Phép tính biến phân và ứng dụng Vật Lý Luận văn tốt nghiệp GVHD: TS Nguyễn Thành Tiên SV Thực Hiện: Nguyễn Thị Thuý Nhi Lời cảm ơn Được sự hướng dẫn nhiệt tình của thầy Nguyễn Thành Tiên, cùng sự giúp đỡ của Thầy Cô và các bạn trong bộ môn sư phạm Vật Lý, tôi đã hoàn thành đề tài “Phép tính biến phân và ứng dụng Vật Lý”. Tôi vô cùng cảm ơn thầy Nguyễn Thành Tiên, người đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt thời gian làm luận văn. Và có được sự hoàn thành này cũng là nhờ sự dẫn dắt tận tình của quý Thầy Cô trong Bộ môn sư phạm Vật Lý, Khoa sư phạm, trường Đại học Cần Thơ và bạn bè đã cung cấp những kiến thức hữu ích cho tôi trong suốt thời gian học tập. Tuy đã có nhiều cố gắng nhưng vì kiến thức còn hạn hẹp cùng với những khó khăn trong quá trình thu thập và tham khảo tài liệu, nên đề tài này không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự đóng góp trao đổi của quý Thầy Cô cùng các bạn để tôi hoàn thiện hơn đề tài này. Phần mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Toán học là một ngành khoa học không những nó phục vụ cho chính nó, mà nó đặc biệt trở thành một công cụ hữu ích cho việc phát triển các ngành khoa học khác, trong đó có vật lý học. Vì thế, người ta thường cho rằng, toán học là ngôn ngữ của khoa học. Vật lý học là khoa học thực nghiệm. Nhưng muốn trình bày các nội dung vật lý học một cách chính xác ta thường phải sử dụng các phương pháp toán học. Phương pháp toán học được sử dụng từ lâu trong vật lý. Nó là sự giao thoa giữa toán học và vật lý học. Trong lịch sử phát triển, người ta đã ghi nhận được rằng, toán học và vật lý học hổ trợ nhau cùng phát triển. Toán học đã nghiên cứu cực trị của các phiếm hàm. Nhiều bài toán khoa học được đưa về bài toán cực trị của phiếm hàm như bài toán đẳng chu, bài toán đường trắc địa,. . . Bài toán đường đoản thời xem là bài toán đã thúc đẩy sự phát triển của phép tính biến phân (PTBP): tìm đường cong nối liền hai điểm A, B cho trước trong một mặt phẳng thẳng đứng để cho một chất điểm trượt trên đường cong ấy dưới tác dụng của trọng lực sẽ đi từ A đến B trong thời gian ngắn nhất. Bài toán này đã được Becnuli (J. Bernoulli) giải. Các phương pháp tổng quát đầu tiên của PTBP được Ơle L (L. Euler) và Lagrăng L. D (L. D. Lagrange) xây dựng nên. Các phương pháp biến phân cũng được sử dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cơ học và kỹ thuật, do vậy các sinh viên ngành Cơ học và các ngành kỹ thuật cần được trang bị về phép tính biến phân. Ngày nay, phương pháp biến phân vẫn được xem là phương pháp quan trọng, nó có mặt trong nhiều lĩnh vực khác nhau của vật lý, cả vật lý hiện đại và các ngành khoa học khác. iv Bước đầu khám phá và sử dụng công cụ toán học ứng dụng nó trong vật lý. Chúng tôi nghiên cứu đề tài: “phép tính biến phân và ứng dụng vật lý” nhằm cung cấp những khái niệm cơ bản nhất về phép tính biến phân và các phương pháp của phép tính biến phân, đặc biệt chú ý đến những ứng dụng trong cơ học như phương trình chính tắc, các nguyên lý biến phân trong cơ học 1 , quang học..., các phương pháp trực tiếp giải bài toán biến phân. 2. Mục đích của đề tài Đề tài này nhằm nghiên cứu tìm hiểu và trang bị cho mình kiến thức mới về phép tính biến phân. Nắm được những khái niệm cơ bản nhất và các phương pháp của phép tính biến phân. Khảo sát về các điều kiện cần để phiếm hàm đạt cực trị và các điều kiện đủ của cực trị phiếm hàm. Đề tài cũng vận dụng phương pháp biến phân để giải các bài toán vật lý. Qua đó thấy rằng, phương pháp biến phân là phương pháp hiệu quả và phổ biến của vật lý. 3. Giới hạn đề tài Phương pháp biến phân được sử dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của cơ học và kỹ thuật, trong đề tài này chỉ là bước đầu khám phá công cụ toán học cũng như ứng dụng của nó trong vật lý. Phép tính biến phân là một khái niệm còn khá mới mẻ đối với sinh viên đại học. Vì những hạn chế trên, nên đề tài chỉ dùng lại ở mức độ tìm hiểu về mặt lý thuyết như khái niệm cơ bản và các phương pháp tính của phép tính biến phân và vận dụng phương pháp biến phân để giải một số bài tập vật lý điển hình. Cần Thơ, ngày 30 tháng 04 năm 2014 Sinh viên thực hiện Nguyễn Thị Thuý Nhi 1 Chúng ta cũng cần nhớ rằng, đối tượng nghiên cứu cơ bản của vật lý học là nghiên cứu chuyển động, vì thế các bài toán cơ học là các bài toán cơ bản của vật lý học. Mục lục Lời cảm ơn ii Phần mở đầu iii Chương 1. Phiếm hàm. Bài toán đơn giản của phép tính biến phân 1.1 Khái niệm chung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Một số không gian hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Vi phân của phiếm hàm. Điều kiện cần của cực trị . . . . . . . . 3 1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler 5 1.4.1 Thiết lập bài toán biến phân đơn giản . . . . . . . . . . 5 1.4.2 Phương trình Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4.3 Một vài trường hợp đối với phương trình Euler . . . . . . 7 1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Đạo hàm biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Chương 2. Các bài toán biến phân 2.1 Bài toán biến phân với biên cố định và n hàm cần 2.2 Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao . . . 2.3 Bài toán đẳng chu. Cực trị có điều kiện . . . . . . 2.4 Công thức biến phân cơ bản . . . . . . . . . . . . 2.5 Bài toán với biên di động . . . . . . . . . . . . . . Chương 3. Điều kiện đủ của cực trị 3.1 Biến phân cấp hai. Công thức biến phân cấp 3.2 Điều kiện cần Jacobi. Phương trình Jacobi . 3.3 Điều kiện đủ của cực trị yếu . . . . . . . . . 3.4 Điều kiện đủ của cực trị mạnh . . . . . . . . 3.4.1 Trường các đường cực trị. . . . . . . hai . . . . . . . . . . . . . tìm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 14 16 18 21 23 . . . . . 26 26 30 33 37 37 1 MỤC LỤC vi 3.4.2 Chương 4. 4.1 Bài 4.2 Bài 4.3 Bài 4.4 Bài 4.5 Bài Hàm Weierstrass. Điều kiện đủ của cực trị mạnh . . . . 38 Giải các bài toán Vật lý bằng phương pháp biến phân 43 toán 1. Bài toán cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 toán 2. Bài toán đường đoản thời . . . . . . . . . . . . . . . 44 toán 3.Ứng dụng của bài toán đường đoản thời trong hiện tượng sóng biển. 4 toán 4. Ứng dụng phép tính biến phân để tìm đường truyền tia sáng. 49 toán 5. Hàm sóng Fang - Howard . . . . . . . . . . . . . . . 52 Kết Luận Chung 57 Danh sách bảng 3.1 Tóm tắt các điều kiện đủ đạt cực trị của phiếm hàm (3.19). . . 42 Danh sách hình vẽ 2.1 Hình ảnh minh hoạ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 Một đường cong đơn giản . . . Một hạt trượt xuống một đường Đường Cycloid đi từ (0, 0). . . . √ Đối với sóng nước cạn, v = gh Hình minh hoạ. . . . . . . . . . . . . cong . . . . . . . . . . . ma . . . . . . . . sát . . . . . . . . . . . . . . . . . từ điểm O đến B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 45 47 48 53 Chương 1. Phiếm hàm. Bài toán đơn giản của phép tính biến phân 1.1 Khái niệm chung Phép tính biến phân là một phương pháp tìm giá trị cực đại và cực tiểu của phiếm hàm. Phiếm hàm cũng là một hàm, trong đó vai trò của biến độc lập là đường cong hoặc là hàm. Để hiểu rõ hơn khái niệm phiếm hàm chúng ta xét các ví dụ sau: i) Trên mặt phẳng xét tất cả các đường nối 2 điểm A, B. Giả sử có 1 vật rắn có thể chuyển động trên 1 đường bất kì của các đường này và tại mỗi điểm (x, y) có một vận tốc xác định v(x, y). Vậy ta có 1 phiếm hàm tương ứng mỗi thời gian mà vật đi qua đường đó. ii) Giả sử y(x) là hàm bất kì khả vi liên tục trên đoạn [a, b]. Vậy phiếm hàm J[y] trên tập hợp này là ∫ b J[y] = y ′2 (x)dx, (1.1) a hoặc tổng quát hơn ∫ J[y] = b F (x, y(x), y ′ (x))dx. (1.2) a iii) Trong số tất các đường thẳng nối 2 điểm cho trước A và B, tìm đường có độ dài ngắn nhất; tức là tìm đường y = y(x) để cho phiếm hàm ∫ b√ J[y] = 1 + y ′2 dx, (1.3) a 1.2 Không gian hàm 2 đạt cực tiểu. Đường phải tìm là đường thẳng nối A và B. iv) Giả sử A và B là 2 điểm cố định. Thời gian để 1 chất điểm chịu tác dụng của trọng lực lăn dọc theo 1 đường nào đó nối 2 điểm phụ thuộc vào cách chọn đường, tức là 1 phiếm hàm. Tìm đường để chất điểm lăn từ A đến B với thời gian ngắn nhất. Đường đoản thời là đường cycloide. v) Trong số các đường cong kín có chiều dài cho trước S, tìm đường có diện tích bị giới hạn lớn nhất. Đường đó là đường tròn. Trong các ví dụ nêu trên ta gặp các phiếm hàm có dạng ∫ b J[y] = F (x, y, y ′ )dx. (1.4) a 1.2 Không gian hàm Mỗi hàm y(x) thuộc tập hợp nào đó có thể xem như 1 điểm của không gian. Không gian như vậy gọi là không gian hàm. Khi nghiên cứu phiếm hàm ta phải xét chúng trong không gian hàm và tuỳ thuộc và đặc tính của chúng ta chọn không gian hàm tương ứng. Chẳng hạn ∫b với phiếm hàm dạng a F (x, y, y′)dx ta phải xét nó trong tập hợp các hàm có ∫b đạo hàm cấp 1 liên tục, còn trường hợp a F (x, y, y ′ , y ′′ )dx ta phải xét không gian hàm của các hàm khả vi liên tục hai lần. 1.2.1 Định nghĩa • Không gian hàm tuyến tính là tập R các phần tử x, y, z, ... trên đó xác định các toán tử cộng và nhân với 1 số và thoã mãn các điều kiện sau: i) x + y = y + x, ii) (x + y) + z = x + (y + z), iii) Tồn tại phần tử 0 sao chox + 0 = x, iv) Với mỗi x ∈ R tồn tại phần tử −x sao cho x + (−x) = 0, v) 1.x = x, vi) α(βx) = (αβ)x, vii)(α + β)x = αx + βx, viii)α(x + y) = αx + αy. 1.3 Vi phân của phiếm hàm. Điều kiện cần của cực trị 3 • Không gian tuyến tính định chuẩn: Không gian R được gọi là định chuẩn, nếu với mỗi phân tử x ∈ R tương ứng với 1 số không âm ∥ x ∥ thoả 3 tính chất sau: i) ∥ x ∥= 0 chỉ khi x = 0, ii) ∥ αx ∥=| α | . ∥ x ∥, iii) ∥ x + y ∥≤∥ x ∥ + ∥ y ∥. Trong không gian tuyến tính định chuẩn xem khoảng cách giữa 2 phần tử x và y là đại lượng ∥ x − y ∥. Các phần tử của không gian tuyến tính định chuẩn có thể là các số, các vectơ, các ma trận, các hàm,... 1.2.2 Một số không gian hàm i) Không gian C - gồm tất cả các hàm liên tục xác định trên đoạn [a, b]. Chuẩn trong không gian C được xác định: ∥ y ∥= max | y(x) |. a≤x≤b (1.5) ii) Không gian D1 - gồm các hàm xác định được trê đoạn [a, b] liên tục với đạo hàm cấp 1 của nó. Chuẩn trong D1 xác định bằng công thức: ∥ y ∥1 = max | y(x) | + max | y′(x) |. a≤x≤b a≤x≤b (1.6) iii) Không gian Dn - gồm các hàm xác định trên đoạn [a, b] có đạo hàm liên tục đến cấp n. Chuẩn được xác định bởi công thức: ∥ y ∥n = n ∑ max | y (k) (x) | . (1.7) k=0 1.3 Vi phân của phiếm hàm. Điều kiện cần của cực trị • Định nghĩa: Giả sử cho phiếm hàm φ[h] với h là phần tử của không gian tuyến tính định chuẩn. Phiếm hàm φ[h] gọi là tuyến tính nếu: - Nó liên tục. - Với h1 , h2 ∈ R thoả điều kiện: [h1 + h2 ] = φ[h1 ] + φ[h2 ]. và [λh] = λφ[h], λ = const. 1.3 Vi phân của phiếm hàm. Điều kiện cần của cực trị • Bổ đề 1. Nếu a(x) là hàm liên tục và ∫ b a(x)h(x)dx = 0 4 (1.8) a với mọi hàm h(x) liên tục, có đạo hàm liên tục và thoả mãn điều kiện: h(a) = h(b) = 0, thì a(x) ≡ 0. • Bổ đề 2. Cho phiếm hàm tuyến tính trong không gian D1 ∫ b b(x)h′ (x)dx. (1.9) a Nếu ∫ b b(x)h′ (x)dx = 0, (1.10) a với mọi hàm h(x) ∈ D1 sao cho h(a) = h(b) = 0 thì b(x) = const. Chứng minh. Ta có ∫ b ∫ b ∫ b ′ ′ 0= b(x)h (x)dx = [b(x)h(x)] dx − b′ (x)h(x)dx. a Tích phân a ∫ b (1.11) a [b(x)h(x)]′ dx = b(x)h(x) |ba = 0, (1.12) a vậy ∫ − b b′ (x)h(x)dx = 0. (1.13) a Theo bổ đề 1 suy ra −b′ (x) = 0 hay b(x) = const. • Bổ đề 3. Nếu ∫ b [a(x)h(x) + b(x)h′ (x)]dx = 0, (1.14) a với mọi hàm h(x) ∈ D1 sao cho h(a) = h(b) = 0 thì b(x) vi phân được và a(x) − b′ (x) = 0. • Khái niệm vi phân của phiếm hàm. Xét phiếm hàm J[y] và gia số của nó: △J = J[y + h] − J[y], 1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler tương ứng với gia số h của "biến" y. Nếu y cố định thi △J là phiếm hàm của h. i) Vi phân của phiếm hàm △J[h] = φ[h] + α ∥ h ∥. Ta gọi vi phân hay biến phân △J là phiếm hàm của J là phần tuyến tính φ[h] của gia số △J của phiếm hàm J. Ở đây α → 0; khi h → 0. ii) Khái niệm cực trị yếu và cực trị mạnh • Cực trị yếu của phiếm hàm J là nói đến cực trị tại 1 lân cận nào đó. • Cực trị mạnh là xét trên cả tập xác định. iii) Định lý. Để phiếm hàm J[y] đạt cực trị tại y = y0 thì điều kiện cần là vi phân của nó bằng 0 khi y = y0 . 1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler 1.4.1 Thiết lập bài toán biến phân đơn giản Giả thiết F (x, y, z) là hàm có đạo hàm riêng liên tục theo mọi đối số của nó đến cấp hai. Bài toán biến phân đơn giản được thiết lập như sau: trong tất cả các hàm y(x) có đạo hàm liên tục và thoả mãn các điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B, hãy tìm hàm để cho phiếm hàm: ∫ b J[y] = F (x, y, y ′ )dx, (1.15) a đạt cực trị yếu. Nói cách khác, bài toán đơn giản của phép tính biến phân là tìm cực trị yếu của phiếm hàm J trên tập hơp các đường cong nối 2 điểm cho trước. Cho hàm y(x) một số gia h(x) nào đó. Để hàm: y(x) + h(x) vẫn thoả mãn điều kiện biên tức là y(a) + h(a) = A và y(b) + h(b) = B, nên ta phải có h(a) = h(b) = 0. 5 1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler 6 Tính gia số của phiếm hàm ∫ b △J = ′ ′ ∫ F (x, y + h, y + h )dx − a ∫ = b F (x, y, y ′ ), (1.16) a b [Fy (x, y, y ′ )h + Fy′ (x, y, y ′ )h′ ]dx, (1.17) a các dấu chấm biểu thị những số hạng bậc cao hơn một đối với h và h′ , Fy , Fy′ là kí hiệu đạo hàm riêng tương ứng đối với y và y ′ . Biểu thức: ∫ b [Fy (x, y, y ′ )h + Fy′ (x, y, y ′ )h′ ]dx, (1.18) a chính là vi phân của phiếm hàm J. Theo định lý điều kiện cần của cực trị là đẳng thức ∫ b δJ = (Fy h + Fy′ h′ )dx = 0. (1.19) a Từ bổ đề 3 suy ra d Fy′ = 0. dx Hệ thức này có tên là phương trình Euler. Fy − 1.4.2 (1.20) Phương trình Euler Định lý. Để cho phiếm hàm ∫ J[y] = b F (x, y, y ′ )dx, (1.21) a xác định trên tập các hàm y(x) có đạo hàm cấp 1 liên tục và thoả mãn điều kiện y(a) = A, y(b) = B đạt cực trị trên hàm y(x), thì điều kiện là hàm này thoả phương trình Euler d Fy − Fy′ = 0. (1.22) dx Đường cong tích phân của phương trình Euler là đường cực trị. Phương trình Euler là phương trình vi phân cấp 2. Nghiệm của nó phụ thuộc vào 2 điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B. Điều kiện (1.22) là điều kiện cần, chứ không phải là đủ để phiếm hàm đạt cực trị. 1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler 7 Định lý. Giả sử y = y(x) là nghiệm phương trình Euler Fy − d Fy′ = 0. dx (1.23) Nếu F (x, y, y ′ ) có đạo hàm riêng liên tục đến cấp hai, thì tại mỗi điểm (x, y) ở đó Fy′ y′ (x, y(x), y ′ (x)) ̸= 0, (1.24) hàm y = y(x) có đạo hàm cấp hai liên tục. 1.4.3 Một vài trường hợp đối với phương trình Euler i) Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc vào y Giả sử phiếm hàm có dạng ∫ b F (x, y ′ )dx. (1.25) a Vì là hàm không phụ thuộc vào y nên ∂F = 0. ∂y Phương trình Euler có dạng d dx ( ∂F ∂y ′ (1.26) ) = 0, (1.27) suy ra ∂F = C1 . ∂y ′ (1.28) Đây là phương trình cấp 1 không chứa y. giải nó với y ′ ta được phương trình dạng y ′ = f (x, C1 ), (1.29) từ đó suy ra ∫ y= Xét f (x, C1 )dx + C2 . ∫ J[y] = 1 2 √ 1 + y′2 dx, x với y(1) = 0, y(2) = 1. Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc y, nên ∂F = C1 , ∂y ′ (1.30) 1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler tức là ∂ ∂y ′ 8 ( √ ) 1 y′ 2 ′ 1+y = √ = C1 , x x 1 + y′2 suy ra √ y = C1 x 1 + y ′ 2 . ′ Bình phương y ′ ta được y ′ = C1 2 x2 (1 + y ′ ). 2 2 C1 2 x2 ⇔y = , (1 − C1 2 x2 ) ′2 hay C1 x y′ = √ . 2 2 (1 − C1 x ) ∫ Do đó y= √ C1 x (1 − C1 2 x2 ) −1 dx = C1 √ (1 − C1 2 x2 ) + C2 , hay là (y − C2 )2 + x2 = 1 . C1 2 Cho thoả mãn điều kiện biên y(1) = 0, y(2) = 1, ta tìm được C1 = Vây nghiệm của bài toán là √1 , C2 5 = 2. (y − 2)2 + x2 = 5 . ii) Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc vào x ∫ J[y] = b F (y, y ′ )dx. (1.31) a Vì hàm không phụ thuộc vào x nên ∂F = 0, ∂x (1.32) và F là một hàm của y và y ′ . y = y(x), vì thế F vẫn phải ngầm phụ thuộc vào x qua y và y ′ dF ∂F ∂F dy ∂F dy ′ ∂F ′ ∂F ′′ = + + ′ = y + ′y . dx ∂x ∂y dx ∂y dx ∂y ∂y (1.33) 1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân. Phương trình Euler Ngoài ra, ( ( ) ) d ∂F ′ ∂F ′′ ∂F ′ d y ′ =y +y . dx ∂y ∂y ′ dx ∂y ′ 9 (1.34) (1.33) trừ (1.34), ta được: hoặc [ ∂F ∂y − d dx ( ∂F ∂y ′ )] ( ( ) ) dF d ∂F ∂F d ∂F − y′ ′ = y′ − y′ , dx dx ∂y ∂y dx ∂y ′ (1.35) ( ) [ ( )] ∂F ∂F d ∂F d F − y′ ′ = − y′. dx ∂y ∂y dx ∂y ′ (1.36) y ′ = 0, vì phương trình Euler, do đó ( ) d ′ ∂F F − y ′ = 0, dx ∂y (1.37) suy ra F − y′ Xét ∫ x2 I= x1 Ta có ∂F = C. ∂y ′ (1.38) √ 1 + y′2 dx. 1+y ∂F =C ∂y ′ √ √ 1 + y′2 1 + y′2 ∂ ′ −y ′ = C, 1+y ∂y 1 + y F − y′ hoặc √ 2 1 + y′2 y′ 1 √ √ ⇔ − = = C. 1+y (1 + y) 1 + y ′ 2 (1 + y) 1 + y ′ 2 Như vậy (1 + y)2 (1 + y ′ ) = 2 Hay là y′ = 2 1 . C2 1 1 − C 2 (1 + y)2 − 1 = , C 2 (1 + y)2 C 2 (1 + y)2 √ và ′ y = 1 − C 2 (1 + y)2 . C(1 + y) 1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến Do đó 10 C(1 + y) √ dy = dx. 1 − C 2 (1 + y)2 Lấy tích phân 2 vế, ta được − 1√ 1 − C 2 (1 + y)2 = x + C ′ , C hoặc 1 − C 2 (1 + y)2 = C 2 (x + C ′ )2 . Ta được phương trình đường tròn (x + C ′ ) + (1 + y)2 = 1 , C2 Với C và C ′ là 2 hằng số. iii) Hàm F không phụ thuộc vào y ′ . Phương trình Euler có dạng Fy (x, y) = 0, (1.39) hệ thức hữ hạn xác định một hoặc một vài đường cong. Xét ∫ b J[y] = (x, y)2 dx. a Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc y ′ . Phương trình Euler có dạng Fy (x, y) = 0, Ta được −2(x − y) = 0, Nghiệm của nó là một đường thẳng y = x. 1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến Trong các mục trên ta xét phiếm hàm phụ thuộc vào các hàm một biến, tiếp theo ta sẽ xét các phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến. 1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến 11 ở đây ta xét trường hợp hai biến, trường hợp n biến ta lập luận tương tự. ta xét phiếm hàm có dạng ∫∫ F (x, y, z, zx , zy )dxdy, (1.40) J[z(x, y)] = G Trong đó zx , zy là đạo hàm riệng của z = z(x, y) tương ứng theo x và y. Giả thuyết rằng phải tìm hàm z = z(x, y) liên tục cùng với các đạo hàm của nó đến cấp hai trong miền G, nhận các giá trị đã biết trên biên của miền này và làm cho phiếm hàm này đại cực trị. Bổ đề. Nếu tích phân ∫∫ f (s, t)v(s, t)dsdt = 0, (1.41) G trong đó hàm f (s, t) xác định, liên tục trong miền G, với mọi hàm v(s, t) liên tục cùng với các đạo hàm riêng cấp một của nó và bằng không trên biên L của miền G, thì f (s, t) ≡ 0 trong toàn miền G. ⋆ Tính biến phân của phiếm hàm: Nếu h(x, y) - hàm bất kỳ khả vi hai lần liên tục và bằng không trên biên miền G, thì z(x, y) và z(x, y) + h(x, y) cũng thhuộc miền xác định phiếm hàm. Gia số của phiếm hàm bằng ∫∫ J[z + h] − J[z] = [F (x, y, z + h, zx + hx , zy + hy ) − F (x, y, z, zx , zy )]dxdy G ∫∫ (Fz h + Fzx hx + Fzy + hy )dxdy + · · · = G trong đó tích phân bên vế phải là phần tuyến tính của gia số, tức là biến phân của phiếm hàm. Sử dụng công thức Green ) ∫∫ ( ∫ ∂Q ∂P dxdy = P dx + Qdy − ∂x ∂y L G vào biểu thức ∫∫ (Fzx hx + Fzy hy )dxdy G (1.42) 1.6 Đạo hàm biến phân ∫∫ [ = 12 ) ] ∫∫ ( ∂ ∂ ∂ ∂ (hFzx ) + (hFzy ) dxdy − h Fz + Fz dxdy ∂x ∂y ∂x x ∂y y G G ∫ ∫∫ hFzx dy − hFzy dx − = L ) ∂ ∂ Fz + Fz dxdy. h ∂x x ∂y y ( G ∫ Vì h(x, y) bằng không trên biên miền G nên L hFzx dy − hFzy dx = 0. Do đó biến phân của phiếm hàm có dạng ) ∫∫ ( ∂ ∂ Fz − Fz h(x, y)dxdy. δJ = Fz − ∂x x ∂y y G Để mặt z = z(x, y) là cực trị thì điều kiện cần là δJ = 0 với mọi h(x, y) thoả mãn các điều kiện đã nêu trên; theo bổ đề 1 tích phân trên bằng không suy ra phương trình Euler - Ostrogradsky Fz − 1.6 ∂ ∂ Fzx − Fzy = 0. ∂x ∂y (1.43) Đạo hàm biến phân Đạo hàm của biến phân có thể được định nghĩa, đạo hàm của biến phân δJ kí hiệu là : δy δJ d = Fy (x, y, y ′ ) − Fy′ (x, y, y ′ ). (1.44) δy dx Ta thấy rằng biểu thức nhận được trùng với vế trái của phương trình Euler. Vậy khi cho đạo hàm biến phân bằng không ta thu được phương trình Euler. Ta có thể mở rộng định nghĩa đạo hàm biến phân cho phiếm hàm J[y] bất kỳ. Cho y một gia số h(x) khác không trong lân cận của điểm x nào đó và tính gia số phiếm hàm J[y + h] − J[y]. (1.45) Chia gia số này cho diện tích ∆s, giới hạn bởi đường cong h(x) và trục x J[y + h] − J[y] . ∆s (1.46) 1.6 Đạo hàm biến phân 13 Ta được đạo hàm biến phân của phiếm hàm J[y + h] − J[y] . x→0 ∆s lim (1.47) Chương 2. Các bài toán biến phân 2.1 Bài toán biến phân với biên cố định và n hàm cần tìm Xét phiếm hàm ∫ b J= F (x, yi , yi ′ )dx, (2.1) a phụ thuộc vào n hàm yi (i = 1, 2, . . . , n), trong đó yi (x) thoả mãn các điều kiện biên yi (a) = Ai , yi (b) = Bi (i = 1, 2, . . . , n) (2.2) và thiết lập điều kiện biên để phiếm hàm này đạt cực trị. Nhằm mục đích đó ta tính biến phân của phiếm hàm. Thay các hàm yi (x) bằng các hàm gần đúng yi (x) + hi (x) trong đó hi (a) = hi (b) = 0, ta được: ∫ b ∆J = [F (x, yi + hi , yi′ + h′i ) − F (x, yi , yi′ )]dx a = ∫ b (∑ n a ) (Fyi hi + Fyi′ hi ′ ) dx + . . . . i=1 Do đó ∫ b∑ n δJ = (Fyi hi + Fyi′ hi ′ )dx. a i=1 Các biến phân hi (x) độc lập với nhau, khi đó từ điều kiện δJ = 0, suy ra ∫ a b (Fyi hi + Fyi′ h′i )dx = 0. 2.1 Bài toán biến phân với biên cố định và n hàm cần tìm 15 Với mọi i = 1, 2, . . . , n. Áp dụng bổ đề 3 chương I ta được hệ phương trình vi phân Euler d Fyi − Fyi′ = 0(i = 1, 2, . . . , n). (2.3) dx Vậy để đường cong yi = yi (x)(i = 1, 2, . . . , n), đem lại cực trị cho phiếm hàm ∫ b F (x, yi , yi′ )dx, a thì điều kiện cần là các hàm này thoả mãn hệ phương trình Euler (2.3). Đây là hệ n phương trình cấp hai, do đó nghiệm chứa 2n hằng số sẽ được xác định từ điều kiện (2.2). Nếu thêm vào biểu thức dưới dấu tích phân của phiếm hàm (2.1) một đại lượng vi phân toàn phần của một hàm nào đó, tức là thêm vào F biểu thức dạng ∂Φ ∑ ∂Φ ′ Ψ= + yi . ∂x ∂y i i=1 n Trong đó Φ = Φ(x, y1 , · · · , yn ), thì phương trình Euler tương ứng không thay đổi, vì biểu thức ( ) d ∂Ψ ∂Ψ − ′ dx ∂yi ∂yi đồng nhất bằng không. Ta hãy tìm cực trị của phiếm hàm sau ∫ J[y, z] = với y(0) = 0, y (π ) b (y ′ + z ′ + 2yz)dx, 2 2 a = 1, 2 Hệ phương trình Euler là z(0) = 0, z y ′′ − z = 0, (π ) 2 = −1. 2.2 Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao 16 z ′′ − y = 0. Khử z ta được y iv − y = 0, nghiệm tổng quát có dạng y = C1 ex + C2 e−x + C3 cosx + C4 sinx. Thay y vào hệ phương trình Euler tính z z = y ′′ = C1 ex + C2 e−x − C3 cosx − C4 sinx. Từ điều kiện biên ta được C1 = C2 = C3 = 0, C4 = 1. Vậy nghiệm của bài toán là { y = sinx, z = −sinx. 2.2 Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao Xét phiếm hàm ∫ J[y] = b F (x, y, y ′ , · · · , y (n) )dx, (2.4) a trong tất cả đường cong y = y(x) thuộc không gian Dn trên đoạn [a, b] và thoả mãn điều kiện: y(a) = A0 , y ′ (a) = A1 , · · · , y (n−1) (a) = An−1 , (2.5) y(b) = B0 , y ′ (b) = B1 , · · · , y (n−1) (b) = Bn−1 , hãy tìm đường mà dọc theo nó tích phân (2.4) nhận giá trị cực trị. Từ định lý tổng quát: để hàm J[y] đạt cực trị thì điều kiện cần là biến phân của nó bằng không. Thay y(x) bằng y(x) + h(x) vào phiếm hàm, trong đó y(x) + h(x) cũng thoả điều kiện biên (2.5), tức là h(a) = h′ (a) = · · · = h(n−1) (a) = 0, (2.6) 2.2 Phiếm hàm phụ thuộc vào đạo hàm cấp cao 17 h(b) = h′ (b) = · · · = h(n−1) (b) = 0. Tính gia số ∆J ∫ J[y+h]−J[y] = b [F (x, y + h, y ′ + h′ , . . . , y (n) + h(n) ) − F (x, y, y ′ , . . . , y (n) )]dx a ∫ = b (Fy h + Fy′ h′ + · · · + Fy(n) h(n) )dx + . . . . a Vậy điều kiện cần cực trị của phiếm hàm là ∫ δJ = b Fy h + Fy′ h′ + · · · + Fy(n) h(n) )dx = 0. a Tích phân từng phần và nhờ vào điều kiện đối với h(x) ta được ∫ b( δJ = a ) n d d2 n d Fy − Fy′ + 2 Fy′′ + · · · + (−1) F (n) h(x)dx = 0. dx dx dxn y Với hàm h(x) tuỳ ý có đạo hàm đến cấp n liên tục và thoả mãn điều kiện (2.6). Từ bổ đề 1 chương 1 suy ra n d n d ′ Fy − Fy + · · · + (−1) F (n) = 0. dx dxn y (2.7) Phương trình này gọi là phương trình Euler- Poisson. Đây là phương trình cấp 2n, do vậy nghiệm tổng quát chứa 2n hằng số tuỳ ý. Chúng được xác định từ điều kiện (2.5). Chú ý. Để cho việc biến đổi trong biểu thức của δJ chặt chẽ ta giả thiết tồn tại các đạo hàm d dn Fy′ , . . . , n Fy(n) . dx dx Ta tìm cực trị của phiếm hàm ∫ b( ) ′′ 2 J[y] = 1 + y dx a y(0) = 0, y ′ (0) = 1, 2.3 Bài toán đẳng chu. Cực trị có điều kiện y(1) = 1, 18 y ′ (1) = 1. Phương trình Euler - Poisson có dạng d2 Fy′′ = 0, dx2 hay là d2 (2y ′′ ) = 0, 2 dx suy ra y (iv) = 0. Nghiệm tổng quát sẽ là y = C1 x3 + C2 x2 + C3 x + C4 . từ điều kiện biên ta được C1 = C2 = C4 = 0, C3 = 1. Vậy nghiệm của bài toán y = x. 2.3 Bài toán đẳng chu. Cực trị có điều kiện Bây giờ ta xét các bài toán, ngoài điều kiện biên của các đường khả dĩ còn phải thoả mãn điều kiện ở một dạng hoàn toàn khác. Đó là bài toán đẳng chu, và được thiết lập như sau: i)Trong tất cả các đường thoả mãn điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B và trên nó phiếm hàm ∫ b K[y] = G(x, y, y ′ )dx = l, (2.8) a nhận giá trị cho trước l, hãy tìm một đường để cho phiếm hàm khác ∫ b J[y] = F (x, y, y ′ )dx, (2.9) a đạt cực trị. Để giải quyết vấn đề ta giả thiết các hàm G, F xác định phiếm hàm (2.8), (2.9) có đạo hàm liên tục đến cấp hai với a ≤ x ≤ b. Ngoài ra giả thiết đường phải tìm không làm cực trị phiếm hàm (2.8). Định lý. Nếu đường y = y(x) là đường cực trị của phiếm hàm ∫ b F (x, y, y ′ )dx, J[y] = a thoả mãn điều kiện ∫ K[y] = a b G(x, y, y ′ )dx = l; y(a) = A, y(b) = B 2.3 Bài toán đẳng chu. Cực trị có điều kiện 19 và không làm cực trị phiếm hàm K[y] thì sẽ tồn tại một hằng số λ, sao cho đường y(x) này cực trị của phiếm hàm ∫ b (F + λG)dx. a Ta tìm đường cong trong nửa mặt phẳng trên đi qua điểm (−a, 0) và (a, 0) có độ dài cho trước 2l(l > a) và cùng với đoạn [−a, a] giới hạn một diện tích lớn nhất. Ta tìm hàm y = y(x) để tích phân ∫ a ydx; y(−a) = y(a) = 0, J[y] = −a nhận giá trị lớn nhất với điều kiện ∫ a√ K[y] = 1 + y ′ 2 dx = 2l. −a Đây là bài toán đẳng chu. Ta có phiếm hàm ∫ a √ J[y] + λK[y] = (y + λ 1 + y ′ 2 )dx, −a với phương trình Euler 1−λ d y′ = 0. √ dx 1 + y ′ 2 Từ đó suy ra x − λ√ Đặt y ′ = tant, x − λ √ y′ 1 + y′ 2 = C1 . y′ 2 = C1 , suy ra x − C1 = λsint, dy = tantdx = 1 + y′ tant.λcostdt = λtdt, suy ra y − C2 = −λcost. Khử tham số t, ta được nghiệm tổng quát là họ đường tròn (x − C1 )2 + (y − C2 )2 = λ2 . Từ điều kiện biên y(−a) = y(a) = 0 và điều kiện K[y] = 2l, ta được C2 = 0, C1 2 + a2 = λ2 , 2.3 Bài toán đẳng chu. Cực trị có điều kiện arcsin 20 a − C1 a + C1 2l + arcsin = . λ λ λ ii) Có thể mở cho trường hợp phiếm hàm phụ thuộc vào n hàm và một số ràng buộc dạng (2.8). Giả sử tìm cực trị của phiếm hàm ∫ b J[y1 , . . . , yn ] = F (x, yi , yi ′ )dx, (2.10) a với các điều kiện yi (a) = Ai , yi (b) = Bi và ∫ b (i = 1, 2, . . . , n), Gj (x, yi , yi ′ )dx = ℓj (j = 1, 2, . . . , k . . .). (2.11) (2.12) a Trong trường hợp này điều kiện cần của cực trị sẽ là ( { ) ( )} k k ∑ ∑ ∂ ∂ d F+ λj G j − F+ λj Gj = 0(i = 1, 2, . . . , n), ′ ∂yi dx ∂y i j=1 j=1 (2.13) hệ n phương trình vi phân cấp hai. Trong nghiệm tổng quát chứa 2n hằng số tích phân và k tham số λ1 , λ2 , . . . , λk được xác định từ điều kiện (2.11) và (2.12). iii) Bài toán biến phân Lagrange hay bài toán cực trị có điều kiện Tìm cực trị của phiếm hàm ∫ b F (x, yi , yi ′ )dx, a trong đó các hàm khả dĩ thoả mãn điều kiện biên yi (a) = Ai , yi (b) = Bi (i = 1, 2, . . . , n), và k điều kiện ràng buộc có dạng gj (x, y1 , . . . , yn ) = 0 (j = 1, 2, . . . , k). Ta giới hạn xét trường hợp n = 2, k = 1, tức là tìm cực trị của phiếm hàm ∫ b F (x, y, z, y ′ , z ′ )dx, (2.14) a 2.4 Công thức biến phân cơ bản 21 trên các đường không gian y = y(x), z = z(x), thuộc mặt cố định g(x, y, z) = 0. (2.15) Định lý. Nếu đường cong y = y(x), z = z(x), (2.16) làm cho phiếm hàm (2.14) đạt cực trị có điều kiện trong lớp các đường nằm trên mặt g(x, y, z) = 0, trong đó không có điểm nào của đường này tại đó gy và gz bằng không đồng thời, thì tồn tại một hàm λ(x) sao cho đường (2.16) là đường cực trị của phiếm hàm ∫ b F + λ(x)gdx, a tức là thoả mãn phương trình vi phân Fy + λgy − 2.4 d Fy′ = 0, dx Fz + λgz − d Fz′ = 0. dx Công thức biến phân cơ bản Xét phiếm hàm ∫x1 J[y] = F (x, y, y ′ )dx, (2.17) x0 Ta xét gia số của phiếm hàm J[y] x1∫+δx1 F (x, y + h, y ′ + h′ )dx − J[y + h] − J[y] = x0 +δx0 ∫x1 = x0 ∫x1 F (x, y, y ′ )dx x1 F (x, y + h, y ′ + h′ ) − F (x, y, y ′ )dx 2.4 Công thức biến phân cơ bản x1∫+δx1 ′ 22 ′ x0∫+δx0 F (x, y + h, y ′ + h′ )dx. F (x, y + h, y + h )dx − + x1 x0 Dùng công thức Taylor và bỏ qua số hạng nhỏ bậc cao ta được ∫x1 J[y + h] − J[y] ∼ Fy (x, y, y ′ )h + Fy′ (x, y, y ′ )h′ dx, x0 +F (x, y, y ′ ) |x=x1 δx1 − F (x, y, y ′ ) |x=x0 δx0 , dấu ∼ biểu thị đẳng thức với độ chính xác đến đại lượng bậc cao hơn một. Ta có ở hai đâu mút: h(x0 ) ∼ δy0 − y ′ δx0 ; h(x1 ) ∼ δy1 − y ′ δx1 , Hình 2.1: Hình ảnh minh hoạ. nên cuối cùng ta được ] ∫x1 [ d ′ δJ = Fy − Fy h(x)dx + Fy′ |x=x1 δy1 dx x0 + (F − Fy′ y ′ ) |x=x1 δx1 − Fy′ |x=x0 δy0 − (F − Fy′ y ′ ) |x=x0 δx0 . (2.18) 2.5 Bài toán với biên di động 23 Đây là công thức tổng quát của biến phân đối với phiếm hàm phụ thuộc vào một hàm. Trường hợp biến phận trong bài toán biến phân đơn giản (δx0 , δx1 = 0 và δy0 = δy1 = 0) là trường hợp riêng của bài toán này và biểu thức δJ thương ứng suy được từ (2.18). Xét trường hợp ∫x1 J[y] = F (x, yi , yi ′ )dx, (2.19) x0 phụ thuộc vào n hàm y1 , . . . , yn , trong đó không có điều kiện gì đặt laên các mặt của chúng. ì mọi hệ n hàm có thể diễn tả như đường trong không gian (n + 1) chiều, phiếm hàm (2.19) có thể xem như được xác định trong tập hợp nào đó các đường trong không gian (n + 1) chiều. Tương tự như trường hợp phiếm hàm phụ thuộc một hàm ta được δJ = ∫x1 ∑ n ( x0 ( + F− n ∑ i=1 i=1 ) n ∑ d Fyi − Fyi′ hi (x)dx + Fyi′ |x=x1 δyi1 dx i=1 ) yi′ Fyi′ |x=x1 δx1 − n ∑ ( Fyi′ |x=x0 δyi0 − F − i=1 n ∑ ) yi′ Fyi′ |x=x0 δx0 , i=1 (2.20) trong đó δyi0 ∼ hi (x0 ) + yi′ (x0 )δx0 , δyi1 ∼ hi (x1 ) + yi′ (x1 )δx1 , Biểu thức (2.20) là công thức biến phân cơ bản của phiếm hàm (2.19). 2.5 Bài toán với biên di động Bài toán với biên di động (biên tự do) đặt ra như sau: trong tất cả các đường cong hai đầu của chúng nằm trên hai đường thẳng đứng cho trước x = x0 và x = x1 , hãy tìm hàm làm cho phiếm hàm sau đây đạt cực trị ∫ x1 F (x, y, y ′ )dx. J[y] = x0 Khác với bài toán có biên cố định, ở đây h(x) không bắt buộc bằng không tại 2.5 Bài toán với biên di động 24 x0 và x1 . ] ∫x1 [ d δJ = Fy − Fy′ h(x)dx + Fy′ |x=x1 δy1 − Fy′ |x=x0 δy0 dx x0 +(F − y ′ Fy′ ) |x=x1 δx1 − (F − y ′ Fy′ ) |x=x0 δx0 . Ở đây δx1 = 0, δx0 = 0, còn δy0 , δy1 tuỳ ý, do vậy ] ∫x1 [ d Fy − Fy′ h(x)dx + Fy′ |x=x1 δy1 − Fy′ |x=x0 δy0 . δJ = dx x0 Từ điều kiện cần của cực trị δJ = 0, h(x), δy0 , δy1 tuỳ ý, suy ra hàm y(x) phải thoả mãn phương trình Euler Fy − d Fy′ = 0, dx (2.21) và các điều kiện trên biên Fy′ |x=x0 = 0, Fy′ |x=x1 = 0. (2.22) Vậy nghiệm của bài toán đặt ra được xác định từ việc giải phương trình (2.21), tiếp đến xác định các hằng số tích phân bằng các điều kiện (2.22). Tương tự, ta có thể đặt bài toán biến phân một đầu cố định và một đầu tự do. Khi đó thay cho các điều kiện (2.22) ta có các điều kiện y(x0 ) = y0 ( tại đầu x = x0 cố định), Fy′ |x=x1 = 0 (tại đầu x = x1 tự do). Ta xét xem theo đường cong phẳng nào để vật nặng trượt xuống từ vị trí A(0, 0) trong thời gian ngắn nhất đạt đến đường thẳng đứng x = 2. Bài toán này đã được xét đến về đường đoản thời qua hai điểm cố định. Vận tốc chuyển động theo đường cong bằng √ ds dx v= = 1 + y′2 , dt dt nên √ √ 1 + y ′ 2 dx 1 + y ′ 2 dx √ . dt = = v 2gy 2.5 Bài toán với biên di động 25 Thời gian chuyển động bằng ∫ √ 1 + y ′ 2 dx √ T = dx. 2gy Nghiệm tổng quát của phương trình tương ứng là họ cycloid x − C2 = y= C1 (θ − sinθ), 2 C1 (1 − cosθ). 2 Ta cho thoả mãn điều kiện y(0) = 0 suy ra C2 = 0. Điều kiện y′ √ Fy′ |x=2 = √ |x=2 = 0, 2gy 1 + y ′ 2 dẫn đến y ′ |x=2 = 0; hay là dy sinθ = = 0, dx 1 − cosθ suy ra θ = 0 hoặc θ = π. Loại θ = 0, thay θ = π và x = 2 ta được C1 = π4 . Nghiệm của bài toán là 2 (θ − sinθ) π 2 y = (1 − sinθ). π x= . Chương 3. Điều kiện đủ của cực trị Trong các chương trước ta đã khảo sát điều kiện cần để phiếm hàm đạt cực trị. Trong chương này, ta sẽ tìm hiểu về các điều kiện đủ của cực trị phiếm hàm. 3.1 Biến phân cấp hai. Công thức biến phân cấp hai Cho phiếm hàm J[x, y], phụ thuộc vào hai phân tử x và y thuộc không gian tuyến tính nào đó, ta nói phiếm hàm này là song tuyến tính, nếu nó tuyến tính với từng đối số. Nếu đặt y = x, ta được biểu thức gọi là phiếm hàm toàn phương. Phiếm hàm song tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều gọi là dạng song tuyến tính. Nó có thể viết dưới dạng A(x, y) ≡ ∑∑ i aik ξi ηk với ξ1 , . . . , ξn và η1 , . . . , ηn k là toạ độ vectơ x và y trong một hệ cơ sở nào đó. Đặt x = y ta được dạng toàn phương A(x, x) = ∑∑ i aik ξi ξk . k Phiếm hàm toàn phương J[x, x] gọi là xác định dương nếu J[x, x] > 0 với mọi x khác không. • Khái niệm: Biến phân cấp hai của phiếm hàm. 3.1 Biến phân cấp hai. Công thức biến phân cấp hai 27 Ta xét trường hợp bài toán đơn giản tức là đối với phiếm hàm ∫b J[y] = F (x, y, y ′ )dx (3.1) a xác định trên các đường cong y(x) với biên cố định y(a) = A, y(b) = B. (3.2) Cho hàm y(x) gia số h(x) thoả mãn điều kiện h(a) = h(b) = 0. Dùng công thức Taylor, ta có thể biểu diễn gia số của phiếm hàm J[y] dưới dạng ∫b J[y + h] − J[y] = (Fy h + Fy′ h′ )dx a 1 + 2 ∫b Fyy h2 + 2Fy′ y hh′ + Fy′ y′ h′ )dx + ε 2 (3.3) a Đại lượng ε có thể biểu diễn như sau ∫b (ε1 h2 + ε2 hh′ + ε3 h′ )dx, 2 (3.4) a từ tính liên tục của đạo hàm Fyy , Fyy′ , Fy′ y′ suy ra ε1 , ε2 , ε3 → 0 khi ∥h∥ → 0, 2 từ đây thấy rằng ε là đại lượng vô cùng nhỏ bậc cao so với ∥h∥ . Số hạng thứ nhất bên vế phải của (3.3) là δJ[h], số hạng thứ hai - dạng toàn phương đối với h chính là biến phân cấp hai của phiếm hàm δ 2 J[h]. Vậy đối với phiếm hàm (3.1) ta có 1 δ 2 J[h] = 2 ∫b (Fyy h2 + 2Fy′ y hh′ + Fy′ y′ h′ )dx + ε. 2 (3.5) a Ta đưa biểu thức biến phân cấp hai về dạng thuận lợi hơn. Tích phân từng phần, tính đến h(a) = h(b) = 0, ta được ∫b ′ ∫b ( 2Fyy′ hh dx = − a a ) d 2 Fyy′ h dx; dx 3.1 Biến phân cấp hai. Công thức biến phân cấp hai 28 do đó công thức (3.5) đưa về dạng ∫b 2 δ J[h] = (Qh′ + P h′ )dx, 2 (3.6) a trong đó ( ) d 1 Fyy − Fyy′ , Q= 2 dx 1 P = Fy ′ y ′ . 2 Đây là công thức của biến phân cấp hai của phiếm hàm. Nếu y(x) là đường cực trị thì số hạng thứ nhất trong (3.3) bằng không, biểu thức (3.4) đưa về dạng ∫b (ξh2 + ηh′ )dx. 2 a Gia số của phiếm hàm có dạng ∫b J[y + h] − J[y] = 2 ′2 ∫b (Qh + P h )dx + a (ξh2 + ηh′ )dx, 2 (3.7) a trong đó | ξ |→ 0, | η |→ 0 khi ∥h∥ → 0. Khi đó dấu của gia số phiếm hàm J[y = h] − J[y] được quyết định bởi dấu của biến phân cấp hai δ 2 J[h]. Vậy, với đường y(x) phiếm hàm J[y] đạt cực tiểu, thì điều kiện cần là biến phân cấp hai xác định trên đường này phải không âm với mọi h(x), tức là δ 2 J[h] ≥ 0 ∀h(x). Vậy, với đại lượng nào thì phiếm hàm không âm. Ta xét phiếm hàm toàn phương ∫ b 2 (P h′ + Qh2 )dx (3.8) a trên đường cực tiểu y = y(x) hàm P, Q trở thành P (x, y(x), y ′ (x)) ≡ P (x); Q(x, y(x), y ′ (x)) ≡ Q(x), phiếm hàm này xác định trên các hàm h(x) sao cho h(a) = h(b) = 0. Định lý. Điều kiện cần để phiếm hàm (3.8) không âm là P (x) ≥ 0 (a ≤ b). (3.9) 3.1 Biến phân cấp hai. Công thức biến phân cấp hai 29 Thật vậy, giả sử (3.9) không thoả mãn, tức là tại điểm x0 nào đó P (x0 ) < 0. Ta chỉ ra phiếm hàm (3.8) sẽ lấy giá trị âm với cách chọn phù hợp h(x). Ta 2 chọn h(x) sao cho trong biểu thức (3.6) số hạng P h′ đóng vai trò quyết định, còn số hạng Qh2 là nhỏ. Đặt ( )  √ x − x0   σ 1+ với x0 − σ ≤ x ≤ x0 ,   σ )  ( √ x − x0 h(x) = σ 1− với x0 ≤ x ≤ x0 + σ,   σ    0 với mọi x còn lại. Trên khoảng (x0 − σ, x0 + σ) ta có h′ = 2 1 , σ h2 (x) ≤ σ. Với cách chọn h(x) như vậy, trong hệ thức ∫b ∫b Qh2 dx + δ 2 J[h] = a P h′ dx 2 a chỉ còn tích phân trên đoạn [x0 − σ, x0 + σ]. Cho σ → 0, số hạng thứ nhất sẽ dần đến không, còn số hạng thứ hai dẫn đến 2P (x0 ). Nhưng vì giả thiết P (x0 ) < 0, nên ∫ b 2 (P h′ + Qh2 )dx < 0. a Điều khẳng định đã được chứng minh. Từ đây và từ điều kiện cần để phiếm hàm đạt cực tiểu δ 2 J[h] ≥ 0 suy ra định lý sau đây. Định lý Legendre. Để cho phiếm hàm ∫b J[y] = F (x, y, y ′ )dx a đạt cực tiểu trên đường y = y(x), thì điều kiện cần là dọc theo đường đó thoả mãn điều kiện 1 P (x) ≡ Fy′ y′ (x, y(x), y ′ (x)) ≥ 0. 2 Điều này nhận được từ điều kiện cần δ 2 J[h] ≥ 0 để phiếm hàm đạt cực tiểu (tính đến công thức (3.6) và (3.9)). 3.2 Điều kiện cần Jacobi. Phương trình Jacobi 30 Phương trình Euler của phiếm hàm (3.8) − d (P h′ ) + Qh = 0, dx (3.10) và điều kiện biên h(a) = h(b) = 0. Nó có thể cho nghiệm h(x) ≡ 0 hoặc h(x) ̸= 0. Định nghĩa. Điểm x∗ gọi là điểm liên hợp với điểm x = a nếu phương trình (3.9) cho nghiệm không tầm thường có giá trị bẳng không tại x = a và x = x∗ . Định lý. Nếu P (x) > 0 với a≤x≤b và trên đoạn [a, b] không chứa các điểm liên hợp với a thì phiếm hàm toàn phương ∫b 2 (P h′ + Qh2 )dx a xác định dương với mọi h(x), trong đó h(a) = h(b) = 0. 3.2 Điều kiện cần Jacobi. Phương trình Jacobi Sử dụng các kết quả nhận được ở phần trước đối với phiếm hàm toàn phương vào bài toán biến phân đơn giản, tức là nghiên cứu phiếm hàm ∫b F (x, y, y ′ )dx, (3.11) a với điều kiện biên y(a) = A, y(b) = B. (3.12) Xét một đường cực trị nào đó y = y(x) của phiếm hàm đã cho và tính biến phân cấp hai tại lân cận của đường cực trị này. Ta có biến phân cấp hai (đã xét ở trên) có dạng ∫b 2 P h′ + Qh2 )dx, (3.13) a trong đó 1 P = Fy ′ y ′ , 2 ( ) d 1 Fyy − Fyy′ . Q= 2 dx (3.14) 3.2 Điều kiện cần Jacobi. Phương trình Jacobi 31 Định nghĩa. Phương trình Euler − d (P h′ ) + Qh = 0 dx (3.15) của phiếm hàm toàn phương (3.13) gọi là phương trình Jacobi của phiếm hàm xuất phát (3.11). Định nghĩa. Điểm x˜ gọi là điểm liên hợp với điểm x = a của phiếm hàm (3.11), nếu nó là điểm liên hợp với điểm x = a của phiếm hàm toàn phương (3.13). Định lý (điều kiện cần Jacobi.) Để đường y = y(x) làm cực tiểu phiếm hàm ∫b (F (x, y, y ′ )dx, a thì điều kiện cần là khoảng (a, b) không chứa các điểm liên hợp với x = a. Chứng minh. Biến phân cấp hai không âm là điều kiện cần của cực tiểu. Theo định lý phiếm hàm toàn phương không âm, thì trên khoảng (a, b) không chứa điểm liên hợp với x = a. Kết hợp hai điều kiện này suy ra điều khẳng định của định lý. Ta xét ý nghĩa của phương trình Jacobi (3.15). Giả sử y = y(x) là đường cực trị, hãy chỉ ra điều kiện đặt lên h(x) để hàm y(x) + h(x) cũng là đường cực trị. Đặt y + h vào phương trình Euler Fy (x, y + h, y ′ + h′ ) − d ′ F (x, y + h, y ′ + h′ ) = 0. dx y Dùng công thức Taylor tính đến y(x) - nghiệm phương trình Euler ta được Fyy h + Fyy′ h′ − d (Fy′ y′ h′ + Fyy′ h) = O(h), dx trong đó O(h) đại lượng nhỏ bậc cao hơn một đối với h. Bỏ O(h) và ghép các số bên vế trái ta được ( ) d d Fyy − Fyy′ h − (Fy′ y′ h′ ) = 0. dx dx Đây chính là phương trình Jacobi, nếu đưa vào kí hiệu ( ) d 1 1 Fyy − Fyy′ = Q, Fy′ y′ = P, 2 dx 2 3.2 Điều kiện cần Jacobi. Phương trình Jacobi 32 ta được phương trình (3.15) − d (P h′ ) + Qh = 0. dx Vậy phương trình Jacobi là phương trình vi phân đối với đại lượng h(x), đại lượng này là hiệu số giữa hai đường cực trị vô cùng gần nhau (chính xác đến đại lượng nhỏ bậc cao hơn một). Ta gọi là phương trình viết theo biến phân. Phương trình Jacobi là phương trình theo biến phân đối với phương trình Euler. Ta tìm điều kiện Jacobi để có các đường cực trị của phiếm hàm ∫a J[y] = (y ′2 − y 2 )dx, 0 đi qua điểm A(0, 0) và điểm B(a, 0) được thoả mãn hay không? Phương trình Jacobi có dạng −2h − d (2h′ ) = 0, dx hay là h′′ + h = 0, suy ra h(x) = C1 cosx + C2 sinx. Vì h(0) = 0, nên C1 = 0, h(x) = C2 sinx. Hàm h(x) bằng không tại các điểm x = kπ, k - số nguyên. Do đó, nếu 0 < a < π thì trên đoạn 0 ≤ x ≤ a hàm h(x) chỉ bằng không tại điểm x = 0 và điều kiện Jacobi thoả mãn; nếu a ≥ π thì trên đoạn 0 ≤ x ≤ a hàm h(x) bằng không ở ít nhất một điểm nữa x = π và điều kiện Jacobi không thoả mãn. Ta khảo sát điều kiện Jacobi cho các đường cực trị của phiếm hàm ∫a J[y] = (y ′2 + y 2 + x2 )dx 0 qua các điểm A(0, 0) và B(a, 0). Phương trình Jacobi có dạng 2h − d (2h′ ) = 0, dx 3.3 Điều kiện đủ của cực trị yếu 33 hay là h′′ − h = 0. Nghiệm tổng quát của nó phương trình là h(x) = C1 shx + C2 chx. Từ điều kiện h(0) = 0 suy ra C2 = 0, h(x) = C1 shx. Họ các đường h(x) = C1 shx chỉ cắt trục Ox ở một điểm x = 0. Điều kiện Jacobi thoả mãn cới mọi giá trị a. Tóm lại, ta đã đưa ra các điều kiện cần của cực trị: Nếu dọc theo đường y = y(x) phiếm hàm ∫b F (x, y, y ′ )dx, a đạt cực trị, thì (i) Đường cực trị y = y(x) phải thoả mãn phương trình Euler Fy − d ′ F = 0. dx y (ii) Dọc theo đường đó Fy′ y′ (x, y(x), y ′ (x)) ≥ 0− cực tiểu, Fy′ y′ (x, y(x), y ′ (x)) ≤ 0− cực đại. (iii) Khoảng (a, b) không chứa điểm liên hợp với a. 3.3 Điều kiện đủ của cực trị yếu Trong phần này ta thiết lập các điều kiện đủ để đường y = y(x) tại đó phiếm hàm sau đạt cực trị. ∫b J[y] = F (x, y, y ′ )dx, y(a) = A, y(b) = B. a Các điều kiện đó bao gồm (i) y = y(x) là đường cực trị, tức là thoả mãn phương trình Euler Fy − d ′ F = 0. dx y (3.16) 3.3 Điều kiện đủ của cực trị yếu 34 (ii) Dọc theo đướng này 1 P (x) ≡ Fy′ y′ (x, y(x), y ′ (x)) > 0 2 (làm mạnh điều kiện Legendre). (iii) Đoạn [a, b] không chứa các điểm liên hợp với điểm x = a (làm mạnh điều kiện Jacobi). Điều này có nghĩa là phương trình − d (P h′ ) + Qh = 0 dx với điều kiện h(a) = 0, h′ (a) = 1 cho nghiệm khác không tại mọi điểm trên đoạn [a, b]. Định lý. Nếu đường y = y(x) của phiếm hàm ∫b F (x, y, y ′ )dx, a thoả mãn các điều kiện (i) - (iii) thì đường này làm cực tiểu phiếm hàm đã cho. Chứng minh. Nếu đoạn [a, b] không chứa các điểm liên hợp với a và nếu trên đó P (x) > 0, thì do tính chất liên tục của nghiệm phương trình Jacobi và hàm P (x) có thể chỉ ra đoạn lớn hơn [a, b + ε] cũng không chứa điểm liên hợp với a và trên đó P (x) > 0. Ta xét phiếm hàm toàn phương ∫b (P h′2 + Qh2 )dx − α2 a ∫b h′2 dx, (3.17) a và phương trình tương ứng với nó − d [(P − α2 )h′ ] + Qh = 0. dx (3.18) Vì trên đoạn [a, b + ε] làm P (x) dương, nên trên đoạn đó nó có cận dưới dương và vì nghiệm của phương trình (3.18) với điều kiện đầu h(a) = 0, h′ (a) = 1 liên tục và phụ thuộc tham số α nên với mọi α đủ nhỏ ta có: (i) P (x) − α2 > 0, a ≤ x ≤ b. (ii) Nghiệm phương trình (3.18) với điều kiện biên h(a) = 0, h′ (a) = 1 không bằng không trên nữa đoạn [a, b]. 3.3 Điều kiện đủ của cực trị yếu 35 Từ hai điều kiện này phiếm hàm toàn phương (3.17) xác định dương với mọi α đủ nhỏ. Nói cách khác tồn tại một hằng số c > 0 sao cho ∫b (P h′2 + Qh2 )dx > c ∫b a h′2 dx. a Từ bất đẳng thức này cũng suy ra trên đường cực trị phiếm hàm đạt cực tiểu. Thật vậy, nếu y = y(x) là đường cực trị và y(x) + h(x)là đường khá gần với nó theo công thức (3.7). ∫b J[y + h] − J[y] = (P h′ + Qh2 )dx + 2 a ∫b (ξh2 + ηh′ )dx, 2 a trong đó | ξ | và | η | dần đều đến không trên đoạn [a, b] khi ∥ h ∥→ 0. Nhờ bất đẳng thức Cauchy- Bunhiakovsky  x 2 ∫ ∫x ∫b h2 (x) =  h′ dx ≤ (x − a) h′2 dx ≤ (x − a) h′2 dx, a hay là a ∫b (b − a)2 2 h dx ≤ 2 a ∫b h′2 dx. a a Nếu | ξ(x) |≤ ε và | η(x) |≤ ε, thì ∫b ( (b − a)2 (ξh2 + ηh′2 )dx ≤ ε 1 + 2 a ) ∫b h′2 dx. a Vì ε > 0 có thể lấy nhỏ tuỳ ý, ta được ∫b J[y + h] − J[y] = ∫b ′2 (P h + Qh2 )dx + a (ξh2 + ηh′ )dx > 0, 2 a với mọi ∥ h ∥ đủ nhỏ. Vì vậy đường cực trị y = y(x) tại đó phiếm hàm (3.16) đạt cự tiểu (trong một lân cận đủ nhỏ của đường này). Định lý được chứng minh. Ta tìm cực trị của phiếm hàm ∫a J[y] = y ′3 dx 0 3.3 Điều kiện đủ của cực trị yếu y(0) = 0, 36 y(a) = b, a > 0, b > 0. Thực hiện các bước về điều kiện đủ, trước hết tìm đường cực trị thoả mãn phương trình Euler của phiếm hàm trên − d (3y ′3 ) = 0, dx suy ra họ đường cực trị y = C1 x + C2 . Cho thoả mãn các điều kiện biên ta b được đường cực trị y = x. a Dọc theo đường này b 1 P (x) = Fy′ y′ (x, y(x), y ′ (x)) = 3y ′ (x) = 3 > 0. 2 a Tiếp đến xem trên đoạn [0, a] có chứa các điểm liên hợp hay không. Viết phương trình Jacobi ( ) d d b − (P h′ ) + Qh = − 3 h′ = 0, dx dx a hay là h′′ = 0, thì nghiệm của nó h(x) = C1 x+C2 . Từ điều kiện h(0) = 0 ta có C2 = 0, h(x) = C1 x, họ đường này chỉ cắt trục hoành tại một điểm x = 0. Điều kiện Jacobi thoả mãn với mọi a. Vậy đủ để kết luận đường y = ab x là đường làm cực tiểu phiếm hàm đã cho. Mở rộng, ta có thể phát biểu điều kiện đủ cực trị của phiếm hàm phụ thuộc vào nhiều hàm: Các điều kiện đủ để đường cong y(x) = y1 (x), y2 (x), . . . , yn (x), làm cực tiểu phiếm hàm ∫b F (x, yi , yi ′ )dx. a (i) Đường cong này là đường cực trị, tức là thoả mãn hệ phương trình Euler Fy i − d Fy ′ = 0 dx i (i = 1, 2, . . . , n), (ii) Ma trận lập bởi các đạo hàm Fyi′ yk′ , 3.4 Điều kiện đủ của cực trị mạnh 37 là xác định dương trên a ≤ x ≤ b. (iii) Đoạn [a, b] không chứa các điểm liên hợp với x = a. Điều này có nghĩa là nghiệm của hệ phương trình ( n ) n ∑ d ∑ Qik hi − Pik h′i = 0 (k = 1, 2, . . . , n), dx i=1 i=1 với điều kiện hi (a) = 0, h′i (a) = 1 không bằng không tại bất kì điểm nào trên [a, b]. 3.4 Điều kiện đủ của cực trị mạnh Trong phần trên ta đã xét điều kiện đủ của cực trị yếu, đã đưa vào khái niệm điểm liên hợp, khái niệm này đưa vào để khảo sát họ của các đường cực trị. Điểm liên hợp là giao điểm của đường cực trị đã cho với đường cực trị lân cận với đường đó và cũng xuất phát từ điểm ban đầu. Điều cần thiết là khảo sát không phải những đường cực trị riêng rẽ, mà một số họ các đường đó. Điều này đặc biệt rõ ràng khi chuyển sang xét điều kiện đủ của cực trị mạnh. 3.4.1 Trường các đường cực trị. Trên mặt phẳng (x, y) qua mỗi điểm của miền D nào đó chỉ có một đường họ y = y(x, C), thì ta nói rằng họ các đường cong trong miền D lập thành một trường gọi là trường riêng. Nếu họ đường đi qua một điểm (x0 , y0 ) nào đó (bó đường cong) và bao phủ toàn miền D và không cắt nhau ở bất kì điểm nào khác thuộc miền đó ngoại trừ tâm (x0 , y0 ) của bó, thì họ đường lập thành trường xuyên tâm. Trong hình tròn x2 + y 2 ≤ 1 các đường thẳng song song y = x + c lập thành trường riêng. Bó đường y = Csinx trong miền đủ nhỏ lân cận của đoạn 0 ≤ x ≤ a, a < π lập thành trường xuyên tâm. Cũng bó trơn này trên đoạn δ ≤ x ≤ a, δ > 0, a < π lập thành trường riêng. Nếu trường riêng hoặc trường xuyên tâm lập bởi họ các đường cực trị của bài toán biến phân, thì chúng được gọi là trường các đường cực trị. Giả sử đường y = y(x) là đường cực trị của bài toán biến phân về cực trị 3.4 Điều kiện đủ của cực trị mạnh của phiếm hàm ∫x1 J[y] = 38 F (x, y, y ′ )dx, x0 với điểm biên A(x0 , y0 ), B(x1 , y1 ) cố định. Ta nói đường cực trị y = y(x) nằm trong trường các đường cực trị, nếu tìm được họ các đường cực trị y = y(x, C) lập thành trường, mà đường y = y(x) nằm trong trường đó ứng với các giá trị C = C0 , hơn nữa đường này không nằm trên biên miền D. Nếu bó đường cực trị có tâm tại điểm tại điểm A(x0 , y0 ) xác định tại lân cận đường cực trị y = y(x) cũng qua điểm A mà lập thành trường, thì có nghĩa là đã tìm được trường xuyên tâm chứa đường cực trị y = y(x) đó. Xét phiếm hàm ∫a J[y] = (y ′2 − y 2 )dx, 0 cần thêm đường cực trị y = 0 nối điểm (0, 0) với điểm (a, 0), trong đó 0 < a < π vào trường xuyên tâm các đường cực trị. Phương trình Euler có dạng y ′′ + y = 0, nghiệm tổng quát có dạng C1 cosx + C2 sinx Từ điều kiện các đường cực trị qua điểm (0, 0) ta được C1 = 0, y = C2 sinx. Khi đó các đường của bó này lập thành trường xuyên tâm trên đoạn 0 ≤ x ≤ a, a < π, trường này chứa đường cực trị y = 0 ứng với C2 = 0. Nếu a ≥ π, thì họ y = C2 sinx không lập thành trường; vì khi đó các đường này cắt nhau ít nhất tại điểm x = π. Điều này cũng có nghĩa là khi đó tồn tại điểm liên hợp và điều kiện Jacobi bị vi phạm. ∗ Kết luận: Điều kiện Jacobi cũng là điều kiện đảm bảo xây dựng được trường các đường cực trị có chứa đường cực trị đã cho. 3.4.2 Hàm Weierstrass. Điều kiện đủ của cực trị mạnh Giả sử trong bài toán cực trị của phiếm hàm ∫x1 J[y] = F (x, y, y ′ )dx; y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1 x0 3.4 Điều kiện đủ của cực trị mạnh 39 đường cực trị y = y(x) đi qua điểm A(x0 , y0 ) và B(x1 , y1 ) và nằm trong trường có độ dốc bằng p(x, y). Để xác định dấu của gia số ∆J khi chuyển từ đường cực trị C sang đường cực trị lân cận C˜ ta thiết lập ∫ ∫ ′ ∆J = F (x, y, y )dx − F (x, y, y ′ )dx. ˜ C C Xét phiếm hàm hổ trợ ( ) ] ∫ [ dy F (x, y, p) + − p Fp (x, y, p) dx, dx ˜ C trên đường cực trị C nó đưa về ∫ F (x, y, y ′ )dx, C vì trên các đường cực trị của trường dy = p. dx Mặt khác, phiếm hàm hỗ trợ này là tích phân của một vi phân đúng. Thật vậy ( ) ] ∫ [ dy F (x, y, p) + − p Fp (x, y, p) dx dx ˜ C ∫ [F (x, y, p) − pFp (x, y, p)]dx + Fp (x, y, p)dy = ˜ C có thể chứng minh được ∂ ∂ [F − pFp ] ≡ Fp (x, y, p), ∂y ∂x hay là ∂ ∂ ∂ ∂ Fy + Fp ∂y − ∂yFp − p Fp − Fp ≡ 0. p p ∂y ∂x Suy ra Fy − ∂ ∂ Fp − p Fp ≡ 0, ∂x ∂y 3.4 Điều kiện đủ của cực trị mạnh 40 hay là Fy − trong đó đạo hàm d Fp ≡ 0, dx dy được thay bằng độ dốc p của trường; khi đó nó trở thành dx đồng nhất thức. Vậy, tích phân ∫ [F + (y ′ − p)Fp ]dx, ˜ C trên đường cực trị C trùng với tích phân ∫ F (x, y, y ′ )dx C và nó là tích phân của một vi phân đúng, nên nó không phụ thuộc vào đường lấy tích phân, suy ra ∫ ∫ ′ F (x, y, y )dx = [F (x, y, p) + (y ′ − p)Fp (x, y, p)]dx, ˜ C C không những trên đường C˜ = C, mà còn với những đường C˜ bất kì. Do đó, gia số ∫ ∫ ′ ∆J = F (x, y, y )dx − F (x, y, y ′ )dx ˜ C C có thể biến đổi về dạng ∫ ∫ ′ ∆J = F (x, y, y )dx − [F (x, y, p) + (y ′ − p)Fp (x, y, p)]dx ˜ C ∫ = ˜ C [F (x, y, y ′ ) − F (x, y, p) − (y ′ − p)Fp (x, y, p)] dx. ˜ C Hàm dưới dấu tích phân E(x, y, y ′ , p) = F (x, y, y ′ ) − F (x, y, p) − (y ′ − p)Fp (x, y, p) gọi là hàm Weierstrass. Vậy, điều kiện đủ để phiếm hàm J cực tiểu trên đường C là E ≥ 0, cực đại nếu E ≤ 0, trong đó đối với cực tiểu yếu điều kiện đủ là E(x, y, y ′ , p) ≥ 0 3.4 Điều kiện đủ của cực trị mạnh 41 (cực đại E ≤ 0) với các giá trị x, y gần với giá trị x, y trên đường cực trị khảo sát C và với các giá trị y ′ gần với giá trị p(x, y) cũng trên đường cực trị này, còn đối với cực tiểu mạnh thì vẫn là bất đẳng thức trên thoả mãn với cũng giá trị x, y đó, nhưng với y ′ bất kỳ, vì trong trường hợp cực trị mạnh các đường cong gần nhau có thể có hướng tiếp tuyến bất kì, còn trong trường hợp cực trị yếu các đại lượng y ′ trên các đường cong gần nhau có giá trị gần với giá trị p trên đường cong C. • Kết luận về điều kiện đủ: a) Đối với cực trị yếu * Đường cong C phải là đường cực trị thoả mãn điều kiện biên (tức là nghiệm phương trình Euler và điều kiện biên). * Đường cực trị C phải nằm trong trường các đường cực trị hoặc điều kiện Jacobi. * Hàm E(x, y, y ′ , p) không thay dấu với mọi điểm (x, y) gần với đường C và với các giá trị y ′ gần với giá trị p(x, y). Trường hợp cực tiểu E ≥ 0, trường hợp cục đại E ≤ 0. b) Đối với cực trị mạnh * Đường cong C phải là đường cực trị, thoả mãn điều kiện biên (thoả mãn phương trình Euler và điều kiện biên). * Đường C phải nằm trong trường các đường cực trị hoặc điều kiện Jacobi. * Hàm E(x, y, y ′ , p) không thay dấu với mọi điểm (x, y) gần với đường C và với giá trị y ′ bất kì. Trường hợp cực tiểu E ≥ 0, trường hợp cục đại E ≤ 0. Ta xét cực trị của phiếm hàm ∫a J[y] = y ′3 dx 0 y(0) = 0, y(a) = b; a > 0, b > 0. Ta nhận được các đường cực trị là những đường thẳng y = C1 x + C2 . Cực trị b chỉ có thể đạt trên đường thẳng y = x. Họ đường thẳng y = C1 x với tâm a b (0, 0) lập thành trường xuyên tâm có chứa đường cực trị y = x. Hàm a E(x, y, y ′ , p) = y ′3 − p3 − 3p2 (y ′ − p) = (y ′ − p)2 (y ′ + 2p). b b Trên đường cực trị y = x có độ dốc p = > 0, nếu y ′ lấy giá trị gần với a a b p = thì E ≥ 0, do đó các điều kiện đủ của cực tiểu yếu được thả mãn. Vậy a 3.4 Điều kiện đủ của cực trị mạnh 42 b trên đường cực trị y = x phiếm hàm đạt cực tiểu yếu. Nếu y ′ lấy giá trị bất a kì, hàm E sẽ không giữ nguyên dấu. Điều kiện đủ đạt cực tiểu mạnh không b thoả mãn. Phiếm hàm không đạt cực tiểu mạnh trên y = x. a • Bảng tóm tắt các điều kiện đủ để phiếm hàm cực trị ∫x1 J[y] = F (x, y, y ′ )dx y(x0 ) = y0 , y(x1 ) = y1 (3.19) x0 Điều kiện I Cực tiểu yếu d 1. Fy − Fy′ = 0 dx 2. Điều kiện Jacobi 3. Fy′ y′ > 0 trên đường cực trị được khảo sát d Fy ′ = 0 dx 2. Điều kiện Jacobi 3. E(x, y, y ′ , p) ≥ 0 với các điểm (x, y) gần với các điểm trên đường cực trị đang khảo sát và với các giá trị y ′ gần với giá trị p(x, y). d 1. Fy − Fy′ = 0 dx 2. Tồn tại các đường cực trị chứa đường cực trị đang khảo sát. 3. E(x, y, y ′ , p) ≥ 0 với các điểm (x, y) gần với các điểm trên đường cực trị đang khảo sát và với các giá trị y ′ gần với giá trị p(x, y). 1. Fy − II III Cực tiểu mạnh d 1. Fy − Fy′ = 0 dx 2. Điều kiện Jacobi 3. Fy′ y′ (x, y, y ′ ) > 0 Với các điểm (x, y) gần với các điểm trên đường cực trị được khảo sát và với các giá trị y ′ bất kì. Khi đó giả thiết rằng hàm F (x, y, y ′ ) khả vi ba lần theo y ′ . d 1. Fy − Fy′ = 0 dx 2. Điều kiện Jacobi 3. E(x, y, y ′ , p) ≥ 0 với các điểm (x, y) gần với các điểm trên đường cực trị đang khảo sát và với các giá trị y ′ bất kì. d 1. Fy − Fy′ = 0 dx 2. Tồn tại trường các đường cực trị chứa đường cực trị đang khảo sát. 3. E(x, y, y ′ , p) ≥ 0 với các điểm (x, y) gần với các điểm trên đường cực trị đang xét và với các giá trị y ′ bất kì. Bảng 3.1: Tóm tắt các điều kiện đủ đạt cực trị của phiếm hàm (3.19). Lưu ý: Để nhận được các điều kiện đủ của cực đại trong bảng tóm tắt thì các bất đẳng thức phải lấy dấu ngược lại. Chương 4. Giải các bài toán Vật lý bằng phương pháp biến phân Các chương trước chúng tôi đã tìm hiểu về biến phân. Để hiểu rõ hơn, khái niệm về biến phân và tính chất của chúng trong chương này chúng tôi sẽ ứng dụng phương pháp biến phân để giải các bài toán Vật Lý. 4.1 Bài toán 1. Bài toán cơ bản Trong số tất cả các đường nối hai điểm cho trước A và B, tìm đường có độ dài ngắn nhất nối hai điểm này . Chúng ta có thể mô tả vấn đề này bằng hình vẽ sau: Hình 4.1: Một đường cong đơn giản Từ hình vẽ ta được: ds2 = dx2 + dy 2 = (1 + y ′2 )dx2 , (4.1) 4.2 Bài toán 2. Bài toán đường đoản thời 44 dy . Để tìm đường nối hai điểm A và B, ta lấy tích phân ds cận từ a dx ∫b đến b, tức là ds. Tuy nhiên ta có thể thay ds bằng phương trình (4.1). với y ′ = a Như vậy ta có biểu thức thể hiện chiều dài của đường cần tìm là ∫b √ J[y] = 1 + y ′2 dx. a Đặt F = ∫b √ 1 + y ′2 dx. a Phương trình Euler có dạng ∂F d ∂F − = 0. ∂y dx ∂y ′ ∂F Ta có: = 0, ∂y y′ ∂F √ = . Vậy ∂y ′ 1 + y ′2 y′ d √ = 0, dx 1 + y ′2 hay là √ y′ 1 + y ′2 = C = const, =⇒ y ′ = √ C = A. 1 − C2 Với A là một hằng số khác =⇒ y = Ax + B. Vậy đường có độ dài ngắn nhất nối hai điểm A và B là đường thẳng. 4.2 Bài toán 2. Bài toán đường đoản thời Xác định định đường cong nối hai diểm A và B để một chất điểm trượt trên đó từ A xuống B trong khoảng thời gian ngắn nhất (bỏ qua ma sát và lực cản). Đặt gốc toạ độ tại điểm A, trục Ox hướng ngang, trục Oy hướng xuống (như hình vẽ): 4.2 Bài toán 2. Bài toán đường đoản thời 45 Hình 4.2: Một hạt trượt xuống một đường cong ma sát từ điểm O đến B. Chọn A(0, 0) ≡ O. Áp dụng định luật bảo toàn cơ năng, ta được: ( )2 1 ds m − mgy = 0. 2 dt Từ đây ta có ds √ = 2gy. dt Chúng ta cần giảm thiểu biến thời gian. Vì vậy chúng ta xây dựng tích phân phù hợp và xét tổng thời gian thực hiện T như là một hàm theo đường cong y ∫b dt. T (y) = x=0 Ta thay v = ds vào (4.2) dt ∫b T (y) = ds . v x=0 √ Sử dụng công thức v = 2gy, ta được ∫b √ T (y) = 1 + y ′2 dx. 2gy 0 Ứng dụng phương trình Euler - Lagrange với √ 1 + y ′2 F = . √ y (4.2) 4.2 Bài toán 2. Bài toán đường đoản thời Vì F không chứa x nên phương trình Euler - Lagrange có dạng: F − y ′ hay √ 1 √ 1 + y ′2 y = . c √ dy 1 − c2 y y′ = = . dx c2 y √ c2 y dx = dy. 1 − c2 y 46 ∂F = c, ∂y ′ (4.3) (4.4) (4.5) Đặt 1 c2 y = (1 − cosθ) 2 1 ⇐⇒ 1 − c2 y = (1 + cosθ). 2 Đạo hàm 2 vế của (4.7 ), ta được dy = 1 sinθdθ. 2c2 (4.6) (4.7) (4.8) Mặt khác θ θ θ cosθ = cos2 = 1 − 2sin2 = 2cos2 − 1, 2 2 2 θ θ θ sinθ = sin2 = 2sin cos . 2 2 2 (4.9) (4.10) Ta có thể viết θ 1 − cosθ = 2sin2 , 2 θ 1 + cosθ = 2cos2 . 2 Thay (4.10) vào (4.8), ta được dy = θ θ 1 sin cos dθ. c2 2 2 (4.11) (4.12) (4.13) Ta thế (4.11) và (4.12) vào (4.5) √ θ c2 y 1 sin 2 θ θ 1 2θ dy = sin cos dθ = sin dθ θ 1 − c2 y c2 2 2 c2 2 cos 2 = 1 (1 − cosθ)dθ. 2c2 (4.14) (4.15) 4.2 Bài toán 2. Bài toán đường đoản thời Lấy tích phân 2 vế (4.5), ta được ∫ √ c2 y dy = 1 − c2 y Trở thành 1 2c2 47 ∫ ∫ dx. (4.16) ∫ (1 − cosθ)dθ = dx, (4.17) suy ra 1 (θ − sinθ) = x + c′ . (4.18) 2 2c đường cong đi qua A(0, 0). Khi x = 0 , y cũng phải bằng 0. Nhưng 1 y = 2 (1 − cosθ), vì thế y = 0, θ cũng phải bằng 0. Do đó, x = θ = 0 phải 2c thoả mãn phương trình trên và c′ = 0. Kết quả là, đường cong cần tìm được xác định bởi phương trình tham số x= 1 (θ − sinθ), 2c2 y= 1 (1 − cosθ). 2c2 Đây chính là phương trình một đường Cycloid. Vậy đường đoản thời là đường Cycloid. Hình 4.3: Đường Cycloid đi từ (0, 0). 4.3 Bài toán 3.Ứng dụng của bài toán đường đoản thời trong hiện tượng sóng biển. 48 4.3 Bài toán 3.Ứng dụng của bài toán đường đoản thời trong hiện tượng sóng biển. Ta biết, sóng trên bề mặt chất lỏng lan truyền thoả mãn một hệ thức xác 2π định giữa tần số góc ω và vectơ sóng k = , trong đó λ là bước sóng. Hệ λ dω . thức tán sắc là hệ thức ω = ω(k). Vận tốc của sóng là v(k) = dk Trong một chất lỏng có đáy phẳng, độ sâu h, biểu thức tán sắc là {√ √ ghk cạn (kh ≪ 1) √ ω(k) = gk tanh kh ≈ gk sâu (kh ≫ 1). Chúng ta xét trong trường hợp cạn, nơi bước sóng λ lớn hơn đáng kể so với chiều sâu h của chất lỏng. Đây là trường hợp sóng biển đập vào bờ biển. Giả √ sử rằng vận tốc không đổi và v(h) = gh. Hình 4.4: Đối với sóng nước cạn, v = √ gh Chọn hệ toạ độ để xét với : x là khoảng cách song song với bờ biển, y là khoảng cách vuông góc với bờ biển (y = 0) và h(y) là độ sâu. Giả sử h(y) là một hàm thay đổi chậm theo y phải thoả mãn h(0) = 0. Giả sử có một sự nhiễu loạn tạo ra sóng trong đại dương tại vị trí (x2 , y2 ) lan 4.4 Bài toán 4. Ứng dụng phép tính biến phân để tìm đường truyền tia sáng. 49 truyền cho đến khi nó đạt đến bờ tại vị trí (x1 , y1 = 0). Thời gian lan truyền là ∫ ∫x2 √ ds 1 + y ′2 T [y(x)] = = dx. v gh(y) x1 Đặt √ F (x, y, y ′ ) = 1 + y ′2 . gh(y) Như bài toán đường đoản thời vừa xét ở trên, F không phụ thuộc x nên phương trình Euler - Lagrange có dạng H= ∂F y′ ′ ∂y 1 − F = −[gh(y)(1 + y )] 2 ′2 − , với H là hằng số, suy ra √ dy y′ = = dx 1 −1= gH 2 h(y) √ a − 1, h(y) 1 là hằng số. Khi y = 0 thì h(y) → 0. Lúc này sóng biển sẽ chuyển gH 2 động dọc theo bờ biển. Nếu h(y) = αy thì kết quả lại là một đường Cycloid. { x = b(θ − sinθ) y = b(1 − cosθ), với a = 2a . α √ Vậy khi sóng tiến vào bờ, nó phải giảm tốc độ vì v = gh đang giảm dần. Nhưng năng lượng được bảo toàn, có nghĩa là biên độ phải đồng thời tăng lên.Vậy khi sóng tiến tới gần bờ thì mực nước ở bờ biển tăng lên có thể là 20m hoặc cao hơn. trong đó, b = 4.4 Bài toán 4. Ứng dụng phép tính biến phân để tìm đường truyền tia sáng. Trong môi trường có chiết suất thay đổi một cách liên tục, quang lộ của đường truyền tia sáng từ điểm A đến điểm B nào đó trong không gian có dạng ∫B ∆ = n(σ)ds với σ là một tham số nào đó. A 4.4 Bài toán 4. Ứng dụng phép tính biến phân để tìm đường truyền tia sáng. 50 Ta xem trong lớp chất gần như đồng tính, chiết suất n(σ) dày dσ theo phương pháp tuyến. Gọi i(σ) là góc hợp bởi tia sáng và pháp tuyến. Khi đó quang lộ có thể được viết ∫B n(σ) ∆= dσ. cosi(σ) A Đây là biểu thức phụ thuộc vào dạng hàm n(σ). Ta có thể thấy, khi truyền từ môi trường chiết suất bé sang lớn, chiết suất n tăng. Ví dụ, để quang lộ đạt cực tiểu thì cosi(σ) tăng lên, tức là góc i(σ) giảm dần. Điều đó chứng tỏ, ánh sáng truyền từ môi trường chiết suất bé sang môi trường chiết suất lớn thì càng bị bẻ cong về phía pháp tuyến. Và ở đây chúng ta ứng dụng phép tính biến phân để tìm góc hợp bởi tia sáng và pháp tuyến đó là góc i(σ). Tìm đường truyền tia sáng đi từ điểm A đến điểm B nào đó Cho phiếm hàm ∫b J[y] = F (x, y, y ′ )dx. (4.19) a Phương trình Euler có dạng ∂F d ∂F = 0, − ∂y dx ∂y ′ với c là hằng số. Giả sử trong không gian Oxyz, chiết suất của môi trường phụ thuộc vào toạ độ (x, y) và ở đây ta chỉ xét tia sáng truyền trong mặt phẳng Oxy. Khi đó, quang lộ của đường truyền tia sáng từ A đến B là: √( ) ( )2 ∫B ∫B 2 dx dy ∆ = n(x, y)ds = n(x, y) + dσ. (4.20) dσ dσ A A Trong đó σ là một tham số, giả sử σ ≡ x. Đồng nhất hai biểu√ thức (4.19) và (4.20) ∆ ≡ J[y] và n(x, y) 1 + y ′2 ≡ F (y, y ′ ) Phương trình Euler đối với hàm lấy tích phân F là ( ) ∂F d ∂F ∂n √ dn y′ y ′′ ′2 √ = ⇒ 1+y = + n (√ )3 ∂y dx ∂y ′ ∂y dx 1 + y ′2 1 + y′ ⇒ y ′ (1 + y ′2 ) dn ∂n + y ′′ n = (1 + y ′2 )2 dx ∂y 4.4 Bài toán 4. Ứng dụng phép tính biến phân để tìm đường truyền tia sáng. [ ] ∂n ∂n ⇒ y ′′ n = − y′ (1 + y ′2 ). ∂y ∂x 51 (4.21) Đường truyền của tia sáng đi từ điểm A đến điểm B trên mặt phẳng Oxy là nghiệm của phương trình vi phân (4.21) với điều kiện biên: yA = y(xA ) và yB = y(xB ). Các điểm trong không gian có cùng chiết suất tạo với nhau một mặt, mà trong mặt phẳng Oxy nó là một đường có phương trình n = n(x, y), có thể tạm ( gọi là mặt ) phân cách. Tại một điểm, vector pháp tuyến của đường này là ∂n ∂n ⃗v = ; . ∂x ∂y Đường truyền tia sáng y = y(x) có vector tiếp tuyến tại một điểm là ⃗u = (1; y ′ ). Góc hợp bởi vector tiếp tuyến của đường truyền tia sáng và vector pháp tuyến của mặt phân cách là i = (x, y). Ta có ∂n ∂n − y′ |[⃗v × ⃗u]| ∂y ∂x sini = . (4.22) = √( ) ( )2 2 |⃗v ||⃗u| √ ∂n ∂n 1 + y ′2 + ∂y ∂x Mặt khác, tại mỗi điểm trên đường truyền tia sáng có bán kính cong √ (1 + y ′2 )3 . R= y ′′ (4.23) Thay (4.22) và (4..23) thay vào (4.21) ta được mối quan hệ sau R.sini = √( n ∂n ∂x )2 + ( ∂n ∂y )2 . (4.24) * Xét trường hợp chiết suất phân bố theo một phương y, không phụ thuộc vào x. Phương trình Euler có dạng ∂F F − y ′ ′ = α, Trong đó α là hằng số. ∂y √ ny ′2 ⇔ n 1 + y ′2 − √ =α 1 + y ′2 √ ⇔ n(1 + y ′2 ) − ny ′2 = α 1 + y ′2 ⇔ n2 = α2 (1 + y ′2 ) 4.5 Bài toán 5. Hàm sóng Fang - Howard √ y′ = ⇒ ∫yB √ x= yA 52 n2 − α2 α α dy. n2 − α 2 (4.25) Biểu thức (4.22) trở thành 1 α = sin i = √ n 1 + y ′2 ⇒ nsin i = α. (4.26) Từ biểu thức (4.26) ta có thể suy ra định luật khúc xạ. Từ biểu thức (4.26), ta giả sử tia sáng được chiếu vào môi trường từ điểm O với góc tới i0 thì nsin i = n0 sin i0 thay vào biểu thức (4.25), rút ra được ∫y x = n0 sin i0 0 dy √ n2 (y) − n0 2 sin2 i0 và sin i(y) = n0 sin i0 n(y) • Khi i0 = 0 thì x = 0, tức tia sáng truyền thẳng theo pháp tuyến các mặt phân cách. • Khi n(y) = n0 thì i = i0 và x = ytan i, tức tia sáng truyền thẳng trong môi trường đồng chất. 4.5 Bài toán 5. Hàm sóng Fang - Howard Chúng tôi tính hàm sóng và năng lượng điện tử ở trạng thái cơ bản theo phương pháp biến phân. Trong các chất bán dẫn tồn tại cấu trúc MIS (Kim loại - Chất điện môi - Chất bán dẫn), giếng lượng tử có dạng hình tam giác, như hình 4.5. Thế năng cơ bản có dạng U (x) = Epot (x) = eξx. Sử dụng hàm ψ(x, α) = Axe−αx . Trong đó A là một hằng số và α là một tham số, được gọi là tham số biến phân. Hãy tính hằng số A, tham số biến phân α và năng lượng E ở trạng thái cơ bản bằng phương pháp biến phân. 4.5 Bài toán 5. Hàm sóng Fang - Howard 53 Hình 4.5: Hình minh hoạ. Sử dụng điều kiện chuẩn hoá để tìm hằng số A, tức là: ⟨ψ | ψ⟩ = 1 hay ∫∞ A2 x2 e−2αx dx = 1 (4.27) 0 Ta có ∫b I = lim b→∞ x2 e−2αx dx 0 Tính tích phân ∫b x2 e−2αx dx 0 Đặt Suy ra { u = x2 dv = e−2αx dx   du = 2xdx −1 −2αx v= e 2α (4.28) 4.5 Bài toán 5. Hàm sóng Fang - Howard Ta được −x2 −2αx b 1 e |0 + 2α 2α ∫b 54 xe−2αx dx 0 Đặt ∫b J= xe−2αx dx 0 Tương tự ta được b 1 1 b2 −2αb − e − 2 e−2αb − 3 e−2αb + 3 2α 2α 4α 4α Thế vào (4.28) −1 lim ((2α2 b2 − 2αb − 1)e−2αx − 1) 3 4α b→∞ ( 2 2 ) 1 1 2α b − 2αb − 1 = 3 − 3 lim 4α 4α b→∞ e2αx I= Do ( 2α2 b2 − 2αb − 1 lim b→∞ e2αx 1 ( Vì tính chất: với β > 0, limn→∞ β = 0 ) n Thế vào (4.27), ta được A2 . ) =0 1 =1 4α3 Suy ra A = 2α3/2 Sử dụng giá trị trung bình để tìm α, d ⟨E⟩ = 0 dα ψ(α; x) = Axe−αx ⟨E⟩ = ⟨ψ | H | ψ⟩ Mặt khác − 2 d2 + eξx 2m dx2 ] [ 2 2 ∫ ∞ d −αx − + eξx Axe−αx . ⟨ψ | H | ψ⟩ = dxAxe 2 2m dx 0 H= 4.5 Bài toán 5. Hàm sóng Fang - Howard 55 2 5 2 2 1 = α − α + eξ m 6 2α 2 1 eξ = α2 + 6m 2α 2 Ta có: d d ⟨E⟩ = ⟨ψ | H | ψ⟩ = 0 dα dα 2 1 ⇐⇒ α − eξα−2 = 0 3m 2 2 1 ⇐⇒ α = eξα−2 3m 2 3 meξ ⇐⇒ α3 = 2 2 )1 ( 3 eξm 3 =⇒ α = 2 2 Tính E0 , ta có ⟨E⟩ = ⟨ψ(x, α) | H | ψ(x, α)⟩, mặc khác ⟨ψ(x, α) | H | ψ(x, α)⟩ = mà ( α= 3 eξm 2 2 ( ) 23 2 6m α2 + 1 eξ , 2α ) 13 . Thay α vào ( 4.29 ) 2 3 eξm ⟨E0 ⟩ = 6m 2 2 eξ 1 + ( 2 3 eξm ) 31 2 ( 2 )2 ( ) −1 3 eξm 3 1 3 eξm 3 + eξ = 6m 2 2 2 2 2 ( )2 ( ) −1 1 3 eξm 3 3 1 3 e−3 ξ −3 eξm 3 = + 2 6 2 m 32 2 2 2 ( ( ) 23 ) −1 1 3 eξ 1 3 e−2 ξ −2 m 3 = + 2 6 2 m 12 2 2 2 (4.29) 4.5 Bài toán 5. Hàm sóng Fang - Howard ( ( ) 23 ) 23 4 3 eξ 1 3 eξ = + 6 2 m 12 3 2 m 12 ( )2 ( ) 3 eξ 3 3 1 4 = + 2 m 12 6 3 ( ) 23 3 3 eξ = . 2 2 m 21 56 (4.30) Giả thuyết cho rằng điện trường trong GaAs là ξ = 7.104 V /cm trong trường hợp điện áp duy trì (có điện). Tính toán năng lượng ở trạng thái cơ bản của các electron trong GaAs (m = 0, 067m0 ) bằng cách sử dụng hàm sóng Fang Howard. Thế các giá trị vào (4.30 ), ta được ⟨E0 ⟩ = 0, 075eV = 75meV. Vây ⟨E0 ⟩ = 75meV. Kết Luận Chung Qua quá trình thực hiện đề tài "phép tính biến phân và ứng dụng trong vật lý" đã giúp tôi biết và hiểu rõ hơn một khái niệm mới mẻ nhưng lại có nhiều ứng dụng trong vật lý. Đối chiếu với mục đích nghiên cứu, đề tài: “phép tính biến phân và ứng dụng trong vật lý” đã cơ bản hoàn thành những nhiệm vụ đề ra: 1. Thông qua việc nghiên cứu đề tài này trang bị cho tôi kiến thức mới về phép tính biến phân. 2.Nắm được những khái niệm cơ bản nhất và các phương pháp của phép tính biến phân. 3. Khảo sát về các điều kiện cần để phiếm hàm đạt cực trị và các điều kiện đủ của cực trị phiếm hàm. 4. Biết và giải được những bài tập vật lý bằng phương pháp biến phân. Mặt khác khi tìm hiểu phép tính biến phân tôi còn nhận thấy điều quan trọng rằng, nó không chỉ mang tính chất toán học mà nó còn có một ý nghĩa vật lý sâu sắc, nó thực sự là một công cụ phục vụ đắc lực cho việc nghiên cứu vật lý. Nó cũng giúp tôi hiểu ra rằng lý thuyết không hề xa rời thực tế cuộc sống, hiểu được vai trò của vật lý trong khoa học và kỹ thuật. Là nền tản cho công tác và học tập tiếp theo của bản thân. Qua thời gian thực hiện đề tài nghiêm túc, khẩn trương tôi đã bước đầu hiểu và làm quen với công tác nghiên cứu khoa học. . . Mặc dù đã rất cố gắng nhưng chắc rằng không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Tôi chân thành cảm ơn mọi ý kiến đóng góp của quý Thầy Cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tài liệu tham khảo [1] Dương Hiếu Đẩu, Giáo trình Vật Lý thống kê, NXB Đại học Cần Thơ (2010). [2] Đào Huy Bích, Phép tính biến phân, Đại học Quốc gia Hà Nội (2001). [3] Hoàng Dũng, Nhập môn cơ học lượng tử, NXB Đại học khoa học Tự nhiên (1999). [4] http://www.hep.caltech.edu/ fcp/math/variationalCalculus/variationalCalculus.pdf, trang web: http://www.hep.caltech.edu. [5] Dịch bởi: Nguyễn Tân Khoa, Hướng dẫn sử dụng Latex, Trang web: CTAN:/tex-archive/info/lshort (2003). [6] Phần mềm Latex, Miktex2.8 - Texmaker. [7] Phần mền Từ điển chuyên ngành Anh - Việt. [...]... thì b(x) vi phân được và a(x) − b′ (x) = 0 • Khái niệm vi phân của phiếm hàm Xét phiếm hàm J[y] và gia số của nó: △J = J[y + h] − J[y], 1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân Phương trình Euler tương ứng với gia số h của "biến" y Nếu y cố định thi △J là phiếm hàm của h i) Vi phân của phiếm hàm △J[h] = φ[h] + α ∥ h ∥ Ta gọi vi phân hay biến phân △J là phiếm hàm của J là phần tuyến tính φ[h] của... của cực trị phiếm hàm 3.1 Biến phân cấp hai Công thức biến phân cấp hai Cho phiếm hàm J[x, y], phụ thuộc vào hai phân tử x và y thuộc không gian tuyến tính nào đó, ta nói phiếm hàm này là song tuyến tính, nếu nó tuyến tính với từng đối số Nếu đặt y = x, ta được biểu thức gọi là phiếm hàm toàn phương Phiếm hàm song tuyến tính trong không gian hữu hạn chiều gọi là dạng song tuyến tính Nó có thể viết dưới... đạo hàm biến phân bằng không ta thu được phương trình Euler Ta có thể mở rộng định nghĩa đạo hàm biến phân cho phiếm hàm J[y] bất kỳ Cho y một gia số h(x) khác không trong lân cận của điểm x nào đó và tính gia số phiếm hàm J[y + h] − J[y] (1.45) Chia gia số này cho diện tích ∆s, giới hạn bởi đường cong h(x) và trục x J[y + h] − J[y] ∆s (1.46) 1.6 Đạo hàm biến phân 13 Ta được đạo hàm biến phân của... − 2)2 + x2 = 5 ii) Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc vào x ∫ J[y] = b F (y, y ′ )dx (1.31) a Vì hàm không phụ thuộc vào x nên ∂F = 0, ∂x (1.32) và F là một hàm của y và y ′ y = y(x), vì thế F vẫn phải ngầm phụ thuộc vào x qua y và y ′ dF ∂F ∂F dy ∂F dy ′ ∂F ′ ∂F ′′ = + + ′ = y + ′y dx ∂x ∂y dx ∂y dx ∂y ∂y (1.33) 1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân Phương trình Euler Ngoài ra, ( (... toán với biên di động 23 Đây là công thức tổng quát của biến phân đối với phiếm hàm phụ thuộc vào một hàm Trường hợp biến phận trong bài toán biến phân đơn giản (δx0 , δx1 = 0 và δy0 = δy1 = 0) là trường hợp riêng của bài toán này và biểu thức δJ thương ứng suy được từ (2.18) Xét trường hợp ∫x1 J[y] = F (x, yi , yi ′ )dx, (2.19) x0 phụ thuộc vào n hàm y1 , , yn , trong đó không có điều kiện gì đặt... (1.47) Chương 2 Các bài toán biến phân 2.1 Bài toán biến phân với biên cố định và n hàm cần tìm Xét phiếm hàm ∫ b J= F (x, yi , yi ′ )dx, (2.1) a phụ thuộc vào n hàm yi (i = 1, 2, , n), trong đó yi (x) thoả mãn các điều kiện biên yi (a) = Ai , yi (b) = Bi (i = 1, 2, , n) (2.2) và thiết lập điều kiện biên để phiếm hàm này đạt cực trị Nhằm mục đích đó ta tính biến phân của phiếm hàm Thay các hàm... (3.5) a Ta đưa biểu thức biến phân cấp hai về dạng thuận lợi hơn Tích phân từng phần, tính đến h(a) = h(b) = 0, ta được ∫b ′ ∫b ( 2Fyy′ hh dx = − a a ) d 2 Fyy′ h dx; dx 3.1 Biến phân cấp hai Công thức biến phân cấp hai 28 do đó công thức (3.5) đưa về dạng ∫b 2 δ J[h] = (Qh′ + P h′ )dx, 2 (3.6) a trong đó ( ) d 1 Fyy − Fyy′ , Q= 2 dx 1 P = Fy ′ y ′ 2 Đây là công thức của biến phân cấp hai của phiếm... khi h → 0 ii) Khái niệm cực trị yếu và cực trị mạnh • Cực trị yếu của phiếm hàm J là nói đến cực trị tại 1 lân cận nào đó • Cực trị mạnh là xét trên cả tập xác định iii) Định lý Để phiếm hàm J[y] đạt cực trị tại y = y0 thì điều kiện cần là vi phân của nó bằng 0 khi y = y0 1.4 Bài toán đơn giản của phép tính biến phân Phương trình Euler 1.4.1 Thiết lập bài toán biến phân đơn giản Giả thiết F (x, y, z)... hoặc một vài đường cong Xét ∫ b J[y] = (x, y)2 dx a Hàm dưới dấu tích phân không phụ thuộc y ′ Phương trình Euler có dạng Fy (x, y) = 0, Ta được −2(x − y) = 0, Nghiệm của nó là một đường thẳng y = x 1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến Trong các mục trên ta xét phiếm hàm phụ thuộc vào các hàm một biến, tiếp theo ta sẽ xét các phiếm hàm phụ thuộc vào hàm nhiều biến 1.5 Phiếm hàm phụ thuộc vào hàm... đó biến phân của phiếm hàm có dạng ) ∫∫ ( ∂ ∂ Fz − Fz h(x, y)dxdy δJ = Fz − ∂x x ∂y y G Để mặt z = z(x, y) là cực trị thì điều kiện cần là δJ = 0 với mọi h(x, y) thoả mãn các điều kiện đã nêu trên; theo bổ đề 1 tích phân trên bằng không suy ra phương trình Euler - Ostrogradsky Fz − 1.6 ∂ ∂ Fzx − Fzy = 0 ∂x ∂y (1.43) Đạo hàm biến phân Đạo hàm của biến phân có thể được định nghĩa, đạo hàm của biến phân