500 bài toán trong câu 1b của đề thi ĐH môn Toán có hướng dẫn.doc PHẦN 2: TIẾP TUYẾN A. Kiến thức cơ bản • Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x0 là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) . Khi đó phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M0 ( x0 ; f ( x0 ) ) là: y – y0 = f ′( x0 ).( x – x0 ) ( y0 = f ( x 0 ) ) • Điều kiện cần và đủ để hai đường (C1): y = f ( x ) và (C2): y = g( x ) tiếp xúc nhau là hệ phương  f ( x ) = g( x ) trình sau có nghiệm:  (*) Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai  f '( x ) = g '( x ) đường đó. B. Một số dạng thường gặp và cách giải: • Tính y′ = f ′( x ) . Suy ra y′( x0 ) = f ′( x0 ) . • Phương trình tiếp tuyến ∆ là: y – y0 = f ′( x0 ).( x – x0 ) . ne t Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) : • Nếu cho x0 thì tìm y0 = f ( x0 ) . Nếu cho y0 thì tìm x0 là nghiệm của phương trình f ( x ) = y0 . • ∆ có hệ số góc k ⇒ f ′( x0 ) = k (1) ilie u. Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) , biết ∆ có hệ số góc k cho trước. Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. • Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tính f ′( x0 ) . ox ta • Giải phương trình (1), tìm được x0 và tính y0 = f ( x0 ) . Từ đó viết phương trình của ∆. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. • Phương trình đường thẳng ∆ có dạng: y = kx + m . w w w .b  f ( x ) = kx + m • ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:  (*)  f '( x ) = k • Giải hệ (*), tìm được m. Từ đó viết phương trình của ∆. Chú ý: Hệ số góc k của tiếp tuyến ∆ có thể được cho gián tiếp như sau: +. ∆ tạo với trục hoành một góc α thì k = tan a . +. ∆ song song với đường thẳng d: y = ax + b thì k = a +. ∆ vuông góc với đường thẳng d : y = ax + b ( a ≠ 0) thì k = − 1 a k −a = tan α 1 + ka Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) , biết ∆ đi qua điểm A( x A ; y A ) . Cách 1: Tìm toạ độ tiếp điểm. • Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Khi đó: y0 = f ( x0 ), y′( x0 ) = f ′( x0 ) . +. ∆ tạo với đường thẳng d : y = ax + b một góc α thì • Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y0 = f ′( x0 ).( x – x 0 ) • ∆ đi qua A( x A ; y A ) nên: y A – y0 = f ′( x0 ).( x A – x 0 ) (2) • Giải phương trình (2), tìm được x0 . Từ đó viết phương trình của ∆. Cách 2: Dùng điều kiện tiếp xúc. • Phương trình đường thẳng ∆ đi qua A( x A ; y A ) và có hệ số góc k: y – y A = k ( x – x A )  f ( x) = k( x − x A ) + yA • ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:   f '( x ) = k • Giải hệ trên, tìm được x (suy ra k). Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆. www.boxtailieu.net 1 Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) , biết ∆ tạo với trục Ox một góc α. • Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k = f ′( x0 ) . • ∆ tạo với trục Ox một góc α ⇔ f ′(x 0 ) = tan α . Giải phương trình tìm được x0 . • Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y0 = f ′( x0 ).( x – x 0 ) Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) , biết ∆ tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc α. • Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k = f ′( x0 ) . k −a = tan α . Giải phương trình tìm được x0 . 1 + ka • Phương trình tiếp tuyến ∆ tại M: y – y0 = f ′( x0 ).( x – x 0 ) • ∆ tạo với d một góc α ⇔ (a) ne • ∆OAB vuông cân ⇔ ∆ tạo với Ox một góc 450 và O ∉ ∆. • S∆OAB = S ⇔ OA.OB = 2 S . (b) t Dạng 6: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) , biết ∆ cắt hai trục toạ độ tại A và B sao cho tam giác OAB vuông cân hoặc có diện tích S cho trước. • Gọi M ( x0 ; y0 ) là tiếp điểm. Tiếp tuyến có hệ số góc k = f ′( x0 ) . u. • Giải (a) hoặc (b) tìm được x0 . Từ đó viết phương trình tiếp tuyến ∆. w w w .b ox ta ilie Dạng 7: Lập phương trình tiếp tuyến chung của hai đồ thị (C1 ) : y = f ( x ), (C2 ) : y = g( x ) . a) Gọi ∆: y = ax + b là tiếp tuyến chung của (C1) và (C2). u là hoành độ tiếp điểm của ∆ và (C1), v là hoành độ tiếp điểm của ∆ và (C2).  f (u) = au + b (1)  f '(u) = a (2) • ∆ tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:  g ( v ) = av + b (3)  g '( v ) = a (4)  • Từ (2) và (4) ⇒ f ′(u) = g′(v) ⇒ u = h(v) (5) • Thế a từ (2) vào (1) ⇒ b = k (u) (6) • Thế (2), (5), (6) vào (3) ⇒ v ⇒ a ⇒ u ⇒ b. Từ đó viết phương trình của ∆. b) Nếu (C1) và (C2) tiếp xúc nhau tại điểm có hoành độ x0 thì một tiếp tuyến chung của (C1) và (C2) cũng là tiếp tuyến của (C1) (và (C2)) tại điểm đó. Dạng 8: Tìm những điểm trên đồ thị (C): y = f ( x ) sao cho tại đó tiếp tuyến của (C) song song hoặc vuông góc với một đường thẳng d cho trước. • Gọi M ( x0 ; y0 ) ∈ (C). ∆ là tiếp tuyến của (C) tại M. Tính f ′( x0 ) . • Vì ∆ // d nên f ′( x0 ) = kd (1) hoặc ∆ ⊥ d nên f ′( x0 ) = − 1 (2) kd • Giải phương trình (1) hoặc (2) tìm được x0 . Từ đó tìm được M ( x0 ; y0 ) ∈ (C). Dạng 9: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3,.. tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f ( x ) . Giả sử d : ax + by + c = 0 . M ( x M ; y M ) ∈ d . • Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k ( x – xM ) + yM  f ( x ) = k ( x − x M ) + yM • ∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm:   f '( x ) = k • Thế k từ (2) vào (1) ta được: f ( x ) = ( x – x M ). f ′( x M ) + yM (3) • Số tiếp tuyến của (C) vẽ từ M = Số nghiệm x của (3) (1) (2) Dạng 10: Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f ( x ) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau. www.boxtailieu.net 2 Gọi M ( x M ; y M ) . • Phương trình đường thẳng ∆ qua M có hệ số góc k: y = k ( x – xM ) + yM  f ( x ) = k ( x − x M ) + yM (1)  (2)  f '( x ) = k • Thế k từ (2) vào (1) ta được: f ( x ) = ( x – x M ). f ′( x M ) + yM (3) • ∆ tiếp xúc với (C) khi hệ sau có nghiệm: • Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (3) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 . • Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau ⇔ f ′( x1 ). f ′( x2 ) = –1 Từ đó tìm được M. Chú ý: Qua M vẽ được 2 tiếp tuyến với (C) sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành (3) coù 2 nghieäm phaân bieät thì   f ( x1 ). f ( x2 ) < 0 Bài tập Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) tại điểm M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) : ilie u. 3. ) t 2. ( (§H Th¸i Nguyªn 2001) Cho ®å thÞ (C): y = − x 4 + 2x 2 .ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹i A 2 ;0 . 1 9 (§H Ngo¹i Ng÷ 1999) Cho ®å thÞ (C): y = x 4 − 2 x 2 − .ViÕt phương trình tiếp tuyến t¹i c¸c giao 4 4 ®iÓm cña (C) víi Ox. 2x + 1 Viết phương tình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = tại giao điểm (C) và đường thẳng x −1 d: y = 3x -1. ne 1. w w w .b ox ta Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) , biết ∆ có hệ số góc k cho trước, hoặc tiếp tuyến song song hoặc tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng cho trước. 2x − 1 4. Cho ®å thÞ (C): y = . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C), biết tiếp tuyến có HSG là : x +1 3 a. 3 , b . 4 1 5. Cho (C) y = x 3 − 2 x 2 + x − 4 . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cã hÖ sè gãc k = - 2 3 3x − 7 6. Cho ®å thÞ (C): y = . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) khi biÕt − 2x + 5 1 a. TiÕp tuyÕn song song víi ®−êng th¼ng y = x + 1 2 b. TiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng y = − 4 x . 7. 8. 9. Viết phương tình tiếp tuyến với đồ thị (C) của hàm số y = x 3 − 3x + 1 a. Biết tiếp tuyến có HSG là 9. b. Biết tiếp tuyến có HSG nhỏ nhất. 3 2 Cho (C): y = − x + 3x + 3 , Lập tiÕp tuyÕn của (C) cã hÖ sè gãc lớn nhÊt. 2x − 1 Cho hàm số y = (1). Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) để tiếp tuyến của (C) tại M với đường x +1 thẳng đi qua M và giao điểm hai đường tiệm cận có tích hệ số góc bằng - 9. y − yI 3 −3 HD: +) Ta có I(- 1; 2). Gọi M ∈ (C) ⇒ M(x 0 ; 2 − ) ⇒ k IM = M = x0 +1 x M − x I (x 0 + 1)2 3 +) Hệ số góc của tiếp tuyến tại M: k M = y '(x 0 ) = 2 ( x 0 + 1) +) ycbt ⇔ k M .k IM = −9 +) Giải được x0 = 0; x0 = -2. Suy ra có 2 điểm M thỏa mãn: M(0; - 3), M(- 2; 5) www.boxtailieu.net 3 10. x +1 ( C ) . Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt x −1 A, B sao cho tiếp tuyến của ( C ) tại A và B song song với nhau. Cho hàm số y = HD: Phương trình hoành độ giao điểm của ( d ) : y = 2x + m và ( C ) là: x +1 = 2x + m x −1 ∆ = ( m − 3) 2 + 8 ( m + 1) = ( m + 1)2 + 16 > 0, ∀m Ta có:  g (1) = −2 ≠ 0, ∀m ⇒ phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt khác 1. Vậy ( d ) luôn luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A và B . Gọi x1 , x 2 ( x1 ≠ x2 ) lần lượt hoành độ của A và B thì x1 , x 2 là nghiệm của phương trình (1). Theo 2x 2 + ( m − 3) x − m − 1 = 0 ⇔  x ≠ 1 (1) 1 ( 3 − m ) . Tiếp tuyến ( ∆1 ) , ( ∆ 2 ) tại A, B có hệ số góc lần lượt là : 2 −2 −2 ⇒ k1 = y ' ( x 1 ) = , k2 = y '(x2 ) = 2 2 ( x1 − 1) ( x 2 − 1) −2 ( x − 1) 2 ( ∆1 ) / / ( ∆ 2 ) ⇔ k1 = k 2 ⇔ ( x1 − 1) 2 = −2 ⇔ ( x1 − 1) = ( x 2 − 1) 2 ( x 2 − 1) ( loaïi ) 1 2 2 ilie u.  x1 = x 2 x − 1 = x 2 − 1 ⇔ 1 ⇔ ⇔ ( 3 − m ) = 2 ⇔ m = −1 . 2 x + x = 2  x1 − 1 = − x 2 + 1  1 2 Vậy, giá trị cần tìm là: m = −1 . Cho hàm số y = f (x) = x 4 − 2x 2 1. Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A và B có hoành độ lần lượt là a và b. Tìm điều kiện đối với a và b để hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau. HD: Ta có f '( x) = 4 x 3 − 4 x . Gọi a, b lần lượt là hoành độ của A và B. Hệ số góc tiếp tuyến của (C) tại A và B là k A = f '(a) = 4a 3 − 4a, k B = f '(b) = 4b3 − 4b Tiếp tuyến tại A, B lần lượt có phương trình là: y = f ' ( a )( x − a ) + f ( a ) = f ' ( a ) x + f (a) − af' ( a ) w w .b ox ta 11. −2 ne y' = t định lí Vi-et, ta có: x1 + x 2 = w y = f ' ( b )( x − b ) + f ( b ) = f ' ( b ) x + f (b) − bf' ( b ) Hai tiếp tuyến của (C) tại A và B song song hoặc trùng nhau khi và chỉ khi: k A = k B ⇔ 4a 3 − 4a = 4b3 − 4b ⇔ ( a − b ) ( a 2 + ab + b 2 − 1) = 0 (1) Vì A và B phân biệt nên a ≠ b , do đó (1) tương đương với phương trình: a 2 + ab + b 2 − 1 = 0 (2) Mặt khác hai tiếp tuyến của (C) tại A và B trùng nhau 2 2 a 2 + ab + b 2 − 1 = 0 a + ab + b − 1 = 0 ⇔ ( a ≠ b ) ⇔  4 2 4 2 −3a + 2a = −3b + 2b f ( a ) − af ' ( a ) = f ( b ) − bf ' ( b ) Giải hệ này ta được nghiệm là (a;b) = (-1;1), hoặc (a;b) = (1;-1), hai nghiệm này tương ứng với cùng một cặp điểm trên đồ thị là ( −1; −1) và (1; −1) .Vậy điều kiện cần và đủ để hai tiếp tuyến 12. a 2 + ab + b 2 − 1 = 0  của (C) tại A và B song song với nhau là a ≠ ±1 a ≠ b  4 2 Cho hàm số y = x + mx − m − 1 , (Cm). Chứng minh rằng khi m thay đổi thì (Cm) luôn luôn đi qua hai điểm cố định A, B. Tìm m để các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau. HD: Hai điểm cố định A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y′ = 4x 3 + 2mx . www.boxtailieu.net 4 13. • Các tiếp tuyến tại A và B vuông góc với nhau ⇔ y′ (1).y′ ( −1) = −1 ⇔ (4 + 2m) 2 = 1 3 5 ⇔ m=− ∨ m=− . 2 2 Cho hàm số y = x 3 − 3x 2 + 1 có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . HD: Giả sử A(a;a 3 − 3a 2 + 1), B(b; b3 − 3b 2 + 1) (a ≠ b) Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song suy ra y′ (a) = y′ (b) ⇔ (a − b)(a + b − 2) = 0 ⇔ a + b − 2 = 0 ⇔ b = 2 – a ⇒ a ≠ 1 (vì a ≠ b). AB2 = (b − a) 2 + (b3 − 3b 2 + 1 − a 3 + 3a 2 − 1) 2 = 4(a − 1) 6 − 24(a − 1) 4 + 40(a − 1) 2 Gäi (Cm) lµ ®å thÞ hµm sè: y = 1 x3 − m x 2 + 1 (*) Gäi M lµ ®iÓm thuéc (Cm) cã hoµnh ®é b»ng -1. 3 3 T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn cña (Cm) t¹i ®iÓm M song song víi ®−êng th¼ng 5x - y = 0 (§HQG TPHCM 1996) Cho (Cm) y = f ( x) = x 3 + mx 2 + 1 . T×m m ®Ó (Cm) c¾t ®−êng th¼ng y= - x+1 t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt A(0,1) , B, C sao cho tiÕp tuyÕn víi (Cm) t¹i B vµ C vu«ng gãc víi nhau. (HVCNBCVT 2001) Cho hµm sè (C): y = f ( x) = x 3 − 3 x 1. CMR ®−êng th¼ng (dm): y = m( x + 1) + 2 lu«n c¾t (C ) t¹i ®iÓm A cè ®Þnh. 2. T×m m ®Ó (dm) t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt A , B, C sao cho tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i B vµ C vu«ng gãc víi nhau 1 2 (§H Ngo¹i Ng÷ HN 2001) Cho (C) y = f ( x) = x 3 − x + . T×m c¸c ®iÓm trªn (C) mµ tiÕp 3 3 1 2 tuyÕn t¹i ®ã vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng y = − x + 3 3 Cho (C) y = f ( x) = x 3 − 3 x + 7 , a. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn nµy song song víi y= 6x - 1 1 b. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi y = − x + 2 9 3 2 (§H Më TPHCM 1999) Cho (C) y = f ( x) = x − 3 x + 2 , ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi 5y - 3x + 4 = 0. 20. 21. 22. 23. 24. 25. ta w w w 19. ox 18. .b 17. ilie u. 16. 2 t 15. ne 14.  a = 3 ⇒ b = −1 AB = 4 2 ⇔ 4(a − 1) 6 − 24(a − 1) 4 + 40(a − 1) 2 = 32 ⇔  a = −1 ⇒ b = 3 A(3; 1) và B(–1; –3) Cho hµm sè: y = x3 + 3x2 + mx + 1. X¸c ®Þnh m ®Ó ®å thÞ (Cm) c¾t ®−êng y = 1 t¹i 3 ®iÓm ph©n biÖt C(0; 1), D, E. T×m m ®Ó c¸c tiÕp tuyÕn t¹i D vµ E vu«ng gãc víi nhau. (§H HuÕ khèi D 1998) Cho (Cm) y = f ( x) = − x 4 + 2mx 2 − 2m + 1 T×m m ®Ó c¸c tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i A(1;0), B(-1;0) vu«ng gãc víi nhau 1 1 1 ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C): y = x 4 − x 3 + x 2 + x − 5 song song víi ®−êng 4 3 2 th¼ng y= 2x - 1. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C): y = x 4 − 2 x 2 + 4 x − 1 vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng 1 y = − x+3 4 Cho ®å thÞ (Cm ): y = x 4 + mx 2 − m − 1 . T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn víi ®å thÞ t¹i A song song víi ®−êng th¼ng y=2.x víi A lµ ®iÓm cè ®Þnh cã hoµnh ®é d−¬ng cña (Cm ). (3m + 1)x − m (§H Th−¬ng M¹i 1994). Cho ®å thÞ (Cm) y = . T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn t¹i giao ®iÓm cña x+m (Cm) víi Ox song song víi y= - x- 5. www.boxtailieu.net 5 26. 27. 28. 33 2 x (C) 2 a. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) song song víi y= k. x b. T×m GTLN cña kho¶ng c¸ch gi÷a ®−êng th¼ng y= k.x víi tiÕp tuyÕn nãi trªn khi k ≤ 0,5 Cho ®å thÞ y = x + (§H X©y Dùng 1998) 6x + 5 . CMR trªn ®å thÞ (C) tån t¹i v« sè c¸c cÆp ®iÓm sao cho tiÕp 3x − 3 tuyÕn t¹i c¸c cÆp ®iÓm nµy song song víi nhau ®ång thêi tËp hîp c¸c ®−êng th¼ng nèi c¸c cÆp tiÕp ®iÓm ®ång qui t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh. Cho ®å thÞ (C) y = 1 3 Cho hàm số y = f ( x ) = mx 3 + ( m − 1) x 2 + (4 − 3m) x + 1 có đồ thị là (Cm). Tìm các giá trị m sao cho trên đồ thị (Cm) tồn tại một điểm duy nhất có hoành độ âm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng (d): x + 2 y − 3 = 0 . HD: (d) có hệ số góc − 1 ⇒ tiếp tuyến có hệ số góc k = 2 . Gọi x là hoành độ tiếp điểm thì: 2 f '( x ) = 2 ⇔ mx 2 + 2(m − 1) x + (4 − 3m) = 2 ⇔ mx 2 + 2(m − 1) x + 2 − 3m = 0 ne t YCBT ⇔ (1) có đúng một nghiệm âm. + Nếu m = 0 thì (1) ⇔ −2 x = −2 ⇔ x = 1 (loại) 2 − 3m 2 < 0 ⇔ m < 0 hoaëc m > m 3 2 − 3m m Vậy m < 0 hay m > ilie 29. u. + Nếu m ≠ 0 thì dễ thấy phương trình (1) có 2 nghiệm là x = 1 hay x= Do đó để (1) có một nghiệm âm thì 1 3 (1) 2 . 3 Cho hàm số y = mx 3 + (m − 1) x 2 + (4 m − 3) x + 1 (Cm). Tìm các giá trị m sao cho trên (Cm) tồn ox ta tại đúng hai điểm có hoành độ dương mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đường thẳng d : x + 2y − 3 = 0 . 1 2 3 2 HD: Ta có: y′ = mx 2 + 2(m − 1) x + 4 − 3m ; d : y = − x + . .b YCBT ⇔ phương trình y′ = 2 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt ⇔ mx 2 + 2(m − 1) x + 2 − 3m = 0 có đúng 2 nghiệm dương phân biệt   1 2 1 2 2 3 Vậy m ∈  0;  ∪  ;  . w w w m ≠ 0  1 ∆′ > 0 0 < m < 2 ⇔ ⇔ . 1 < m < 2 S > 0  2  P > 0 3 30. 2x −1 . Gọi I là giao điểm hai tiệm cận của (C). Tìm điểm M thuộc (C) sao cho tiếp x −1 tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng MI. Cho hàm số y = 2a − 1 (a ≠ 1) a −1 1 PT đường thẳng MI: y = ( x − 1) + 2 ( a − 1)2 HD: Giao điểm của hai tiệm cận là I(1; 2). Gọi M(a; b) ∈ (C) ⇒ b = PTTT của (C) tại M: y = − 1 (a − 1) 2 ( x − a) + 2a − 1 a −1 Tiếp tuyến tại M vuông góc với MI nên ta có: − 1 (a − 1) 2 .  a = 0 ( b = 1) = −1 ⇔   a = 2 ( b = 3) (a − 1) 1 2 Vậy có 2 điểm cần tìm M1(0; 1), M2(2; 3) Dạng 3 : Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) , biết ∆ đi qua điểm A( x A ; y A ) . x+2 31. Cho hàm số y = ( C ) . Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) , biết tiếp tuyến đi qua điểm x−2 www.boxtailieu.net 6 A ( −6;5 ) . ĐS : 2 tiếp tuyến là : ( d1 ) : y = − x − 1; ( d 2 ) : y = − 32. (§H NT TPHCM 1999). Cho hµm sè (C): y = A(-6;5) ®Õn ®å thÞ (C) . 33. 34. x+2 . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm x−2 (§H HuÕ 2001 Khèi D) .ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn tõ ®iÓm O(0;0) ®Õn ®å thÞ (C): y = 3( x + 1) x−2 1 Viết phương trình tiếp tuyế n của đồ thị (C) y = x 3 − 2x 2 + 3x. biết tiếp tuyến này đi qua gốc tọa 3 độ O. HD: Phương trình tiếp tuyến ∆ tại điểm M 0 ( x0 ; y0 ) là ( 35. x 7 + 4 2 ) 1 ∆ : y = x 02 − 4x 0 + 3 ( x − x 0 ) + x 30 − 2x 02 + 3x 0 . ∆ qua O ⇔ x0 = 0, x0 = 3 . 3 Khi: x0 = 0 thì ∆ : y = 3x . Khi: x0 = 3 thì ∆ : y = 0 . (B2008) Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1). 15 21 x− 4 4 3 1 4 3 ViÕt ph−¬ng tr×nh ®−êng th¼ng qua A(0; ) tiÕp xóc víi ®å thÞ hµm sè : y = x − 3 x 2 + 2 2 2 Cho hµm sè: y = 2x4 - 4x2 + 1 (C). ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) ®i qua A(1 ;-1). 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. u. ilie ta 40. ox 39. (§H C«ng §oµn 2001 ) T×m ®iÓm M thuéc (C) y = 2 x 3 + 3 x 2 − 12 x − 1 sao cho tiÕp tuyÕn cña (C ) t¹i ®iÓm M ®i qua gèc to¹ ®é. (§H Y Th¸i B×nh 2001) ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(3;0) ®Õn y = − x 3 + 9 x (HV Ng©n Hµng TPHCM 1998). ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua A(1;3) ®Õn y = 3 x − 4 x 3 . 1 1 Cho (C) y = f ( x) = x 4 − x 2 . ViÕt p tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm O(0;0) ®Õn ®å thÞ (C). 2 2 (§H KT 1997) Cho (C) y = f ( x) = (2 − x 2 ) 2 . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A(0;4) ®Õn ®å thÞ (C). 1 3  3 Cho (C) y = f ( x) = x 4 − 3 x 2 + ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm A 0;  ®Õn 2 2  2 ®å thÞ (C). Cho ®å thÞ (C): y = f ( x ) = 2 x − 1 − 3 x − 5 . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm  27  A 2;  ®Õn (C) .  4  .b 38. w w 37. w 36. ne t Viêt pttt của đồ thị (1), biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M(-1,-9). Đs: y = 24x + 15 và y = Cho ®å thÞ (C): y = f ( x) = x + 1 − 4 − x 2 . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm ( ) A − 1;1 − 2 2 ®Õn (C) Cho ®å thÞ (C): y = f ( x) = (3 x 2 − 4).e x vµ gèc to¹ ®é O(0;0) .ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua ®iÓm O(0;0) ®Õn ®å thÞ (C) . 1 + lnx Cho ®å thÞ (C): y = . Vݪt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn ®i qua 0(0;0) ®Õn (C) x 4 4 (§H Ngo¹i Ng÷ 1998) Cã bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®i qua A ;  9 3 1 ®Õn ®å thÞ (C) y = x 3 − 2 x 2 + 3 x + 4 . 3 3 Cho hµm sè: y = x + 3mx2 + (m + 1)x + 1. T×m m ®Ó tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ hµm sè t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = -1 ®i qua ®iÓm A(1:2). www.boxtailieu.net 7 x+m sao cho x−2 50. T×m m ®Ó tõ ®iÓm A(1;2) kÎ ®−îc 2 tiÕp tuyÕn AB, AC ®Õn ®å thÞ (C) y = 51. tam gi¸c ABC ®Òu (ë ®©y B,C lµ 2 tiÕp ®iÓm). ( §H X©y Dùng 2001) Cho ®å thÞ (C): y = f ( x) = x. ln x vµ M(2;1). Tõ ®iÓm M kÎ ®−îc bao nhiªu tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C) . Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) , biết ∆ tạo với trục Ox một góc α. 1 3 2 52. Cho (C) y = x − 2 x + x − 4 , 3 a. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹o víi chiÒu d−¬ng Ox gãc 600 b. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹o víi chiÒu d−¬ng Ox gãc 150 c. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹o víi trôc hoµnh gãc 750 ne t Dạng 5: Viết phương trình tiếp tuyến ∆ của (C): y = f ( x ) , biết ∆ tạo với đường thẳng d: y = ax + b một góc α. 3x − 7 53. Cho ®å thÞ (C): y = . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn cña (C) khi biÕt : − 2x + 5 a. TiÕp tuyÕn t¹o víi ®−êng th¼ng y= - 2x gãc 450 b. TiÕp tuyÕn t¹o víi ®−êng th¼ng y= - x gãc 600 u. .b 58. biết cosα = 1 w w 57. 26 . w 56. ox ta 55. Cho (C) y = f (x) = 2x 3 − 3x 2 − 12x − 5 . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn víi (C) biÕt tiÕp tuyÕn t¹o víi 1 y = − x + 5 gãc 45 0 2 1 1 Cho (C): y = x 3 − 2x 2 + x − 4 . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn t¹o víi ®−êng th¼ng y = − x + 3 gãc 3 2 0 30 4x − 3 Cho ®å thÞ (C): y = . ViÕt pt tiÕp tuyÕn t¹o víi ®−êng th¼ng (d): y= 3x gãc 45 0. x −1 3 Cho hµm sè y = x − 3mx 2 + mx + 1 (Cm ) . T×m tÊt c¶ c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó tiÕp tuyÕn cña ®å thÞ (Cm) t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é x = -1 t¹o víi ®−êng th¼ng (d): y = x + 1 mét gãc 450. Cho hàm số y = x 3 + (1 − 2 m) x 2 + (2 − m) x + m + 2 (1) (m là tham số). Tìm tham số m để đồ thị của hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + 7 = 0 góc α , ilie 54. HD: Gọi k là hệ số góc của tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có VTPT n1 = (k; −1) Đường thẳng d có VTPT n2 = (1;1) . Ta có cosα = n1.n2 n1 . n2 ⇔ 1 26 = k −1 2 k2 + 1 ⇔ 12 k 2 − 26 k + 12 = 0 ⇔ k = 3 2 ∨ k= 2 3 YCBT thoả mãn ⇔ ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm:  2  ′ 3 3 x + 2(1 − 2m ) x + 2 − m = y = 2 ⇔   y ′= 2 3 x 2 + 2(1 − 2m ) x + 2 − m =   3  1 1 m ≤ − 4 ; m ≥ 2 1 1 ⇔ ⇔ m ≤ − hoặc m ≥ 3 4 2 m ≤ − ; m ≥ 1  4 3  /  2 2 ⇔  ∆ 1 ≥ 0 ⇔ 8m − 2 m − 1 ≥ 0 / 2 2  4m − m − 3 ≥ 0  ∆ 2 ≥ 0 3 Câu hỏi tương tự: www.boxtailieu.net 8 a) Với y = x 3 − 3mx + 2; d : x + y + 7 = 0; cosα = 1 2 9 ĐS: m ≥ − . . 26 Dạng 6: Tìm những điểm trên đường thẳng d mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3,.. tiếp tuyến với đồ thị (C): y = f ( x ) . 59. Cho hàm số y = 3 x − x 3 (C). Tìm trên đường thẳng (d): y = − x các điểm M mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). HD: Gọi M (m; − m) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) − m . 3  ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm: 3 x − x2 = k ( x − m) − m (1) (*) 3 − 3 x = k Thay (2) vào (1) ta được: 2 x 3 − 3mx 2 + 4 m = 0 ⇔ m = 2 x3 3x2 − 4 (2) (**) Từ M kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C) ⇔ (**) có 2 nghiệm phân biệt f ′( x ) = 3x 2 − 4 6 x 4 − 24 x 2 2 (3 x − 4) 2  2 3 2 3  ; 3   3 . Tập xác định D = R \ − t 2 x3 ; f ′( x ) = 0 ⇔  x = 0   x = ±2 ne Xét hàm số f ( x ) = m = 2 Cho hàm số y = x − 3 x + 2 . Tìm trên đường thẳng d : y = 4 các điểm mà từ đó kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (C). HD: Gọi M (m;4) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 4 ilie 3 ta 60. u.  Dựa vào BBT, (**) có 2 nghiệm phân biệt ⇔  m = −2 . Vậy: M(−2;2) hoặc M(2; −2) .  3 ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm:  x 2− 3 x + 2 = k ( x − m) + 4 ox 3 x − 3 = k  x = −1 (*) (3) .b Thay (2) vào (1) ta được: ( x + 1) 2 x 2 − (3m + 2) x + 3m + 2  = 0 (1) (2) w w ⇔ 2 (4) 2 x − (3m + 2) x + 3m + 2 = 0 YCBT ⇔ (3) có đúng 2 nghiệm phân biệt. + TH1: (4) có 2 nghiệm phân biệt, trong đó có 1 nghiệm bằng –1 ⇔ m = −1 w + TH2: (4) có nghiệm kép khác –1 ⇔ m = −  2  3 2 ∨ m=2 3   Vậy các điểm cần tìm là: (−1;4) ;  − ;4  ; (2;4) . 61. Cho hàm số y = x 3 − 2 x 2 + (m − 1) x + 2 m (Cm). Tìm m để từ điểm M(1;2) kẻ được đúng 2 tiếp tuyến với (Cm). HD: PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − 1) + 2 . ∆ là tiếp tuyến của (Cm) ⇔ hệ PT sau có 2  3 nghiệm:  x 2− 2 x + (m − 1) x + 2 m = k ( x − 1) + 2 ⇒ f ( x ) = 2 x 3 − 5 x 2 + 4 x − 3(m − 1) = 0 (*) 3 x − 4 x + m − 1 = k Để qua M kẻ được đúng hai tiếp tuyến đến (Cm) thì (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt 2 3  2 109  Các điểm cực trị của (Cm) là: A(1;4 − 3m), B  ; − 3m  . 3 27   Ta có f ′( x ) = 6 x 2 − 10 x + 4 ⇒ f ′( x ) = 0 ⇔ x = 1; x = www.boxtailieu.net 9  4 m = 3  A ∈ Ox Do đó (*) có đúng 2 nghiệm phân biệt ⇔  . ⇔  B ∈ Ox  m = 109  81 62. Cho hàm số y = − x 3 + 3 x 2 − 2 (C). Tìm trên đường thẳng (d): y = 2 các điểm mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). HD: Gọi M (m;2) ∈ (d ) . PT đường thẳng ∆ đi qua điểm M có dạng : y = k ( x − m) + 2 2  3 ∆ là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ PT sau có nghiệm − x 2+ 3 x − 2 = k ( x − m) + 2 −3 x + 6 x = k (1) (*). (2) Thay (2) và (1) ta được: 2 x 3 − 3(m + 1) x 2 + 6 mx − 4 = 0 ⇔ ( x − 2)  2 x 2 − (3m − 1) x + 2  = 0 x = 2 ⇔ 2  f ( x ) = 2 x − (3m − 1) x + 2 = 0 (3) Từ M kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) ⇔ hệ (*) có 3 nghiệm x phân biệt m > 2 ĐS: M (m; 0) với  2  −1 ≠ m < − 3  Cho hàm số y = ( x + 1) . ( x − 1) . Cho điểm A( a; 0) . Tìm a để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C). 2 2 ta 63. y = − x 3 + 3 x 2 − 2, d ≡ Ox . ilie Câu hỏi tương tự: u. ne t  5  ∆ > 0 ⇔ (3) có hai nghiệm phân biệt khác 2 ⇔  ⇔  m < −1 ∨ m > 3 .  f (2) ≠ 0 m ≠ 2  5  Vậy từ các điểm M(m; 2) ∈ (d) với m < −1 ∨ m > 3 có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C). m ≠ 2 ox HD: Ta có y = x 4 − 2 x 2 + 1 . PT đường thẳng d đi qua A(a; 0) và có hệ số góc k : y = k ( x − a)  x 4 − 2 x 2 + 1 = k ( x − a) .b d là tiếp tuyến của (C) ⇔ hệ phương trình sau có nghiệm:  w w k = 0 ( A) 2 x − 1 = 0 Ta có: ( I ) ⇔   2  hoặc 4 x ( x − 1)2= k 4 x3 − 4 x = k  f ( x ) = 3 x − 4ax + 1 = 0 (1) + Từ hệ (A), chỉ cho ta một tiếp tuyến duy nhất là d1 : y = 0 . (I ) ( B) w + Vậy để từ A kẻ được 3 tiếp tuyến phân biệt với (C) thì điều kiện cần và đủ là hệ (B) phải có 2 nghiệm phân biệt ( x; k ) với x ≠ ±1 , tức là phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt khác ±1 2  ′ 3 3 ⇔  ∆ = 4 a − 3 > 0 ⇔ −1 ≠ a < − hoaëc 1 ≠ a >  f (±1) ≠ 0 64. Cho hàm số y = 2 2 x +1 (C). Tìm trên Oy tất cả các điểm từ đó kẻ được duy nhất một tiếp tuyến tới x −1 (C). HD: Gọi M (0; yo ) là điểm cần tìm. PT đường thẳng qua M có dạng: y = kx + yo (d)  x +1 ( y − 1) x 2 − 2( y + 1) x + y + 1 = 0 (1)  x − 1 = kx + yo o o  o ⇔ (d) là tiếp tuyến của (C) ⇔  −2 (*) −2 =k  =k  x ≠ 1; 2 2 ( x − 1)   ( x − 1) YCBT ⇔ hệ (*) có 1 nghiệm ⇔ (1) có 1 nghiệm khác 1 y = 1 y ≠ 1  1  o  o x = ; yo = 1 ⇒ k = −8  ⇔ ⇔ 1 ∨  2 2  x = 0; ∆ ' = ( yo + 1) − ( yo − 1)( yo + 1) = 0  x = 2 yo = −1 ⇒ k = −2  Vậy có 2 điểm cần tìm là: M(0; 1) và M(0; –1). www.boxtailieu.net 10 65. Cho hàm số y = x+3 (C). Tìm trên đường thẳng d : y = 2 x + 1 các điểm từ đó kẻ được duy nhất một x −1 tiếp tuyến tới (C). HD: Gọi M (m;2m + 1) ∈ d . PT đường thẳng ∆ qua M có dạng: y = k ( x − m) + 2 m + 1 PT hoành độ giao điểm của ∆ và (C): k ( x − m) + 2 m + 1 = ⇔ kx 2 − [(m + 1)k − 2 m ] x + [ mk − (2m + 4)] = 0 x+3 x −1 (*) k ≠ 0 2 ∆ = [(m + 1)k − 2 m ] − 4 k [ mk − (2 m + 4)] = 0 tiếp xuc với (C) ⇔ (*) có nghiệm kép ⇔  k ≠ 0 2 2 2 2  g(k ) = ( m − 1) k − 4(m − m − 4)k + 4 m = 0 ⇔ Qua M (m;2m + 1) ∈ d kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C) 69. 70. 71. 72. 73. 74. 75. 76. 77. 78. t ne ta ox T×m trªn trôc Oy c¸c ®iÓm kÎ ®Õn ®å thÞ y = 9 − x 2 (C) 2 tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau Cho hàm số y = x4 – x2 + 1 . Tìm tất cả các điểm thuộc trục Oy mà từ đó kẻ được đúng ba tiếp tuyến đến (C) Cho hµm sè: y = 3x - x3 cã ®å thÞ lµ (C). T×m trªn ®−êng th¼ng y = 2 c¸c ®iÓm kÎ ®−îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å th& (C) . (HC BCVT TPHCM 1999). Cho (C): y = f ( x ) = − x 3 + 3 x 2 − 2 . T×m c¸c ®I Óm trªn (C) ®Ó kÎ ®−îc ®óng mét tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ (C). (§H D−îc 1996). Cho (C): y = f ( x ) = x 3 + ax 2 + bx + c . T×m c¸c ®iÓm trªn (C) ®Ó kÎ ®−îc ®óng mét tiÕp tuyÕn tíi ®å thÞ (C). T×m trªn ®−êng th¼ng y=2 c¸c ®iÓm kÎ ®−îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C) y = − x 3 + 3 x 2 − 2 . ( §H QG TPHCM 1999) T×m trªn ®−êng th¼ng x = 2 c¸c ®iÓm kÎ ®−îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C) y = x 3 − 3x 2 . Cho (C) y = f ( x) = − x 4 + 2 x 2 − 1 . T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm thuéc Oy kÎ ®−îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C). .b 68. w w 67. ( §H N«ng L©m 2001) T×m tÊt c¶ c¸c ®iÓm trªn trôc hoµnh mµ tõ kÎ ®−îc 3 tiÕp tuyÕn ®Õn ®å thÞ (C): y = x 3 + 3 x 2 trong ®ã cã hai tiÕp tuyÕn vu«ng gãc víi nhau 1 Cho ®å thÞ (C): y = x 4 − x 3 − 3 x 2 + 7 . T×m m ®Ó ®å thÞ (C) lu«n lu«n cã Ýt nhÊt 2 tiÕp tuyÕn 2 song song víi ®−êng th¼ng y = mx. w 66. u. m = 0  ⇔  m = −1 m = 2  m = 1 ilie ⇔ g(k ) = 0  ∆′ = −32(m2 − m − 2) > 0; g(0) = 4 m2 = 0  có đúng 1 nghiệm k ≠ 0 ⇔  ∆′ = −32(m2 − m − 2) > 0; g(0) = 4 m2 = 0  1  m − 1 = 0 ⇒ 16 k + 4 = 0 ⇒ k = − 4 ⇒ M (0;1) ⇒ M (−1; −1) ⇒ M (2;5) ⇒ M (1;3) Cho ®å thÞ (C) : y = x + 4 x 2 + 2 x + 1 . T×m trªn trôc tung c¸c ®iÓm cã thÓ kÎ Ýt nhÊt 1 tiÕp tuyÕn ®Õn (C) . Cho ®å thÞ (C): y = f ( x) = 2 x + x 2 − 4 x + 7 . T×m trªn ®−êng th¼ng x = 1 c¸c ®iÓm cã thÓ kÎ ®−îc tiÕp tuyÕn ®Õn (C) . Cho ®å thÞ (C): y = f ( x) = 5 2 − − x 2 + 7 x − 10 . T×m trªn ®−êng th¼ng y = 4 2 c¸c ®iÓm cã thÓ kÎ ®−îc tiÕp tuyÕn ®Õn (C) . Dạng 7: Tìm điều kiện của tham số để hai đường tiếp xúc nhau www.boxtailieu.net 11 79. Cho hàm số y = (2 m − 1) x − m 2 . Tìm m để đồ thị của hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x . x −1 HD: TXĐ: D = R \ {1}.  (2 m − 1) x − m 2 = x (*)   x − 1 Để đồ thị tiếp xúc với đường thẳng y = x thì:  có nghiệm. 2  (m − 1) = 1 (**)  ( x − 1)2 Từ (**) ta có (m − 1)2 = ( x − 1)2 ⇔  x = m x = 2 − m  • Với x = m, thay vào (*) ta được: 0 m = 0 (thoả với mọi m). Vì x ≠ 1 nên m ≠ 1. • Với x = 2 – m, thay vào (*) ta được: (2m − 1)(2 − m) − m2 = (2 − m)(2 − m − 1) ⇔ 4(m − 1)2 = 0 ⇔ m = 1 ⇒ x = 1 (loại) Vậy với m ≠ 1 thì đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng y = x . Tìm m để 2 đường sau tiếp xúc nhau: a. (C m ) y = x 3 − 3mx 2 − x + 3m và Ox. t 80. ne b. (C m ) : y = x 3 − (m + 1) x 2 − (2m 2 − 3m + 2) x + 2m(2m − 1) và ®−êng th¼ng y = - 49x + 98. d. (C): y = x 3 − 4 x 2 + 4 x và ( Dm ) : y = mx - 3m +3. u. c. (C m ) : y = 2mx 3 − 3 x − 16m + 6 và Ox. ta ilie e. (C): y = x 4 + x 3 + ( m − 1) x 2 − x − m và Ox. f. (C): y = x 4 + ( m − 5) x 2 − mx − 2m + 4 và Ox. g. (C1 ) : y = mx 3 + (1 − 2m)x 2 + 2mx và (C2 ) : y = 3mx 3 + 3(1 − 2m)x + 4m − 2 (m − 1)( x 2 − 2 x) + m + 4 và y= 1 mx + m x 3 + (2m − 1) x 2 − (3m − 1) x − (m 2 + 3m) k. (C m ) : y = và đường th¼ng y= x + m + 1 x−m mx 2 + (2m − 1) x + m + 2 l. TCX cña y = và (P) y = x 2 − 9 x −1 m. (C m ) y = 2 x 3 − 3( m + 3) x 2 + 18mx − 8 và Ox. w w .b ox h. (C m ) : y = x2 − x +1 và (C2 ) : y = x 2 + 1 + m x −1 x o. CMR (C) y = f ( x) = lu«n tiÕp xóc víi y= e. ln x w n. (C1 ) : y = Các bài toán khác 3 2 81. Cho hàm số y = 2 x − 3 x + 1 . Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến của (C) tại M cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 8. HD: Giả sử M ( x0 ; y0 ) ∈ (C ) ⇒ y0 = 2 x03 − 3 x02 + 1 . Ta có: y′ = 3 x 2 − 6 x . PTTT ∆ tại M: y = (6 x02 − 6 x0 )( x − x0 ) + 2 x03 − 3 x02 + 1 . đi qua P(0;8) ⇔ 8 = −4 x03 + 3 x02 + 1 ⇔ x0 = −1 . Vậy M(−1; −4) . 82. Cho hàm số y = x 3 − 3 x 2 + 1 có đồ thị (C). Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau và độ dài đoạn AB = 4 2 . HD: Giả sử A(a; a3 − 3a2 + 1), B(b; b3 − 3b2 + 1) thuộc (C), với a ≠ b . Vì tiếp tuyến của (C) tại A và B song song với nhau nên: www.boxtailieu.net 12 y ′(a) = y ′(b) ⇔ 3a2 − 6 a = 3b2 − 6 b ⇔ a 2 − b2 − 2(a − b) = 0 ⇔ (a − b)(a + b − 2) = 0 ⇔ a + b − 2 = 0 ⇔ b = 2 − a . Vì a ≠ b nên a ≠ 2 − a ⇔ a ≠ 1 Ta có: AB = (b − a)2 + (b3 − 3b2 + 1 − a3 + 3a2 − 1)2 = (b − a)2 + (b3 − a3 − 3(b2 − a2 ))2 = (b − a)2 + (b − a)3 + 3ab(b − a) − 3(b − a)(b + a)  2 = (b − a)2 + (b − a)2 ( b − a)2 + 3ab − 3.2  2 2 = (b − a)2 + (b − a)2 (b + a)2 − ab − 6  = (b − a)2 + (b − a)2 (−2 − ab)2 AB 2 = (b − a)2 1 + (−2 − ab)2  = (2 − 2 a)2 1 + (a2 − 2 a − 2)2  2  = 4(a − 1)2 1 + (a − 1)2 − 3  = 4(a − 1)2 (a − 1)4 − 6(a − 1)2 + 10  = 4(a − 1)6 − 24(a − 1)4 + 40(a − 1)2 Mà AB = 4 2 nên 4(a − 1)6 − 24(a − 1)4 + 40(a − 1)2 = 32 ⇔ (a − 1)6 − 6(a − 1)4 + 10(a − 1)2 − 8 = 0 (*) Đặt t = (a − 1)2 , t > 0 . Khi đó (*) trở thành: ĐS: A(3;2), B(−2; −2) . Cho hàm số y = f ( x ) = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 3 (C). Tìm tất cả các giá trị k, để tồn tại 2 tiếp tuyến với (C) phân biệt và có cùng hệ số góc k, đồng thời đường thẳng đi qua các tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho OA = 2011.OB . HD: PTTT của (C) có dạng: y = kx + m . Hoành độ tiếp điểm x0 là nghiệm của phương trình: ta ilie 83. Với y = x 3 − 3 x 2 + 2; AB = 4 2 . u. Câu hỏi tương tự: ne t  a = 3 ⇒ b = −1 t 3 − 6t 2 + 10t − 8 = 0 ⇔ (t − 4)(t 2 − 2t + 2) = 0 ⇔ t = 4 ⇒ (a − 1)2 = 4 ⇔   a = −1 ⇒ b = 3 Vậy 2 điểm thoả mãn YCBT là: A(3;1), B(−1; −3) . f ′( x0 ) = k ⇔ 3 x02 + 12 x0 + 9 − k = 0 w w .b ox (1) Để tồn tại 2 tiếp tuyến phân biệt thì phương trình (1) phải có 2 nghiệm phân biệt ⇔ ∆′ = 9 + 3k > 0 ⇔ k > −3 (2) k −6 2k − 9  x0 + y = Toạ độ các tiếp điểm ( x0 ; y0 ) của 2 tiếp tuyến là nghiệm của hệ:  0 3 3 . 2 3x0 + 12 x0 + 9 = k  y = x 3 + 6 x 2 + 9 x + 3 k −6 2k − 9 0 0 0 0 trình đường thẳng d đi qua các tếp điểm là: y = x+ 2 3 3 3 x0 + 12 x0 + 9 = k w Phương  Do d cắt các trục Ox, Oy tương ứng tại A và B sao cho: OA = 2011.OB nên có thể xảy ra: 9 2 + Nếu A ≡ O thì B ≡ O . Khi đó d đi qua O ⇒ k = . OB k −6 = 2011 ⇒ = ±2011 OA 3 9 ⇒ k = 6039 (thoả (2)) hoặc k = −6027 (không thoả (2)). Vậy: k = ; k = 6039 . 2 + Nếu A ≠ O thì ∆OAB vuông tại O. Ta có: tan OAB = 84. Cho hàm số y = x 3 − mx + m − 1 (Cm). Tìm m để tiếp tuyến của đồ thị (Cm) tại điểm M có hoành độ x = −1 cắt đường tròn (C) có phương trình ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = 4 theo một dây cung có độ dài nhỏ nhất. HD:Ta có: y′ = 3 x 2 − m ⇒ y′(−1) = 3 − m ; y(−1) = 2 m − 2 . (C) có tâm I (2;3) , R = 2. PTTT d tại M (−1;2m − 2) : y = (3 − m ) x + m + 1 ⇔ (3 − m) x − y + m + 1 = 0 d (I , d ) = 4−m (3 − m)2 + 1 = 1 + (3 − m) (3 − m)2 + 1 ≤ 2. (3 − m)2 + 1 (3 − m)2 + 1 = 2 0). x0 + 1   PTTT với (C) tại M: y = 3 ( x0 + 1) 2 ( x − x0 ) +  2x − 4  2 x0 − 1 ⇒ A  −1; 0  , B ( (2 x0 + 1;2 ) . x0 + 1  x0 + 1   36 + 4( x0 + 1)2 = 40  2 ⇔ x0 = 2 (y0 = 1) ⇒ M(2; 1). IA + IB = 40 ⇔  ( x0 + 1) x > 0  0 2 2 www.boxtailieu.net 21 2x − 3 có đồ thị (C). Tìm trên (C) những điểm M sao cho tiếp tuyến tại M của (C) x−2 cắt hai tiệm cận của (C) tại A, B sao cho AB ngắn nhất . 1  1  HD: Lấy điểm M  m; 2 + .  ∈ ( C ) . Ta có: y ' ( m ) = − 2 m−2  ( m − 2) 111. Cho hàm số y = Tiếp tuyến (d) tại M có phương trình : y = − 1 ( m − 2) 2 ( x − m) + 2 + 1 m−2 2   Giao điểm của (d) với tiệm cận đứng là : A  2; 2 +  m−2  Giao điểm của (d) với tiệm cận ngang là : B(2m – 2 ; 2)   1 2 Ta có : AB2 = 4 ( m − 2 ) + ≥ 8 . Dấu “=” xảy ra khi m = 2 2 ( m − 2 )   Vậy điểm M cần tìm có tọa độ là : M(2; 2) 2x − 1 x +1 1. Kh¶o s¸t sù biÕn thiªn vµ vÏ ®å thÞ (C) cña hµm sè . 2. T×m täa ®é ®iÓm M sao cho kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm I(−1; 2) tíi tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M lµ lín nhÊt . ne t Cho hµm sè y = u. 112. .b ox ta ilie  3  HD: M  x 0 ; 2 −  ∈ (C) th× tiÕp tuyÕn t¹i M cã ph−¬ng tr×nh : x0 +1   3 3 y−2+ = (x − x 0 ) hay 3(x − x 0 ) − (x 0 + 1) 2 (y − 2) − 3(x 0 + 1) = 0 2 x 0 + 1 (x 0 + 1) Kho¶ng c¸ch tõ I(−1; 2) tíi tiÕp tuyÕn lµ 3(−1 − x 0 ) − 3(x 0 + 1) 6 x0 +1 6 . Theo bÊt ®¼ng thøc C«si = = d= 4 4 9 9 + (x 0 + 1) 2 9 + ( x 0 + 1) + (x 0 + 1) (x 0 + 1)2 w w w 9 + ( x0 + 1) 2 ≥ 2 9 = 6 , v©y d ≤ 6 . Kho¶ng c¸ch d lín nhÊt b»ng ( x0 + 1) 2 9 2 = (x 0 + 1) 2 ⇔ ( x 0 + 1) = 3 ⇔ x 0 = −1 ± 3 . 2 (x 0 + 1) ( VËy cã hai ®iÓm M : M −1 + 3 ; 2 − 3 113. Cho hàm số y = ) ( hoÆc M −1 − 3 ; 2 + 3 6 khi ) 2x − 4 (C) . x +1 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số. 2. Gọi M là một điểm bất kì trên đồ thị (C), tiếp tuyến tại M cắt các tiệm cận của (C) tại A, B. CMR diện tích tam giác ABI (I là giao của hai tiệm cận) không phụ thuộc vào vị trí của M.  2a − 4  HD: Gọi M  a;  ∈ ( C ) a ≠ −1  a +1  Tiếp tuyến tại M có phương trình: y = 6 ( a + 1) 2 (x − a) + 2a − 4 a +1 2a − 10  Giao điểm với tiệm cận đứng x = -1 là A  −1;  a +1   Giao điểm với tiệm cận ngang y = 2 là B ( 2a + 1; 2 ) Giao hai tiệm cận I(-1; 2) IA = 12 1 1 ; IB = 2 ( a + 1) ⇒ SIAB = IA.AB = .24 = 12 ( dvdt ) Suy ra đpcm a +1 2 2 www.boxtailieu.net 22 2x − 1 có đồ thị (C). Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến x −1 này cắt các trục Ox , Oy lần lượt tại các điểm A và B thỏa mãn OA = 4OB. HD: Giả sử tiếp tuyến d của (C) tại M ( x0 ; y0 ) cắt Ox tại A và Oy tại B sao cho OA = 4OB. 114. Cho hàm số y = Do ∆OAB vuông tại O nên: tan A = OB 1 1 1 hoặc − . = ⇒ Hệ số góc của d bằng OA 4 4 4 Hệ số góc của d tại M là: y′ (x 0 ) = − 1 1 1 1 < 0 ⇒ y′ (x 0 ) = − ⇔ − =− 2 2 (x 0 − 1) 4 (x 0 − 1) 4 t  3   x 0 = −1 y 0 = 2  1 3 1 5 ⇔  . Vậy có hai tiếp tuyến là: y = − (x + 1) + ; y = − (x − 3) + 5 4 2 4 2  x = 3  y =  0 0  2  1 115. Cho hàm số : y = 2 + , có đồ thị (C). Viết phương trình tiếp tuyến d của đồ thị (C) sao cho x−2 đường thẳng d cùng với hai tiệm cận của (C) cắt nhau tạo thành tam giác cân . ne 2x ®å thÞ (C). T×m to¹ ®é ®iÓm M thuéc (C), biÕt tiÕp tuyÕn cña (C) t¹i M c¾t hai x +1 1 trôc Ox, Oy t¹i A, B vµ tam gi¸c OAB cã diÖn tÝch b»ng 4 3x + 1 Cho hµm sè y = (1) . TÝnh diÖn tÝch cña tam gi¸c t¹o bëi c¸c trôc täa ®é vµ tiÕp tuyÕn víi ®å x +1 thÞ hµm sè (1) t¹i ®iÓm M(-2;5). Cho hµm sè (C) y = f (x) = x 3 − 3x 2 + 1 . CMR trªn (C) cã v« sè c¸c cÆp ®iÓm mµ tiÕp tuyÕn t¹i tõng cÆp ®iÓm ®ã song song víi nhau ®ång thêi c¸c ®−êng th¼ng nèi c¸c cÆp tiÕp ®iÓm nµy ®ång qui t¹i mét ®iÓm cè ®Þnh Cho (C): y = f ( x) = x 3 + 1 − k ( x + 1) , a. ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (t) t¹i giao ®iÓm cña (C) víi Oy. b. T×m k ®Ó (t ) ch¾n trªn Ox ,Oy mét tam gi¸c cã diÖn tÝch b»ng 8. (§H An Ninh 2000 ). Cho (C) y = f ( x) = x 3 + mx 2 − m − 1 . ViÕt ph−¬ng tr×nh tiÕp tuyÕn (t) t¹i c¸c ®iÓm cè ®Þnh mµ hä (C) ®i qua. T×m quü tÝch giao ®iÓm cña c¸c tiÕp tuyÕn ®ã. 4x − 5 Cho ®å thÞ y = vµ ®iÓm M bÊt kú thuéc (C). Gäi I lµ giao diÓm 2 tiÖm cËn, tiÕp tuyÕn t¹i M −2x + 3 c¾t 2 tiÖm cËn t¹i A, B. a. CMR M lµ trung ®iÓm AB b. T×m M ®Ó chu vi tam gi¸c IAB nhá nhÊt. Cho hµm sè: y = 120. ta w 121. ox 119. .b 118. w w 117. ilie u. 116. CÁC PHẦN CÒN LẠI XIN LIÊN HỆ TÁC GIẢ THEO SỐ ĐT : 0942 667 889 . Thầy Hoàng www.boxtailieu.net 23 [...]... 2 + 1 m2 2 Giao im ca (d) vi tim cn ng l : A 2; 2 + m2 Giao im ca (d) vi tim cn ngang l : B(2m 2 ; 2) 1 2 Ta cú : AB2 = 4 ( m 2 ) + 8 Du = xy ra khi m = 2 2 ( m 2 ) Vy im M cn tỡm cú ta l : M(2; 2) 2x 1 x +1 1 Khảo sát sự biến thi n và vẽ đồ thị (C) của hàm số 2 Tìm tọa độ điểm M sao cho khoảng cách từ điểm I(1; 2) tới tiếp tuyến của (C) tại M là lớn nhất ne t Cho hàm số y = u 112... thuộc (C), biết tiếp tuyến của (C) tại M cắt hai x +1 1 trục Ox, Oy tại A, B và tam giác OAB có diện tích bằng 4 3x + 1 Cho hàm số y = (1) Tính diện tích của tam giác tạo bởi các trục tọa độ và tiếp tuyến với đồ x +1 thị hàm số (1) tại điểm M(-2;5) Cho hàm số (C) y = f (x) = x 3 3x 2 + 1 CMR trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm đó song song với nhau đồng thời các đờng thẳng... 1 Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C) .b 68 w w 67 ( ĐH Nông Lâm 2001) Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C): y = x 3 + 3 x 2 trong đó có hai tiếp tuyến vuông góc với nhau 1 Cho đồ thị (C): y = x 4 x 3 3 x 2 + 7 Tìm m để đồ thị (C) luôn luôn có ít nhất 2 tiếp tuyến 2 song song với đờng thẳng y = mx w 66 u m = 0 m = 1 m = 2 ... d k c ỳng 1 tip tuyn n (C) 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 t ne ta ox Tìm trên trục Oy các điểm kẻ đến đồ thị y = 9 x 2 (C) 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau Cho hm s y = x4 x2 + 1 Tỡm tt c cỏc im thuc trc Oy m t ú k c ỳng ba tip tuyn n (C) Cho hàm số: y = 3x - x3 có đồ thị là (C) Tìm trên đờng thẳng y = 2 các điểm kẻ đợc 3 tiếp tuyến đến đồ th& (C) (HC BCVT TPHCM 1999) Cho (C): y = f ( x ) = x 3 +... , a Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại giao điểm của (C) với Oy b Tìm k để (t ) chắn trên Ox ,Oy một tam giác có diện tích bằng 8 (ĐH An Ninh 2000 ) Cho (C) y = f ( x) = x 3 + mx 2 m 1 Viết phơng trình tiếp tuyến (t) tại các điểm cố định mà họ (C) đi qua Tìm quỹ tích giao điểm của các tiếp tuyến đó 4x 5 Cho đồ thị y = và điểm M bất kỳ thuộc (C) Gọi I là giao diểm 2 tiệm cận, tiếp tuyến tại M 2x... hm s y = + Vi x0 = 2 PTTT : y = x + 4 2x + 1 cú th (C) Gi I l giao im ca hai tim cn Tỡm im M thuc (C) x 1 sao cho tip tuyn ca (C) ti M ct 2 tim cn ti A v B vi chu vi tam giỏc IAB t giỏ tr nh nht HD: Giao im ca 2 tim cn l I (1;2) Gi M x0 ;2 + + PTTT ti M cú dng: y = 3 ( x0 1) 2 ( x x0 ) + 2 + 3 (C) x0 1 3 x0 1 + To cỏc giao im ca tip tuyn vi 2 tim cn: A 1;2 + www.boxtailieu.net 6 ... 12 x +1 2x 1 109 Cho hm s y = Gi I l giao im ca hai ng tim cn, A l im trờn (C) cú honh l 1 x 2a 1 1 2a 1 ( x a) + PT tip tuyn d ti A: y = 2 1 a 1 a (1 a) b HD: I (1; 2), A a; ox a Tip tuyn ti A ca (C) ct hai ng tim cn ti P v Q Chng t rng A l trung im ca PQ v tớnh din tớch tam giỏc IPQ 2a 1 a Giao im ca tim cn ngang v tip tuyn d: Q(2 a 1; 2) w w Giao im ca tim cn ng v tip tuyn d: P... M (1;3) Cho đồ thị (C) : y = x + 4 x 2 + 2 x + 1 Tìm trên trục tung các điểm có thể kẻ ít nhất 1 tiếp tuyến đến (C) Cho đồ thị (C): y = f ( x) = 2 x + x 2 4 x + 7 Tìm trên đờng thẳng x = 1 các điểm có thể kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) Cho đồ thị (C): y = f ( x) = 5 2 x 2 + 7 x 10 Tìm trên đờng thẳng y = 4 2 các điểm có thể kẻ đợc tiếp tuyến đến (C) Dng 7: Tỡm iu kin ca tham s hai ng tip xỳc... ( x0 + 1) 2 9 2 = (x 0 + 1) 2 ( x 0 + 1) = 3 x 0 = 1 3 2 (x 0 + 1) ( Vậy có hai điểm M : M 1 + 3 ; 2 3 113 Cho hm s y = ) ( hoặc M 1 3 ; 2 + 3 6 khi ) 2x 4 (C) x +1 1 Kho sỏt s bin thi n v v th (C) ca hm s 2 Gi M l mt im bt kỡ trờn th (C), tip tuyn ti M ct cỏc tim cn ca (C) ti A, B CMR din tớch tam giỏc ABI (I l giao ca hai tim cn) khụng ph thuc vo v trớ ca M 2a 4 HD: Gi M a; ( C )... hai tim cn) khụng ph thuc vo v trớ ca M 2a 4 HD: Gi M a; ( C ) a 1 a +1 Tip tuyn ti M cú phng trỡnh: y = 6 ( a + 1) 2 (x a) + 2a 4 a +1 2a 10 Giao im vi tim cn ng x = -1 l A 1; a +1 Giao im vi tim cn ngang y = 2 l B ( 2a + 1; 2 ) Giao hai tim cn I(-1; 2) IA = 12 1 1 ; IB = 2 ( a + 1) SIAB = IA.AB = 24 = 12 ( dvdt ) Suy ra pcm a +1 2 2 www.boxtailieu.net 22 2x 1 cú th (C) Lp phng ... = −1 Cho hàm số y = f (x) = x − 2x Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số Trên (C) lấy hai điểm phân biệt A B có hồnh độ a b Tìm điều kiện a b để hai tiếp tuyến (C) A B song song với HD: Ta có f '( x)... gãc 450 Cho hàm số y = x + (1 − m) x + (2 − m) x + m + (1) (m tham số) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + = góc α , ilie 54 HD: Gọi k hệ số góc tiếp... m = 1; m = 85 Cho hàm số y = x − 2mx + m (1) , m tham số Gọi A điểm thuộc đồ thị hàm số (1) có hồnh độ Tìm m để khoảng cách từ điểm 3  B  ;  đến tiếp tuyến đồ thị hàm số (1) A lớn 4 