Phương pháp nghiên cứu khoa học BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG THPT BẮC BÌNH TỖ: TOÁN PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU KHOA HỌC ĐỀ TÀI: NGHIÊN CỨU SỬ DỤNG MÁY TÍNH CASIO-FX 570ES PLUS TRONG VIỆC HỖ TRỢ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bắc bình,ngày 8 tháng 12 năm 2014 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 1 Phương pháp nghiên cứu khoa học I. • • • • • Lí do chọn đề tài: Toán học là một môn khoa học cơ bản mang tính trừu tượng cao nhưng lại có ứng dụng rộng rãi và gần gũi trong mọi lĩnh vực đời sống xã hội. Đây là một môn học khó và khô khan đòi hỏi chúng ta phải có sự nỗ lực rất lớn để chiếm lĩnh tri thức. Dạy học sinh học toán không chỉ là cung cấp kiến thức cơ bản, giải bài tập trong sách giáo khoa, sách bài tập mà phải biết hướng dẫn cho học sinh các phương pháp chung để giải các dạng toán, giúp học sinh sáng tạo và phát triển tư duy của mình. Một trong những dạng toán khó thường gặp ở bậc phổ thông và kì thi đại học là giải phương trình vô tỷ. Dạng toán này đòi hỏi chúng ta phải có tầm nhìn bao quát, suy nghĩ theo nhiều hướng giải khác nhau mới có thể tìm được hướng giải nhanh chóng và chính xác nhất. Một trong những công cụ hỗ trợ đắc lực cho việc giải phương trình là máy tính bỏ túi. Tuy nhiên nhiều học sinh vẫn chưa khai thác được chức năng này của máy tính. Một trong những loại máy tính thông dụng nhất hiện nay là CASIO FX-570ES PLUS. Theo công văn 3125/BGDĐT-CNTT của Bộ Giáo Dục loại máy tính này được sử dụng trong tất cả các kì thi. Máy tính CASIO FX-570ES PLUS có những chức năng nổi trội hơn so với các loại máy tính khác là: ∗ ∗ ∗ II. • • Giải phương trình bậc 2 cho kết quả nghiệm ở dạng căn thức Đạo hàm tích phân, căn thức, lũy thừa máy tính CASIO FX-570ES PLUS ghi giống như trong sách giáo khoa. Tốc độ giải toán nhanh. Mục đích nghiên cứu. Đưa ra được các phơng pháp, cách giải phương trình vô tỉ nhanh chóng, chính xác và dễ áp dụng nhờ công cụ hỗ trợ đắc lực là máy tính bỏ túi. Qua các bài giải khái quát và cụ thể sẽ giúp học sinh tư duy tốt hơn, có tầm nhìn bao quát và có trong tay nhiều cách giải khác nhau, từ đó có thể hoàn thành tốt các bài toán giải phương trình vô tỷ và nhiều bài toán khác. Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 2 Phương pháp nghiên cứu khoa học III. Phạm vi nghiên cứu. Trong đề tài này chỉ nghiên cứu các dạng phương trình vô tỷ thường gặp ở các cấp bậc phổ thông, trong các kì thi tốt nghiệp và đại học. IV. Định nghĩa phương trình vô tỷ. Trong chương trình toán phổ thông, phương trình vô tỷ không được đưa vào sách giáo khoa một cách chính thức, tuy nhiên trong hầu hết các đề thi đại học- cao đẳng và thi Olympic toán thì phương trình vô tỷ là một dạng toán thường xuất hiện. Trong sách giáo khoa toán không có định nghĩa cụ thể cho phương trình vô tỷ, nhưng qua các bài toán và một số tài liệu tham khảo khác thì phương trình vô tỷ là những phương trình chứa căn thức. V. Kiến thức cần nắm. Ngoài các kiến thức cơ bản khi giải phương trình đại số bậc 1, bậc 2 ở phổ thông, học sinh cần nắm một số kĩ thuật giải phương trình vô tỷ thông dụng (đã được học trong bậc THPT và luyện thi đại học) như sau: - Đặt ẩn phụ đưa phương trình về dạng đơn giản hơn hoặc đưa về hệ phương trình đối xứng, đẳng cấp loại 1, 2. Các biến đổi đại số thường dùng như nâng lũy thừa, các phép tính khai triển và hằng đẳng thức. Kĩ thuật khảo sát hàm số và sử dụng các bất đẳng thức cơ bản như AM-GM, Cauchy Schwarz. Kĩ thuật nhân lượng liên hợp, tách và ghép hạng tử. Các kiến thức cơ bản về hàm liên tục, hệ thức Viete. VI. Chức năng của máy tính Khi giải phương trình vô tỷ, mục đích của chúng ta là tìm một cách giải logic để tìm tất cả nghiệm của phương trình chứ không phải chỉ tìm một nghiệm, cho nên máy tính chỉ được sử dụng như một công cụ hỗ trợ các tính toán phức tạp và dự đoán chứ không phải máy tính sẽ thực hiện giải các bài toán đưa ra. Tuy nhiên nếu biết khai thác triệt để các tính năng của máy tính thì ta không chỉ tìm được lời giải cho bài toán mà còn tìm được nhiều cách giải khác nhau, đồng thời có thể mở rộng và làm mới bài toán. Một số tính năng của máy tính: Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 3 Phương pháp nghiên cứu khoa học 1. Phím CALC: Khi nhập biểu thức đại số chứa biến, phím CALC sẽ hỏi giá trị biến và tính ra giá trị biểu thích ứng với giá trị biến ta vừa nhập. Phím chức năng này cho phép ta tính một biểu thức cồng kềnh với nhiều giá trị khác nhau chỉ với một lần nhập, tiết kiệm khoảng thời gian đáng kể. 2. Phím SHIFT CALC hay ta thường gọi là SOLVE: Nguyên tắc hoạt động của chức năng này là khi ta nhập một giá trị bất kì thì màn hình hiển thị ”X=?” thì bộ xử lý sẽ quay một hình tròn có tâm là điểm ta vừa nhập trên trục hoành, với bán kính lớn dần. Khi gặp giá trị gần nhất thỏa mãn thì máy sẽ dừng lại và hiển thị giá trị đó dưới dạng phân số tối giản hoặc số thập phân. Nếu trong một thời gian nhất định mà máy vẫn chưa tìm được nghiệm thì máy sẽ hiển thị giá trị gần nhất máy tìm được thỏa mãn phương trình với sai số hai vế là thấp nhất. L-R ở hàng thứ hai trên màn hình chính là sai số ở hai vế (thông 10 −6 thường sai số này rất bé khoảng trở xuống). 3. Chức năng TABLE: (MODE 7) Chức năng này cho phép hiển thị đồng thời các kết quả của một biểu thức trong đó các giá trị biến ta gán là cấp số cộng. Chức năng này cho phép ta nhìn tổng thể các giá trị của biểu thức, thuận lợi cho việc sử dụng tính liên tục và dấu của biểu thức để dự đoán khoảng chứa nghiệm một cách tiết kiệm thời gian. VII. CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỚI SỰ HỖ TRỢ CỦA MÁY TÍNH CASIO FX-570ES PLUS DẠNG 1: PHÂN TÍCH BIỂU THỨC THÀNH TÍCH CÁC NHÂN TỬ: ax 2 + bx + c = (dx + e) Ax 2 + Bx + C(*) Dạng: . ( a, b, c, d , e, A, B và C là các số đã biết ). Cơ sở toán học: Đặt điều kiện cho phương trình (*) xác định. Với điều kiện trên, bình phương 2 vế của (*) ta được: 2 (ax 2 + bx + c)2 − (dx + e) Ax 2 + Bx + C  = 0(**)   Giả sử: phương trình (**) có 2 nghiệm x1, x2 và x1.x2 = P1, x1 + x2 = S1 thì theo định lý Viete ta có x1 và x2 là nghiệm của phương trình X2 – S1X +P1 =0. Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 4 Phương pháp nghiên cứu khoa học Vế trái của (**) là một đa thức bậc 4 nên có thể phân tích thành tích của 2 tam thức bậc 2 nên (**) trở thành: (X2 –S1X +P1 )( X2 - S2X +P2) =0. Khi đó việc giải phương trình (*) đưa về giải hai phương trình bậc 2. Tìm nghiệm của hai phương trình trên, kết hợp với điều kiện ban đầu ta được nghiệm của phương trình (*). Máy tính CASIO sẽ giúp ta dễ dàng tìm ra 2 nghiệm x1, x2 và các hệ số của 2 tam thức bậc 2 cũng như giải 2 phương trình bậc 2 nói trên Ví dụ áp dụng: 10x 2 + 3x − 6 − 2(3x + 1) 2x 2 − 1 = 0(1) Giải phương trình sau: . Điều kiện của phương trình: Ta chia được cho 3x + 1 2x 2 − 1 ≥ 0  −3 − 249 − 2   2   ⇔ x∈ ; ; +∞ ÷ 10x 2 + 3x − 6 ∪ 20 2   2 ≥0    3x + 1  x= vì −1 3 không là nghiệm của phương trình ban đầu Phần 1: Tìm nghiệm. Bước 1: Đoán khoảng nghiệm. (10x 2 + 3x − 6) 2 − [2(3x + 1) 2x 2 − 1]2 = 0(1'). Với điều kiện trên (1) tương đương với MODE 7 Bấm (chọn TABLE). Màn hình hiển thị f(X)= ta nhập biểu thức Vào rồi nhấn dấu = Chú ý rằng chữ x trong biểu thức f(x) được nhập bằng tổ hợp phím ALPHA X. Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Nhấn - 1 0 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 5 Phương pháp nghiên cứu khoa học Tiếp theo nhấn Tiếp theo nhấn = = 1 màn hình hiện ra chữ End?. Nhấn màn hình hiện ra chữ Step? Nhấn 1 0 rồi nhấn = Khi đó máy hiện một bảng gồm các giá trị của x từ -10 đến 10. Cần chú ý tới hai giá trị của x liên tiếp giả sử là x1 và x2 (giả sử x1< x2) mà ứng với hai giá trị của x này ta được hai giá trị f(x1) và f(x2) trái dấu. Khi đó, phương trình sẽ có thể có nghiệm trong khoảng (x1; x2). Cơ sở toán học: Hệ quả định lý giá trị trung gian: Cho f là hàm số liên tục trên đoạn [a; b] . Nếu f(a). f(b) < 0 thì phương trình f(x) = 0 có nghiệm x ∈ (a; b). Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 6 Phương pháp nghiên cứu khoa học Giáo trình giải tích hàm một biến - TS. Nguyễn Cam – trang 53 Trong ví dụ này ta được nghiệm trong khoảng (1;2), (-1;1) và (-2;-1). Chú ý: Khi cho bước nhảy (Step?) càng nhỏ tức càng thu hẹp được khoảng nghiệm, bằng cách = = = 2 nhấn tiếp AC =1 C Ta được một bảng giá trị của f(x) từ 1 tới 2. 0 1 . 1 = Như vậy khoảng nghiệm hẹp hơn là (1.3; 1.4). Tương tự cho 2 khoảng nghiệm còn lại. - Khoảng nghiệm (-1; 1) có khoảng nghiệm hẹp hơn là (-0.9; -0.8) và (-0.8; 0.8). Khoảng nghiệm (-2; -1) có khoảng nghiệm hẹp là (-1.8; -1.7). Bước 2: Tìm nghiệm (10x 2 + 3x − 6) 2 − [2(3x + 1) 2x 2 − 1]2 = 0(1'). Trở lại màn hình soạn thảo nhập biểu thức “ Rồi nhấn SHIFT CALC ” ( SOLVE) Màn hình máy tính hiện “Solve for X”. Nhập x trong khoảng (1.3; 1.4) chẳng hạn như “1.35”. Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 7 Phương pháp nghiên cứu khoa học Màn hình hiện kết quả X= 1.392280956. Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn . SHIFT STO A Bước 3: Quay lại bước 2, nhập vào -0.8) , chẳng hạn “-0.85”. giá trị x trong khoảng (-0.9, 4 7 Màn hình hiện kết quả X= -0.820852384. Gán kết quả này vào phím B : . SHIFT STO B Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 8 Phương pháp nghiên cứu khoa học Tiếp tục thực hiện lại các bước trên với 2 khoảng nghiệm còn lại. Nhập x trong khoảng (-0.8; 0.8) chẳng hạn “ 0.75” Màn hình hiện kết quả X=0.7247448714. Gán kết quả này vào phím C: SHIFT STO C Nhập x trong khoảng (-1.8; -1.7) chẳng hạn “-1.75” Màn hình hiện kết quả X=-1.7247448714. Nhập kết quả này vào phím D: SHIFT STO D Phần 2: Tìm tam thức bậc 2. Bây giờ ta sẽ thử tìm các tam thức bậc 2 tạo từ các nghiệm trên. Nghĩa là ta cần tính tồng và tích của 2 nghiệm. Chú ý các nghiệm có phần thập phân giống nhau. Ở ví dụ này, tính A+B và AB. 4 7 Thu được A+B = , AB = −8 7 . Vậy A và B là nghiệm của phương trình 4 8 X2 − X − = 0 7 7 ⇔  2(1 + 15) A =  7   B = 2(1 − 15)  7 ( A được nhập bằng phím ALPHA A và B được nhập bằng ALPHA B ). Tương tự, tính C+D và C.D. Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 9 Phương pháp nghiên cứu khoa học Thu được C+D = -1, C.D= -5/4. Vậy C và D là nghiệm của phương trình  −1 + 6 C=  5  2 X2 + X − = 0 ⇔  4  C = −1 − 6  2 ( C được nhập bằng phím ALPHA C và D được nhập bằng ALPHA D ). Vậy: Với điều kiện trên (1) trở thành (10X 2 + 3X-6) 2 − (2(3X+1) 2X 2 − 1)2 = 0 4 8  5  ⇔  X 2 − X − ÷ X 2 + X − ÷ = 0 7 7  4  8  2 4 X − 7 X − 7 = 0 ⇔ X2 + X − 5 = 0  4  x =   x = ⇔  x =   x =  2(1 + 15) 7 2(1 − 15) 7 −1 + 6 2 −1 − 6 2 x= . So điều kiện ta loại nghiệm −1 − 6 2 . Kết luận Nghiệm của phương trình là: Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 10 Phương pháp nghiên cứu khoa học  2(1 + 15) x = 7   2(1 − 15) x = 7   −1 + 6 x = 2  Chú ý: Để rút ngắn thời gian nhập lại nhiều lần biểu thức f(x) ở bước 3, sau khi nhập biểu thức f(x) ở bước 2, ta nhấn sau thành nhấn = rồi tiếp tục nhấn các tổ hợp phím như trên và thay các lần nhập biểu thức ∆ Ở những bài mà bằng cách đoán nghiệm, ta không thể tìm được đủ 4 nghiệm cũng có thể sử dụng phương pháp này , sau khi biết được tam thức bậc 2 thứ nhất, ta sẽ tìm tam thức còn lại bằng cách chia đa thức. DẠNG 2: DÙNG BIỂU THỨC LIÊN HỢP Biến đổi phương trình về dang: A. (x –x0)g(x)=0 với x0 là nghiệm của phương trình. Cơ sở lý luận x 0 ∈ D ⇔ f (x 0 ) = 0 Ta biết x=x0 là nghiệm của phương trình f(x) nghiệm của đa thức P (x) thì P(x) = ( x - a)P1(x). .Mà theo định lý Bơzu nếu x = a là Từ đó ta có nhận xét : Nếu x = x0 là một nghiệm của phương trình f(x) = 0 thì ta có thể đưa phương trình f(x) = 0 về dạng (x - x0)f1(x) = 0 và khi đó việc giải phương trình f(x) = 0 quy về giải phương trình f1(x) = 0. Ta đã biết : an - bn = (a - b) ( an-1+ an-2b+....+ abn-2+ bn-1) gọi là hai biểu thức liên hợp của nhau. Việc xử dụng các biểu thức liên hợp để bỏ căn thức là một yếu tố quan trọng nhất trong việc sử dụng phương pháp nhân lượng liên hợp trong giải phương trình vô tỉ mà ta sẽ bắt đầu nghiên cứu từ các ví dụ cụ thể sau đây. VD: Giải phương trình: 8x + 5 + 2 4x 2 − 1 = 3 (1) Cách giải: Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 11 Phương pháp nghiên cứu khoa học Bước 1: Đặt điều kiên: D= 8x + 5 ≥ 0  2  4x − 1 ≥ 0  −3 −1  1   8 ; 2  ∪  2 ; +∞ ÷ 8x + 5 + 2 4x 2 − 1 − 3 = 0 ( 1′) Bước 2: Viết phương trình dưới dạng: Bước 3: Nhập vế trái của phương trình ( 1′) vào màn hình máy tính. Bước 4: Dùng chức năng có phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc gần đúng. Bấm máy hiện ra “Solve for X”, 1∈ SHIFT CALC Bấm (vì D) hoặc có thể chọn số khác. = 1 sẵn của máy tính để giải Đợi trong vài giây máy hiển thị kết quả là nghiệm đúng x= hoặc gần đúng của phương trình. Đối với bài này ta được nghiệm Bước 5: Giải bài này khi 1 2 . biết được 1 nghiệm của nó. Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 12 Phương pháp nghiên cứu khoa học x= Biết phương trình có 1 nghiệm 1 2 1 8. + 5 = 3 2 . Ta tính ( . Vậy biểu thức ( 2x − 1) nhân tử: sẵn nhân tử. 2 4x 2 − 1 = 2 ) 8x + 5 − 3 sẽ cho ( 2x + 1) ( 2x − 1) sau khi nhân lượng liên hợp. Còn biểu thức đã có Vậy lời giải bài toán như sau : ( 1) ⇔ 8x + 5 − 3 + 2 4x 2 − 1 = 0 4 ( 2x − 1) ⇔ + 2 ( 2x − 1) ( 2x + 1) 8x + 5 + 3 =0  2 2x − 1  ⇔ 2 2x − 1  + 2x + 1 ÷ = 0  8x + 5 + 3   2 2x − 1 + 2x + 1 = 0  ⇔  8x + 5 + 3  2x − 1 = 0   2 2x − 1 + 2x + 1 = 0(vô nghiêm)  ⇔  8x + 5 + 3  1  x = 2 (nhân) x= Vậy phương trình (1) có một nghiệm duy nhất 1 2 . Biến đổi phương trình về dạng: B. a(x-x1)(x-x2)g(x)=0 với x1, x2 là nghiệm của phương trình Ví dụ: Giải phương trình 3x 2 − x + 3 = 3x + 1 + 5x + 4 ( 2 ) Bước 1: Đặt điều kiện phương trình: 3x + 1 ≥ 0 −1  ⇔x≥ 5x + 4 ≥ 0 3 3x 2 − x + 3 ≥ 0  Bước 2: Đoán nghiệm của phương trình MODE 7 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 13 Phương pháp nghiên cứu khoa học Nhấn chọn TABLE). Màn hình hiển thị “f(X)=” nhập biểu thức “ 3x 2 − x + 3 − 3x + 1 − 5x + 4 Màn hình máy tính hiển thị chữ Start? Tiếp theo nhấn “ −1 2 ”vào rồi nhấn dấu . = ” Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ End?, nhấn “10” Tiếp theo nhấn “=” màn hình hiện ra chữ Step?, nhấn “ ” Tiếp theo nhấn “=”. Vậy ta được bảng gồm các giá trị của x từ −1 2 tới 10. Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 14 Phương pháp nghiên cứu khoa học Nhìn vào bảng giá trị ta thấy tại x=0 và x=1 thì ta nhận được giá trị bằng 0. Vậy x=0 và x=1 là hai nghiệm của phương trình. Bước 3: Tách ghép rồi nhân lượng liên hợp để có nhân tử chung là x(x-1). Ta thấy phương trình có sẵn là 3x2 nên cần thêm -3x nữa. Vậy ta được 3(x 2 − x) + 2x + 3 − 3x + 1 − 5x + 4 = 0 tiếp tục muốn sau khi nhân lượng liên hợp để mất đi số 1và số 4 trong cả hai căn thức thì chúng ta tách 2x+3=(x+1)+(x+2). Vậy ta được: 3x 2 − x + 3 − 3x + 1 − 5x + 4 = 0 ⇔ 3(x 2 − x) + (x + 1) − 3x + 1  + (x + 2) − 5x + 4  = 0 ⇔ 3(x 2 − x) + x2 − x x2 − x + =0 (x + 1) + 3x + 1 (x + 2) + 5x + 4   1 1 ⇔ (x 2 − x) 3 + + =0  (x + 1) + 3x + 1 (x + 2) + 5x + 4  x2 − x = 0 ⇔  1 1 3+ + = 0(vô nghiêm)  (x + 1) + 3x + 1 (x + 2) + 5x + 4 x = 0 ⇔ ( nhân) x = 1 Vậy phương trình có nghiệm là: x = 0 x = 1  DẠNG 3: DÙNG MÁY TÍNH ĐỂ ĐOÁN NGHIỆM VÀ BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỀ DẠNG HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 VD: Giải phương trình x 2 − 2x = 2 2x − 1 (dạng ax 2 + bx + c = k dx + e )(1) (a=1, b=-2, c=0, k=2, d=2, e=-1) Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 15 Phương pháp nghiên cứu khoa học Bây giờ công việc của chúng ta là đặt ần phụ y theo x sao cho có thể đưa phương trình (1) về dạng phương trình đối xứng loại 2. Ta cần xác định hệ số m, n hữu tỉ sao cho cách đặt: my + n = 2x − 1 (*) có thể đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng. Nhận xét hệ số a=1 => m=1. Vậy việc còn lại là ta cần xác định n nữa là xong. Bây giờ ta cần xác định lại mục đích của ta là đưa phương trình (1) về dạng hệ phương trình đối xứng x, y và hệ đó phải có nghiệm x=y. Điều này giúp ta xác định n một cách dễ dàng hơn. Ta tìm n dựa vào hệ thức (*) và nhận xét x=y. n = 2x − 1 − y = 2x − 1 − x => (với x là nghiệm của phương trình (1)). Nếu tìm được nghiệm x sao cho n là số hữu tỉ thì bài toán coi như được giải quyết xong. Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình 1  x ≥ ⇔x≥2 2   x 2 − 2x ≥ 0 x 2 − 2x − 2 2x − 1 = 0(1') Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng Bước 3: Nhập vế trái của (1’) vào màn hình của máy tính Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc gần đúng. Nhấn SHIFT thể chọn số khác. CALC máy hiện ra “Solve for X” nhấn = 2 (vì 2∈ D) hoặc có Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 16 Phương pháp nghiên cứu khoa học Màn hình hiện kết quả X=3.414213562. Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn Tính 2A − 1 − A . Ta nhập “ 2A − 1 − A SHIFT STO A ” vào màn hình máy tính rồi nhấn dấu “=”. Màn hình hiện ra “-1”. Vậy ta được n=-1. Đặt y − 1 = 2x −1(**) ⇒ y 2 − 2y + 1 = 2x − 1  x 2 − 2x = 2(y − 1) ⇒ 2  y − 2y = 2(x − 1) ⇒ x 2 − y 2 + 2(x − y) = 2(y − x) ⇔ (x − y)(x − y + 4) = 0  x − y = 0(2) ⇔  x − y + 4 = 0(3) Thế (2) vào (**) ta được Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 17 Phương pháp nghiên cứu khoa học x − 1 = 2x −1 1  x ≥ ⇔ 2  x 2 − 4x + 2 = 0 1  x ≥ 2 ⇔ x = 2 ± 2  ⇔ x = 2± 2 Thế (3) vào (**) ta được x + 3 = 2x − 1  x ≥ −3 ⇔ 2  x + 4x + 10 = 0(vô nghiêm) So điều kiện ban đầu x≥2 ta được nghiệm của phương trình là Vậy nghiệm của phương trình là x = 2+ 2 x = 2+ 2 . DẠNG 4: DÙNG MÁY TÍNH ĐOÁN NGHIỆM VÀ ĐƯA PHƯƠNG TRÌNH VỀ DẠNG KHẢO SÁT HÀM SỐ Kế đến chúng ta cùng tìm hiểu phương pháp tiếp theo sử dụng một công cụ hỗ trợ mạnh nhất đối với học sinh trung học phổ thông – khảo sát hàm số. Cơ sở toán học: Dựa trên cơ sở tính đơn điệu của hàm số ta có thể tìm được nghiệm phương trình vô tỷ Định lí 1: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì số nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D. Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k. Do f(x) đồng biến nên * x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 18 Phương pháp nghiên cứu khoa học Vậy pt f(x) = k có nhiều nhất là một nghiệm. Chú ý: * Từ định lí trên, ta có thể áp dụng vào giải phương trình như sau: Bài toán yêu cầu giảiphương trình: F(x) = 0. Ta thực hiện các phép biến đổi tương đương đưa phương trình về dạng f(x) = k hoặc f(u) = f(v) ( trong đó u = u(x), v = v(x)) và ta chứng minh được f(x) là hàm luôn đồng biến (nghịch biến) Nếu là phương trình: f(x) = k thì ta tìm một nghiệm, rồi chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Nếu là phương trình: f(u) = f(v) ta có ngay u = v giải phương trình này ta tìm được nghiệm. * Ta cũng có thể áp dụng định lí trên cho bài toán chứng minh phương trình có duy nhất một nghiệm. Định lí 2: Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và hàm số y = g(x) luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến ) và liên tục trên D thì số nghiệm trên D của phương trình: f(x) = g(x) không nhiều hơn một. Chứng minh: Giả sử x = a là một nghiệm của pt: f(x) = g(x), tức là f(a) g(a).Ta giả sử f(x) đồng biến còn g(x) nghịch biến. *Nếu x > a suy ra f(x) > f(a) = g(a) > g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x > a. *Nếu x < a suy ra f(x) < f(a) = g(a) < g(x) dẫn đến phương trình f(x) = g(x) vô nghiệm khi x < a. Vậy pt f(x) = g(x) có nhiều nhất một nghiệm. Chú ý: Khi gặp phương trình F(x)=0 và ta có thể biến đổi về dạng f(x)=g(x), trong đó f(x) và g(x) khác tính đơn điệu. Khi đó ta tìm một nghiệm của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất. Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y ) Ví dụ: Giải phương trình: x 3 − 3x + 1 = 8 − 3x 2 Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình (1) −2 6 2 6 ≤x≤ 3 3 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 19 Phương pháp nghiên cứu khoa học Bước 2: Viết lại phương trình dưới dạng x 3 − 3x + 1 − 8 − 3x 2 = 0 (1’) Bước 3: Nhập vế trái của (1’) vào màn hình của máy tính Bước 4: Dùng chức năng có sẵn của máy tính để giải phương trình trên, tìm nghiệm đúng hoặc gần đúng. SHIFT Nhấn số khác ), nhấn “=”. 3 2 CALC màn hình máy tính hiện ra “Solve for X”, nhấn “ ” ( có thể chọn Màn hình hiện kết quả X1 = 1.618033989. Gán kết quả này vào phím A bằng cách nhấn SHIFT STO A SHIFT CALC Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 20 Phương pháp nghiên cứu khoa học Rồi tiếp tục nhập vế trái của (1’) vào màn hình máy tính, nhấn hình hiện ra “solve for X”, khác ) , nhấn “=”. màn nhấn “ −3 2 ” ( có thể chọn số Màn hình hiện thị kết quả X2 = -0.618033988. Gán kết quả này vào phím B bằng cách nhấn . SHIFT STO B Bây giờ ta sẽ thử tìm tam thức bậc 2 tạo từ hai nghiệm trên. Nghĩa là ta cần tính A+B và AB. Thu được A+B=1, AB= -1. Điều đó đã chứng tỏ A, B là hai nghiệm của phương trình X2 – X- 1=0 Ta viết phương trình đã cho lại thành Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 21 Phương pháp nghiên cứu khoa học x 3 − 3x + 1 − 8 − 3x 2 = 0 ⇔ x 3 − 3x + 1 − (px + q) + (px + q) − 8 − 3x 2 = 0 ⇔ x 3 − 3x + 1 − (px + q) + ⇔ x 3 − (3 + p)x + 1 − q + (px + q) 2 − (8 − 3x 2 ) px + q + 8 − 3x 2 =0 (p 2 + 3)x 2 + 2pqx + q 2 − 8 px + q + 8 − 3x 2 =0 (p 2 + 3)x 2 + 2pqx + q 2 − 8 = a(x 2 − x − 1) 2 Đến đây để xuất hiện nhân tử (x – x -1) thì số. Chọn a=4 thì ta được một cặp (p,q) thỏa mãn là (p,q)=(-1,2). với a là một hệ Lời giải: x 3 − 3x + 1 + 4 x2 − x −1 =0 2 − x + 8 − x2 4(x 2 − x − 1) ⇔ (x 2 − x − 1)(x + 1) + =0 2 − x + 8 − x2 4 ⇔ (x 2 − x − 1)(x + 1 + )=0 2 − x + 8 − x2 x 2 − x − 1 = 0  ⇔ (I) 4 =0 x + 1 + 2 − x + 8 − x2  f (x) = 2 − x + 8 − 3x 2 Xét . Ta có: f '(x) = −1 − 3x 8 − 3x 2 3x f '(x) = 0 ⇔ −1 − = 0 ⇔ 8 − 3x 2 = −3x 2 8 − 3x  −2 6 2 6 0 3 3  6  ⇔  −3x > 0 ⇔ x < 0 ⇔x=− 3 8 − 3x 2 = 9x 2  6  x = ±  3 2 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 22 Phương pháp nghiên cứu khoa học Ta có bảng biến thiên như sau (để đơn giản ta dùng chức năng của phím CALC khi tính các giá trị trong bảng này): x −2 6 3 f’(x) f(x) − + + 6 3 0 2 6 3 - - 6+4 6 3 6+2 6 3 6−2 6 3 0 < f (x) ≤ Suy ra 6+4 6 3 Như vậy: x +1+ 4 2 − x + 8 = 3x 2 = x +1+ 4 −2 6 12 ≥ +1+ >0 f (x) 3 6+4 6 Vậy x 2 − x − 1 = 0 ( I ) ⇔  4 = 0(vô nghiêm) x + 1 + 2 − x + 8 − x2  ⇔ x2 − x − 1 = 0 ⇔x= 1± 5 (nhân) 2 x= Kết luận nghiệm của phương trình là 1± 5 2 Nhận xét: Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 23 Phương pháp nghiên cứu khoa học Phương pháp khảo sát hàm số cho phép chúng ta đánh giá tập giá trị của biểu thức một cách chặt chẽ nhất. Tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi những tính toán cồng kềnh vì những số vô tỷ chứa căn mà nếu không có máy tính thì chúng ta khó mà tính toán dễ dàng. Như vậy với tổ hợp phím SHIFT CALC và phím CALC của máy tính giúp đỡ chúng ta rất nhiều trong quá trình tìm nghiệm, tính các giá trị trong bảng biến thiên một cách chính xác nhất và nhanh nhất. DẠNG 5: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ DỰA VÀO PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC HÓA Lượng giác hóa phương trình theo một số dấu hiệu chủ yếu sau đây Nếu phương trình xuất hiện x2+ y2=a thì đặt  x = asint   y =acost Đặt ẩn phụ lượng giác tùy theo điều kiện của phương trình và đặc thù của phương trình (đặc ẩn phụ để có thể áp dụng được công thức lượng giác) x ≤a Nếu thì có thể đặt x=asint, x= x ≥a Nếu thì có thể đặt a sin t  −π π  t∈ ;   2 2 , t ∈ [ 0; π] hoặc x=acost,  −π π  t ∈  ; ,t ≠ 0  2 2 x= hoặc a cost t ∈ [ 0; π] , t ≠ , π 2 Ta xét ví dụ sau: x 3 − 3x = x + 2 Lời giải. Điều kiện: +Nếu x>2 x ≥ −2 . thì x 3 − 3x = x ( x 2 − 3) > x > 2x = x + x > x + 2 . Vậy x>2 không thỏa mãn phương trình. Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 24 Phương pháp nghiên cứu khoa học Do đó để giải ta chỉ cần xét −2 ≤ x ≤ 2 . Sử dụng chức năng TABLE và SHIFT SLOVE của máy ta thu được nghiệm x=2 ta còn được hai nghiệm vô tỷ khác là x=-1,618033989 và x= -0,445041867. Sử dụng chức năng SHIFT STO để gán 2 nghiệm của phương trình trên vào A,B rồi tính A+B, AB ta đều thu được hai số vô tỷ. Như vậy ý định dùng phương pháp tách có vẻ không khả quan mấy. x ∈ [ −2,2] Ta sẽ đi tìm phương pháp khác. Để ý Khi đó, ta đặt x = 2cos t nếu lấy chia 2 ta nghĩ ngay đến lượng giác. t ∈ [ 0, π] , điều kiện . Thay vào phương trình đã cho ta được 8cos3 t − 6cos t = 2 ( 1 + cos t ) ⇔ 4 cos3 t − 3cos t = cos t   t = 3t = 2 + k2π t ⇔ cos3t = cos ⇔  ⇔ 2 t = 3t = − t + k2π 2   k4π 5 k4 π 7 t = 0, t = t ∈ [ 0, π ] Do x nên chỉ lấy các nghiệm t 2 (k ∈ ¢ ) 4π 4π ,t = 5 7 x = 2, x = 2cos Phương trình đã cho có ba nghiệm . 4π 4π , x = 2cos 5 7 . Ví dụ 2: Giải phương trình sau 1 − x2 = x 16x − 12x 2 + 1 4 Lời giải. Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 25 Phương pháp nghiên cứu khoa học x ≤1 Từ điều kiện và x≠± x ≤1 túi ta suy ra 16x 4 − 12x 2 + 1 ≠ 0 sử dụng chức năng giải phương trình trong máy tính bỏ 3± 5 8 và . x = cos t, t ∈ [ 0; π] , x ≠ ± 3± 5 8 Ta đặt . Thay vào phương trình đã cho ta được 1 − cos2 t = cos t 16cos t − 12 cos2 t + 1 4 ⇔ sin t ( 16cos4 t − 12cos 2 t ) = cos t 2 ⇔ sin t 16 ( 1 − sin 2 t ) − 12 ( 1 − sin 2 t ) + 1 = cos t   ⇔ 16sin 5 t − 20sin 3 t + 5sin t = cos t ⇔ sin 5t = cos t π  ⇔ sin5t = sin  − t ÷ 2  π kπ   t = 12 + 3 ⇔ ( k ∈¢)  t = π + kπ  8 2 t ∈ [ 0, π ] Do nên chỉ lấy các nghiệm. Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 26 Phương pháp nghiên cứu khoa học x = cos Vậy π π 5π 3π 5π , x = cos , x = cos ,x = cos ,x = cos 12 8 12 4 8 Nhận xét: Tuy máy tính bỏ túi không được áp dụng phần lớn ở đây như các phương pháp trên, nhưng vẫn đóng vai trò quan trọng trong việc đoán nghiệm, xử lý nghiệm và thử lại. Phương pháp lượng giác hóa cho ta những biến đổiàiđơn giản đồng thời khi bài toán giải được bằng phương pháp này thì khó giải được bằng các phương pháp khác (do đặc thù của hàm số lượng giác). Bài tập áp dụng Giải các phương trình sau 1. 3x+1 − 6 − x + 3x 2 − 14x-8=0 4x+1 − 3x-2 = 2. 3. 4. x+3 5 x 5 + x 3 − 1 − 3x + 4 = 0 3 − x − x2 − 2 + x − x2 = 1 (x + 3) 2x 2 + 1 = x 2 + x + 3 5. x+3 = 6. 1 7 x− +5 2 2x (x + 3) x 2 + x + 2 = x 2 + 3x+4 7. x2 + 1 = − x 2 + 1 (x 2 + 1) 2 + 2x 2x(1-x 2 ) 8. Tài liệu tham khảo: Sách hướng dẫn sử dụng máy tính Casio FX-570ES Plus Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 27 Phương pháp nghiên cứu khoa học Chuyên đề phương trình – hệ phương trình – Diễn đàn Mathscope.org Tài liệu về phương trình vô tỷ của thầy Trần Phương. Tài liệu về phương trình vô tỷ của thầy Trần Xuân Bang- THPT Chuyên Quảng Bình. Giáo trình giải tích hàm một biến của TS Nguyễn Cam. Chú ý: Các phương pháp trên cũng có thể áp dụng cho loại máy tính CASIO FX-570ES, CASIO FX-570MS… Tuy nhiên ở các bước giải phương trình bậc 2 ta phải giải bằng tay vì các loại máy tính trên không thể hiển thị kết quả dưới dạng căn thức. Mục lục: Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 28 Phương pháp nghiên cứu khoa học Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX-570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 29 [...]... 8 Tài liệu tham khảo: Sách hướng dẫn sử dụng máy tính Casio FX- 570ES Plus Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 27 Phương pháp nghiên cứu khoa học Chuyên đề phương trình – hệ phương trình – Diễn đàn Mathscope.org Tài liệu về phương trình vô tỷ của thầy Trần Phương Tài liệu về phương trình vô tỷ của thầy Trần Xuân Bang- THPT Chuyên Quảng Bình Giáo trình. .. trình giải tích hàm một biến của TS Nguyễn Cam Chú ý: Các phương pháp trên cũng có thể áp dụng cho loại máy tính CASIO FX- 570ES, CASIO FX- 570MS… Tuy nhiên ở các bước giải phương trình bậc 2 ta phải giải bằng tay vì các loại máy tính trên không thể hiển thị kết quả dưới dạng căn thức Mục lục: Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 28 Phương pháp nghiên cứu. .. 5 7 x = 2, x = 2cos Phương trình đã cho có ba nghiệm 4π 4π , x = 2cos 5 7 Ví dụ 2: Giải phương trình sau 1 − x2 = x 16x − 12x 2 + 1 4 Lời giải Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 25 Phương pháp nghiên cứu khoa học x ≤1 Từ điều kiện và x≠± x ≤1 túi ta suy ra 16x 4 − 12x 2 + 1 ≠ 0 sử dụng chức năng giải phương trình trong máy tính bỏ 3± 5 8 và x... = 1 Vậy phương trình có nghiệm là: x = 0 x = 1  DẠNG 3: DÙNG MÁY TÍNH ĐỂ ĐOÁN NGHIỆM VÀ BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ VỀ DẠNG HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 2 VD: Giải phương trình x 2 − 2x = 2 2x − 1 (dạng ax 2 + bx + c = k dx + e )(1) (a=1, b=-2, c=0, k=2, d=2, e=-1) Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 15 Phương pháp nghiên cứu khoa học Bây giờ công việc của... Bấm máy hiện ra “Solve for X”, 1∈ SHIFT CALC Bấm (vì D) hoặc có thể chọn số khác = 1 sẵn của máy tính để giải Đợi trong vài giây máy hiển thị kết quả là nghiệm đúng x= hoặc gần đúng của phương trình Đối với bài này ta được nghiệm Bước 5: Giải bài này khi 1 2 biết được 1 nghiệm của nó Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 12 Phương pháp nghiên cứu. .. Cách giải: Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 11 Phương pháp nghiên cứu khoa học Bước 1: Đặt điều kiên: D= 8x + 5 ≥ 0  2  4x − 1 ≥ 0  −3 −1  1   8 ; 2  ∪  2 ; +∞ ÷ 8x + 5 + 2 4x 2 − 1 − 3 = 0 ( 1′) Bước 2: Viết phương trình dưới dạng: Bước 3: Nhập vế trái của phương trình ( 1′) vào màn hình máy tính Bước 4: Dùng chức năng có phương trình. .. + 2 Lời giải Điều kiện: +Nếu x>2 x ≥ −2 thì x 3 − 3x = x ( x 2 − 3) > x > 2x = x + x > x + 2 Vậy x>2 không thỏa mãn phương trình Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 24 Phương pháp nghiên cứu khoa học Do đó để giải ta chỉ cần xét −2 ≤ x ≤ 2 Sử dụng chức năng TABLE và SHIFT SLOVE của máy ta thu được nghiệm x=2 ta còn được hai nghiệm vô tỷ khác... nghiệm của phương trình trên D: f(x) = k không nhiều hơn một và f(x) = f(y) khi và chỉ khi x = y với mọi x,y thuộc D Chứng minh: Giả sử phương trình f(x) = k có nghiệm x = a, tức là f(a) = k Do f(x) đồng biến nên * x > a suy ra f(x) > f(a) = k nên phương trình f(x) = k vô nghiệm Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 18 Phương pháp nghiên cứu khoa học... của phương trình và chứng minh đó là nghiệm duy nhất Định lí 3: Nếu hàm số y=f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên D thì f(x) > f(y) nếu x > y (hoặc x < y ) Ví dụ: Giải phương trình: x 3 − 3x + 1 = 8 − 3x 2 Bước 1: Đặt điều kiện của phương trình (1) −2 6 2 6 ≤x≤ 3 3 Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 19 Phương pháp nghiên cứu. .. 0 (vô nghiêm) x + 1 + 2 − x + 8 − x2  ⇔ x2 − x − 1 = 0 ⇔x= 1± 5 (nhân) 2 x= Kết luận nghiệm của phương trình là 1± 5 2 Nhận xét: Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS trong việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 23 Phương pháp nghiên cứu khoa học Phương pháp khảo sát hàm số cho phép chúng ta đánh giá tập giá trị của biểu thức một cách chặt chẽ nhất Tuy nhiên phương pháp này đòi hỏi những tính ... dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 28 Phương pháp nghiên cứu khoa học Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 29 ... 2x(1-x ) Tài liệu tham khảo: Sách hướng dẫn sử dụng máy tính Casio FX- 570ES Plus Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ 27 Phương pháp nghiên cứu khoa... cách giải khác nhau, từ hoàn thành tốt toán giải phương trình vô tỷ nhiều toán khác Nghiên cứu sử dụng máy tính CASIO FX- 570ES PLUS việc hỗ trợ giải phương trình vô tỷ Phương pháp nghiên cứu khoa