kú thi chän häc sinh giái tØnh së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o qu¶ng b×nh ®Ò chÝnh thøc gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio Líp 12 thPT n¨m häc 2008-2009 Thêi gian : 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) Gi¸m kh¶o (Hä tªn, ch÷ ký) §iÓm bµi thi B»ng sè B»ng ch÷ Gi¸m kh¶o thø nhÊt: Sè ph¸ch (Do Chñ tÞch Héi ®ång chÊm thi ghi) Gi¸m kh¶o thø hai: C¸c quy ®Þnh vµ lu ý : - §Ò thi gåm cã 10 bµi. ThÝ sinh lµm bµi trùc tiÕp vµo b¶n ®Ò thi nµy. - §èi víi c¸c bµi to¸n cã kÕt qu¶ tÝnh to¸n gÇn ®óng, nÕu kh«ng cã chØ ®Þnh cô thÓ th× quy ®Þnh lµ chÝnh x¸c ®Õn 9 ch÷ sè thËp ph©n. - ThÝ sinh cã thÓ sö dông mét trong c¸c lo¹i m¸y tÝnh sau: Casio fx 220, fx 500A, fx 500MS, fx 570MS, fx 570ES. - ThÝ sinh ghi lo¹i m¸y tÝnh hiÖn ®ang sö dông ®Ó lµm bµi vµo « díi ®©y: Bµi 1: (5,0 ®iÓm) a - Cho hµm sè y = f(x) = 1 . T×m gi¸ trÞ cña f(0,1). x.e x b - Cho hµm sè y = f(x) = 1 2 . T×m c¸c cùc trÞ cña hµm sè y = f(x). x.e x ViÕt kÕt qu¶ t×m ®îc díi d¹ng sè thËp ph©n: f(0,1) = fmax = fmin = log x + 4 × 3 y = 6 Bµi 2: (5,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  2 7 × log 2 x + 5 × 3 y = 1 ViÕt kÕt qu¶ t×m ®îc díi d¹ng sè thËp ph©n: x= y= Bµi 3: (5,0 ®iÓm) Hoa võa tróng tuyÓn §¹i häc. V× nhµ nghÌo nªn Hoa ®îc ng©n hµng cho vay trong 4 n¨m häc mçi n¨m 2 triÖu ®ång ®Ó nép häc phÝ víi l·i suÊt u ®·i 3%/n¨m. Sau khi tèt nghiÖp §¹i häc, Hoa ph¶i hÕt cho ng©n hµng b»ng h×nh tr¶ gãp hµng n¨m víi sè tiÒn lµ M ®ång (M kh«ng ®æi) trong vßng 5 n¨m còng víi l·i suÊt 3%/n¨m. TÝnh sè tiÒn M (®ång) mµ hµng n¨m Hoa ph¶i tr¶ nî cho ng©n hµng. ViÕt tãm t¾t c¸ch gi¶i vµ kÕt qu¶ t×m ®îc chÝnh x¸c ®Õn kh«ng ch÷ sè thËp ph©n C¸ch gi¶i: 1 KÕt qu¶: M= (®ång) Bµi 4: (5,0 ®iÓm) Cho tø gi¸c ABCD cã AB = BC = CD = 3,84(cm); AD = 10(cm); gãc ·ADC = 32013'48''. a - TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c. (ViÕt kÕt qu¶ díi d¹ng sè thËp ph©n chÝnh x¸c ®Õn 2 ch÷ sè thËp ph©n) b - TÝnh sè ®o cña gãc B cña tø gi¸c (ViÕt kÕt qu¶ díi d¹ng ®é phót gi©y) BA a C a a b A c D ViÕt tãm t¾t c¸ch gi¶i vµ kÕt qu¶ tÝnh ®îc: C¸ch gi¶i: KÕt qu¶: ·ABC = SABCD = Bµi 5: (5,0 ®iÓm ) Mét thïng h×nh trô cã ®êng kÝnh ®¸y (bªn trong) b»ng 12,24(cm) ®ùng níc. §é cao mùc níc trong thïng lµ 4,56 (cm). Th¶ mét viªn bi h×nh cÇu vµo trong thïng, khi ®ã viªn bi ch×m xuèng ch¹m ®¸y thïng vµ mùc níc d©ng lªn ngang víi ®iÓm cao nhÊt cña viªn bi (MÆt níc lµ tiÕp diÖn cña mÆt cÇu). H·y tÝnh b¸n kÝnh cña viªn bi. 4 BiÕt c«ng thøc ®Ó tÝch thÓ tÝch h×nh cÇu lµ: V = π x3 3 ViÕt tãm t¾t c¸ch gi¶i vµ kÕt qu¶ díi d¹ng sè thËp ph©n: C¸ch gi¶i: 2 KÕt qu¶: x1 = ; x2 = Bµi 6: (5,0 ®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt: P = 16122008 × 16122009 ViÕt kÕt qu¶ t×m ®îc: KÕt qu¶: P = 1 1 1 1 4448 + + + = x x + 1 x + 2 x + 3 6435 ViÕt kÕt qu¶ t×m ®îc díi d¹ng sè thËp ph©n: x1 = ; x2 = ; x3 = ; x4 = ; Bµi 8: (5,0 ®iÓm) T×m sè nguyªn d¬ng cã ba ch÷ sè ba sè abc (a, b, c lµ c¸c ch÷ sè ®«i Bµi 7: (5,0 ®iÓm) T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: ( ( ) ) n mét kh¸c nhau) sao cho abc = ...........abc ViÕt tãm t¾t c¸ch gi¶i vµ kÕt qu¶ t×m ®îc C¸ch gi¶i: ( ) KÕt qu¶: abc = Bµi 9: (5,0 ®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè y = 6 - x 2 3 x −2 x +6 t¹i x = 2009 ViÕt kÕt qu¶ díi d¹ng sè thËp ph©n KÕt qu¶: y= Bµi 10: (5,0 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 4cos2x + 3sinx = 2 ViÕt kÕt qu¶ t×m ®îc díi d¹ng ®é, phót, gi©y 3 KÕt qu¶: ===HÕt=== së gi¸o dôc vµ ®µo t¹o qu¶ng b×nh ®¸p ¸n kú thi chän häc sinh giái tØnh gi¶i to¸n trªn m¸y tÝnh casio Líp 12 thPT n¨m häc 2008-2009 Thêi gian : 150 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò) MéT Sè híng dÉn chung - BiÓu ®iÓm ®· ®îc cho s½n trªn ®Ò vµ ®· ®îc chia nhá nh trªn ®¸p ¸n. - C¸ch gi¶i ®îc tr×nh bµy trong ®¸p ¸n chØ lµ gîi ý. NÕu häc sinh cã c¸ch gi¶i kh¸c nhng vÉn ®óng, gi¸m kh¶o cho ®iÓm tèi ®a. - Quy tr×nh bÊm phÝm ®îc tr×nh bµy trong ®¸p ¸n chØ ¸p dông cho m¸y Casio 570ES. NÕu häc sinh sö dông lo¹i m¸y kh¸c th× quy tr×nh bÊm phÝm sÏ kh¸c víi ®¸p ¸n. NÕu quy tr×nh bÊm phÝm cña häc sinh kh¸c víi ®¸p ¸n nhng vÉn ®óng trªn m¸y cña häc sinh sö dông vµ vÉn thu ®îc kÕt qu¶ ®óng víi ®¸p ¸n, gi¸m kh¶o cho ®iÓm tèi ®a. lu ý : - §èi víi c¸c bµi to¸n cã kÕt qu¶ tÝnh to¸n gÇn ®óng, nÕu kh«ng cã chØ ®Þnh cô thÓ th× quy ®Þnh lµ chÝnh x¸c ®Õn 9 ch÷ sè thËp ph©n. - ThÝ sinh cã thÓ sö dông mét trong c¸c lo¹i m¸y tÝnh sau: Casio fx 220, fx 500A, fx 500MS, fx 570MS, fx 570ES. Bµi 1: (5,0 ®iÓm) a - Cho hµm sè y = f(x) = 1 . T×m gi¸ trÞ cña f(0,1). x.e x b - Cho hµm sè y = f(x) = 1 2 . T×m c¸c cùc trÞ cña hµm sè y = f(x). x.e x ViÕt kÕt qu¶ t×m ®îc díi d¹ng sè thËp ph©n: a - f(0,1) = 2202,646579 b - fmax = -2,331643982; (2,0 ®iÓm) (1,0 ®iÓm) fmin = 2,331643982 (2,0 ®iÓm) log x + 4 × 3 y = 6 Bµi 2: (5,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  2 7 × log 2 x + 5 × 3 y = 1 ViÕt kÕt qu¶ t×m ®îc díi d¹ng sè thËp ph©n: 4 x = 0,456778046 y = 0,526189136 (2,5 ®iÓm) (2,5 ®iÓm) Bµi 3: (5,0 ®iÓm) Hoa võa tróng tuyÓn §¹i häc. V× nhµ nghÌo nªn Hoa ®îc ng©n hµng cho vay trong 4 n¨m häc mçi n¨m 2 triÖu ®ång ®Ó nép häc phÝ víi l·i suÊt u ®·i 3%/n¨m. Sau khi tèt nghiÖp §¹i häc, Hoa ph¶i tr¶ gãp hµng n¨m cho ng©n hµng sè tiÒn M ®ång (M kh«ng ®æi) trong vßng 5 n¨m còng víi l·i suÊt 3%/n¨m. TÝnh sè tiÒn M (®ång) mµ hµng n¨m Hoa ph¶i tr¶ nî cho ng©n hµng. ViÕt tãm t¾t c¸ch gi¶i vµ kÕt qu¶ t×m ®îc chÝnh x¸c ®Õn kh«ng ch÷ sè thËp ph©n C¸ch gi¶i: (1,0 ®iÓm) Sau 4 n¨m, sè tiÒn mµ Hoa nî ng©n hµng lµ: A = 2000000(1,034+1,033+1,032+1,03) Gäi m lµ sè tiÒn hµng n¨m Hoa ph¶i tr¶ cho ng©n hµng. Gäi q = 1 + 0,03 Sau n¨m thø nhÊt, Hoa cßn nî: x1 = Aq - m. Sau n¨m thø hai, Hoa cßn nî: x2 = (Aq - m)q - m = Aq2 - mq - m Sau n¨m thø ba, Hoa cßn nî: x3 = (Aq2 - mq - m)q - m = Aq3 - mq2 - mq - m ... Sau n¨m thø n¨m, Hoa cßn nî: x5 = Aq5 - mq4 - mq3 - mq2 - mq - m = 0. (1) Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 ta t×m ®îc m KÕt qu¶: m = 1881839 (®ång) (4,0 ®iÓm) Bµi 4: (5,0 ®iÓm) Cho tø gi¸c ABCD cã AB = BC = CD = 3,84(cm); AD = 10(cm); gãc ·ADC = 32013'48''. a - TÝnh diÖn tÝch cña tø gi¸c. (ViÕt kÕt qu¶ díi d¹ng sè thËp ph©n chÝnh x¸c ®Õn 2 ch÷ sè thËp ph©n) b - TÝnh sè ®o cña gãc B cña tø gi¸c (ViÕt kÕt qu¶ díi d¹ng ®é phót gi©y) BA a C a a b A c D ViÕt tãm t¾t c¸ch gi¶i vµ kÕt qu¶ tÝnh ®îc: C¸ch gi¶i: (1,0 ®iÓm) a = 3,84(cm); c = 10(cm); b = a 2 + c 2 − (2ac)cosD = 7,055029796 2 2 2 a − b cosB = = -0,6877388994. Suy ra ·ABC = 133027'5'' 2 2a 2 2 2  2  2 2  SinB= 1 − cos 2 B = 1 −  2a − b ÷ = 1 −  a − c + 2ac cos D ÷ = 0,725766733  2a 2 ÷  ÷ 2a 2     1 SABCD = ( ac.sin D + a 2 .sin B) = 15,58971171 ≈ 15,59 2 KÕt qu¶: ·ABC = 133027'5" (2,0 ®iÓm) SABCD ≈ 15,59 (2,0 ®iÓm) 5 Bµi 5: (5,0 ®iÓm ) Mét thïng h×nh trô cã ®êng kÝnh ®¸y (bªn trong) b»ng 12,24(cm) ®ùng níc. Mùc níc trong thïng lµ 4,56 (cm) so víi mÆt trong cña ®¸y. Khi th¶ mét viªn bi h×nh cÇu vµo trong thïng th× mùc níc d©ng lªn ngang víi ®iÓm cao nhÊt cña viªn bi (MÆt níc lµ tiÕp diÖn cña mÆt cÇu). H·y tÝnh b¸n kÝnh cña viªn bi. BiÕt c«ng thøc ®Ó tÝch 4 thÓ tÝch h×nh cÇu lµ: V = π x3 3 ViÕt tãm t¾t c¸ch gi¶i vµ kÕt qu¶ díi d¹ng sè thËp ph©n: C¸ch gi¶i: (1,0 ®iÓm) 4 Ta cã ph¬ng tr×nh: π R 2h + π x3 = π R 2 .2 x ⇔ 4x3 - 6R2x + 3R2h = 0 (0 < x < R) 3 Trong ®ã: R lµ b¸n kÝnh cña h×nh trô, x lµ b¸n kÝnh h×nh cÇu, h lµ chiÒu cao cét níc. BÊm m¸y gi¶i ph¬ng tr×nh: 4x3 - 224,7264x + 512,376192 = 0 (0 < x ≤ 6,12) KÕt qu¶: (2,0 ®iÓm) x1 = 2,588826692 x2 = 5,857864771 (2,0 ®iÓm) Bµi 6: (5,0 ®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ cña P biÕt: P = 16122008 × 16122009 ViÕt kÕt qu¶ t×m ®îc: KÕt qu¶: P= 259919158074072 (5,0 ®iÓm) Bµi 7: (5,0 ®iÓm) T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 1 1 1 1 4448 + + + = x x + 1 x + 2 x + 3 6435 ViÕt kÕt qu¶ t×m ®îc díi d¹ng sè thËp ph©n: KÕt qu¶: x1 = 4,5; x2 = -0,456595543; x3 = -1,576117279; x4 = -2,680416674; (1,25 ®iÓm) (1,25 ®iÓm) (1,25 ®iÓm) (1,25 ®iÓm) Bµi 8: (5,0 ®iÓm) T×m sè nguyªn d¬ng cã ba ch÷ sè ba sè abc (a, b, c lµ c¸c ch÷ sè ®«i mét kh¸c ( ( nhau) sao cho abc ) ) n = ...........abc ViÕt tãm t¾t c¸ch gi¶i vµ kÕt qu¶ t×m ®îc C¸ch gi¶i: (1,0 ®iÓm) ( Dïng quy n¹p ta chøng minh ®îc: nÕu abc ) 2 ( = ...........abc th× abc ) n = ...........abc ( ) = ...........abc , dïng m¸y thö vµ suy luËn ta thÊy c¸c sè 0, 1, 5, 6 tháa 2 ( ...c ) = ...........c . Tõ abc 2 Víi c = 6, ta thö 062, 162, ... ,962 ta cã 762 = ...76 TiÕp tôc thö: 0762, 1762, ... , 9762 ta cã sè 3762 = 141376 T¬ng tù víi c = 5, 1, 0. Ta x¸c ®Þnh ®îc thªm mét sè 625 KÕt qu¶: abc = 625 (2,0 ®iÓm) vµ abc = 376 (2,0 ®iÓm) ( ) ( ) 6 Bµi 9: (5,0 ®iÓm) TÝnh gi¸ trÞ cña hµm sè y = 6 - x 2 3 x −2 x +6 t¹i x = 2009 ViÕt kÕt qu¶ díi d¹ng sè thËp ph©n y = 2,998360244 Bµi 10: (5,0 ®iÓm) T×m nghiÖm cña ph¬ng tr×nh: 4cos2x + 3sinx = 2 ViÕt kÕt qu¶ t×m ®îc díi d¹ng ®é, phót, gi©y x1 = 46010'43''+k3600 x2 = 133049'17''+k3600 x3 = -20016'24''+k3600 x4 = 200016'24''+k3600 (1,25 ®iÓm) (1,25 ®iÓm) (1,25 ®iÓm) (1,25 ®iÓm) 7  ... bình đáp án kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh giải toán máy tính casio Lớp 12 thPT năm học 200 8- 2009 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) MộT Số hớng dẫn chung - Biểu điểm đợc cho sẵn đề. .. nh đáp án - Cách giải đợc trình bày đáp án gợi ý Nếu học sinh có cách giải khác nhng đúng, giám khảo cho điểm tối đa - Quy trình bấm phím đợc trình bày đáp án áp dụng cho máy Casio 570ES Nếu học. .. loại máy khác quy trình bấm phím khác với đáp án Nếu quy trình bấm phím học sinh khác với đáp án nhng máy học sinh sử dụng thu đợc kết với đáp án, giám khảo cho điểm tối đa lu ý : - Đối với toán