TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM HƯƠNG LY TÍNH TOÁN HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL LƯỢNG TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lí thuyết HÀ NỘI, 2015 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ PHẠM HƯƠNG LY TÍNH TOÁN HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL LƯỢNG TỬ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN QUANG BÁU Hà Nội, năm 2015 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc và lòng biết ơn chân thành tới GS.TS Nguyễn Quang Báu, hiện đang giảng dạy tại trường Đại học Khoa học Tự nhiên – Đại học Quốc Gia Hà Nội, thầy đã dành nhiều thời gian,tâm huyết hướng dẫn và đã có những chỉ bảo, nhận xét, đánh giá quý báu trong suốt quá trình em làm khóa luận tốt nghiệp này. Thứ đến, em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô đã giúp đỡ và chỉ bảo cho em trong suốt thời gian học tập tại trường. Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập cũng như hoàn thành khóa luận. Do thời gian và kiến thức còn hạn chế nên chắc chắn khóa luận còn nhiều thiếu sót. Em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của thầy cô và bạn bè. Một lần nữa, em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 5- 2015 Sinh viên: Phạm Hương Ly MỤC LỤC MỤC LỤC .......................................................................................................................1 DANH MỤC HÌNH VẼ ..................................................................................................2 MỞ ĐẦU .........................................................................................................................3 CHƯƠNG I. DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI..................................................................................6 1.1 Dây lượng tử hình chữ nhật. ..................................................................................6 1.1.1 Khái niệm dây lượng tử hình chữ nhật. ...........................................................6 1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật. ......................6 1.2 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối. .........................................................................7 CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT ............................................................................................................................15 2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật. .......15 2.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall ........................................................................26 2.3 Biểu thức giải tích cho từ trở Hall........................................................................35 CHƯƠNG III: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CÁC KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT GaAs/GaAsAl ......................................37 3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ. ........................................37 3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường. ........................................................38 3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật.............39 KẾT LUẬN ...................................................................................................................41 TÀI LIỆU THAM KHẢO .............................................................................................42 1 DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3. 1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ ........................ 38 Hình 3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường ........................................ 39 Hình 3. 3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật ...................................................................................................................... 40 2 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài. Cuối những năm 80 của thế kỉ XX thành tựu của khoa học vật lý được đặc trưng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn khối (bán dẫn có cấu trúc 3 chiều) sang bán dẫn thấp chiều. Đó là các bán dẫn 2 chiều (giếng lượng tử, siêu mạng hợp phần, siêu mạng pha tạp, màng mỏng…); bán dẫn 1 chiều(dây lượng tử hình trụ, dây lượng tử hình chữ nhật…); bán dẫn không chiều (chấm lượng tử hình lập phương, chấm lượng tử hình cầu) Ta đã biết rằng ở bán dẫn khối, các điện tử có thể chuyển động trong toàn mạng tinh thể (cấu trúc 3 chiều). Nhưng trong các cấu trúc thấp chiều (hệ hai chiều, hệ một chiều và hệ không chiều), ngoài điện trường của thế tuần hoàn gây ra bởi các nguyên tử tạo nên tinh thể, trong mạng còn tồn tại một trường điện thế phụ. Trường điện thế phụ này cũng biến thiên tuần hoàn nhưng với chu kì lớn hơn rất nhiều so với chu kì của hằng số mạng (hàng chục đến hàng nghìn lần). Tùy thuộc vào trường điện thế phụ tuần hoàn mà các bán dẫn thấp chiều này thuộc về bán dẫn có cấu trúc hai chiều (giếng lượng tử, siêu mạng) hoặc bán dẫn có cấu trúc một chiều (dây lượng tử). Nếu dọc theo một hướng nào đó có trường điện thế phụ thì chuyển động của hạt mang điện sẽ bị giới hạn nghiêm ngặt (hạt chỉ có thể chuyển động tự do theo chiều không có trường điện thế phụ), phổ năng lượng của các hạt mang điện theo hướng này bị lượng tử hóa. Chính sự lượng tử hóa phổ năng lượng của các hạt tải dẫn đến sự thay đổi cơ bản các đại lượng vật lý: hàm phân bố, mật độ dòng, ten xơ độ dẫn, tương tác điện tử với phonon…,đặc tính của vật liệu, làm xuất hiện nhiều hiệu ứng mới, ưu việt mà hệ điện tử ba chiều không có [1,2]. Các hệ bán dẫn với cấu trúc thấp chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết bị điện tử dựa trên nguyên tắc hoàn toàn mới, công nghệ cao, hiện đại có tính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và quang điện tử nói riêng. Nhờ những tính năng nổi bật, các ứng dụng to lớn của vật liệu bán dẫn thấp chiều đối với khoa học công nghệ và trong thực tế cuộc sống mà vật liệu bán dẫn thấp chiều đã thu hút sự quan tâm đặc biệt của các nhà vật lý lý thuyết cũng như thực nghiệm trong và ngoài nước. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối với sự có mặt của sóng điện từ được nghiên cứu rất chi tiết bằng việc sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử [8-11]. 3 Như chúng ta đã biết, những vấn đề của hiệu ứng Hall trong hệ hai chiều ở nhiệt độ tương đối cao, đặc biệt là với sự có mặt của trường laser đang được nghiên cứu. Trong một nghiên cứu, hiệu ứng Hall trong hố lượng tử với hố thế Parabol chỉ được tính đến sự có mặt của từ trường với chuyển động của điện tử là tự do nhưng trong trường hợp trường điện từ trực giao trong mặt phẳng của chuyển động tự do của electron không được tính đến. Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall trong hệ 1 chiều nói chung và dây lượng tử hình chữ nhật nói riêng chưa được nghiên cứu. Do đó, trong khóa luận này trình bày các kết quả nghiên cứu đối với đề tài: “Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall lượng tử trong dây lượng tử hình chữ nhật” 2. Mục đích nghiên cứu. Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall lượng tử trong dây lượng tử hình chữ nhật để làm rõ hơn các tính chất đặc biệt của bán dẫn thấp chiều. 3. Đối tượng, phạm vi nghiên cứu. - Đối tượng nghiên cứu: dây lượng tử hình chữ nhật. - Phạm vi nghiên cứu: Tính toán hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với trường hợp tán xạ chủ yếu là tán xạ điện tử - phonon quang. 4. Phương pháp nghiên cứu. Sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử. Chúng ta viết Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật với trục siêu mạng được giả thiết theo phương z, sự có mặt của một từ trường đặt dọc theo trục Ox: B  (B,0,0) , một điện trường dọc theo trục Oz: vector E1   0,0,E1  trường laser như trường điện E   0,E0sin  t,0 (trong đó E0 và Ω tương ứng là biên độ và tần số của trường laser). Sau đó, chúng ta xây dựng phương trình Hamiltonian cho hệ điện tử - phonon và giải phương trình để tìm ra biểu thức giải tích cho ten xơ độ dẫn Hall, hệ số Hall và từ trở Hall. Biểu thức này chỉ ra rằng hệ số Hall và từ trở Hall phụ thuộc vào từ trường, nồng độ pha tạp, tần số sóng điện từ. Điều đó thể hiện rõ ràng qua đồ thị bằng cách sử dụng chương trình Matlab để tính toán số cho dây lượng tử hình chữ nhật. Đây là phương pháp phổ biến để nghiên cứu bán dẫn thấp chiều. 5. Cấu trúc khóa luận. Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, khóa luận này được chia làm ba chương: 4 Chương I: Dây lượng tử và lý thuyết lượng tử về hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối. 1. Dây lượng tử hình chữ nhật. 1.1, Khái niệm dây lượng tử hình chữ nhật 1.2, Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật. 2. Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối. Chương II: Phương trình động lượng tử và biểu thức giải tích cho hệ số Hall và từ trở Hall cho dây lượng tử hình chữ nhật. 1. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật. 2. Biểu thức giải tích của hệ số Hall. 3. Biểu thức giải tích của từ trở Hall. Chương III: Tính toán số và vẽ đồ thị các kết quả lý thuyết cho dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl. 1. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ. 2. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường. 3. Sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật. 5 CHƯƠNG I. DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI 1.1 Dây lượng tử hình chữ nhật. 1.1.1 Khái niệm dây lượng tử hình chữ nhật. Dây lượng tử (quantum wires) là cấu trúc vật liệu thấp chiều. Trong đó, chuyển động của điện tử trong hệ bị giới hạn theo hai chiều (kích thước cỡ 100 nm), và chuyển động tự do theo chiều còn lại trong không gian mạng tinh thể (trong một số bài toán chiều này thường được gọi là vô hạn); vì thế dây lượng tử là một ví dụ về hệ khí điện tử chuẩn một chiều. Trên thực tế chúng ta đã chế tạo được khá nhiều dây lượng tử có các tính chất khá tốt. Dây lượng tử có thể được chế tạo nhờ phương pháp eptaxy MBE, hoặc kết tủa hóa hữu cơ kim loại MOCVD. Một cách chế tạo khác là sử dụng các cổng (gates) trên một transistor hiệu ứng trường, bằng cách này có thể tạo ra các kênh thấp chiều hơn trên hệ khí điện tử hai chiều. 1.1.2 Hàm sóng và phổ năng lượng của dây lượng tử hình chữ nhật. Do yêu cầu thực nghiệm, mô hình dây lượng tử hình chữ nhật cũng hay được đề cập đến trong các công trình mang tính lý thuyết. Để tìm phổ năng lượng và hàm sóng điện từ trong dãy năng lượng từ có thể tìm được kết quả từ việc giải phương trình Schrodinger một điện tử cho hệ một chiều 2   H    *  2  V  r   U  r     E  2m    (1.1) Trong đó: V  r  là thế năng giam giữ điện tử do sự giảm kích thước; U  r  là thế năng tương tác giữa các điện tử; khối lượng hiệu dụng là m* . Với mô hình dây lượng tử hình chữ nhật có kích thước ba trục được giả thiết lần lượt là Lx ,L y ,Lz và Lz ,Lx ,L y . Giả sử thế giam cầm điện tử cao vô hạn theo hai hướng vuông góc x,y; V = 0, nếu 0  y  L y ; 0  x  Lx và V = nếu ngược lại. Khi đó hàm sóng có thể viết:   ly    nx  2  1 ikz 2 0  x  L x (1.2)  n,l,k  x, y,z    e sin  sin       Ly  0  y  L L L L L y  z x  x  y      6   x  0;x  L x Và  n,l,k  x, y,z   0     y  0; y  L y (1.3) Phổ năng lượng của điện tử: + khi chưa có từ trường:  n,l k  2 2 k 2m*   n 2 l2     2m*  L2x L2y  2 2 + khi có từ trường: n,l 2  n 2 l2  1  eE1   k    2    * *  2 2m 2m  L x L y  2m*  c   2 2 k 2 2 Trong đó: n, l: là các số lượng tử của hai phương bị lượng tự hóa x và y. k   0,0,k z  là véc tơ sóng của điện tử. , : là các kích thước của dây theo hai phương Ox, Oy. 1.2 Hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối. Trong bán dẫn khối, nếu ta đặt một dòng điện theo phương Ox, một từ trường theo phương Oz thì thấy xuất hiện một điện trường theo phương Oy. Hiện tượng này được gọi là hiệu ứng Hall cổ điển. Ở đây, để có ảnh hưởng của sóng điện từ lên hiệu ứng Hall trong bán dẫn khối, ta xét bán dẫn khối đặt trong điện trường và từ trường không đổi, vuông góc với nhau. Sự có mặt của sóng điện từ mạnh đặc trưng bởi véc tơ cường độ điện trường E   E0 sin  t,0,0  với E0 và  tương ứng là biên độ và tần số của sóng điện từ. Trước hết, ta xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối khi có mặt trường sóng điện từ. Sử dụng Hamintonnian của hệ điện tử phonon trong bán dẫn khối: 7 H  He  Hph  Heph (1.4) với: e   He  ε  p  A  t   a p a p c  p  Hph   ωq bq bq  He  ph  Dqa p qa p bq  b q  q,p  e    H  ε  p  A  t   a p a p   ωq bq bq  Dqa pqa p bq  b q c  p  q,p  (1.5) Trong đó: : toán tử sinh và hủy điện tử : toán tử sinh và hủy phonon : hằng số tương tác điện tử - phonon : trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ : năng lượng của điện tử ) : thế véc tơ của trường điện từ (t) : tần số của phonon Số điện tử trung bình được đặc trưng bởi xung lượng là: (t) = Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng: i n p  t  t  [a p a p ,H] (1.6) t Số hạng thứ nhất: 8  e      a p a p , ε  p – A  t   a pa p  c    p        e    ε  p – A  t   a p δp,p  a pa p a p  a p δ p,p  a pa p a p  0 c  p  (1.7) Số hạng thứ hai: a p a p ,  q bq bq    q a pa p ,bq bq   0     (1.8) Số hạng thứ ba:    a p a p , Dqa p'  q a p' bq  b q  q,p'          Dq a pa p'δp,p'q  a p'  q a pδp,p' )(bq b q  q,p'   Dq a p a p q bq q t  a pa p q bq t  a pq a p bq t  a pq a p bq t  *   Dq  Fp,p q,q  t   Fp*q,p, q  t   Fp,p q,q  t   Fp,p q, q  t    (1.9) q Thay (1.7),(1.8),(1.9) vào phương trình (1.6) ta có: i n p  t  t *   Dq  Fp,p q,q  t   Fp*q,p, q  t   Fp,p q,q  t   Fp,p q, q  t    q (1.10) với Fp1 ,p2 ,q  t   a p1 a p2 bq Để giải phương trình (1.3) ta đi tính hàm F(t): 9 t i Fp1 ,p2 ,q  t  t  a p1 a p2 bq ,H    (1.11) t chứng minh tương tự ta thu được phương trình đối với hàm Fp1 ,p2 ,q  t  : i Fp1 ,p2 ,q  t  t e      p2     p1   *  p2  p1  A  t   q  Fp1 ,p2 ,q  t  mc     Dq1 a p1 a p2  p1 bq1  bq1 bq q1 t    Dq1 a p1  q1 a p2 bq1  b q1 bq q1 t (1.12) Ta giả thiết có đưa vào đoạn nhiệt của tương tác điện tử - phonon và của trường cao tần, khi đó t = . Tương tác ,điện tử - phonon sẽ được cho là yếu và nghiên cứu như nhiễu loạn. Khi đó phần bên phải có thể đưa đến sự tách và để lại giá trị trung bình chéo n p (t)  a pa p ;n p (t)  bqbq Giải phương trình thu được ở trên với điều kiện ban đầu: Fp1 ,p2 ,q (t  )  0 Xét tập hợp tần số thấp của hàm phân bố, đồng thời giả thiết phân bố phonon là đối xứng ta sẽ thu được phương trình: n p  t  r  eE1 2π Dk k 2 n p  t  p    2Nk  1   jl2  αk   n pk  n p  δ ε pk  ε p  lΩ  l  Bổ sung ảnh hưởng của từ trường ta thu được: 10 (1.13) n p  t  r   eE1  c  p,h  2π Dk  n p  t  p    2Nk  1   jl2  αk   n pk  n p  δ ε pk  ε p  lΩ  2 (1.14) l  k Sau đó nhân hai vế với  e p   p m  và lấy tổng theo ta thu được: R   c  p,R      Q     S    T  (1.15) Trong đó: R ε   p Qε  e m* e  pn pδ ε  ε p  n p  δ ε  εp   p   p F *  m p   (1.16) S ε    2πe m*  Dk 2  2Nk  1  αk  n p  n pk – n p   p k          2δ ε p  k  ε p  δ ε p  k  ε k – Ω  δ ε p k  ε k  Ω δ ε  ε k  Giải phương trình (1.8) thu được: R ε  T ε 1  ωc2T2  ε     Q  ε   S ε   ωcT  ε  h,Q  ε   S  ε   ωc2T 2  ε  h h,Q  ε   S  ε   (1.17) Hàm có ý nghĩa mật độ dòng “riêng” được chuyển dời bởi các electron với năng lượng . Đại lượng này liên hệ với mật độ dòng bởi hệ thức: 11  j  R  ε  dε (1.18) 0 từ đó ta thu được biểu thức tenxo độ dẫn: Hay im  T  e  m 1  c2T 2     T ε 2 2 a σ  b b δ – ω T ε ε h  ω T  ε F  hih k     0 ik 0 1 ik c F ikl l c 2 2 1  ω T ε    c T  εF  Ω 2 2 b0 b 2 δ – ω T ε – Ω ε h  ω T  ε F  Ω  hih k    ik c F ikl l c 1  ωc2T 2  ε F  Ω     b 0 b3 T  εF  Ω  1  ωc2T 2  ε F  Ω     δik – ωcT  ε F  Ω  km  cT(F )kmnhn  c2T2 (F )hkhm εiklh l  ωc2T 2   ε F  Ω  hih k     Trong đó: a0  b0  eL x 0  eL x 2k B e2E02 eE1c 4 m 0S 2 2 4  4 02 I(N, N') 0 0 0   42  74  b1  4 (0  31)  2 (0  3 2 )  2  0  33  2  1 2 3   47  72  52 b2   5 7  72   62 b3   6 7 12 (1.19)  eE   0   1 2c     0    eE   1   1 2 c     0   2 2 1  2m 3p  N    e2E12  2m2pF 2   2 2 0 1  2m 3p  N'    e2E12  2m2pF 2   2 2 0 3 ' 1 2 2 2 2  eE1c  2m p  N  2   e E1  2mp  F    2    2 2  2  0 0    eE   3   1 2 c     0   2  eE   4   1 2c     0   2 1  2m 3p  N'    e2E12  2m2p  F    2   2 2 0 1  2m 3p  N    e2E12  2m2pF 2   2 2 0 1 2 2 3 2 2  eE1c  2m p  N  2   e E1  2mp  F    5    2 2  2  0 0    eE   6   1 2c     0   2  eE   7   1 2c     0   2 1  2m 3p  N    e2E12  2m2p  F    2   2 2 0 1  2m 3p  N'    e2E12  2m2pF 2   2 2 0 Ở đây là hằng số tương tác của điện tử và phonon ( với các cơ chế tán xạ của tương tác điện tử và phonon khác nhau thì có giá trị khác nhau). Và dựa vào đó ta sẽ xác định được các thông số trong biểu thức. Từ đó ta có công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối: 13 RH   yz  B  1 B 2xx  B   2yz  B (1.20) Bằng phương pháp phương trình động lượng tử, ta thu nhận được biểu thức tenxo độ dẫn Hall từ đó xác định được công thức hệ số Hall trong bán dẫn khối. Theo (1.19) và (1.20) ta có nhận xét: dưới ảnh hưởng của trường sóng điện từ hệ số Hall phụ thuộc vào biên độ , tần số , bên cạnh đó hệ số Hall còn phụ thuộc vào từ trường B, tỉ lệ nghịch với đổi . 14 và phụ thuộc vào điện trường không CHƯƠNG II. PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT Trong chương này, ta sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật để tìm ra biểu thức giải tích cho hệ số Hall và từ trở Hall. 2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật. Trước hết, để xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật ta sử dụng Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm – phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật: H t     n,l  k  n,l,k  n,l,k,n ' ,l' ,q e  A t  a n,l,k a n,l,k   w q bq bq  c  q  Cn,l,n ' ,l'  q a n,l,k  q a n ' ,l' ,k bq  b q  với: c 1 dA t  E0 cos  t   E t  sin t phụ thuộc trường ngoài  c dt E t   E0 sin t A t   Cn,l,n ' ,l'  q   Cq In,l,n ' ,l'  q  : hệ số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử Cq 2 e2q  1 1      ek 0q 2  X X0  I2n,l,n ' ,l'  q   n ' ,l' ,k eiqn n,l,k là thừa số đặc trưng. Trong đó: n: chỉ số lượng tử phương vị 15 l: chỉ số lượng tử xuyên tâm n,l,k và n ' ,l' ,k  q trạng thái của điện tử trước và sau va chạm q : Năng lượng của phonon quang với vecto sóng q   q x ,q y ,q z  a n,l,k và a n,l,k : toán tử sinh và toán tử hủy của điện tử. b q và b q : toán tử sinh và toán tử hủy của phonon quang A t  : thế vecto của trường điện từ. Ta đi thiết lập phương trình động lượng tử cho số điện tử trung bình a n,l,k q a n,l,k t phương trình này có dạng: i   a a t n,l,k q n,l,k  t a  a ,H    n,l,k q nlk  t   t e   ε n1 ,l1  p  A t   c   n1 ,l1 , p  a    W a  ,a  a a ,b  b  t   n,l,k q n1 ,l1 ,p n1 ,l1 ,p  t  j  n,l,k q n lk j j  j  n1 ,l1 ,n1' ,l1' , Cn ' ' 1 ,l1 ,n1 ,l1  j      a   n,l,k q a n lk ,a n,l,p  j a n1' ,l1' ,p b j  b  j  t p, j (2.1) Trong đó: a  a n,l,k ,a n1 ,l1 ,pa n1 ,l1 ,p  = n,l,k  q     a n,l,k qa n' ,l' ,k a n1 ,l1 ,pa n1 ,l1 ,p  a n1 ,l1 ,pa n1 ,l1 ,pa n,l,k a  q n ' ,l' ,k 16     a n,l,k qa n ' ,l' ,k a n1 ,l1 ,pa n1 ,l1 ,p  a n1 ,l1 ,p n,n1 l,l1 k q,p  a n,l,k a a q n1 ,l1 ,p n ' ,l' ,k   n ' ,n l' ,l k,pa n,l,k a  n,n1 l,l1 k q,pa n1 ,l1 ,pa n ' ,l' ,k q n1 ,l1 ,p 1 1     a n,l,k qa n',l',k ,a n1 ,l1 ,pa n1 ,l1 ,p    e  εn ,l  p  c A t   1 1 n1 ,l1 ,p  t  e e      =  εn,l  k  A t    ε n,l  k  q  A t    a n,l,k qa n,l' ,k c c      (2.2) Ta có  a ,b b  * a n,l,k q a n ',l',k ,bj b j   0   w j a n,l,k q n ',l',k j j     j  0 (2.3) t  * a n,l,k qa n,l,k ,a n ,l ,p  j a n ' ,l' ,p b j  b j  1 1 1 1      a n ' ,l' ,pδn,n δl,l δp  j,k  a  a n',l',k δn,n ' δl,l' δp,k q   b j  b  =  a 1 1 n1 ,l1 ,p  j j  1 1  n,l,k q 1 1    Cn  j    a  a a b  b ' ,a n ,l ,p  n,l,k  q n ,l ,p  j j  j  n ,l ,k 1 1 1 1  Cn  j b j  b j ×   ' ' 1 ,l1 ,n1 ,l1 n1 ,l1 ,n1' ,l1' , t p1 , j   n1 ,l1 ,n1' ,l1' , a ' ' 1 ,l1 ,n1 ,l1 t p1 , j  a δ δ δ n,l,k q n1' ,l1' ,p n',n1 l',l1 p  j,k   Cn,l,n ',l' j b j  bj j t a  a n ,l ,p  j a n',l',k δn,n ' δl,l' δp,k q 1 1 1  a n,l,k q n,l,k  j Mặt khác ta có: 17 1  a n ,l,k q  j a n ,l,k   t (2.4) e e     εn,l  k  A t    ε n,l  k  q  A t   c c     2 2 1  e 1  e   c  k  A  ε  k  q  A t    ε cn,l   n ,l  t   * * c c   2m  2m  e (2.5) m*c Thay (2.2), (2.3), (2.4), (2.5) vào (2.1) ta được:   a a t n,l,k q n ,l,k     εn,l k  ε n,l k  q  t   e * mc  qA t  a n,l,k a q n ,l ,k   cn,l,n,l j b j  b j a n,l,k a  a n,l,k q  j a n ,l,k q n,l,k  j j  t t (2.6) Để giải (2.6) ta giải phương trình vi phân thuần nhất: i   a a t n,l,k q n ',l',k 0 t e      n ',l'  k   n,l k  q  * qA t   a n,l,k a q n ',l',k mc     0 t (2.7) Giả thiết t = - hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động: bq t  a n,l,k q  a n,l,k t  0 Lấy tích phân 2 vế của (2.7) t   ⇔ a n,l,k q a n,l,k a n,l,k q a n,l,k 0 a n,l,k q a n,l, k t 0 t t 0  i     εn,l  k   εn,l  k  q   m*c qA t   dt1 e 1  t t   e      exp i   εn,l k  ε n,l k  q  ωq  * qA t   dt1  1 mc         18   (2.8) Đây là nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất Đặt: a n,l,k qa n,l,k t   Φ  t  a n,l,k a q n ,l,k 0 (2.9) t Lấy đạo hàm 2 vế (2.9) ta được:   a a t n,l,k q n ',l',k  t   t   a n,l,k q a n ',l',k t 0 t  t   a a t n,l,k q n ',l',k 0 t (2.10) So sánh (2.9) và (2.10) ta được: i Φ  t   a n,l,k qa n,l,k t cn,l,n,l  j  b j 0  t   b j a n,l,k qa n,l,k  j  a n,l,k  q ja n,l,k  j (2.11) t Thay (2.8) vào (2.11) ta được: t     t  e     i  exp i   εn,l k  ε n,l k  q  ωq  * qA t   dt 2  2 t mc               Cn,l,n,l j b j  b  j a n,l,k a n,l,k  j  a n,l,k q  j a n ,l,k  q    j   Lấy tích phân hai vế của (2.12) ta được: 19       (2.12)  t1  e   Φ  t   i  exp i   εn,l k  ε n,l k  q  ωq  * qA t   dt 2  2 mc       t        Cn,l,n,l j b j  b  j a n,l,k a  a n,l,k q  j a n ,l,k q n,l,k  j   j          (2.13) Thay (2.8) và (2.13) vào (2.9) ta được: a n,l,k q  a n,l,k    Cn,l,n,l j    j  t  i t   b j  b  j a n,l,k a  a n,l ,k q  j a n ,l ,k q n,l,k  j     t1   t1   ie    exp i εn,l k  ε n,l k  q   t1  t   * qA  t 2  dt 2  dt1   mct      Vì   (2.14) nên Trong gần đúng bậc 2 theo hằng số tương tác 2  i bq  q bq  i  Cn,l,n',l'  q  t t t n,l,n',l',k t lấy ta được: bq  bq   t1   a n,l,k q a n,l,k  j  a n',l',k q  j an ',l',k  t1 t1   ie     exp i εn,l k  ε n,l k  q  ωq  t1  t   * qA  t 2  dt 2  dt1   mct        (2.15) Ký hiệu hàm phân bố điện tử là:  n n,l k  a n,l,k a n,l,k Do 20 A t   c cosΩt Ω Nên ie t1 qA  t 2  dt 2  m*c t iecqE0 m*cΩ t1  cosΩ  iecqE0 t m*Ω2  sin Ωi1  sin Ωi  Đặt:  eqE 0 (2.16) m* Sử dụng biểu thức biến đổi: exp  iz sin θ     Jυ  z  exp  iυθ   Với là hàm Bessel đối số thực ta được:   λ  λ exp  i sin Ωi1    Jυ   exp  iυυΩ1   Ω  υ   Ω    λ  λ exp  i sin Ωi    J μ   exp  iμμΩ   Ω  μ   Ω  Đặt F t   a n,l,k qa n,l,k ,bh t   F t   i  dt1  Cn,l,n ',l' a n,l,k qa n,l,k  j bh b  b  j j  j   t 21  t1   Cn,l,n ',l' a n,l,k q  j a n ',l',k bh b  b  j j t1 t1     ie      exp i  εn,l k  ε n,l k  q  ωq   t1  t   * qA  t 2  dt 2  dt1 mct            (2.17) c Do A t   cos  t ta có:   t  F t   i  dt Cn,l,n ',l'a n,l,k qa n,l,k  j bh b j  b j     Cn,l,n ',l'  a n,l,k q  j a n,l, k bh b j  b j   t1   t1   1   λ λ    2   J    J      n n,l k  q  n n',l' k       ,  Ω   Ω  k  t          exp i  εn ',l' k  εn ,l k  q  ωq   t1  t   iΩt1  iΩt dt1    (2.18)    F t   Cn,l,n,l a n,l,k q a n,l,k  j bh b j  b  j t j  Cn,l,n ',l'  a n,l,k q  ja n,l,k bh b j  b j   t1 t1  1    λ λ    2    J   Jμ     n n,l k  q  n n,l k     η  ,μ   Ω   Ω  k  22    expi ε n,l  k   ε n,l  k  q   ωq  Ω  iδ   t1  t  iΩt1  iμΩt dt1 t   (2.19) Sử dụng công thức chuyển phổ Fourier  F ω   F t e iωt  1 dt;F t   2π   F ωe iωt dω  Lại có:   expi εn,l  k   εn,l  k  q   ω  Ω  iδ t1 dt1        exp i ε n,l k  ε n,l k  q  ω  Ω  iδ  t    i ε n,e k  ε n,e k  q  ω  Ω  iδ       expi ε n,l  k  q   ε n,l  k   μΩ  t t          exp i ε n,l k  ε n,l k  q  ω  Ω  iδ  t1 dt1    i   t  e   i n ',e' k  n,e k  q      i      1  iωt   f ωe dω  eE  n,l 1 t  2π  hk x     23 1   iωt   fn,lωe dω  2π   (2.20)  1  2 Cn,l,n ',l'  q  2 n,l,n ',l',k t  λ λ J    Jμ   Ω Ω  v,μ       i μΩωΩt   Fn,l  ω     μ  Ω   Fn,l ω     μ  Ω e    fn,l  k  q   fn,l  k  k   (2.21)  i ε n,l k  ε n,l k  q  ω  Ω  iδ    Khi có mặt từ trường yếu ωc VT  f n,l t Với h   k BT, ωc Ω thì (2.21) có f n,l k x f n,l  eE1  c  k x  h  m r k x   B là véc tơ đơn vị theo phương B B Đối số của hàm Bessel nhỏ λ Ω 1. Trong khi phân tích hàm Bessel theo đối số ta chỉ giữ lại những số hạng tỷ lệ đến bậc một của 2 λ λ     Ω 2 λ   Ω 2 λ   J0    1  ;J1    2 2 Ω Ω 2  VP   t i 2  Cn,l,n ',l'  q   và có:  2 2 n,l,n ',l'   fn,l  k  q   fn ',l'  k   k J2      n ',l' k  n,l k  q      i  ,      24 1 1 ρ x  iδ x Sử dụng công thức: iπδ x  với δ  0 Nên   1  ε n,l k  ε n,l k  q  ωq  Ω  iδ     i ε n,l k  ε n,l k  q  ωq  Ω  n n,l t      1  ε n,l k  ε n,l k  q  ωq  Ω   2 n n,l 2 2  k x n n,l  eE1  c  k x  h   2  Cn,l,n ',l'  q   2 m r k x 4 n,l,n ',l',k          f n,l k  q  f n,l k    ε n,l k  ε n,l k  q  ω  Ω    (2.22) k Khi độ lệch của hàm phân bố khỏi giá trị cân bằng không lớn. Ta có thể giả thiết tốc độ thay đổi hàm phân bố tỉ lệ với độ lệch đó khi đó (2.22) thành f n,l  f n ',l' n,l 2 f n,l 2 2  k x f n,l   eE1  c  k x  h   2  Cn,l,n ',l'  q   2 m r k x 4  n,l,n ',l',k    fn,l  k  q  +fn,l  k     εn,l  k   εn,l  k  q   ω  Ω  (2.23) k Trong đó là thời gian phục hồi của điện tử Như vậy, phương trình (2.23) là phương trình động lượng tử của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Để tìm được biểu thức giải tích cho hệ số Hall và từ trở Hall.Ta đi giải phương trình (2.23) ở điều kiện nhiệt độ cao với cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang. 25 2.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall Nhân 2 vế phương trình (2.23) với f n,l r e k x δ  ε n,l  ε n,l  và bỏ qua phần chứa m và thực hiện lấy tổng ta có:  m k x  fn,l   εn,l  εn,l  e n,l τ n,l   e  ωc  h   k x f n,lδ  ε n,l  ε n ,l   m   n,l 2  f n,l  2  e 2e   kx  F    n,l  n ',l'    Cn,l,n ',l'  q  42 m n,l  k x  m n,l,n ',l'         f n,l k  q +f n,l k  δ  ε n,l  εn,l   δ εn ,l k  εn,l k  q  ω  Ω    (2.24) Hay R     ωc  h  R   Q    S   (2.25) Trong đó:  f  e k x  F n,l  δ  ε n,l  ε n,l   m n,l   k x  (2.25a)  f  e Q    k x  F n,l  δ  ε n,l  ε n ,l  ;F  eE1 m n,l   k x  (2.25b) R  2 2e 2  S      | Cn,l,n ',l' (q) | 42 m n,l,n ',l'         f n,l k  q  f n,l k  δ  εn,l  εn,l   δ εn ,l k  εn,l k  q  ω  Ω   Giải (2.25) ta tìm được 26  (2.25c) Rε   τ ε  1  ω2c  τ2ε  Q  S  ω τ   h  Q  h  S   ω τ  Qh  Sh  h 2 2 c ε c ε (2.26) đóng vai trò mật độ dòng riêng ứng với trạng thái có năng lượng . Nó chính là mật độ dòng mang bởi điện tử có năng lượng Ta có mật độ dòng toàn phần:  j   R   d (2.27) 0 Thay(2.26) vào(2.27) ta thu được biểu thức của mật độ dòng toàn phần ji cũng như độ dẫn Hall .Để làm được điều này,ta coi rằng chỉ có tương tác điện từ- phonon quang lớn:    j  L0 Q  L 0 S     A  c    h  A   c22  (h,A)h 2 2 0 1  c     = Với  (2.28) Sử dụng phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn ε n,l 2 π  n 2 l2  1  eE1   k    2    * *  2 2m 2m  L x L y  2m*  ωc  2 2  2 2 k   ε n,l k  ε n,l     2  k x  q 2  2m*  2 1  eE1  2 2  n 2 l 2   k  q  ω  Ω=    2  *   *  2 2m 2m  c  2m  L x L y   2 2 kx * 2 1  eE1  2 2  n 2 l2       q       2m*  c  2m*  L2x L2y    27  k x q  2q 2 2 2  n '2  n 2 l'2  l2       2   q     2m* 2m*  L2x  m* L y     2 Trong đó A  2 2 q 2m*  2 2  '2   2m*  n  n2 L2x l' 2  l2    q  Ω  L2y  (2.29) (2.30) Giả thiết khi điện tử không suy biến, hàm phân bố điện tử có dạng:  1  f n,l k  f0 exp   ε n,l k   k BT    Trong đó:  1 k BT ; f0  k B là hằng số Boltzman. k BT ω0  1  f n,l k  f0 exp   ε n,l k   k BT    2  2 2 kx 1  eE1  2 2  n '2 l'2      f0exp   *   2    * * 2   2m 2m  c  2m  L x L y     2  2 2  1  eE1  2 2  n '2 l'2   kx    exp    f0exp   *       2m  c  2m*  L2x L2y   2m*      2 2  kx  f0exp  A 2  exp   *   2m  (2.31) 28 2 l2  1  eE1    Với A 2  β    2m*  L2x L2y  2m*  ωc  π2 2 n2 Tương tự:  1  f n,l k  q  f0   ε n,l k  q   k BT  2 2   2   k  q   1 eE 2 2  n '2 l'2   x 1     f0exp   *      2m* 2m  c  2m*  L2x L2y         2  2 2 2 2 2  q 1  eE1  2 2  n '2 l'2   kx k xq      f0exp        exp         2m* 2m*  c  2m*  L2x L2y   2m* m*      2 2 2 2 2    q kx k xq   f0exp     A ex p       1 * * m*    2m  2m (2.32) Trong đó: 2 l2  1  eE1    A1     2m*  L2x L2y  2m*  ωc  π2 2 n2 Sử dụng công thức chuyển tổng sang tích phân: L    2π k    dk  Với L là chiều dài dây. 2 2   L q  k xq  f k  q δ  A  f exp  β  βA    n,l 1  *  0 2π *  m  2m   k    2 2 2   kx k x q   2k x q   exp  β  β δ  A    dk x * *   *  2m m m      29 (2.33) Sử dụng:  f x  i  f x δ Φ  x  dx   Φ'  i  xi  với Φ x   0 i 2 2 2 2 2  kx k xq  k xq q   m* ' f  k   exp  β β ;Φ   A    * ;k  * *  *   k k m q 2m m m   Nên  2 2 2    βm* 2  kx k x q   2k x q m* exp  β  β δ  A dk  exp  A  βA  x     2m* *   * 2 2 m m q 2 q        m*A Tính chất hàm deta chỉ có điện tử thỏa mãn điều kiện k  mới đóng góp q vào tích phân. Nói một cách khác chỉ có điện tử thỏa mãn bất đẳng thức này mới tham gia vào hiệu ứng. fn,l  k 2  2k x q   βm* 2  Lm* q 2 k  q δ  A  f exp  A  βA  β A  βA   1 *  m*  0 2π 2q  2 2q  2m      (2.34) Tương tự:  2 2  2  2k x q    L kx k xq k δ  A  f exp  βA  exp  β δ  A        dk x 2   2m*   m*  m*  0 2π        fn,l   k Biến đổi tương tự (2.34) ta được:  2k x q   βm* 2  Lm* k δ  A  f exp  A  βA   2   m*  0 2π 2q  2 2q     fn,l   k        (2.35)   Γq   f n,l k  q  f n,l k  δ ε n,l k  q  ε n,l k  ωq  Ω   k 30  βm* 2  =f0 exp  A  βA exp   2 2   2π 2q 2 q    Lm*  q     1 (2.36) Ta có: e S ε    2πe 2 m  n,l,n ,l Cn,l,n,l  q  x x x  1  2e 2 sh 2 λ2 2 4Ω2 Γq δ  ε n,l  ε n ,l  (2.37) Lại có:  n,l,n ,l Cn,l,n,l  q   2  n,l,n ,l Cq 2 In,l,n ,l  q  J N,N  u  2 2 (2.38) Trong đó:  Nn ! u Nm  Nn Nm  Nn e u LN u  n Nm ! J N,N  u   2  2 Nn  min N, N; Nm  max N, N u a c2 q m,n ;a c2  ;q m,n  q 2x  q 2y 2 mωc Đặt b   n,l,n ,l Cq 2 In,l,n,l  q  J N,N  u  2 2 λ2 4Ω 2 Γq (2.39)   *Tính L0 Q    L0 Q   τ  ε Q 2 2 0 1  ωc τ ε   dε   ωc τ2ε   ωc τ3ε     h  Q  dε   h h,Q dε  2 2  2 2 1  ω τ 1  ω τ c ε  c ε  0 0 31 (2.40) Ta có: e Q ε    m k x F f n,l n,l k x δ  ε n,l  ε n ,l  (2.41) Thay (2.41) vào (2.40) ta được:    τ ε  L01 Q   2 2 0 1  ωc τ ε   e m e Q ε dε  m τ  ε n,l   2 2 n,l,k 1  ωc τ  εn,l   τ ε   f n,l  k  1  ω2τ2  x  F k x  δ  ε n,l  εn,l  dε c  ε  n,l 0 kxF f n,l k x Giả thiết hàm phân bố điện tử có dạng: β ε F ε n,l  f n,l  e f n,l k x  f n,l ε n,l ε n,l k x 2   kx m*  L01 ;β    1 k BT β ε F ε n,l   βe  F n,l   c  p  e eβ Q  m τ  ε n,l   2 2  β ε F ε n,l   1  ω2τ2 ε  m k x  Fe c  n,l    n,l,k Trường hợp đơn giản nhất khi L01 2   2k 2x π 2 2  n 2 l2  1  eE1           k x  2m* 2m*  L2x L2y  2m*  ωc       (2.42) khi đó: =  2 2  β ε F ε n,l  τ0 eβ Q    k x  Fe m 1  ωc2 τ02 n,l,k  m    Lại có: 32 (2.43) β ε F ε n,l  e   1  exp  βε F  exp  β  *   2m   2 2 kx 2  1  eE1  π 2 2  n 2 l2        2  * ω  *  2 2m  c  2m  L x L y     2    1  eE1  π 2 2  n 2 l2       β 2 k 2x     exp  β εF    2   exp   * ω  *  2  2 m   2m 2m L L   c    y      x     L01 2    1  eE1  π 2 2  n 2 l2     Q   exp  β εF  2m*  ω   2m*  L2  L2   m* 1  ωc2 τ0  c  y    x     eβ τ0  β 2k 2x  k 2x exp  F 2m   kx (2.44)  β 2k 2x  Đặt I1  k 2x exp   2m    kx  L01 2      1 eE π 2 2  n 2 l2    1      I1 Q  2 F β  εF        m 1  ωc2 τ0 2m*  ωc  2m*  L2x L2y         eβ τ0 Chuyển L   2πx k x   dk x  L  I1  x 2π    β 2k 2x   2 k exp    dk x x  2m      (2.45) Sử dụng công thức tích phân: 33  e αx 2 x n dx n 1  n 1 α 2 Γ    2   L  2m   I1   2  2π  β  3 2 π 2 Mối liên hệ giữa mật độ dòng toàn phần ji và độ dẫn Hall σ ij      E  E1  ji  L0 Qi  L0 Si  σijE1j  σij      L0 Qi  L0 Si (2.46) E1j Rút ra: ea ij  (i j  c ijk h k  c22h i h j )  2 1  c  3(c 2  c44 )h i h j  ciijk h k  q 2 m(1  c22 )2 (1  c22 )ij (2.47) Ta có biểu thức (2.47) là biểu thức giải tích của tenxơ độ dẫn Hall. Từ biểu thức (2.47) ta giả thiết: E / /0z ,  E   0,0,E   ; B / /0x ,  B   B,0,0   Như vậy: σ zz   eaτ Γq 1  ωc2 τ 2 m  1  ωc2 τ 2   τ2 1  ωc2 τ 2  2   Γq τ 2 2 ea  1  ω τ   c m 1  ωc2 τ 2  1  ωc2 τ 2  τ   34 (2.48) σ zy   eaτ  1  ωc2 τ 2 Γq m  ωc τ3  2 1  ωc2 τ 2  ωc τ  1  ωc2 τ 2   τ2  ea  b  ωc m 1  ω2 τ 2 c        (2.49) Trong đó: β ε F ε n,l  τ0 eβ k2e 2 2 2 x m 1 ω τ a c 0 k 3 2   2 2 2 2    2 π    τ0 L eβ 1 eE π n l 2m    1     exp β ε F    2   2  * ω  *  2  2π m2 1  ωc2 τ02 2  2m 2m L c      x L y     β  (2.50)  b n,l,n ,l Cq 2 In,l,n ,l  q  J N,N  u  2 λ2 2 4Ω2 Γq (2.51)  βm* 2  Γq  f 0 exp  A  βA exp β ωq  Ω   1  2 2 2     2π q  2 q   Lm* Thay    (2.52) ta có công thức của hệ số Hall. RH  zy 1  2 2  zy  zz (2.53) 2.3 Biểu thức giải tích cho từ trở Hall. R 1 ij (2.54) Trong đó: σ ij là độ dẫn Hall Với : 35 ea ij  (i j  c ijk h k  c22h i h j )  2 1  c  3(c 2  c44 )h i h j  ciijk h k  q 2 m(1  c22 ) 2 (1  c22 )ij Như vậy R 1 ea (i j  c ijk h k  c22h i h j )  2 1  c  3(c 2  c44 )h i h j  c iijk h k  q 2 m(1  c22 )2 (1  c22 )ij (2.55) 36 CHƯƠNG III: TÍNH TOÁN SỐ VÀ VẼ ĐỒ THỊ CÁC KẾT QUẢ LÝ THUYẾT CHO DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT GaAs/GaAsAl Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall vào tần số sóng điện từ, từ trường và chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl với hố thế cao vô hạn. Các thông số được sử dụng trong quá trình tính toán này như sau: 109 , m = 0.067 m0 , F  50meV , 0  36.25meV X  10.9 , X0  12.9 , 0  36π Ω  3 1013 s 1 , n  1,n '  1,l  1,l'  1,   10 12s,   5320kgm 3. 3.1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ khi thay đổi cảm ứng từ: B=4.0T; B=4.4T; B=4.6T, chiều dài dây lượng tử L= 9.10-7m, hai kích thước dây lượng tử Lx=8.10-9m, Ly=7.10-9m ta thu được kết quả đồ thị 3.1: 37 Hình 3. 1 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo tần số sóng điện từ Hình 3.1 thể hiện sự phụ thuộc hệ số Hall theo tần số sóng điện từ cho dây lượng tử hình chữ nhật GaAs/GaAsAl với cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang. Từ đồ thị ta nhận thấy, lúc đầu khi tần số tăng thì hệ số Hall tăng nhanh, sau đó đạt cực đại tại một giá trị của tần số rồi giảm mạnh. Và khi tần số sóng điện từ tiếp tục tăng thì hệ số Hall lại đạt giá trị không đổi. Với các giá trị từ trường khác nhau, hình dạng đồ thị khác nhau, các giá trị cực đại của hệ số Hall không có sự khác nhiều. 3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường khi thay đổi nhiệt độ: T=50K; T=100K; T=150K, chiều dài dây lượng tử L=9.10-7m, hai kích thước dây lượng tử Lx=8.10-9m , Ly=7.10-9m, ta thu được kết quả đồ thị 3.2: 38 Hình 3.2 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo từ trường Hình 3.2 thể hiện sự phụ thuộc của hệ số Hall vào từ trường với những giá trị nhiệt độ khác nhau. Qua đồ thị , ta thấy hệ số Hall gần như không thay đổi khi từ trường tăng trong miền giá trị nhỏ. Khi từ trường tiếp tục tăng, hệ số Hall giảm dần. 3.3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật. Khảo sát sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử khi thay đổi nhiệt độ: T= 120K; T=230K; T=350K, từ trường B=2T, hai kích thước dây lượng tử Lx=8.10-9m, Ly=7.10-9m, ta thu được kết quả đồ thị 3.3 39 Hình 3. 3 Sự phụ thuộc của hệ số Hall theo chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật Hình 3.3 thể hiện sự phụ thuộc của hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật với những giá trị nhiệt độ khác nhau. Có thể nhìn thấy khi chiều dài tăng trong miền giá trị nhỏ thì hệ số Hall tăng nhanh, tiếp tục tăng chiều dài thì hệ số Hall cũng tiếp tục tăng và đạt giá trị không đổi. 40 KẾT LUẬN Đề tài nghiên cứu tính toán hệ số Hall và từ trở Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn. Bài toán vật lý được nghiên cứu dựa trên phương pháp phương trình động lượng tử của điện tử trong trường hợp tán xạ điện tử phonon quang. Kết quả đươc tóm tắt như sau: 1.Sử dụng Hamiltonian của hệ điện tử giam cầm- phonon vào phương trình động lượng tử trong dây lượng tử hình chữ nhật, chúng tôi thu được biểu thức giải tích cho thành phần  của độ dẫn Hall (từ trở Hall) cũng như hệ số Hall với sự có mặt của điện trường ngoài E   0,0,E1  ,từ trường B   B,0,0 và điện trường biến thiên E  E0 sin t (trong đó, E 0 và  lần lượt là biên độ và tần số của trường laser) 2.Khảo sát hệ số Hall và từ trở Hall trong sự phụ thuộc vào B, E1,  , nhiệt độ T của hệ và những tham số đặc trưng của dây lượng tử hình chữ nhật. Những kết quả giải tích thu được từ việc tính toán, đánh giá và vẽ đồ thị cho dây lượng tử hình chữ nhật cụ thể GaAs/GaAsAl đã thể hiện sự phụ thuộc của hệ số Hall và từ trở Hall vào các tham số trên. 3. Kết quả lí thuyết của hệ số Hall trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn chỉ ra rằng: - Hệ số Hall phụ thuộc mạnh và phi tuyến vào tần số sóng điện từ và từ trường. Khi tần số sóng điện từ thay đổi thì hệ số Hall cũng thay đổi theo: đạt cực đại tại một giá trị của tần số rồi sau đó đạt giá trị bão hòa khi tần số sóng điện từ tăng, hệ số Hall giảm dần khi từ trường tăng. - Hệ số Hall phụ thuộc phi tuyến vào chiều dài dây lượng tử: hệ số Hall tăng trong miền giá trị nhỏ và không đổi khi tiếp tục tăng chiều dài dây. 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO A – Tiếng Việt 1, Nguyễn Quang Báu (Chủ biên),(2011), Lý thuyết bán dẫn hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. 2, Nguyễn Quang Báu (Chủ biên), Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2010), Vật lý bán dẫn thấp chiều, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. 3, Nguyễn Văn Hiệu (1997), Cơ sở lý thuyết lượng tử các chất rắn, Thông tin khoa học và công nghệ Quốc Gia, Hà Nội. 4, Nguyễn Thế Khôi, Nguyễn Hữu Mình (1992), Vật lý chất rắn, NXB Giáo Dục. 5, Nguyễn Văn Hùng (2000), Lý thuyết chất rắn, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. 6, Nguyễn Quang Báu, Bùi Bằng Đoan, Nguyễn Văn Hùng (2004), Vật lý thống kê, Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội. B – Tiếng Anh 7, Mickevicius R. and Mitin V. (1993), “Acoustic-phonon scattering in a rectangular quantum wire”, Phys. Rev. B 48, pp. 17194-171201. 8, Cunningham J., Pepper M., Talyanskii V.I (2005), “Acoustoelectric current in submicron-separated quantum wires”,Appl.Phys.Lett., 86 (2005) 152105. 9, Epstein E.M. (1976), “Parametric resonance of acaustic and optical phonons in semiconductors”, Sov Phys Semicond, 10, pp.1164. 42 10, Li W.S.,Shi-Wei Gu, Au- Yeung T.C.,and Y.Y.Yeung (1992), “Effects of the parabolic potential and confined phonons on the polaron in a quantum wire”, Phys.Rev.B46,pp. 4630-4637. 11, Manlevich V.L.,Epshtein E.M. (1976), “Photostimulated kinetic effects in semiconductors”, J Sov Phys, 19, pp. 230-237. 43 [...]... LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT Trong chương này, ta sử dụng phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật để tìm ra biểu thức giải tích cho hệ số Hall và từ trở Hall 2.1 Phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật Trước hết, để xây dựng phương trình động lượng tử cho điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật ta sử dụng Hamiltonian của hệ điện tử. .. Hall từ đó xác định được công thức hệ số Hall trong bán dẫn khối Theo (1.19) và (1.20) ta có nhận xét: dưới ảnh hưởng của trường sóng điện từ hệ số Hall phụ thuộc vào biên độ , tần số , bên cạnh đó hệ số Hall còn phụ thuộc vào từ trường B, tỉ lệ nghịch với đổi 14 và phụ thuộc vào điện trường không CHƯƠNG II PHƯƠNG TRÌNH ĐỘNG LƯỢNG TỬ VÀ BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CHO HỆ SỐ HALL VÀ TỪ TRỞ HALL TRONG DÂY LƯỢNG... n,l,k là thừa số đặc trưng Trong đó: n: chỉ số lượng tử phương vị 15 l: chỉ số lượng tử xuyên tâm n,l,k và n ' ,l' ,k  q trạng thái của điện tử trước và sau va chạm q : Năng lượng của phonon quang với vecto sóng q   q x ,q y ,q z  a n,l,k và a n,l,k : toán tử sinh và toán tử hủy của điện tử b q và b q : toán tử sinh và toán tử hủy của phonon quang A t  : thế vecto của trường điện từ Ta đi thiết... bq  b q c  p  q,p  (1.5) Trong đó: : toán tử sinh và hủy điện tử : toán tử sinh và hủy phonon : hằng số tương tác điện tử - phonon : trạng thái của điện tử trước và sau khi tán xạ : năng lượng của điện tử ) : thế véc tơ của trường điện từ (t) : tần số của phonon Số điện tử trung bình được đặc trưng bởi xung lượng là: (t) = Phương trình động lượng tử cho điện tử trong bán dẫn khối có dạng: i n...  ω  Ω  (2.23) k Trong đó là thời gian phục hồi của điện tử Như vậy, phương trình (2.23) là phương trình động lượng tử của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn Để tìm được biểu thức giải tích cho hệ số Hall và từ trở Hall. Ta đi giải phương trình (2.23) ở điều kiện nhiệt độ cao với cơ chế tán xạ điện tử - phonon quang 25 2.2 Biểu thức giải tích cho hệ số Hall Nhân 2 vế phương... 2 2 0 Ở đây là hằng số tương tác của điện tử và phonon ( với các cơ chế tán xạ của tương tác điện tử và phonon khác nhau thì có giá trị khác nhau) Và dựa vào đó ta sẽ xác định được các thông số trong biểu thức Từ đó ta có công thức xác định hệ số Hall của điện tử trong bán dẫn khối: 13 RH   yz  B  1 B 2xx  B   2yz  B (1.20) Bằng phương pháp phương trình động lượng tử, ta thu nhận được... phonon trong dây lượng tử hình chữ nhật: H t     n,l  k  n,l,k  n,l,k,n ' ,l' ,q e  A t  a n,l,k a n,l,k   w q bq bq  c  q  Cn,l,n ' ,l'  q a n,l,k  q a n ' ,l' ,k bq  b q  với: c 1 dA t  E0 cos  t   E t  sin t phụ thuộc trường ngoài  c dt E t   E0 sin t A t   Cn,l,n ' ,l'  q   Cq In,l,n ' ,l'  q  : hệ số tương tác điện tử - phonon trong dây lượng tử Cq... rằng chỉ có tương tác điện từ- phonon quang lớn:    j  L0 Q  L 0 S     A  c    h  A   c22  (h,A)h 2 2 0 1  c     = Với  (2.28) Sử dụng phổ năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ nhật với hố thế cao vô hạn ε n,l 2 π  n 2 l2  1  eE1   k    2    * *  2 2m 2m  L x L y  2m*  ωc  2 2  2 2 k   ε n,l k  ε n,l     2  k x  q 2  2m*... giả thiết có đưa vào đoạn nhiệt của tương tác điện tử - phonon và của trường cao tần, khi đó t = Tương tác ,điện tử - phonon sẽ được cho là yếu và nghiên cứu như nhiễu loạn Khi đó phần bên phải có thể đưa đến sự tách và để lại giá trị trung bình chéo n p (t)  a pa p ;n p (t)  bqbq Giải phương trình thu được ở trên với điều kiện ban đầu: Fp1 ,p2 ,q (t  )  0 Xét tập hợp tần số thấp của hàm phân... ε (2.26) đóng vai trò mật độ dòng riêng ứng với trạng thái có năng lượng Nó chính là mật độ dòng mang bởi điện tử có năng lượng Ta có mật độ dòng toàn phần:  j   R   d (2.27) 0 Thay(2.26) vào(2.27) ta thu được biểu thức của mật độ dòng toàn phần ji cũng như độ dẫn Hall Để làm được điều này,ta coi rằng chỉ có tương tác điện từ- phonon quang lớn:    j  L0 Q  L 0 S     A  c   ... thuộc hệ số Hall vào chiều dài dây lượng tử hình chữ nhật CHƯƠNG I DÂY LƯỢNG TỬ VÀ LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG HALL TRONG BÁN DẪN KHỐI 1.1 Dây lượng tử hình chữ nhật 1.1.1 Khái niệm dây lượng tử. .. I: Dây lượng tử lý thuyết lượng tử hiệu ứng Hall bán dẫn khối Dây lượng tử hình chữ nhật 1.1, Khái niệm dây lượng tử hình chữ nhật 1.2, Hàm sóng phổ lượng dây lượng tử hình chữ nhật Hiệu ứng Hall. .. trình động lượng tử biểu thức giải tích cho hệ số Hall từ trở Hall cho dây lượng tử hình chữ nhật Phương trình động lượng tử cho điện tử dây lượng tử hình chữ nhật Biểu thức giải tích hệ số Hall Biểu