TUYỂN tập hệ PHƯƠNG TRÌNH ôn thi đAI HỌC

6 358 0
TUYỂN tập hệ PHƯƠNG TRÌNH ôn thi đAI HỌC

Đang tải... (xem toàn văn)

Thông tin tài liệu

Tuyển tập HỆ PHƯƠNG TRÌNH ôn thi THPT QUỐC GIA năm 2016  x 2  y 2  x 2  y 2  y  1  y 4  y 3  y  Bài 1. Giải hệ phương trình   y  1 13  x  12  y x  25  Lời giải Điều kiện: 13  x  0; y  0 .     x, y     Bình phương trình thứ nhất của hệ, chúng ta có:  x 2  y 2   x 2  y 2  y  1  y 4  y 3  y 2  x4  2x2 y2  y 4  x2 y 2  x2 y  x2  y4  y3  y  x4  x2 y 2  x2  x2 y  y3  y  0  x 2  x 2  y 2  1  y  x 2  y 2  1  0   x 2  y 2  1 x 2  y   0  y  x 2 Với y  x 2 thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta được:  x  1 13  x  12  x  x  25 a  13  x Đặt  b  x     a, b  0   a 2  b2  13 , khi đó suy ra: 2 2 a 2  b 2  13  a  b 2  13  2ab  a  2; b  3 a  b  13     2 2  a  b  ab  1  25  a  3; b  2  a  1 b   b  1 a  25  a  b  ab  1  25  13  x  2 Với a  2; b  3 suy ra   x  9  y  81 x  3   13  x  3 Với a  3; b  2 suy ra   x  4  y  16  x  2 Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là  x; y    4;16  ,  9;81    x 2  y  x  y  6  2 x 2  x  3 y  2 Bài 2. Giải hệ phương trình  3 2  y  2 y  x  6   x  4  6 y  1 Lời giải Điều kiện: x  y  6  0; 6 y  1 . Phương trình thứ nhất của hệ đã cho trở thành: x 2  y  x  y  6  2  x2  y   x  y  2   x2  y  x  2  y   x  y  2 x y62  x, y      x y6 2  x y20   x2  y  x  y  2  0   x  y  2   1  0  x y6 2      1 1  x 2  y  nên x 2  y  x  y  6  2  0 , do đó    x  y  2  0  x  y  2 . 6 6 Thế x  y  2 xuống phương trình hai trong hệ, chúng ta có: y 3  2 y 2  y  4   y  2  6 y  1 Vì y     y  3 y  2 y  2   y  2  y  1  6 y  1  0   y  1  y  4 y  2   3 2 2  y  2  y2  4 y  2 y 1 6 y 1 0 1  y  2  2  x  2   y2 y    y  4 y  2  y  1  0  6   y  1  6 y  1   y2  4 y  2  0   y  2  2  x   2  2 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm là  x; y       2; 2  2 , 2; 2  2  2 x  y  x   4  x  3x  2 y 2   Bài 3. Giải hệ phương trình  2 2  7 x  3 xy  y 1  2 x   4  4 y Lời giải 2 Điều kiện: x  7 x  3 y   0; y 1  2 x   4 .  x, y    Phương trình một của hệ tương đương với: 2 xy  2 x 2  4  3 x 2  2 xy 2  2 xy 2  4  5 x 2  2 xy Thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, ta có: 7 x 2  3 xy  5 x 2  2 xy  y 2  4 y  7 x  3 xy  2 y  5 x  2 xy  y  2 y  0  2 2 2  x  y  7 x  4 y    x  y  5x  3 y  7 x 2  3 xy  4 y 2 7 x 2  3 xy  2 y 5 x 2  2 xy  3 y 2   y  0 5 x 2  2 xy  y 2  2 y 0   7x  4 y 5x  3 y   0 i   0   x  y  2 2  7 x 2  3xy  2 y  7 x 2  3 xy  2 y 5 x 2  2 xy  y 2  2 y 5 x  2 xy  y  2 y   2 2 2 Mặt khác, từ phương trình một suy ra 2 xy  2 xy  5 x  4  2 xy 1  y   5 x  4  x  0 .  Do đó, phương trình  i   x  y  0 , thế ngược lại phương trình một của hệ, ta được:  x  y  0 x  y  0   x y2  3  2 2 2 x  3 x  4  0  x  2   2 x  x  2   0 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    2; 2    x 2  xy  2 y  1   x  1 y  0 Bài 4. Giải hệ phương trình   x3  5 x 2  7 y  6  3 y  2 Lời giải 2 Điều kiện: x  1; y  . 3  x, y    Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với: 2 x 2  2 xy  4 y  2  2  2 x 2  2 xy  4 y  2  x  1  y    2 x  3 x  1  y     x 1  y x 1  y  2  2  x  1 y  0  2 x 2  2 xy  x  3 y  3    2 x  3  x 1  y   x 1  y   x 1  y   2 x 1  y  2  x 1  y  0  y  x 1  0    2 x  3 x  1  y  x  1  y  2 x  2  x  1   2 x  4  y  0    VN : x  1 Với y  x  1  0 thế xuống phương trình thứ hai trong hệ, chúng ta có: x3  5 x 2  7 x  1  3 x  5 x2  5x  6  x  5x  6 x  x  1  3x  5  0  x  x  5x  6   0 x  1  3x  5 x  2  y  1 1   2   x 2  5x  6   x   0  x  5 x  6  0  x  3  y  2  x  1  3x  5    Vậy hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là  x; y    2;1 ,  3; 2   3 2 2  x  y  x  y  2  x  3 y  2 Bài 5. Giải hệ phương trình   x  y  x  y  2   x  y  1 x  y  2 Lời giải Điều kiện: x  y  2; x  y  2 .  x, y    a  x  y  2 Đặt  nên hệ phương trình đã cho trở thành: b  x  y  2  0 a  b  2  0 a  b  2   b 2  4  0 ab  2a  b 2  4   2   b  2  2  2  b  2  b   a  1 a  2  b  2  b   a  1 a  2  b  2  b   a  1 a  2 5   x  2 b  2 a  3 x  y  3     b  2 x  y  2  a  1 a  2  4 y  1  2 5 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    ;   2 2  x  y  1 y  1  y x  y  4 Bài 6. Giải hệ phương trình  2 2  y  y  xy  8  4 xy  x  y  y Lời giải Điều kiện: x  y  1 . a  y  1 Đặt  b  x  y  x, y    2 2  x  a  b  1 , khi đó phương trình thứ nhất trong hệ trở thành:  a, b  0    2  y  a  1 b 2  1 a   a 2  1 b  4   a  b  ab  1  4 Và phương trình thứ hai của hệ tương đương với: y  y  x  1  8  4  x  y  y  1   a 2  1 b 2  1  8  4ab   a  b  2   ab  1  8 2 Từ đó ta suy ra hệ phương trình đã cho được viết lại thành:  a  b  ab  1  4  y  1  1 a  b  2 x  3   a  b  1      2 2 y2 ab  1  a  b    ab  1  8  x  y  1  Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    3; 2   4 x 2  x 2  2 y 3  4 y  5  Bài 7. Giải hệ phương trình  1  4 y  2 x  1  4  2 y  2   4  2 y  2 x  1 Lời giải 1 3 Điều kiện:   x  2; y  . Phương trình thứ hai trong hệ được viết lại thành: 2 4 1  4 y  2x  1  2  4  2 y    2x  1  1  3  4 y 2x  1  2  4  2 y  Vì 3  4 y  0 nên từ phương trình  i  suy ra 2  4  2 y Mặt khác, ta có: 4 x 2  x 2  2 x 8  4 x 2     x, y      2x  1  1 i  2x  1 1  0  2  4  2 y  0  y  0 4 x2  8  4 x2  4 và theo bất đẳng thức AM – GM suy ra: 2  2y  2y  3  4y  4 y 2  3  4 y   2 y.2 y.  3  4 y      1 2y 3  4y 1 3   x  1 2 x  8  4 x 2  2 Do đó 4 x 2  x  2 y 3  4 y  5 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi   1  y  2 2 y  3  4 y  1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y   1;    2 3 4 x 3  12 x 2  15 x  7   y  1 2 y  1 Bài 8. Giải hệ phương trình  6  x  2  y  x  26  6 3 16 x  24 y  28 Lời giải Điều kiện: x  ; 2 y  1  0 . Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:  x, y    2  4 x3  12 x 2  15 x  7    2 y  2  2 y  1  8 x 3  24 x 2  30 x  14   2 y  2  2 y  1   8 x 3  24 x 2  24  8  3  2 x  2    2 y  1  3 2 y  1   2 y  1 2 y  1  3 2 y  1   2x  2  3  2x  2  3   2y 1  3 3   2 y  1  2x  2  2 y  1 x  1 x  1 Với 2 x  2  2 y  1   2  thế xuống phương trình thứ hai, ta có: 2 4 x  8 x  4  2 y  1 2 y  4 x  8 x  5 3  4 x 2  8 x  5   x  2   x  26  6 3 12  4 x 2  8 x  5  16 x  28  12 x 3  48 x 2  62 x  4  6 3 48 x 2  80 x  32 Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho ba số thực không âm, ta có: 48 x 2  80 x  32  64  64  3 3 64.64  48 x 2  80 x  32   48 3 48 x 2  80 x  32 Nên suy ra 8 12 x 3  48 x 2  62 x  4   48 x 2  80 x  32  64  64   x  2   2 x  1  0   x  2   0 2 2  x  1  x  2  y   5 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    2;    2  x 2  y 2  xy  7 x  6 y  14  0  Bài 9. Giải hệ phương trình  11 7 3  2 1  2  y3  y 2  7 x  2x x 2  Lời giải Điều kiện: x  0; y   . 5 2  x, y     x 2   y  7  x  y 2  6 y  14  0 Xét phương trình thứ nhất, ta có: x  y  xy  7 x  6 y  14  0   2 2  y   x  6  y  x  7 x  14  0 2 2 Có  x   y  7   4  y 2  6 y  14   10 y  3 y 2  7 và  y   x  6   4  x 2  7 x  14   16 x  3x 2  20 . 2   2  x  0 10 y  3 y 2  7  0 10 7 Để hệ phương trình   có nghiệm      x  2;  y  1 2 3 3  y  0 16 x  3 x  20  0  Xét hàm số f  x   x  11 7 10  2 1  2 với  x  2 , ta có: 2x x 3 2 7  7 7  7     Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki suy ra  3     3.1  7.    9  7  1  2   16 1  2  x  x  x  x     Do đó f  x   x  2 11 1  7 3  9 3 9 15  3      x     2 x.  AM  GM 2x 2  x 2  x 2 x 2 3 7 7  Xét hàm số g  y   y 3  y 2  7 với  y  1 , ta có g  y   3 y 2  3 y  3 y  y  1  0;   y  1 . 2 3 3 15  7 Do đó g  y  là hàm số đồng biến trên 1;  nên suy ra g  y   g 1   2  3 x  3 15 15 Từ đó suy ra được f  x   g  y     0 . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi  . 2 2 y 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    3;1  2 x  2  y  2 y  x  1 Bài 10. Giải hệ phương trình  2 2 8  2 x  2 y  1 2 x  y  1  x  y  11 Lời giải Điều kiện: x  1; y  2; 2 x  y  1 .  x, y    Xét phương trình thứ nhất trong hệ, ta có: 2 x  2  y  2 y  x  1  2 x  2 y  x  1  2  y  0 Theo bất đẳng thức Bunhiacopki, suy ra: 1. x  1  1. 2  y   1 2 2  12   x  1  2  y   2  x  y  1  x  1  2  y  2  x  y  1 Khi đó, ta được: 0  2 x  2 y  x  1  2  y  2  x  y  1  4  x  y   2  x  y   2  0  0  x  y  1 . 2 Lại có, áp dụng bất đẳng thức AM – GM thì 4 2 x  y  1  2 x  y  1  4  2 x  y  3 nên phương trình thứ hai của hệ được viết lại thành: 8  2 x  2 y  1 2 x  y  1  2  2  x  y   1  2 x  y  3  2  2 x  y  3 . Do đó, suy ra: x  2 2 2 x 2  y 2  11  8  2 x  2 y  1 2 x  y  1  2  2 x  y  3    x  2    y  1  0   y 1 Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất là  x; y    2;1  ... Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y    2;    x  xy  y    x  1 y  Bài Giải hệ phương trình   x3  x  y   y  Lời giải Điều kiện: x  1; y   x, y    Phương trình. .. y x  xy  y  y   2 Mặt khác, từ phương trình suy xy  xy  x   xy 1  y   x   x   Do đó, phương trình  i   x  y  , ngược lại phương trình hệ, ta được:  x  y  x  y  ...  y2  y     y    x    Vậy hệ phương trình cho có nghiệm  x; y       2;  , 2;   2 x  y  x    x  3x  y   Bài Giải hệ phương trình  2  x  xy  y 1  x   

Ngày đăng: 10/10/2015, 23:14

Từ khóa liên quan

Tài liệu cùng người dùng

  • Đang cập nhật ...

Tài liệu liên quan