Giáo án BDHSG Toán 9 CHUYÊN ĐỀ 1: Năm học: 2012-2013 SỐ CHÍNH PHƯƠNG I. ĐỊNH NGHĨA: Số chính phương là số bằng bình phương đúng của một số nguyên. II. TÍNH CHẤT: 1. Số chính phương chỉ có thể có chữ số tận cùng bằng 0, 1, 4, 5, 6, 9 ; không thể có chữ số tận cùng bằng 2, 3, 7, 8. 2. Khi phân tích ra thừa số nguyên tố, số chính phương chỉ chứa các thừa số nguyên tố với số mũ chẵn. 3. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 4n hoặc 4n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 4n + 2 hoặc 4n + 3 (n ∈ N). 4. Số chính phương chỉ có thể có một trong hai dạng 3n hoặc 3n + 1. Không có số chính phương nào có dạng 3n + 2 (n ∈ N). 5. Số chính phương tận cùng bằng 1 hoặc 9 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 5 thì chữ số hàng chục là 2 Số chính phương tận cùng bằng 4 thì chữ số hàng chục là chữ số chẵn. Số chính phương tận cùng bằng 6 thì chữ số hàng chục là chữ số lẻ. 6. Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4. Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9. Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25. Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16. III. MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG A. DẠNG1: CHỨNG MINH MỘT SỐ LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài 1: Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 là số chính phương. Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y4 = (x2 + 5xy + 4y2)( x2 + 5xy + 6y2) + y4 Đặt x2 + 5xy + 5y2 = t ( t ∈ Z) thì A = (t - y2)( t + y2) + y4 = t2 –y4 + y4 = t2 = (x2 + 5xy + 5y2)2 V ì x, y, z ∈ Z nên x2 ∈ Z, 5xy ∈ Z, 5y2 ∈ Z ⇒ x2 + 5xy + 5y2 ∈ Z Vậy A là số chính phương. Bài 2: Chứng minh tích của 4 số tự nhiên liên tiếp cộng 1 luôn là số chính phương. Gọi 4 số tự nhiên, liên tiêp đó là n, n + 1, n+ 2, n + 3 (n ∈ N). Ta có n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n.(n + 3(n + 1)(n + 2) + 1 1 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 = (n2 + 3n)( n2 + 3n + 2) + 1 (*) Đặt n2 + 3n = t (t ∈ N) thì (*) = t( t + 2 ) + 1 = t2 + 2t + 1 = ( t + 1 )2 = (n2 + 3n + 1)2 Vì n ∈ N nên n2 + 3n + 1 ∈ N Vậy n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 là số chính phương. Bài 3: Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + . . . + k(k+1)(k+2) Chứng minh rằng 4S + 1 là số chính phương . 1 1 k(k+1)(k+2).4 = k(k+1)(k+2).[(k+3) – (k-1)] 4 4 1 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) - k(k+1)(k+2)(k-1) 4 4 1 1 1 1 1 ⇒ S = .1.2.3.4 - .0.1.2.3 + .2.3.4.5 - .1.2.3.4 +…+ k(k+1)(k+2)(k+3) 4 4 4 4 4 1 1 k(k+1)(k+2)(k-1) = k(k+1)(k+2)(k+3) 4 4 Ta có k(k+1)(k+2) = 4S + 1 = k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 Theo kết quả bài 2 ⇒ k(k+1)(k+2)(k+3) + 1 là số chính ph ương. Bài 4: Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; … Dãy số trên được xây dựng bằng cách thêm số 48 vào giữa số đứng trước nó. Chứng minh rằng tất cả các số của dãy trên đều là số chính phương. Ta có 44…488…89 = 44…488..8 + 1 = 44…4 . 10n + 8 . 11…1 + 1 n chữ số 4 n-1 chữ số 8 n chữ số 4 n chữ số 8 n chữ số 1 = 4. n chữ số 4 10 n − 1 10 n − 1 4.10 2 n − 4.10 n + 8.10 n − 8 + 9 4.10 2 n + 4.10 n + 1 . 10n + 8. +1= = 9 9 9 9 2 n  2.10 + 1   =  3   Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng các chữ số chia hết cho 3 nên nó chia hết cho 3 n-1 chữ số 0 2  2.10 + 1   ⇒  3   n ∈ Z hay các số có dạng 44…488…89 là số chính phương. Bài 5: Chứng minh rằng các số sau đây là số chính phương: A = 11…1 + 44…4 + 1 2n chữ số 1 n chữ số 4 2 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 B = 11…1 + 11…1 + 66…6 + 8 2n chữ số 1 n+1 chữ số 1 n chữ số 6 C = 44…4 + 22…2 + 88…8 + 7 2n chữ số 4 n+1 chữ số 2  10 n + 2   Kết quả: A =  3   2 ; n chữ số 8  10 n + 8   B =  3   2 ;  2.10 n + 7   C =  3   2 Bài 6: Chứng minh rằng các số sau là số chính phương: a. A = 22499…9100…09 n-2 chữ số 9 n chữ số 0 b. B = 11…155…56 n chữ số 1 n-1 chữ số 5 a. A = 224.102n + 99…9.10n+2 + 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2 – 1 ) . 10n+2 + 10n+1 + 9 = 224.102n + 102n – 10n+2 + 10n+1 + 9= 225.102n – 90.10n + 9 = ( 15.10n – 3 ) 2 ⇒ A là số chính phương b. B = 111…1555…5 + 1 = 11…1.10n + 5.11…1 + 1 n chữ số 1 n chữ số 5 = = n chữ số 1 n chữ số 1 10 n − 1 10 n − 1 10 2 n − 10 n + 5.10 n − 5 + 9 . 10n + 5. +1= 9 9 9 10 2n  10 + 2  + 4.10 + 4  =  9  3  n 2 n là số chính phương ( điều phải chứng minh) Bài 7: Chứng minh rằng tổng các bình phương của 5 số tự nhiên liên tiếp không thể là một số chính phương Gọi 5 số tự nhiên liên tiếp đó là n-2, n-1, n , n+1 , n+2 (n ∈ N , n ≥2 ). Ta có ( n-2)2 + (n-1)2 + n2 + ( n+1)2 + ( n+2)2 = 5.( n2+2) Vì n2 không thể tận cùng bởi 3 hoặc 8 do đó n2+2 không thẻ chia hết cho 5 ⇒ 5.( n2+2) không là số chính phương hay A không là số chính phương 3 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Bài 8: Chứng minh rằng số có dạng n6 – n4 + 2n3 + 2n2 trong đó n ∈ N và n>1 không phải là số chính phương n6 – n4 + 2n3 +2n2 = n2.( n4 – n2 + 2n +2 ) = n2.[ n2(n-1)(n+1) + 2(n+1) ] = n2[ (n+1)(n3 – n2 + 2) ] = n2(n+1).[ (n3+1) – (n2-1) ]= n2( n+1 )2.( n2–2n+2) Với n ∈ N, n >1 thì n2-2n+2 = (n - 1)2 + 1 > ( n – 1 )2 và n2 – 2n + 2 = n2 – 2(n - 1) < n2 Vậy ( n – 1)2 < n2 – 2n + 2 < n2 ⇒ n2 – 2n + 2 không phải là một số chính phương. Bài 9: Cho 5 số chính phương bất kì có chữ số hàng chục khác nhau còn chữ số hàng đơn vị đều là 6. Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là một số chính phương Cách 1: Ta biết một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nó là số lẻ. Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là 1,3,5,7,9 khi đó tổng của chúng bằng 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương Cách 2: Nếu một số chính phương M = a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số tận cùng của a là 4 hoặc 6 ⇒ a 2 ⇒ a2  4 Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì hai chữ số tận cùng của M chỉ có thể là 16, 36, 56, 76, 96 ⇒ Ta có: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 52 là số chính phương. Bài 10: Chứng minh rằng tổng bình phương của hai số lẻ bất kỳ không phải là một số chính phương. a và b lẻ nên a = 2k+1, b = 2m+1 (Với k, m ∈ N) ⇒ a2 + b2 = (2k+1)2 + (2m+1)2 = 4k2 + 4k + 1 + 4m2 + 4m + 1 = 4(k2 + k + m2 + m) + 2 = 4t + 2 (Với t ∈ N) Không có số chính phương nào có dạng 4t + 2 (t ∈ N) do đó a2 + b2 không thể là số chính phương. Bài 11: Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p - 1 và p + 1 không thể là các số chính phương. Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p 2 và p không chia hết cho 4 (1) a. Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (m ∈ N) Vì p chẵn nên p+1 lẻ ⇒ m2 lẻ ⇒ m lẻ. Đặt m = 2k+1 (k ∈ N). Ta có m2 = 4k2 + 4k + 1 ⇒ p+1 = 4k2 + 4k + 1 ⇒ p = 4k2 + 4k = 4k(k+1)  4 mâu thuẫn với (1) ⇒ p+1 là số chính phương b. p = 2.3.5… là số chia hết cho 3 ⇒ p-1 có dạng 3k+2. 4 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Không có số chính phương nào có dạng 3k+2 ⇒ p-1 không là số chính phương . Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương Bài 12: Giả sử N = 1.3.5.7…2007. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp 2N-1, 2N và 2N+1 không có số nào là số chính phương. a. 2N-1 = 2.1.3.5.7…2007 – 1 Có 2N  3 ⇒ 2N-1 không chia hết cho 3 và 2N-1 = 3k+2 (k ∈ N) ⇒ 2N-1 không là số chính phương. b. 2N = 2.1.3.5.7…2007 Vì N lẻ ⇒ N không chia hết cho 2 và 2N  2 nhưng 2N không chia hết cho 4. 2N chẵn nên 2N không chia cho 4 dư 1 ⇒ 2N không là số chính phương. c. 2N+1 = 2.1.3.5.7…2007 + 1 2N+1 lẻ nên 2N+1 không chia hết cho 4 2N không chia hết cho 4 nên 2N+1 không chia cho 4 dư 1 ⇒ 2N+1 không là số chính phương. Bài 13: Cho a = 11…1 ; b = 100…05 Chứng minh 2008 chữ số 1 ab + 1 là số tự nhiên. 2007 chữ số 0 10 2008 − 1 Cách 1: Ta có a = 11…1 = ; b = 100…05 = 100…0 + 5 = 102008 + 5 9 2008 chữ số 1 2007 chữ số 0 2008 chữ 2 số 0 ⇒ ab+1 = ab + 1 = Ta thấy 10 2008  10 2008 + 2  (10 2008 − 1)(10 2008 + 5) (10 2008 ) 2 + 4.10 2008 − 5 + 9  +1= =  3 9 9    10 2008 + 2    3   2 10 2008 + 2 = 3 10 2008 + 2 + 2 = 100…02  3 nên 3 ∈ N hay ab + 1 là số tự nhiên. 2007 chữ số 0 Cách 2: b = 100…05 = 100…0 – 1 + 6 = 99…9 + 6 = 9a +6 2007 chữ số 0 2008 chữ số 0 ⇒ ab+1 = a(9a +6) + 1 = 9a2 + 6a + 1 = (3a+1)2 ⇒ ab + 1 = (3a + 1) 2 = 3a + 1 N ∈ 5 2008 chữ số 9 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 B. DẠNG 2: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC LÀ SỐ CHÍNH PHƯƠNG Bài1: Tìm số tự nhiên n sao cho các số sau là số chính phương: a. n2 + 2n + 12 b. n ( n+3 ) c. 13n + 3 d. n2 + n + 1589 Giải 2 a. Vì n + 2n + 12 là số chính phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k ∈ N) ⇒ (n2 + 2n + 1) + 11 = k2 ⇔ k2 – (n+1)2 = 11 ⇔ (k+n+1)(k-n-1) = 11 Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 ⇔ k+n+1 = 11 ⇔ k = 6 k–n-1=1 n=4 2 2 2 2 b. Đặt n(n+3) = a (n ∈ N) ⇒ n + 3n = a ⇔ 4n + 12n = 4a2 ⇔ (4n2 + 12n + 9) – 9 = 4a2 ⇔ (2n + 3) 2 - 4a2 = 9 ⇔ (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a)= 9 Nhận xét thấy 2n + 3 + 2a > 2n + 3 – 2a và chúng là những số nguyên dương, nên ta có thể viết (2n + 3 + 2a)(2n + 3 – 2a) = 9.1 ⇔ 2n + 3 + 2a = 9 ⇔ n = 1 2n + 3 – 2a = 1 a=2 2 c. Đặt 13n + 3 = y ( y ∈ N) ⇒ 13(n – 1) = y2 – 16 ⇔ 13(n – 1) = (y + 4)(y – 4) ⇒ (y + 4)(y – 4)  13 mà 13 là số nguyên tố nên y + 4  13 hoặc y – 4  13 ⇒ y = 13k ± 4 (Với k ∈ N) ⇒ 13(n – 1) = (13k ± 4 )2 – 16 = 13k.(13k ± 8) ⇒ n = 13k2 ± 8k + 1 Vậy n = 13k2 ± 8k + 1 (Với k ∈ N) thì 13n + 3 là số chính phương. d. Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m ∈ N) ⇒ (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2 ⇔ (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355 Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > 0 và chúng là những số lẻ, nên ta có thể viết (2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41 Suy ra n có thể có các giá trị sau: 1588; 316; 43; 28. Bài 2: Tìm a để các số sau là những số chính phương: a. a2 + a + 43 6 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 b. a2 + 81 c. a2 + 31a + 1984 Kết quả: a. 2; 42; 13 b. 0; 12; 40 c. 12; 33; 48; 97; 176; 332; 565; 1728 Bài 3: Tìm số tự nhiên n ≥ 1 sao cho tổng 1! + 2! + 3! + … + n! là một số chính phương . Với n = 1 thì 1! = 1 = 12 là số chính phương . Với n = 2 thì 1! + 2! = 3 không là số chính phương Với n = 3 thì 1! + 2! + 3! = 1+1.2+1.2.3 = 9 = 32 là số chính phương Với n ≥ 4 ta có 1! + 2! + 3! + 4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4 = 33 còn 5!; 6!; …; n! đều tận cùng bởi 0 do đó 1! + 2! + 3! + … + n! có tận cùng bởi chữ số 3 nên nó không phải là số chính phương . Vậy có 2 số tự nhiên n thỏa mãn đề bài là n = 1; n = 3. Bài 4: Tìm n ∈ N để các số sau là số chính phương: a. n2 + 2004 ( Kết quả: 500; 164) b. (23 – n)(n – 3) ( Kết quả: 3; 5; 7; 13; 19; 21; 23) 2 c. n + 4n + 97 d. 2n + 15 Bài 5: Có hay không số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. Giả sử 2006 + n2 là số chính phương thì 2006 + n2 = m2 (m ∈ N) Từ đó suy ra m2 – n2 = 2006 ⇔ (m + n)(m - n) = 2006 Như vậy trong 2 số m và n phải có ít nhất 1 số chẵn (1) Mặt khác m + n + m – n = 2m ⇒ 2 số m + n và m – n cùng tính chẵn lẻ (2) Từ (1) và (2) ⇒ m + n và m – n là 2 số chẵn ⇒ (m + n)(m - n)  4 Nhưng 2006 không chia hết cho 4 ⇒ Điều giả sử sai. Vậy không tồn tại số tự nhiên n để 2006 + n2 là số chính phương. Bài 6: Biết x ∈ N và x>2. Tìm x sao cho x(x-1).x(x-1) = (x-2)xx(x-1) 2 Đẳng thức đã cho được viết lại như sau: x(x-1) = (x-2)xx(x-1) Do vế trái là một số chính phương nên vế phải cũng là một số chính phương . Một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 0; 1; 4; 5; 6; 9 nên x chỉ có thể tận cùng bởi 1 trong các chữ số 1; 2; 5; 6; 7; 0 (1) 7 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Do x là chữ số nên x ≤ 9, kết hợp với điều kiện đề bài ta có x ∈ N và 2 < x ≤ 9 (2) Từ (1) và (2) ⇒ x chỉ có thể nhận 1 trong các giá trị 5; 6; 7. Bằng phép thử ta thấy chỉ có x = 7 thỏa mãn đề bài, khi đó 762 = 5776 Bài 7: Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số biết rằng 2n+1 và 3n+1 đều là các số chính phương. Ta có 10 ≤ n ≤ 99 nên 21 ≤ 2n+1 ≤ 199. Tìm số chính phương lẻ trong khoảng trên ta được 25; 49; 81; 121; 169 tương ứng với số n bằng 12; 24; 40; 60; 84. Số 3n+1 bằng 37; 73; 121; 181; 253. Chỉ có 121 là số chính phương. Vậy n = 40 Bài 8: Chứng minh rằng nếu n là số tự nhiên sao cho n+1 và 2n+1 đều là các số chính phương thì n là bội số của 24. Vì n+1 và 2n+1 là các số chính phương nên đặt n+1 = k2 , 2n+1 = m2 (k, m ∈ N) Ta có m là số lẻ ⇒ m = 2a+1 ⇒ m2 = 4a (a+1) + 1 4a (a + 1) m2 −1 ⇒ n= = = 2a(a+1) 2 2 ∈ ⇒ n chẵn ⇒ n+1 lẻ ⇒ k lẻ ⇒ Đặt k = 2b+1 (Với b N) ⇒ k2 = 4b(b+1) +1 ⇒ n = 4b(b+1) ⇒ n  8 (1) Ta có k2 + m2 = 3n + 2 ≡ 2 (mod3) Mặt khác k2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1, m2 chia cho 3 dư 0 hoặc 1. Nên để k2 + m2 ≡ 2 (mod3) thì k2 ≡ 1 (mod3) m2 ≡ 1 (mod3) ⇒ m2 – k2  3 hay (2n+1) – (n+1)  3 ⇒ n  3 (2) Mà (8; 3) = 1 (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ n  24. Bài 9: Tìm tất cả các số tự nhiên n sao cho số 28 + 211 + 2n là số chính phương . Giả sử 28 + 211 + 2n = a2 (a ∈ N) thì 2n = a2 – 482 = (a+48)(a-48) 2p.2q = (a+48)(a-48) Với p, q ∈ N ; p+q = n và p > q ⇒ a+48 = 2p ⇒ 2p – 2q = 96 ⇔ 2q (2p-q -1) = 25.3 a- 48 = 2q ⇒ q = 5 và p-q = 2 ⇒ p = 7 ⇒ n = 5+7 = 12 Thử lại ta có: 28 + 211 + 2n = 802 C. DẠNG 3: TÌM SỐ CHÍNH PHƯƠNG 8 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Bài 1: Cho A là số chính phương gồm 4 chữ số. Nếu ta thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta được số chính phương B. Hãy tìm các số A và B. Gọi A = abcd = k2. Nếu thêm vào mỗi chữ số của A một đơn vị thì ta có số B = (a+1)(b+1)(c+1)(d+1) = m2 với k, m ∈ N và 32 < k < m < 100 a, b, c, d ∈ N ; 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b, c, d ≤ 9 ⇒ Ta có A = abcd = k2 B = abcd + 1111 = m2 ⇒ m2 – k2 = 1111 ⇔ (m-k)(m+k) = 1111 (*) Nhận xét thấy tích (m-k)(m+k) > 0 nên m-k và m+k là 2 số nguyên dương. Và m-k < m+k < 200 nên (*) có thể viết (m-k)(m+k) = 11.101 Do đó m – k == 11 ⇔ m = 56 ⇔ A = 2025 m + k = 101 n = 45 B = 3136 Bài 2: Tìm 1 số chính phương gồm 4 chữ số biết rằng số gồm 2 chữ số đầu lớn hơn số gồm 2 chữ số sau 1 đơn vị. Đặt abcd = k2 ta có ab – cd = 1 và k ∈ N, 32 ≤ k < 100 Suy ra 101cd = k2 – 100 = (k-10)(k+10) ⇒ k +10  101 hoặc k-10  101 Mà (k-10; 101) = 1 ⇒ k +10  101 Vì 32 ≤ k < 100 nên 42 ≤ k+10 < 110 ⇒ k+10 = 101 ⇒ k = 91 ⇒ abcd = 912 = 8281 Bài 3: Tìm số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. Gọi số chính phương phải tìm là aabb = n2 với a, b ∈ N, 1 ≤ a ≤ 9; 0 ≤ b ≤ 9 Ta có n2 = aabb = 11.a0b = 11.(100a+b) = 11.(99a+a+b) (1) Nhận xét thấy aabb  11 ⇒ a + b  11 Mà 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 nên 1 ≤ a+b ≤ 18 ⇒ a+b = 11 Thay a+b = 11 vào (1) được n2 = 112(9a+1) do đó 9a+1 là số chính phương . Bằng phép thử với a = 1; 2; …; 9 ta thấy chỉ có a = 7 thỏa mãn ⇒ b = 4 Số cần tìm là 7744 Bài 4: Tìm một số có 4 chữ số vừa là số chính phương vừa là một lập phương. Gọi số chính phương đó là abcd . Vì abcd vừa là số chính phương vừa là một lập phương nên đặt abcd = x2 = y3 Với x, y ∈ N 9 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Vì y3 = x2 nên y cũng là một số chính phương . Ta có 1000 ≤ abcd ≤ 9999 ⇒ 10 ≤ y ≤ 21 và y chính phương ⇒ y = 16 ⇒ abcd = 4096 Bài 5: Tìm một số chính phương gồm 4 chữ số sao cho chữ số cuối là số nguyên tố, căn bậc hai của số đó có tổng các chữ số là một số chính phương. Gọi số phải tìm là abcd với a, b, c, d nguyên và 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b,c,d ≤ 9 abcd chính phương ⇒ d ∈{ 0,1,4,5,6,9} d nguyên tố ⇒ d = 5 Đặt abcd = k2 < 10000 ⇒ 32 ≤ k < 100 k là một số có hai chữ số mà k2 có tận cùng bằng 5 ⇒ k tận cùng bằng 5 Tổng các chữ số của k là một số chính phương ⇒ k = 45 ⇒ abcd = 2025 Vậy số phải tìm là 2025 Bài 6: Tìm số tự nhiên có hai chữ số biết rằng hiệu các bình phương của số đó và viết số bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương Gọi số tự nhiên có hai chữ số phải tìm là ab ( a,b ∈N, 1 ≤ a,b ≤ 9 ) Số viết theo thứ tự ngược lại ba 2 2 Ta có ab - ba = ( 10a + b ) 2 – ( 10b + a )2 = 99 ( a2 – b2 )  11 ⇒ a2 - b2  11 Hay ( a-b )(a+b )  11 Vì 0 < a - b ≤ 8 , 2 ≤ a+b ≤ 18 nên a+b  11 ⇒ a + b = 11 2 2 Khi đó ab - ba = 32 . 112 . (a - b) 2 2 Để ab - ba là số chính phương thì a - b phải là số chính phương do đó a-b = 1 hoặc a - b = 4 • Nếu a-b = 1 kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 6, b = 5, ab = 65 Khi đó 652 – 562 = 1089 = 332 • Nếu a - b = 4 kết hợp với a+b = 11 ⇒ a = 7,5 ( loại ) Vậy số phải tìm là 65 Bài 7: Cho một số chính phương có 4 chữ số. Nếu thêm 3 vào mỗi chữ số đó ta cũng được một số chính phương. Tìm số chính phương ban đầu ( Kết quả: 1156 ) Bài 8: Tìm số có 2 chữ số mà bình phương của số ấy bằng lập phương của tổng các chữ số của nó. Gọi số phải tìm là ab với a,b ∈N và 1 ≤ a ≤ 9 , 0 ≤ b ≤ 9 2 10 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3 ⇔ (10a+b)2 = ( a + b )3 ⇒ ab là một lập phương và a+b là một số chính phương Đặt ab = t3 ( t ∈N ) , a + b = l 2 ( l ∈N ) Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 hoặc ab = 64 • Nếu ab = 27 ⇒ a + b = 9 là số chính phương • Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 không là số chính phương ⇒ loại Vậy số cần tìm là ab = 27 Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp mà tổng bình phương là một số có 4 chữ số giống nhau. Gọi 3 số lẻ liên tiếp đó là 2n-1, 2n+1, 2n+3 ( n ∈N) Ta có A= ( 2n-1 )2 + ( 2n+1)2 + ( 2n+3 )2 = 12n2 + 12n + 11 Theo đề bài ta đặt 12n2 + 12n + 11 = aaaa = 1111.a với a lẻ và 1 ≤ a ≤ 9 ⇒ 12n( n + 1 ) = 11(101a – 1 ) ⇒ 101a – 1  3 ⇒ 2a – 1  3 Vì 1 ≤ a ≤ 9 nên 1 ≤ 2a-1 ≤ 17 và 2a-1 lẻ nên 2a – 1 ∈{ 3; 9; 15 } ⇒ a ∈{ 2; 5; 8 } Vì a lẻ ⇒ a = 5 ⇒ n = 21 3 số càn tìm là 41; 43; 45 Bài 10: Tìm số có 2 chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó. ab (a + b ) = a3 + b3 ⇔ 10a + b = a2 – ab + b2 = ( a + b )2 – 3ab ⇔ 3a( 3 + b ) = ( a + b ) ( a + b – 1 ) a + b và a + b – 1 nguyên tố cùng nhau do đó a + b = 3a hoặc a + b – 1 = 3a a +b–1=3+b a+b=3+b ⇒ a=4,b=8 hoặc a=3,b=7 Vậy ab = 48 hoặc ab = 37. 11 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Thanh Mỹ, ngày 23 tháng 7 năm 2012 Chuyên đề 2: CỰC TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC I/ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT ,GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦẢ MỘT BIỂU THỨC 12 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 1/ Cho biểu thức f( x ,y,...) a/ Ta nói M giá trị lớn nhất ( GTLN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu max f = M nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn: - Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) ≤ M ( M hằng số) (1) - Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = M (2) b/ Ta nói m là giá trị nhỏ nhất (GTNN) của biểu thức f(x,y...) kí hiệu min f = m nếu hai điều kiện sau đây được thoả mãn : - Với mọi x,y... để f(x,y...) xác định thì : f(x,y...) ≥ m ( m hằng số) (1’) - Tồn tại xo,yo ... sao cho: f( xo,yo...) = m (2’) 2/ Chú ý : Nếu chỉ có điều kiện (1) hay (1’) thì chưa có thể nói gì về cực trị của một biểu thức chẳng hạn, xét biểu thức : A = ( x- 1)2 + ( x – 3)2. Mặc dù ta có A ≥ 0 nhưng chưa thể kết luận được minA = 0 vì không tồn tại giá trị nào của x để A = 0 ta phải giải như sau: A = x2 – 2x + 1 + x2 – 6x + 9 = 2( x2 – 4x + 5) = 2(x – 2)2 + 2 ≥ 2 A = 2 ⇔ x -2 = 0 ⇔ x = 2 Vậy minA = 2 khi chỉ khi x = 2 II/ TÌM GTNN ,GTLN CỦA BIỂU THƯC CHỨA MỘT BIẾN 1/ Tam thức bậc hai: Ví dụ: Cho tam thức bậc hai P = ax2 + bx + c . Tìm GTNN của P nếu a 〉 0. Tìm GTLN của P nếu a 〈 0 Giải : P = ax2 + bx +c = a( x2 + Đặt c - b b 2 b2 x ) + c = a( x + ) +c- 2 a 2a 4a b 2 b2 =k . Do ( x + ) ≥ 0 nên : 2a 4a 13 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 - Nếu a 〉 0 thì a( x + -Nếu a 〈 0 thì a( x + b 2 b ) ≥ 0 , do đó P ≥ k. MinP = k khi và chỉ khi x = 2a 2a b 2 ) ≤` 0 do đó P ≤` k. MaxP = k khi và chỉ khi x = 2a - b 2a 2/ Đa thức bậc cao hơn hai: Ta có thể đổi biến để đưa về tam thức bậc hai Ví dụ : Tìm GTNN của A = x( x-3)(x – 4)( x – 7) Giải : A = ( x2 - 7x)( x2 – 7x + 12) Đặt x2 – 7x + 6 = y thì A = ( y - 6)( y + 6) = y2 - 36 ≥ -36 minA = -36 ⇔ y = 0 ⇔ x2 – 7x + 6 = 0 ⇔ x1 = 1, x2 = 6. 3/ Biểu thức là một phân thức : a/ Phân thức có tử là hằng số, mẫu là tam thức bậc hai: Ví dụ : Tìm GTNN của A = Giải : A = 2 .= 6x − 5 − 9x2 2 . 6x − 5 − 9x2 −2 −2 = (3x − 1)2 + 4 . 9x − 6x + 5 2 1 1 Ta thấy (3x – 1)2 ≥ 0 nên (3x – 1) 2 +4 ≥ 4 do đó (3x − 1)2 + 4 ≤ theo tính chất a 4 ≥ b thì −2 1 1 −2 ⇒ A ≥ ≤ với a, b cùng dấu). Do đó (3x − 1)2 + 4 ≥ a b 4 minA = - 1 2 ⇔ 3x – 1 = 0 ⇔ x = 1 . 3 Bài tập áp dụng: 1 HD giải: x − 4x + 9 1 1 1 1 A= 2 = ≤ . max A= ⇔ x = 2 . 2 x − 4x + 9 ( x − 2 ) + 5 5 5 1. Tìm GTLN của BT : A = 2 1 HD Giải: x − 6x + 17 1 1 1 1 A= 2 = ≤ . max A= ⇔ x = 3 2 x − 6x + 17 ( x − 3) + 8 8 8 2. Tìm GTLN của BT : A = 2 14 - 1 2 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 3. (51/217) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A = 3 2 + − x 2 + 2x + 7 b/ Phân thức có mẫu là bình phương của nhị thức. Ví dụ : Tìm GTNN của A = 3x 2 − 8 x + 6 . x2 − 2x + 1 Giải : Cách 1 : Viết A dưới dạng tổng hai biểu thức không âm A = ( ) ( 2 x2 − 2x + 1 + x2 − 4 x + 4 x2 − 2x + 1 ) ( x − 2) 2 = 2 + ( x − 1) 2 ≥ 2 minA = 2 khi và chi khi x = 2. Cách 2: Đặt x – 1 = y thì x = y + 1 ta có : A = 3( y + 1) 2 − 8( y + 1) + 6 ( y + 1) 2 − 2 ( y + 1) + 1 = 3y2 + 6 y + 3 − 8 y − 8 + 6 3y2 − 2 y +1 2 1 1 = = 3 + -1)2 + 2 2 2 2 = ( y + 2 y +1− 2 y − 2 +1 y y y y minA = 2 ⇔ y = 1 ⇔ x – 1 = 1 ⇔ x = 2 Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) x2 + 1 1, (13/200) Tìm GTNN và GTLN của bt: P = 2 x − x +1 2, (36/210) Tìm GTNN của bt : B = x 2 − 2 x + 2006 x2 3, ( 45/ 214) Tìm GTNN và GTLN của bt: C = 4, ( 47, 48 /215) Tìm GTNN của bt : a, D = x2 x2 − 5x + 7 x2 + 2 x + 2 x2 + 2x + 3 b, E = x2 + 2 x −1 2 x2 + 4x + 9 c/ Các phân thức dạng khác: Ví dụ : Tìm GTNN và GTLN của A = 3 − 4x x2 + 1 Giải Để tìm GTNN , GTLN ta viết tử thức về dạng bình phương của một số : x2 − 4 x + 4 − x2 − 1 ( x − 2) 2 A = = - 1 ≥ -1 x2 + 1 x2 + 1 Min A= -1 khi và chỉ khi x = 2 Tìm GTLN A = 4 x2 + 4 − 4 x2 − 4 x − 1 (2 x + 1) 2 = 4 x2 + 1 x2 + 1 15 ≤ 4 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Bài tập áp dụng: (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) 1, (42, 43/ 221) Tìm GTLN của bt: x a, A = 2 x +2 3, (35, 36 / 221) Tìm GTNN của bt: a, C = b, B = x2 (x 2 +2 ) 3 x2 + 4x + 4 Với x > 0; x b, D = x5 + 2 Với x > x3 2 với x > 0; x3 b, F = x3 + 1 Với x > 0 x2 0 4, (34, 36/ 221) Tìm GTNN của bt: a, E = x 2 + 6, (68/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: Q = x 2 + 2 x + 17 Với x > 0 2 ( x + 1) 7, (69/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: R = x + 6 x + 34 Với x > 0 x +3 8, (70/28 BÙI VĂN TUYÊN) Tìm GTNN của bt: S = x 3 + 2000 Với x > 0 x III/ TÌM GTNN, GTLN CỦA BT CÓ QUAN HỆ RÀNG BUỘC GIỮA CÁC BIẾN Ví dụ : Tìm GTNN của A = x3 + y3 + xy biết rằng x + y = 1 sử dụng điều kiện đã cho để rút gọn biểu thức A A = (x + y)( x2 –xy +y2) + xy = x2 – xy - y2 + xy = x2 + y2 Đến đây ta có nhiều cách giải Cách 1: sử dụng điều kiện đã cho làm xuất hiện một biểu thức có chứa A Mà ⇒ x2 + 2xy + y2 = 1 (1) (x – y)2 ≥ 0 Hay: x2 - 2xy + y2 ≥ 0 (2) x+y =1 Cộng (1) với (2) ta có 2(x2 + y2 ) ≥ 1 ⇒ x2 + y2 ≥ minA = 1 2 1 1 khi và chỉ khi x = y = 2 2 Cách 2: Biểu thị y theo x rồi đưa về tam thức bậc hai đối với x. Thay y = x – 1 vào A A = x2 + (1 – x)2 = 2(x2 – x) +1 = 2(x2 minA = 1 2 1 1 ) + ≥ 2 2 2 1 1 khi và chỉ khi x = y = 2 2 16 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Cách 3/ Sử dụng điều kiện đã cho để dưa về một biến mới Đặt x = 1 + a thì y = 2 x2 + y 2 = ( 1 - a . Biểu thị x2 + y2 ta được : 2 1 1 1 + a)2 + ( - a)2 = +2 a2 2 2 2 ≥ 1 1 1 => MinA = ⇔ a = 0 ⇔ x=y = 2 2 2 Bài tập 1: Tìm Min A = a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b + 2014 Cách 1 Ta có: A= a 2 − 2a + 1 + b 2 − 2b + 1 + ab − a − b + 1 + 2011 = a 2 − 2a + 1 + b 2 − 2b + 1 + ab − a − b + 1 + 2011 = = ( a − 1) 2 = ( a − 1) 2 ( a − 1) 2 + ( b − 1) + a ( b − 1) − ( b − 1) + 2011 1 + ( b − 1) + ( a − 1) ( b − 1) + 2011 2 + 2 ( a − 1) ( b − 1) ( b − 1) 2 + 2 + 4 3 ( b − 1) 4 2 3 ( b − 1) b −1   + 2011 + 2011 =  a − 1 + ÷ + 2  4  2 2 b −1  =0 a − 1 + ⇔ a = b =1 2  Min A = 2011 khi  b − 1 = 0 Cách 2: ( ) 2A = 2 a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b + 2014 = a 2 − 2a + 1 + b 2 − 2b + 1 + a 2 + 2ab + b 2 − 2.2 ( a + b ) + 4 + 4022 = ( a − 1) + ( b − 1) + ( a + b − 2 ) + 4022 2 1 2 a − 1 = 0  ⇔ a = b = 1 => Min A = 2011  Min 2A = 4022 khi b − 1 = 0 a + b − 2 = 0  BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1 CMR : Min P = 0 Với P = a 2 + ab + b 2 − 3a − 3b + 3 Bài 2 CMR: không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn ĐT: x 2 + 4 y 2 + z 2 − 2 x + 8 y − 6 z +15 = 0 Hướng dẫn Ta có: VT = x 2 − 2 x + 1 + 4 y 2 + 8 y + 4 + z 2 − 6 z + 9 + 1= ( x-1) + ( 2 y + 2 ) + ( z − 3 ) + 1 ≥ 1 2 2 Bài 3: Có hay không các số x,y,z thỏa mãn mỗi đẳng thức sau: 1) x 2 + 4 y 2 + z 2 + 4 x + 4 y + 8 z + 22 = 0 17 2 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2) x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 − 2 x − 12 y − 12 z + 1994 Hướng dẫn Ta có: 1) VT = x 2 + 4 x + 4 + 4 y 2 + 4 y + 1 + z 2 + 8 z + 16 + 1 = ( x+2 ) + ( 2 y + 1) + ( z + 4 ) + 1 ≥ 1 2 2 2 2) VT = x 2 − 2 x + 1 + 4 y 2 − 12 y + 3 + 9 z 2 − 12 z + 4 + 1986 = ( x − 1) + ( 2 y − 3) + ( 3 z − 2 ) + 1986 ≥ 1986 2 2 2 Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = m 2 − 4mp + 5 p 2 + 10m − 22 p + 28 Hướng dẫn Ta có: A = m 2 − 4mp + 4 p 2 + p 2 − 2 p + 1 + 10m − 20 p + 27 = ( m − 2 p ) + 2.5 ( m − 2 p ) + 25 + ( p − 1) + 2 2 2 = ( m − 2 p + 5 ) + ( p − 1) + 2 ≥ 2 2 2 Bài 5: CMR: Max B = 4 Với B = −a 2 − 5b2 − 2a + 4ab + 10b − 6 Hướng dẫn Ta có: ( ) ( ) 2 2 2 B = −a 2 + 4ab − 4b 2 − b 2 + 6b − 9 − 2a + 4b − 1 + 4 = 4 -  a − 4ab + 4b + b − 6b + 9 + 2 ( a − 2b ) + 1 2 2 2 2 = 4 - ( a − 2b ) + 2 ( a − 2b ) + 1 + ( b − 3)  = 4 - ( a − 2b + 1) + ( b − 3)  ≤ 4     Bài 6: Tìm GTNN của a) A=a 2 + 5b2 − 4ab − 2b + 5 ( Gợi ý A = ( a - 2b ) + ( b − 1) + 4 ) b) B = x 2 + y 2 − xy − 3x − 3 y + 2029 ( Gợi ý B = ( x-y ) + ( y − 3) + ( x − 3) + 2011 ) c) C = x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 − 4 x + 12 y − 24 z + 30 ( Gợi ý C = ( x+2 ) + ( 2 y + 3) + ( 3z + 4 ) + 1 ) d) D= 20x 2 + 18 y 2 − 24 xy − 4 x − 12 y + 2016 ( Gợi ý D= ( 4x-3y ) + ( 2 x − 1) + ( 3 y − 2 ) + 2011 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài 7: Tìm các số a, b, c, d thỏa mãn : a + b + c + d = a ( b + c + d ) (*) 18 2 2 2 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 = ab ( a + b + c ) ⇔ a2 + b2 + c2 + d 2 − a ( b + c + d ) = 0 Ta có : ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − ab − ac − ad = 0 ( ) ⇔ 4 a 2 + b 2 + c 2 + d 2 − ab − ac − ad = 0 ⇔ a 2 − 4ab + 4b 2 + a 2 − 4ac + 4c 2 + a 2 − 4ad + 4d 2 + a 2 = 0 ⇔ ( a − 2b ) + ( a − 2c ) + ( a − 2d ) + a 2 = 0 2 2 2 Dấu “=” sảy ra khi : a = 2b = 2c = 2d = 0 ⇔ a = b = c = d = 0 BÀI TẬP VỀ NHÀ: 2 2 2 2 2 Bài 1: Tìm các số a, b, c, d, e thỏa mãn : 2a + b + c + d + e = a ( b + c + d + e ) Bài 2: Tìm các số a, b, c, thỏa mãn : a 2 + b 2 + 1 = ab + a + b Bài 3: Tìm các số a, b, thỏa mãn : 4a 2 + 4b 2 + 4ab − 4a + 4b + 4 = 0 Bài 4: Tìm các số x, y, z thỏa mãn : x 2 + 4 y 2 + z 2 = 2 x − 8 y + 6 z − 14 Bài 5: Tìm các số m, p, thỏa mãn : m 2 + 5 p 2 = 4mp − 10m + 22 p + 25 IV Các chú ý khi giải bài toán cực trị : 1, Chú ý 1: Khi tìm bai toán cực trị ta có thể đổi biến Ví dụ : Tìm GTNN của ( x – 1)2 + ( x – 3)2 ta đặt x – 2 = y, biểu thức trở thành (y + 1)2 + (y – 1)2 =2y2 +2 ≥ 2 ⇒ minA= 2 ⇒ y=0 ⇒ x=2 2 Chú ý 2, Khi tìm cực trị của biểu thức , nhiều khi ta thay điều kiện để biểu thức này đạt cực trị bởi điều kiện tương đương là biểu thức khác đạt cực trị chẳng hạn : -A lớn nhất ⇔ A nhỏ nhất 1 lớn nhất ⇔ B nhỏ nhất với B > 0 B x4 + 1 1 Ví dụ : Tìm GTLN của A = 2 nhỏ nhất và 2 (Chú ý A> 0 nên A lớn nhất khi ( x + 1) A ngược lại) Ta có : 1 1 ( x 2 + 1) 2 x 4 + 2 x 2 + 1 2 x2 = = 1 + = .Vậy ≥ 1 4 4 4 A A x +1 x +1 x +1 19 Giáo án BDHSG Toán 9 min Năm học: 2012-2013 1 = 1 khi x = 0 .Do đó maxA =1 khi x = 0 A 3,Chú ý 3 Khi tìm GTLN, GTNN của 1 biểu thức ,người ta thường sử dụng các BĐT đã biết Bất đăng thức có tính chất sau a ) a > b , c > d với a, b, c, d > 0 thì a.c > b. d b) a > b và c > 0 thì a.c > b.c c) a > b và c < 0 thì a.c < b.c d) a > b và a, b, n > 0 thì an > bn BĐT Cô si: a + b ≥ 2 ab ; a2 + b2 ≥ 2ab ; (a + b)2 ≥ 4ab ; 2( a2 + b2) ≥ ( a+ b)2 Bất đẳng thức Bu- nha -cốp –xki : (a2 + b2) ( c2 + d2) ≥ (ac + bd)2 Ví dụ Cho x2 + y2 = 52 . Tìm GTLN của A = 2x + 3y Giải :Áp dụng BĐT BCS ta có ( 2x + 3y )2 ≤ ( 22+32 ).52 ⇒ ( 2x + 3y )2 ≤ 13.13.4 2 x = 3 y ⇒ 2x + 3y ≤ 26. Vậy maxA = 26 ⇔  2 x + 3 y ≥ 0 Thay y = 3x vào x2 + y2 = 52 ta được 4x2 + 9x2 = 52.4 ⇒ x2 = 16 ⇒ x=4 hoặc x= -4 2 Với x = 4 thì y =6 thoả mãn 2x +3y ≥ 0 x = -4 ,y = -6 không thoả mãn 2x +3y ≥ 0 Vậy Max A = 26 ⇔ x =4 , y = 6 3/ Trong các bất đẳng thức cần chú ý đến các mệnh đề sau - Nếu 2 số có tổng không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi 2 số đó bằng nhau - Nếu 2 số dương có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi 2 số đó bang nhau Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN của tích xy, biết x,y ∈ N thoả mãn x + y = 2005 Giải : Ta có 4xy = (x + y)2 – (x – y)2 = 20052 - (x – y)2 xy lớn nhất ⇔ x – y nhỏ nhất ; xy nhó nhất ⇔ x – y lớn nhất giả sử x > y ( không thể xảy ra x = y) Do 1 ≤ y ≤ x ≤ 2004 nên 1 ≤ x-y ≤ 2003 Ta có min(x –y) = 1 khi x = 1003 ; y =1002 max(x –y) = 2003 khi x =2004 , y = 1 Do đó max(xy) = 1002.1003 khi x = 1003 , y = 1002 Min ( xy) = 2004 khi x = 2004 , y = 1 20 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Thanh Mỹ, ngày 25 tháng 7 năm 2012 MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ 1, Sai lầm khi sử dụng nhiều bất đẳng thức khac nhau 1 4 VD1: cho x, y là các số dương thỏa mãn x +y =1 . Tìm GTNN của biểu thức : A = x + y 1 4 4 1 4 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x , y ta có: x + y ≥ xy (1) Lại có: 1 x+ y = ≥ xy (2 ) 2 2 Từ (1) và (2) suy ra : A= 1 4 4 4 + ≥ ≥ =8 . Vậy Min A = 8 x y xy 1 2 Phân tích sai lầm: 1 4 Đẳng thức sảy ra ở (1) khi x = y ⇔ 4 x = y Đẳng thức sảy ra ở (2) khi x = y . Từ đó suy ra x = y = 0 ( Loại vì x + y = 1) Có bạn đến đây KL không có giá trị nhỏ nhất cũng là KL sai. 1 4 4x y Giải đúng: Vì x + y = 1 nên A = ( x+y )  + ÷ = 5 + + y x x y 4x y 4x y 4x y + ≥2 . =4 Áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho hai số không âm y , x Ta có : y x y x 1   4x y x=  =  y = 2x   3 ⇔ Dấu “=” xẩy ra khi  y x ⇔  x + y = 1 x + y = 1  y = 2   3 Lưu ý: Nếu sử dụng nhiều BĐT khác nhau trong 1 bài toán thì ta phải kiểm tra xem chúng có đồng thời sảy ra dấu bằng không. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 2, Sai lầm khi không sử dụng hết điều kiện của bài toán: VD2:cho x, y là các số dương thỏa mãn x+y= 1. Tìm GTNN của BT : 2 2 1  1  A =  x+ ÷ +  y + ÷ y  x  21 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Giải sai: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm x, 1 1 1 Ta có: x+ ≥ 2 x. = 2 x x x (1) 1 1 1 Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số không âm y, y Ta có: y+ ≥ 2 y. = 2 y y (2) Từ (1) và (2) =>A ≥ 8 => Min A = 8 Phân tích sai lầm: Đẳng thức sảy ra ở (1) khi 1 = x ⇔ x2 = 1 x 1 2 Đẳng thức sảy ra ở (2) khi y = y ⇔ y = 1 . Từ đó suy ra x = y = 1 ( Loại vì x + y = 1) Giải đúng: Áp dụng bất đẳng thức cô si cho hai số dương ta có : x+y 1 1 ≥ xy ⇒ xy ≤ ⇒ xy ≤ 2 2 4 2 2 1 1 1 1 Ta có : A = 4 + x +y +  ÷ +  ÷ . Khi đó: x2 + y2 = (x + y)2 – 2xy ≥ 1 - = (1) 2 2 x y 2 2 1 1 1 2 1 25 25 + 2 ≥2 2 2 = ≥ 8 (2). Từ (1) và (2) =>A ≥ 8 + +4 = =>Min A = khi x=y = 2 x y x .y xy 2 2 2 1 2 Lưu ý: Khi giải bài toán mà không sử dụng hết điều kiện của đầu bài thì cần kiểm tra lại giả thiết. Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 3, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 1: VD1: Tìm GTLN của bt: A = 1 x − 6 x + 17 2 Lời giải sai: A đạt Max khi x 2 − 6 x + 17 đạt Min Ta có : x 2 − 6 x + 17 = ( x − 3) + 8 ≥ 8 2 2 Do đó Min ( x − 6 x + 17 ) = 8 ⇔ x = 3 . Vậy Max A = 1 ⇔ x=3 8 Phân tích sai lầm: Kết quả đúng nhưng lập luận sai ở chỗ cho rằng “ A có tử không đổi nên đạt GTLN khi mẫu đạt GTNN” mà chưa đua ra nhận xét tử và mẫu là các số dương 22 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Lời giải đúng: Bổ xung thêm nhận xét x 2 − 6 x + 17 = ( x − 3) + 8 ≥ 8 nên tử và mẫu của A là 2 dương VD2:Tìm GTNN cuả BT: A = x2 + y2 biết x + y =4  x 2 + y 2 = 2 xy ⇔x= y=2 Ta có : A = x + y ≥ 2xy => A đạt GTNN ⇔  x + y = 4 2 2 Khi đó MinA = 8 Phân tích sai lầm: Đáp số ko sai nhưng lập luân sai lầm ở chỗ ta mới c/m được f(x,y) ≥ g(x,y) chứ chưa c/m được f(x,y) ≥ m với m là hắng số. Chẳng hạn: Từ x2 ≥ 4x – 4 => x2 đạt nhỏ nhất ⇔ x2 = 4x – 4 ⇔ (x – 2 )2 = 0 ⇔ x =2 Đi đến min x2 = 4 ⇔ x = 2 Dễ thấy kết quả đúng phải là Min x2 = 0 ⇔ x =0 2 Lời giải đúng: Ta có x + y =4 ⇔ ( x + y ) =16 (1) Ta lại có : ( x - y ) 2 ≥ 0 ⇒ x 2 -2xy+y 2 ≥ 0 (2) Từ (1) và (2) => 2( x2 + y2 ) ≥ 16 => A = x2 + y2 ≥ 8 Vậy Min A = 8 khi và chỉ khi x = y = 2. Lưu ý: Cần nắm vững t/c của BĐT cụ thể trong trường hợp so sánh hai phân số có tử và mẫu là số tự nhiên, số nguyên … Có như vậy thì hướng giải của bài toán mới đúng. 4, Sai lầm trong chứng minh điều kiện 2 VD1: Tìm GTNN của bt: A = x + Lời giải sai : x + x = ( x) 2 x 2 1 1 1 1  1 1 1 +2 x + − =  x − ÷ − ≥ − . Vậy: Min A = − 4 2 4 4  2 4 4 1 4 1 4 P/tích sai lầm: sau khi c/m f(x) ≥ − chưa chỉ ra trường hợp xảy ra f(x)= − ⇔ x = − 1 2 (vô lí ) Lời giải đúng: ĐKTT x là x ≥ 0 do đó : A = x + x ≥ 0 => Min A = 0 ⇔ x = 0 VD2: Tìm GTLN của A = xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) với x, y , z là các số không âm và x +y+ z =1 23 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 4x ( z+y ) ≤ ( x+y+z ) = 1 2 Lời giải sai: Áp dụng BĐT 4xy ≤ ( x + y ) ta có : 4y ( z+x ) ≤ ( x+y+z ) = 1 2 2 4z ( x+y ) ≤ ( x+y+z ) = 1 2 => 64xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) ≤ 1 =>xyx ( z+y ) ( y+z ) ( z+x ) ≤ 1 1 . Vậy Max A = 64 64 Phân tích sai lầm: Sai lầm ở chỗ chưa chi ra khả năng xảy ra dấu “=”  z+y = x  y+x = z x = y = z = 0  1  ⇔  x + z + y = 1 ( vô lí ) ĐK để Max A = là :  x+z = y 64  x + z + y = 1  x, y, z ≥ 0    x, y, z ≥ 0 Lời giải đúng: Ta có : 1 = x +y+ z ≥ 3 3 x.y.z (1) 2 = ( x +y ) + ( z+x ) + ( y+ z ) ≥ 3 3 ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) (2) 3 2 Từ (1) và (2) => 2 ≥ 3 x. y.z. ( x +y ) ( z+x ) ( y+ z ) hay: 2 ≥ 3 A => A ≤  ÷ 9 3 3 ( x +y ) = ( z+x ) = ( y+ z ) 3  1 2 ⇔x= y=z= Max A =  ÷ khi  x + y + z = 1 3 9  x, y , z ≥ 0  VD3: Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = (x + a)(x + b) với x > 0, a, b là các hằng số dương. x  x + a ≥ 2 ax ⇒ ( x + a ) ( x + b ) ≥ 2 ax.2 bx = 4 x ab Lời giải sai: Ta có:   x + b ≥ 2 bx Do đó: A = (x + a)(x + b) 4x ab ≥ = 4 ab vậy Min A = 4 ab ⇔ x = a = b x x Phân tích sai lầm: Nếu a ≠ b thì không có: A = 4 ab (x + a)(x + b) x 2 + ax + bx + ab  ab  = =  x + ÷+ (a + b) . Lời giải đúng : Ta có A = x x x   Theo bất đẳng thức Cauchy : x + ab ≥ 2 ab nên A ≥ 2 ab + a + b = x 24 ( a+ b ) 2 Giáo án BDHSG Toán 9 ( min A = a+ b ) 2 Năm học: 2012-2013 khi và chi khi ab  x = x ⇔ x = ab .  x > 0 VẬN DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI ĐỂ TÌM CỰC TRỊ 1 1 1 VD1: Cho x > 0, y > 0 thỏa mẫn đk x + y = 2 Tìm GTNN của bt: A = x + y 1 1 1 1 Do x > 0, y > 0 nên x > 0, y > 0 áp dụng bất đẳng thức côsi cho 2 số x , y ta có: 1 11 1 1 1 .  + ÷≥ 2 x y x y 1 Hay 4 ≥ xy => xy ≥ 4 Mặt khác ta có: x > 0, y > 0 => x ≥ 0, y ≥ 0 . áp dụng bất đẳng thức côsi ta có: x+ y ≥2 xy ≥ 2 4 = 4 x = y  Vậy: Min A = 4 khi :  1 + 1 = 1 ⇔ x = y = 4 x y 2  VD2 : Tìm GTNN của của biểu thức : A = x 2 − x + 1 + x 2 + x + 1 2 1 3 3  Ta có: x − x + 1 =  x − ÷ + ≥ ∀ x ∈ R 2 4 4  2 2 1 3 3  x + x +1 =  x + ÷ + ≥ ∀ x∈ R 2 4 4  2 Áp dụng BĐT Cô- si cho 2 số x2 − x +1 + x2 + x +1 ≥ 2 x 2 − x + 1, x 2 + x + 1 ta có : x 2 − x + 1. x 2 + x + 1 = 2 4 x 4 + x 2 + 1 ≥ 2  x 4 + x 2 + 1 = 1 ⇔x=0  Max A = 2 khi  2 2  x − x + 1 = x + x + 1 VD3 Tìm giá trị nhỏ nhất của : A = x y z + + với x, y, z > 0. y z x 25 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Cách 1 : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số dương: A= x y z x y z + + ≥ 33 . . = 3 y z x y z x x y z x y z Do đó min  + + ÷ = 3 ⇔ = = ⇔ x = y = z y z x y z x Cách 2 : Ta có : x y x y z x y y z y + + =  + ÷+  + − ÷. Ta đã có + ≥ 2 (do x, y > 0) nên y x y z x y x z x x để chứng minh x y z y z y + + ≥ 3 ta chỉ cần chứng minh : + − ≥ 1 y z x z x x (1) (1) ⇔ xy + z2 – yz ≥ xz (nhân hai vế với số dương xz) ⇔ xy + z2 – yz – xz ≥ 0 ⇔ y(x – z) – z(x – z) ≥ 0 ⇔ (x – z)(y – z) ≥ 0 (2) (2) đúng với giả thiết rằng z là số nhỏ nhất trong 3 số x, y, z, do đó (1) đúng. Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của x y z + + . y z x VD 4: Tìm giá trị lớn nhất của : A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0 ; x + y + z = 1. Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x, y, z ta có: 1 = x + y + z ≥ 3. 3 xyz (1) Áp dụng BĐT Cauchy cho ba số không âm x+y, y +z, z + x ta có : 2 = (x + y) + (y + z) + (z + x) ≥ 3. 3 (x + y)(y + z)(z + x) (2) 3 2 Nhân từng vế của (1) với (2) (do hai vế đều không âm) : 2 ≥ 9. A ⇒ A ≤  ÷ 9 3 3 1 2 max A =  ÷ khi và chỉ khi x = y = z = . 3 9 VD 5: Tìm GTNN của A = xy yz zx + + với x, y, z > 0 , x + y + z = 1. z x y 26 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Giải: Theo bất đẳng thức Cauchy : xy yz xy yz + ≥2 . = 2y . z x z x yz zx zx xy + ≥ 2z ; + ≥ 2x . Suy ra 2A ≥ 2(x + y + z) = 2. x y y z 1 min A = 1 với x = y = z = . 3 1 2 VD 6: Tìm GTNN của A = 2 2 + + 4xy với : x > 0, y > 0, x + y < 1 x +y xy Tương tự : ( ) 2 x+ y  2 ≥ xy ⇒ ( x + y ) ≥ 4 xy 1 1 1 1 1 4  ⇒ ( x + y )  + ÷ ≥ 2 xy .2 = 4⇒ + ≥ Ta có:  1 1 xy x y x+ y x y  + ≥2 1  x y xy Ta có: A =  1 1 2 1   1  5 + + 4xy =  2 + ÷+  4xy + ÷+ 2 2 x +y xy 2xy   4xy  4xy x +y 2 4 1 5 4 5 11 = +2+ = ≥ 11 => A ≥ x 2 + 2xy + y 2 + 2 4xy. 4xy + 2 2 2 2 ( x + y) ( x + y) ( x + y) ( x + y) 1 VD 7: : Cho x ≥ − , Tìm GTLN của A = 2x 2 + 5 x + 2 + 2 x+3 - 2x 2 1 2 Giải : Ta có : A = 2x 2 + 5 x + 2 + 2 x+3 - 2x = ( 2x + 1) ( x + 2 ) + 2 x+3 - 2x Với x ≥ − ta có:  2x + 1 ≥ 0  x + 2 > 0 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số 2x + 1, x+2 Ta có: Hay : 3x + 3 ≥ 2 ( 2x + 1) ( x+2 ) Dấu “ = ” xảy ra khi x+7 ≥ 2 x+3. 2 Do đó: A ≤ x +3+ 4 ≥ 4 ( x + 3) = 2 x + 3 2 Dấu “ = ” xảy ra khi x + 3 = 4 ⇔ x=1 x+7 3x + 3 + - 2x = 5. Dấu “ = ” xảy ra khi x=1 2 2 1 4 9 VD 8: : Cho x, y, z > 0 và x + y + z =1 Tìm GTNN của: S = x + y + z 27 ( 2x + 1) ( x+2 ) 2x + 1 = x+2 ⇔ x=1 áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số x + 3, 4 Ta có: Hay : 2x + 1 + x+2 ≥ 2 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 1 9 y 4x   4z 9y    Ta có: S = ( x + y + z )  + + ÷ =1+4+9+  + ÷+  + ÷+  + ÷ z   z x x y z x y   y 4 y 4x y 9x 4x z y 4x áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương x , y ta có : + ≥ 2 . = 4 x y x y Tương tự ta có : 4z 9 y 4z 9 y + ≥2 . = 12 ; y z y z 9x z 9x z + ≥2 . =6 z x z x  S ≥ 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36  y 4x 1  x = y  y 2 = 4 x2 y = 3   y = 2x  2   4z 9 y 2 1  = 4 z = 9 y   ⇔ ⇔  z = 3x ⇔ x = z Dấu “=” sảy ra khi :  y 2 2 6  9x z 9 x = z x + y + z = 1   1  = x + y + z = 1   x  z z = 2   x + y + z = 1 1 3 1 6 Vậy Min S = 36 khi y = , x = , z = 1 2 Không phải lúc nào ta cũng dùng trực tiếp được bất đẳng thức Côsi đối với các số trong đề bài. Dưới đây ta sẽ nghiên cứu một số biện pháp biến đổi một biểu thức để có thê vân dụng BĐT Cô-si rồi tìm cực trị của nó: Biện pháp 1: Để tìm cực trị của một biểu thức ta tìm cực trị của bình phương biểu thức đó 3 x − 5 ≥ 0 5 7 ⇔ ≤x≤ 3 3 7 − 3 x ≥ 0 VD1 : Tìm giá trị lớn nhất của A = 3x − 5 + 7 − 3 x , ĐKXĐ :  Bình phương hai vế ta có : A2 = 2 + 2 ( 3x − 5 ) ( 7 − 3 x ) Với 5 7 ≤ x ≤ . áp dụng bất đẳng thức côsi cho ( 3 x − 5 ) và ( 7 − 3x ) ta có: 3 3 ( 3x − 5 ) + ( 7 − 3x ) ≥ 2 ( 3x − 5) ( 7 − 3x ) hay 2≥2 ( 3x − 5) ( 7 − 3x )  A2 ≤ 4 =>A ≤ 2 Dấu “=” xảy ra khi : 3x - 5 = 7 - 3x hay x = 2 VD2: Tìm GTNN của biểu thức: A = -x 2 + 2 x + 8 − -x 2 + x + 2 (*) 28 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 -x 2 + 2 x + 8 ≥ 0 −2 ≤ x ≤ 4 ( x + 2 ) ( x − 4 ) ≤ 0 ⇔ ⇔ ⇔ −1 ≤ x ≤ 2 ĐKXĐ :  2  −1 ≤ x ≤ 2 -x + x + 2 ≥ 0 ( x + 1) ( x − 2 ) ≤ 0 2 2 Khi đó -x + 2 x + 8 − ( -x + x + 2 ) = x + 6 > 0 => A > 0 ( 2 2 2 2 2 Từ (*) => A = -x + 2 x + 8 + ( -x + x + 2 ) − 2 -x + 2 x + 8. -x + x + 2 = -2x 2 + 3 x + 10 − 2 ( x + 2 ) ( 4 − x ) ( x + 1) ( 2 − x ) = ( 2 − x ) ( x + 2 ) + ( x + 1) ( 4 − x ) + 2 − 2 = = ( ( 4 − x2 ) 4 − x2 − 2 −2 ) ( 2 − x ) ( x + 2 ) . ( x + 1) ( 4 − x ) ( 2 − x ) ( x + 2 ) . ( x + 1) ( 4 − x ) + ( x + 1) ( 4 − x ) ( x + 1) ( 4 − x ) ) 2 2 +2 +2≥2 2 A = 2 ⇔ 4 − x = ( x + 1) ( 4 − x ) ⇔ x = 0 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : y = 1 − x + 1 + x Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : y = x − 2 + 4 − x Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : A = x − 5 + 23 − x Bài 4: Tìm GTLN của hàm số : A = 2 x − 3 + 23 − 2 x Bài 5: Tìm GTLN của hàm số : A = 5 x − 7 + 17 − 5 x Bài 6: Tìm GTLN của hàm số : A = 3x − 2 + 20 − 3 x Bài 7:Tìm GTLN của : A = x − 1 + y − 2 biết x + y = 4 Bài 8 Tìm GTNN của : A = -x 2 + 4 x + 21 − -x 2 + 3 x + 10 Bài 9( 76/29) Tìm GTNN của : A = x y z + + với x, y, z dương và x + y + z ≥ 12 y z x Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A = x − 4 + y − 3 biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác không. VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x-9 5x 29 Giáo án BDHSG Toán 9 Giải: ĐKXĐ: x ≥ 9 Ta có: A = Năm học: 2012-2013 x-9 = 5x 1x -9  x-9 + 3÷ x .3  2 3 3 = 6 = 1 ≤  5x 5x 5 x 30 x - 9 =3  ⇔ x = 18 Dấu “=” xảy ra khi  3  x ≥ 9 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7x - 5 7x-9 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x3 - 9 27x 3 Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao cho tích của chúng là một hằng số: 1) Tách 1 hạng tử thành tổng nhiều hạng tử bằng nhau 3x 4 + 16 VD1: cho x > 0 Tìm GTNN của biểu thức: A = x3 Giải : Ta có A = 3x 4 + 16 16 16 = 3x + 3 = x + x + x + 3 3 x x x Áp dụng BĐT Cô-si Ta có : A = x+x+x+ Vậy Min A = 8 ⇔ x = 16 16 ≥ 4 4 x.x.x. 3 = 4.2 = 8 3 x x 16 ⇔x=2 x3 VD2: ( đề thi ĐHTH Hà Nội 1993) Tìm Max và Min A = x 2 y( 4 - x - y ) với x, y ≥ 0 và x + y ≤ 6 x x  + +y+ 4 - x - y x x   Xét 0 ≤ x + y ≤ 4 Ta có : A = 4.  . .y( 4 - x - y ) ÷ ≤ 4.  2 2 4 2 2    Dấu “=” xẩy ra khi x = y = 4 - x - y ⇔ y = 1 ; x =2 2 Xét 4 ≤ x + y ≤ 6 Rễ thấy: 4 – x - y ≤ −2 ( 1) Dấu ‘=’ xảy ra khi x + y = 6 30 4  ÷ ÷ =4 ÷  Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 => A = x 2 y( 4 - x - y ) đạt GTNN khi x2y đạtGTLN 3  2 ( x+y )   x+x+2y   ÷  3 ÷ =32 hay x2y ≤ 32 (2) Ta có : 2 x.x.2y 3   ≤  x y= ≤ 2 2 2 3 x + y = 6 x = 4 ⇔ x = 2 y y = 2 Từ (1) và (2) => x 2 y( 4 - x - y ) ≥ -64 Dấu ‘=’ xảy ra khi  VD3 . Tìm GTLN của A = x2(3 – x) biết x ≤ 3. x 2 x .(3 – x). Áp dụng bất đẳng thức 2 3 x x   + +3−x ÷ x x x x Cauchy cho 3 số không âm , , (3 – x) ta được : . .(3 – x) ≤  2 2 ÷ = 1. 2 2 2 2 3  ÷   Giải : Xét 0 ≤ x ≤ 3. Viết A dưới dạng : A = 4. . Do đó A ≤ 4 (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyên ) 12 16 Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y ≥ 6 Tìm GTNN của P = 5 x + 3 y + x + y Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của N = x 3 + 2000 x x 2 + 2 x + 17 Bài 3( 68/ 28) Cho x ≥ , Tìm GTNN của Q = 2( x + 1) Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của M = x + 6 x + 34 x +3 Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN của Q = x 2 + 1, 2 xy + y 2 x− y Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của B = x 2 y 3 2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho. VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của B = Ta có : B = 9x 2 + 2− x x 9x 2− x 9x 2 − x + +1 ≥ 1+ 2 . =7 2− x x 2− x x 31 Giáo án BDHSG Toán 9  Min B= 7 ⇔ Năm học: 2012-2013 9x 2− x 1 = ⇔x= 2− x x 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chuyên đề Bùi văn Tuyến ) Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x 1, Tìm GTLN của A = 4 x + 25 x +1 Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức: A = 2x 2 − 6 x + 5 2x Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức: B = Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức: A = x-4 x x 2 − 3x + 4 x (Bồi dưỡng HSG toán đại số 9 TRẦN THỊ VÂN ANH) Bài 6: Tìm GTNN của biểu thức: A = 1 3x + ( với x > -1 ) x+1 2 Bài 7: Tìm GTNN của biểu thức: B = 2 x + ( với x > 1 ) x-1 2 Bài 8: Tìm GTNN của biểu thức: C = 5 x 1 + ( với x > ) 2x-1 3 2 Bài 9: Tìm GTNN của biểu thức: D = x 5 + ( với 0 < x < 1 ) 1-x x Biện pháp 4: Thêm 1 hạng tử vào biểu thức đã cho: VD1 : Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y + z = 2 Tìm GTNN của biểu thức: x2 y2 z2 P= + + y+z z+x y+x x2 y+z ≥2 Ta có : + y+z 4 x2 y + z x . = 2. = x y+z 4 2 x+z y2 y2 x + z y ≥ 2 + . = 2. = y 4 x+z x+z 4 2 32 Giáo án BDHSG Toán 9 z2 y+x ≥2 + y+x 4 Năm học: 2012-2013 z2 y + x z . = 2. = z y+x 4 2  x2 y2 z2  y + z x + z y + x + + + + ≥ x+ y+ z =>  ÷+ 4 4 4  y+z z+x y+x  x2 y2 z2  x + y + z + + ≥ x+ y+ z Hay:  ÷+ 2  y+z z+x y+x => P = x2 y2 z2 x+ y+z x+ y+z + + ≥ x+ y+z− ≥ =1 y+z z+x y+x 2 2  x2 y+z =  4 y+z 2  y x+z 2 = ⇔x= y=z= Vậy Min P = 1 ⇔  4 3 x+ z 2  z y+x =  4  y + x Lưu ý: Nếu ta lần lượt thêm ( x + y), ( z + y), ( x + z) vào z2 x2 y2 , , ta vẫn khử y+x y+z z+x được (x + y), ( z + y), ( x + z) nhưng không tìm được x, y, z để dấu dấu đẳng thức xảy ra đồng thời. Khi đó không tìm được giá trị nhỏ nhất. VD2 : Tìm GTNN của A = x + y biết x, y > 0 thỏa mãn a b + = 1 (a và b là hằng số x y dương). a b ay bx Giải . Cách 1 : A = x + y = 1.(x + y) =  + ÷( x + y ) = a + + + b . x y x y Theo bất đẳng thức Cauchy với 2 số dương : Do đó A ≥ a + b + 2 ab = ( ) 2 a+ b . 33 ay bx ay bx + ≥2 . = 2 ab . x y x y Giáo án BDHSG Toán 9 min A = Năm học: 2012-2013 ( a+ b ) 2  ay bx x = y  a b với  + = 1 ⇔ x y  x, y > 0    x = a + ab   y = b + ab Cách 2 : Dùng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : 2 a b  a b A = (x + y).1 = (x + y)  + ÷ ≥  x. + y. ÷ = x y x y  ( ) 2 a+ b . Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của A. x2 y2 z2 + + VD3 Tìm GTNN của A = biết x, y, z > 0 , x+y y+z z+x xy + yz + zx = 1 . x2 y2 z2 x+y+z + + ≥ Giải Theo VD1 BIỆN PHÁP 4: . Theo bất đẳng thức x+y y+z z+x 2 Cauchy x+y y+z z+x ≥ xy ; ≥ yz ; ≥ zx nên x + y + z ≥ xy + yz + zx . 2 2 2 hay x+y+z ≥ 2 min A = 1 2 xy + yz + zx 1 = 2 2 ⇔ x=y=z= 1 . 3 VẬN DỤNG BDT A + B ≥ A+B ĐỂ TÌM CỰC TRỊ Bài 1: Tìm GTNN của hàm số : y = x 2 + 2 x + 1 + x 2 − 2 x + 1 Cách 1: y = x 2 + 2 x + 1 + x 2 − 2 x + 1 = x + 1 + x − 1 Nếu: x < -1 thì y = x + 1 + x − 1 = − x − 1 − x + 1 = −2 x > 2 Nếu: -1 ≤ x ≤ 1 thì y = x + 1 + x − 1 = x + 1 − x + 1 = 2 Nếu: x > 1 thì y = x + 1 + x − 1 = x + 1 + x − 1 = 2 x > 2 Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 ≤ x ≤ 1 34 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Cách 2 : áp dụng BĐT a + b ≥ a + b ( Dấu “=” sảy ra khi a.b ≥ 0 ) Ta có : y = x + 1 + 1 − x ≥ x + 1 + 1 − x = 2 Vậy y nhỏ nhất bằng 2 khi -1 ≤ x ≤ 1 Bài 2: Cho x, y > 0 và 2x + xy = 4 . Tìm GTLN của A = x2y Cách 1: Từ 2x + xy = 4 => xy = 4 -2x Thế vào A ta có :   A = x(4 -2x ) = 2 – ( x 2 ) − 2 x 2. 2 + ( 2 )  = 2 − ( x 2 − 2 )   2 2 2  x 2 − 2 = 0 x = 1 ⇔  2 x + xy = 4 y = 2 => Max A = 2 khi  Cách 2: Ta có : A = 1 .2 x.xy . Vì x, y > 0 => 2x, xy > 0. áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 2 ( 2 x + xy ) 2 x + xy  2 x + xy  ≥ 2 x.xy ⇔  ≥ x 2 y Thay số ta có : số 2x, xy ta có: ÷ ≥ 2 x.xy ⇔ 2 4.2  2  2 2 2 ≥ x 2 y =A  2 x = xy x = 1 ⇔  2 x + xy = 4 y = 2 Vậy Max A =2 khi  BÀI TẬP TỰ LUYÊN TƯƠNG TỰ: Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, y = 4 x 2 − 4 x + 1 + 4 x 2 − 12 x + 9 b, y = x2 + 4x + 4 + x2 − 6x + 9 Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, y = 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 − 8x + 16 b, y = 25 x 2 − 20 x + 4 + 25 x 2 − 30 x + 9 Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2 x − 1 + x + 2 x − 1 35 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Chuyên đề 1: RÚT GỌN PHÂN THỨC ĐẠI SỐ I – Phương pháp giải: - Phân tích tử và mẫu thành nhân tử (nếu có) để tìm nhân tử chung. - Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung. II – Các dạng bài toán thường gặp: 1- Ruùt goïn phaân thöùc. ( x + a)2 − x 2 a 2 + 4 x 2 + 4ax ( x + a − x)( x + a + x) = ( a + 2 x) 2 a (2 x + a) = (2 x + a) 2 a = 2x + a a 4 − 3a 2 + 1 a 4 − a 2 − 2a − 1 a 4 − 3a 2 + 1 = 4 a − ( a 2 + 2a + 1) Câu1: a ) Câu : b) = a 4 − 2a 2 + 1 − a 2 a 4 − (a + 1) 2 = (a 2 − 1) 2 − a 2 a 4 − (a + 1)2 = (a 2 − 1 + a )(a 2 − 1 − a ) (a 2 + a + 1)(a 2 − a − 1) (a 2 + a − 1) = 2 (a + a + 1) Câu: c) 2 y2 + 5 y + 2 2 y 3 + 9 y 2 + 12 y + 4 (2 y 2 + 4 y ) + ( y + 2) (2 y 3 + 4 y 2 ) + (5 y 2 + 10 y ) + (2 y + 4) 2 y ( y + 2) + ( y + 2) = 2 2 y ( y + 2) + 5 y ( y + 2) + 2( y + 2) ( y + 2)(2 y + 1) = ( y + 2)(2 y 2 + 5 y + 2) (2 y + 1) = (2 y + 1)( y + 2) 1 = y+2 1 Với: y ≠ -2 và y ≠ 2 = 36 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2- Chứng minh. Câu2 : a) Hãy chứng minh: Giải: a 3 − 4a 2 − a + 4 a +1 = 3 2 a − 7a + 14a − 8 a − 2 a 3 − 4a 2 − a + 4 a 3 − 7 a 2 + 14a − 8 (a 3 − a ) − (4a 2 − 4) = 3 (a − 8) − (7 a 2 − 14a ) = a (a 2 − 1) − 4(a 2 − 1) (a − 2)(a 2 + 2a + 4) − 7a (a − 2) (a − 4)(a 2 − 1) = (a − 2)(a 2 − 5a + 4) ( a − 4)(a + 1)(a − 1) = (a − 2)(a − 4)(a − 1) a +1 = a−2 Câu2 : b) Chứng minh phân thức sau không phụ thuộc vào x: ( x 2 + a)(1 + a ) + a 2 x 2 + 1 ( x 2 − a)(1 − a ) + a 2 x 2 + 1 Giải: ( x 2 + a )(1 + a ) + a 2 x 2 + 1 ( x 2 − a)(1 − a) + a 2 x 2 + 1 x2 + x2 a + a + a2 + a2 x2 + 1 x2 − x2 a − a + a 2 + a 2 x2 + 1 x2 + x2 a + a2 x2 + a2 + a + 1 = 2 x − x2a + a2 x2 + a2 + a + 1 x 2 (1 + a + a 2 ) + (1 + a + a 2 ) = 2 x (1 − a + a 2 ) + (1 − a + a 2 ) = = ( x 2 + 1)(1 + a + a 2 ) ( x 2 + 1)(1 − a + a 2 ) = 1 + a + a2 1 − a + a2 Vậy: Phân thức không phụ thuộc vào x. 37 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 1 1 1 1 Câu2: c) Chứng minh rằng nếu x + y + z = x + y + z thì trong ba số x, y, z ít nhất cũng có một cặp số đối nhau . Giải: 1 1 1 1 + + = x y z x+ y+z yz + xz + xy 1 = Ta có: xyz x+ y+z Từ đó ta có: ( x + y + z )( yz + xz + xy ) = xyz Hay ( x + y + z )( yz + xz + xy ) − xyz = 0 Từ: Biến đổi vế trái: ( x + y + z )( yz + xz + xy ) − xyz = xyz + x 2 z + x 2 y + y 2 z + xyz + xy 2 + yz 2 + xz 2 + xyz − xyz = ( xyz + xz 2 + y 2 z + yz 2 ) + ( x 2 y + x 2 z + xy 2 + xyz ) = z ( xy + xz + y 2 + yz ) + x( xy + xz + y 2 + yz ) = ( xy + xz + y 2 + yz )( x + z ) = ( x + y )( y + z )( x + z ) Vậy: ( x + y )( y + z )( x + z ) = 0 Tích ba nhân tử bằng 0 chứng tỏ rằng ít nhất phải có một nhân tử bằng 0, từ đó suy ra ít nhất có một cặp đối nhau. 3- Tính giá trị. Câu3 : a) Tính giá trị của phân thức C = 3 2 Giải: C = x + x − 6 x x3 − 4 x x( x 2 + x − 6) = x( x 2 − 4) x2 − 2 x + 3x − 6 ( x + 2)( x − 2) x( x − 2) + 3( x − 2) = ( x + 2)( x − 2) x+3 = x+2 = Với x = 2008 thì C = 2011 2010 38 x3 + x 2 − 6 x với x = 2008 x3 − 4 x Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 Câu 3: b) Cho a+b+c = 5. Tính giá trị của phân thức Ta có:a 3 + b3 + c 3 − 3abc a 3 + b3 + c 3 − 3abc a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac = a 3 + b3 + c 3 + 3a 2 b + 3ab 2 − 3a 2 b − 3ab 2 − 3abc = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 + c 3 − 3a 2 b − 3ab 2 − 3abc = (a + b)3 + c3 − 3ab(a + b + c ) = (a + b + c)[(a + b) 2 − (a + b)c + c 2 ] − 3ab(a + b + c) = (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ca ) a 3 + b3 + c3 − 3abc (a + b + c )(a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) = = a+b+c =5 Vậy: 2 2 2 a + b + c − ab − bc − ac (a 2 + b 2 + c 2 − ab − bc − ac ) Câu3: c) Cho a, b, c, x, y, z thỏa mãn a b c x y z + + =0 + + = 1 và x y z a b c x2 y2 z 2 Tính: 2 + 2 + 2 a b c Giải: x y z + + =1 a b c x y z ⇔ ( + + )2 = 1 a b c x 2 y 2 z 2 2 xy 2 xz 2 yz ⇔ 2 + 2 + 2 + + + =1 ab ac bc a b c x 2 y 2 z 2 2 xyz c b a ⇔ 2 + 2 + 2 + ( + + ) =1 abc z y x a b c x 2 y 2 z 2 2 xyz a b c ⇔ 2 + 2 + 2 + ( + + ) =1 abc x y z a b c a b c Mà: x + y + z = 0 x2 y2 z 2 Vậy: 2 + 2 + 2 = 1 a b c 4- Tổng hợp Câu4 : a) Cho biểu thức A = mn 2 + n 2 (n 2 − m) + 1 m 2 n 4 + 2n 4 + m 2 + 2 a1) Rút gọn A. a2) Chứng minh rằng A dương. a3) Với giá trị nào của m thì A đạt giá trị lớn nhất? Giải: 39 Giáo án BDHSG Toán 9 Năm học: 2012-2013 2 2 2 a1) A = mn2 4+ n (n4 − m2) + 1 m n + 2n + m + 2 mn 2 + n 4 − mn 2 + 1 = 2 4 m n + m 2 + 2n 4 + 2 n4 + 1 = 4 ( n + 1)( m 2 + 2) 1 = 2 m +2 a2) Ta có: m2 ≥ 0, ∀ m. Nên: m2 + 2 > 0, ∀ m. 1 > 0, ∀ m. m +2 Vậy: A > 0, ∀ m. Do đó: 2 a3) Ta có: m2 ≥ 0, ∀ m. Nên: m2 + 2 ≥ 2, ∀ m. 1 1 ≤ , ∀ m. m +2 2 1 Hay: A ≤ , ∀ m. 2 Do đó: 2 Vậy: A đạt giá trị lớn nhất khi A = 1 2 Suy ra: m2 + 2 = 2 hay m = 0 2 2 x+2  2 − 4 x 3x − x + 1 + − 3 : − Câu4: b) Cho M =  . ÷ 3x  23x− 4 x x +31x − x2 + 1x + 1 x + 2 2   +1) Rút− 3gọn b  ÷: biểu −thức M. x +1  x +1 3x  3x b2) Tìm giá trị của M với x = 2008.  ( x + 2)( x + 1) + 2.3x − 3.3x.( x + 1)  x + 1 3x − x 2 + 1 b3) Với giá trị nào của x thì = . M [...]... 2012-2013 9x 2− x 1 = ⇔x= 2− x x 2 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chun đề Bùi văn Tuyến ) Bài 1( 74/ 29) Cho 0 < x 1, Tìm GTLN của A = 4 x + 25 x +1 Bài 3: Cho x > 0, Tìm GTNN của biểu thức: A = 2x 2 − 6 x + 5 2x Bài 4: Tìm GTNN của biểu thức: B = Bài 5: Tìm GTNN của biểu thức: A = x-4 x x 2 − 3x + 4 x (Bồi dưỡng HSG tốn đại số 9 TRẦN THỊ... y = 4 Bài 8 Tìm GTNN của : A = -x 2 + 4 x + 21 − -x 2 + 3 x + 10 Bài 9( 76/ 29) Tìm GTNN của : A = x y z + + với x, y, z dương và x + y + z ≥ 12 y z x Bài 10: ( 65/ 28) Tìm GTLN, GTNN của : A = x − 4 + y − 3 biết x + y = 15 Biện pháp 2: nhân và chia một biểu thức với cùng một số khác khơng VD Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x -9 5x 29 Giáo án BDHSG Tốn 9 Giải: ĐKXĐ: x ≥ 9 Ta có: A = Năm học: 2012-2013... x -9 5x 29 Giáo án BDHSG Tốn 9 Giải: ĐKXĐ: x ≥ 9 Ta có: A = Năm học: 2012-2013 x -9 = 5x 1x -9  x -9 + 3÷ x 3  2 3 3 = 6 = 1 ≤  5x 5x 5 x 30 x - 9 =3  ⇔ x = 18 Dấu “=” xảy ra khi  3  x ≥ 9 BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = 7x - 5 7x -9 Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: B = x3 - 9 27x 3 Biện pháp 3: Biến đổi biểu thức dã cho thành tổng của các biểu thức sao... y + 8 z + 22 = 0 17 2 Giáo án BDHSG Tốn 9 Năm học: 2012-2013 2) x 2 + 4 y 2 + 9 z 2 − 2 x − 12 y − 12 z + 199 4 Hướng dẫn Ta có: 1) VT = x 2 + 4 x + 4 + 4 y 2 + 4 y + 1 + z 2 + 8 z + 16 + 1 = ( x+2 ) + ( 2 y + 1) + ( z + 4 ) + 1 ≥ 1 2 2 2 2) VT = x 2 − 2 x + 1 + 4 y 2 − 12 y + 3 + 9 z 2 − 12 z + 4 + 198 6 = ( x − 1) + ( 2 y − 3) + ( 3 z − 2 ) + 198 6 ≥ 198 6 2 2 2 Bài 4: CMR: Min A=2 Với A = m 2 − 4mp +... đẳng thức Cosi cho 2 số dương x , y ta có : + ≥ 2 = 4 x y x y Tương tự ta có : 4z 9 y 4z 9 y + ≥2 = 12 ; y z y z 9x z 9x z + ≥2 =6 z x z x  S ≥ 1 + 4 + 9 + 4 + 12 + 6 =36  y 4x 1  x = y  y 2 = 4 x2 y = 3   y = 2x  2   4z 9 y 2 1  = 4 z = 9 y   ⇔ ⇔  z = 3x ⇔ x = z Dấu “=” sảy ra khi :  y 2 2 6  9x z 9 x = z x + y + z = 1   1  = x + y + z = 1   x  z z = 2   x + y + z... 2 x + xy = 4 y = 2 Vậy Max A =2 khi  BÀI TẬP TỰ LUN TƯƠNG TỰ: Bài 1: Tìm GTNN của HS: a, y = 4 x 2 − 4 x + 1 + 4 x 2 − 12 x + 9 b, y = x2 + 4x + 4 + x2 − 6x + 9 Bài 2: Tìm GTNN của HS: a, y = 4 x 2 + 20 x + 25 + x 2 − 8x + 16 b, y = 25 x 2 − 20 x + 4 + 25 x 2 − 30 x + 9 Bài 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của A = x − 2 x − 1 + x + 2 x − 1 35 Giáo án BDHSG Tốn 9 Năm học: 2012-2013 Chun đề 1: RÚT GỌN PHÂN THỨC... y Bài 6( 79/ 29) Cho x ,y thỏa mãn biểu thức: x + y =1 và x > 0 , Tìm GTLN của B = x 2 y 3 2) Tách 1 hạng tử chứa biến thành tổng của một hằng số với 1 hạng tử chứa biến sao cho hạng tử này là nghịch đảo của 1 hạng tử khác có trong biểu thức đã cho VD1: Cho 0 < x < 2 , Tìm GTNN của B = Ta có : B = 9x 2 + 2− x x 9x 2− x 9x 2 − x + +1 ≥ 1+ 2 =7 2− x x 2− x x 31 Giáo án BDHSG Tốn 9  Min B= 7 ⇔ Năm học: ... ( 4 − x ) ⇔ x = 0 BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chun đề Bùi văn Tun ) Bài 1 Tìm GTNN, GTLN của hàm số : y = 1 − x + 1 + x Bài 2: Tìm GTLN của hàm số : y = x − 2 + 4 − x Bài 3: Tìm GTLN của hàm số : A = x − 5 + 23 − x Bài 4: Tìm GTLN của hàm số : A = 2 x − 3 + 23 − 2 x Bài 5: Tìm GTLN của hàm số : A = 5 x − 7 + 17 − 5 x Bài 6: Tìm GTLN của hàm số : A = 3x − 2 + 20 − 3 x Bài 7:Tìm GTLN của... dưới dạng : A = 4 Do đó A ≤ 4 (1) BÀI TẬP TỰ LUYỆN ( BT nâng cao và một số chun đề Bùi văn Tun ) 12 16 Bài 1( 71/28) Cho x > 0 , y > 0 và x + y ≥ 6 Tìm GTNN của P = 5 x + 3 y + x + y Bài 2( 70/28) Cho x > 0 , Tìm GTNN của N = x 3 + 2000 x x 2 + 2 x + 17 Bài 3( 68/ 28) Cho x ≥ , Tìm GTNN của Q = 2( x + 1) Bài 4( 69/ 28) Tìm GTNN của M = x + 6 x + 34 x +3 Bài 5( 72/ 29) Cho x > y và x.y =5 , Tìm GTNN...Giáo án BDHSG Tốn 9 Năm học: 2012-2013 Theo giả thiết ta có : ab = ( a + b )3 ⇔ (10a+b)2 = ( a + b )3 ⇒ ab là một lập phương và a+b là một số chính phương Đặt ab = t3 ( t ∈N ) , a + b = l 2 ( l ∈N ) Vì 10 ≤ ab ≤ 99 ⇒ ab = 27 hoặc ab = 64 • Nếu ab = 27 ⇒ a + b = 9 là số chính phương • Nếu ab = 64 ⇒ a + b = 10 khơng là số chính phương ⇒ loại Vậy số cần tìm là ab = 27 Bài 9: Tìm 3 số lẻ liên tiếp ... n +   C =    Bài 6: Chứng minh số sau số phương: a A = 22 499 91 00… 09 n-2 chữ số n chữ số b B = 11…155…56 n chữ số n-1 chữ số a A = 224.102n + 99 9. 10n+2 + 10n+1 + 9= 224.102n + ( 10n-2... có: A = Năm học: 2012-2013 x -9 = 5x 1x -9  x -9 + 3÷ x  3 = = ≤  5x 5x x 30 x - =3  ⇔ x = 18 Dấu “=” xảy   x ≥ BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Tìm giá trị lớn biểu thức: A = 7x - 7x -9 Bài 2: Tìm... − x Bài 5: Tìm GTLN hàm số : A = x − + 17 − x Bài 6: Tìm GTLN hàm số : A = 3x − + 20 − x Bài 7:Tìm GTLN : A = x − + y − biết x + y = Bài Tìm GTNN : A = -x + x + 21 − -x + x + 10 Bài 9( 76/ 29)