SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TỈNH TRƯỜNG THPT VÙNG CAO VIỆT BẮC CHUYÊN ĐỀ: VẬN DỤNG ĐỊNH LUẬT VẠN VẬT HẤP DẪN VÀ BA ĐỊNH LUẬT KEPLER GIẢI CÁC BÀI TOÁN THIÊN VĂN HỌC Tác giả (Nhóm tác giả): Tổ Vật lý Trường THPT Vùng cao Việt Bắc I. LÝ DO CHON ĐỀ TÀI Trong chương trình phổ thông phần kiến thức về Thiên văn học mới chỉ được dành một thời lượng rất ít, phần kiến thức được trình bày chủ yếu là kiến thức lí thuyết. Để giúp người học thông hiểu kiến thức Thiên văn học thì bên cạnh giờ học lí thuyết phải luôn song song với các giờ bài tập. Qua việc tìm hiểu, phân tích, giải bài tập sẽ giúp cho người học tự mình rút ra được những điều bổ ích, sửa chữa được những nhận thức còn lệch lạc về một khía cạnh nào đó khi tiếp thu kiến thức lý thuyết và giúp hiểu sâu hơn những kiến thức này. Do vậy tôi đã chọn đề tài: Vận dụng định luật vạn vật hấp dẫn và ba định luật Kepler giải các bài toán Thiên văn học. II. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Định luật vạn vật hấp dẫn Hai chất điểm bất kì luôn hút nhau một lực tỉ lệ thuận với tích hai khối lượng và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Biểu thức: Với: m1; m2 là khối lượng của hai chất điểm (kg) r: khoảng cách giữa hai chất điểm (nếu chất điểm có hình cầu thì r được tính từ tâm của cầu nọ đến tâm của cầu kia) (m) G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 : hằng số hấp dẫn 2. Ba định luật Kepler a) Định luật 1: Các hành tinh chuyển động xung quanh P Mặt trời theo quỹ đạo elip mà Mặt trời nằm tại một trong V hai tiêu điểm của elip quỹ đạo. Biểu thức: r = a • F2 • O Hình 1 1 • F1 H C với r = F1H p là thông số của elip, p = F1P ϕ là góc cận điểm thực tức là góc hợp bởi bán kính vectơ của hành tinh r và bán kính vectơ tại cận điểm rc. b) Định luật 2: Bán kính vectơ của mỗi hành tinh quét được những góc bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau. Biểu thức: c) Định luật 3: Bình phương chu kì chuyển động của các hành tinh quanh Mặt trời tỉ lệ với lập phương bán trục lớn của quỹ đạo elip. Biểu thức: Với: T: chu kì chuyển động của các thiên thể G = 6,67.10-11 Nm2/kg2 : hằng số hấp dẫn M, m: lần lượt là khối lượng của Mặt trời và hành tinh a: bán trục lớn của quỹ đạo elip. chú ý: Tại cận điểm rc = a(1 – e) Tại viễn điểm rv = a(1 + e) e: Tâm sai của elip; e = b: bán trục nhỏ của elip; b2 = p.a C= Độ dẹt của elip: ε = 3. Quan hệ giữa vận tốc và các thông số quỹ đạo - Quỹ đạo hình tròn: e = 0; r = a với K = G(m + M); r là bán kính quỹ đạo - Quỹ đạo elip: e < 1; p = a(1 – e2) - Quỹ đạo parabol: e = 1 - Quỹ đạo hypebol: e >1, p = a(e2 – 1) 2 III. BÀI TẬP Bài 1 Một vệ tinh chuyển động quanh Trái đất theo quỹ đạo elip. Cho khoảng cách và vận tốc của vệ tinh tại cận điểm quỹ đạo là rc và vc. Tìm khoảng cách và vận tốc của vệ tinh đó tại viễn điểm quỹ đạo là rv và vv. Giải: Vì vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo elip nên ta có: rc = a(1 – e) (1) . (2) a) Khoảng cách của vệ tinh ở viễn điểm quỹ đạo Từ phương trình (1) => e = 1 Từ phương trình (2) => a = (3) mà rv = a(1 + e) => rv = 2a – rc = 2 - rc (4) b) Vận tốc tại viễn điểm Thay (3) và (4) vào ta được: = Bài 2 Tính phần bổ xung vận tốc tối thiểu để một vệ tinh đang ở trên quỹ đạo cách bề mặt Trái đất 230km đi tới cận điểm quỹ đạo của mặt trăng? Bỏ qua lực hấp dẫn của Mặt trăng. Biết bán trục lớn quỹ đạo Mặt trăng là 384000km và tâm sai quỹ đạo mặt trăng e =. Giải Vệ tinh chuyển động tròn xung quanh trái đất với vận tốc: v1 = Với K = GM; M = 6.1024kg r = (6400 + 230) = 6630km v1 = 0,6km/s Cận điểm quỹ đạo Mặt trăng: r’ = a(1 – e) Với a = 384000km; e= => r’ = 362,6667km 3 Để vệ tinh đi tới cận điểm quỹ đạo của mặt trăng thì nó phải chuyển động theo quỹ đạo elip với vận tốc tại cận điểm: Với a’ = => vc = 10,9km/s Vậy cần bổ xung cho vệ tinh vận tốc : v = vc – v1 = 10,3 km/s Bài 3 Dựa vào đặc điểm nhìn thấy của Thủy tinh K • và Kim tinh, tính khoảng cách từ chúng tới Mặt •T trời và chu kì chuyển động của chúng. biếtĐ• •M khoảng cách từ Trái đất tới Mặt trời bằng một đơn vị thiên văn và chu kì chuyển động quanh mặt trời bằng một năm. Coi các hành tinh chuyển Hình 2 động quanh mặt trời theo quỹ đạo tròn. Giải Kí hiệu: Trái đất: Đ; (hình 2); Kim tinh: K; Thủy tinh: T; Mặt trời: M Dựa vào chuyển động nhìn thấy của Kim tinh và Thủy tinh ta có: = 480; = 280; RĐ = 6400km = ĐM RK = KM = = ĐM.sin480 = 4756,1(km) RT = ĐM .sin280 = 3004,6 (km) * Chu kì chuyển động của Kim tinh Dựa vào định luật ba Kepler có: => TK = 223,8 (ngày) * Chu kì chuyển động của Thủy tinh => TT = 117,3 (ngày) Bài 4 Một vệ tinh nhân tạo chuyển động quanh Trái đất theo quỹ đạo elip có tâm sai e, bán trục lớn a và chu kì T. a) Tìm vận tốc dài của vệ tinh ở cận điểm và viễn điểm. So sánh độ lớn hai vận tốc ấy. b) Cho e = 0,2; a = 10.000km, RĐ = 6370km. Tính khoảng cách gần nhất và xa nhất từ vệ tinh đến trái đất Giải a) Giả sử trái đất ở điểm F1 của quỹ đạo elip của vệ tinh nhân tạo. 4 => Bán kính vectơ của vệ tinh: Tại cận điểm: rc = a(1- e) Tại viễn điểm: rv = a(1 + e) => Vận tốc dài của vệ tinh ở cận điểm Theo định luật 3 kepler: => => => vc = Vận tốc dài của vệ tinh tại viễn điểm = G(M + m) => vv = *So sánh độ lớn hai vận tốc vc > v v b) Khoảng cách gần nhất và xa nhất từ vệ tinh đến mặt đất Xa nhất tại viễn điểm với rv = RĐ +hv => hV = rv - RĐ = a(1 + e) – RĐ = 5630(km) Gần nhất tại cận điểm: rc = RĐ +hc => hc = rc - RĐ = a(1 - e) – RĐ = 1630(km) Bài 5 Người ta phóng một trạm vũ trụ chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo tròn trong mặt phẳng Hoàng đạo. Các trạm quan sát từ Mặt đất thấy trạm này dao động quanh mặt trời với biên độ xác định bằng 450 (hình 3) a) Tính bán kính quỹ đạo và chu kỳ chuyển động T 1 của trạm Đ (coi trái đất chuyển động quanh Mặt trời theo quỹ đạo tròn với bán kính bằng một đơn vị thiên văn (đvtv) và chu kì 1 năm) b) Giả sử tại điểm O trên quỹ đạo tròn của trạm (Hình 4) người ta tăng vận tốc cho trạm tức thời đến vận tốc parabol (trạm bắt đầu chuyển động theo quỹ đạo parabol nhận điểm O làm đỉnh) hãy a1 M tính thời gian trạm chuyển từ điểm O đến điểm T. Cho biết phương trình parabol trong hệ xOy là y2 = 2px trong đó p là khoảng cách từ 5 Hình 3 T1 tiêu điểm đến đường chuẩn. Chú ý định luật 2 Kepler cũng đúng với chuyển động parabol. 6 Giải 7 a) Từ hình 3 ta thấy 8 Bán kính quỹ đạoo chuyển động của trạm 9 a1 = TM = ĐMsin450 = (đvtv) 10 Chu kì chuyển động T1 của trạm 11 12 Hình a 4 x y T M O 13 → T1 = T. = (năm) b) Quãng đường mà trạm đi từ O đến T là: y2 = 2px với p = 2a; x = a1 = a → y = 2a Vận tốc parabol của trạm (vận tốc lấy quỹ đạo đó) vp = = Thời gian trạm chuyển từ O đến T y = vp.t => t = (năm) Bài 6 Người ta muốn phóng một vệ tinh nhân tạo theo phương án sau: a) Từ mặt đất cung cấp cho vệ tinh vận tốc v0 theo phương thẳng đứng. b) Khi vệ tinh lên đến độ cao h có vận tốc bằng 0, người ta cung cho nó vận tốc v 1 theo phương ngang ( r r v1 ⊥ v 0 ) để vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo elip có tâm sai e và thông số p được xác định trước. Bỏ qua sức cản của không khí. Hãy tính các vận tốc v0 và v1. Cho biết bán kính của Trái Đất là R0 và gia tốc trọng trường là g0 (g0 = GM/R02). Hướng dẫn: Vì chuyển động trong trường trọng lực xuyên tâm, áp dụng định luật bảo toàn mômen xung lượng và cơ năng. Giải Cách 1: a) Chọn gốc thế năng tại tâm Trái Đất. Vì chuyển động trong trường trọng lực xuyên tâm ta áp dụng định luật bảo toàn mômen xung lượng và cơ năng. E1 = - mg 0 R 0 + Tại mặt đất vệ tinh có cơ năng là: Tại độ cao h vệ tinh có cơ năng là: E 2 = - mg h r mv02 2 (r = R 0 + h) E1 = E 2 → - mg 0 R 0 + Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng ta có: 14 mv 02 = - mg h r 2 → v 0 = 2(- g h r + g 0 R 0 )  R2   R  → v0 = 2g 0  - 20 r + R 20 ÷= 2g 0 R 0  - 0 + 1÷  r   r  g=G Với Vậy: M ( R 0 +h ) 2 =G M r2 g0 = G và M R0 2 → gh = R 02 g0 r2  R  v0 = 2g 0 R 0 1- 0 ÷  r  b) Khi vệ tinh lên đến độ cao h. Do quỹ đạo là elip, mà vận tốc được cung cấp r v1 có hướng vuông góc với điểm cung cấp chỉ có thể tại hai đỉnh của elip (cận điểm, viễn điểm). * Điểm lên quỹ đạo là cực cận - mg( h + R 0 ) + Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có: p = a (1 - e 2 ) → a = Mà r c = a (1 - e) → rc = v1 = vc = mvc2 mv12 = - mgr + 2 2 p 1 - e2 p p (1 - e) = 2 1-e 1+ e g0 R 0 (1 + e) p Vậy: * Điểm lên quỹ đạo là cực cận - mg( h + R 0 ) + Theo định luật bảo toàn cơ năng ta có: 15 mvv2 mv12 = - mgr + 2 2 r v0 nên r v = a (1 + e) → rv = Mà p p (1 + e) = 2 1-e 1- e g0 R 0 (1 - e) p v 2 = vv = Vậy: Cách 2: Theo định luật bảo toàn cơ năng, tại hai điểm cực cận và cực viễn (trường xuyên tâm): - mg 0 → gc = Mà → R 02 R2 mv12 mv 22 + = - mg 0 0 + rC 2 rv 2 - 2g 0 R 02 R2 + v12 = - 2g 0 0 + v 22 rC rv R 02 R 02 g g = g0 0 v rc 2 rv 2 ;  R2 R 2  v12 - v 22 = 2g 0  − 0 + 0 ÷ rC   rv Mặt khác theo định luật 2 Kepler ta có: → (1) v1 .rc v .r .Δt = 2 v .Δt 2 2 v1.rc = v 2 .rv 2 Thay (2) và (1) ta có: → v1.rc - v 2 .r = 0  rv  2 2  - rc + rv   .v 2 ÷ - v 2 = 2g 0 R 0  ÷  rc   rc .rv  ↔ rv2 v 22 - v 22 rc2 = 2g 0 R 02 rc ( - rc + rv ) rv → v 22 ( rv2 - rc2 ) = 2g 0 R 20 rc ( rv - rc ) rv 16 r → v1 = v .v 2 rc (2) rc 1- e = rv 1+e rc + rv = rc rv ( rv + rc ) → v 22 = 2g 0 R 02 → v 22 = 2g 0 R 02 g R2 1- e 1- e 2 2 = 0 0 ( 1- e ) 1+ e 2p p 2p 1- e 2 → v 22 = v1 = 1+ e 1- e g0 R 0 ( 1- e ) p g0 g R0 ( 1- e ) = 0 R0 ( 1+ e ) p p Thế vào (2) ta được: Bài 7 Người ta chụp ảnh Mặt trăng đồng thời cùng một phía, từ Trái Đất và từ một vệ tinh của Mặt Trăng. Quỹ đạo của vệ tinh là đường tròn. Đường kính ảnh Mặt Trăng trên bức ảnh chụp từ Trái Đất là a1 = 4,5mm, còn trên bức ảnh chụp từ vệ tinh là a 2 = 250mm. Hãy tìm chu kỳ quay của của vệ tinh Mặt Trăng, biết hai bức ảnh đều chụp bằng các vật kính giống nhau có tiêu cự f=50cm và gia tốc rơi tự do trên Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất n = 6 lần, khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trăng là L = 380.000km. Giải Tính chu kỳ quay của vệ tinh Mặt trăng. Gọi R là bán kính quỹ đạo của vệ tinh Mặt Trăng ta có: F=G MT m rT2 = mg T R2 R2 (1) 4π2 a ht = ω R = 2 R T 2 Lực hấp dẫn F truyền cho vệ tinh m gia tốc hướng tâm: → T= F = ma ht = m 4π2 .R T2 (2) 2πR R rT gT Từ (1) và (2) ta có: (3) + Xét ảnh Mặt Trăng chụp từ Trái Đất: 17 a1 f O rT L Hình 5 F C Coi Mặt trăng ở rất xa Trái Đất thì ảnh Mặt Trăng là ảnh thật nằm ở tiêu diện của vật kính (Hình 5). Ta có: a1 f aL = → rT = 1 2rT L 2f (4) ( L là khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất, f là tiêu cự của vật kính). + Xét ảnh Mặt Trăng chụp từ vệ tinh: Trên vệ tinh ta chỉ chụp được trên phim ảnh của một phần Mặt Trăng (Hình 6 Ta có: ΔOFB' ~ ΔOBC a2 OB' b = = 2rT OC R 2 a  b = f + 2 ÷ 2 2 với (5) 18 a2 R C O b Hình 6 → R= 2rT b a2 (6) R= Thế rT từ (4) vào (6) ta được: a 1L b a 2f (7) T = 4π Thế rT từ (4) và R từ (7) vào (3) ta được: ≈ Thay số: T 6,23.104s. Bài 8 19 b a2 a1Lb g T a 2f B r v2 r v1 R r v A Một r v0 con B tàu vũ trụ Hình 7 RT bay O quanh Mặt Trăng theo quỹ đạo tròn bán kính R = 3,4.106m. a) Hỏi từ con tàu phải ném một vật theo phương tiếp tuyến với quỹ đạo với vận tốc bằng bao nhiêu để nó rơi lên mặt đối diện của Mặt Trăng. b) Sau thời gian bao lâu nó sẽ rơi lên Mặt Trăng. Cho biết gia tốc rơi tự do của mọi vật ở gần bề mặt Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất 6 lần. Bán kính Mặt Trăng R T = 1,7.106m. Giải a) Vận tốc cần phải ném 20 Vật được ném ra khỏi con tàu chuyển động theo quỹ đạo elip tiếp xúc với bề mặt Mặt Trăng (Hình 7). Trục lớn quỹ đạo elip là 2a = R + RT. Thế năng hấp dẫn của vật tại A và B: WA = - G MT m R WB = - G MT m RT Theo định luật bảo toàn năng lượng: v12 M v2 M - G T = 2-G T 2 R 2 RT → gT = G Vì MT R T2 nên 1 2 M m 1 M m mv1 - G T = mv 22 - G T 2 R 2 RT v12 R 2 v2 - gT T = 2 - gT R T 2 2 2 Theo định luật 2 Kepler ta có: (1) v1.Δt .R = v 2.Δt .R T → v1.R = v 2 .R T (2) Theo bài ra: R = 2RT nên 2v1 = v2 Thay vào (1) ta được: v12 R - g T T = 2v1 - g T R T 2 2 → v1 = gT R T 2 (3) Vận tốc của vật m khi chưa ném tại điểm A là v0 bằng vận tốc tới điểm A của con tàu m1: F=G m1v 02 M T m1 = R2 R → v0 = G MT g R = T T R 2 So sánh (3) với (4) ta có: v1 < v0. Vận tốc của vật cần phải ném r v Thay (3) và (4) vào (5) ta được: ngược chiều với vận tốc 1   1 v = gT R T  − ÷ 3  2 Thay số ta được: v = 88,2(m/s). 21 (4) r v0 . Vậy: v = v0 - v1 (5). b) Thời gian để vật rơi lên Mặt Trăng. T= 2πR 2R T = 4π v0 gT Chu kỳ quay của con tàu: Dựa vào định luật 3 Kepler ta có thể suy ra: 2 3 3 3  T   R + RT   R + RT 2  3 2  ÷ = ÷ → T=T0  ÷ → T=  ÷ T0 2   2R T   2R T   T0  Thay số ta được: T = 551 phút. Vậy thời gian để vật rơi lên Mặt Trăng là: t = T/2 = 275,5 phút. Bài 9 Một vệ tinh chuyển động theo quỹ đạo tròn ở cách bề mặt Mặt Trăng một khoảng bằng bán kính R của Trái Đất. Tại một thời điểm nào đó, từ vệ tinh phóng ra một trạm đi tới một hành tinh khác, phần còn lại của vệ tinh chuyển động theo một quỹ đạo elip đi tới gần mặt Trái Đất ở điểm đối diện với điểm xuất phát của trạm. Hỏi khối lượng của trạm có thể chiếm một phần cực đại bằng bao nhiêu khối lượng vệ tinh. 22 r v' r v 2R r r v0 u A R O Hình 9 Giải Tỉ số khối lượng của trạm và khối lượng vệ tinh. Khi trạm m từ vệ tinh M 1 tại A, để lợi về năng lượng thì vận tốc cùng hướng chuyển động ( r v0 r v r u ngược với hướng . Theo định luật bảo toàn năng lượng ta có: với truyền cho trạm phải ) của vệ tinh quanh trái Đất MĐ (hình 9) Khi đó chính vệ tinh có vận tốc mu - M1v = Mv0 r u M1 = M - m 23 → mu - (M - m)v = Mv 0 → m v0 +v = M u+v (1) Vệ tinh chuyển động trên quỹ đạo tròn bán kính 2R, lực hấp dẫn giữ vai trò lực hướng tâm: Mv02 M M =G D 2 2R (2R) → v0 = G MD 2R (2) Ở rất xa Trái Đất động năng và thế năng của trạm m đều bằng 0 nên theo định luật bảo toàn cơ năng ta có: Mu 2 M M -G D =0 2 2R → u= G MD 2R (3) Xét vệ tinh M1 (phần còn lại không tính trạm) ở các vị trí A phóng trạm và ở vị trí B cận Trái Đất, theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có: M1v 2 M M M v'2 M M -G D 1 = 1 -G D 1 2 2R 2 R (4) v' là vận tốc vệ tinh tại B trên quỹ đạo elip. Rv' = 2Rv Áp dụng định luật 2 Kepler, ta có: v= G Từ (4) và (5) suy ra: m = M Đưa v0 từ (2), u từ (3) và v từ (6) và (1) ta được: Thay số và ta được: MD 3R (5) (6) MD M + G D 2R 3R M M G D+ G D R 3R G m ≈ 0,8 M Bài 10 Sao chổi Halley có chu kỳ 76 năm và năm 1986 đã có khoảng cách gần Mặt Trời nhất (gọi là khoảng cách cận nhật rc) bằng 8,9.1010m. 24 a) Hỏi khoảng cách xa Mặt Trời nhất của sao chổi Halley (gọi là khoảng cách viễn nhật rv) bằng bao nhiêu? b) Tâm sai của quỹ đạo sao chổi Halley là bao nhiêu? Giải 1 a) Từ định luật 3 Kepler ta suy ra:  GM Θ  3 a=  2 ÷  4π  Với khối lượng Mặt Trời Mʘ = 1,99.1030kg, T = 7,6 năm = 2,4.109s. Vậy bán trục lớn của quỹ đạo sao chổi Halley là: a = 2,7.10 12m. Mặt khác ta lại có: rv = a ( 1+ e ) rc = a ( 1- e ) Từ (1) và (2) ta được: (1) (2) rc = 2a - rv Thay số vào ta được: rc = 5,3.1012(m). b) Tâm sai e của quỹ đạo sao chổi Halley e= Từ (1) suy ra: Vì e ≈1 rv r -r - 1 = v c = 0,96. a 2a nên quỹ đạo của sao chổi là rất dài và dẹt. Bài 11 Các quan sát về ánh sáng phát từ một ngôi sao cho thấy rằng ánh sáng ấy được phát ra từ một hệ đôi (hai sao). Ngôi sao trông thấy có tốc độ trên quỹ đạo 270km/s, chu kỳ T = 1,7 ngày và khối lượng phỏng chừng m 1 = 6MT, trong đó MT là khối lượng Mặt Trời MT = 1,99.1030kg. Giả sử rằng ngôi sao trông thấy và bạn đồng hành của nó (vì tối nên không trông thấy) đều ở trên quỹ đạo tròn. Hãy xác định khối lượng phỏng chừng m 2 của ngôi sao không trông thấy (vật tối). Giải Khối tâm của hệ sao đôi nằm trên đường nối tâm của chúng. Gọi O là khối tâm của hệ, r1, r2 lần lượt là khoảng cách m1, m2 đến tâm O. 25 Đặt r = r1 + r2. F= Lực hấp dẫn của vật tối lên ngôi sao trông thấy: Theo định luật II Newton: Mặt khác ta lại có: Gm1m 2 r2 2 F = m1a = mω 1 r1 r1 m2 = r2 m1 + m 2 → m 32 ( m1 + m 2 ) 2 = (2) r2 = r1 m1 + m 2 m2 ≈ ω= (với 2π T ) 2πr1 vT → r1 = v 2π Thay số và giải ta được: m2 Vì m2 (3) ω2 3 4π 2 3 .r1 = .r1 G GT 2 Từ (1), (2) và (3) ta có: T= (1) ≈ 9Mʘ. 9MT nên đây có thể là một lỗ đen (vì sao neutron chỉ có khối lượng nhỏ hơn khoảng 3MT). Bài 12 Một nhà du hành vũ trụ thích đùa đã đặt một quả bóng gỗ khối lượng m = 7,2kg vào một quỹ đạo tròn quanh Trái Đất ở độ cao h = 350km. Hỏi: a) Động năng của quả bóng gỗ là bao nhiêu? b) Thế năng của quả bóng gỗ là bao nhiêu? c) Cơ năng của quả bóng gỗ là bao nhiêu? Giải a) Chọn hệ quy chiếu gắn với tâm Trái Đất, gốc thế năng ở tâm Trái Đất. Bán kính quỹ đạo của quả bóng: r = R + h = 6370 + 350 = 6,72.10 3km = 6,72.106 m (trong đó R là bán kính Trái Đất). F= Lực hấp dẫn của Trái Đất tác dụng lên quả bóng: 26 GMm r2 (1) F= Lực F đóng vai trò lực hướng tâm: Từ (1) và (2) ta có: GMm mv 2 = r2 r v2 = Mặt khác ta lại có: GMm mv 2 = r2 r → v2 = mv 2 r → v2 = (2) GM r K GM = r r GM r Vậy động năng của quả bóng: mv 2 GMm Wd = = 2 2r ≈ Thay số ta được: Wđ 2,14.108(J) = 214(MJ). b) Thế năng của quả bóng Wt = - GMm = - 2Wd = - 428 (MJ) r . c) Cơ năng của quả bóng Vì quả bóng chuyển động trên quỹ đạo tròn nên ta có: W = Wt + Wđ = - 214 (MJ). Bài 13 Hai tàu vũ trụ nhỏ, mỗi tàu có khối lượng m = 2000kg, bay theo quỹ đạo tròn trên Trái Đất (Hình 10), ở độ cao h = 400km. Tgor (người chỉ huy một trong những con tàu vũ trụ) bay tới một điểm cố định trên quỹ đạo 90s trước Sally (người chỉ huy tàu kia). Hỏi: a) Chu kỳ và tốc độ của hai con tàu trên quỹ đạo tròn là bao nhiêu? b) Tại điểm cố định (giả sử điểm P trên Hình 10) Sally muốn vượt Igor bèn cho phụt khí về phía trước để giảm tốc độ của cô 1%. Sau đó, Sally đi theo quỹ đạo elip (đường vẽ nét đứt). Tính tốc độ, động năng và thế năng con tàu của cô ngay sau khi phụt khí? c) Trên quỹ đạo mới hình elip, cơ năng toàn phần, bán trục lớn và tốc độ trên quỹ đạo của Sally là bao nhiêu? 27 Giải a) Bán kính quỹ đạo tròn của chúng: r P TĐ R Hình 10 r = R + h = 6370 + 400 = 6770km = 6,77.106 m (trong đó R là bán kính Trái Đất). Từ định luật 3 Kepler ta suy ra: 4π2 r3 T= = 5540 (s) GM D (với G = 6,67.10-11Nm2/kg2, MĐ = 5,98.1024kg). Tốc độ của tàu trên quỹ đạo: v0 = 2πr ≈ 7680 (m/s). T0 v0 = K ≈ 7680 (m/s). r Hoặc: b) Tốc độ của tàu Sally ở điểm P (Hình 10) ngay sao khi phụt khí v = 0,99v0 = 7600 (m/s). Khi đó động năng mới của tàu Sally ở điểm P là: Wd = mv 2 = 5,87.1010 ( J ) 2 . Thế năng của nó vẫn không đổi: 28 Wt = - GMm = - 11,8.1010 (J) r . c) Cơ năng toàn phần mới của tàu Sally: W = Wt + Wđ = - 6,02.1010 (J). Ta có: F2 A F1 O B Hình 11 W=- GMm 2a → a= GMm = 6,63.106 (m). 2W Bài 14 Tâm Mặt trời ở tiêu điểm của quỹ đạo Trái Đất. Tiêu điểm kia ở cách tiêu điểm này bao nhiêu? Biểu diễn đáp số theo bán kính Mặt Trời R T = 6,96.108m. Biết tâm sai quỹ đạo Trái Đất là 0,0167 và bán kính trục lớn a có thể lấy bằng 1,5.10 11m. Giải e= Tâm sai: OF1 = 0,0167 → OF1 = e.OA = 2,505.109 (m) OA F1F2 = e.OF1 = 5,01.109 (m) Khoảng cách k= Vậy F1F2 F1F2 có thể biểu diễn theo bán kính Mặt Trời Rʘ F1F2 = 7,2 RΘ (lần). lớn gấp 7,2 lần bán kính MặtTrời. 29 Bài 15 Khoảng cách trung bình giữa sao Hỏa và Mặt Trời là 5,2 lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời. Theo định luật 3 Kepler, hãy tính xem sao Hỏa cần bao nhiêu năm để quay được một vòng xung quanh Mặt Trời. Giải Từ định luật 3 Kepler ta suy ra: T12 T22 = a13 a23 Với T1, a1 là chu kỳ và khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời, T2, a2 là chu kỳ và khoảng cách trung bình giữa sao Hỏa và Mặt Trời. 3 Vậy chu kỳ quay của sao Hỏa là:  a 2 T2 =  2 ÷ .T1 = 684,5  a1  (ngày) = 2,774 (năm). Bài 16 Xác định khối lượng Trái Đất, theo chu kỳ T và bán kính r của qũy đạo Mặt Trăng quanh Trái Đất: T = 27,3 (ngày) và r = 3,82.10 5(km). Giả sử rằng Mặt Trăng quay quanh tâm Trái Đất, chứ không phải quay quanh khối tâm của hệ Trái Đất - Mặt Trăng. Giải Mặt Trăng m chuyển động tròn chịu tác dụng của lực hấp dẫn đóng vai trò lực hướng Fhd = ma ht ↔ tâm: GMm 4π2 2 = mω r = m r r2 T2 (1) Với M là khối lượng Trái Đất, r là bán kính quỹ đạo của Mặt Trăng, ω là vận tốc góc ω= quay của Mặt Trăng M= Từ (1) suy ra: 2π T 4π2 r3 = 5,930.10 24 (kg). 2 GT Bài 17 30 Một vệ tinh được đặt trên một quỹ đạo tròn có bán kính bằng nửa bán kính quỹ đạo của Mặt Trăng. Chu kỳ quay của nó (tính theo tháng Mặt Trăng) là bao nhiêu (Một tháng Mặt Trăng là chu kỳ quay của Mặt Trăng). Giải Chu kỳ quay của vệ tinh được xác định theo biểu thức: Tv2 TT2 = a 3T a 3v 3 → Tv  a v  2 1 = ÷ = = 0,354 TT  a T  8 Vậy chu kỳ quay của vệ tinh là: Tv = 0,354 TT. Tức là chu kỳ quay của vệ tinh bằng 0,354 tháng Mặt Trăng. Bài 18 Ở vĩ độ φ lớn nhất (trên Trái Đất) bằng bao nhiêu còn có thể quan sát thấy vệ tinh địa O R h V A Hình 12 tĩnh? Giải Vệ tinh địa tĩnh có chu kỳ bằng chu kỳ tự quay của Trái Đất, bay ở độ cao h = 35850km xung quanh đường xích đạo của Trái Đất. Để quan sát được vệ tinh (V) ở vĩ độ φ lớn nhất thì AOV phải bằng 90 0 (Hình 12). Khi cosφ = đó ta có: → R = 0,1508 R+h φ = 81019'43'' Bài 19 31 Một hệ sao đôi gồm hai sao, mỗi sao có khối lượng bằng khối lượng Mặt Trời, quay quanh khối tâm của chúng. Khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời. Chu kỳ quay của chúng là mấy năm? Giải Dựa vào kết quả tính toán bài 11 ta có: m32 ( m1 + m 2 ) 2 = 4π2 3 .r1 GT 2 (1) Trong đó m1 = m2 = Mʘ = 1,99.1030kg, r1 = r2 = r/2 = 75.1010m. T= 2πr1 (m1 +m 2 ) r1 m 2 Gm 2 Từ (1) ta suy ra: Thay số ta được: T = 224.107s = 0,71 năm. Bài 20 Hãy xác định chu kỳ giao hội. Giải Giả sử ban đầu Mặt Trời (M), Mặt Trăng (T) và Trái Đất (Đ) ở vị trí giao hội như hình 13. Mặt Trăng chuyển động xung quanh Trái Đất với chu kỳ T = 27,32 ngày. Như vậy 3600 ≈ 13,1770 27,32 mỗi ngày nó dịch chuyển một góc: Mặt Trời lại chuyển động biểu kiến xung quanh Trái Đất với chu kỳ T = 365,2422 ngày. 3600 ≈ 0,9860 365, 2422 Như vậy mỗi ngày nó dịch chuyển một góc: 32 a' M'' M' M T' T'' T a Đ Hình 13 Khi Mặt Trăng dịch chuyển được một vòng (trở lại vị trí T) thì Mặt Trời mới tới điểm M'. Để Mặt Trăng tới vị trí giao hội (T') thì nó phải quay thêm một góc a (bằng góc mà Mặt Trời dịch chuyển trong 27,32 ngày). a = 27,32.0,986 Thời gian để Mặt Trăng quay được một góc a là: T1 = 27,32.0,986 13,177 (ngày) Khi Mặt Trăng tới vị trí (T') thì Mặt Trời lại đi tới điểm (M'') và Mặt Trăng muốn tới vị trí giao hội thì lại phải quay thêm một góc a' là: a' = 27,32.0,986 .0,986 13,177 (bằng góc mà Mặt Trời quay được trong T1 ngày) Thời gian để Mặt Trăng quay được một góc a' là: T2 = 27,32.0,986 0,986 . 13,177 13,177 (ngày) Cứ tiếp tục như thế đến khi nào Mặt Trăng và Mặt Trời giao hội được với nhau, ta sẽ rút ra chu kỳ giao hội như sau: T = TT + T1 + T2 + ... +Tn 33 = 27,32 + 27,32.0,986 27,32.0,986 0,986 + . + ... 13,177 13,177 13,177  ∞  0,986 n  = 27,32 + 1+ ∑  ÷  = 29,53 13,177 n =1     (ngày) (Có thể tính chu kỳ trên theo cách khác) KẾT LUẬN Chuyên đề bài tập Thiên văn là chuyên đề rất rộng lớn, trong khuôn khổ báo cáo này chúng tôi đã chọn một mảng nhỏ là Vận dụng định luật vạn vật hấp dẫn và ba định luật Kepler giải các bài toán Thiên văn học. Chúng tôi hy vọng rằng đã cung cấp được một số bài tập cho các em học sinh và các thầy cô giáo tham khảo. Báo cáo này có thể còn những vấn đề phải bàn luận mong được sự góp ý kiến và trao đổi của đồng nghiệp và của các em học sinh. 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Giáo trình Thiên văn - Phạm Viết Trinh, Nguyễn Đình Noãn 2. Cơ sở Vật lí (tập 1, 2) – David Haliday, Robert Rennich, Jearl Walker 3. 121 Bài tập Vật lí nâng cao lớp 10 – Vũ Thanh Khiết (chủ biên) 4. Tuyển tập các câu hỏi và bài tập Vật lý đại cương – Trần Văn Nhạc 5. Thiên văn Vật lí – Donat G.Wentzenl, Nguyễn Quang Diệu, Phạm Viết Trinh, Nguyễn Đình Noãn, Nguyễn Đình Huân. 35 [...]... tính chu kỳ trên theo cách khác) KẾT LUẬN Chuyên đề bài tập Thiên văn là chuyên đề rất rộng lớn, trong khuôn khổ báo cáo này chúng tôi đã chọn một mảng nhỏ là Vận dụng định luật vạn vật hấp dẫn và ba định luật Kepler giải các bài toán Thiên văn học Chúng tôi hy vọng rằng đã cung cấp được một số bài tập cho các em học sinh và các thầy cô giáo tham khảo Báo cáo này có thể còn những vấn đề phải bàn luận mong... 29 Bài 15 Khoảng cách trung bình giữa sao Hỏa và Mặt Trời là 5,2 lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời Theo định luật 3 Kepler, hãy tính xem sao Hỏa cần bao nhiêu năm để quay được một vòng xung quanh Mặt Trời Giải Từ định luật 3 Kepler ta suy ra: T12 T22 = a13 a23 Với T1, a1 là chu kỳ và khoảng cách trung bình giữa Trái Đất và Mặt Trời, T2, a2 là chu kỳ và khoảng cách trung bình giữa sao Hỏa và. .. luận mong được sự góp ý kiến và trao đổi của đồng nghiệp và của các em học sinh 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Giáo trình Thiên văn - Phạm Viết Trinh, Nguyễn Đình Noãn 2 Cơ sở Vật lí (tập 1, 2) – David Haliday, Robert Rennich, Jearl Walker 3 121 Bài tập Vật lí nâng cao lớp 10 – Vũ Thanh Khiết (chủ biên) 4 Tuyển tập các câu hỏi và bài tập Vật lý đại cương – Trần Văn Nhạc 5 Thiên văn Vật lí – Donat G.Wentzenl,... e và thông số p được xác định trước Bỏ qua sức cản của không khí Hãy tính các vận tốc v0 và v1 Cho biết bán kính của Trái Đất là R0 và gia tốc trọng trường là g0 (g0 = GM/R02) Hướng dẫn: Vì chuyển động trong trường trọng lực xuyên tâm, áp dụng định luật bảo toàn mômen xung lượng và cơ năng Giải Cách 1: a) Chọn gốc thế năng tại tâm Trái Đất Vì chuyển động trong trường trọng lực xuyên tâm ta áp dụng định. .. D 1 2 2R 2 R (4) v' là vận tốc vệ tinh tại B trên quỹ đạo elip Rv' = 2Rv Áp dụng định luật 2 Kepler, ta có: v= G Từ (4) và (5) suy ra: m = M Đưa v0 từ (2), u từ (3) và v từ (6) và (1) ta được: Thay số và ta được: MD 3R (5) (6) MD M + G D 2R 3R M M G D+ G D R 3R G m ≈ 0,8 M Bài 10 Sao chổi Halley có chu kỳ 76 năm và năm 1986 đã có khoảng cách gần Mặt Trời nhất (gọi là khoảng cách cận nhật rc) bằng 8,9.1010m... Theo định luật 2 Kepler ta có: (1) v1.Δt R = v 2.Δt R T → v1.R = v 2 R T (2) Theo bài ra: R = 2RT nên 2v1 = v2 Thay vào (1) ta được: v12 R - g T T = 2v1 - g T R T 2 2 → v1 = gT R T 2 (3) Vận tốc của vật m khi chưa ném tại điểm A là v0 bằng vận tốc tới điểm A của con tàu m1: F=G m1v 02 M T m1 = R2 R → v0 = G MT g R = T T R 2 So sánh (3) với (4) ta có: v1 < v0 Vận tốc của vật cần phải ném r v Thay (3) và. .. chúng Khoảng cách giữa chúng bằng khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời Chu kỳ quay của chúng là mấy năm? Giải Dựa vào kết quả tính toán bài 11 ta có: m32 ( m1 + m 2 ) 2 = 4π2 3 r1 GT 2 (1) Trong đó m1 = m2 = Mʘ = 1,99.1030kg, r1 = r2 = r/2 = 75.1010m T= 2πr1 (m1 +m 2 ) r1 m 2 Gm 2 Từ (1) ta suy ra: Thay số ta được: T = 224.107s = 0,71 năm Bài 20 Hãy xác định chu kỳ giao hội Giải Giả sử ban đầu Mặt Trời... Cho biết gia tốc rơi tự do của mọi vật ở gần bề mặt Mặt Trăng nhỏ hơn trên Trái Đất 6 lần Bán kính Mặt Trăng R T = 1,7.106m Giải a) Vận tốc cần phải ném 20 Vật được ném ra khỏi con tàu chuyển động theo quỹ đạo elip tiếp xúc với bề mặt Mặt Trăng (Hình 7) Trục lớn quỹ đạo elip là 2a = R + RT Thế năng hấp dẫn của vật tại A và B: WA = - G MT m R WB = - G MT m RT Theo định luật bảo toàn năng lượng: v12 M v2... trên quỹ đạo tròn bán kính 2R, lực hấp dẫn giữ vai trò lực hướng tâm: Mv02 M M =G D 2 2R (2R) → v0 = G MD 2R (2) Ở rất xa Trái Đất động năng và thế năng của trạm m đều bằng 0 nên theo định luật bảo toàn cơ năng ta có: Mu 2 M M -G D =0 2 2R → u= G MD 2R (3) Xét vệ tinh M1 (phần còn lại không tính trạm) ở các vị trí A phóng trạm và ở vị trí B cận Trái Đất, theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có: M1v...  2 ÷ T1 = 684,5  a1  (ngày) = 2,774 (năm) Bài 16 Xác định khối lượng Trái Đất, theo chu kỳ T và bán kính r của qũy đạo Mặt Trăng quanh Trái Đất: T = 27,3 (ngày) và r = 3,82.10 5(km) Giả sử rằng Mặt Trăng quay quanh tâm Trái Đất, chứ không phải quay quanh khối tâm của hệ Trái Đất - Mặt Trăng Giải Mặt Trăng m chuyển động tròn chịu tác dụng của lực hấp dẫn đóng vai trò lực hướng Fhd = ma ht ↔ tâm: ... chu kỳ theo cách khác) KẾT LUẬN Chuyên đề tập Thiên văn chuyên đề rộng lớn, khuôn khổ báo cáo chọn mảng nhỏ Vận dụng định luật vạn vật hấp dẫn ba định luật Kepler giải toán Thiên văn học Chúng... MặtTrời 29 Bài 15 Khoảng cách trung bình Hỏa Mặt Trời 5,2 lần khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời Theo định luật Kepler, tính xem Hỏa cần năm để quay vòng xung quanh Mặt Trời Giải Từ định luật Kepler. .. xác định khối lượng chừng m không trông thấy (vật tối) Giải Khối tâm hệ đôi nằm đường nối tâm chúng Gọi O khối tâm hệ, r1, r2 khoảng cách m1, m2 đến tâm O 25 Đặt r = r1 + r2 F= Lực hấp dẫn vật