HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI LỜI NÓI ĐẦU Trong hành trình phát triển của nền giáo dục Việt Nam, hệ thống các trường THPT chuyên ngày càng khẳng định được vị thế quan trọng của mình trong việc phát hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng nhân tài, chắp cánh những ước mơ bay cao, bay xa tới chân trời của tri thức và thành công. Đối với các trường THPT chuyên, công tác học sinh giỏi luôn được đặt lên hàng đầu, là nhiệm vụ trọng tâm của mỗi năm học. Hội thảo khoa học các trường THPT chuyên Khu vực Duyên Hải và Đồng bằng Bắc Bộ là một hoạt động bổ ích diễn ra vào tháng 11 thường niên. Đây là dịp gặp gỡ, giao lưu, học hỏi, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy, phát hiện, tuyển chọn và bồi dưỡng đội tuyển học sinh giỏi Quốc gia, Quốc tế giữa các trường THPT chuyên trong khu vực. Năm năm qua, các hội thảo khoa học đều nhận được sự hưởng ứng nhiệt tình của các trường, bước đầu đã đem đến những hiệu ứng tốt, tác động không nhỏ đến công tác bồi dưỡng học sinh giỏi và chất lượng đội tuyển học sinh giỏi quốc gia của các trường Chuyên. Năm 2013 là năm thứ 6, hội thảo khoa học của Hội các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ được tổ chức tại Thái Bình - mảnh đất quê lúa, mang trong mình truyền thống yêu nước và truyền thống hiếu học. Tại hội thảo lần này, chúng tôi chủ trương tập trung vào những vấn đề mới mẻ, thiết thực và có ý nghĩa đối với việc bồi dưỡng học sinh giỏi, để quý thầy cô đã, đang và sẽ đảm nhiệm công tác này tiếp tục trao đổi, học tập, nâng cao hơn nữa năng lực chuyên môn của mình. Tập tài liệu của Hội thảo lần thứ VI bao gồm những chuyên đề khoa học đạt giải của quý thầy cô trong Hội các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc bộ. Các bài viết đều tập trung vào những vấn đề trọng tâm đã được hội đồng khoa học trường THPT chuyên Thái Bình thống nhất trong nội dung hội thảo. Nhiều chuyên đề thực sự là những công trình khoa học tâm huyết, say mê của quý thầy cô, tạo điểm nhấn quan trọng cho diễn đàn, có thể coi là những tư liệu quý cho các trường trong công tác bồi dưỡng học sinh giỏi. Xin chân thành cảm ơn sự cộng tác của quý thầy cô đến từ các trường THPT chuyên Khu vực Duyên hải và Đồng bằng Bắc Bộ cùng các trường THPT chuyên với vai trò quan sát viên. Chúng tôi hy vọng, sẽ tiếp tục nhận được nhiều hơn nữa sự phản hồi, đóng góp, trao đổi của quý thầy cô để các chuyên đề khoa học hoàn thiện hơn. Thái Bình, tháng 11 năm 2013 TRƯỜNG THPT CHUYÊN THÁI BÌNH Trường THPT Chuyên Thái Bình 1 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Chuyên đề xếp loại xuất sắc ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN Biên soạn: Nguyễn Chí Trung Đơn vị công tác: THPT Chuyên Bắc Ninh LỜI NÓI ĐẦU Trong chương trình vật lý THPT dành cho học sinh chuyên Lý cũng như chương trình vật lý đại cương, tôi thấy phần các bài tập cơ học vật rắn là phần kiến thức khó và đặc biệt là phần Định lý Koenig để xác định mô men động lượng và mô men lực đối với một trục quay hay một điểm thì càng khó hơn vì đây là phần kiến thức đòi hỏi học sinh phải có kỹ năng toán học tốt về phần giải tích vec tơ. Đây là phần kiến thức khó nhưng cũng rất cơ bản giúp chúng ta có thể giải quyết các bài toán cơ học vật rắn tốt hơn, nhanh gọn hơn. Chính vì vậy tôi biên soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức cơ bản, rèn luyện kĩ năng vận dụng các định lý này trong việc giải các bài toán cơ học vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh giỏi các cấp và đặc biệt là học sinh đội tuyển dự thi học sinh giỏi quốc gia và thi chọn đội tuyển dự thi Olympic Châu Á Thái Bình Dương cũng như Olympic quốc tế. Sau đây là nội dung của chuyên đề: - Cơ sở lý thuyết. - Các ví dụ đơn giản áp dụng công thức. - Các bài tập tổng hợp có lời giải chi tiết. - Các bài tập tự luyện tập với đáp số. Trường THPT Chuyên Thái Bình 2 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI I. CƠ SỞ LÝ THUYẾT 1. Khối tâm a) Đối với hệ chất điểm S là trọng tâm của các điểm Mi có khối lượng mi, gọi O là một điểm tùy ý, ta có OG = rG = ∑m r = ∑m r M ∑m i i i i (1) với r i = OM i i Nếu ta chọn O ở G thì rG = 0 b) Đối với vật rắn: rG = ∫ rdm = ∫ rdm ∫ dm M (2) 2. Động lượng a) Định nghĩa: Các điểm MI cấu tạo nên hệ S chuyển động với vận tốc v i trong hệ quy chiếu R. Tổng động lượng p của S trong R bằng tổng cộng động lượng của các chất điểm cấu tạo nên hệ S: p = ∑ mi vi = ∑ mi ( ) d ri d d = ( ∑ mi vi ) = m.OG = mvG dt dt dt (3) Ta có nhận xét quan trọng: Tổng động lượng của một hệ chất điểm trong hệ quy chiếu (HQC) R bằng động lượng trong R của một chất điểm giả định ở tại khối tâm G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ S. p = mvG b) Tổng động lượng trong HQC trọng tâm R* * Theo định nghĩa, điểm G là điểm cố định trong R*, v G và tổng động lượng * p của hệ S trong R * * bằng không: p = 0 (4) 3. Mối liên hệ giữa động lượng và lực. Định luật II Newton + Lực: ∑F ext = dp = MaG dt Trường THPT Chuyên Thái Bình (5) 3 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Trong đó ∑F ext là tổng các ngoại lực tác dụng lên hệ. + Xung của lực: X = ∫ Fex dt = Fextb ∆t = ∆P 0 4. Động năng của hệ, định lý Koenig đối với động năng Chọn điểm cố định O làm gốc tọa độ, G là khối tâm của hệ, ta có: K (0) = Vì 1 1 1 2 mi vi2 = ∑ mi viG + mvG2 (6) ∑ 2 2 2 1 ∑ miviG2 là động năng toàn phần của hệ hạt đối với khối tâm G, nên ta có: 2 1 2 Định lý Koenig đối với động năng: K = mv 2 (G ) + K * (G ) (7) 5. Mô men động lượng. Định lý Koenig đối với mô men động lượng a) Mô men động lượng của hệ đối với điểm cố định O chọn làm gốc (của hệ S trong HQC R) bằng tổng mô men động lượng của tất cả các điểm tạo nên hệ S. L0 = ∑ ri ∧ mi vi (8) b) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G của S trong R*, theo định nghĩa là: L*G = ∑ GM i ∧ mi vi* = ∑ riG ∧ mi vi* (9) c) Định lý Koenig đối với mô men động lượng Mô men động lượng đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng tổng của: + Mô men động lượng đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R + Mô men động lượng đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là trong chuyển động của nó quanh G) L0 = L*G + OG ∧ mvG (10) d) Mô men động lượng trọng tâm Nếu A là một điểm bất kỳ nào đó, ta có thể viết trong R*: ( ) L A = ∑ AM i ∧ mi vi = ∑ AG + GM i ∧ mi vi* * = AG ∧ ∑ mi vi* + ∑ GM i ∧ mi vi* Trường THPT Chuyên Thái Bình 4 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Biết rằng p = ∑ mi vi* = 0 , chúng ta nhận thấy mô men động lượng của hệ * trong HQC trọng tâm là độc lập với điểm mà tại đó ta tính. Chúng ta có thể viết * mô men này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: L A = LG = L * * * Dùng định lý Koenig ta có: LG = LG = L e) Mô men động lượng tại một điểm của trục Giả sử vật rắn S là một cánh cửa như hình vẽ. HQC RS (O,xS, yS, zS) gắn với vật rắn, quay với vận tốc góc Ω = Ωez = ' ez trong HQC R. Ta viết biểu thức của mô men động lượng L A của vật rắn này tại một điểm A cố định của trục Oz (A cũng là một điểm cố định trong HQC gắn với vật rắn) trong R: L A = ∫∫∫ AM ∧ v( M )dm S z Với v( M ) = v(a) + Ω ∧ AM = Ωez ∧ AM H Từ đó rút ra: M L A = ∫∫∫ AM ∧ v( M )dm = Ω ∫∫∫ AM ∧ (ez ∧ AM )dm S S 2 ( θ O Vậy L A = Ω ∫∫∫S ( AM ez − ( AM .ez ) AM )dm Ta đưa vào điểm H là hình chiếu của M trên trục quay: yS y θ xS x Ω = ' ez ) AM = AH + HM = AM .ez ez + HM Vậy ta được: L A = Ω ∫∫∫ HM 2 dm − Ω ∫∫∫ ( AM .ez ) HM )dm (Vì HM 2 = AM 2 − AH 2 ) S S Như vậy ta phân biệt trong biểu thức của L A hai thành phần: + Một thành phần cùng phương với vec tơ quay, đó là: L A = Ω ∫∫∫S HM 2 dm + Một thành phần vuông góc với vec tơ L A⊥ = −Ω ∫∫∫ ( AM .ez ) HM )dm S f) Mô men động lượng đối với trục ∆ - Mô men quán tính: Trường THPT Chuyên Thái Bình 5 quay, đó là: HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Thành phần L∆ trên trục quay L A của mô men động lượng được gọi là mô men động lượng của vật rắn đối với trục ∆. ∆ L∆ = L A .ez = L A .ez = ez Ω ∫∫∫ HM 2 dm = Ω ∫∫∫ HM 2 dm S S Theo định nghĩa, L∆ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A trên trục ∆. + Khoảng cách HM = r của điểm M đến trục quay H r M là không đổi khi vật rắn quay và ta cũng định nghĩa mô men quán tính J ∆ của vật rắn đối với trục quay ∆ như sau: J ∆ = ∫∫∫S r 2 dm Mô men quán tính của vật rắn đối với một trục quay đặc trưng cho mức quán tính của chuyển động quay của vật rắn quanh trục đó (bất biến theo thời gian), chỉ phụ thuộc vào cách phân bố khối lượng trong vật rắn. 6. Mô men lực, định lý Koenig đối với mô men lực + Mô men lực M O tại điểm O của hệ S trong R có biểu thức là: M O = ∑ OM i ∧ mi ai + Mô men lực tại G trong R* (R* là tịnh tiến đối với R) M G = ∑ GM i ∧ mi a i = ∑ riG ∧ mi a i * * * Từ công thức cộng gia tốc ta có: ai = ae ( M i ) + aC ( M ) + ai* = aG + ai* Gia tốc Coriolis bằng không còn gia tốc kéo theo không phụ thuộc vào chỉ số i và bằng gia tốc aG của điểm G. ( ) Ta rút ra: M O = ∑ ( OG ∧ GM i ) ∧ mi aG + ai* = OG ∧ maG + ∑ GM i ∧ mi ai* Vì ∑ m GM i i = 0 và ∑m a i * i = F * = 0 nên ta suy ra định lý Koenig đối với mô men lực: + Xung của mô men lực: M Ox = ∫ M g dt = ∆L0 0 Định lý Koenig đối với mô men lực: Mô men lực đối với O của hệ chất điểm S trong HQC R bằng tổng của: + Mô men lực đối với O của một chất điểm giả định đặt ở G có khối lượng bằng khối lượng tổng cộng của hệ trong R Trường THPT Chuyên Thái Bình 6 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI + Mô men lực đối với G của hệ S trong HQC trọng tâm của nó (nghĩa là trong chuyển động của nó quanh G) * M 0 = M G + OG ∧ maG (10) 7. Mô men lực trọng tâm: Cũng như đối với mô men động lượng, mô men lực của S trong HQC trọng tâm R* không phụ thuộc vào điểm mà ta tính. Chúng ta có thể viết mô * men này mà không cần nói rõ chỉ số của điểm đó: M A = M G = M * Dùng định lý Koenig ta có: M G = M G = M * * 8. Mối liên hệ giữa mô men động lượng và mô men lực Ta xét trường hợp tổng quát, điểm được chọn để tính mô men là điểm bất ký P, điểm này có thể đứng yên hoặc chuyển động đối với điểm cố định O chọn làm gốc tọa độ (hình vẽ) y 1 r1 O r1 − rP rP P r2 − rP 2 r2 x Theo định nghĩa mô men động lượng toàn phần của hệ đối với điểm P là: LP = ∑ (ri − rP ) ∧ mi (vi − vP ) Lấy đạo hàm theo thời gian, ta được dLP = ∑ (vi − vP ) ∧ mi (vi − vP ) + (ri − rP ) ∧ mi (ai − aP ) dt = 0 + ∑ (ri − rP ) ∧ (mi .ai − mi aP ) Thay mi ai = Fi ex + Fi in là tổng hợp các ngoại lực và nội lực tác dụng lên hạt I, ta được: dLP = ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ext − ∑ mi ( ri − rP ) ∧ aP dt Thay tiếp ∑ m .r = mr i i G , ta được Trường THPT Chuyên Thái Bình 7 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI dLP = ∑ ( ri − rP ) ∧ Fi ex − m ( rG − rP ) aP dt Vì ∑(r − r ) ∧ F i P i ex theo định nghía là mô men của ngoại lực đối với P, nên cuối cùng ta được công thức tổng quát: dLP = ∑ M Pex − ( rG − rP ) ∧ maP dt (6) Công thức (6) cho thấy mối liên hệ giữa mô men lực và mô men động lượng không đơn giản như mối liên hệ giữa lực và động lượng. Có dự khác biệt này là do mô men động lượng và mô men lực còn tùy thuộc vào điểm để tính mô men. Bây giờ ta bàn tiếp số hạng thứ hai trong công thức (6). Số hạng này chỉ triệt tiêu nếu một trong ba điều kiên sau đây được thỏa mãn: a) aP = 0 . Điểm P đứng yên (hay chuyển động thẳng đều) dLP = ∑ M P (P cố định) (7) dt b) rG = rP hay P ≡ G . Khi ấy ta có: dLG = ∑ M Gex dt c) Gia tốc aP / / ( rG − rP ) hay aG / / PG . Khi ấy ta có: { } dLP = ∑ M Pex aP / / PG dt (9) 9. Các chú ý về toán học: Cho hai vec tơ: A = (ax , a y , az ) , B = (bx , by , bz ) + Tích vô hướng của hai vec tơ: A.B = (axbx + a y by + az bz ) + Tích có hướng của hai vec tơ: A ∧ B = i (a y bz − az by ) + j (az bx − axbz ) + k (axby − a y bx ) Với i, j , k là các vec tơ đơn vị của các trục Ox, Oy, Oz Trường THPT Chuyên Thái Bình 8 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI II. BÀI TẬP VÍ DỤ Ví dụ 1. Hai chất điểm A và B giống hệt nhau, có khối lượng m liên kết với nhau bằng một thanh chiều dài là b, khối lượng không đáng kể. A dịch chuyển trên vòng tròn tâm O bán kính b và thanh AB có thể dao động quanh một trục đi qua A và vuông góc mặt phẳng như hình vẽ. Tính tổng động lượng và mô men động lượng đối với O của hệ AB O α A β B theo các góc α, β và đạo hàm của chúng theo thời gian. Giải Cách 1: Ta có: p = mv( A) + mv( B) LO = OA ∧ mv( A) + OB ∧ mv( B ) Với OA = (b cos , b sin , 0) suy ra v( A) = OA ' = (−b 'sin , b ' cos , 0) và OB = (b(cos + cos ), b(sin + sin ), 0) v( B ) = OB ' = (−b( 'sin + 'sin ), b( ' cos + ' cos ), 0) Suy ra p = mv( A) + mv( B) = m(−b(2 'sin + 'sin ), b(2 ' cos + ' cos ), 0) Và LO = OA ∧ mv( A) + OB ∧ mv( B) = mb 2 (2 '+ '+ 2 ' cos( − ))ez Với ez là vec tơ đơn vị của trục Oz vuông góc, đi ra ngoài mặt phẳng hình vẽ Cách 2: Chúng ta có thể dùng định lý Koenig bằng cách đưa vào khối tâm G (trung điểm của AB) của hệ. 1 2 1 2 Ta có OG = (b(cos + cos ), b(sin + sin ), 0) Trường THPT Chuyên Thái Bình 9 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Và vận tốc khối tâm G là: vG = OG ' = (−b( 'sin + 1 2 'sin ), b( 'cos + 1 2 ' cos ), 0) Mô men động lượng của hệ đối với khối tâm G: L*G = GA ∧ mv ( A)* + GB ∧ mv ( B )* = 2GB ∧ mv ( B)* vì GA = −GB và v ( A)* = −v ( B )* 1 1 GB = ( bcos , b sin , 0) 2 2 v ( B )* = ( − 1 2 O y 1 'sin , b ' cos , 0) 2 α A Rõ ràng là ta tìm được p = 2mv (G ) = m( −b(2 'sin + G 'sin ), b(2 ' cos + y’ β ' cos ), 0) B Và tổng mô men động lượng của hệ: LO = L*G + OG ∧ 2mv (G ) = mb 2 (2 '+ '+ 2 ' cos( − ))ez x’ x Ví dụ 2 Một thanh AB đồng nhất, có tâm G, khối lượng m được treo trên hai dây nhẹ giống nhau AA’ và BB’ có chiều dài b. Thanh dao động trong mặt phẳng thẳng đứng, hai dây AA’ và BB’ luôn song song với nhau. A’ B’ α α G A a) Tính động năng của thanh theo đạo hàm ' của góc nghiêng của các dây ở một thời điểm cho trước. b) Tìm chu kỳ dao động nhỏ của thanh. Giải a) Định lý Koenig đối với động năng cho ta: K= 1 2 mv (G ) + K * (G ) 2 Trong HQC R* (G,x,y,z) thanh đứng yên và K * (G ) = 0 nên: K= 1 2 1 mv (G ) = mb 2 '2 (1) 2 2 b) Chọn mốc thế năng tại vị trí thấp nhất của thanh trong quá trình dao động Trường THPT Chuyên Thái Bình 10 B HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI + Thế năng của thanh là: U = mgb(1 − cos ) (2) + Cơ năng của hệ là: E = K +U = 1 2 2 mb ' + mgb(1 − cos ) = mgb(1 − cos 2 0 ) = const (3) Đạo hàm theo thời gian hai vế của (3) ta được: " b + g sin = 0 (4) < 10o → sin Với ≈ (rad ) thì phương trình (4) trở thành: "+ 2 = 0 với Vậy chu kỳ dao động nhỏ của thanh là: T = 2 2 = =2 g b b g Ví dụ 3 Một vòng tròn đồng nhất có tâm O, khối lượng ω m, bán kính a quay với tốc độ ω không đổi quanh trục ez cố định của nó. Tính mô men động lượng của vòng tròn ở O và động năng của vòng tròn đó. Giải Điểm M của vòng tròn được xác định bởi các tọa độ cực: OM = aer Vận tốc của M là: v( M ) = a e Từ đây suy ra: + Mô men động lượng đối với O: LO = ∫ OM ∧ v( M )dm = ma 2 ez vòng e O + Mô men lực đối với O: MO = + d d d LO = OM ∧ v( M )dm = (ma 2 )ez = 0 ∫ dt dt vòng dt 1 2 + Động năng K = J ∆ 2 = 1 ma 2 2 2 Ví dụ 4 Chứng minh định lý Huygens bằng cách: a) Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng. b) Dùng chứng minh hình học. Trường THPT Chuyên Thái Bình 11 M er HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Giải a) Gọi A là điểm cố định của trục ∆. + Trong R: L∆ = J ∆G Ω + Theo định lý Koenig: L∆ = LA .ez = ( AG ∧ mv(G ) ) ez + L*G .ez Với v(G) = Ωez ∧ AG Từ đó: ( AG ∧ mv(G ) ) ez = m ( AG 2 − AH G2 ) Ω = ma 2Ω Trong R*: L*∆ = L*G .ez = J ∆G Ω Từ đó: J ∆ = ma 2 + J ∆G b) H và HG là hình chiếu của một điểm M của vật rắn tương ứng trên ∆ và ∆G, ta có: J ∆ = ∫∫∫ HM 2 dm và J ∆G = ∫∫∫ H G M 2 dm S S Nhưng HM = ( HH G + H G M ) = HH G2 + H G M 2 + 2 HH G .H G M 2 2 Với HH G = a là khoảng cách giữa hai trục ∆ và ∆G và HH G .H G M = HH G .GM vì HH G .H G G = 0 S G H M HG ∆ ∆G Để ý rằng vec tơ HH G là độc lập với điểm M, từ đó lấy tổng cho cả vật rắn S ta suy ra: J ∆ = ma 2 + J ∆G + 2 HH G ∫∫∫S GM dm Số hạng cuối cùng của biểu thức này bằng không theo định nghĩa của khối tâm G nên: J ∆ = ma 2 + J ∆G Ví dụ 5 Xét một con lắc treo ở điểm O cố định gồm thanh OA khối lượng không đáng kể và chiều dài là R, người ta hàn vào thanh một dây thuần nhất khối lượng m có dạng là một nửa vòng tròn mà thanh OA là bán kính. Vị trí của con lắc được xác định theo góc α giữa thanh OA và đường thẳng đứng hướng xuống. Xác định tổng động lượng, mô men động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động năng của con lắc phụ thuộc vào α và Trường THPT Chuyên Thái Bình 12 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI các đạo hàm của chúng. Giải Một điểm M của nửa vòng tròn được xác định bởi góc = + với β = const (hình vẽ) Từ đó: OM = Rer và v( M ) = R ' e Từ đây ta suy ra: C 2 + Động lượng: p = ∫ v( M )dm = mR ' ez B C + Mô men động lượng: LO = ∫ OM ∧ v(M )dm = mR ' ez B C + Mô men lực: M O = d LO d = ( ∫ OM ∧ v(M )dm) = mR '' ez dt dt B 1 2 Và động năng: K = mR 2 '2 Ví dụ 6. Một thanh AB đồng nhất chiều dài 2b và khối tâm G là trung điểm của AB. Thanh tựa lên mặt đất nằm ngang và gối lên một bức tường thẳng đứng. Vị trí của thanh được xác định theo góc ( y G ) = Ox, OG , góc này thay đổi khi thanh trượt ở A và B. + B O 1) Xác định các thành phần của vận tốc v(G ) của điểm G theo α và đạo hàm của α. 2) Tìm vec tơ quay Ω của thanh. Chú ý: cần chú ý đến dấu của các biểu thức khi tính toán. Giải. 1. Trong tam giác vuông OAB, trung tuyến OG có chiều dài b, từ đó: Trường THPT Chuyên Thái Bình 13 x A HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI OG = ( b cos , b sin , 0 ) Vận tốc khối tâm: v(G ) = d OG = ( −b 'sin , b ' cos , 0 ) (1) dt 2. Véc tơ quay của thanh hướng theo trục ez , ta đặt Ω = Ωez Ta cũng có thể viết biểu thức của v(G ) như sau: v(G ) = v( A) + Ω ∧ AG Biết rằng OA = 2b cos .ex suy ra v( A) = d OA = −2b 'sin .ex dt Từ đây suy ra: v(G ) = v( A) + Ω ∧ AG = (−b(Ω + 2 ') sin ; −bΩcos ;0) (2) Cho (1) bằng (2) ta được Ω = − ' ez Ví dụ 7. Một con lắc kép gồm hai thanh OA và AB giống nhau, đồng chất, có khối lượng m, chiều dài 2b và nối khớp ở A. Hai thanh chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng Oxy và góc nghiêng của O α A + y’ G1 β chúng được xác định bởi các góc α, β so với đường thẳng đứng Ox hướng xuống. Tính mô men động lượng đối với O và động năng của con lắc kép này. y G2 x B x’ Giải Thanh OA quay quanh trục Oz cố định, định lý Huygens cho: J OZ (OA) = mb 2 + 1 4 m(2b) 2 = mb 2 12 3 Từ đó ta có mô men động lượng của thanh OA đối với điểm O: LO (OA) = J Oz (OA). ' ez = 4 2 mb ' ez 3 Động năng của thanh OA: K (OA) = 1 2 J Oz (OA). '2 = mb 2 '2 2 3 Áp dụng định lý Koenig cho phép tính các phần tử động học của thanh AB: Trường THPT Chuyên Thái Bình 14 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI LO ( AB ) = OG2 ∧ mv(G2 ) + J G2 z ( AB ). ' ez K ( AB ) = 1 2 1 mv (G2 ) + J G2 z ( AB ). '2 2 2 2b cos + b cos Biết rằng: OG2 2b sin + b sin 0 −2b 'sin − b 'sin d Và vận tốc của G2 là v(G2 ) = OG2 = 2b ' cos + b ' cos dt 0 Và J Gz ( AB) = 1 1 m(2b) 2 = mb 2 = J 12 3 1 Ta có: LO ( AB ) =  mb 2 (4 '+ '+ 2( '+ ')cos( − ) + mb 2 '  ez  3  Và động năng: K ( AB ) =  mb 2 (4 '2 + '2 + 4 '. ' cos( − ) + mb 2 '2  2 6 1 1   Đối với cả hệ con lắc kép: 4  16 '+ LO = LO (OA) + LO ( AB ) = mb 2  3  3 8 2 2 K = K (OA) + K ( AB ) = mb 2  ' + 3 3 '+ 2( '+  ')cos( − )  ez   '2 + 2 '. ' cos( − )   Ví dụ 8. Hai vật khác nhau có cùng khối lượng m trượt không ma sát trên mặt bàn nằm ngang. Thời gian đầu các vật này thực hiện trượt tịnh tiến( không quay) và các tâm của chúng có cùng vận tốc v dọc theo hai đường thẳng song song. Khoảng cách giữa các đường thẳng bằng d. Tại một thời điểm nhất định xảy ra va chạm đàn hồi lý tưởng giữa các vật. Sau va chạm, các vật thực hiện chuyển động tịnh tiến, quay và tiếp tục trượt trên mặt bàn, vận tốc góc của vật thứ nhất bằng 1 , của vật thứ hai bằng 2 . Mô men quán tính của chúng tính theo các trụ thẳng đứng đi qua khối tâm lần lượt là I1 và I2. a) Hãy chỉ ra rằng mô men xung lượng của vật tính theo điểm xác định bất kì của mặt bàn bằng tổng mô men xung lượng của vật tính theo khối tâm của nó. Trường THPT Chuyên Thái Bình 15 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI b) Tính khoảng cách d’ giữa các đường thẳng dọc theo khối tâm của hai vật chuyển động sau va chạm. c) Thừa nhận rằng, sau va chạm giá trị vận tốc của vật thứ nhất là v còn 2 vật thứ hai không quay. Hãy xét sự phụ thuộc của d’ vào d. Giải: mi a) Ta cần chứng minh: LO = LG + ( ∑ mi ) rG ∧ vG = LG + M rG ∧ vG rG + ri G Xét phần tử mi trên vật rắn. Ta có: LO = ∑ mi (rG + ri ) ∧ (vG + vi ) O rGG = (∑ mi )rG ∧ vG + (∑ mi ri ) ∧ vG + rG ∧ (∑ mi vi ) + ∑ mi ri ∧ vi ∑ mi ri = 0 Nhận xét:  ∑ mi vi = 0 Do đó LO = (∑ mi )rG ∧ vG + ∑ mi ri ∧ vi Mặt khác, (∑ mi )rG ∧ vG = M rG ∧ vG  ∑ mi ri ∧ vi = LG nên LO = LG + M rG ∧ vG (ĐPCM) ' b) Gọi v1 là vận tốc của vật 1 (của G1) sau va chạm. m G1 v v G2 Trường THPT Chuyên Thái Bình ri 16 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Do hệ kín nên động lượng của hệ được bảo toàn dó đó: mv1' + mv2' = mv − mv = 0 ⇒ v1' = −v2' = −v ' Ta xét mô men động lượng của hệ đối với G2. Do không có ngoại lực nên mô men động lượng trước và sau va chạm là bằng nhau. ban đầu thì LG2 = mvd Ta có, sau đó thì L 'G2 = mv ' d '+ I1 Mà 1 ; 2 1 + I2 mvd − I1 1 − I 2 mv ' c) Với v ' = + I2 2 có chiều như hình vẽ gọi là chiều dương nên mvd = mv ' d '+ I1 ⇒d'= 1 v , 2 2 2 2 d' =0⇒d'= 2 d − I1 1 mv 2 1 I1 m 0 >0 d Theo định luật bảo toàn năng lượng, ta có: 1 2 1 1 v mv .2 = m( ) 2 .2 + I1 2 2 2 2 ⇒ 2mv 2 = mv 2 + I1 ⇒ 1 v =± 2 1 ⇒ I1 2 1 2 1 = mv 2 I m ⇒d'= 2 d ± 1 I1 m Vậy: a) LO = LG + M rG ∧ vG Trường THPT Chuyên Thái Bình 17 I1 m HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI b) d ' = mvd − I1 1 − I 2 mv ' c) d ' = 2 d ± 2 I1 m Ví dụ 9. Xét một hình bán trụ D đồng nhất, tâm C, khối tam G, bán kính R và khối lượng m. Hệ quy chiếu Trái Đất (Oxyz) được xem là quán tính. Tất cả đều nằm trong mặt phẳng thẳng đứng (Oxy). Ta kí hiệu I là điểm tiếp xúc giữa mặt đất và D. Ta xác định vị trí của D theo tọa độ x của tâm C của nó theo góc = (CI , CG ) . Cho CG = b = 4R . Hãy xác định phương trình chuyển động của D bằng cách: 3 a) Tính mô men lực của đĩa D đối với I. b) Vận dụng định lý mô men lực đối với I để tìm phương trình vi phân bậc hai của α. c) Giả sử α rất nhỏ. Tuyến tính hóa phương trình vi phân có được ở câu b) để từ đó suy ra chu kỳ T0 của các dao động nhỏ của D quanh vị trí cân bằng. Giải a) Tính mô men lực của D ở I + Cách 1. Dùng định lý Koenig đối với mô men lực. M I = IG ∧ ma (G ) + J G " ez Ta tìm được: M I = ( ( J + m( R 2 − 2bR cos )) "+ mRb '2 sin )e z + Cách 2. Dùng định lý Koenig đối với mô men động lượng của D đối với I LI = IG ∧ mv(G ) + J G ' ez = ( J + m( R 2 − 2bR cos ) ) ' ez Hay là LI = J I ' ez = ( J + m( R 2 − 2bR cos ) ) ' ez Trường THPT Chuyên Thái Bình 18 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Và dùng hệ thức M I = d LI = ( ( J + m( R 2 − 2bR cos )) "+ mRb '2 sin dt )e z b) Vận dụng định lý về mô men lực đối với điểm I, phép chiếu lên trục Oz cho ngay kết quả (chỉ có mô men của trọng lực đối với I là khác không) ( ( J + m( R 2 − 2bR cos )) "+ mRb '2 sin ) = −mgb sin c) Nếu α rất nhỏ, phương trình trên được đơn giản thành: ( J + mR 2 − 2mbR) " = −mgb Như vậy vật hình bán trụ D thực hiện dao động nhỏ điều hòa quanh vị trí cân bằng α = 0 với chu kỳ: T0 = 2 J + mR 2 − 2mRb mgb Ta có mô men quán tính của D đối với trục qua C và vuông góc với D là J= mR 2 2 Nên T0 = 2 (9 − 16 R ) 8g Ví dụ 10. Xét một khối lăng trụ đáy là lục giác đều, dài và cứng, giống như một cái bút chì thông thường. Khối lượng của nó là M và được phân bố đều. Tiết diện thẳng của nó là một hình lục giác α đêu cạnh a. Mômen quán tính của khối lăng trụ lục giác đối với trục xuyên tâm là I = 5 Ma 2 . 12 a) Ban đầu khối lăng trụ nằm yên trên một mặt phẳng nghiêng làm với mặt ngang một góc nhỏ α. Trục của lăng trụ nằm ngang. Cho rằng các mặt của khối lăng trụ hơi lõm một chút sao cho khối trụ chỉ tiếp xúc với mặt phẳng nghiêng ở cạnh của nó. Bỏ qua ảnh hưởng của sự lõm ấy đối với mômen quán tính. Khối trụ ấy bị đẩy cho dịch chuyển và bắt đầu lăn xuống trên mặt nghiêng. Cho rằng do ma sát mà khối trụ không trượt và luôn chạm vào mặt nghiêng. Vận tốc góc Trường THPT Chuyên Thái Bình 19 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI của nó ngay trước khi một cạnh của nó đập vào mặt nghiêng là ωi và ngay sau khi cạnh ấy đập vào mặt nghiêng là ωf . Chứng minh rằng ta có thể viết : ωf = sωi , tìm s. b) Động năng của khối trụ ngay trước và ngay sau khi một cạnh đập vào mặt nghiêng là Ki và Kf. Chứng minh rằng : Kf = r. Ki. Tìm r. c) Để có lần va đập tiếp theo thì Ki phải vượt qua giá trị Ki min , mà ta có thể viết dưới dạng: Ki min = δMga, trong đó g = 9,81 m/s2. Tính giá trị của δ theo góc nghiêng α và hệ số r. d) Giả sử điều kiện trong phần c) được thỏa mãn, động năng Ki sẽ dần tới một giá trị không đổi Kio khi khối trụ lăn xuống trên mặt phẳng nghiêng. Biết rằng giá trị ấy tồn tại, chứng minh rằng Kio có thể viết dưới dạng : Kio = kMga, tìm biểu thức của k theo α và r. e) Tính chính xác đến 0,1o góc nghiêng thối thiểu αo để cho quá trình lăn một khi đã được khởi động, sẽ tiếp diễn mãi mãi. Giải. a) Cách 1. - Trước va đập, khối trụ quay quanh trục I, sau va đập nó quay quanh trục F. Xung lực xuất hiện khi va chạm đi qua F, vậy : Mômen động lượng L của khối trụ đối với trục F được bảo toàn trong quá trình va chạm. Ta có : Trước va đập : Li = Mômen động lượng quanh khối tâm C + Mômen động lượng của khối tâm quanh trục quay F bằng (theo định lý Koenig) LF = LG + ( FC × M vci ). LFi = I C i ez + ( FC × M vci ) với ez là vec tơ đơn vị của trục hình trụ Li = ICωi + vci.cos60o.a.M (1) Vì vci = ωi.a và I C = 30 5 Ma 2 nên 12 5  11Ma Li = Ma 2  i + i  = 2 12  12 Sau va đập : L f = I f C f = Ι vci 2 i (2) 17 Ma 2 12 ο α f (3) Trường THPT Chuyên Thái Bình 20 F HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI 11Ma 2 12 Suy ra : Li = Lf = i 17 Ma 2 ⇔s= f 12 f = i 11 17 lưu ý s không phụ thuộc α, a ωi Cách 2. Khi cạnh khối trụ va đập vào mặt nghiêng (trong thời gian dt) thì có phản lực N tác dụng lên khối trụ, do có ma sát nên N không vuông góc với mặt nghiêng. + Thành phần song song với mặt nghiêng là N//. + Thành phần vuông góc với mật nghiêng là N⊥. Lấy trục song song với mặt nghiêng hướng từ thấp đến cao, trục vuông góc với mặt nghiêng hướng từ dưới lên trên. Ta có: N // dt = M ( N ⊥ dt = M ( − f f + )a.sin 30 0 = m( f − i )a. cos 30 0 = m( f + i i i 1 2 Mặt khác: N ⊥ dt.a − N // dt.a 3 = IC ( 2 f − i )a 3 (4) 2 1 )a (5) 2 )(6) (định lí biến thiên mômen động lượng đối với C) Từ (4), (5), (6) loại N// và N⊥ ta cũng được : s = f = i 11 17 b) Tốc độ dài của khối tâm ngay trước lúc va đập là aωi và ngay sau lúc va đập là aωf. MvC2 I C 2 + Động năng toàn phần của một vật quay là : K = (7 ) + 2 2 + Trước va đập : K i = MvC2 I C i2 1  + =  Ma 2 2 2 2 2 i + 5Ma 2 12 2 i  17 Ma 2  = 24  2 i Ta thấyđộng năng tỉ lệ với ω2. + Sau va đập : K f = Suy ra : Kf Ki = 2 f 2 i MvCf2 2 + I C i2 1  =  Ma 2 2 2 2 2 f + 121  11  = r ≈ 0,419 (8) =  = 289  17  Trường THPT Chuyên Thái Bình 21 5Ma 2 12  17 Ma  = 24  2 2 f 2 f HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI c) Động năng Kf sau va đập phải đủ lớn để có thể nâng khối tâm của khối trụ lên vị trí cao nhất trên đường thẳng đứng đi qua tiếp điểm. + góc mà véc tơ rC phải quay là : x = 30o - α + năng lượng để khối tâm nâng lên là : E 0 = Mga (1 − cos x ) = Mga (1 − cos(30 0 − )) (9) ta suy ra điều kiện : Kf = r.Ki > Eo = Mga(1-cos(30o - α)) = [ r.Ki min = δMga =Eo ] 1 1 − cos(30 0 − ) (10) r d) Gọi Ki,n và Kf,n là động năng ngay trước và ngay sau va đập lần thứ n. Ta chứng minh có hệ thức : Kj,n = r.Ki,n trong đó r được tính ở (8). Giữa hai va đập liên tiếp, độ cao khối tâm của khối trụ giảm di là asinα, động năng của nó tăng lên một lượng ∆ = Mgasinα, do đó Ki, n + 1 = r.Ki + ∆ (11) Ta không cần phải viết biểu thức đầy đủ của Ki,n là hàm theo Ki và n để tìm giới hạn của nó. Làm như thế là chứng minh sự tồn tại của giới hạn đó. Theo đề bài, giới hạn đó đã tồn tại, vì thế có thể cho Ki,n + 1 ≈ Ki,n khi n đủ lớn một cách tùy ý. Giới hạn Ki,o đó phải thỏa mãn hệ thức : Ki,o = r.Ki,o + ∆ (12) K i ,0 = ∆ 1− r kMga = Mga sin 1− r ⇔k= sin (13) 1− r Ta có thể giải bài toán một cách tường minh bằng cách viết các biểu thức một cách đầy đủ : Ki,2 = r.Ki,1 + ∆ Ki,3 = r.Ki,2 + ∆ = r(r.Ki,1 + ∆) + ∆ = r2.Ki,1 + (1+r)∆ Ki,4 = r.Ki,3 + ∆ = r. (r2.Ki,1 + (1+r)∆) + ∆ = r3.Ki,1 + (1 + r + r2)∆ ........................ Ki,n = rn-1.Ki,1 + (1 + r + r2 + ....+ rn-2)∆ = r n−1 K i ,1 + Khi n → ∞, vì r < 1, nên ta có : K i ,n → K i ,0 = Trường THPT Chuyên Thái Bình 22 1 ∆ (15) 1− r 1 − r n−1 ∆ (14) 1− r HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Nếu ta tính biến thiên động năng trong một chu kí nghĩa là từ trước lần đập thứ n tới trước lần đập thứ n + 1, ta được: ∆Ki,n = Ki,n+1 – Ki,n = (r – 1)rn-1Ki,1 + rn-1∆ = rn-1[∆ - (1 – r)Ki,1] (16) Đại lượng này dương nếu giá trị ban đầu Ki,1 < Ki,o và khi ấy Ki,n tăng dần tới giá trị giới hạn Ki,o. Ngược lại, nếu Ki,1 > Ki,o thì động năng trước va đập Ki,n sẽ giảm tới giá trị giới hạn Ki,o. e) Để khối trụ lăn mãi, giá trị giới hạn Ki, trong phần d) phải lớn hơn giá trị nhỏ nhất để có thể tiếp tục lăn đã tìm được trong phần c): K i ,0 = đặt A = Mga sin ∆ = 1− r 1− r > Mga (1 − cos(30 0 − ))(17) r r 121 ta có : Asinα > 1- cos(30o - α) = 1 – cos30ocosα - sin30osinα = 1 − r 168 1 3  cos > 1 (18)  A +  sin + 2 2  Giải phương trình lượng giác này ta được αo ≈ 6,58o + Nếu α > αo và động năng trước lần va đập đầu tiên đủ lớn như đã nói ở câu c) thì ta sẽ có một quá trình lăn liên tục. + Chú ý: do đầu bài nói α là góc nhỏ nên cũng có thể áp dụng các công thức gần đúng: sinx ≈x ; cosx ≈ 1- x2/2 để giải bất phương trình (18). III. BÀI TẬP TỰ GIẢI Bài 1 Một bánh xe to ở chỗ chơi ngày lễ hội có bán kính R quay với tốc độ góc A G ω không đổi quanh trục nằm ngang của bánh xe. Ta xét một cái thùng treo (móc nối rất tốt ở A trên bánh xe) và hành khách (mà ta xem như hoàn toàn không động đậy trong thùng treo), hệ thùng treo Trường THPT Chuyên Thái Bình 23 O O b HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI và hành khách có khối lượng m, có khối tâm G nằm trên đường thẳng đứng qua điểm A, cách A một khoảng b. Xác định mô men động lượng đối với O, mô men lực đối với O và động năng của hệ thùng treo và hành khách. Đáp số: LO = mR 2 ey với vec tơ ey vuông góc mặt phẳng hình vẽ M O = 0 và K = 1 mR 2 2 2 Bài 2 Bốn thanh OD, OE, AC và BC có khối lượng O không đáng kể nối khớp với nhau tại các điểm O, A, B và C. Điểm O là cố định, ống C được xem là một A ϕ B chất điểm khối lượng m trượt theo trục thẳng đứng (Oz). Ở các đầu mút D và E có hai chất điểm giống C D nhau, cùng khối lượng m. Ta xác định vị trí của hệ E bằng góc ϕ. Hãy tìm tổng động lượng, mô men động z lượng đối với O và động năng của hệ theo đạo hàm ϕ’ của góc ϕ. Cho biết: OA = OB = AC = BC = AD = BE = b. Đáp số: p = −6mb 'sin ez ; LO = 8mb 2 ' ey và K = 2mb 2 '2 (2 + sin 2 ) x + Bài 3 Một thanh AB có khối lượng không đang kể, chiều dài 4a được treo ở điểm giữa O cố định. Ở A và b có khớp nối với hai thanh giống nhau CD và EF, khối lượng không đáng kể, chiều dài 2a (A là điểm giữa của CD, B là điểm giữa của EF). Ở các đầu mút C, D, E và F có bốn F B khối điểm giống hệt nhau m. Tính mô men + động lượng đối với O và động năng của hệ E phụ thuộc vào các góc ϕ,α, β và các đạo β O D hàm của chúng. ϕ x Trường THPT Chuyên Thái Bình 24 y A α C HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI áp s : LO = 2ma 2 (8 '+ '+ ')ez K = ma 2 (8 '2 + '2 + '2 ) Bài 4 O Thanh thẳng AB đồng chất, tâm C dài b, có khối lượng m được treo nằm ngang nhờ hai dây nhẹ, không dãn, cùng chiều dài, được treo vào điểm O như hình vẽ. Góc tạo bởi α A các dây treo và thanh là α = 60 . Hệ quy chiếu Trái Đất được o xem là HQC quán tính. a) Hệ cân bằng. Tìm lực căng của dây T0 của dây OA tại A. b) Tìm lực căng T của dây OA khi dây OB đột ngột bị đứt (khi mà thanh AB còn chưa kịp dịch chuyển). Tính tỉ số Đáp số: a) T0 = mg 3 b) T = T T0 2 3mg T 6 ; = T0 13 13 Bài 5 Một hình vuông ABCD cạnh L có thể quay xung quanh một điểm A mà vẫn nằm A trong mặt phẳng (xOy), với tốc độ góc ω. Ở các đỉnh có các chất điểm khối lượng m và bỏ qua khối lượng của các thanh nối. Hãy xác định, trong HQC R, động lượng, mô men động lượng đối với A cũng như động năng. Đáp số: p = 2m BD ; LA = 4m L2 ez ; K = 2mL2 Trường THPT Chuyên Thái Bình 25 2 ω L y B G x D HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Bài 6 Một đồng tiền được xem lý tưởng như là một đĩa tròn đồng chất bán kính a với bề dày không đáng kể và khối lượng m lăn không trượt trên một đường tròn. Khối tâm C của đĩa chuyển động trên một đường tròn bán kính b và trục của nó nghiêng một góc θ so với phương thẳng đứng. Tìm vận tốc góc Ω của tâm của đĩa. Đáp số: = 4 g tan 6b + a sin IV. KẾT LUẬN. Giải bài toán về động lực học vật rắn là một chuyên đề cơ bản trong việc bồi dưỡng Học sinh giỏi THPT. Để giải quyết được những yêu cầu đặt ra của bài toán về chuyển động của vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển động của vật thể, đặc điểm chuyển động của vật rắn, đặc điểm về va chạm của vật rắn. Từ phân tích đặc điểm đó mà vận dụng định luật động lực học một cách phù hợp. Trong giải bài toán vật lý nói chung và bài toán cơ học vật rắn nói riêng thì việc phân tích kĩ hiện tượng vật lý xảy ra rất quan trọng. Từ việc hiểu được hiện tượng vật lý để vận dụng nguyên lí phù hợp thông qua các định lý, định luật. Các biểu thức thể hiện quan hệ đã đạt được dựa vào giả thiết bài toán để tìm ra kết quả. Trong chương trình THPT chỉ mới giải quyết các bài toán cơ bản vận dụng các phương trình động lực học vật rắn và phương trình chuyển động của vật rắn. Thường thì chúng ta gặp bài toán biết điều kiện động lực học suy ra chuyển động và ngược lại biết chuyển động để tìm các đại lượng động lực học. Việc giải bài toán về phức tạp hơn của cơ học vật rắn, đặc biệt là bài toán va chạm của vật rắn có mức độ tổng hợp cao hơn đòi hỏi học sinh phải hiểu sâu hơn và Trường THPT Chuyên Thái Bình 26 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI giải quyết tình huống phức tạp hơn, do đó học sinh cần phải rèn luyện kĩ năng vận dụng cao hơn. Chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” là một chuyên đề cơ bản góp phần hỗ trợ trong việc giải quyết các bài toán tổng hợp, đặc biệt là các bài toán về va chạm vật rắn. Các ví dụ trên đây chỉ là những ví dụ điển hình minh hoạ một phần nào cho chuyên đề này. Rất mong các đồng nghiệp góp ý, bổ xung để chuyên đề thực sự bổ ích trong công tác giảng dạy đối với học sinh chuyên cũng như công tác bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp. Tôi xin chân thành cảm ơn./. Trường THPT Chuyên Thái Bình 27 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI TÀI LIỆU THAM KHẢO 1. Chuyên đề bồi dưỡng Học sinh giỏi Vật lí (Cơ học 2). NXBGD 2012. Tô Giang 2. Mé canique du solide. Hachette Supérieur 2003. J.P. DURANDEAU 3. Mé canique du ponit. Hachette Supérieur 2003. J.P. DURANDEAU 4. Bài tập vật lý đại cương tập 1 (cơ học). NXBĐHQGHN 2008. Nguyễn Quang Hậu. 5. Các bài toán Vật lí chọn lọc THPT (Cơ - Nhiệt) NXBGD 2006. Vũ Thanh Khiết 6. Bài tập và lời giải cơ học. NXBGD 2008. Yung – Kuo Lim 7. Cơ sở vật lý. Tập 2. Cơ học. David Halliday. NXBGD 2002 8. Các đề thi học sinh giỏi Vật lý (2001 – 2010). NXBGD 2011. Vũ Thanh Khiết, Vũ Đình Túy./. Trường THPT Chuyên Thái Bình 28 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Chuyên đề xếp loại A Chuyên đề: TÌM CHU KÌ DAO ĐỘNG CỦA VẬT RẮN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG Giáo viên thực hiện đề tài: Dương Văn Cách Tổ: Lý – Thể dục - GDQP - Trường THPT Chuyên Thái Nguyên A. Phần mở đầu. 1. Lý do chọn đề tài. Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, cơ học là một phân môn rất quan trọng, mang tính nền tảng để hình thành tư duy Vật lí cho học sinh. Trong đó, chuyên đề về cơ học vật rắn là một chuyên đề khó, đa dạng và phức tạp, các bài toán rất phong phú và mang nhiều tính thực tiễn. Các đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia hầu như năm nào cũng có các bài toán cơ học vật rắn và chiếm tỉ trọng điểm khá lớn. Trong khi đó, học sinh chủ yếu quen với cách giải các bài toán cơ chất điểm, khi gặp các bài toán vật rắn tỏ ra lúng túng. Các bài toán cơ học vật rắn thực sự phức tạp, đa dạng, đặc biệt các bài toán trong đề thi HSG QG rất khó. Muốn tìm ra lời giải đòi hỏi người học cần vận dụng hết sức linh hoạt các kiến thức nền tảng. Người học cần nắm vững các kĩ thuật tính toán đặc trưng trong cơ học vật rắn như cách xác định tâm quay tức thời, cách chọn hệ quy chiếu sao cho thích hợp và đặc biệt là phối hợp nhuần nhuyễn giữa phương pháp các định luật bảo toàn và phương pháp động lực học. Với phương pháp dùng các định luật bảo toàn thì định luật bảo toàn cơ năng đóng vai trò quan trọng bậc nhất. Trong đó việc sử dụng phương pháp nguyên hàm năng lượng cho phép xác định chuyển động của một số hệ cơ phức tạp nào đó với một cách giải nhanh và đẹp. Do đó, tôi chọn chuyên đề mang tên: TÌM CHU KÌ DAO ĐỘNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG. Trường THPT Chuyên Thái Bình 29 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI 2. Mục đích của đề tài. - Triển khai phương pháp dùng vi phân năng lượng để tìm chu kì dao động của cơ hệ. - Nhấn mạnh hơn cách dùng phương pháp năng lượng trong bài toán cơ vật rắn. - Tạo ra tài liệu tham khảo cơ bản nhất dành cho những ai bắt đầu tìm hiểu cơ vật rắn. B. Nội dung. I. Cơ sở lí thuyết. 1. Khái niệm vật rắn - Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ của nó không đổi. - Vật rắn có thể xem như một hệ chất điểm. Vật rắn tuyệt đối thường được xem là hệ chất điểm liên kết chặt chẽ với nhau. - Khái niệm vật rắn chỉ là tương đối. 2. Momen quán tính. - Là đại lượng vật lí đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn trong chuyển động quay. - Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)). Xét với trục quay ∆ song song với trục quay ∆G qua khối tâm G của vật rắn, chúng cách nhau một khoảng d. Khối lượng vật rắn là M, mô men quán tính của vật rắn đối với trục quay ∆ là I được xác định qua mô men quán tính IG đối với trục quay ∆G I = IG + Md2 3. Định luật Niu-tơn II cho chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay 3.1. Trong trường hợp tổng quát, khi chịu các lực tác dụng, vật rắn vừa chuyển động tịnh tiến vừa quay quanh khối tâm. Trường THPT Chuyên Thái Bình 30 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI → → Để tìm gia tốc a của chuyển động tịnh tiến (cũng là gia tốc a của khối → → ∑F = ma , tâm), ta áp dụng phương trình: ∑Fx = max và ∑Fy = may hay: Để tìm gia tốc góc của chuyển động quay quanh một trục đi qua khối tâm, ta áp dụng phương trình: → → ∑ M = IG γ , hay: ∑M = IGγ (dạng đại số). 3.2. Điều kiện cân bằng tổng quát chỉ là trường hợp riêng của hai phương → → → → trình (1) và (2) khi a = 0 và γ = 0 . Nếu ban đầu vật đứng yên thì vật tiếp tục đứng yên. Ta có trạng thái cân bằng tĩnh. → Cần chú ý là, khi vật ở trạng thái cân bằng tĩnh thì ∑ M = 0 không chỉ đối với trục đi qua khối tâm, mà đối với cả một trục bất kỳ. 3.3. Đối với một vật rắn quay quanh một trục cố định thì chuyển động tịnh tiến của vật bị khử bởi phản lực của trục quay. 4. Năng lượng của vật rắn. 4.1. Thế năng của vật rắn: Xét với vật rắn tuyệt đối, trong trọng trường có gia tốc g, Z là độ cao của khối tâm G tính từ một mốc nào đó, vật rắn có thế năng bằng thế năng của khối tâm mang tổng khối lượng của vật rắn: U = MgZ. 4.2. Động năng của vật rắn: - Khi vật rắn quay xung quanh một trục quay cố định ∆: W = 1 I∆.ω2 2 (4.5.2) Chú ý: Nếu trục quay ∆ không qua khối tâm G, cần xác định I∆ qua IG bởi định lý Stenơ (4.4) Trường THPT Chuyên Thái Bình 31 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Bài 1.(Đề thi HSG quốc gia 2005) Cho cơ hệ như hình vẽ, quả cầu đặc có khối lượng m, bán kính r lăn không trượt trong máng có bán kính R. Máng đứng yên trên mặt phẳng nằm ngang. Tìm chu kì dao động nhỏ của quả cầu. 2 Cho biết momen quán tính của quả cầu đặc IG = mr 2 . 5 - Trường hợp tổng quát: W = 1 1 IG.ω2 + M.VG2 2 2 "Ðộng năng toàn phần của vật rắn bằng tổng động năng tịnh tiến của khối tâm mang khối lượng của cả vật và động năng quay của nó xung quanh trục đi qua khối tâm". - Nếu vật quay quanh tâm quay tức thời K thì: W = IK ω2K 2 4.3. Định luật bảo toàn cơ năng: - Nội dung: Khi các lực tác dụng lên vật rắn là lực thế, thì cơ năng E của hệ vật rắn được bảo toàn: W = Wđ + Wt = const. - Nếu trong quá trình biến đổi của hệ từ trạng thái 1 sang trạng thái 2, có lực ma sát, lực cản... tác dụng mà ta tính được công A của các lực ấy thì có thể áp dụng định luật bảo toàn năng lượng dưới dạng: W2 - W1 = A. II. Ví dụ điển hình. Phương pháp năng lượng. O α Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại tâm O của máng cong. Quả cầu lăn không trượt nên K là tâm quay tức thời. R r K Cơ năng của quả cầu tại li độ góc α. Trường THPT Chuyên Thái Bình 32 H HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI ω2K = const (*) W = −mg(R − r)cos α + I K 2 2 7 I K = mr 2 + mr 2 = mr 2 ;VG = ωO (R − r) = ωK r Với: 5 5 ⇒ ω 'O (R − r) = ωK 'r = α "(R − r) Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (*) ta được: 7 2 2.ωK .ω 'K  =0 mg(R − r)sin α.α '+ 5 mr ω (R − r) α "(R − r) 7 2 ⇒ mg(R − r)α.α '+ mr 2 O =0  5 r r "(R r) α − ω ' = ; sin α ≈ α;  K r 7 5g α = 0. Vậy: gα + (R − r)α " = 0 ⇔ α "+ 5 7(R − r) Vậy quả cầu dao động điều hòa với biên độ nhỏ với chu kì: T = 2π 7(R − r) 5g Phương pháp động lực học. Vì quả cẩu lăn không trượt nên K là tâm quay tức thời. O Phương trình động lực học vật rắn đối với tâm K. α − mgr sin α = I K γ R 2 7 R −r Với I K = mR 2 + mR 2 = mR 2 ; γ = α" 5 5 r Kết quả thu được phương trình: G r H K P 5g α "+ α = 0. Ta lại có kết quả trên. 7(R − r) Chú ý: Trong hai phương pháp giải quyết thì phương pháp năng lượng phải chọn gốc thế năng cho phù hợp, còn phương pháp động lực học thì phải phân tích lực và chọn một trục quay. Trong bài toán này phương pháp năng lượng có vẻ dài hơn và chưa thể hiện tính ưu việt. Nhưng trong các bài toán có hệ lực phức tạp sau đây thì phương pháp năng lượng tỏ ra hiệu quả hơn. Trường THPT Chuyên Thái Bình 33 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Bài 2. Một thanh đồng chất AB = 2l có momen quán tính I = m 2 đối với trục 3 vuông góc với thanh và đi qua trọng tâm G eθ O ez NA x θ er G 2 3 B A của thanh. Thanh trượt không ma sát bên trong một nửa vòng tròn bán kính R = NB . P y Chứng minh thanh dao động điều hòa và tìm chu kì dao động. Bài giải: Phương pháp động lực học. Xét mối quan hệ trong tam giác OAB ta được OG = R/2. Các lực tác dụng vào thanh gồm hai phản lực pháp tuyến tại A, B, và trọng lực P tại G. Trong hệ quy chiếu Galile áp dụng cho thanh đối với khối tâm G. Xét theo các phương OG và Oz (hình vẽ)  1 − 2 mRθ " = N Ar + N Br + mgcosθ (*)  1 2  mR(θ ') = N + N − mg sin θ Aθ Bθ  2 Trong hệ quy chiếu trọng tâm của thanh, áp dụng định lí momen động lượng ở G khi chiếu lên Oz ta được: (N Ar − N Br ) = Iθ " Vì không có ma sát nên N A , N B hướng vào tâm O. Do đó:  π π NA 3 ; N Aθ = N Asin = NA  N Ar = − N A cos = −  6 2 6 2 (**)   N = − N cos π = − N B ; N = − N sin π = − 3 N B Bθ B B  Br 6 2 6 2 Trường THPT Chuyên Thái Bình 34 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Thay (**) vào (*) và khử NA, NB ta được phương trình: θ "+ Hay thanh dao động điều hòa với chu kì: T = 2π g θ=0 R R g Phương pháp năng lượng Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại tâm O của nửa O vòng tròn. Vì bỏ qua ma sát ở nên cơ năng của của thanh AB.Cơ năng của thanh tại li độ góc θ: ω2 W = IO − mg.OG cos θ = const(*) 2 vB B θ thanh bảo toàn. Đường thẳng vuông góc với v A , v B cắt nhau tại O nên O là tâm quay tức thời x A G vA y m 2 ; ω = θ' Với: IG = 12 Lấy đạo hàm hai vế phương trình (*) ta được: 1 R2 R g 0 = m 2ωθ "+ mg sin θ.θ ' ⇔ θ "+ θ = 0 . Ta thu được kết quả như trên. 2 2 2 R Chú ý: Trong bài toán trên thì phương pháp năng lượng cho thấy hiệu quả rõ rệt của nó là có biến số đơn giản, không phải thực hiện phép chiếu véc tơ và phép phân tích lực. Số lượng phương trình cũng ít hơn nhiều so với phương pháp năng lượng. Bài 3. Cho cơ hệ gồm ròng rọc hình trụ khối lượng M bán kính R và lò xo có độ cứng k, vật có khối lượng m. Dây không giãn, khối lượng không đáng kể, đầu A cố định, dây không trượt trên ròng rọc. Tìm chu kì dao động của vật m. Bài giải. Phương pháp động lực học. Xét cơ hệ tại vị trí cân bằng: Fđh = 2Pm + PM = Mg + 2mg = k ∆ o Phương trình động lực học khi vật m ở dưới vị trí cân bằng đoạn x. TB Trường THPT Chuyên Thái Bình 35 B Pm Fđ C PM TA A HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI m : Pm − TB = ma B = mx"(1) MR 2  (TB − TA )R = Iγ = 2 γ (2) M: Mg + T + T − k( ∆ + x ) = Ma (3) A B o C  2 Mặt khác: VB = VC + ωR = 2VC nên x” = aB = 2γR = 2aC. Thay vào (1),(2),(3) ta được:  (1) ⇔ TB = mg − mx"  M M 2k  x = 0(*) ⇔ x"+ (2) ⇔ TB − TA = x" ⇒ TA = mg − mx"− x" 4 4 8m 3M +  M x M  (3) ⇔ Mg + 2mg − k∆ o − 2mx"− 4 x"− k 2 = 2 x" Đặt: ω2 = 2k 2(8m + 3M) ⇒T=π 8m + 3M k Phương pháp năng lượng. Chọn gốc thế năng hấp dẫn qua tâm C của ròng rọc khi ở vị trí cân bằng. Xét hệ tại vị trí cân bằng: Mg + 2mg = k∆ o Xét cơ năng của hệ. ω2 x 1 x 1 = const W = −mgx − Mg + k(∆ o + ) 2 + mV 2 + I K 2 2 2 2 2 Lấy đạo hàm hai vế với x’ = V = VC + ωR = 2ωR; ω = α’ ta được: −mgx '− Mg x' 1 + k2(∆ 2 2 ⇔ − mgV − Mg V + k(∆ 2 o o x x' 1 2ωω ' + ) + m2VV '+ I K =0 2 2 2 2 x V 3 V x" + ) + mVx"+ M = 0 (*) 2 2 2 2 2 Với: vật m đi xuống đoạn x thì M đi xuống x/2 và quay thêm được cung có độ dài x/2 ứng với góc quay α nên: x = αR hay x = 2αR hay x” = 2ω’R. 2 Trường THPT Chuyên Thái Bình 36 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI (*) ⇔ k x 3 2k + (m + M)x" = 0 ⇔ x"+ x = 0 . Ta thu được kết quả như 4 8 8m + 3M trên. Bài 4. Một nửa vòng xuyến mảnh bán kính R, khối lượng m thực hiện các dao động(không trượt) trên mặt nhám nằm ngang. Ở vị trí cân bằng khối tâm G của nửa vòng xuyến ở dưới tâm O đoạn d = 2R/π. Tìm chu kì dao động T1 ứng với các biên độ nhỏ? O G Bài giải: Khi vòng xuyến dao động với biên độ nhỏ thì tâm O của nó di chuyển trên đường nằm ngang XX’. Chọn gốc thế năng tại đường thẳng XX’. Cơ năng của vòng xuyến tại li độ góc α. W = −mgd cos α + I K ω2 = const(*) 2 X’ Với: ω=α' ⇒ω' =α"  2 2 2 2 2 IO = IG + mOG ⇒IG − IO = mR − md = m(R − d ) ⇒IK = IG + m(R − d)2 = m2R(R − d) O d G O’ α G’ H Lấy đạo hàm hai vế của phương trình (*) 2ωα " = 2 2R 2 g mg α + 2mR 2 (1 − )α " = 0 ⇔ α "+ α=0 R(π − 2) π π mgd sin α.α ' + I K Vậy vòng xuyến dao động điều hòa với chu kì: T = 2π Bài 5. Cho cơ hệ như hình vẽ, thanh đồng chất OC khối lượng m, chiều dài 2R có thể quay quanh trục Oz Trường THPT Chuyên Thái Bình 37 R(π − 2) g X HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI nằm ngang của một khối hình trụ cố định bán kính R. O Đầu C của thanh gắn với trục của một đĩa mỏng đồng x φ chất có bán kính R, khối lượng 2m; đĩa tiếp xúc với C khối trụ. Khi cơ hệ chuyển động trong mặt phẳng xOy vuông góc với Oz, đĩa lăn không trượt trên khối trụ. y Kéo thanh OC lệch góc nhỏ φo so với phương thẳng đứng rồi buông nhẹ. Tính chu kì dao động của cơ hệ. Bỏ qua ma sát ở các ổ trục và ma sát lăn giữa đĩa mỏng và khối trụ. Bài giải: Chọn gốc thế năng hấp dẫn trùng với trục Ox. Năng lượng của cơ hệ gồm thanh OC và đĩa tại li độ góc φ. Động năng: Wd = IO ωO2 ω2K + IK 2 2 (2R) 2 4 Với IO = m + mR 2 = mR 2 là momen quán tính của thanh OC đối với trục 12 3 quay qua O và là vận tốc góc của thanh OC quay quanh O. I K = 2m R2 + 2mR 2 = 3mR 2 là momen quán tính của đĩa C quanh tâm quay tức 2 thời K, ωK là vận tốc góc của đĩa C quanh tâm quay tức thời K. ωK = 2ωO  Mối liên hệ giữa ωO và ωK: VC = ωO.2R = ωK.R ⇒ ωO =  ’ (*) ϕ  ω ' = 2ω ' = 2ϕ " O  K Thế năng hấp dẫn: Wt = - 2m.2Rcos φ – mgRcos φ = -5mgR cos φ Cơ năng của hệ: 2 2 4 20 2 ωO 2 (2ωO ) W = mR . + 3mR − 5mgR cos ϕ = mR 2ωO2 − 5mgR cos ϕ = const 3 2 2 3 (**) Trường THPT Chuyên Thái Bình 38 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Lấy đạo hàm hai vế phương trình (**): 20 mR 2 2ωO ω 'O + 5mgR sin ϕ.ϕ ' = 0 3 (***) Thế (*) vào (***) ta được: ϕ"+ 3g ϕ = 0 . Vậy cơ hệ dao động điều hòa với chu 8R 8R 3g kì: T = 2π Bài 6. Một người thợ đặt một cây thước gỗ đồng chất, tiết diện đều, chiều dài trên một khối trụ có bán kính R cố định trên mặt phẳng nằm ngang AB = (hv). Ở vị trí cân bằng trọng tâm G của cây thước gỗ trùng với điểm tiếp xúc giữa thước và khối trụ. Chứng minh thước dao động điều hòa khi bị lệch khỏi vị trí cân bằng một góc nhỏ. Tìm chu kì dao động của hệ, lấy g = 10 m/s2. Bài giải: Chọn gốc thế năng hấp dẫn tại O nằm trên trục đối xứng của hình trụ. Xét năng lượng của thanh tại li độ góc α: Thế năng: Wt = mg(Rcos α + R αsin α) Động năng: Wd = ω2 m 2 ω2 I K ω2 m 2 =( + mKG 2 ) ≈ 2 12 2 12 2 (Vì KG rất nhỏ so với chiều dài thanh) Cơ năng của hệ: W = mgR(cos α + α sin α ) + m 2 2 ω (*) 24 Lấy đạo hàm biểu thức (*) với: ω = α’ ta được: mgR( − sin αα '+ α 'sin α + α cos αα ') + ⇔ α "+ 12gR 2 m 2 2ωω ' = 0 24 =0 Hay thanh gỗ dao động điều hòa với chu kì: T = Trường THPT Chuyên Thái Bình 39 π 3gR G’ G K P α O HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Bài 7.(Đề thi HSG quốc gia 2007) Một đĩa tròn đồng chất, khối lượng m, bán kính R có thể quay quanh một trục cố định nằm ngang đi qua tâm O của đĩa. Lò xo có độ cứng A R O k, một đầu cố định, một đầu gắn với điểm A của vành đĩa. Khi OA nằm ngang thì lò xo có chiều dài tự nhiên. Xoay k đĩa một góc nhỏ αo rồi thả nhẹ. Coi lò xo luôn có phương thẳng đứng và khối lượng lò xo không đáng kể. 1. Bỏ qua mọi sức cản và ma sát. Tính chu kì dao động của đĩa. 2. Thực tế luôn tồn tại sức cản của không khí và ma sát ở trục quay. Coi momen cản Mc có biểu thức là Mc = kR2/200. Tính số dao động của đĩa trong trường hợp αo = 0,1 rad. Bài giải: 1. Chọn gốc thế năng hấp dẫn qua tâm O của đĩa. Cơ năng của hệ tại li độ góc α nhỏ. ω2 1 1 R 2 ω2 2 2 = k(Rα) + m( ) W = Wd + Wt = k(∆ ) + IO 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 ω = const(*) = kR α + mR 2 4 Đạo hàm hai vế phương trình (*) ta được: Với: α ' = ω; ω' = α" ta có: α " + 1 2 2ωω ' =0 kR 2αα '+ mR 2 2 4 2k α=0 m Vậy đĩa dao động điều hòa với chu kì: T = 2π m 2k α Trường THPT Chuyên Thái Bình 40 α O HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI 2. Độ giảm biên độ sau mỗi nửa chu kì: 1 1 1 ∆W = k(Rα1 ) 2 + k(Rα 2 ) 2 = kR 2 (α 22 − α12 ) 2 2 2 Công của momen cản: A = -MCΔφ = - MC(α2 + α1) Theo định lí biến thiên cơ năng: 1 2 2 kR 2 1 kR (α 2 − α12 ) = (α 2 + α1 ) ⇒ α1 − α 2 = ∆α = (rad) 2 200 100 αo = 10 hay số dao động đĩa thực hiện ∆α Vậy số nửa chu kì vật thực hiện được: được là 5. Bài 8. Một sợi dây đỡ một đĩa có bán kính R và khối lượng m. Một đầu dây buộc vào giá đỡ, còn đầu kia nối với một lò xo nhẹ có độ cứng k. Kích thích cho đĩa dao động trong mặt phẳng của đĩa. Chứng minh đĩa dao động điều hòa và tìm chu kì dao động của đĩa. Biết đĩa không trượt trên dây. Bài giải: Chọn gốc thế năng hấp dẫn qua tâm O của đĩa khi đĩa ở vị trí cân bằng. Khi ở vị trí cân bằng lò xo giãn đoạn: ∆ o = mg 2k Tại li độ x so với vị trí cân bằng lò xo biến dạng đoạn ∆ Cơ năng của hệ dao động: W = 1 k( ∆ 2 + 2x) 2 − mgx + I K o R2 3 Với: I K = m + mR 2 = mR 2 ; x = αR ⇒ x' =ωR 2 2 Trường THPT Chuyên Thái Bình o 41 + 2x ω2 = const(*) 2 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI Lấy đạo hàm hai vế phương trình (*) ta được: W' = 1 k2(∆ 2 W ' = 2k∆ Hay: α "+ o o 3 2ωω ' + 2x)2x '− mgx '+ mR 2 =0 2 2 3 3 − mg + 4kx + mRω" = 0 ⇔ 4kRα + mRα " = 0 2 2 8k 3m α = 0 . Vậy vật dao động điều hòa với chu kì: T = 2π 8k 3m Bài 9. Trên một hình trụ cố định bán kính R đặt 1 tấm ván có khối lượng không đáng kể chiều dài 2L theo phương vuông góc với trục hình trụ, mỗi đầu của nó gắn một vật nặng m. Tính chu kì dao động nhỏ của hệ. Bài giải: Xét thời điểm tấm tạo một góc φ So với phương ngang. Thế năng của C m khối tấm của hện là: ωt = 2mg(R cos φ + Rφ sin φ) φ O Do φ nhỏ nên sin φ ≈ φ , cos φ ≈ 1 − φ2 φ2 ⇒ ωt = 2mgR(1 + ) 2 2 Động năng chính là năng lương chuyển động quay của các vật khối lượng m đối với điểm cách tâm quay các khoảng (L-R φ) và (L+ R φ) . Do đó: mω2  2 2 ωd = ( L − Rφ ) + ( L + Rφ )  = mω2 (L2 + R 2φ2 )  2 Do R 2φ2 [...]... chuyên đề về cơ học vật rắn là một chuyên đề khó, đa dạng và phức tạp, các bài toán rất phong phú và mang nhiều tính thực tiễn Các đề thi chọn học sinh giỏi quốc gia hầu như năm nào cũng có các bài toán cơ học vật rắn và chiếm tỉ trọng điểm khá lớn Trong khi đó, học sinh chủ yếu quen với cách giải các bài toán cơ chất điểm, khi gặp các bài toán vật rắn tỏ ra lúng túng Các bài toán cơ học vật rắn thực... đó học sinh cần phải rèn luyện kĩ năng vận dụng cao hơn Chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” là một chuyên đề cơ bản góp phần hỗ trợ trong việc giải quyết các bài toán tổng hợp, đặc biệt là các bài toán về va chạm vật rắn Các ví dụ trên đây chỉ là những ví dụ điển hình minh hoạ một phần nào cho chuyên đề này Rất mong các đồng nghiệp góp ý, bổ xung để chuyên đề thực sự bổ ích trong. .. một chuyên đề cơ bản trong việc bồi dưỡng Học sinh giỏi THPT Để giải quyết được những yêu cầu đặt ra của bài toán về chuyển động của vật rắn yêu cầu phải nắm vững Định luật chuyển động của vật thể, đặc điểm chuyển động của vật rắn, đặc điểm về va chạm của vật rắn Từ phân tích đặc điểm đó mà vận dụng định luật động lực học một cách phù hợp Trong giải bài toán vật lý nói chung và bài toán cơ học vật rắn. .. 4 Bài tập vật lý đại cương tập 1 (cơ học) NXBĐHQGHN 2008 Nguyễn Quang Hậu 5 Các bài toán Vật lí chọn lọc THPT (Cơ - Nhiệt) NXBGD 2006 Vũ Thanh Khiết 6 Bài tập và lời giải cơ học NXBGD 2008 Yung – Kuo Lim 7 Cơ sở vật lý Tập 2 Cơ học David Halliday NXBGD 2002 8 Các đề thi học sinh giỏi Vật lý (2001 – 2010) NXBGD 2011 Vũ Thanh Khiết, Vũ Đình Túy./ Trường THPT Chuyên Thái Bình 28 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN... tượng vật lý xảy ra rất quan trọng Từ việc hiểu được hiện tượng vật lý để vận dụng nguyên lí phù hợp thông qua các định lý, định luật Các biểu thức thể hiện quan hệ đã đạt được dựa vào giả thiết bài toán để tìm ra kết quả Trong chương trình THPT chỉ mới giải quyết các bài toán cơ bản vận dụng các phương trình động lực học vật rắn và phương trình chuyển động của vật rắn Thường thì chúng ta gặp bài toán. .. KHOA HỌC LẦN THỨ VI Chuyên đề xếp loại A Chuyên đề: TÌM CHU KÌ DAO ĐỘNG CỦA VẬT RẮN BẰNG PHƯƠNG PHÁP NĂNG LƯỢNG Giáo viên thực hiện đề tài: Dương Văn Cách Tổ: Lý – Thể dục - GDQP - Trường THPT Chuyên Thái Nguyên A Phần mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Trong chương trình bồi dưỡng học sinh giỏi THPT, cơ học là một phân môn rất quan trọng, mang tính nền tảng để hình thành tư duy Vật lí cho học sinh Trong đó, chuyên. .. thực sự phức tạp, đa dạng, đặc biệt các bài toán trong đề thi HSG QG rất khó Muốn tìm ra lời giải đòi hỏi người học cần vận dụng hết sức linh hoạt các kiến thức nền tảng Người học cần nắm vững các kĩ thuật tính toán đặc trưng trong cơ học vật rắn như cách xác định tâm quay tức thời, cách chọn hệ quy chiếu sao cho thích hợp và đặc biệt là phối hợp nhuần nhuyễn giữa phương pháp các định luật bảo toàn và... BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI 2 Mục đích của đề tài - Triển khai phương pháp dùng vi phân năng lượng để tìm chu kì dao động của cơ hệ - Nhấn mạnh hơn cách dùng phương pháp năng lượng trong bài toán cơ vật rắn - Tạo ra tài liệu tham khảo cơ bản nhất dành cho những ai bắt đầu tìm hiểu cơ vật rắn B Nội dung I Cơ sở lí thuyết 1 Khái niệm vật rắn - Vật rắn tuyệt đối là vật mà khoảng cách giữa hai điểm... biết điều kiện động lực học suy ra chuyển động và ngược lại biết chuyển động để tìm các đại lượng động lực học Việc giải bài toán về phức tạp hơn của cơ học vật rắn, đặc biệt là bài toán va chạm của vật rắn có mức độ tổng hợp cao hơn đòi hỏi học sinh phải hiểu sâu hơn và Trường THPT Chuyên Thái Bình 26 HỘI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI - ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ HỘI THẢO KHOA HỌC LẦN THỨ VI giải quyết... - Vật rắn có thể xem như một hệ chất điểm Vật rắn tuyệt đối thường được xem là hệ chất điểm liên kết chặt chẽ với nhau - Khái niệm vật rắn chỉ là tương đối 2 Momen quán tính - Là đại lượng vật lí đặc trưng cho mức quán tính của vật rắn trong chuyển động quay - Định lý Stê-nơ (Steiner) hay định lý Huy-ghen (Huyghens)) Xét với trục quay ∆ song song với trục quay ∆G qua khối tâm G của vật rắn, chúng cách ... soạn chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” nhằm góp phần cung cấp kiến thức bản, rèn luyện kĩ vận dụng định lý việc giải toán học vật rắn cho học sinh chuẩn bị thi học sinh... KHOA HỌC LẦN THỨ VI giải tình phức tạp hơn, học sinh cần phải rèn luyện kĩ vận dụng cao Chuyên đề “ĐỊNH LÝ KOENIG TRONG CÁC BÀI TOÁN CƠ HỌC VẬT RẮN” chuyên đề góp phần hỗ trợ việc giải toán tổng... vật rắn, đặc điểm va chạm vật rắn Từ phân tích đặc điểm mà vận dụng định luật động lực học cách phù hợp Trong giải toán vật lý nói chung toán học vật rắn nói riêng việc phân tích kĩ tượng vật lý