ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI KHOA SƯ PHẠM PHẠM THỊ MAI ANH CÁC BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận và phương pháp dạy học (Bộ môn Toán học) Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học : PGS.TSKH. VŨ ĐÌNH HÒA HÀ NỘI - 2009 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Tổ hợp và xác suất là những kiến thức toán học rất cần phát triển ở phổ thông, những kiến thức này giúp ích nhiều cho học sinh khi các em tiếp tục học lên đại học ở các ngành toán học, kế toán, tài chính, xây dựng.... Đây là những kiến thức toán học có ứng dụng nhiều trong thực tế và còn được nghiên cứu để phát triển, mở rộng. Vì vậy việc giảng dạy để học sinh tiếp thu được những kiến thức này là rất quan trọng. Những kiến thức toán học về tổ hợp và xác suất được đưa vào trường phổ thông mới chỉ là những kiến thức cơ bản nhưng nếu so sánh với những loại kiến thức khác như lượng giác, đạo hàm, tích phân... thì đây vẫn là phần khó. Đặc biệt là phần toán xác suất mới được đưa vào chương trình toán lớp 11 từ năm học 2007-2008, có thể coi là mới mẻ với cả giáo viên và học sinh. Các thầy cô giáo cần có thời gian để đúc kết kinh nghiệm giảng dạy phần này. Với lý do trên, tôi chọn đề tài nghiên cứu là : " Các biện pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông" 2. Lịch sử nghiên cứu Ở hầu hết các nước trên thế giới, nội dung toán tổ hợp và xác suất được đưa vào chương trình giảng dạy từ cấp phổ thông trung học, nhưng ở Việt Nam thì nội dung toán học này sau nhiều lần thử nghiệm mới được chính thức đưa vào sách giáo khoa lớp 11 từ năm học 2007- 2008.Vì là nội dung mới nên các tài liệu tham khảo cho giáo viên về kiến thức toán, về phương pháp giảng dạy tổ hợp, xác suất hầu như không có. Các sách tham khảo hiện nay chỉ giúp giáo viên về hệ thống bài tập chứ không chú trọng đến những kinh nghiệm trong giảng dạy, mà giảng dạy lý thuyết toán tổ hợp và xác suất để học sinh dễ hiểu là vấn đề tương đối khó khăn. Vì vậy, việc nghiên cứu tìm ra những 2 biện pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy tổ hợp và xác suất là một hướng đi mới mẻ và rất cần sự tham gia đóng góp của các giáo viên, các nhà khoa học. 3. Mục tiêu nghiên cứu Tìm ra những biện pháp để nâng cao hiệu quả giảng dạy môn toán tổ hợp và xác suất ở trường THPT, giúp cho giáo viên đỡ mất nhiều công sức khi dạy phần này và phát huy được tốt nhất tính tích cực, chủ động trong học tập của học sinh. 4. Phạm vi nghiên cứu Phần kiến thức của chương 2 “Tổ hợp và xác suất” trong chương trình sách giáo khoa lớp 11 Nâng cao . 5. Mẫu khảo sát 6 lớp 11 trường THPT Ngô Quyền - thành phố Hải Phòng ( 11B1, 11B2, 11B3, 11B4, 11B5, 11B9 ) 6. Vấn đề nghiên cứu Trong quá trình giảng dạy tổ hợp và xác suất, người giáo viên cần có phương tiện dạy học, phương pháp dạy học, và sự đầu tư cho chuyên môn như thế nào để đạt được hiệu quả giảng dạy cao nhất ? 7. Giả thuyết nghiên cứu Sự kết hợp một cách đồng bộ các biện pháp như ứng dụng công nghệ thông tin vào bài giảng, đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh và xây dựng hệ thống bài tập thích hợp với nhiều trình độ nhận thức, phát huy tính sáng tạo sẽ giúp cho người giáo viên nâng cao được chất lượng giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông. 8. Phương pháp chứng minh giả thuyết - Dùng phiếu điều tra để khảo sát thực trạng dạy và học toán tổ hợp, xác suất ở trường THPT. - Phỏng vấn một số giáo viên về những khó khăn khi dạy tổ hợp, xác suất và những mong muốn của họ. 3 - Nghiên cứu các tài liệu về kiến thức toán tổ hợp và xác suất, các tài liệu về phương pháp giảng dạy, và các tài liệu về việc áp dụng công nghệ thông tin trong dạy học. - Thực nghiệm các biện pháp nêu trong giả thuyết và phân tích kết quả. 9. Luận cứ a) Luận cứ lý thuyết - Ứng dụng công nghệ thông tin vào việc chuẩn bị bài giảng giúp cho giáo viên thực hiện được nhiều ý đồ giảng dạy. - Định hướng đổi mới phương pháp dạy học theo hướng tích cực. - Hệ thống bài tập có vai trò quan trọng trong việc phát triển tiềm năng trí tuệ của học sinh. b) Luận cứ thực tiễn - Kết quả thực nghiệm về trình độ nhận thức và năng lực phát triển tư duy của học sinh sau quá trình giảng dạy của giáo viên có và không có sự phối hợp các biện pháp nêu trong giả thuyết. 10. Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, danh mục tài liệu tham khảo, luận văn được trình bày trong 3 chương. Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn. Chương 2: Các biện pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông. Chương 3: Thực nghiệm sư phạm. 4 CHƯƠNG 1 CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 1.1 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học ở trường phổ thông. 1.1.1 Mục tiêu giáo dục và nhiệm vụ dạy học môn toán Mục tiêu giáo dục đào tạo là đào tạo những con người lao động tự chủ, tích cực, có năng lực giải quyết vấn đề, góp phần thực hiện mục tiêu lớn của đất nước là “ Dân giàu, nước mạnh, xã hội công bằng, dân chủ , văn minh” ( Trích Nghị quyết Trung Ương Đảng khoá VIII ) Nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông cụ thể là:  Trang bị tri thức toán học cho học sinh.  Phát triển trí tuệ cho học sinh. Đây là nhiệm vụ quan trọng nhất. Dạy học môn toán có nhiệm vụ phát triển cho học sinh tư duy trừu tượng, tức là cách nghĩ gạt bỏ đi những cái cụ thể, giữ lại những cái bản chất. Dạy học môn toán có nhiệm vụ phát triển cho học sinh tư duy thuật toán, tức là cách nghĩ nhận thức và giải quyết vấn đề theo trình tự hợp lý. Ngoài ra, dạy học môn toán còn phải phát triển cho học sinh tư duy hàm, tức là toán học hóa những bài toán thực tiễn.  Rèn luyện kỹ năng cho học sinh.  Bồi dưỡng cho học sinh những phẩm chất năng lực của người lao động mới như là tính cần cù, cẩn thận, chu đáo, kiên trì…  Chuẩn bị hành trang cho học sinh sau khi rời ghế nhà trường bước vào cuộc sống lao động hoặc vào trường đại học. 1.1.2 Định hướng đổi mới phương pháp dạy học Nghị quyết Trung Ương 2 khóa VIII đã khẳng định: "Phải đổi mới phương pháp giáo dục đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp tư duy sáng tạo của người học. Từng bước áp dụng các phương 5 pháp tiên tiến và phưong tiện hiện đại vào dạy học, đảm bảo thời gian tự học, tự nghiên cứu cho học sinh, nhất là sinh viên đại học”. Định hướng trên đã được pháp chế hoá trong Luật Giáo dục, điều 24.2: “Phương pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”. Với khẩu hiệu của ngành giáo dục nước ta hiện nay là : “ Biến mỗi một trường học thành một trường học thân thiện với học sinh” thì việc đổi mới phương pháp dạy học của giáo viên là rất quan trọng. Đổi mới được phương pháp dạy học, giáo viên sẽ có nhiều thời gian hơn để quan tâm đến học sinh, cải thiện được quan hệ thầy trò, và trở thành người bạn đồng hành của các em trong quá trình trau dồi tri thức, hoàn thiện nhân cách. Người giáo viên thường phải trăn trở suy nghĩ, để tìm ra cách dạy đem lại cảm hứng cho học sinh trong học tập, đặc biệt là học sinh yếu kém. Người giáo viên dạy toán thì phải dạy cho học sinh thấy được vẻ đẹp của toán học, thấy được mối liên hệ của toán học với thực tiễn. Theo Trần Kiều - Nguyễn Thị Lan Phương [5;16], những định hướng đổi mới phương pháp dạy học là: a) Thừa nhận bản chất thực tiễn của phương pháp dạy học, hướng đến nghiên cứu cụ thể, thiết kế kỹ thuật, sáng tạo nó trong quá trình dạy học với những đặc trưng tích cực cơ bản: - Giáo viên là người tổ chức, hướng dẫn với vai trò trọng tài, cố vấn. - Học sinh là chủ thể nhận thức, được phát triển trong hoạt động, được giáo viên hướng dẫn, khuyến khích, động viên. Học sinh học tập bằng hành động tuỳ theo hứng thú và khả năng của mình. - Sử dụng ngày càng nhiều phương pháp và phương tiện kỹ thuật để có thể cá thể hoá, phân hoá việc học tập của học sinh. 6 - Quan tâm tới việc hướng dẫn học sinh học tập cá nhân. b) Công nghệ hoá quá trình dạy học theo hướng sử dụng kỹ thuật truyền thông, tương ứng với hệ thống lý luận về nội dung dạy học theo bộ môn và kiểu tổ chức bài - lớp. Từ đó tìm kiếm các giải pháp, xây dựng các lý thuyết công nghệ về phương pháp dạy học, tạo ra những tài liệu kỹ thuật cao, vạch ra con đường thiết kế phương pháp dạy học cụ thể. Muốn vậy phải : - Kế thừa những yếu tố tích cực của Phương pháp dạy học truyền thống. - Lựa chọn phối hợp các phương pháp dạy học hiện đại nhằm tích cực hoá hoạt động nhận thức của từng cá nhân học sinh. Cần làm quen dần với Phương pháp dạy học Giải quyết vấn đề, vận dụng tinh thần của lý thuyết dạy học Tình huống, phát hiện các chướng ngại nhận thức và cố gắng tạo tình huống để phá bỏ chướng ngại đó. Ở những nơi có điều kiện, cần sử dụng máy tính điện tử, máy vi tính để trợ giúp cho việc dạy học và thực hiện dạy học phân hóa. c) Phát triển phương pháp dạy học cần xem xét trên hai cơ sở : khả thi và chất lượng mới. Vì nhiều lý do, nhà trường ta hiện nay thường quan tâm đến tính khả thi của một phương pháp dạy học. Những kết quả nghiên cứu rất khó được áp dụng, nếu có thì được tiếp nhận một cách rụt rè. Tâm lý chung của giáo viên và cán bộ quản lý là dễ chấp nhận phương án thấp, dễ thực hiện hơn, có thể phổ biến nhanh chóng mà ít chú ý đến hiệu quả về sau của chúng. Vì vậy một trong các định hướng của sự phát triển phương pháp dạy học là tìm ra những giải pháp khả thi, cao hơn tình trạng hiện thực về hiệu quả và chất lượng. d) Lựa chọn mô hình ứng dụng ở Việt Nam về các mặt: tư tưởng và kỹ thuật triển khai ( phương tiện, điều kiện, quy tắc). Cụ thể : 7 - Các phương pháp dạy học sẽ phối hợp công tác độc lập của học sinh ở trên lớp và ở nhà với công tác quan sát, thí nghiệm, thực hành cùng các phương tiện trực quan, kỹ thuật ở từng giai đoạn đào tạo. - Học sinh cần được tạo điều kiện hoạt động học tập một cách độc lập dưới sự kiểm tra của giáo viên. - Phương pháp dạy học và phương pháp học tập phải thể hiện được phương pháp đặc trưng của khoa học môn học tương ứng. Lưu ý học sinh đối chiếu, so sánh, phân tích, khái quát, phát triển dần tư duy lý luận . 1.1.3 Phương pháp dạy học tích cực Phương pháp dạy học tích cực là phương pháp phát huy được tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh trong học tập. Ngược lại một phương pháp dạy học được gọi là không tích cực nếu phương pháp đó làm cho học sinh trở nên lười biếng, thụ động, học vẹt. Theo Trần Kiều - Nguyễn Thị Lan Phương [5; 22] phương pháp dạy học nào đảm bảo phối hợp nhuần nhuyễn hai cách dạy tái hiện và tìm kiếm kiến thức, trong đó tận dụng cơ hội và điều kiện để cách thứ hai chiếm ưu thế, đồng thời kết hợp hài hòa với tính sẵn sàng học tập của học sinh thì về cơ bản, phương pháp dạy học đó có khả năng tích cực hóa được quá trình học tập của học sinh, nhờ đó hình thành được các phương thức hành động và kinh nghiệm hoạt động cho các em. Theo Trần Bá Hoành [6; 15] phương pháp dạy học tích cực có 4 dấu hiệu cơ bản sau đây: a) Dạy và học thông qua tổ chức các hoạt động của học sinh. Trong phương pháp dạy học tích cực, người học - đối tượng của hoạt động dạy, đồng thời là chủ thể của hoạt động học - được cuốn hút vào các hoạt động học tập do giáo viên tổ chức và chỉ đạo, thông qua đó tự lực khám phá ra kiến thức và những điều mình cần chứ không phải thụ động tiếp thu những 8 tri thức đã được giáo viên sắp đặt; người học trực tiếp quan sát, thảo luận, làm thí nghiệm, giải quyết vấn đề đặt ra theo cách suy nghĩ của mình, từ đó vừa nắm được kiến thức kỹ năng mới, vừa nắm được phương pháp làm ra kiến thức, kỹ năng đó. b) Dạy và học chú trọng rèn luyện phương pháp tự học. Trong phương pháp dạy học tích cực, nếu giáo viên chú trọng rèn luyện cho người học có được phương pháp, kỹ năng, thói quen, ý chí tự học thì sẽ tạo cho họ lòng ham học, khơi dậy nội lực vốn có trong mỗi người, kết quả học tập sẽ được nhân lên gấp bội. Ngoài ra, người học còn có khả năng và mong muốn tự học suốt đời. c) Tăng cường cá thể, phối hợp với học tập hợp tác. Khi áp dụng các phương pháp dạy học tích cực thì giáo viên phải chấp nhận sự phân hóa về cường độ, tiến độ hoàn thành nhiệm vụ học tập của học sinh bởi khả năng tư duy của học sinh trong một lớp học là không thể đồng đều nhau. Tuy nhiên, giáo viên có thể sử dụng các phương tiện công nghệ thông tin trong nhà trường để đáp ứng yêu cầu cá thể hóa hoạt động học tập theo nhu cầu và khả năng của học sinh. Trong học tập, không phải mọi tri thức, kỹ năng, thái độ đều được hình thành bằng các hoạt động độc lập cá nhân. Lớp học là môi trường giao tiếp thầy - trò, trò - trò, tạo nên mối quan hệ hợp tác giữa các cá nhân trong quá trình dạy và học. Thông qua thảo luận, tranh luận trong tập thể, ý kiến của mỗi cá nhân được bộc lộ, khẳng định hay bác bỏ, qua đó người học cũng tự nâng mình lên một trình độ mới. Như vậy, mỗi bài học phải vận dụng được vốn hiểu biết và kinh nghiệm của mỗi học sinh hay của cả tập thể lớp chứ không phải chỉ dựa trên vốn hiểu biết và kinh nghiệm sống của thầy giáo. d) Kết hợp đánh giá của thầy với đánh giá của trò. Trong phương pháp dạy học tích cực, giáo viên phải hướng dẫn học sinh phát triển kỹ năng tự đánh giá để tự điều chỉnh cách học. Ngoài ra, giáo viên 9 còn phải tạo điều kiện thuận lợi để học sinh được tham gia đánh giá lẫn nhau. Tự đánh giá đúng và điều chỉnh kịp thời là năng lực rất cần cho sự thành đạt trong cuộc sống mà nhà trường cần trang bị cho học sinh. Những phương pháp dạy học đang được quan tâm hiện nay là phương pháp hợp tác, phương pháp tự học, phương pháp dạy học đàm thoại phát hiện, phương pháp dạy học khám phá. 1.1.3.1 Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề Các nhà giáo dục cho rằng học tập là quá trình tự phát hiện và khám phá những tri thức mới cho bản thân, tốt nhất trong giáo dục là biến quá trình dạy học thành quá trình tự học, biến quá trình đào tạo thành quá trình tự đào tạo. a) Những khái niệm cơ bản của phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề - Vấn đề : Trong phương pháp dạy học này, vấn đề được biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề, câu, yêu cầu hoạt động chưa được giải đáp, chưa có phương pháp mang tính thuật toán để thực hiện. - Tình huống gợi vấn đề : Là tình huống trong đó có một vấn đề gợi nhu cầu nhận thức, gây niềm tin ở khả năng giải quyết được của học sinh. - Kiểu dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề : Là kiểu dạy học mà giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề, điều khiển học sinh phát hiện và giải quyết vấn đề, qua đó mà học sinh lĩnh hội được tri thức, rèn luyện được kỹ năng, đạt được mục tiêu dạy học. b) Các bước dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề - Phát hiện vấn đề. - Tìm giải pháp. - Trình bày giải pháp. - Nghiên cứu sâu giải pháp. Phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề đem lại hiệu quả cao khi được giáo viên sử dụng trong việc giảng dạy bài tập cho học sinh. 10 1.1.3.2 Phương pháp dạy học kiến tạo Nhà tâm lý học Piagiê trong suốt cuộc đời (1896-1980) ông chỉ theo đuổi một mục đích: xây dựng một học thuyết về sự phát sinh tri thức. Ông nghiên cứu đề tài trả lời câu hỏi: tri thức đến với con người như thế nào? Câu trả lời là: nhận thức của con người là một quá trình thích ứng với môi trường qua hai hoạt động đồng hoá và điều tiết. Đồng hóa là quá trình vận dụng những kiến thức sẵn có để giải quyết vấn đề, bài toán, còn điều tiết là sự thay đổi, thậm chí bác bỏ quan niệm đã có để giải quyết vấn đề, bài toán. Đó chính là lý thuyết kiến tạo. Theo lý thuyết kiến tạo thì tri thức được kiến tạo một cách tích cực bởi chủ thể nhận thức. Chính người học sẽ kiến tạo nên các tri thức cho mình, người học phải tích cực, chủ động, sáng tạo. Theo TS. Cao Thị Hà, con đường tổ chức dạy học theo lý thuyết kiến tạo được thực hiện theo quy trình sau: - Giáo viên xác định các tri thức, kinh nghiệm đã có của học sinh liên quan đến tri thức mới cần dạy để từ đó tạo môi trường kích hoạt học sinh kiến tạo tri thức mới. - Tạo cơ hội tập duyệt cho học sinh mò mẫm, dự đoán, đề xuất các phán đoán, giả thuyết. Từ đó, nhờ quá trình tư duy mà học sinh làm bộc lộ đối tượng mang tính động cơ, nhu cầu tìm kiếm kiến thức mới. - Tổ chức cho học sinh thảo luận theo nhóm nhằm kiểm chứng các giả thuyết, đề xuất các cách giải khác nhau để giải quyết vấn đề. - Giáo viên thể chế hóa kiến thức học sinh tìm được. Phương pháp dạy học này đặc biệt có hiệu quả cao khi được sử dụng trong việc giảng dạy các khái niệm toán học. 1.1.3.3 Phương pháp dạy học khám phá có hướng dẫn.  Học sinh sẽ thông hiểu, ghi nhớ và vận dụng hiểu biết của mình thông qua hoạt động tự giác, chủ động, khám phá những điều mới mẻ đối với bản thân. 11 Tới một trình độ nhất định thì sự khám phá đó sẽ mang tính nghiên cứu khoa học. Vậy, sử dụng phương pháp dạy học khám phá có ý nghĩa tập dượt cho học sinh sáng tạo. Dù những sáng tạo chỉ ở mức độ thấp nhưng cũng đủ để mang lại cho học sinh niềm vui và sự hứng thú trong học tập.  Để dạy học khám phá, người giáo viên cần thiết kế bài dạy thành một chuỗi các hoạt động phù hợp với năng lực, trình độ của học sinh sao cho sau những hoạt động ấy, học sinh tự lực khám phá ra những tri thức mới.  Các dạng hoạt động khám phá trong lớp học : +) Các hình thức: - Hình thức đàm thoại phát hiện. - Thông qua biểu bảng. - Thông qua kiểm nghiệm, đề xuất giả thuyết. - Tranh luận, thảo luận về một vấn đề nêu ra, các phương pháp giải một bài toán. - Cho học sinh làm các bài tập lớn, tập dượt nghiên cứu. +) Các biện pháp thực hiện: - Sử dụng phiếu học tập. - Thảo luận từng vấn đề trên lớp dưới sự hướng dẫn của giáo viên. - Học sinh tự tổ chức thảo luận. +) Điều kiện thực hiện: - Đa số học sinh phải có những kiến thức, kỹ năng cần thiết để thực hiện các hoạt động do giáo viên đưa ra. - Số lượng các hoạt động vừa phải, không quá ít, không quá nhiều. - Mỗi hoạt động phải được mô tả, yêu cầu rõ ràng để học sinh thực hiện được chính xác yêu cầu hoạt động của giáo viên. 1.1.3.4 Phương pháp dạy học tự học. Trong xã hội hiện đại đang biến đổi nhanh chóng với sự bùng nổ thông tin, sự phát triển của khoa học và công nghệ, việc chuẩn bị cho học sinh thích ứng 12 với xã hội đó là rèn luyện cho họ có năng lực tự học suốt đời. Rõ ràng là không ai dạy được và học được tất cả các tri thức của nhân loại. Nhà trường phổ thông chỉ trang bị cho học sinh những tri thức cơ bản nhất, còn quan trọng là học sinh phải biết tự học trong quá trình công tác sau này. a) Vai trò của tự học: - Tự học giúp cho học sinh tự lực nắm vững tri thức, kỹ năng, kỹ xảo và nghề nghiệp trong tương lai. Trong quá trình tự học, mỗi học sinh phải tự vận động để từng bước biến vốn kinh nghiệm lịch sử của loài người thành vốn tri thức riêng của bản thân mình. - Tự học giúp cho học sinh có được hứng thú, thói quen và phương pháp tự học thường xuyên để không ngừng làm phong phú và hoàn thiện vốn hiểu biết của mình, tránh được sự lạc hậu trước sự bùng nổ thông tin, khoa học kỹ thuật trong thời đại ngày nay. - Tự học giúp học sinh hình thành niềm tin khoa học, rèn luyện ý chí phấn đấu, đức tính kiên trì, óc phê phán, lòng say mê nghiên cứu khoa học. b) Các hình thức dạy tự học Có nhiều hình thức dạy tự học khác nhau nhưng hình thức dạy tự học cho học sinh ở trên lớp chủ yếu là hình thức sau:  Hình thức sử dụng phiếu học tập Trước mỗi nội dung học tập, giáo viên đưa cho mỗi học sinh một phiếu học tập mà trong đó ghi các hoạt động ( yêu cầu, bài tập) mà học sinh phải tự thực hiện. Phiếu được soạn thảo sao cho phù hợp với trình độ của học sinh (học sinh phải tự lực giải quyết được các vấn đề đó). Nếu đã giải quyết được vấn đề thì tức là học sinh đã tự tìm ra được kiến thức mới (đúng theo ý định của giáo viên). Sau đó , giáo viên giúp các em tự điều chỉnh, chuẩn hóa kiến thức ban đầu ấy thành tri thức khoa học. Hình thức dạy học này cũng giống các hình thức dạy học tự học khác ở chỗ: quá trình lĩnh hội kiến thức của học sinh có thể được mô tả dưới dạng 13 hình xoắn ốc (mỗi một vòng xoắn biểu thị một độ nắm kiến thức của học sinh). Sử dụng hình thức dạy học này giáo viên phải mất nhiều công sức chuẩn bị nhưng hiệu quả mà nó mang lại sẽ tương xứng với công sức bỏ ra đó.  Hình thức dạy học theo chương trình hóa: Dạy học theo chương trình hóa là một thuật ngữ để chỉ cách dạy học được điều khiển bởi chương trình hóa tương tự như chương trình máy tính. Dạy học chương trình hóa thường được hiểu bao gồm cả hai phương tiện : xây dựng chương trình và sử dụng những chương trình có sẵn để điều khiển quá trình học tập. Theo cách dạy này thì giáo viên phải cụ thể hóa mục tiêu dạy học thành những kết quả mong đợi, sau đó xây dựng và thực hiện một phương án dạy ( bao gồm cả kiểm tra ) để tác động tới học sinh. Học sinh một mặt chịu tác động của phương án dạy này, mặt khác là chủ thể gây nên một phương án học tương ứng nhằm phát triển nhân cách của bản thân mình. Kết quả kiểm tra được so sánh với kết quả mong đợi và phản hồi lại cho giáo viên, để từ đó giáo viên quyết định bước tiếp theo của quá trình dạy học. [8; 229] Phương pháp dạy học này có những ưu điểm như: - Điều khiển chặt chẽ hoạt động học tập trên từng đơn vị nhỏ của quá trình dạy học. - Tạo ra tính độc lập cao của hoạt động học tập. - Đảm bảo thường xuyên có sự phản hồi qua lại giữa hai quá trình dạy và học. - Cá biệt hóa việc dạy học.  Dạy tự học với sách giáo khoa Để rèn luyện cho học sinh khả năng tự học thì giáo viên cần thiết phải bồi dưỡng cho các em kỹ năng đọc sách và tự lực nghiên cứu tài liệu học tập. Việc đọc sách tự nghiên cứu sẽ giúp cho các em nắm kiến thức ở mức độ sâu và rộng hơn. Để việc tự đọc sách của học sinh có hiệu quả thì giáo viên cần 14 phải đặt cho học sinh một nhiệm vụ nhận thức, vạch ra một loạt các vấn đề cần lĩnh hội và xác định trình tự đọc ( dưới dạng hệ thống các câu hỏi ). Hình thức dạy tự học với sách giáo khoa cần được khuyến khích với học sinh khá, giỏi ở trường phổ thông. Có thói quen và kỹ năng đọc sách các em sẽ dễ dàng quen với cách học trên trường đại học sau này, ngoài ra nó còn giúp các em có khả năng tự học suốt đời. 1.2 Vai trò của công nghệ thông tin trong dạy học toán. Trong thời đại ngày nay, công nghệ thông tin là giải pháp quan trọng cần triệt để khai thác khi dạy và học. Công nghệ thông tin có thể giúp cho con người chọn nhập và xử lý thông tin nhanh chóng để biến thành tri thức. Theo tài liệu free NCET (1995) leaflet, Mathematics ang IT - apupil's entitlement, hai tác giả Sue Johnston - Wilder và David Pimm đã đưa 6 hướng chính sử dụng CNTT nhằm cung cấp các điều kiện cho người học toán, cụ thể: - Học tập dựa trên thông tin ngược: Máy tính có khả năng cung cấp nhanh và chính xác các thông tin phản hồi dưới góc độ khách quan. Từ những thông tin phản hồi như vậy cho phép người học đưa ra sự ước đoán của mình và từ đó có thể thử nghiệm, thay đổi ý tưởng của người học. - Khả năng quan sát các mô hình: Với khả năng và tốc độ xử lý của máy tính điện tử giúp người học đưa ra nhiều ví dụ khi khám phá các vấn đề trong toán học. Máy tính sẽ trợ giúp người học quan sát, xử lý các mô hình từ đó đưa ra lời chứng minh trong trường hợp tổng quát. - Phát hiện các mối quan hệ trong Toán học: Máy tính điện tử cho phép tính toán biểu bảng, xử lý đồ họa một cách chính xác và liên kết chúng lại với nhau. Việc cho thay đổi một vài thành phần và quan sát sự thay đổi trong các thành phần còn lại đã giúp người học phát hiện ra mối tương quan giữa các đại lượng. 15 - Thao tác với các hình động: Người học có thể sử dụng máy tính điện tử để biểu diễn các biểu đồ một cách sinh động. Việc đó đã giúp cho người học hình dung ra các hình hình học một cách tổng quát từ hình ảnh của máy tính. - Khai thác tìm kiếm thông tin: Máy tính điện tử cho phép người sử dụng làm việc trực tiếp với các dữ liệu thực, từ đó hình dung ra sự đa dạng của nó và sử dụng để phân tích hay làm sáng tỏ một vấn đề toán học. - Dạy học với máy tính: Khi người học thiết kế thuật toán để sử dụng máy tính điện tử giúp tìm ra kết quả thì người học phải hoàn thành dãy các chỉ thị mệnh lệnh một cách rõ ràng, chính xác. Họ đã sắp đặt các suy nghĩa của mình cũng như các ý tưởng một cách rõ ràng. Công nghệ thông tin cũng mở ra triển vọng lớn trong việc đổi mới các phương pháp và hình thức dạy học. Các hình thức dạy học như: dạy học đồng loạt, dạy học theo nhóm, dạy cá nhân cũng có những đổi mới trong môi trường công nghệ thông tin. Do sự phát triển của công nghệ thông tin mà mọi người đều có trong tay nhiều công cụ hỗ trợ cho quá trình dạy học nói chung và phần mềm dạy học nói riêng. 1.3 Hệ thống bài tập trong dạy học toán tổ hợp và xác suất. Việc giảng dạy bài tập toán tổ hợp và xác suất trong nhà trường không chỉ giúp cho học sinh hiểu được một cách sâu sắc và đầy đủ những kiến thức quy định trong chương trình mà còn giúp các em vận dụng những kiến thức đó để giải quyết những nhiệm vụ của học tập và những vấn đề mà thực tiễn đặt ra. Để giải được một bài toán tổ hợp và xác suất trôi chảy, học sinh phải có các năng lực toán học như biết phân tích tình huống, biết quy lạ về quen, biết mô hình hóa bài toán, biết xây dựng các dạng bài tập, biết cách diễn đạt rõ ràng, dễ hiểu. Và giáo viên phải là người hình thành cho học sinh các năng lực toán học này. Để thực hiện tốt nhiệm vụ của mình là đồng hành cùng học sinh khám phá và làm chủ tri thức, người giáo viên cần phải xây dựng một hệ thống bài tập toán tổ hợp và xác suất đảm bảo được các yêu cầu sau : 16 - Có các bài tập cơ bản, vận dụng được ngay công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị để củng cố kiến thức. - Có các bài tập theo dạng mà học sinh có thể tự thay đổi được các giả thiết, điều kiện để hình thành bài toán mới. Đây là những bài tập để rèn kỹ năng cho học sinh. - Có các bài tập đòi hỏi học sinh phải biết phân tích tình huống để tìm được quan hệ nội tại trong bài toán, từ đó đưa về mô hình bài toán quen thuộc. Đây là những bài tập có chức năng phát triển tư duy, phát huy tính sáng tạo của học sinh. - Có các bài toán lấy ra từ thực tiễn để học sinh được tìm hiểu thêm kiến thức, và các em có thêm hứng thú với môn học. Khi dạy học bài tập toán tổ hợp và xác suất giáo viên cũng phải thiết kế bài dạy thành một chuỗi các hoạt động theo trình tự sau : - Hoạt động 1: Tìm hiểu nội dung bài toán. - Hoạt động 2: Xây dựng chương trình giải. - Hoạt động 3: Thực hiện chương trình giải. - Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải. 1.4. Dạy và học toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông. 1.4.1. Chương trình học 1.4.1.1 Mục tiêu của chương tổ hợp và xác suất trong sách giáo khoa Giải tích nâng cao lớp 11. Chương tổ hợp và xác suất cung cấp cho học sinh những hiểu biết ban đầu, cơ bản về tổ hợp và xác suất. a) Về kiến thức Giáo viên có nhiệm vụ giúp cho học sinh - Nắm vững hai quy tắc đếm cơ bản là qui tắc cộng và quy tắc nhân. 17 - Hiểu được các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp. Đặc biệt thấy rõ mối liên hệ và sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp. Nhớ các công thức tính số hoán vị, số chỉnh hợp và số tổ hợp. - Nhớ công thức khai triển nhị thức Niu-tơn. - Nắm được các khái niệm : phép thử, không gian mẫu, kết quả thuận lợi cho một biến cố. - Nắm vững cách tính xác suất theo định nghĩa cổ điển. - Nắm vững quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất. - Làm quen với khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc và các đặc trưng quan trọng của nó là kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn. Nhớ công thức tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn. b) Về kĩ năng Giáo viên có nhiệm vụ giúp cho học sinh - Biết vận dụng hai quy tắc đếm cơ bản, các công thức tính số hoán vị, số tổ hợp và số chỉnh hợp để giải một số bài toán tổ hợp đơn giản. - Biết vận dụng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn. - Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác suất. - Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một số bài toán xác suất đơn giản. - Biết lập bảng phân bố xác suất : biết tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc đơn giản. 1.4.1.2 Cấu tạo của chương Nội dung của chương Tổ hợp và Xác suất được thực hiện trong 21 tiết, phân phối cụ thể như sau: Phần A . Tổ hợp ( 8 tiết ) Bài 1. Hai quy tắc đếm cơ bản. 1 tiết Bài đọc thêm. Quy tắc cộng mở rộng 18 Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp. 3 tiết Luyện tập 2 tiết Bài 3. Nhị thức Niu-tơn. 1 tiết Luyện tập. 1 tiết Em có biết? Một số mẩu chuyệnvề nhà Toán học Pascal ? Phần B . Xác suất ( 11 tiết ) Bài 4. Biến cố và xác suất của biến cố 2 tiết Luyện tập 1 tiết Em có biết ? Cuốn sách tiếng Việt về Xác suất - Thống kê xuất bản lần đầu tiên ở nước ta. Bài 5. Các quy tắc tính xác suất. 2 tiết Bài đọc thêm Sử dụng máy tính bỏ túi trongtính toán tổ hợp và xác suất Luyện tập 2 tiết Em có biết ? Xác suất và số  Bài 6. Biến ngẫu nhiên 2 tiết Bài đọc thêm Liên hệ giữa biến ngẫu nhiên rời rạc và thống kê Luyện tập 2 tiết Ôn tập và kiểm tra chương 2 2 tiết 1.4.2 Thực trạng dạy học toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông. Toán tổ hợp được đưa vào chương trình phổ thông từ nhiều năm trước và là một nội dung được nhiều thầy cô giáo và học sinh quan tâm. Nhưng để học sinh hiểu được sâu sắc và thấy được cái hay của các bài toán tổ hợp, xác suất thì cả giáo viên và học sinh đều phải bỏ ra rất nhiều thời gian và công sức. Giáo viên cần có thời gian giảng dạy vài năm để đúc rút được kinh nghiệm giảng dạy phân môn này. Học sinh cũng mất một khoảng thời gian học để làm chủ kiến thức lâu hơn là khi học các nội dung khác. Toán xác suất mới được đưa vào chương trình giảng dạy ở phổ thông từ năm 2007 nên còn rất mới mẻ với cả học sinh và giáo viên. Nhưng học sinh 19 mới chỉ được tiếp cận với định nghĩa xác suất cổ điển là chính và một số khái niệm mở đầu. Các em không được tiếp cận nhiều với định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê. Vì vậy, nếu học tốt phần tổ hợp thì đến phần xác suất các em mới có thể làm được bài tập, còn nếu không nắm chắc toán tổ hợp thì phần xác suất lại tiếp tục là một gánh nặng với các em. Kết thúc học kỳ I năm học 2007 - 2008, chúng tôi có lập phiếu phỏng vấn cả giáo viên và học sinh năm lớp 11 trường THPT Ngô Quyền - Hải Phòng, về những thuận lợi và khó khăn khi dạy và học toán tổ hợp, xác suất. Kết quả thu được đã phản ánh thực trạng sau : a) Về phía học sinh  Khi học lý thuyết: Học sinh thường rất có hứng thú với những vấn đề giáo viên đặt ra lúc bắt đầu giờ học. Tuy nhiên, khi học đến các định nghĩa và xây dựng các công thức tính số tổ hợp, chỉnh hợp thì các em đều cảm thấy trừu tượng, khó hiểu. Nếu không có sự hướng dẫn của giáo viên, các em thường không hình dung được cơ chế chọn lựa, sắp xếp diễn ra như thế nào trong trường hợp tổng quát n đối tượng. Những học sinh trung bình thì chưa thể phân biệt được ngay sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp trong giờ lý thuyết.  Khi làm bài tập : - Học sinh ở mức trung bình còn chưa biết mô hình hóa bài toán theo các cấu hình chỉnh hợp, tổ hợp nên các em không biết khi nào thì dùng công thức chỉnh hợp, khi nào thì dùng công thức tổ hợp . - Học sinh có lực học khá, giỏi đôi khi vẫn lúng túng trong việc thiết kế các công đoạn chọn lựa, hoặc tìm quan hệ giữa các khái niệm toán học để đưa về bài toán tổ hợp. - Đa số học sinh khi làm bài tập phần này đều dễ bị nhầm lẫn. Nguyên nhân dẫn đến nhầm lẫn có thể là dùng nhầm công thức, quy tắc, thiết kế thiếu công đoạn, hoặc tính thừa trường hợp, tính lặp một số trường hợp mà không biết… 20 Vì vậy, khi giải xong một bài toán, các em thường không mấy tự tin vào đáp số của mình. - Khi mới học, học sinh thường không biết diễn đạt ý hiểu của mình, trình bày dài dòng, phức tạp. - Đa số học sinh thường có cảm giác không chắc chắn khi học toán tổ hợp, xác suất. Các em thấy khó rút ra kinh nghiệm, phương pháp làm bài và rất dễ quên khi chuyển sang học phần kiến thức mới. - Đa số học sinh khi học xong nội dung này đều không hiểu ứng dụng thực tế của tổ hợp, xác suất. b) Về phía giáo viên  Khi dạy lý thuyết: - Giáo viên dễ dàng tạo được không khí học tập sôi nổi, hào hứng cho học sinh thông qua các ví dụ trong thực tế. - Dạy định nghĩa, công thức tổ hợp, chỉnh hợp, xác suất, giáo viên phải thuyết trình nhiều hơn khi dạy các nội dung toán học khác. - Giáo viên thường mất thời gian để tìm và vẽ hình minh họa cho các quá trình chọn lựa, mất thời gian viết bảng. - Giáo viên gặp khó khăn trong việc dạy phân hóa học sinh. - Giáo viên gặp khó khăn khi đi tìm tài liệu để mở rộng kiến thức, và khi đi tìm ứng dụng trong thực tế của tổ hợp, xác suất. - Giáo viên chưa có nhiều kinh nghiệm trong việc giảng dạy xác suất.  Khi dạy bài tập - Do dạng bài tập của phần tổ hợp, xác suất rất đa dạng, phong phú nên giáo viên phải mất công chọn lọc, tổng hợp, khái quát hóa thành một hệ thống phù hợp với nhiều trình độ nhận thức của học sinh. - Thời gian chữa bài tập trên lớp không nhiều nhưng giáo viên vẫn phải chữa một số lượng lớn bài tập với đầy đủ các bước sau : +) Củng cố lại lý thuyết. 21 +) Hướng dẫn học sinh nhận dạng bài tập, mô hình hóa các tình huống để vận dụng công thức cho đúng. +) Chữa mẫu một số bài tập cơ bản. +) Hướng dẫn học sinh cách trình bày lời giải sao cho cô đọng, dễ hiểu. +) Dành thời gian để tìm hiểu và giải thích những sai lầm của học sinh. +) Dành thời gian dạy phân hóa: Rèn kỹ năng cho học sinh trung bình và hướng dẫn học sinh khá giỏi làm bài tập khó để phát triển trí tuệ. Tuy dạy và học bài tập tổ hợp, xác suất rất vất vả nhưng giáo viên vẫn có thể tạo hứng thú học tập cho học sinh bằng cách hướng dẫn, khuyến khích các em tự nghĩ ra các ví dụ hay bài tập vừa sức. Kết luận chương 1 Xuất phát từ cơ sở lý luận và thực tiễn đã trình bày ở trên, chúng tôi kết luận rằng: Những nội dung kiến thức toán trong chương Tổ hợp và Xác suất đều lôi cuốn được cả học sinh và giáo viên. Đây là những kiến thức toán học quan trọng nên giáo viên rất coi trọng cách dạy, cách truyền thụ sao cho học sinh nắm bắt được vấn đề một cách tốt nhất, vận dụng lý thuyết để giải bài tập có hiệu quả nhất. Trong giảng dạy toán tổ hợp, xác suất giáo viên cần thiết kế những giờ dạy mà người học thật sự đóng vai trò trung tâm, người học chủ động, tích cực lĩnh hội tri thức. Giáo viên cần dựa vào từng đơn vị kiến thức trong bài để chọn ra một phương pháp dạy học thích hợp mang lại hiệu quả giảng dạy cao nhất. Các phương pháp dạy học tích cực có thể ứng dụng trong giờ dạy tổ hợp, xác suất là phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học kiến tạo, phương pháp dạy học tự học. Việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học tổ hợp mang lại hiệu quả cao trong giảng dạy vì nó hỗ trợ giáo viên rất nhiều trong việc mô phỏng quá trình xây dựng kiến thức, trong việc dẫn dắt học sinh khám phá tri thức mới . 22 Ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học không chỉ làm cho bài giảng trở nên sinh động, dễ hiểu mà còn phải hướng tới việc dạy tự học cho học sinh. Hiện nay, việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học không còn là vấn đề quá khó, quá mới mẻ với các thầy cô giáo, hầu hết các thầy cô đều có thể tự tìm tòi, nghiên cứu các phần mềm để ứng dụng công nghệ trong quá trình làm việc của mình. Để nội dung toán tổ hợp, xác suất thật sự hấp dẫn với học sinh thì chính giáo viên cũng cần có những nghiên cứu sâu hơn về những kiến thức này. Công sức nghiên cứu của giáo viên sẽ được thể hiện thông qua hệ thống bài tập phong phú, đa dạng, có sáng tạo, dành cho nhiều đối tượng nhận thức. Những nghiên cứu của giáo viên cũng cần hướng tới việc chỉ ra cho học sinh những đặc trưng riêng của toán tổ hợp, xác suất, những ứng dụng trong thực tế, và những cách tư duy, những cách tiếp cận khác nhau đối với cùng một vấn đề của nội dung toán học này. 23 CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 2.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong quá trình dạy học toán tổ hợp và xác suất của giáo viên. 2.1.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc xây dựng bài giảng của giáo viên. 2.1.1.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc mô tả các quá trình chọn lựa của lý thuyết tổ hợp. Ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy lý thuyết tổ hợp thường giúp cho các thầy cô giáo đạt được những kết quả quan trọng sau : - Thu hút sự chú ý của hầu hết học sinh ngay từ những phút đầu của giờ học. - Giúp cho học sinh tiếp cận nội dung vấn đề một cách nhanh nhất, từ đó tiết kiệm được thời gian thuyết trình. - Minh họa, diễn giải được những nội dung kiến thức khó. - Hỗ trợ sự tương tác giữa hoạt động dạy và hoạt động học của giáo viên và học sinh. Ví dụ 1: Khi dạy về công thức hoán vị, trước khi chứng minh công thức tổng quát là sắp xếp n vật vào n vị trí khác nhau, giáo viên có thể cho học sinh quan sát việc sắp xếp một số ít đối tượng, chẳng hạn như sắp xếp 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau. Sau đó, giáo viên nâng dần mức độ khó bằng cách cho học sinh thực hiện việc cắm 5 lá cờ của 5 nước vào 5 hành tinh khác nhau. Việc quan sát và tự thực hiện quá trình sắp xếp sẽ giúp cho giờ học sôi nổi, hào hứng hơn và điều quan trọng nhất là học sinh hình dung được rõ ràng cách thức sắp xếp sao cho có đầy đủ các kết quả. Từ đó, việc chứng minh công thức hoán vị của giáo viên trở nên đơn giản đi rất nhiều, đặc biệt giáo viên có thể khuyến khích các em tự chứng minh công thức. Các thầy cô giáo 24 có thể dùng chương trình Flash để xây dựng nên mô hình sắp xếp này. Trong quá trình dạy, giáo viên vừa có thể hỏi học sinh về các khả năng lựa chọn, vừa có thể thao tác trực tiếp, nhanh chóng trên các đối tượng được sắp xếp theo ý của học sinh. Hình vẽ 2.1 : Sắp xếp 3 học sinh vào 3 vị trí khác nhau. Hình vẽ 2.2: Cắm cờ vào các vị trí khác nhau Ví dụ 2: Khi bắt đầu vào bài quy tắc nhân, giáo viên có thể đưa một ví dụ về cách chọn lộ trình đi từ thành phố X đến thành phố Z, mà trong lộ trình phải có thành phố Y. Giáo viên có thể tạo một file flash mô tả chuyển 25 động của các phương tiện giao thông trong các lộ trình khác nhau. File flash này có tác động tích cực đến cảm quan của học sinh, dễ thu hút sự chú ý của các em vào nội dung bài học quy tắc nhân. Hình vẽ 2.3: Chọn đường đi từ thành phố X đến thành phố Z Ví dụ 3: Trong nội dung chương trình sách giáo khoa lớp 11 thì công thức tính số tổ hợp được xây dựng dựa trên công thức tính số chỉnh hợp.Vì thế, khi chứng minh công thức tổ hợp, giáo viên nên trình chiếu hoặc vẽ sơ đồ quá trình tạo một chỉnh hợp, việc trình chiếu này sẽ giúp cho học sinh hiểu rõ hơn các bước xây dựng công thức tổ hợp. Hình vẽ 2.4: Quá trình tạo các chỉnh hợp chập k của n phần tử 26 2.1.1.2 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc xây dựng giáo án để thể hiện ý đồ dạy học của giáo viên. Một số ví dụ ứng dụng công nghệ thông tin để xây dựng các bài giảng mẫu. Ví dụ 1: Khi dạy lý thuyết bài Hoán vị giáo viên có thể xây dựng giáo án điện tử để chứng minh công thức tìm số hoán vị của một tập hợp. Giáo án điện tử này không chỉ để trình chiếu kiến thức mà nó còn phải thể hiện được sự tương tác giữa hoạt động dạy và hoạt động học của giáo viên và học sinh. Với file hình ảnh dưới đây, giáo viên vừa có thể thực hiện thao tác đưa từng phần tử vào các vị trí cho trước vừa có thể hỏi học sinh về số cách lựa chọn phần tử ở mỗi một công đoạn. Hình vẽ 2.5: Chứng minh công thức tính số hoán vị của n phần tử Ví dụ 2: Khi dạy bài biến ngẫu nhiên rời rạc, giáo viên cần phải vẽ các bảng phân bố xác suất, cần đưa ra những công thức tính các số đặc trưng của biến ngẫu nhiên và việc này có thể làm mất khá nhiều thời gian trên lớp. Do đó, các thầy cô giáo có thể soạn giáo án điện tử có sẵn bảng phân bố và các công thức, sau đó trình chiếu trong tiến trình dạy học. Như vậy, các thầy cô sẽ có thêm thời gian để giải thích công thức và hướng dẫn học sinh làm nhiều ví dụ minh họa hơn. 27 Hình vẽ 2.6: Hình ảnh trình chiếu khi dạy biến ngẫu nhiên Hình vẽ 2.7: Hình ảnh trình chiếu khi dạy biến ngẫu nhiên Hình vẽ 2.8: Hình ảnh trình chiếu khi dạy biến ngẫu nhiên 28 Ví dụ 3: Để học sinh tiếp cận được với định nghĩa thống kê của xác suất, các thầy cô giáo có thể cho học sinh thực hiện hoạt động 3 sách giáo khoa tr.75. Hoạt động 3 yêu cầu : " Gieo con xúc sắc 50 lần. Ghi kết quả của việc gieo này và tính tần suất xuất hiện mỗi mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6 chấm." Giáo viên có thể lập sẵn bảng tính tần số và tần suất xuất hiện các biến cố 1, 2, ..., 6 chấm để trợ giúp cho hoạt động 3 của học sinh được thực hiện một cách nhanh chóng. Với bảng này, giáo viên cũng có thể cho nhiều nhóm cùng thực hiện, hoặc cho một nhóm thực hiện nhiều lần khác nhau, sau đó giáo viên lưu lại để so sánh kết quả làm việc của các nhóm và từ đó cho các em biết ý đồ của hoạt động. Hình vẽ 2.9: Bảng ghi kết quả tính tần số, tần suất. 2.1.2 Ứng dụng công nghệ thông tin để tìm hiểu những kiến thức mở rộng và những kiến thức áp dụng vào thực tế của toán tổ hợp, xác suất. Việc tìm tài liệu tham khảo cho giáo viên khi dạy toán tổ hợp, xác suất sẽ trở nên rất khó khăn nếu không có sự trợ giúp của máy tính điện tử và mạng Internet. Giáo viên có thể tìm thấy trên mạng Internet rất nhiều tài liệu có ích cho bài giảng trên lớp của mình. Để cho học sinh có hứng thú hơn với tổ hợp, xác suất và để cho các em hiểu được mục đích học tổ hợp, xác suất thì giáo viên có thể trình chiếu cho học sinh tham khảo những bài viết trích dẫn trên mạng về phân môn này. 29 Ví dụ : Các thầy cô giáo có thể trích dẫn từ trang Wikipedia một số định nghĩa, khái niệm, ứng dụng trong toán tổ hợp để học sinh tham khảo: “Toán học tổ hợp (Nguồn: Bách khoa toàn thư mở Wikipedia.) Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử. Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp,... các phần tử của một tập hợp. Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình học, cũng như đến các ngành ứng dụng như khoa học máy tính và vật lí thống kê. Toán học tổ hợp liên quan đến cả khía cạnh giải quyết vấn đề lẫn xây dựng cơ sở lý thuyết, mặc dù nhiều phương pháp lý thuyết vững mạnh đã được xây dựng, tập trung vào cuối thế kỉ 20. Một trong những mảng lâu đời nhất của toán học tổ hợp là lý thuyết đồ thị. Một ví dụ về câu hỏi tổ hợp là: Có bao nhiêu trật tự sắp xếp các quân bài có thể có của một bộ bài 52 lá riêng biệt? Câu trả lời là 52!. Toán học tổ hợp được dùng nhiều trong khoa học máy tính để ước lượng số phần tử của các tập hợp. ” “Ứng dụng của xác suất với đời sống hàng ngày. Ảnh hưởng chính của lý thuyết xác xuất trong cuộc sống hằng ngày đó là việc xác định rủi ro và trong buôn bán hàng hóa. Chính phủ cũng áp dụng các phương pháp xác suất để điều tiết môi trường hay còn gọi là phân tích đường lối.Lý thuyết trò chơi cũng dựa trên nền tảng xác suất. Một ứng dụng khác là trong xác định độ tin cậy. Nhiều sản phẩm tiêu dùng như xe hơi, đồ điện tử sử 30 dụng lý thuyết độ tin cậy trong thiết kế sản phẩm để giảm thiểu xác suất hỏng hóc. Xác suất hư hỏng cũng gắn liền với sự bảo hành của sản phẩm ” Các thầy cô giáo cũng có thể tìm thấy trên mạng Internet những trang thông tin thú vị về toán tổ hợp và xác suất như trang http://mathforum.org/library/drmath/sets/high_perms_combs.html. Đây là một trang web bằng tiếng Anh được xây dựng với mục đích gia sư, nhằm giải đáp những thắc mắc của học sinh về môn toán, trong đó có chuyên mục toán tổ hợp. Cách giải đáp kỹ càng những thắc mắc của Dr Math trong trang web này chắc chắn sẽ giúp ích nhiều cho giáo viên về mặt kiến thức, về mặt diễn đạt, trình bày vấn đề cũng như cách thức giao tiếp, liên lạc với học sinh. Hình vẽ 2.10: Trang web hướng dẫn làm bài tập toán. Trong quá trình chuẩn bị giáo án giảng dạy, các thầy cô giáo cũng có thể tham khảo các giáo án điện tử về toán tổ hợp của thầy giáo Trần Quang Nghĩa trên trang :http://www.echip.com.vn/echiproot/html/tutor/thaygiaolang/ trangmot.htm. 31 Hình vẽ 2.11: Giáo án điện tử của thầy Trần Quang Nghĩa. Thầy Nghĩa là giáo viên trường chuyên Lê Hồng Phong, thành phố Hồ Chí Minh, thầy là hiệp sĩ công nghệ thông tin năm 2006 của tạp chí e- Chip. Những bài giảng của thầy không chỉ giúp cho học sinh hiểu sâu bài học mà còn giúp cho các thầy cô giáo có thêm kinh nghiệm để xây dựng các giáo án điện tử một cách sinh động, cuốn hút học sinh. Khi dạy về toán xác suất, giáo viên có thể cho học sinh khá, giỏi làm quen dần với phân phối nhị thức của biến ngẫu nhiên rời rạc, vì đây là loại phân phối xác suất quan trọng mà chắc chắn là các em sẽ phải học trong năm đầu của trường đại học. Giáo viên có thể làm cho học sinh có hứng thú đối với phân phối nhị thức thông qua bài báo của GS.TSKH Đặng Hùng Thắng trên trang http://www.nxbgd.com.vn/toanhoctuoitre/?p=7&id=10&ReportID=329 Bài báo nói về những ứng dụng quan trọng của toán xác suất, đặc biệt là khi nghiên cứu về thị trường chứng khoán. Bài báo cũng nêu một số ví dụ tính xác suất lên hay xuống của mệnh giá cổ phiếu của một công ty - những ví dụ này không quá phức tạp với học sinh phổ thông. -Trích dẫn một phần nội dung bài báo: 32 “ Giả sử tại thời điểm hiện tại cổ phiếu của công ty A có mệnh giá là a đơn vị với a là số nguyên dương (đơn vị ở đây có thể là mười nghìn, một trăm nghìn…). Giả thiết rằng : - Sau một đơn vị thời gian (một giờ, nửa ngày, một ngày…) với xác suất p, giá cổ phiếu của công ty sẽ tăng và với xác suất 1 – p giá cổ phiếu của công ty sẽ giảm (không có khả năng đứng giá). - Mỗi lần giá cổ phiếu tăng hay giảm chỉ 1 đơn vị . - Sự lên hay xuống của giá cổ phiếu của mỗi đơn vị thời gain là độc lập với diễn biến của giá cổ phiếu đó trong quá khứ. Bài toán 1:Tính xác suất để: a) Sau hai ngày cổ phiếu vẫn có giá như hiện tại. b) Sau ba ngày cổ phiếu tăng giá lên 1 đơn vị. Bài toán 2: Cho hai số nguyên dương N và h (N>h). Tính xác suất để: a) Sau N ngày giá cổ phiếu vẫn có giá như cũ. b) Sau N ngày giá cổ phiếu tăng lên h đơn vị c) Sau N ngày giá cổ phiếu giảm đi h đơn vị. ” Tóm lại, ứng dụng công nghệ thông tin trong quá trình cập nhật kiến thức, xây dựng giáo án là một biện pháp quan trọng để giáo viên tự nâng cao trình độ, giúp giáo viên tự học để đào tạo lại nhằm đạt được mục đích cuối cùng là nâng cao hiệu quả giảng dạy. 2.1.3 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc hướng dẫn học sinh tự học và trong việc hỗ trợ học sinh khi các em gặp khó khăn về mặt nhận thức. Giáo viên có thể thiết kế các phiếu học tập hoặc các bài tập trắc nghiệm phù hợp với trình độ nhận thức của từng nhóm học sinh. Ví dụ trong giờ ôn tập, giáo viên có thể phân nhóm cho học sinh thực hiện hai loại bài tập trắc nghiệm khác nhau, nhóm học sinh trung bình sẽ làm loại bài tập trắc nghiệm cơ bản, được phép làm lại nhiều lần và mỗi câu hỏi có giải thích rõ đáp án, còn nhóm học sinh khá giỏi sẽ phải làm loại bài tập trắc nghiệm ở mức khó hơn, có nhiều câu hỏi dạng điền khuyết. 33 Hình vẽ 2.12: Câu hỏi trắc nghiệm trên máy tính. Giáo viên có thể yêu cầu học sinh hoàn thành một hệ thống bài tập nào đó phù hợp với trình độ nhận thức của học sinh và yêu cầu các em thuyết trình. Với các em học sinh trung bình thì hệ thống bài tập chỉ cần tương tự như các bài tập mẫu mà giáo viên đã chữa. Còn với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể yêu cầu các em thay đổi giả thiết, điều kiện của bài toán mẫu để tự hình thành nên những bài tập khó hơn. Sau đó, giáo viên dành ra một hoặc hai tiết học ( có thể sắp xếp vào giờ học tự chọn ) để học sinh thuyết trình hệ thống bài tập của nhóm mình. Nét đặc trưng khi học toán tổ hợp, xác suất là học sinh rất dễ hiểu sai và thường các em không biết phải tìm lỗi sai từ bước nào. Những lỗi sai nhỏ mà học sinh hay mắc phải thì giáo viên có thể chữa trên lớp và giải thích kỹ càng cho cả lớp rút kinh nghiệm, nhưng những lỗi sai lớn trong một bài toán phức tạp thì việc giải thích trên lớp sẽ gây mệt mỏi cho các em khác. Vì vậy, giáo viên và học sinh có thể lập một hộp thư để trao đổi và giải thích những thắc mắc của học sinh. 34 Những bài tập khó khăn có thể gây mất thời gian khi chữa trên lớp thì những em học sinh khá giỏi có thể gửi bài cho giáo viên qua mạng để giáo viên chữa và để lấy những đề bài có yêu cầu cao hơn. Dạy bài tập theo hướng này giáo viên phải bỏ ra nhiều công sức nhưng bù lại, giáo viên sẽ có nhiều thời gian hơn để bồi dưỡng học sinh giỏi và nhiều thời gian ở trên lớp để quan tâm đến các học sinh có học lực trung bình. 2.2 Vận dụng linh hoạt các phương pháp dạy học theo hướng tích cực hóa hoạt động học tập của học sinh. 2.2.1 Vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo để hướng dẫn học sinh xây dựng các công thức toán. Trong chương Tổ hợp và Xác suất, giáo viên có thể vận dụng phương pháp dạy học kiến tạo để hình thành cho học sinh công thức tính số hoán vị của n phần tử, hoặc hình thành cho học sinh công thức khai triển nhị thức Niu-tơn. Để hình thành công thức tính số hoán vị của n phần tử, giáo viên có thể cho học sinh thực hiện các hoạt động sau: +) Hoạt động 1 : Tính số hoán vị của tập hợp có 2, 3, 4, 5 phần tử. Học sinh sẽ đưa yêu cầu đề bài về dạng : Tìm số cách sắp xếp 3 phần tử lần lượt vào 3 vị trí khác nhau. Học sinh có thể dựa vào quy tắc nhân và tìm được : Số hoán vị của tập có 2 phần tử là 2  1 = 2! Số hoán vị của tập có 3 phần tử là 3  2  1 = 3! Số hoán vị của tập có 4 phần tử là 4  3  2  1 = 4! Số hoán vị của tập có 5 phần tử là 5  4  3  2  1 = 5! +) Hoạt động 2 : Dự đoán số hoán vị của tập n phần tử là n(n-1)(n-2).....3.2.1 = n! +) Hoạt động 3 : Chứng minh công thức số hoán vị của tập n phần tử là Pn = n! 35 +) Hoạt động 4 : Vận dụng công thức trên để làm một số ví dụ và bài tập trong sách giáo khoa. Để hình thành công thức khai triển nhị thức Niu - tơn, giáo viên có thể cho học sinh thực hiện các hoạt động sau: +) Hoạt động 1 : Viết C0n = Cnn = 1 C1n = Cnn 1 = n C2n = C nn 2 = n(n  1) 2 Ckn = C nn k +) Hoạt động 2 : Thay n = 2, n = 3 vào các công thức trên . C02 = C22 = 1; C12 = 2. C30  C33 = 1; C13  C32 = 3. +) Khai triển các nhị thức (a  b) 2 ,(a  b)3 ,(a  b) 4 và thay hệ số của x bởi các tổ hợp viết ở hoạt động 2 (a  b) 2  a 2  2ab  b 2  C02a 2  C12ab  C22 b 2 (a  b)3  a 3  3a 2b  3ab 2  b3  C30a 3  C13a 2 b  C32ab 2  C33b3 (a  b) 4  a 4  4a 3b  6a 2 b 2  4ab3  b 4  C04a 4  C14a 3b  C 24a 2 b 2  C34ab3  C44 b 4 +) Hoạt động 3 : - Nhận xét về tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng của khai triển. - Nhận xét về sự thay đổi số mũ của a và b ở các số hạng khác nhau. - Nhận xét về quan hệ giữa số k và số mũ của a và b. +) Hoạt động 4: Dự đoán công thức khai triển nhị thức trong trường hợp tổng quát (a  b) n  C0n a n  C1n a n 1b  C2n a n 2b 2  .....  C1n a n 1b  Cnn b n 36 +) Hoạt động 5 : Chứng minh công thức khai triển trên và vận dụng vào một số ví dụ và bài tập. 2.2.2 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy toán tổ hợp, xác suất. 2.2.2.1 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy lý thuyết tổ hợp và xác suất. Các thầy cô giáo có thể vận dụng quy trình dạy học theo phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề trong một số tình huống dạy học lý thuyết sau:  Tình huống 1: Dạy lý thuyết chỉnh hợp. Theo phân phối chương trình, thì học sinh đã nắm được đầy đủ kiến thức về hoán vị trước khi học chỉnh hợp nên giáo viên có thể đặt một số câu hỏi sau để dẫn dắt học sinh đến định nghĩa chỉnh hợp : +) Câu hỏi 1: " Có bao nhiêu cách sắp xếp 6 pho tượng khác nhau vào 6 vị trí khác nhau ? ". +) Câu hỏi 2: " Nếu bây giờ ta lại có thêm 2 pho tượng mà vẫn chỉ có 6 vị trí thì ta sẽ sắp xếp như thế nào ? Hãy nêu cụ thể các công đoạn sắp xếp." +) Câu hỏi 3 : " Hãy trình bày một số kết quả sắp xếp và cho biết có tất cả bao nhiêu cách sắp xếp 8 pho tượng vào 6 vị trí khác nhau " . +) Câu hỏi 4 : " Hãy cho biết có bao nhiêu cách sắp xếp n phần tử vào k vị trí khác nhau, mỗi vị trí chỉ chứa một phần tử" * Ý đồ dạy học của giáo viên : Tạo ra tình huống gợi vấn đề bằng cách tăng thêm số phần tử ( pho tượng ) trong khi số vị trí được giữ nguyên. Tình huống này gợi cho học sinh nhu cầu nhận thức vì nó giống như một biến cố, một khó khăn trong thực tế vẫn hay xảy ra, đòi hỏi phải giải quyết và tình huống cũng gây cho học sinh niềm tin ở khả năng giải quyết được vì các em đã làm được câu hỏi 1 trước đó. Sau đó, thông qua các câu hỏi 3 và 4, giáo viên điều khiển học sinh nhận thức được khái niệm chỉnh hợp và tự nghiên cứu để tìm ra quy tắc tính số chỉnh hợp chập k của n phần tử. 37  Tình huống 2 : Dạy quy tắc nhân xác suất. Giáo viên tạo ra tình huống gợi vấn đề bằng cách yêu cầu học sinh trả lời các câu hỏi sau : +) Câu hỏi 1: " Gieo 2 lần một đồng xu được chế tạo cân đối. Tính xác suất của biến cố gieo lần thứ nhất được mặt ngửa, gieo lần thứ hai được mặt sấp." +) Câu hỏi 2 : " Gieo một đồng xu được chế tạo không cân đối trong 2 lần, ở mỗi lần gieo xác suất xuất hiện mặt ngửa bằng ba lần xác suất xuất hiện mặt sấp. Tính xác suất của biến cố gieo lần thứ nhất được mặt ngửa, gieo lần thứ hai được mặt sấp. " Yêu cầu của hai câu hỏi giống nhau nhưng giả thiết thì hoàn toàn khác nhau. Ở câu hỏi 1, học sinh không học quy tắc nhân xác suất vẫn có thể làm được bài vì các em dựa vào định nghĩa cổ điển của xác suất, mô tả không gian mẫu và sau đó tìm các kết quả thuận lợi cho biến cố cần xét. Không gian mẫu là {SS, SN, NS, NN} còn tập các kết quả thuận lợi là {NS}. Nhưng ở câu hỏi 2 thì các em tiếp cận với định nghĩa thống kê của xác suất, nên không thể dùng cách làm của câu thứ nhất để giải quyết vấn đề của câu thứ hai. Khi đó, ở học sinh xuất hiện nhu cầu nhận thức, các em thấy cần thiết phải được trang bị một kiến thức mới để làm bài tập. Lúc này, giáo viên cung cấp quy tắc nhân xác suất thì các em sẽ tiếp thu kiến thức mới một cách dễ dàng. Giáo viên có thể cho học sinh kiểm nghiệm tri thức mới bằng cách giải quyết hai bài toán trên, sau đó cho các em nghiên cứu sâu hơn qua bài toán 40 SGK tr. 85: " Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng trong một trận là 0,4 ( không có hòa). Hỏi An phải chơi tối thiểu bao nhiêu trận để xác suất An thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95." 2.2.2.2 Vận dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy học bài tập tổ hợp và xác suất. Để giải được một bài toán tổ hợp và xác suất thì học sinh cần phải biết mô hình hóa bài toán, phải biết "dịch" từ ngôn ngữ "văn học" trong đề bài sang 38 ngôn ngữ toán học quen thuộc, phải biết phân tích, xử lý được quan hệ giữa các yếu tố trong đề bài cũng như triển khai cụ thể yêu cầu đề bài. Giáo viên sử dụng phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề trong dạy bài tập tổ hợp, xác suất sẽ giúp cho học sinh có kỹ năng phân tích vấn đề để hiểu sâu sắc về bài toán, từ đó định hướng hoặc khám phá ra cách làm. Ví dụ: Dạy học bài tập tính xác suất của biến cố giao. Giáo viên cần chữa bài tập sau: " Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập : a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần. b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần. " Đa số học sinh trung bình, khá đều loay hoay với bài toán trên vì các em không biết phải bắt đầu từ chỗ nào. Lúc này, giáo viên cần trợ giúp các em phát hiện và giải quyết vấn đề bằng cách đặt ra các yêu cầu sau: +) Yêu cầu 1: Đặt tên cho biến cố cần tính xác suất ở câu a). ( Giả sử học sinh đặt tên cho biến cố đó là biến cố A.) +) Yêu cầu 2: Cho biết phép thử trong bài toán là gì ? HS : Phép thử trong bài toán là : " bắn cung " +) Yêu cầu 3: Cho biết biến cố A xuất hiện sau bao nhiêu phép thử ? HS : Biến cố A có thể xuất hiện sau khi tiến hành hai phép thử độc lập". +) Yêu cầu 4: Để biến cố A xảy ra ( người bắn cung bắn trúng hai lần) thì mỗi một phép thử phải có kết quả như thế nào ? HS : Mỗi phép thử phải có kết quả là "bắn trúng". +) Yêu cầu 5: Gọi B1, B2 là các biến cố bắn trúng trong phép thử thứ nhất và thứ hai. Theo như phát hiện trên, thì "A xảy ra khi B1, B2 đồng thời xảy ra". Mệnh đề này được biểu diễn trong toán học như thế nào ? " HS : A = B1B2 , biến cố A là giao của hai biến cố B1, B2. 39 +) Yêu cầu 6: Vậy vấn đề mà các em cần giải quyết là gì ? HS : Tính P(A) = P( B1B2) Sau khi thực hiện chuỗi các mệnh lệnh, yêu cầu trên học sinh đã mô hình hóa được bài toán, phát hiện ra được "sự tồn tại " của hai biến cố B1, B2, từ đó định hướng được cách làm. Chuỗi các mệnh lệnh trên cũng có ý nghĩa như là thuật toán, giúp học sinh phát hiện ra được vấn đề cần giải quyết trong các bài toán tương tự sau: Bài toán 1: Gieo hai đồng xu A và B một cách độc lập. Đồng xu A chế tạo cân đối. Đồng xu B chế tạo không cân đối nên xác suất xuất hiện mặt sấp gấp ba lần xác suất xuất hiện mặt ngửa. Tính xác suất để khi gieo hai đồng xu hai lần thì hai lần cả hai đồng xu đều ngửa. Bài toán 2: Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51. Tìm xác suất sao cho sau khi sinh 3 lần thì có ít nhất 1 con trai. Xét một lần sinh một con. 2.2.3 Vận dụng phương pháp dạy học tự học trong dạy toán tổ hợp, xác suất. Hình thức dạy học tự học mà giáo viên dễ sử dụng nhất khi dạy toán tổ hợp và xác suất là dạy với phiếu học tập. Do đề bài và bài giải của toán tổ hợp đều dùng rất nhiều lời lẽ nên hình thức dạy học này sẽ giúp giáo viên tiết kiệm được nhiều thời gian ghi bảng và thuyết trình. Học sinh đọc yêu cầu và hướng dẫn của giáo viên từ phiếu học tập cũng sẽ tập trung vào vấn đề tốt hơn là nghe giáo viên giảng giải. Ngoài ra, với hình thức dạy học tự học này giáo viên có thể tổ chức tốt việc dạy phân hóa bằng cách phát các phiếu có mức độ khó khác nhau cho các đối tượng nhận thức tương ứng, từ đó phát huy tối đa tính tích cực, sự sáng tạo, sự tự tin ở mỗi cá nhân học sinh. 2.2.3.1. Dạy học tự học cho nhóm đối tượng học sinh trung bình, yếu. Khi giáo viên dạy bài tập tổ hợp, xác suất cho học sinh trung bình thì phiếu học tập được thiết kế với mục đích chính là để rèn kỹ năng cho các em. 40 Giáo viên có thể chữa một số bài toán mẫu, rồi cho các em làm bài tập tương tự dưới dạng trắc nghiệm. Khi đó, phiếu học tập được thiết kế là một tập hợp các câu hỏi trắc nghiệm dạng nhiều lựa chọn, dạng điền khuyết, ghép đôi,...Ví dụ là phiếu học tập dưới đây: Câu1: Hãy điền vào chỗ trống (.....) cho đúng : Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương lớn hơn 10 và nhỏ hơn 100. Gọi A là biến cố " Số được chọn là số chia hết cho 5 ". Khi đó a) Không gian mẫu  = {....}. b) Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là  A = {....} c) Xác suất của A là P(A) = ..... Câu 2: Hãy điền vào chỗ trống (....) cho đúng: Gieo hai con xúc sắc cân đối, đồng chất và quan sát số chấm xuất hiện . Khi đó a) Không gian mẫu  = {....}. b) Gọi B là biến cố : " Tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt của hai con xúc sắc là số lẻ " thì các kết quả thuận lợi cho B là  B = {....} và xác suất của B là P(B) = ..... c) Gọi C là biến cố : "Số chấm xuất hiện trên hai con xúc sắc hơn kém nhau 2 ". thì các kết quả thuận lợi cho C là  C = {.....} và xác suất của C là P(C) = ...... Câu 3: Một hộp có chứa 3 bi màu đỏ, 5 bi màu xanh và 6 bi màu vàng. Chọn ngẫu nhiên 3 bi . a) Số các kết quả có thể xảy ra là: A. 14 B. 90 C. 1 D. 364 b) Xác suất để 3 bi có màu xanh, đỏ, vàng là: A. 1 14 B. 90 364 C. 1 90 D. 41 1 364 Câu 4: Hãy nối mỗi ý ở cột A với một kết quả ở cột B để được một khẳng định đúng. Một tổ có 5 nữ và 4 nam. Chọn ngẫu nhiên 3 bạn. A B a) Xác suất để 3 bạn đều là nữ. b) Xác suất sao cho có ít nhất 1) 20 21 2) 1 21 3) 5 41 một bạn là nữ. c) Xác suất sao cho không có bạn nữ nào Khi dạy một kiến thức mới nào đó cho đối tượng học sinh trung bình, giáo viên mong muốn các em tự khám phá để ghi nhớ kiến thức được lâu thì phiếu học tập thường được thiết kế là một chuỗi các câu hỏi có tính dẫn dắt, gợi mở vấn đề. Ví dụ: để dạy cho học sinh về sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp giáo viên có thể thiết kế một phiếu học tập sau đây: Câu 1. Cho một tập A có n phần tử, lấy ra k phần tử bất kỳ của A và đưa vào một nhóm thì ta được một .......................................................................... Câu 2. Cho một tập A có n phần tử, lấy ra k phần tử bất kỳ của A, sau đó sắp xếp k phần tử này theo một thứ tự nào đó vào k vị trí khác nhau thì ta được một ........................................................................... Câu 3.Để tạo một tổ hợp chập k của n phần tử thì ta cần mấy thao tác ? Để tạo một chỉnh hợp chập k của n phần tử thì ta cần mấy thao tác ? Em hãy kể tên các thao tác đó. Câu 4. Xét bài toán " Cho một Ban chấp hành đoàn gồm 7 người. a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người vào một ban thường vụ ? b) Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 người vào ban thường vụ với các chức vụ : 42 Bí thư, Phó bí thư và Uỷ viên ? " Em hãy cho biết: - Việc chọn ở câu a) gồm mấy thao tác ? - Việc chọn ở câu b) gồm mấy thao tác ? - Em hãy cho biết ở câu hỏi nào thì ta phải dùng tổ hợp, ở câu hỏi nào thì phải dùng chỉnh hợp để giải ? - Các chức vụ "Bí thư", "Phó bí thư", "Uỷ viên" là sự thay thế cho cụm từ nào trong định nghĩa chỉnh hợp ? Trong phiếu học tập trên thì câu hỏi 1) và câu hỏi 2) được lập để học sinh tự ôn tập lại định nghĩa về chỉnh hợp và tổ hợp. Cách phát biểu định nghĩa trong hai câu hỏi này mang tính diễn giải hơn định nghĩa trong sách và đặc biệt là có những từ in đậm để học sinh tự phân biệt được phần nào sự khác nhau giữa tổ hợp và chỉnh hợp. Câu hỏi số 3 được lập để học sinh tự đưa ra các phán đoán, nhận xét. Sau khi giáo viên chuẩn hóa lại kiến thức thì học sinh làm tiếp câu hỏi 4 để củng cố lại tri thức mà các em mới có được. Tương tự như vậy, giáo viên có thể thiết kế một phiếu học tập dưới hình thức bài tập về nhà để học sinh phân biệt được sự khác nhau giữa các khái niệm "biến cố đối", " biến cố độc lập " và " biến cố xung khắc ". Gieo đồng thời hai đồng xu 2000 đồng và 5000 đồng trong hai lần. Xét các biến cố sau : Biến cố A : " Đồng xu 2000 xuất hiện mặt số trong lần gieo thứ nhất" Biến cố B : " Đồng xu 5000 xuất hiện mặt chữ trong lần gieo thứ hai" Biến cố C : " Đồng xu 2000 xuất hiện mặt chữ trong lần gieo thứ nhất " Biến cố D : " Đồng xu 2000 xuất hiện mặt số trong lần gieo thứ hai" Biến cố E : " Đồng xu 5000 xuất hiện mặt chữ trong lần gieo thứ nhất " 43 Em hãy cho biết các khẳng định sau là đúng hay sai. Nếu sai thì em hãy sửa lại cho đúng 1. Biến cố A và biến cố D là hai biến cố độc lập. 2. Biến cố C và biến cố D là hai biến cố xung khắc. 3. Biến cố A và biến cố C là hai biến cố độc lập. 4. Biến cố B và biến cố D là hai biến cố đối. Nếu không thiết kế phiếu học tập thì giáo viên cũng có thể dùng phương pháp vấn đáp để dẫn dắt học sinh. Nhưng để các em đọc yêu cầu trong phiếu học tập và hoàn thành thì các em sẽ tập trung vào vấn đề tốt hơn nhiều. 2.2.3.2. Dạy học tự học cho nhóm đối tượng học sinh khá, giỏi. Đối với học sinh khá giỏi, trong phiếu học tập, giáo viên nên cho các em thêm phần đánh giá về cách giải của bài tập, phần đề xuất các cách giải khác nhau, những thay đổi giả thiết đề bài mà có thể sáng tạo ra bài tập mới. Với phiếu học tập thiết kế theo dạng này, học sinh có thể không thực hiện được ngay trên lớp mà có khi các em phải mang về nhà làm, nhưng xét trong cả quá trình học tập nó sẽ có tác dụng tốt trong việc phát triển tư duy cho học sinh, giúp học sinh học tập chủ động và sáng tạo hơn. * Một số ví dụ về các phiếu học tập dành cho học sinh khá, giỏi Phiếu số 1: Xét hai bài toán sau : " Bài toán 1: Một tổ có 7 học sinh nam và 8 học sinh nữ. Cần chọn ra một nhóm có 7 học sinh của tổ để đi tập văn nghệ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để nhóm có ít nhất là 5 học sinh nữ ? Bài toán 2 : Một đội văn nghệ có 21 người trong đó có 9 nam và 12 nữ. Hỏi có nhiêu cách chọn 10 người đi biểu diễn sao cho nhóm biểu diễn có ít nhất 2 nam và ít nhất 2 nữ ? " 44 - Em hãy tìm các cách giải khác nhau cho hai bài toán. - Đánh giá về ưu thế của từng cách giải ở mỗi bài. - Em hãy phát biểu bài toán tổng quát. - Em hãy nêu điều kiện về dữ liệu trong bài toán tổng quát để từ đó ta có thể lựa chọn được cách giải tốt nhất trong mỗi trường hợp. Với phiếu học tập trên, giáo viên mong đợi học sinh tự lực làm các công việc sau: +) Tìm được hai cách giải cho mỗi bài toán : cách giải theo phương pháp tính trực tiếp (tìm ra các trường hợp thỏa mãn yêu cầu đề bài) và cách giải theo phương pháp gián tiếp ( giải bài toán phủ định của bài toán đã cho). +) Đánh giá được ưu thế của từng cách giải trong từng bài. +) Phát biểu được bài toán tổng quát để hình thành dạng bài tập " Chọn ra k phần tử từ hai tập A và B mà phải có ít nhất k0 phần tử của tập A". +) Rút ra được kinh nghiệm làm bài : "Nếu k0 gần bằng số phần tử a của tập A hoặc gần bằng số phần tử b của tập B hoặc gần bằng k thì ta nên làm theo cách tính trực tiếp.Nếu k0 cách xa cả a, b, k ( a – k0  5 và b – k0  5 và k – k0  5) thì ta nên làm theo cách tính gián tiếp ". Phiếu số 2 - Em hãy đặt yêu cầu tính xác suất vào một bài toán tạo số để ta có một bài toán tính xác suất mới và giải bài toán đó. ( Gợi ý : phép thử T là " Chọn ngẫu nhiên một số thỏa mãn điều kiện cho trước.") Giáo viên cũng có thể dùng phương pháp dạy tự học để hướng dẫn học sinh tự chiếm lĩnh các tri thức mới, như công thức tính số phần tử của một tập hợp nhiều tập hợp, kỹ năng mô hình hóa một bài toán, phân bố nhị thức của biến ngẫu nhiên rời rạc... Phiếu số 3 1. Em hãy đọc bài đọc thêm " Quy tắc cộng mở rộng" SGK tr. 55. 45 2. Em hãy chứng minh công thức sau : A  B  C  A  B  C  A  B  A  C  B  C  A  B  C (1) 3. Em hãy vận dụng công thức (1) trong việc giải bài toán sau: "Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không có đủ ba màu? " 4. Cho ba biến cố A, B, C bất kì cùng liên quan đến một phép thử. Khi đó i) P(A  B)  P(A)  P(B)  P(AB) ii) P(A  B  C)  P(A)  P(B)  P(C)  P(AB)  P(BC)  P(AC)  P(ABC) 5. Vận dụng hai công thức trên, em hãy giải bài toán sau: " Một nhà xuất bản phát hành ba tên sách A, B, C. Thống kê cho thấy có 50% học sinh mua sách A; 70% học sinh mua sách B; 60% học sinh mua sách C; 30% học sinh mua sách A và B; 40% học sinh mua sách B và C; 20% học sinh mua sách A và C; 10% học sinh mua cả ba tên sách A, B, C. Chọn ngẫu nhiên một học sinh. a) Tính xác suất để em đó mua sách A hoặc sách B . b) Tính xác suất để em đó mua ít nhất một trong ba tên sách nói trên. c) Tính xác suất để em đó mua đúng hai trong ba tên sách nói trên. Phiếu số 4 Tiếp cận cách giải một bài toán tổ hợp sau: " Gieo hai con xúc sắc cân đối, đồng chất. Hỏi có bao nhiêu kết quả gieo khác nhau nếu tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8 ?. Gọi x là số chấm trên mặt xuất hiện của con xúc sắc thứ nhất, y là số chấm trên mặt xuất hiện của con xúc sắc thứ hai. Ta cần tìm các bộ số (x, y) sao cho x, y là các số nguyên dương và x + y = 8. Đặt tương ứng bộ số này với một dãy nhị phân theo quy tắc sau: viết từ trái sang phải x số 1 liên tiếp, sau đó là 46 số 0 rồi đến y số 1 liên tiếp. Chẳng hạn bộ số ( 3, 5 ) tương ứng với dãy 111011111.( ta có thể hiểu là trải số nguyên dương x ra x đơn vị). Số các bộ số (x, y) thỏa mãn yêu cầu bài toán bằng với số dãy nhị phân có 8 chữ số 1 và 1 chữ số 0, chữ số 0 trong dãy nhị phân không được ở vị trí tận cùng bên phải và vị trí tận cùng bên trái do x, y đều khác 0. Số các dãy nhị phân này bằng số vị trí của chữ số 0 trong dãy nhị phân và bằng 7. Suy ra có 7 kết quả khác nhau có thể xảy ra trong trường hợp tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8 ." Giải các bài tập sau : Bài 1: Có 6 khách hàng vào 1 cửa hàng gồm 3 quầy để mua hàng. Tìm xác suất để có 2 khách hàng vào cùng một quầy. Bài 2: Có 6 kiện hàng giống nhau được chuyển lên 3 toa tàu. Tính xác suất để mỗi toa có ít nhất một kiện hàng. Bài 3: Có bao nhiêu cách chia 100 đồ vật giống nhau cho 4 người sao cho mỗi người nhận được ít nhất một đồ vật ? Bài 4 : Chứng minh rằng phương trình x1  x 2  ...  x n  m (1) có số nghiệm trong tập hợp các số nguyên dương là Cnm11 . Sau khi học sinh hoàn thành nhiệm vụ được giao trong các phiếu học tập, thì giáo viên nhất thiết phải dành thời gian chữa bài tập hoặc chuẩn hóa lại kiến thức để những tri thức mà các em tự mình chiếm lĩnh được là hoàn toàn chính xác và có giá trị. Khi vận dụng phương pháp dạy tự học, giáo viên cũng cần tìm các hình thức khen thưởng để động viên, khuyến khích học sinh. 2.3 Xây dựng hệ thống bài tập tổ hợp, xác suất phù hợp với nhiều trình độ nhận thức để rèn kỹ năng và phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo trong học tập của học sinh. 47 2.3.1. Bài toán sắp xếp đối tượng vào các vị trí khác nhau, mà sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp và các quy tắc đếm. Để nhận biết các bài toán dạng này, ta cần định hướng chính xác trong đề bài “ vị trí ” được cho như thế nào? Chẳng hạn với các bài toán tạo số thì học sinh phải hiểu được yêu cầu đề bài là đưa các chữ số vào các vị trí khác nhau, cụ thể là vị trí hàng đơn vị, vị trí hàng trăm, hàng nghìn,…; với bài toán chọn đối tượng vào các vị trí khác nhau trong một không gian cho trước thì ta phải xét xem hai vị trí khác nhau của một đối tượng có dẫn đến hai kết quả sắp xếp khác nhau hay không ? . 2.3.1.1 Bài toán tạo số thỏa mãn điều kiện cho trước. Đây là dạng bài tập mà các thầy cô giáo có thể cho học sinh tự sáng tạo ra đề bài bằng việc thay đổi điều kiện các chữ số, số các chữ số… Trường hợp một chữ số có thể lặp lại ở các vị trí khác nhau chẳng hạn số 1233245 thì học sinh phải định hướng được cách làm là sử dụng quy tắc nhân, trường hợp các chữ số đôi một khác nhau thì có thể vận dụng thêm cấu hình chỉnh hợp, tổ hợp. Trong những bài toán mà có một vài chữ số N0 nào đó bắt buộc phải có mặt trong số được tạo, thì giáo viên có thể vẽ hình để học sinh hình dung quá trình sắp xếp được dễ dàng hơn. Để giải bài toán ra đáp số chính xác, không thừa không thiếu trường hợp , thì học sinh phải có kỹ năng thiết kế các công đoạn chọn thích hợp, phải biết ưu tiên chọn chữ số cho các vị trí đặc biệt trước. Ví dụ: nếu chỉ tạo số thông thường thì vị trí đặc biệt là chữ số ở hàng cao nhất ( chữ số tận cùng bên trái ) ; nếu tạo số chẵn thì sẽ có hai vị trí đặc biệt , vị trí hàng đơn vị phải được chọn trước tiên, tiếp theo là chọn đến vị trí chữ số ở hàng cao nhất… Bài tập 1: (Vận dụng quy tắc nhân) Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 7 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là một số lẻ ? 48 Giải Gọi số được tạo ra là n = a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 . Nếu a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 là một số chẵn để n lẻ thì a7  {1, 3, 5, 7, 9} Nếu a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 là một số lẻ, để n lẻ thì a7  {0, 2, 4, 6 ,8 } Vậy sau khi chọn được a1, a2, …, a6 thì luôn có 5 cách chọn a7 để tổng các chữ số của n là số lẻ. Số cách chọn của các số ai , i = 1,6 : Số cách chọn a1 a2 a3 a4 a5 a6 9 10 10 10 10 10 Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là : 5  9  105 = 4500000 số. Bài tập 2 Có bao nhiêu số tự nhiên khác nhau nhỏ hơn 10000 được tạo thành từ 5 chữ số 0, 1, 2, 3, 4 ? (Đại học Xây dựng năm 1998) Giải: Số tự nhiên nhỏ hơn 10000 tức là những số tự nhiên có nhiều nhất là bốn chữ số được viết từ các chữ số đã cho. Trường hợp 1: Số có một chữ số. Trường hợp này có 5 số là 0, 1, 2, 3 ,4. Trường hợp 2 : Số có hai chữ số a1a 2 Số cách chọn a1 a2 4 5 Theo quy tắc nhân, số các số có hai chữ số là 4  5 = 20 số. Trường hợp 3 : Số có ba chữ số a1a 2a 3 Số cách chọn a1 a2 a3 4 5 5 Theo quy tắc nhân, số các số có ba chữ số là 4  5  5 = 100 số. 49 Trường hợp 4: Số có bốn chữ số a1a 2a 3a 4 Số cách chọn a1 a2 a3 a4 4 5 5 5 Theo quy tắc nhân, số các số có bốn chữ số là 4  5  5  5 = 500 số. Vậy có tất cả 5 + 20 + 100 + 500 = 625 số tự nhiên nhỏ hơn 10000 được viết từ các chữ số 0, 1, 2, 3 , 4. Bài tập 3 (Vận dụng thêm cấu hình tổ hợp, chỉnh hợp) Cho tập A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}. a) Từ tập A, lập được bao nhiêu số có 9 chữ số khác nhau ? b) Từ tập A, lập được bao nhiêu số chẵn có 7 chữ số khác nhau ? c) Từ tập A, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4 ? d) Từ tập A, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số và chia hết cho 9 ? e) Từ tập A\ {0}, lập được bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau biết tổng 4 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 4 chữ số sau 12 đơn vị ? f) Từ tập A\ {0}, lập được bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau, biết chữ số 6 có mặt đúng ba lần, chữ số 4 có mặt hai lần, các chữ số khác có mặt không quá một lần. Một số vấn đề mà giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh trong bài tập 1 là: - Số được tạo ra có chứa chữ số 0. - Dấu hiệu chia hết. - Một vài chữ số luôn có mặt trong số được tạo - Một bộ các chữ số luôn có mặt và được xếp cạnh nhau - Một vài chữ số phải được lặp lại k lần. Giải a) Từ tập A, lập được bao nhiêu số có 9 chữ số khác nhau ? * Cách 1 50 Gọi số phải tìm là a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 a 8a 9 Chữ số a1 phải khác 0 nên có 8 cách chọn a1 ( a1  {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}). a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\ {a1} nên để tạo số dạng a 2a 3a 4a 5a 6a 7 a 8a 9 ta cần đưa 8 chữ số vào 8 vị trí khác nhau. Suy ra, mỗi một số dạng a 2a 3a 4a 5a 6a 7 a 8a 9 là một hoán vị của 8 phần tử. Số các số dạng a 2a 3a 4a 5a 6a 7 a 8a 9 là 8 ! số. Ghép mỗi một số a 2a 3a 4a 5a 6a 7 a 8a 9 vói một số a1 ta được một số cần tìm. Vậy theo quy tắc nhân, số các số mà đề bài yêu cầu tạo là 8  8! = 322560 số. *Cách 2 Nếu sắp xếp 9 chữ số vào 8 vị trí a1, a2, …, a9 thì ta có tất cả A89 = 362880 số. Nhưng trong A89 số này thì có cả những số dạng 0a 2a 3a 4a 5a 6a 7 a 8a 9 , đây thực chất chỉ là số có 8 chữ số, không thỏa mãn yêu cầu đề bài nên ta phải loại bỏ bớt. Số dạng 0a 2a 3a 4a 5a 6a 7 a 8a 9 được tạo ra bằng cách sắp xếp 8 chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 vào 8 vị trí khác nhau . Suy ra, số các số dạng này là 8! Vậy số các số thỏa mãn yêu cầu đề bài là : A89  8! = 322560 số. * Sau khi làm xong cách 2, giáo viên có thể nêu bài toán tổng quát cho học sinh : “ Có bao nhiêu số có k chữ số khác nhau được lấy từ tập A, tập A có n chữ số trong đó có chữ số 0 ? ”. Học sinh có thể tự phát biểu kết quả bài toán là A kn  A kn 11 số. b) Từ tập A, lập được bao nhiêu số chẵn có 7 chữ số khác nhau ? Gọi a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 là số chẵn có 7 chữ số khác nhau. Trường hợp 1: a7 = 0 Khi đó, a1 có thể chọn là một số bất kỳ trong số các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Các chữ số a1, a2, a3, a4, a5, a6 được lấy từ tập { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 51 Suy ra, số các số chẵn dạng a1a 2a 3a 4a 5a 6 0 là A86 = 20160 số. Trường hợp 2: a7  { 2, 4, 6, 8} tức là a7 có 4 cách chọn. Khi đó, a1  { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} \ {0; a7} nên có 6 cách chọn a1. Tiếp theo, ta chọn số dạng a 2a 3a 4a 5a 6 ; các chữ số a2, a3, a4, a5, a6 được lấy từ tập { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}\{a7 ; a1} và a2  a3  a4  a5  a6 nên số các số dạng này là A57 = 2520 số. Tóm lại, ta có bảng chọn của trường hợp 2: Giai đoạn 1 Giai đoạn 2 Giai đoạn 3 a7 a1 a 2 a 3a 4 a 5 a 6 4 cách 6 cách 2520 cách Theo quy tắc nhân, ở trường hợp 2 ta tạo được 4  6  2520 = 60480 số thỏa mãn yêu cầu đề bài. Vậy số các số chẵn tạo được ở hai trường hợp là 20160 + 60480 = 80640 số. c) Từ tập A, lập được bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau và chia hết cho 4 ? Giáo viên cần hướng dẫn lại cho học sinh một số dấu hiệu chia hết : n = a k a k 1...a1a 0  n  2  a0  2  a0  { 0, 2, 4, 6, 8}  n  3  ( a0 + a1 + a2 + … + ak-1 + ak )  3  n  9  ( a0 + a1 + a2 + … + ak-1 + ak )  9  n  4  a1a 0  4  n  5  a0  { 0, 5}  n  8  a 2a1a 0  8  n  10  a0 = 0  n  11  ( a0 + a2 + a4 + … )  ( a1 + a3 + a5 +…)  11 52 Giải Gọi số phải tạo ra là a1a 2a 3a 4 . Số này chia hết cho 4 nên hai chữ số tận cùng phải là số chia hết cho 4. Mà a3, a4  A nên a 3a 4  { 04; 40; 80; 08; 16; 24; 28; 32; 36; 48; 56; 60; 64; 68; 72; 76; 84 } Trường hợp 1: Nếu a 3a 4  { 04; 40; 80; 08; 60 } ( 5 số), thì có nghĩa là số 0 đã được chọn nên a1  0  có thể chọn a1 là một số bất kỳ trong 7 chữ số của tập A\{a3; a4}  số các số dạng a1a 2 là A 72 số. Theo quy tắc nhân, số các số chia hết cho 4 của trường hợp 1 là 5  A 72 = 210 số Trường hợp 2: Nếu a 3a 4  { 16; 24; 28; 32; 36; 48; 56; 64; 72; 76; 84} ( 11 số) Do a1  0 nên a1 A\ {a3; a4; 0}  có 6 cách chọn a1. Khi đó a2  A\ {a1;a3; a4; 0} nên còn 5 cách chọn a2. Theo quy tắc nhân, ở trường hợp 2 tạo được 11  6  5 = 330 số các số chia hết cho 4 . Vậy số các số chia hết cho 4 với các chữ số lấy từ tập A là : 210 + 330 = 540 số d) Từ tập A, lập được bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9 ? Gọi abc là số có 3 chữ số khác nhau và chia hết cho 9. abc chia hết cho 9 khi và chỉ khi tổng các chữ số: a + b +c là một số chia hết cho 9. Xét các bộ ba chữ số lấy từ A có tổng chia hết cho 9 : (0; 1; 2), (0; 1; 8), (0; 2; 4), (0; 2; 7), (0; 3; 6), ( 0 ; 4 ; 5), (0; 4; 8), (0; 5; 7), (1; 2; 6), (2; 3; 4), (2; 3; 7), (3; 4; 5), (5; 6; 7) 53 Trường hợp 1: Lập số từ các bộ ba chữ số có chứa chữ số 0. Chẳng hạn lấy bộ số (0; 1; 2) Vì a  0 nên có 2 cách chọn a, a  { 1; 2}. Với mỗi cách chọn a có 2! số dạng bc do b, c  {0; 1; 2}\{a} . Suy ra, mỗi một bộ số có chứa chữ số 0 có thể tạo được 2  2! = 8 số Do có 8 bộ số chứa chữ số 0 nên ở trường hợp 1, ta có thể lập được 8  8 = 64 số. Trường hợp 2: Lập số từ các bộ ba chữ số khác không. Với mỗi một bộ số, ta lập được 3! số abc . Do có 5 bộ ba chữ số đều khác 0 nên ở trường hợp 2 ta có thể lập được 5  3! = 30 số. Vậy có tất cả 64 + 30 = 94 số có ba chữ số chia hết cho 9. e) Từ tập A\ {0}, lập được bao nhiêu số có 8 chữ số khác nhau biết tổng của 4 chữ số đầu nhỏ hơn tổng của 4 chữ số sau 12 đơn vị ? Gọi số có 8 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài là a1a 2a 3a 4a 5a 6a 7 a 8 Ta gọi tổng của 4 chữ số đầu là a, tổng của 4 chữ số sau là b. Khi đó ta có a  b  36  b  a  12 Từ đó suy ra a = 12, b = 24. Bộ 4 chữ số lấy từ A\{0} có tổng bằng 24 là ( 4; 5; 7; 8) và ( 3; 6; 7; 8). Mỗi bộ số này cho ta 4! = 24 số dạng a 5a 6a 7 a 8 . Suy ra, có hai bộ số thì ta tạo được 2  24 = 48 số dạng a 5a 6a 7 a 8 . Bộ 4 chữ số lấy từ A\ {0} có tổng bằng 12 là ( 1; 2; 4; 5), (1; 2; 3; 6).Mỗi bộ số này cho ta 4! số dạng a1a 2a 3a 4 . Suy ra, có hai bộ số thì ta tạo được 2  24 = 48 số dạng a1a 2a 3a 4 . Ghép mỗi số dạng a1a 2a 3a 4 với một số dạng a 5a 6a 7a 8 ta được một số có 8 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài. 54 Vậy theo quy tắc nhân, có tất cả 48  48 = 2304 số có 8 chữ số mà tổng 4 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 4 chữ số sau 12 đơn vị. f) Từ tập A\{0}, lập được bao nhiêu số có 8 chữ số, biết chữ số 6 có mặt đúng ba lần, chữ số 4 có mặt đúng hai lần, các chữ số khác có mặt không quá một lần. Hướng dẫn giải Vì chữ số 6 và chữ số 4 luôn có mặt nên ta sẽ ưu tiên chọn vị trí cho chữ số 6 và chữ số 4 trước. Ta có thể hình dung vị trí của 8 chữ số là một dãy 8 ô vuông và ta phải đưa các chữ số vào các ô vuông đó. 4 6 6 4 6 Như vậy ta cần đưa lần lượt các chữ số 6, rồi đến các chữ số 4, và cuối cùng là các chữ số khác vào 8 vị trí này. Khi đưa được hết các chữ số vào 8 ô vuông thì ta đã tạo ra được một số thỏa mãn yêu cầu đề bài. Giải - Số cách chọn 3 vị trí bất kỳ trong 8 vị trí để đưa chữ số 6 vào là số tổ hợp chập 3 của 8 phần tử và bằng C83 . Sau khi đã chọn được ba vị trí thì ta chỉ có một thao tác duy nhất là điền ba chữ số 6 vào. - Số cách chọn 2 vị trí bất kỳ trong 5 vị trí còn lại để đưa chữ số 4 vào là số tổ hợp chập 2 của 5 phần tử và bằng C52 . Sau khi đã chọn được hai vị trí cho hai chữ số 4 thì ta chỉ có một thao tác duy nhất là đưa hai chữ số 4 vào. - Sau khi đã điền hết 3 chữ số 6 và 2 chữ số 4 thì ta chỉ còn lại 3 ô vuông trống và ta phải chọn 3 chữ số bất kỳ trong tập {1; 2; 3; 5; 7; 8} để đưa vào 3 ô vuông này. Số cách sắp xếp là A 35 cách. - Vậy theo quy tắc nhân, ta có tất cả là C83 . C52 . A 35 = 33600 số có 8 chữ số thỏa mãn yêu cầu đề bài. 55 Bài tập 4 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số đôi một khác nhau, có chứa chữ số 0 và sao cho trị tuyệt đối của hiệu chữ số đầu và chữ số cuối là 2 ? Giải Gọi số được tạo ra theo yêu cầu đề bài là abcde a, b, c, d  {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Các cặp số ( a ; e ) có a  e = 2 là ( 2; 0), (1; 3), (2; 4), (3; 5), (4; 6), (5; 7), (6; 8), (7; 9). Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: Số được tạo có dạng 2bcd0 Số các số này bằng số các số dạng bcd . Có A83 số dạng bcd do b, c, d phải khác 0, 2. Trường hợp 2: Số được tạo ra có dạng abcde với a  e = 2, ae  0 và 0  {b, c, d} - Vì (a, e)  { (1, 3), (3, 1), (2, 4), (4, 2),…,(7, 9), (9, 7) } nên có 14 cách viết a và e. - Sau đó, có 3 cách viết chữ số 0 ( gán cho b hay c hay d) - Cuối cùng còn A 72 cách viết 2 chữ số còn lại. Do đó ở trường hợp 2 ta tạo được 14  3  A 72 = 1764 số dạng này. Vậy có tất cả : 336 + 1764 = 2100 số thỏa mãn yêu cầu đề bài. 2.3.1.2 Bài toán sắp xếp người hoặc vật vào các vị trí khác nhau. Bài tập 1 Người ta xếp ngẫu nhiên 5 lá phiếu thứ tự từ 1 đến 5 ở cạnh nhau. a) Có bao nhiêu cách sắp xếp để các lá phiếu số chẵn luôn ở cạnh nhau ? b) Có bao nhiêu cách xếp để các lá phiếu phân thành hai nhóm chẵn, lẻ riêng biệt ? 56 Giải a) Trong 5 phiếu thứ tự từ 1 đến 5 có hai phiếu mang số chẵn và ba phiếu mang số lẻ. Hai phiếu mang số chẵn luôn đứng cạnh nhau nên ta có thể ghép thành một khối. Số cách sắp xếp khối này cùng 3 phiếu mang số lẻ là 4! Mỗi lần hoán vị 2 phiếu số chẵn trong khối ta lại có 2! cách sắp xếp. Vậy có tất cả 4!  2! = 48 cách sắp xếp. b) Ghép 2 phiếu ghi số chẵn thành một khối, 3 phiếu ghi số lẻ thành một khối. Số cách sắp xếp hai khối này là 2! Cách. - Có 2! cách sắp xếp hai phiếu ghi số chẵn trong khối. - Có 3! cách sắp xếp ba phiếu ghi số lẻ trong khối. Vậy có tất cả là 2!  3!  2! = 24 cách sắp xếp. Bài tập 2 Một lớp học sinh có 8 học sinh là A, B, C, D, E, F, G, H. a) Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh này ngồi vào 8 vị trí của một ghế dài nếu A và B không ngồi cạnh nhau ? b) Giả sử trong 8 học sinh có 3 học sinh E, F, G lập thành một hội “nói chuyện”. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để hai trong số ba học sinh của hội này không thể ngồi cạnh nhau ? c) Giả sử trong 8 học sinh trên có 4 nam và 4 nữ được xếp vào một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau. Mỗi ghế có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu đối diện một nam là một nữ ? Giải a ) Có bao nhiêu cách sắp xếp 8 học sinh này ngồi vào 8 vị trí của một ghế dài nếu A và B không ngồi cạnh nhau ? Cách 1 : Tính trực tiếp. - Do A và B không ngồi cạnh nhau nên vị trí của cặp A và B chỉ có thể 1- 3, 1-4, 1-5, 1-6, 1-7, 1-8, 2-4, 2-5, 2-6, 2-7, 2-8, 3-5, 3-6, 3-7, 3-8, 4-6, 4-7, 4-8, 5-7, 5-8, 6-8. 57 - Với mỗi vị trí của cặp A – B có 2! cách đổi chỗ A và B. - Sau khi sắp xếp vị trí của A và B thì có 6! cách sắp xếp 6 học sinh còn lại vào 6 vị trí còn lại. Vậy có tất cả là 21  2!  6! = 30240 cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài. Cách 2 : Tính gián tiếp ( phần bù) - Số cách sắp xếp 8 học sinh vào 8 vị trí bất kỳ là 8! cách. - Xét trường hợp : Sắp xếp để hai học sinh A và B ngồi cạnh nhau. +) Có 7 vị trí để A và B ngồi cạnh nhau là 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7, 7-8. +) Có 2! cách đổi chỗ của A và B. +) Có 6! cách sắp xếp 6 người còn lại vào 6 vị trí còn lại. Do đó, trường hợp A và B ngồi cạnh nhau có 7  2!  6! = 10080 cách sắp xếp. Vậy có tất cả 8! – 10080 = 30240 cách sắp xếp để A và B không ngồi cạnh nhau. b) Giả sử trong 8 học sinh có 3 học sinh E, F, G lập thành một hội “nói chuyện”. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp để hai trong số ba học sinh của hội này không thể ngồi cạnh nhau ? Giải * Cách 1 : Tính trực tiếp Ta đánh số các vị trí từ 1 đến 8. - Do E, F, G đôi một không ngồi cạnh nhau nên vị trí của nhóm E, F, G là 13-5, 1-3-6, 1-3-7, 1-3-8, 2-4-6, 2-4-7, 2-4-8, 2-5-7, 2-5-8, 3-5-7, 3-5-8, 4-6-8. Ứng với mỗi vị trí này có 3! cách đổi chỗ E, F, G cho nhau. - Sau đó, có 5! cách sắp xếp 5 học sinh còn lại vào 5 vị trí còn lại. Vậy có tất cả 12  3!  5! = 14400 cách sắp xếp. *Cách 2 : Tính gián tiếp ( phương pháp phần bù) - Xét bài toán : Sắp xếp 8 học sinh sao cho trong 3 học sinh E, F, G luôn có hai học sinh ngồi cạnh nhau. Có 2 trường hợp: 58 +) Trường hợp 1: Ba học sinh E, F, G ngồi kề nhau. Ghép 3 học sinh này thành một khối. Khi đó, số cách sắp xếp khối này cùng với 5 học sinh còn lại là 6! cách. Với mỗi vị trí của khối ta có 3! cách đổi chỗ E, F. G. Vậy ở trường hợp 1 ta có 6!  3! = 4320 cách sắp xếp. +) Trường hợp 2: Trong ba học sinh E, F, G chỉ có hai học sinh ngồi cạnh nhau. Ghép hai học sinh ngồi cạnh nhau thành một khối. Số các khối khác nhau là C32 khối. - Nếu khối này ở vị trí 1-2 thì có cần phải xếp một học sinh không nằm trong nhóm (E, F, G) vào vị trí thứ ba, có 5 cách sắp xếp học sinh vào vị trí thứ ba này. Sau đó, có 5! cách sắp xếp 5 học sinh còn lại vào 5 vị trí còn lại. Mặt khác, có 2! cách đổi chỗ hai học sinh trong khối. Ở trường hợp này ta có C32  5  5!  2! = 3600 cách sắp xếp. - Nếu khối này ở vị trí 7-8 thì tương tự như trường hợp trên ta cũng có 3600 cách sắp xếp. - Nếu khối này ở vị trí giữa, chẳng hạn là 2-3 hoặc 6-7 thì ta phải xếp hai học sinh ngoài nhóm vào hai đầu của khối. Số cách sắp xếp hai học sinh này là A52 cách. Sau đó, có 4! cách sắp xếp 4 học sinh còn lại vào 4 vị trí còn lại. Mặt khác, có 5 vị trí của khối là 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, 6-7 và có 2! cách đổi chỗ hai học sinh trong khối. Do đó, ở trường hợp này ta có : C32  5  A52  4!  2! = 14400 cách. Số cách sắp xếp 8 học sinh bất kỳ vào 8 vị trí là 8! Cách. Vậy, số cách sắp xếp thỏa mãn yêu cầu đề bài là : 8! – (2  3600 – 14400 – 4320) = 14400 cách. c) Giả sử trong 8 học sinh trên có 4 nam và 4 nữ được xếp vào một bàn dài có hai dãy ghế đối diện nhau. Mỗi ghế có 4 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp nếu đối diện một nam là một nữ ? 59 Do vai trò của nam và nữ như nhau nên ta có thể chọn sắp một học sinh nam trước. - Xếp một học sinh nam vào 1 trong 8 vị trí thì có 8 cách. Khi đó có 4 cách chọn học sinh nữ vào vị trí đối diện với học sinh nam. - Tiếp theo, có 6 cách xếp một học sinh nam vào 1 trong 6 vị trí và có 3 cách chọn một học sinh nữ vào vị trí đối diện với học sinh nam. - Tiếp theo, có 4 cách xếp một học sinh nam vào 1 trong 4 vị trí và có 2 cách chọn một học sinh nữ vào vị trí đối diện với học sinh nam. - Cuối cùng, có 2 cách xếp một học sinh nam vào 1 trong 2 vị trí và còn 1 cách xếp học sinh nữ còn lại vào vị trí đối diện. Vậy có tất cả 8.4.6.3.4.2.2.1= 9216 cách. Bài tập 3: (Hoán vị vòng quanh) Có bao nhiêu cách sắp xếp 10 người ngồi xung quanh một bàn tròn? Giải Cố định một người nào đó ở một vị trí bất kỳ thì số cách sắp xếp 9 người còn lại vào 9 vị trí sẽ là 9! cách. Vậy có tất cả 5! = 120 cách sắp xếp 10 người ngồi quanh một bàn tròn. Số hoán vị vòng quanh của n phần tử khác nhau được tính theo công thức Sn = ( n – 1 )! Bài tập 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp cho 5 học sinh nam và 3 học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn sao cho không có hai học sinh nữ nào ngồi cạnh nhau ? Giải - Vì 8 học sinh ngồi quanh một bàn tròn nên ta có thể cố định vị trí của một học sinh nam nào đó, số cách sắp xếp 4 học sinh nam còn lại là 4! cách. - Sau khi sắp xếp vị trí cho các học sinh nam, ta sắp xếp vị trí cho 3 học sinh nữ còn lại. Vì các học sinh nữ không ngồi cạnh nhau, nên họ được chọn 3 trong 5 vị trí xen kẽ giữa các học sinh nam, số cách chọn là : A 35 60 Vậy theo quy tắc nhân, số các cách sắp xếp là 4!  A 35 = 1440 số. 2.3.2 Các bài toán tính số tập con của một hay nhiều tập hợp. 2.3.2.1 Các bài toán dạng cơ bản có thể đưa ngay về công thức tổ hợp Các bài toán sử dụng công thức tổ hợp dạng cơ bản thường yêu cầu thành lập các tổ, nhóm thỏa mãn điều kiện cho trước. a)Dạng 1: Đếm số tập con của một tập lớn duy nhất Bài tập 1: Một tổ có 14 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách cử một nhóm gồm 5 học sinh của tổ đi lao động ở phòng thí nghiệm? Với bài toán này học sinh có thể biết được ngay số các nhóm có thể lập chính là số các tổ hợp chập 5 của 14 phần tử. Bài tập 2: Cho tập hợp P gồm n điểm. a) Hỏi có bao nhiêu đoạn thẳng mà hai đầu mút thuộc P ? b) Nếu trong n điểm này không có 3 điểm nào thẳng hàng thì hỏi có bao nhiêu tam giác có 3 đỉnh thuộc P ? b)Dạng 2: Đếm số tập con có phần tử lấy từ nhiều tập lớn. Với dạng toán này ta cần phối hợp sử dụng các công thức về tổ hợp và quy tắc cộng, quy tắc nhân. Bài tập 1: Trong một lớp có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Thầy giáo chủ nhiệm cần chọn 4 học sinh nam và 3 học sinh nữ đi tham gia chiến dịch “ Mùa hè xanh” của Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ? 61 Giải Ta có C420 cách chọn 4 học sinh nam trong số 20 học sinh nam, ứng với mỗi cách chọn này lại có C153 cách chọn 3 học sinh nữ trong số 15 học sinh nữ. Theo quy tắc nhân số cách chọn là C420 . C153 = 2204475 Bài tập 2: Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Người ta cần chọn ra 5 em trong nhóm tham gia đồng diễn thể dục. a) Hỏi có bao nhiêu cách chọn nhóm đồng diễn thể dục ? b) Trong 5 em được chọn, yêu cầu không có quá 2 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn? c) Trong 5 em được chọn, yêu cầu phải có ít nhất 1 em nữ thì có bao nhiêu cách chọn? * Bài tập 2 và bài tập 1 có cùng một kiểu giả thiết nhưng yêu cầu của bài tập 2 khó hơn, đòi hỏi học sinh phải biết tìm ra chính xác số phần tử m lấy từ tập A và số phần tử n lấy từ tập B để đưa vào tập C sao cho tổng của số phần tử này là 5 m+n=5 Sau khi đã mô hình hoá bài toán, ta có thể thêm điều kiện cho m và n để có thêm các bài toán mới. Giải a) Do m + n = 5 và 0  m  7, 0  n  5 nên ta chỉ có các cặp số (m;n) sau thỏa mãn điều kiện là (2 ; 3), (3 ; 2), (4 ; 1), (5; 0). Do đó ta xét các trường hợp: TH1: Nhóm có 2 nam và 3 nữ, có C72C35 cách chọn. TH2: Nhóm có 3 nam và 2 nữ, có C37 C52 cách chọn. TH3: Nhóm có 4 nam và 1 nữ, có C74C15 cách chọn. TH4: Nhóm chỉ có 5 nam và không có nữ, có C57 C50 cách chọn. 62 Vậy số cách chọn nhóm thỏa mãn yêu cầu đề bài là: C72C35 + C37 C52 + C74C15 + C57 C50 = 3255. b) Từ yêu cầu đề bài ta có m + n = 5 và 0  m  7, 0  n  2. Suy ra các cặp số (m;n) thỏa mãn hệ điều kiện này là (3;2), (4;1), (5;0). Vậy ta có các trường hợp: TH1: Nhóm có 3 nam và 2 nữ. TH2: Nhóm có 4 nam và 1 nữ. TH3: Nhóm chỉ có 5 nam. c) Từ yêu cầu đề bài ta có m + n = 5 và 0  m  7, 1  n  3. Suy ra các cặp số (m;n) thỏa mãn yêu cầu đề bài là ( 4;1), (3;2), (2;3). Vậy ta có các trường hợp: TH1: Nhóm có 1 nữ và 4 nam. TH2: Nhóm có 2 nữ và 3 nam. TH3: Nhóm có 3 nữ và 2 nam. * Cách giải câu b) và câu c) chỉ được sử dụng khi số phần tử của A và B nhỏ, học sinh có thể liệt kê đầy đủ các trường hợp, còn khi số phần tử của A và B lớn thì việc liệt kê như vậy là rất khó khăn. Lúc này giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh sử dụng phương pháp tính gián tiếp. Giáo viên có thể cho học sinh hình thành nhận xét sau: Giả sử tập A có a phần tử, tập B có b phần tử. Hỏi có bao nhiêu tập con có p phần tử với số phần tử lấy từ tập A và B ? - Nếu bài toán không có thêm điều kiện gì thì ta có thể hiểu câu hỏi của đề bài tương đương với câu hỏi : “ Có bao nhiêu tập con có p phần tử của tập E gồm a +b phần tử ?” . Câu trả lời là Cap b tập con. - Nếu đề bài có thêm điều kiện là tập con p phần tử phải thỏa mãn một tính chất A nào đó thì kết quả chỉ là số n với n  Cap b , nN. Khi đó ta cũng có số tập con có k phần tử không thỏa mãn tính chất A là Cap b  n . 63 Hình vẽ 2.13: Phần bù của tập hợp có các phần tử thỏa mãn tính chất A số tập con thỏa mãn tính chất A số tập con không thỏa mãn tính chất A Cách giải bài toán tổng quát 1.Tính trực tiếp Giả sử ta chọn k phần tử của tập hợp A và (p-k) phần tử của tập hợp B. Số cách chọn này là Sk = Cak Cpb k . Cho k thay đổi sao cho k và (p-k) thỏa mãn yêu cầu đề bài rồi lấy tổng tất cả các số hạng Sk tương ứng, ta sẽ được kết quả cần tìm. 2.Tính gián tiếp Số cách chọn p phần tử từ tập A và B một cách bất kỳ là Cap b . Kết quả phải tìm là hiệu ( Cap b  Sk ) với mỗi giá trị k không thỏa mãn yêu cầu đề bài k Xét bài toán 2 - Ở câu a) của bài toán 2, năm học sinh được chọn bất kỳ từ 10 học sinh, không cần thêm điều kiện gì về số học sinh nam và học sinh nữ. Vì vậy ta có thể hiểu vai trò học sinh nam và học sinh nữ là như nhau và yêu cầu đề bài trở thành: tính số tập con có 5 phần tử lấy từ tập có 10 phần tử. Đáp án của câu a) là: C105 = 252. 64 - Ở câu b) của bài toán 2, ta có thể tính theo cách gián tiếp. Khi đó, các trường hợp không thỏa mãn yêu cầu đề bài là trường hợp nhóm chỉ có 5 nam, không có nữ và trường hợp nhóm chỉ có 1 nữ và 4 nam. Như vậy đáp án của câu b) là: C105 C57  C15C74 = 56. Bài tập 3 Một đội văn nghệ gồm 10 học sinh nam và 10 học sinh nữ. Chọn ra một tốp ca gồm 8 em. a) Nếu tốp ca phải có ít nhất 2 nữ thì có bao nhiêu cách chọn tốp ca? b) Nếu tốp ca phải có ít nhất 2 nữ và ít nhất 2 nam thì có bao nhiêu cách chọn tốp ca? *Với dạng bài : “Chọn ra k phần tử từ hai tập A và B mà phải có ít nhất k0 phần tử của tập A” thì ta có thể làm như sau: - Nếu k0 gần bằng số phần tử a của tập A hoặc gần bằng số phần tử b của tập B hoặc gần bằng k thì ta nên làm theo phương pháp tính trực tiếp. - Nếu k0 cách xa cả a, b, k ( a – k0  5 và b – k0  5 và k – k0  5) thì ta nên làm theo phương pháp tính gián tiếp. Như vậy ở bài toán 3, cách giải theo phương pháp gián tiếp có ưu thế hơn cách giải theo phương pháp trực tiếp vì k0 = 2 nhỏ hơn nhiều so với a =10, b = 10, k =8. Bài tập 4 Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 viên bi vàng. Người ta chọn ra 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không có đủ ba màu? Ta có thể giải bài toán 1 theo ba cách sau: 65 Cách 1: Liệt kê các trường hợp Bi đỏ Bi trắng Bi vàng Số cách chọn 4 0 0 C 44 = 1 3 1 0 C34 .C15 = 20 1 3 0 C14 .C53 = 40 2 2 0 C24 .C52 = 60 0 4 0 C54 = 5 0 1 3 C15 .C36 = 100 0 3 1 C35 .C16 = 60 0 2 2 C52 .C62 = 150 0 0 4 C64 = 15 1 0 3 C14 .C36 = 80 3 0 1 C34 .C16 = 24 2 0 2 C24 .C62 = 90 Tổng số cách chọn 645 cách Cách liệt kê tương đối dài nên ta có thể làm theo cách gián tiếp (sử dụng công thức phần bù) Cách 2: Hộp đựng 15 viên bi, chọn ngẫu nhiên 4 viên bi trong số 15 viên bi là một 4 tổ hợp chập 4 của 15 phần tử : C15 Nếu chọn 4 viên bi có đủ cả ba màu thì ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: 2 bi đỏ, 1 bi trắng, 1 bi vàng  có C24C15C16 cách chọn. 66 Trường hợp 2: 1 bi đỏ, 2 bi trắng, 1 bi vàng  có C14C52C16 cách chọn. Trường hợp 3: 1 bi đỏ, 1 bi trắng, 2 bi vàng  có C14C15C62 cách chọn. Vậy nếu chọn ra 4 viên bi có đủ cả ba màu thì có tất cả : C24C15C16 + C14C52C16 + C14C15C62 = 720 cách chọn 4 Suy ra số cách chọn 4 viên bi không có đủ ba màu là: C15  720 = 654 cách. * Cách làm thứ hai tuy có gọn hơn cách thứ nhất nhưng khi k phần tử chọn ra là số lớn thì ta vẫn phải liệt kê rất nhiều trường hợp. Do đó, ta không nên làm bài toán 2 theo cả hai cách này. Lúc đó, ta cần vận dụng đến công thức tính số phần tử của một tập hợp các tập hợp như sau : M N P  M  N  P  M N  N C  M P  M NP Ở đây M, N, P là tập hợp các cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài. * Bài tập 4 có thể giải theo cách thứ 3 dựa vào công thức trên như sau: Cách 3: Chọn 4 viên bi không đủ ba màu thì có các trường hợp sau: - Trường hợp 1: 4 viên bi lấy ra chỉ có màu đỏ hoặc màu trắng. Trường hợp này ta phải chọn 4 viên trong số 9 viên bi ( 4 đỏ + 5 trắng), số cách chọn là C94 cách. - Trường hợp 2: 4 viên bi lấy ra chỉ có màu trắng hoặc màu vàng. Trường hợp này ta phải chọn 4 viên bi trong số 11 viên bi ( 5 trắng + 6 4 vàng), số cách chọn là C11 cách. - Trường hợp 3: 4 viên bi chỉ có màu vàng hoặc màu đỏ. Trường hợp này ta phải chọn 4 viên bi trong số 10 viên ( 4 đỏ + 6 vàng), 4 số cách chọn là C10 cách. 67 - Nhưng cả TH1 và TH2 đều chứa C54 cách chọn 4 viên bi chỉ toàn màu trắng; TH2 và TH3 đều chứa C64 cách chọn 4 viên bi chỉ toàn màu vàng; TH1 và TH3 đều chứa C44 cách chọn 4 viên bi chỉ toàn màu đỏ. Vậy số cách chọn 4 viên bi thỏa mãn yêu cầu đề bài là: 4 4 (C94  C10  C11 )  (C44  C54  C64 )  666  21  645 cách. 4 4 ( Ta có M = C94 , N = C11 , P = C10 , M  N = C54 , N  P = C54 , M  P = C54 ) c) Dạng 3: Phân chia một tập hợp thành nhiều tập con. Cho tập hợp A có n phần tử khác nhau. Chia tập hợp A thành các tập con A1, A2, A3,…Ak; trong đó mỗi tập con Ai ( i  1, k ) có ni phần tử ( i  1, k ). Khi đó ta phải chọn theo thứ tự tăng dần của i. - Chọn n1 phần tử trong số n phần tử của tập A cho tập A1. - Chọn n2 phần tử trong số n – n1 phần tử còn lại của tập A cho tập A2. - Chọn n3 phần tử trong số n – n1 – n2 phần tử còn lại của tập A cho tập A3. - ….. - Đến tập thứ k là Ak thì chỉ còn lại đúng nk phần tử cho tập này. Như vậy ta chỉ phải chọn k – 1 bước và ta không cần phải chọn phần tử cho tập cuối cùng. Bài tập 1 Một lớp học có 40 học sinh được chia thành 4 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách chia tổ? Giải - Tổ thứ nhất có 10 học sinh được chọn trong số 40 học sinh, số cách chọn là C10 40 . - Tổ thứ hai có 10 học sinh được chọn trong số 30 học sinh, số cách chọn là C10 30 . 68 - Tổ thứ ba có 10 học sinh được chọn trong số 20 học sinh, số cách chọn là C10 20 . - Đến tổ thứ tư thì chỉ còn lại đúng 10 học sinh nên chỉ có duy nhất một cách chọn. 10 10 Vậy có C10 40 . C30 . C 20 cách chia học sinh vào 4 tổ, mỗi tổ có 10 học sinh. Bài tập 2 Một lớp học toán bồi dưỡng có 12 học sinh trong đó đã có 4 học sinh đã đạt giải trong kỳ thi trước. Thầy giáo muốn chia thành hai nhóm để trao đổi với số lượng học sinh của hai nhóm bằng nhau. Có bao nhiêu cách chia để cho 4 học sinh đã đạt giải ở hai nhóm khác nhau thì bằng nhau? Giải - Trong 12 học sinh có 4 em đã đoạt giải nên còn lại 8 học sinh chưa đoạt giải. - 8 học sinh này được chia đều cho hai nhóm. Ta chỉ cần chọn 4 trong số 8 học sinh vào nhóm thứ nhất thì chỉ còn một cách đưa 4 học sinh còn lại vào nhóm thứ hai. Suy ra, chia đều 8 học sinh vào hai nhóm thì có C84 cách chia. - 4 học sinh đã đạt giải được chia đều cho hai nhóm. Lý luận tương tự như trên ta có C 24 cách chia. Vậy có tất cả C84 . C 24 cách chia thỏa mãn yêu cầu đề bài. * Ta có thể thêm điều kiện cho các phần tử của tập A để có được những bài toán mới khó hơn. Bài tập 3 Một tổ học sinh gồm 12 em, trong đó có 1 tổ trưởng và 1 tổ phó. 12 học sinh này được phân công đi lao động vệ sinh ở các phòng thư viện, phòng thí nghiệm hoá và phòng thực hành sinh. Phòng thư viện cần 5 em, phòng thí nghiệm hóa cần 3 em và phòng thực hành sinh cần 4 em. Hỏi có bao nhiêu cách phân công biết tổ phó không đi lao động ở phòng thư viện còn tổ trưởng thì phải lao động ở phòng thí nghiệm hóa? 69 Đối với hai bài toán trên, ta nên vẽ sơ đồ chọn và các điều kiện đi kèm (dùng biểu đồ Ven) để bài toán được rõ ràng và tránh trường hợp chọn trùng lặp. Giải bài tập 3 a) Trường hợp 1: Tổ phó được phân công vào phòng thí nghiệm hóa. Khi đó phòng thí nghiệm hóa có cả tổ trưởng và tổ phó, nên ta chỉ cần chọn thêm 1 học sinh trong số 10 học sinh vào phòng này, số cách chọn là C110 . Sau đó có C59 cách chọn 5 học sinh vào phòng thư viện. Còn lại 4 học sinh thì chỉ có 1 cách chọn là phân công vào phòng thực hành sinh. Suy ra, ở trường hợp 1 có C110 . C59 .1 = 1260 cách chọn. b) Trường hợp 2: Tổ phó được phân công vào phòng thực hành sinh. Khi đó cần chọn thêm 3 học sinh vào phòng thực hành sinh, số cách chọn 3 là C10 . Sau đó, có C72 cách chọn 2 học sinh vào phòng thí nghiệm hóa vì phòng này đã có bạn tổ trưởng. Còn lại 5 học sinh thì chỉ có 1 cách chọn duy nhất là vào phòng thư viện. 3 Suy ra, ở trường hợp 2 có C10 . C72 = 2520 cách chọn. 70 3 Vậy số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài là : C110 . C59 + C10 . C72 = 3780 cách chọn. 2.3.2.2 Mô hình bài toán tổ hợp trong trường hợp tập con bị ẩn Có một số bài toán tổ hợp trong chương trình phổ thông mà đề bài chưa cho biết ngay tập con. Học sinh phải tìm được quan hệ nội tại trong bài toán để định dạng tập con, hay có thể gọi những bài toán này là những bài toán có tập con bị ẩn. Đây là dạng toán khó, thường dành cho học sinh khá, giỏi vì nó đòi hỏi học sinh phải nắm chắc nhiều kiến thức toán học, phải tư duy để tìm được quan hệ giữa các khái niệm toán học có trong bài toán. Trong quá trình giảng dạy, giáo viên có thể lập một mô hình chung để giải loại toán này cho học sinh. Mô hình được xây dựng dựa trên hệ thống các câu hỏi sau: - Đối tượng được hỏi về số lượng là gì ? - Đối tượng này được tạo nên bởi sự kiện nào? - Có bao nhiêu đối tượng có thể tạo ra được sự kiện và có bao nhiêu đối tượng tham gia trực tiếp vào một sự kiện. Đối tượng được hỏi về số lượng chính là hình ảnh tập con. Đối tượng có thể tạo ra sự kiện chính là số phần tử của tập lớn. Đối tượng tham gia vào sự kiện chính là số phần tử của tập con. Bài tập 1 Có bao nhiêu cái bắt tay khác nhau trong một hội nghị gồm 50 người? * Hướng dẫn giải bài tập 1: - Đối tượng được hỏi về số lượng là: “cái bắt tay” - Đối tượng được tạo nên bởi sự kiện bắt tay giữa hai người khác nhau. - Số đối tượng có thể tạo ra sự kiện bắt tay là 50 . - Số đối tượng tham gia vào một sự kiện bắt tay là 2 . Bài toán được đưa về dạng: “ Tìm số tập con có hai phần tử của một tập A gồm 50 phần tử ” 71 Tùy thuộc vào giả thiết đề bài mà sự kiện có thể được hình thành từ một chuỗi các sự kiện khác, hay là kết quả của dãy các hoạt động. Việc phân tích loại bài toán này khi dạy học không chỉ giúp cho học sinh biết cách giải quyết vấn đề, mà còn giúp cho giáo viên có thêm kinh nghiệm để tìm ra các bài toán mới. Bài tập 2 Cho tam giác ABC. Xét tập hợp 4 đường thẳng song song với AB, 5 đường thẳng song song với BC và 6 đường thẳng song song với AC. a) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu tam giác? b) Hỏi các đường thẳng này tạo được bao nhiêu hình thang ( không kể các hình bình hành). Cho biết không có 3 đường nào của họ đồng quy. * Hướng dẫn giải: a) Các đường thẳng tạo ra được bao nhiêu tam giác ? - Đối tượng được hỏi về số lượng là : tam giác. - Đối tượng tam giác được tạo ra từ việc nối 3 điểm không thẳng hàng. - Đối tượng tạo ra bộ 3 điểm không thẳng hàng là bộ 3 đường thẳng đôi một cắt nhau. Vậy ta hiểu quan hệ nội tại của bài toán là : 1 tam giác  nối 3 điểm không thẳng hàng  cho 3 đường thẳng đôi một không song song cắt nhau. Gọi X là tập các đường thẳng song song với AB; Y là tập các đường thẳng song song với BC; Z là tập hợp các đường thẳng song song với AC. Để có bộ 3 đường thẳng đôi một cắt nhau thì ta phải lấy từ mỗi tập X, Y, Z một đường thẳng . Từ quan hệ giữa các khái niệm, ta suy ra số tam giác = số bộ 3 điểm không thẳng hàng = số bộ 3 đường thẳng đôi một không song song. Do đó, bài toán được đưa về dạng : “ Tìm số tập con có 3 phần tử, trong đó có một phần tử được lấy từ tập X, một phần tử được lấy từ tập Y và một phần tử được lấy từ tập Z”. 72 Sơ đồ 2.1: Chọn 3 điểm để tạo một tam giác. X Y Z 1 1 1 1 b) Các đường thẳng tạo ra được bao nhiêu hình thang ? - Đối tượng được hỏi về số lượng là: hình thang. - Đối tượng hình thang được tạo ra từ hai đường thẳng song song và hai đường thẳng cắt nhau. Như vậy, bài toán được đưa về dạng : “ Tìm số tập con có 4 phần tử trong đó có hai phần tử được lấy ra từ cùng một tập hoặc X hoặc Y hoặc Z, hai phần tử còn lại mỗi phần tử được lấy ra từ một trong hai tập còn lại. ” Sơ đồ 2.2: Chọn 3 điểm để tạo một hình thang. X Y Z 2 2 1 1 1 HT Bài tập 3: Cho 10 điểm trên mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Xét tập hợp các đường thẳng đi qua 2 điểm của 10 điểm đã cho. Số giao điểm khác 10 điểm đã cho do các đường thẳng này cắt nhau tạo thành nhiều nhất là bao nhiêu? 73 Cách 1 - Đối tượng được hỏi về số lượng là : giao điểm ( nếu có ) của hai đường thẳng. (giao điểm này phải khác với 10 điểm đã cho). - Đối tượng tạo nên 1 giao điểm là 2 đường thẳng cắt nhau. - Đối tượng tạo nên 1 đường thẳng là 2 trong số 10 điểm đã cho. Theo sự phân tích trên, thì trước hết ta phải tìm số đường thẳng được tạo nên bởi 2 điểm trong số 10 điểm đã cho. Sau đó, ta cho các đường thẳng cắt nhau, tìm số giao điểm nhiều nhất có thể và loại bỏ đi số giao điểm là 10 điểm đã cho lúc đầu. Giải: 2 - Số đường thẳng được tạo ra từ 10 điểm là C10 = 45 đường. - Số giao điểm nhiều nhất có thể được tạo ra khi cho 45 đường này đôi một cắt nhau là C245 điểm. Gọi 10 điểm trong đề bài là A1, A2, …, A10 . Trong 45 đường thẳng trên thì có những đường dạng A1A2, A1A3, A1A4, …, A1A10 ; 9 đường thẳng này nếu cho cắt nhau đôi một thì giao điểm A1 được tính lặp tới C92 lần. Suy ra trong C245 giao điểm ở trên thì có 10. C92 giao điểm là các điểm A1, A2, …, A10. Vậy số giao điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là: C 245  10. C92 = 630 giao điểm. Cách 2 +) Mỗi một giao điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là Y giao của hai đường thẳng được tạo ra bởi bộ 4 điểm A4 A1 cho lúc đầu, nên ta có thể hiểu một giao điểm được hình thành bởi một bộ 4 điểm lấy trong 10 điểm A1, X Z A2 4 A2, …, A10. Số bộ 4 điểm này là C10 bộ. +)Xét một bộ 4 điểm bất kỳ, chẳng hạn là A1, A2, A3, A4. Bốn điểm này tạo nên một tứ giác A1A2A3A4, cho các cặp cạnh và các đường chéo của tứ giác 74 A3 cắt nhau, ta có được nhiều nhất là 3 giao điểm không trùng với đỉnh của tứ giác (trường hợp A1A2A3A4 là tứ giác lõm thì ta chỉ có 3 giao điểm). 4 Vậy số giao điểm thỏa mãn yêu cầu đề bài là 3. C10 = 630 điểm. Bài tập 4 Cho 5 điểm trên mặt phẳng. trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Xét tất cả các đường thẳng nối từng cặp điểm trong năm điểm đã cho. Giả thiết các đường thẳng này không có hai đường nào song song với nhau, không có hai đường nào vuông góc với nhau. Từ mỗi điểm kẻ các đường thẳng vuông góc với tất cả các đường thẳng nói trên mà không đi điểm đó. Gọi n là số giao điểm có thể có của tất cả các đường vuông góc ấy. Chứng minh rằng n  295. Giải a) Giả sử 5 điểm cho trong đề bài là A, B, C, D, E. Số đường thẳng tạo bởi hai trong số 5 điểm đã cho nhiều nhất là C52 đường. Nhưng qua mỗi điểm, chẳng hạn điểm A lại có 4 đường thẳng, suy ra số đường thẳng không đi qua A nhiều nhất là C52 - 4 = 6 đường. Từ A ta kẻ được 6 đường vuông góc với 6 đường thẳng không đi qua A. Vậy số đường vuông góc là 5  6 = 30 đường. 2 Với 30 đường ấy, số giao điểm tối đa của chúng chỉ có thể là : C30 = 435.(*) b) Nhưng nếu tính như vậy thì có nhiều giao điểm bị tính đi tính lại nhiều lần. Ta xét các trường hợp tính lặp: Trường hợp 1 Xét các đường vuông góc đi qua một đỉnh, chẳng hạn là đỉnh A. Có 6 đường vuông góc đi qua A. Số giao điểm tối đa của 6 đường này là : C62 = 15 Nhưng do cả 6 đường đồng quy tại A nên số giao điểm bị tính thừa là 14 điểm. 75 Vai trò 5 điểm A, B, C, D, E như nhau nên số giao điểm bị tính thừa của trường hợp này là : 14  5 = 70. Trường hợp 2 Xét đường thẳng đi qua hai điểm A và B. Khi đó các đường thẳng vuông góc với AB kẻ từ C, D, E sẽ song song với nhau, ba đường vuông góc này không thể cắt nhau. Nhưng theo như phần a) ta vẫn tính đến số giao điểm của chúng trong 435 điểm. Vậy ở phần a) với đường thẳng AB, ta đã tính đến C32  3 điểm không có trong thực tế. Số các đường thẳng dạng AB là C52 = 10. Vậy tổng số giao điểm không có trong thực tế là 3  10 = 30. Trường hợp 3 Xét tam giác ABC. Ba đường vuông góc kẻ từ A, B, C tương ứng xuống BC, CA, AB đồng quy ( vì là 3 đường cao trong tam giác ABC ). Nhưng theo phần a) ta đã tính tối đa số giao điểm của ba đường vuông góc này là C32 = 3. Mặt khác, số tam giác tạo bởi 5 điểm A, B, C, D, E là C36 = 20 tam giác, nên số giao điểm bị tính thừa của trường hợp 3 là 20  (3 – 1) = 40 giao điểm. Vậy số giao điểm bị tính thừa ít nhất là 70 + 30 + 40 = 140 điểm.(**) Từ (*) và (**) ta có số giao điểm tối đa n của các đường vuông góc được xây dựng trong bài toán phải thỏa mãn n  435 – 140 = 295 . 2.3.3 Các bài toán tính xác suất. 2.3.3.1 Các bài toán cơ bản sử dụng định nghĩa cổ điển của xác suất. Bài tập 1 Gieo hai con xúc sắc cân đối xanh và đỏ . 1. Mô tả không gian mẫu. 76 2. Gọi x là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc xanh và y là số chấm xuất hiện trên mặt con xúc sắc đỏ. Tính xác suất của các biến cố : a) Biến cố " x lẻ, y chẵn". b) Biến cố " x > y ". c) Biến cố " x + y  7" d) Biến cố " Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt 6 chấm". Giải 1. Gọi  là tập hợp các kết quả khi gieo hai con xúc sắc xanh, đỏ. Khi đó  = { (x; y) x, y nguyên, 1  x  6, 1  y  6} Vì vậy  = 6  6 = 36 Ta có thể mô tả các phần tử của tập  trong bảng sau : y 1 2 3 4 5 6 1 (1 ; 1) (1 ; 2) (1 ; 3) (1 ; 4) (1 ; 5) (1 ; 6) 2 (2 ; 1) (2 ; 2) (2 ; 3) (2 ; 4) (2 ; 5) (2 ; 6) 3 (3 ; 1) (3 ; 2) (3 ; 3) (3 ; 4) (3 ; 5) (3 ; 6) 4 (4 ; 1) (4 ; 2) (4 ; 3) (4 ; 4) (4 ; 5) (4 ; 6) 5 (5 ; 1) (5 ; 2) (5 ; 3) (5 ; 4) (5 ; 5) (5 ; 6) 6 (6 ; 1) (6 ; 2) (6 ; 3) (6 ; 4) (6 ; 5) (6 ; 6) x (x;y) 2. Tính xác suất. a) A là biến cố " x lẻ, y chẵn" A = { (x ; y) , x lẻ và y chẵn } Vì x  { 1 ; 3 ; 5 } nên có 3 cách chọn x. Vì y  { 2 ; 4 ; 6 } nên có 3 cách chọn y. 77 Vậy tập A có 3  3 = 9 phần tử  P(A) = 9 1  36 4 b) Gọi B là biến cố " x > y " B = { (6 ; 5), (6 ; 4), (6 ; 3), (6 ; 2), (6 ; 1), (5 ; 4), (5 ; 3), (5 ; 2), (5 ; 1), (4 ; 3), (4 ; 2), (4 ; 1), (3 ; 2), (3 ; 1), (2 ; 1) } Tập B có 15 phần tử  P(B) = 15 5  36 12 c) Gọi C là biến cố " x + y  7" C = { (1 ; 6), (6 ; 1), (2 ; 5), (5 ; 2), (3 ; 4), (4 ; 3), (5 ; 1), (1 ; 5), (2 ; 4), ( 4 ; 2), (3 ; 3), (1 ; 4), (4 ; 1), (2 ; 3), (3 ; 2), (2 ; 2), (1 ; 3), ( 3 ; 1), (1 ; 2), (2 ; 1), (1 ; 1) } Tập C có 6 phần tử  P(C) = 21 7  36 12 d) Gọi D là biến cố " Có ít nhất một con xúc sắc xuất hiện mặt 6 chấm". D = { (1 ; 6), (2 ; 6), (3 ; 6), (4 ; 6), (5 ; 6), (6 ; 6), (6 ; 1), (6 ; 2), (6 ; 3), (6 ; 4), (6 ; 5)} Tập D có 11 phần tử  P(D) = 11 36 Bài tập 2 ( Bài 2.34/SBT) Chọn ngẫu nhiên 5 quân bài trong cỗ bài tú lơ khơ ta được một xấp bài. Tính xác suất để trong 5 quân bài này chứa hai bộ đôi ( tức là hai con cùng thuộc một bộ, hai con thuộc bộ thứ hai, con thứ năm thuộc bộ khác). Giải Lấy ngẫu nhiên 5 quân bài trong số 52 quân bài ta có C552 kết quả khác nhau. Như vậy không gian mẫu  có C552 phần tử. Gọi A là biến cố trong 5 quân bài có hai bộ đôi. Giả sử 5 quân bài này có: hai quân thuộc bộ B, hai quân thuộc bộ C và một 2 quân thuộc bộ A. Có 13 cách chọn bộ A, có C12 cách chọn hai bộ B và C 78 trong số 12 bộ còn lại. Với bộ A có 4 cách chọn 1 quân. Với bộ B và bộ C 2 mỗi bộ có C 24 cách chọn hai quân. Vậy có tất cả 13. C12 .4. C 24 . C 24 =123552. Suy ra xác suất cần tìm là P(A) = 123552 = 0,048. C552 Bài tập 3( Học viện Quân Y 1998) Có 6 khách hàng vào một cửa hàng gồm 3 quầy để mua hàng. Tính xác suất để có hai khách hàng vào cùng một quầy. Giải Gọi A là biến cố có 2 khách hàng vào cùng một quầy. Gọi x là số khách vào quầy I, y là số khách vào quầy II, và z là số khách vào quầy III. Vậy không gian mẫu là tập hợp các cặp số (x; y; z) trong đó x, y, z là số tự nhiên thỏa mãn x + y + z = 6. Với : - Các số { 6, 0, 0} ta có 3 bộ có thứ tự là ( 6, 0, 0), ( 0, 6, 0) và (0, 0, 6). - Các số { 3, 3, 0} ta có 3 bộ có thứ tự là (3, 3, 0), (3, 0, 3) và (0, 3, 3). - Các số {4, 1, 4} ta có 3 bộ có thứ tự (4, 1, 1), (1, 4, 1) và (1, 1, 4). Còn với các số {5, 1, 0}, {3, 2, 1}, {4, 2, 0} mỗi bộ cho ta 3! bộ có thứ tự . Riêng với các số {2, 2, 2} ta chỉ có một bộ có thứ tự là (2, 2, 2). Vậy không gian mẫu E có tất cả 3  3 + 3  3! + 1 = 28 phần tử. Trong 28 bộ trên, những bộ có chứa số 2 là : (2, 2, 2), (4, 2, 0), (4, 0, 2), (0, 2, 4), (0, 4, 2), (2, 0, 4), (2, 4, 0), (3, 2, 1), (3, 1, 2), (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3). Suy ra có 13 kết quả thuận lợi cho biến cố A. Vậy xác suất để có hai khách hàng cùng vào một quầy là P(A) = 13 28 2.3.3.2 Các bài toán sử dụng quy tắc tính xác suất. Bài tập 1( Bài tập 35/ SGK) Xác suất bắn trúng hồng tâm của một người bắn cung là 0,2. Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập: a) Người đó bắn trúng hồng tâm đúng một lần. 79 b) Người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần. Giải Khi hướng dẫn học sinh giải bài toán, giáo viên nên yêu cầu học sinh phân biệt sự khác nhau giữa hai biến cố ở hai câu a) và b). Khi đã phân tích được sự khác nhau thì tức là học sinh đã hiểu rõ hai biến cố cần tính xác suất là hợp và giao của các biến cố nào. a) Gọi Ai là biến cố "Người bắn cung bắn trúng hồng tâm ở lần bắn thứ i ", i = 1,3 ta có P(Ai) = 0,2. Gọi K là biến cố " Trong ba lần bắn có duy nhất một lần người đó bắn trúng hồng tâm" , ta có K = A1 A 2 A 3  A1A 2 A3  A1 A 2 A 3 . Theo quy tắc nhân xác suất : P( A1 A 2 A 3 ) = P(A1 ).P(A 2 )P(A 3 ) =0,2.(1- 0,2).(1- 0,2) = 0,2.0,82 = 0,128. Tương tự, ta có P( A1A 2 A 3 ) = P( A1 A 2 A 3 ) = 0,128. Vậy P(K) = P( A1 A 2 A 3  A1A 2 A 3  A1 A 2 A 3 ) = P( A1 A 2 A3 ) + P( A1A 2 A 3 ) + P( A1 A 2 A 3 ) = 3.0,128 = 0,384. b) Gọi H là biến cố "Trong ba lần bắn, người đó bắn trúng hồng tâm ít nhất một lần ". Biến cố đối của H là H " Cả ba lần bắn, người đó đều bắn không trúng hồng tâm". Ta có H  A1 A 2 A3 . Theo quy tắc nhân xác suất, ta có P( A1 A 2 A 3 ) = 0,83 = 0,512 Vậy P(H) = 1 - P( H ) = 1 - 0,512 = 0,488. Bài tập 2 (Đại học Y 1998) Xác suất sinh con trai trong mỗi lần sinh là 0,51. Tìm xác suất sao cho sau khi sinh 3 lần thì có ít nhất 1 con trai. Xét một lần sinh một con. Giải Gọi A là biến cố " Sau ba lần sinh thì có ít nhất con trai". Khi đó A là biến cố " Sau ba lần sinh không có con trai". 80 Gọi Hi là biến cố " Sinh con gái ở lần sinh thứ i" , i = 1,3 Khi đó H i là biến cố " Sinh con trai ở lần sinh thứ i ", i = 1,3 . P(H1) = 1 - P( H1 ) = 1 - 0,51 = 0,49. Tương tự ta có P(H2) = P(H3) = 0,49. Ta có A = H1H2H3  P( A ) = P(H1H2H3) = P(H1).P(H2).P(H3) = 0,493 = 0,1176 Vậy P(A) = 1 - P( A ) = 1 - 0,1176 = 0,8824. Bài tập 3 Có ba bình A, B, C mỗi bình đều chứa ba quả cầu trắng, ba quả cầu xanh và ba quả cầu đỏ. Từ mỗi bình lấy ngẫu nhiên ra một quả cầu. Tính xác suất để : a) Ba quả cầu có màu đôi một khác nhau. b) Ba quả cầu có màu giống nhau. c) Hai quả cùng màu còn quả kia khác màu. Giải a) Gọi A là biến cố "Ba quả cầu có màu đôi một khác nhau." Gọi HT là biến cố lấy quả cầu trắng ở mỗi bình. Có 9 cách lấy một quả cầu từ mỗi bình, nên không gian mẫu  của biến cố HT có 9 phần tử. Trong đó có 3 cách lấy quả trắng. Vậy xác suất lấy được một quả cầu trắng ở mỗi bình là : P(HT) = Tương tự, xác suất lấy được quả cầu xanh ở mỗi bình là được một quả cầu đỏ ở mỗi bình cũng là 1 và xác suất lấy 3 1 . Vậy theo quy tắc nhân, xác suất 3 lấy được một bộ ba quả cầu ( trắng, xanh, đỏ) là 81 3 1  9 3 1 1 1 1 . . = . 3 3 3 27 Các kết quả có được khi lấy bộ ba quả cầu đôi một khác nhau ở mỗi bình là: Bình A Bình B Bình C Trắng Xanh Đỏ Trắng Đỏ Xanh Xanh Trắng Đỏ Xanh Đỏ Trắng Đỏ Xanh Trắng Đỏ Trắng Xanh Có 6 bộ kết quả nên xác suất cần tìm là P(A) = 6. 1 2 = 27 9 b) Gọi B là biến cố "Ba quả cầu có màu giống nhau." Các kết quả thuận lợi cho biến cố B là : (Trắng, Trắng, Trắng), (Xanh, Xanh, Xanh), (Đỏ, Đỏ, Đỏ). Xác suất để lấy được bộ ba quả trắng là để lấy được một bộ ba quả xanh là cũng là 1 1 1 1 . . = . Tượng tự, xác suất 3 3 3 27 1 , xác suất để lấy được một bộ ba quả đỏ 27 1 1 1 1 1 . Vậy xác suất cần tìm là P(B) = + + = 27 27 27 27 9 c) Gọi C là biến cố "Hai quả cầu cùng màu còn quả kia khác màu." Dễ thấy C = A  B . Vậy P(C) = 1  P(A)  P(B) = 1  82 2 1 6 2  =  9 9 9 3 Bài tập 4 Gọi M là tập hợp gồm các số có hai chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lấy ngẫu nhiên hai phần tử của M. Tính xác suất để ít nhất một trong hai phần tử đó chia hết cho 6. Giải Mỗi phần tử thuộc M đều có dạng a1a 2 . Có 6 cách chọn a1. Sau khi chọn xong a1 còn 5 cách chọn a2. Vậy theo quy tắc nhân có 6.5 = 30 số dạng a1a 2 , nên M có 30 phần tử. 2 Lấy ngẫu nhiên 2 phần tử trong số 30 phần tử của M có C30 = 435 cách lấy. Vậy không gian mẫu có 435 phần tử. Những phần tử của M chia hết cho 6 là 12, 224, 36, 42, 54 ( có 5 phần tử). Số phần tử không chia hết cho 6 là 30 - 5 = 25 phần tử. Xét biến cố bù của biến cố A là biến cố A : " Cả hai phần tử được chọn đều không chia hết cho 6". Ta có C 225 = 300 cách chọn 2 trong số 25 phần tử không chia hết cho 6  P( A ) = 300 20  435 29 Vậy xác suất cần tìm là P(A) = 1 - P( A ) = 1 - 20 9  29 29 Bài tập 5 Chọn ngẫu nhiên 3 người, biết rằng không có ai sinh vào năm nhuận. Hãy tính xác suất để có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau ( cùng ngày, cùng tháng). Giải Vì cả ba người không sinh vào năm nhuận nên sinh nhật của mỗi người đều có thể rơi vào một trong số 365 ngày của năm. Gọi A là biến cố " Có ít nhất hai người có sinh nhật trùng nhau " thì A là biến cố " Cả ba người có ngày sinh đôi một khác nhau". 83 Gọi ( t1, t2, t3) là bộ số ngày sinh của 3 người thì không gian mẫu  = { ( t1, t2, t3) ti là số nguyên từ 1 đến 365 }. Vậy số phần tử của không gian mẫu là 3653. A = { (t1, t2, t3) ti là số nguyên từ 1 đến 365, các ti đôi một khác nhau}. Các kết quả thuận lợi cho biến cố A là 365.364.363 Vậy xác suất cần tìm là : P(A) = 1 - P( A ) = 1  365.364.363  1  0,9918  0,0082 3653 2.3.3.3 Các bài toán tính xác suất liên quan đến biến ngẫu nhiên rời rạc. Bài tập 1 Chọn ngẫu nhiên một gia đình trong số các gia đình có ba con. Gọi X là số con trong gia đình đó. Hãy lập bảng phân bố xác suất của X ( giả thiết sinh con trai là 0,5) Giải X là một biến ngẫu nhiên rời rạc. Tập hợp các giá trị của X là {0, 1, 2, 3}. Để lập bảng phân bố xác suất của X ta phải tính các xác suất P(X=0), P(X=1), P(X=2), P(X=3). Gọi Ak là biến cố " Gia đình đó có k con trai", (k = 0, 1, 2, 3) thì P(X=0) = P(A0), P(X=1) = P(A1), P(X=2) = P(A2), P(X=3) = P(A3). Ký hiệu G: con gái, T: con trai thì không gian mẫu sẽ gồm 8 phần tử sau: { TTT, TTG, TGT, TGG, GTT, GTG, GGT, GGG } - Kết quả thuận lợi cho biến cố A0 là GGG nên P(A0) = 1 8 - Kết quả thuận lợi cho biến cố A1 là TGG, GTG, GGT nên P(A1) = - Kết quả thuận lợi cho biến cố A2 là GTT, TGT, TTG nên P(A2) = 84 3 8 3 8 - Kết quả thuận lợi cho biến cố A3 là TTT nên P(A3) = 1 8 Vậy bảng phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên X là: X 0 1 2 3 P 1 8 3 8 3 8 1 8 Bài tập 2 (Bài tập 45, 48 /SGK tr. 91) Số ca cấp cứu ở một bệnh viện vào tối thứ bảy là một biến ngẫu nhiên rời rạc X có bảng phân bố xác suất như sau: X 0 1 2 3 4 5 P 0,15 0,2 0,3 0,2 0,1 0,05 Biết rằng nếu có hơn hai ca cấp cứu thì phải tăng cường thêm bác sĩ trực. a) Tính xác suất để phải tăng cường thêm bác sĩ trực vào tối thứ bảy. b) Tính xác suất để xảy ra ít nhất một ca cấp cứu vào tối thứ bảy. c) Tính kỳ vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của biến ngẫu nhiên rời rạc X. Giải a) Gọi A là biến cố " Phải tăng bác sĩ trực". Từ giả thiết suy ra P(A) = P(X>2) = P(X=3) + P(X=4) + P(X=5) = 0,2 + 0,1 + 0,05 = 0,35 b) P(X>0) = 1 - P(X=0) = 1 - 0,15 = 0,85. 5 c) E(X)   x i pi = 0.0,15 + 1.0,2 + 2.0,3 + 3.0,2 + 4.0,1 + 5.0,05 = 2,05 i0 5 V(X)   x i2pi  (E(X)) 2 i 0 = 02.0,15 + 12.0,2 + 22.0,3 + 32.0,2 + 42.0,1 + 52.0,05 2,052  1,85 (X)  V(X)  1,36 . 85 Bài tập 3 Một túi chứa 10 tấm thẻ đỏ và 6 tấm thẻ xanh. Chọn ngẫu nhiên ra ba tấm thẻ. a) Gọi X là số thẻ đỏ. Tìm phân bố xác suất của X. b) Giả sử rút mỗi tấm thẻ đỏ được 5 điểm và rút mỗi tấm thẻ xanh được 8 điểm. Gọi Y là số điểm tổng cộng trên ba thẻ rút ra. Tìm phân bố xác suất của Y. Bài tập 4 Gieo đồng thời hai con xúc sắc cân đối đồng chất. Gọi X là tổng số chấm xuất hiện trên hai mặt con xúc sắc. Lập bảng quy luật phân bố xác suất của X. Tính E(X) và V(X). 2.3.3.4 Các bài toán tính xác suất liên quan đến biến ngẫu nhiên có phân bố nhị thức. Cho số nguyên dương n và số p với 0 < p 3000 A. 144 B. 96 C. 60 D. 48 Câu 10 : Cho bài toán: “Một hộp đựng 4 viên bi đỏ, 5 viên bi trắng và 6 bi vàng. Người ta chọn 4 viên bi từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để số bi lấy ra không có đủ 3 màu ?”. Xét các đáp án của bài toán: 124 I. 4 Số cách chọn là C15  (C42 .C15 .C16  C14 .C52 .C16  C14 .C15 .C62 ) II. 4 4 Số cách chọn là (C94  C10  C11 )  (C44  C54  C64 ) Hãy chọn câu đúng trong các câu sau: A. I đúng, II sai. B. I sai, II đúng. C. I và II đều đúng. D. I và II đều sai. Câu 11: Cho tập A là tập các số tự nhiên từ 1 đến 12. Hỏi có bao nhiêu cặp sắp thứ tự (x,y) thỏa mãn x,y  A và x  y A. 55 B.78 C.77 D.66 Câu 12 : Trong các số nguyên từ 100 đến 999, số các số mà chữ số của nó tăng dần hoặc giảm dần( kể từ trái sang phải ) bằng A. 120 B.168 C. 204 D. 216 Đề 3: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức tổ hợp và xác suất của học sinh ở hai lớp thực nghiệm và đối chứng sau thực nghiệm. Kiểm tra Thời gian : 45 phút Câu 1 Cho một hộp đựng 12 viên bi, trong đó có 7 viên bi màu đỏ, 5 viên bi màu xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi lần 3 viên bi. Tính xác suất trong hai trường hợp sau: a) Lấy được 3 viên bi màu đỏ. b) Lấy được ít nhất hai viên bi màu đỏ. Câu 2 Tung hai con xúc sắc cân đối, đồng nhất. a) Gọi A là biến cố " Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc bằng 8". Tìm xác suất của biến cố A. b) Gọi B là biến cố " Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con xúc sắc là số chia hết cho 3 ". Tìm xác suất của biến cố B. 125 Câu 3 Có 6 khách hàng vào một cửa hàng gồm 3 quầy để mua hàng. Tìm xác suất để có 2 khách hàng vào cùng một quầy. Bảng 3.1 Kết quả kiểm tra đề 1 Kết quả Giỏi Số Lớp Khá % lượng Trung bình Số % lượng Số % lượng Yếu Số % lượng Thực nghiệm 15 28,85 25 48,08 10 19,23 2 3,84 Đối chứng 15 29,41 27 52,94 8 15,69 1 1,96 Biểu đồ 3.1 : Kết quả kiểm tra đề 1 trước thực nghiệm 60 52.94 48.08 50 40 30 29.41 28.85 Thùc nghiÖm §èi chøng 19.23 15.69 20 10 3.841.96 0 Giái Kh¸ T.b×nh 126 YÕu Bảng 3.2: Kết quả kiểm tra đề 2 sau thực nghiệm Kết quả Giỏi Số Lớp Khá % lượng Số Trung bình % Số lượng % lượng Yếu Số % lượng Thực nghiệm 19 36,54 28 53,85 4 7,69 1 1,92 Đối chứng 14 27,45 22 43,14 12 23,53 3 5,88 Biểu đồ 3.2 : Kết quả kiểm tra đề 2 sau thực nghiệm. 60 53.85 50 43.14 40 36.54 30 Thùc nghiÖm 27.45 23.53 §èi chøng 20 10 7.69 5.88 1.92 0 Giái Kh¸ T.b×nh YÕu Bảng 3.3 : Kết quả kiểm tra đề 3 sau thực nghiệm. Kết quả Giỏi Số Lớp Khá % lượng Số Trung bình % lượng Số % lượng Yếu Số % lượng Thực nghiệm 16 30,77 32 61,54 4 7,69 0 0 Đối chứng 15 29,41 24 47,06 11 21,57 1 1,96 127 Biểu đồ 3.3 : Kết quả kiểm tra đề 3 sau thực nghiệm. 70 61.54 60 50 47.06 40 30 Thùc nghiÖm 30.77 29.41 §èi chøng 21.57 20 10 7.69 0 Giái Kh¸ T.b×nh 0 1.96 YÕu 3.5. Phân tích và đánh giá kết quả thực nghiệm. Theo kết quả kiểm tra trước và sau khi thực nghiệm ở hai lớp 11B3 và 11 B12, ta có nhận xét sau: Ở lớp đối chứng 11 B12, trước và sau khi thực nghiệm, số bài kiểm tra đạt điểm giỏi không tăng lên, số bài kiểm tra đạt loại khá giảm đi từ 5,88% đến 9,8% còn số bài kiểm tra đạt loại trung bình và yếu tăng lên khá nhiều. Phỏng vấn giáo viên trực tiếp giảng dạy và giáo viên tham gia dự giờ cho thấy những học sinh trung bình, yếu vẫn còn uể oải, không mấy hào hứng tham gia vào các hoạt động học tập trên lớp, và giáo viên giảng dạy thì do thời lượng quá ít nên không truyền thụ được hết những kiến thức muốn khắc sâu cho học sinh. Chúng tôi cũng tiến hành phỏng vấn một số học sinh khá và trung bình sau giờ kiểm tra, các em cho biết các em cảm thấy mình chưa nắm vững kiến thức nên hay bị nhầm lẫn, không định hướng được cách sử dụng các quy tắc tổ hợp, xác suất khi làm bài tập. Kết quả kiểm tra và phỏng vấn ở lớp đối chứng cho thấy toán tổ hợp và xác suất thật sự là một nội dung khó với đa số học sinh phổ thông, nếu giáo viên chỉ dạy thông thường như dạy các nội dung toán học khác, không có sự đầu tư công sức vào bài giảng, không có sự đổi 128 mới phương pháp dạy thì không thể mang lại hiệu quả giảng dạy cao, kết quả học tập của đa số học sinh sẽ có chiều hướng giảm sút khi học nội dung toán học này. Ở lớp 11B3, sau khi học theo chương trình thực nghiệm, thì có 2 học sinh đã vươn được từ loại khá lên loại giỏi, con số này chỉ ở mức khiêm tốn nhưng kết quả quan trọng là có một bộ phận học sinh trung bình trong lớp đã vươn lên loại khá, giỏi (ta căn cứ vào số học sinh trung bình sau thực nghiệm đã giảm từ 19,23% xuống còn 7,69% , trong khi số học sinh yếu kém thì không tăng lên). Kết quả này cùng với nhận xét của các thầy cô giáo dự giờ đã chứng tỏ có sự chuyển biến tích cực về mặt nhận thức của học sinh, các em hào hứng và chủ động hơn trong việc tiếp thu kiến thức so với trước. Chúng tôi phỏng vấn một số học sinh sau giờ học và kiểm tra, các em cho biết nội dung toán tổ hợp và xác suất cũng rất cuốn hút, các em nắm được bản chất của cấu hình hoán vị, và có kỹ năng làm được một số dạng bài tập, tự tin khi tham gia vào các hoạt động học tập của cả lớp. So sánh kết quả học tập của hai lớp, ta thấy được các biện pháp nêu trong đề tài có tác dụng tích cực trong giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông. Các biện pháp này khi được áp dụng một cách đồng bộ sẽ góp phần nâng cao chất lượng dạy và học, giúp cho các thầy cô giáo nâng cao được trình độ chuyên môn, giúp cho học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, phát huy được tiềm năng trí tuệ và hình thành được phẩm chất tự học suốt đời. Trong điều kiện xã hội đã phát triển như hiện nay thì việc thực hiện được các biện pháp này là hoàn toàn khả thi. 129 KẾT LUẬN VÀ KHUYẾN NGHỊ 1. Kết luận Luận văn hoàn thành đã thu được các kết quả chính sau đây : - Bước đầu hệ thống hóa cơ sở lý luận về các thành tố quan trọng trong dạy học tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông. - Đề xuất một số biện pháp nâng cao hiệu quả giảng dạy toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông, đó là đổi mới phương pháp giảng dạy theo hướng tích cực hóa hoạt động của học sinh, ứng dụng công nghệ thông tin trong giảng dạy và xây dựng một hệ thống bài tập phù hợp với nhiều trình độ nhận thức của học sinh, có tác dụng phát huy tiềm năng trí tuệ của các em. -Ứng dụng các biện pháp nêu trong đề tài để soạn được 3 giáo án về 3 tiết dạy tổ hợp và xác suất. - Tiến hành thực nghiệm sư phạm với kết quả rất khả quan bước đầu khẳng định được tính khả thi của các biện pháp nêu trong đề tài. Những kết quả thu được về mặt lý luận và thực tiễn cho phép kết luận: giả thuyết khoa học của luận văn là chấp nhận được, mục đích nghiên cứu của luận văn đã hoàn thành. 2. Khuyến nghị Trong quá trình thực hiện đề tài, chúng tôi mạnh dạn đưa ra một số ý kiến đề xuất sau : - Cần tăng thời lượng dành cho nội dung toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông vì đây là nội dung toán học quan trọng, có nhiều ứng dụng trong thực tế. Việc tăng thời lượng cũng giúp cho giáo viên triển khai tốt hơn kế hoạch giảng dạy của mình. - Giáo viên cần mạnh dạn hơn trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy, cần có nhiều tìm tòi, sáng tạo trong việc nghiên cứu nội dung chương trình. Giáo viên cũng cần được bồi dưỡng thường xuyên về các phần mềm tin học ứng dụng để có thể thể hiện tốt nhất ý đồ dạy học của mình. 130 Do khả năng và thời gian nghiên cứu có hạn nên kết quả của luận văn mới chỉ dừng lại ở những kết luận ban đầu, nhiều vấn đề của luận văn vẫn chưa được phát triển sâu và không thể tránh được những sai sót. Vì vậy, tác giả rất mong được sự quan tâm của các nhà nghiên cứu giáo dục và các bạn đồng nghiệp để bổ sung tốt hơn cho các biện pháp nêu trong đề tài, và để đề tài được triển khai sâu rộng hơn, góp phần nâng cao hiệu quả giảng dạy của các thầy cô giáo trong cả nước. 131 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1) Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, Chương trình Giáo dục Phổ thông Cấp Trung Học Phổ Thông, Nhà xuất bản Giáo dục, 2006. 2) Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, Đại Số và Giải Tích 11 Nâng cao, Nxb Giáo dục, 2007. 3) Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, Bài Tập Đại Số và Giải Tích 11 Nâng cao, Nxb Giáo dục, 2007. 4) Bộ Giáo Dục và Đào Tạo, Phân phối chương trình môn toánTHPT , 2007. 5) Trần Kiều - Nguyễn Thị Lan Phương, Đổi mới phương pháp giảng dạy Toán , Viện Chiến lược và Chương trình Giáo dục, Hà Nội, 2003. 6) Trần Bá Hoành - Nguyễn Đình Khuê - Đoàn Như Trang, Áp dụng dạy và học tích cực trong môn Toán học, Nxb Đại học Sư Phạm Hà Nội. 7) Cao Thị Hà, "Dạy học khái niệm toán học cho học sinh phổ thông theo quan điểm kiến tạo" , Tạp chí Giáo dục, số 165 ( kỳ 2-6 / 2007) . 8) Nguyễn Bá Kim, Phương pháp dạy học môn toán, Nxb Đại học Sư Phạm, 2007. 9) Phan Huy Khải, Các bài toán tổ hợp, NXB Giáo dục, 2007. 10) Võ Đại Mau, Phương pháp giải các bài toán giải tích tổ hợp, NXB Hà Nội, 2002. 11) Hà Văn Chương - Đoàn Minh Tâm, Tuyển tập 252 bài toán tổ hợp và xác suất, NXB Trẻ 2002. 12) Huỳnh Công Thái - Lê Mậu Thảo, Phân loại và hướng dẫn giải toán Giải tích- Tổ hợp, NXB Hà Nội, 2005. 13) Nguyễn Văn Mậu, Trần Nam Dũng, Vũ Đình Hòa, Đặng Huy Ruận, Đặng Hùng Thắng, Chuyên đề chọn lọc tổ hợp và toán rời rạc, NXB Giáo dục, 2008. 132 14) Nguyễn Trường Sinh, Hoạt hình và hiệu ứng Flash, NXB Lao động xã hội, 2005. 15) Quang Long - Ánh Tuyết - Quang Huy, Lập trình tương tác động làm mô hình dạy học với Macromedia Flash MX 2004, NXB Giao Thông Vận Tải, 2005. 133 [...]... và những cách tư duy, những cách tiếp cận khác nhau đối với cùng một vấn đề của nội dung toán học này 23 CHƯƠNG 2 CÁC BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG 2.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong quá trình dạy học toán tổ hợp và xác suất của giáo viên 2.1.1 Ứng dụng công nghệ thông tin trong việc xây dựng bài giảng của giáo viên 2.1.1.1 Ứng dụng công nghệ thông. .. thức trong bài để chọn ra một phương pháp dạy học thích hợp mang lại hiệu quả giảng dạy cao nhất Các phương pháp dạy học tích cực có thể ứng dụng trong giờ dạy tổ hợp, xác suất là phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề, phương pháp dạy học kiến tạo, phương pháp dạy học tự học Việc ứng dụng công nghệ thông tin trong dạy học tổ hợp mang lại hiệu quả cao trong giảng dạy vì nó hỗ trợ giáo viên rất nhiều... 3: Thực hiện chương trình giải - Hoạt động 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải 1.4 Dạy và học toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông 1.4.1 Chương trình học 1.4.1.1 Mục tiêu của chương tổ hợp và xác suất trong sách giáo khoa Giải tích nâng cao lớp 11 Chương tổ hợp và xác suất cung cấp cho học sinh những hiểu biết ban đầu, cơ bản về tổ hợp và xác suất a) Về kiến thức Giáo viên có nhiệm vụ giúp cho học... tiên ở nước ta Bài 5 Các quy tắc tính xác suất 2 tiết Bài đọc thêm Sử dụng máy tính bỏ túi trongtính toán tổ hợp và xác suất Luyện tập 2 tiết Em có biết ? Xác suất và số  Bài 6 Biến ngẫu nhiên 2 tiết Bài đọc thêm Liên hệ giữa biến ngẫu nhiên rời rạc và thống kê Luyện tập 2 tiết Ôn tập và kiểm tra chương 2 2 tiết 1.4.2 Thực trạng dạy học toán tổ hợp và xác suất ở trường phổ thông Toán tổ hợp được đưa vào... học toán tổ hợp và xác suất Việc giảng dạy bài tập toán tổ hợp và xác suất trong nhà trường không chỉ giúp cho học sinh hiểu được một cách sâu sắc và đầy đủ những kiến thức quy định trong chương trình mà còn giúp các em vận dụng những kiến thức đó để giải quyết những nhiệm vụ của học tập và những vấn đề mà thực tiễn đặt ra Để giải được một bài toán tổ hợp và xác suất trôi chảy, học sinh phải có các. .. thư mở Wikipedia.) Toán học tổ hợp (hay giải tích tổ hợp, đại số tổ hợp, lý thuyết tổ hợp) là một ngành toán học rời rạc, nghiên cứu về các cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hữu hạn phần tử Các cấu hình đó là các hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, các phần tử của một tập hợp Nó có liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học, như đại số, lý thuyết xác suất, lý thuyết ergod (ergodic theory) và hình... quả làm việc của các nhóm và từ đó cho các em biết ý đồ của hoạt động Hình vẽ 2.9: Bảng ghi kết quả tính tần số, tần suất 2.1.2 Ứng dụng công nghệ thông tin để tìm hiểu những kiến thức mở rộng và những kiến thức áp dụng vào thực tế của toán tổ hợp, xác suất Việc tìm tài liệu tham khảo cho giáo viên khi dạy toán tổ hợp, xác suất sẽ trở nên rất khó khăn nếu không có sự trợ giúp của máy tính điện tử và. .. là khi học các nội dung khác Toán xác suất mới được đưa vào chương trình giảng dạy ở phổ thông từ năm 2007 nên còn rất mới mẻ với cả học sinh và giáo viên Nhưng học sinh 19 mới chỉ được tiếp cận với định nghĩa xác suất cổ điển là chính và một số khái niệm mở đầu Các em không được tiếp cận nhiều với định nghĩa xác suất theo nghĩa thống kê Vì vậy, nếu học tốt phần tổ hợp thì đến phần xác suất các em mới... tuệ Tuy dạy và học bài tập tổ hợp, xác suất rất vất vả nhưng giáo viên vẫn có thể tạo hứng thú học tập cho học sinh bằng cách hướng dẫn, khuyến khích các em tự nghĩ ra các ví dụ hay bài tập vừa sức Kết luận chương 1 Xuất phát từ cơ sở lý luận và thực tiễn đã trình bày ở trên, chúng tôi kết luận rằng: Những nội dung kiến thức toán trong chương Tổ hợp và Xác suất đều lôi cuốn được cả học sinh và giáo... Niu-tơn - Biết vận dụng các kiến thức tổ hợp để tính xác suất theo định nghĩa cổ điển của xác suất - Biết vận dụng quy tắc cộng và quy tắc nhân xác suất để giải một số bài toán xác suất đơn giản - Biết lập bảng phân bố xác suất : biết tính kì vọng, phương sai và độ lệch chuẩn của một biến ngẫu nhiên rời rạc đơn giản 1.4.1.2 Cấu tạo của chương Nội dung của chương Tổ hợp và Xác suất được thực hiện trong ... cứu : " Các biện pháp nâng cao hiệu giảng dạy toán tổ hợp xác suất trường phổ thông" Lịch sử nghiên cứu Ở hầu giới, nội dung toán tổ hợp xác suất đưa vào chương trình giảng dạy từ cấp phổ thông. .. riêng toán tổ hợp, xác suất, ứng dụng thực tế, cách tư duy, cách tiếp cận khác vấn đề nội dung toán học 23 CHƯƠNG CÁC BIỆN PHÁP NÂNG CAO HIỆU QUẢ GIẢNG DẠY TOÁN TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG... tìm biện pháp nâng cao hiệu giảng dạy tổ hợp xác suất hướng mẻ cần tham gia đóng góp giáo viên, nhà khoa học Mục tiêu nghiên cứu Tìm biện pháp để nâng cao hiệu giảng dạy môn toán tổ hợp xác suất