóm gồm 7 ngƣời và 5 ngƣời ii.Mỗi nhóm 6 ngƣời khác nhau iii.Mỗi nhóm 4 ngƣời khác nhau Đ/S: i. 792 ii. 462 iii. 5775 39 Bài 9: Có bao nhiêu số lớn hơn 2000 có thể tạo thành khi sử dụng khi sử dụng các số 2, 3, 4, 5 nếu các số chỉ đƣợc dùng một lần ? Đ/S: 12 Bài 10: Có bao nhiêu số lớn hơn 40000 có thể tạo thành khi sử dụng các số 0, 2, 3, 4, 5 nếu mỗi số chỉ đƣợc dùng một lần? Đ/S: 30 Bài 11: Một nhóm có 5 sinh viên có thể chọn thành 3 đội A, B, C. Đội A gồm 3 sinh viên, đội B gồm 3 sinh viên, đội C gồm 4 sinh viên. Tìm cách có thể chọn nhóm nếu: i. 2 sinh viên đội A, 1 sinh viên đội B, 2 sinh viên đội C. ii. Chỉ có sinh viên từ đội A và đội C. iii. Ít nhất 3 sinh viên đội C. iv. Ít nhất 1 sinh viên từ mỗi đội. Đ/S: i. 54 ii. 21 iii. 66 iv. 204 Bài 12: Tìm số cách sắp xếp khác nhau các chữ cái của từ “SENSATIONAL” nếu: i. Không có điều kiện gì? ii. Tất cả các nguyên âm cùng nhau. iii. Tất cả các phụ âm đƣợc tách ra. Đ/S: i. 4989600 ii. 75600 iii. 1080 Bài 13: Có bao nhiêu từ 3 chữ cái có thể đƣợc tạo nên từ các chữ cái của từ “SENSATIONAL”. Đ/S: 399 Bài 14: Có bao nhiêu từ 3 chữ cái có thể đƣợc tạo nên từ các chữ cái của từ “ATTENTION”. Đ/S: 151 Bài 15: Tìm số cách chọn 5 ngƣời đàn ông, 3 phụ nữ, 2 trẻ em có thể 40 ngồi vào một bàn tròn: i. Ghế giống hệt nhau nếu: a) Không có điều kiện gì? b) 1 trẻ em ngồi giữa 2 ngƣời phụ nữ. ii. Với số ghế nếu: a) Không có điều kiện gì? b) 1 trẻ em ngồi giữa 2 ngƣời phụ nữ. Đ/S: i. a) 362880 ii. a) 3628000 b)1440 b) 14440 Bài 16: Một nhóm 8 ngƣời gồm 4 cặp đã kết hôn: i.Nhóm đứng thành hàng. Tìm số cách sắp xếp khác nhau có thể nếu: a) Không có diều kiện gì? b) Phụ nữ đứng bên cạnh chồng của họ. ii.Nhóm đứng thành vòng tròn. Tìm số cách sắp xếp khác nhau có thể nếu: a) Không có điều kiện gì? b) Phụ nữ và đàn ông đứng luân phiên.Mỗi phụ nữ đứng bên cạnh chồng của họ và đàn ông và phụ nữ đứng luân phiên. Đ/S: i. a) 40320 ii. a) 5040 b) 384 b)144 41 KẾT LUẬN Trong các kì thi học sinh giỏi Quốc gia, thi toán sinh viên giữa các trƣờng đại học và cao đẳng các bài toán tổ hợp là một thử thách lớn cho thí sinh. Rất nhiều các bài toán hay và khó đƣợc giải một cách khá hay và ngắn gọn bằng cách sử dụng các kiến thức về tổ hợp. Trong khóa luận này em đã hệ thống hóa, phân tích diễn giải về 2 nguyên lý đếm cơ bản cũng nhƣ một số khái niệm của đại số tổ hợp có chứng minh. Đồng thời thống kê đƣợc một số dạng toán điển hình của nguyên lý đếm và ứng dụng nguyên lý đếm vào giải các bài toán về xác suất. Tuy nhiên do lần đầu tiến hành nghiên cứu khoa học, thời gian và kinh nghiệm còn hạn chế nên bản khóa luận không tránh khỏi những thiếu xót, em rất mong đƣợc sự đóng góp ý kiến của các thầy cô và các bạn để bài khóa luận của em đƣợc hoàn thiện hơn. 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. “A” Level Mathematics of Singapore. 2. Trần Thị Vân Anh, Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi Quốc gia môn Toán, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội (2010). 3. Lê Hông Đức, Lê Bích Ngọc, Lê Hữu Trí, Phương pháp giải toán tổ hợp, NXB ĐHQG Hà Nội (2003). 4. Trần Văn Hạo, Vũ Tuấn, Đào Ngọc Lam, Lê Văn Tiến, Vũ Viết Yên, Đại số và giải tích 11, Nhà xuất bản Giáo dục (2008). 5. Vũ Đình Hòa, Lý thuyết tổ hợp và các bài toán ứng dụng, NXB Giáo dục Hà Nội (2002). 6. Ngô Thúc Lanh, Tìm hiểu đại số tổ hợp phổ thông, NXB Giáo dục (1998). 7. Nguyễn Tô Thành, Nguyễn Đức Nghĩa, Giáo trình Toán rời rạc, NXB ĐHQG Hà Nội (2009). 43 [...]...  Số cách nếu 2 ngƣời phụ nữ không ngồi cạnh nhau bằng: 120 360 = 43200 3 Số cách nếu các cặp vợ chồng ngồi cạnh nhau và chỗ ngồi đƣợc đánh số bằng: (6 – 1)! 2 2 2 10 = 19200 M1  M6 M5 M2     M3  M4 26 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT 2.1 Một số bài toán sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân 2.1.1.Sử dụng quy tắc nhân để thực hiện bài toán Thực hiện các. .. lƣợng: 10 + Số cách lấy ra 5 quy n bất kì là C5  252 cách 6 + Số cách lấy ra 5 quy n Lý là C5  6 + Do số sách Toán ít hơn số lƣợng cần lấy nên số cách lấy ra 5 quy n đủ 2 loại là: 252 – 6 = 246 cách Sắp xếp: Lấy 5 quy n đem tặng 5 học sinh có 5! cách  Số cách tặng cần tìm là 246.5! = 29520 cách 2.1.2.Sử dụng quy tắc cộng để thực hiện bài toán Ta thực hiện theo các bƣớc sau: Bước 1: Phân tách các phƣơng... 2 tấm thẻ là một số bằng: Xác suất để “Rút đƣợc một thẻ chẵn và một thẻ lẻ” bằng: 5 C1 4C1 20 5 C1 C1  20  9   C2 36 9 5 4 29 9 C2 Xác suất để “Rút đƣợc hai thẻ đề chẵn” bằng C2  4 4 C2 6 1   C2 36 6 9 Xác suất để “Kết quả nhận đƣợc ghi trên 2 tấm thẻ là một số chẵn” 5 1 13   9 6 18 Theo qui tắc cộng xác suất, ta có: 2.1.3 Các dạng toán thường gặp Dạng 1 : Dạng bài toán lập số Ví dụ 1 Có bao... 1 nữ Giải: 12 3  Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ nhất có C4 C1  495 cách  Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ 2 có 8C4 2C1  140 4 1  Phân 4 nam và 1 nữ về xã thứ 3 có C4 C1  1 Vậy số cách phân công là: 495.140.1 = 69300 cách Bài 2: Một cô giáo có 4 quy n sách Toán và 6 quy n sách Lý khác nhau Lấy từ đó 5 quy n đủ cả 2 loại đem tặng cho 5 em học sinh mỗi em có một quy n Hỏi có bao nhiêu cách? 27 Giải: ... tất cả 26 cách chọn mỗi một trong ba chữ cái  Có 10 cách chọn cho mỗi chữ số Vì thế theo quy tắc nhân, nhiều nhất có: 26.26.26.10.10.10= 17 576 000 biển đăng ký xe Ví dụ 2:Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau có thể lập từ các chữ số 0, 2, 4, 6, 8 Giải: Số cần lập có dạng a1a2 a3 Ta có 4 cách chọn a1, vì a1  0 Ứng với mỗi cách chọn a1 có 4 cách chọn a2 Ứng với mỗi cách chọn a1, a2 có 3 cách chọn... 2: Nếu ta có: + n1 cách khác nhau để thức hiện H1 + Ứng với mỗi cách thực hiện xong H1 ta có n2 cách thực hiện H2 + Ứng với mỗi cách thực hiện xong H1, H2, ,Hk – 1 ta có nk cách thực hiện Hk Bước 3: Khi đó ta có tất cả n1.n2 nk cách thực hiện H Bài 1: (ĐH B- 2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 sinh viên gồm 12 nam và 3 nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội tình nguyện về giúp đỡ 3 xã miền... 126 + 140 = 294 cách Bài 2: Có 8 học sinh lớp A, 6 học sinh lớp B, 5 học sinh lớp C Chọn ngẫu nhiên 8 học sinh Tính xác suất để 8 học sinh đƣợc chọn thuộc vào không quá hai trong ba lớp Giải:  Xác suất để 8 học sinh đƣợc chọn là: 19 C8 phần tử 8  Số cách nếu 8 học sinh đƣợc chọn đều thuộc lớp A là: C8  1 14  Số cách nếu 8 học sinh đƣợc chọn thuộc lớp A và B là: C8  1 13  Số cách nếu 8 học sinh... cậu bé chiếm đƣợc chúng? Giải: Số cách bằng: 5P3 = 60 Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách có thể sắp xếp 10 ngƣời trong một hàng 1 7 ngƣời đƣợc chọn một lần 15 2 Tất cả 10 ngƣời đƣợc chọn một lần Giải: 1 Số cách bằng: 10P7 = 604800 2 Số cách bằng: 10P10 = 3628800 Ví dụ 4: Có bao nhiêu cách có thể: 1 1 giải nhất, 1 giải nhì, 1 giải ba và 1 giải tƣ đƣợc trao cho một lớp 20 học sinh 2 4 giải khuyến khích đƣợc trao... lập với nhau: H1, H2, ,Hk Bước 2: Nếu ta có: n1 cách khác nhau để thực hiện H1 n2 cách khác nhau để thực hiện H2 nk cách khác nhau để thực hiện Hk Bước 3: Khi đó ta có tất cả n1 + n2 + + nk cách để thực hiện công việc H Bài 1: Tổ một lớp 11A có 11 học sinh trong đó có 7 học sinh nam và 4 học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh có cả nam và nữ? Giải: TH1: 1 nam và 3 nữ, ta có: C1 C3  28 7... viên của trƣờng? Giải: Số cách chọn 10 sinh viên nam trong số 40 sinh viên nam của lớp là một tổ hợp chập 10 của 40 Do vậy có 40 C10 cách chọn Số cách chọn 10 sinh viên nữ trong 30 sinh viên nữ của lớp là một tổ hợp chập 10 của 30 Do vậy có  Theo quy tắc nhân, có 30 C10 cách chọn 30 C10 C10 cách chọn 20 sinh viên theo 40 yêu cầu Ví dụ 2: Có 3 ghế trong một hàng Hỏi có bao nhiêu cách để 5 cậu bé chiếm ... Các ví dụ 24 CHƢƠNG 2: ỨNG DỤNG QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN ĐỂ GIẢI CÁC BÀI TOÁN VỀ XÁC SUẤT 27 2.1 Một số toán sử dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân 27 2.1.1.Sử dụng quy tắc nhân để. .. muốn chọn đề tài: Ứng dụng quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải toán xác suất ” Nội dung đề tài gồm: Chƣơng Một số kiến thức sở Chƣơng Ứng dụng quy tắc đếm để giải toán xác suất Mục đích yêu cầu... sinh biết giải toán xác suất số kiểu tập quen thuộc mà chƣa biết sử dụng linh hoạt quy tắc cộng, quy tắc nhân để giải tập xác suất Tôi tìm hiểu tài liệu Toán học cách giải toán xác suất sau đọc