BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA VẬT LÝ NGUYỄN THỊ NHUNG ỨNG DỤNG CỦA NHÓM LIE TRONG XÂY DỰNG CÁC MÔ HÌNH THỐNG NHẤT TƢƠNG TÁC KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán NGƯỜI HƯỚNG DẪN T.S PHÙNG VĂN ĐỒNG Hà Nội, năm 2015 Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy Phùng Văn Đồng vì thầy đã tận tình hướng dẫn, chia sẻ những kinh nghiệm qúy báu để tôi có thể dễ dàng tiếp thu và hoàn thành khóa luận. Tôi xin chân thành cảm ơn thầy Hoàng Ngọc Long và cô Nguyễn Thu Hương đã truyền dạy cho tôi những kiến thức cơ bản nhất. Xin cảm ơn qúy thầy, cô trong hội đồng bảo vệ khóa luận tốt nghiệp đã nhận xét, đóng góp về nội dung, hình thức trong khóa luận của tôi. Xin gửi lời cảm ơn đến qúy thầy cô trong khoa vật lý, trường đại học sư phạm Hà Nội II đã truyền đạt cho tôi những kiến thức cơ bản nhất. Đó chính là cơ sở, nền tảng để tôi hoàn thành khóa luận của mình. Chân thành cảm ơn tới các anh chị lớp cao học vật lý lý thuyết tại Viện vật lý đã tận tình hướng dẫn và cùng tôi trao đổi những kiến thức đã học và các vấn đề trong cuộc sống. Cuối cùng tôi xin chân thành cảm ơn đến các thành viên trong gia đình của tôi, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa luận này. Hà Nội, tháng 5 năm 2015 Sinh viên Nguyễn Thị Nhung. Nguyễn Thị Nhung K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1 CHƢƠNG 1 : NHÓM LIE ............................................................................. 6 1.1. Nhóm Lie ................................................................................................ 6 1.2. Phương pháp weight cho SU(2) ............................................................ 13 1.3. Phương pháp tensor cho SU(3) ............................................................. 18 1.4. Phương pháp bảng Young cho SU(N) .................................................. 22 CHƢƠNG 2 : ĐỐI XỨNG CHUẨN VÀ MẪU QUARK .......................... 31 2.1. Đối xứng với nhóm giao hoán U(1) ...................................................... 31 2.2. Đối xứng chuẩn với nhóm không giao hoán SU(2) .............................. 36 2.3. Mẫu quak............................................................................................... 40 2.4. Nhóm SU(3) trong tương tác mạnh (QCD) .......................................... 43 CHƢƠNG 3 : MÔ HÌNH CHUẨN .............................................................. 47 3.1. Nhóm đối xứng chuẩn SU(2)L U(1)Y ................................................. 47 3.2. Toán tử điện tích và siêu tích yếu ......................................................... 48 3.3. Biến đổi chuẩn SU(2)L⨂ U(1)Y ............................................................ 50 KẾT LUẬN .................................................................................................... 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 53 Nguyễn Thị Nhung K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý MỞ ĐẦU Kể từ khi có nền văn minh nhân loại, con người đã rất tò mò, hiếu kỳ trước thế giới tự nhiên. Họ dần dần hiểu được những quy luật đơn giản như ngày đêm, tháng và năm. Họ cũng hiểu được sự chuyển hoá của vật chất từ dạng này sang dạng khác, như mộc sinh hỏa, hỏa sinh thổ v.v. Nhận thức của con người dần dần rộng hơn, sâu sắc hơn phản ánh đúng hiện tượng hơn. Một điều không thể phủ nhận, xã hội phát triển mạnh như ngày nay chính nhờ vào những nhận thức đó, những sáng chế đó. Đây cũng là yếu tố cổ vũ, thúc đẩy con người chinh phục và không khuất phục trước những bí ẩn của vũ trụ. Những câu hỏi về tự nhiên đã được đúc kết lại: “ Cái gì cấu thành nên vũ trụ? Luật cơ bản nào tri phối vận động nào của nó? Nguồn gốc của vũ trụ là gì? Nó kết thúc không? Tại sao chúng ta xuất hiện? ’’ Nếu như trưóc kia chúng chỉ tồn tại trong triết học với những mô tả định tính, đôi khi cảm tính, thì ngày nay chúng được trả lời bằng những khoa học chính xác – hạt nhân của khoa học chính xác đó là Vật lý học. Trước hết, ta biết rằng vũ trụ này gồm các hạt vật chất thông thường như lepton, quark và các hạt truyền tương tác giữa chúng: photon cho tương tác điện từ,W,Z cho tương tác yếu, gluon cho tương tác mạnh và gravito cho tương tác hấp dẫn. Yếu tố đặc biệt còn lại là hạt Higgs khối lượng cho mọi hạt khác. Ba tương tác đầu tiên được mô tả thành công bởi mô hình chuẩn và làm việc ở thang vi mô như phân tử, nguyên tử, hạt nhân, các hạt cơ bản. Tương tác hấp dẫn được mô tả thành công bởi thuyết tương đối rộng ở thang vĩ mô như trái đất, mặt trời, sao, thiên hà khi các hạt cơ bản cô đặc. Có một điều ta chưa hiểu tường tận là vật chất ngày nay chỉ cấu thành từ các hạt, không có bằng chứng cho phản vật chất được cấu thành từ các phản hạt, gọi là vấn đề bất đối xứng vật chất – phản vật chất (vì theo mô hình chuẩn số hạt phải bằng số phản hạt ). Ngoài ra, vật chất Nguyễn Thị Nhung 1 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý thông thường chỉ tồn tại dưới dạng thiên hà, tinh vân, neutrino, bức xạ và chiếm chỉ khoảng 5 thành phần vật chất vũ trụ. Còn hai loại vật chất khác chiếm đến 95 thành phần vật chất vũ trụ là vật chất tối và năng lượng tối, không có trong và cũng không được mô tả bởi các lý thuyết chính thống của chúng ta, mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng (không kể hằng số vũ trụ ).Vật chất tối (chiếm 25 vật chất vũ trụ) đổ đầy các thiên hà và mở rộng ra vỏ ngoài thiên hà ở một thang lớn. Chúng trung hoà điện, không hấp thụ và bức xạ ánh sáng. Hiệu ứng mạnh nhất là thông qua tương tác hấp dẫn và có thể được ghi nhận thông qua năng kính hấp dẫn. Chúng gây nên sự phân bố vận tốc gần như không đổi của các sao khi quay quanh tâm thiên hà, và đây chính là bằng chứng đầu tiên chúng ta biết về nó. Năng lượng tối choán đầy vũ trụ, chiếm đến 70 vật chất vũ trụ. Một đặc tính của năng lượng tối là nó sẽ sinh lực hấp dẫn là lực đẩy khi các thiên hà nằm trong đó. Điều này giải thích cho hiện tượng các thiên hà đang dần xa nhau với vận tốc tăng dần (sự giãn gia tốc của vũ trụ ), quan sát được hơn mười năm qua . Hiểu biết của chúng ta được tổng kết ở mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng - những nền tảng cơ xở của vật lý hiện đại. Vì vậy, trước hết chúng ta hãy điểm qua những học thuyết này. Có ba yếu tố cơ sở hình thành nên mô hình chuẩn là 1) Đối xứng chuẩn , (2) phá võ đối xứng tự phát , và (3) mẫu quark . Đối xứng chuẩn Abelian U(1) cho tương tác điện từ được ghi nhận trực tiếp từ điện động lực Maxwell như một hệ quả do Weyl (1918)và Pauli (1941). Điện động lực học vì vậy ẩn ý rằng đối xứng chuẩn chính là ngôn ngữ của các tương tác cơ bản . Thực vậy , năm 1954 Yang và Mills đã xây dựng thành công lý thuyết chuẩn dựa trên nhóm không Abelian. Đối xứng chuẩn của mô hình chuẩn SU(3) ⨂ SU(2) ⨂ U(1) cho ba tương tác điện từ , yếu và mạnh là hệ quả của những phát minh đó .Tương tự ,thuyết tương đối rộng cho tương tác hấp dẫn Nguyễn Thị Nhung 2 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý chính là một lý thuyết chuẩn dựa trên hình học Riemann được xây dựng năm 1916 bởi Einstein . Một đặc tính của lý thuyết là các trường truyền tương tác không có khối lượng do bất biến chuẩn . Điều này tốt cho tương tác điện từ, mạnh và hấp dẫn. Tuy nhiên, tương tác yếu là tương tác tầm gần, các hạt truyền tương tác W, Z phải có khối lượng lớn. Làm sao sinh khối lượng cho W,Z mà vẫn bảo toàn đối xứng chuẩn. Khó khăn đó được khắc phục bởi hiện tương phá vỡ đối xứng tự phát cholý thuyết chuẩn, thông qua cơ chế Higgs. Đối xứng chuẩn là đối xứng của Lagrangian không phải đối xứng của chân không. Trường vô hướng thực hiện phá vỡ đối xứng gồm hai phần, phần thực và phần ảo. Phần thực, gọi là hạt Higgs, sẽ có trung bình chân không và cho khối lượng đến mọi hạt khác kể cả boson chuẩn khi chúng tương tác với Higgs. Khi boson chuẩn nhận khối lượng, số bậc tự do của nó tăng từ 2 lên 3. Bậc tự do mới, thành phần dọc của trường chttuẩn, chính là phần ảo của trường vô hướng hạt Goldstone. Ta nói boson chuẩn ăn hạt Goldstone, khắc phục khó khăn của định lý Goldstone cho lý thuyết với đối xứng toàn cục. Những năm 1961-1964 là những năm có ý nghĩa nhất đối với sự phát triển của tương tác mạnh thứ mà gắn kết proton và neutron cấu thành nên hạt nhân. Gell- Mann, Ne’eman, Nishijima và Zweig đã khám phá ra rằng các hardron trong đó có proton, neutron và meson được cấu thành và được phân loại bởi các hạt cơ sở hơn gọi là quark. Một năm sau, năm 1965, người ta nhận ra rằng các quark phải có thêm một số lượng tử mới (gọi là mầu) như biểu diễn cơ sở của đối xứng chuẩn mới SU(3)C. Lý thuyết tương tác mạnh QCD giữa các quark thông qua hạt truyền tương tác gluon ngay sau đó hình thành. Vì các hadron không có màu tích, baryon xây dựng từ 3 quark và meson từ 2 quark sao cho bất biến với nhóm màu. Các đặc tính của QCD là khi các quark gần nhau chúng coi như Nguyễn Thị Nhung 3 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý không tương tác (tiệm cận tự do ), khi chúng xa nhau cỡ bán kính hạt nhân tương tác trở nên cực kỳ mạnh. Thực tế các quark chỉ tồn tại trong các hadron, không có quark tự do và điều này cũng đúng cho gluon, gọi là hiện tượng cầm tù quark. Lực hạt nhân chính là tàn dư của tương tác mạnh, gọi là lực London, mặc dù các nucleon thung hoà mầu, tương tự lực liên kết phân tử Wanderwalls Mô hình chuẩn với hai phần cơ sở là lý thuyết điện yếu GWS (SU ⨂ U(2)Y) và sắc động lực học QAD (SU(3)C) với đối xứng chuẩn SU(3)C⨂ SU(2)L ⨂ U(2)Y. Các fermion được xếp theo thế hệ: thế hệ 1gồm gồm , μ, c, s và thế hệ 3 gồm , e, u, d, thế hệ 2 , , t, b. Mỗi fermion có hai thành phần: phân cực trái và phân cực phải .Riêng neutrino chỉ có phân cực trái. Các thành phần trái phải là cấu thành cơ sở của mô hình chuẩn: hạt trái được xếp vào lưỡng tuyến SU(2)L, trong khi hạt phải là đơn tuyến của nhóm này. Các quark nằm trong tam tuyến của SU(3)C, trong khi lepton là đơn tuyến. Siêu tích yếu Y = Q , trong đó isospin yếu và Q là điện tích. Phá vỡ đối xứng điện yếu và sinh khối lượng được thực hiện thông qua cơ chế Higgs với một lưỡng tuyến vô hướng , ,𝑣+H+i ) thành SU(3)C⨂ SU(2)L⨂ U(2)Y . Khi này, đối xứng chuẩn bị phá vỡ SU(3)C⨂ U(1)Q. Các hạt truyền tương tác yếu , Z cà fermion (trừ neutrino) nhận khối lượng tỉ lệ với 𝑣 thông qua tương tác với H. Phhoton gắn với U không. và và các gluon gắn với SU có khối lượng bằng là các hạt Goldstone có khối lượng bằng không và bị ăn bởi các boson chuẩn khối lượng và Z (chúng không phải là hạt vật lý ). Hạt Higgls H là hạt vật lý đã được tìm thấy trong thực nghiệm LHC năm 2012 với khối lượng 125 Gev. Mô hình chuẩn với ba thế hệ fermion cùng với các hạt truyền tương tác mạnh, yếu, điện từ và hạt sinh khối lương H giải thích mọi hiện tượng vi mô liên quan đến 5 cao, hơn 99 vật chất thông thường của vũ trụ với độ chính xác rất so với giá trị thực nghiệm. Kết hợp với tương tác hấp dẫn tác dụng Nguyễn Thị Nhung 4 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý của thang vĩ mô, mô hình chuẩn và thuyết tương đối rộng là hai trụ cột của vật lý hiện đại, mô tả thành công vật lý từ thang hạt cơ bản đến vũ trụ tổng thể .Vừa qua,năm 2013,giải Nobel đã chao cho Higgs và Englert vì đã phát minh ra Higgs năm 1964. Ngoài việc sinh khối lượng,Higgs còn có ý nghĩa sau : tiến hoá của vũ trụ kể từ sau bigbang sẽ theo cách mà sự sống xuất hiện. Không có Higgs sẽ không có chúng ta như ngày nay. Nhằm phần nào tìm hiểu các lý thuyết nói trên, trong luận văn này em sẽ đề cập về lý thuyết nhóm liên tục, nhóm Lie, và ứng dụng của nhóm Lie trong mô hình xây dựng các mô hình thống nhất tương tác. Tên đề tài được chọn là: “ Ứng dụng của nhóm Lie trong các mô hình thống nhất tương tác’’. Nguyễn Thị Nhung 5 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý CHƢƠNG 1 : NHÓM LIE Phần này tôi giới thiệu chung về các khái niệm nhóm Lie như vi tử của nhóm, biểu diễn nhóm và xây dựng đại số Lie về mối quan hệ giữa các vi tử qua hằng số cấu trúc của nhóm. Từ hằng số cấu trúc lại xây dựng được một biểu diễn gọi là biểu diễn phó tác động lên không gian vi tử. Lại áp dụng đại số Lie và biểu diễn phó cho các nhóm unita chéo hoá ma trận đó, và yêu cầu tất cả các trị riêng của toán tử chéo xác định dương sẽ xây dựng được đại số Lie compact tiện lợi với các biểu diễn đơn giản. Sẽ lấy ví dụ cụ thể cho các nhóm SU(2), SU(3). 1.1. Nhóm Lie 1.1.1. Định nghĩa Xét nhóm vô hạn , các yếu tố nhóm là khả vi liên tục theo các tham số độc lập , Trong đó ta quy ước ứng { , , , } coi là yếu tố đơn vị của nhóm vô hạn. với Khi đó biểu diễn của nhóm gồm các toán tử tuyến tính cũng tham số hóa theo cùng cách đó gọi là toán tử đơn vị. với Ta sẽ chỉ ra biểu diễn của nhóm vô hạn có thể được tham số hóa thành dạng lũy thừa. (*) Trong đó ta định nghĩa: với Trong đó , , , .., là vi tử của nhóm và Lie đã chứng minh được rằng tham số hóa lũy thừa đúng cho mọi biểu diễn với mọi hữu hạn và đúng cho các nhóm trừu tượng, nên các nhóm loại này gọi chung là nhóm Lie. Xét 1 lân cận đủ nhỏ Nguyễn Thị Nhung quanh , ta có thể khai triển Taylor: 6 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Nếu Khoa Vật Lý hữu hạn, ta chia đoạn bằng nhau thành [ ] thì: i Nhóm Lie là nhóm liên tục, tức là các yếu tố nhóm đóng kín tùy ý) khi (gần nhau đóng kín. Và các biểu biễn của yếu tố nhóm cũng sẽ đóng kín, tức là với thì Như vậy, nếu , ta nói nhóm liên tục và khả vi theo đến mọi cấp, hay giải tích theo là nhóm Lie. Trong tài liệu người ta gọi đơn giản nhóm Lie là nhóm liên tục. Ví dụ cho nhóm SU(N): SU(N) gồm các ma trận unita với det=1 tạo thành một nhóm. Tính đóng kín: , , , , Xét: .  . . Đóng kín: +) +) +) ( unita và mà ) và ,  Nguyễn Thị Nhung 7 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp ( Khoa Vật Lý là nghịch đảo của ) Tính chất của nhóm SU(N):  U11 U12 U =  U 21 U 22 U  N1 U N 2 U1 N  U2N   U NN  +) Số tham số thực: 2N2 , N2 phương trình biến thực +) Điều kiện Unita: +) Điều kiện det = 1  một phương trình biến thực Số tham số thực độc lập : 2N2 – N2 – 1 = N2 – 1 Số vi tử: N2 – 1 Vậy với cách tham số hóa lũy thừa như trên thì mối quan hệ giữa các vi tử tương ứng là như thế nào? Để biết được điểu đó, ta sẽ tìm hiểu đaị số Lie. 1.1.2. Đại số Lie Ta sẽ chứng minh được với là hằng số cấu trúc của nhóm Lie. Chứng minh: Theo luật nhân nhóm:    Xét , , đủ nhỏ, lấy ln hai vế ta có: ( [ Nguyễn Thị Nhung ) n ][ ] 8 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Ta có: [ ] Mà:  [  Hay: , ] [ , ] , , , Hệ thức đúng cho mọi hệ số , , bất kỳ Đặt tương ứng: [ , ] [ , ] Trong đó: là hằng số cấu trúc của nhóm, có tính phản đối xứng theo , 1.1.3. Biểu diễn phó Bản thân các vi tử, hay nói cách khác là hằng số cấu trúc sẽ sinh ra một biểu diễn tác động lên không gian biểu diễn của các vi tử [ , Ta hoàn toàn chứng minh được: [ , gọi là biểu diễn phó. ] ] Chứng minh: Nguyễn Thị Nhung 9 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Từ đồng nhất thức Jacobi: ,[ [ ]] , ,[ [ ]] , [  [ , ,[ [ ] ]] , ,[ [ ,[ [ ]] , , [[ ] ]] , , ], ] , ] [    Xét: [ , ] [ ] [ ] [ ] [ ] à [ ] [ , ] [ , ] [ ] Vậy ta có điều phải chứng minh 1.1.4. Đại số Lie compact Vết của tích 2 biểu diễn phó có thể chéo hóa và giả sử rằng các trị riêng của toán tử chéo xã định dương và chọn để bằng thì định nghĩa được đại số Lie compact. , Để chứng minh ta có: Nguyễn Thị Nhung 10 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý , Xét với các nhóm unita, trong đó , có thể chéo hóa, là số thực, và đối xứng theo là ma trận unita. tác động trong không gian N chiều. Để tìm xét sự thay đổi của các không gian vi tử (biểu diễn phó bị thay đổi) ta tác động lên đó thông vì ma trận qua hằng số cấu trúc. L: là ma trận chuyển cơ sở L   [ ] ,  [ , [ ] ]    [ [ ] ] [ ]  Như vậy, ta đã chéo hoá được ma trận , , , ⨂ dạng chéo. Trong đó là các trị riêng của . , , , + Nếu mọi về ma trận , thì có thể chọn để mọi , lúc này ta có đại số Lie compact: Ví dụ: Nhóm SU(N), SO(N) thuộc loại này + Nếu tồn tại một thì đại số Lie không compact và một Ví dụ: Nhóm Lorentz O(1,3), O(N) + Nếu tồn tại thì chuẩn của vi tử tương ứng triệt tiêu , Ví dụ: Nhóm Abelian + Nếu thì Vậy chỉ cho chuẩn của vi tử về λ, không đổi dấu của Nguyễn Thị Nhung 11 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý 1.1.5. Đại số Lie đơn và nửa đơn a) Đại số đơn và nhóm nửa đơn Trước khi định nghĩa đại số đơn, ta có khái niệm đại số con bất biến. Cho đại số Lie gồm các vi tử { } . Một tập hợp con { }của { }gọi là đại số con bất biến nếu có thành chính nó khi giao hoán với một vi tử bất kỳ thuộc { }. Tức là: { , } { } Một đại số Lie gọi là đơn nếu nó không có đại số con bất biến nào khác chính nó và { }, tức là không tồn tại số con không tầm thường. Từ đây ta có định nghĩa của nhóm đơn là không tồn tại nhóm con bất biến không tầm thường. Ví dụ SU(N) là nhóm đơn vì tập hợp các vi tử cuả nhóm { }tạo thành đại số đơn. SO(3) đẳng cấu với SU(2) cũng là một đại số đơn. Nhưng nhóm SO(4) chứa nhóm con bất biến là SO(3) thì lại không phải là nhóm đơn. b) Đại số nửa đơn và nhóm nửa đơn Trước khi định nghĩa đại số nửa đơn ta có khái niệm đại số con bất biến giao hoán (abelian) Cho đại số Lie gồm các vi tử { }. Nếu tồn tại một vi tử N mà giao hoán với mọi vi tử còn lại thì bản thân N tạo thành một đại số con bất biến gọi là đại số con bất biến abelian [ , ] . Nhóm mà có duy nhất một vi tử như thế chính là nhóm U(1), tương ứng với phép biểu diễn gọi là thừa số abelian. Một đại số Lie { }gọi là nửa đơn nếu nó không có đại số con bất biến abelian nào kể cả chính nó. Bởi vì nếu có đại số đó cũng sẽ giao hoán với mọi vi tử khác của nhóm. Như vậy không gian toàn bộ đại số lại có thể tách thành tổng trực tiếp của các không gian của đại số đơn, bởi: { } Nguyễn Thị Nhung { } { } . 12 { } K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Và nhóm nửa đơn sẽ là tích trực tiếp của nhóm đơn. Ví dụ SU(3) ⨂ SU(2) là nhóm nửa đơn. c) Định lý tổng quát Mọi nhóm Lie đều viết được thành tích trực tiếp của các nhóm đơn và thừa số abelian. Ví dụ mô hình chuẩn chính là một nhóm Lie tổng quát. ⨂ ⨂ Nhóm nửa đơn đóng vai trò rất quan trọng trong vật lý lượng tử, đặc biệt là ứng dụng mô tả vật lý hạt. Bởi khi thống nhất các tương tác cần mở rộng nhóm đối xứng chuẩn bao gồm một tập hợp các vi tử mà có thể không có nhóm đơn nào đáp ứng. Ví dụ thống nhất tương tác điện – yếu cần 4 vi tử buộc ta phải sử dụng tích trực tiếp của và . Khi đó, sử dụng nhóm nửa đơn là phương pháp đơn giản nhất. 1.2. Phƣơng pháp weight cho SU(2) Muốn tìm các biểu diễn của nhóm Lie, ta bắt đầu với các biểu diễn của đại số Lie cuả nhóm, sau đó chuyển sang các biểu diễn của nhóm bằng cách tham số hóa lũy thừa. Việc xây dựng các biểu diễn bất khả quy của đại số Lie bắt đầu xây dựng một không gian biểu diễn mà có thể thực hiện nhờ các toán tử sinh hủy hoặc các vi tử nâng hạ wieght. Các vi tử nâng hạ wieght lại được xây dựng chính từ vi tử của nhóm không phải vi tử cartan. Chú ý SU(2) là thuộc nhóm unita nên vi tử biểu diễn được chọn sẽ là hermitian. Sau đây tội sẽ trình bày phương pháp weight để xây dựng biểu diễn của nhóm Lie compact đơn giản nhất SU(2). 1.2.1. Vi tử Cartan Nguyễn Thị Nhung 13 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Trước tiên cần phải nói về đại số cartan, là đại số bao gồm những vi tử đôi một có thể chéo hoá. Vật lý cần những vi tử như thế để mô tả cho các đại lượng đo được. Nhóm SU(N) có N2 – 1 vỉ tử thì có N – 1 vi tử cartan. SU(2) có 3 vi tử, trong đó có 1 vi tử cartan, do đó 3 vi tử đôi một không giao hoán nhau [ Gọi là vi tử chéo của SU(2). Ta có: m , ] mm 1.2.2. Vi tử nâng hạ wieght Xét biểu diễn định nghĩa của SU(2), là biểu diễn có số chiều bằng chiều của nhóm, tức là sẽ xây dựng các ma trận biểu diễn của các vi tử. Các biểu diễn khác có thể suy ra từ biểu diễn định nghĩa. Như vậy sẽ có hai trị riêng ứng với 2 vectơ riêng có thể chọn làm vecter cơ sở của biểu diễn. Ta đưa ra một số khái niệm: - Các trị riêng của vi tử chéo gọi là weight  m  - Các vecter riêng của vi tử chéo gọi là vecter weight m - Trị riêng lớn nhất của vi tử chéo gọi là hight weight, ta ký hiệu là a)Vi tử nâng hạ wieght Trong cơ sở mà chéo hóa thì ta định nghĩa các vi tử nâng hạ , như sau. √ Ý nghĩa vật lý của các vi tử nâng hạ trong cơ học lựơng tử chính là toán tử nâng hạ spin, còn trong mô hình chuẩn thì chúng là vi tử của các boson chuẩn Từ đại số của nhóm SU(2) ta chứng minh được: [ Nguyễn Thị Nhung , ] 14 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Sử dụng các biểu thức trên ta lại chỉ ra được của ứng với trị riêng m cũng là một vecter trị riêng lại là trị riêng ứng với các vectơ . Mà m  1 . Vậy nên m 1 m Ta nhận thấy: + Các vi tử đã nâng weight lên một đơn vị + Các vi tử đã hạ weight xuống một đơn vị Vậy, từ một vectơ m biết trước, sử dụng vi tử nâng hạ weight ta có thể tìm ra tất cả các vectơ còn lại cuả không gian biểu diễn. Chỉ cần ta tìm được công thức tính giá trị riêng của các vi tử nâng hạ weight. b) Trị riêng của vi tử nâng hạ weight Bởi vì làm việc với vi tử nâng và hạ là tương đương nên ta chọn vectơ riêng ứng với weight cao nhất của vi tử chéo và sử dụng vi tử hạ để tìm các vectơ còn lại. Dễ dàng chứng minh được: j √ j 1 Một cách tổng quát hơn: jk √ j  k 1 c) Ma trận biểu diễn Trước tiên ta đi tìm ma trận biểu diễn của biểu diễn không tầm thường đơn giản nhất. Ta sử dụng ký hiệu chuẩn jm cở sở trực chuẩn cho không gian biểu diễn spin m trạng thái của xung lượng Các yếu tố ma trận ứng với spin j có 2j+1 giá trị m: {j, j-1,…,1, 0, -1,…,-j} Nguyễn Thị Nhung 15 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý  có 2j+1 các trạng thái jj jj  1 ... j 0 ... j  j Chiều của biểu diễn Không gian biểu diễn: . ( . ) . Ta có một số công thức hay sử dụng: jm  1 jm jm ' jm , jm  1 jm jm ' jm , 1.2.3. Ứng dụng phƣơng pháp weight với SU(2) Biểu diễn định nghĩa của SU(2) chính là biểu diễn trong không gian 2 chiều với nên, ta có các trạng thái weight 1 1 1 1 . Ta cũng hoàn toàn làm phương , 22 2 2 1 2 pháp weight được với spin1, spin ,….và tổng quát cho cả đại số cartan. Mục đích của weight: - Xây dựng không gian biểu diễn - Xây dựng biểu diễn bất khả quy 1 2 1 2 Ví dụ, cụ thể tìm yếu tố ma trận của spin , spin có hai trạng thái 1 1 1 1 , , 22 2 2  kỳ vọng ma trận biểu diễn là ma trận Pauli + Tìm : Nguyễn Thị Nhung 16 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý 11 11 1 1 X3    X 3 1 1  22 22 2 2 22 11 1 1 X3  0   X 3 1 1  0 2 2 2 2 Ta có: 2 2 1 1 11 X3  0   X 3  1 1  0 2 2 22 2 2 1 1 1 1 X2  0   X 3  1 1  0 2 2 2 2 2 2 ( Vậy: + Tìm ) sử dụng công thức: jm ' jm , Ta có: 11  11 1 X   1 1  0   X   1 1  0 22 22 2 22 2 2 1 1  1 1 1 1 1 X   1 1    X   1 1  2 2 22 2 22 2 2 2 2 1 1  1 1 X  0   X   1 1  0 2 2 2 2 2 2 1 1  1 1 X  0   X   1 1  0 22 2 2 2 2 ( Vậy: ) là ma trận chỉ số √ + Tìm sử dụng công thức: jm ' jm , 11  11 X  0   X   1 1  0 22 22 22 1 1  1 1 1 1 1 X   1 1    X   1 1  Ta có: 22 2 2 2 22 2 2 2 2 1 1  1 1 X  0   X   1 1  0 2 2 22 2 2 ( Vậy: Tìm , √ )là ma trận nâng chỉ số : Nguyễn Thị Nhung 17 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý ( √ ) ( √ ) 1.3. Phƣơng pháp tensor cho SU(3) Ở phần này tôi trình bày về phương pháp tensor, bao gồm xây dựng các biểu diễn cao chiều từ việc lấy tích tensor của các biểu diễn cơ sở, biểu diễn liên hợp và ngược chiều, tách biểu diễn nhìn chung không bất khả quy của các tích tensor này thành tổng của các biểu diễn bất khả quy thành phần. Tôi sẽ làm cụ thể cho SU(3). 1.3.1. Tích tensor Xét , là hai biểu diễn của ứng với biểu diễn N chiều với các vectơ cơ sở i ,  i  1,...., N  ứng với biểu diễn M chiều với các vectơ cơ sở x ,  x  1,...., M  Vậy, tích tensor ứng với vectơ cơ sở ix  i x , và tích tensơ ứng với biểu diễn chiều. ⨂ ix i x a) Biểu diễn tích tensor Từ tích trực tiếp của một nhóm: ⨂ ix đó minh họa cho nhóm SU(2) mà i x thì ta có thể biểu diễn nào từ đó, ta có biểu diễn tích tensor như sau: jy Nguyễn Thị Nhung ⨂ ix j i 18 y x K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý [ ] ⨂ [ , ] [ ] Ta khai triển vô cùng bé (chỉ giữ lại bậc nhất) ta có, công thức tổng quát: ⨂ [ ] [ , ] [ ] Tích tensor hay tích biểu diễn chính là cộng vi tử. Vi tử tác động lên không gian tích tensor bằng tổng các vi tử tác động lên không gian thành phần. i x ( i ) x i ( x ) Ví dụ tìm ⨂ cho SU(2) Biểu diễn 2 của SU(2) ứng với biểu diễn spin Biểu diễn 3 của SU(2) ứng với biểu diễn spin 1 2 spin : có hai trạng thái 1 1 1 1 , 22 2 2 spin1 : có ba trạng thái 11 , 10 , 1  1  Tích tensor: 1 m 1m ' 2 1 1 m 1m ' có weight cao nhất là 2 2 + Trạng thái với weight cao nhất: 33 11  11 22 22 (1) + Dùng toán tử X  tìm các trạng thái còn lại: Ta có: X  33 11 11  X 11  X  11 22 22 22  3 31 1 1 1 11  11  10 2 22 22 2 2 2  31 1 1 1 2 11  11  10 22 3 22 3 2 2 Nguyễn Thị Nhung (2) 19 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Ta có: X  Khoa Vật Lý 31 1  1 1 2  11  X 11  X 10 22 2 2 3 22 3 31 1 1 1 2  11  2 11  X  11   X  10  X  10  22 3 22  3 22 3 2 2 31 1 1 1 2 1 1 1 2 11  2  10  10  11 22 3 2 2 2 3 22 3 2 2  X 3 1 2 1 1 1 11  10  1 1 2 2 3 2 2 3 22  Ta có: X  3 1 2 1 1  2 2 3 2 2 X   (3) 10  1   11  X  1 1 22  3 3 3 3 2 1 1 1 1 1  11  11 2 2 2 3 2 2 6 2 2  3 3 1 1  1 1 2 2 2 2  (4) 3 2 Biểu diễn bốn chiều của spin với bốn vectơ của biểu diễn tensor đôi một trực giao nhau. 1.3.2. Tích tensor của SU(3) SU(3) có hai biểu diễn cơ bản, sở. Từ đó ta lấy tích tensor ⨂ là biểu diễn cơ sở và , trong đó, là biểu diễn phản cơ ⨂ sinh ra mọi biểu diễn khác nhau, mọi biểu diễn có thể xác định theo các biểu diễn cơ bản. + Biểu diễn cơ sở: 1 3 2 3 1 3 2 6 1 3  2 6  3  0 3  Nguyễn Thị Nhung 20 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp  Ta có: Khoa Vật Lý  i j j i j  [ ] i  [ ] j j j + Biểu diễn liên hợp: * 2 3 1  3 2 6 1 3  2 6 3  0 3  1 3  i i Ta có:  i [ i  j j ] ⨂ + Biểu diễn tích tensor của i1 i2 i3 ...... j1 j3 j2 in n Ta có: X a X  j1 j2 ... jm i1i2 ...in k 1 i1 n j1 j2 .... jm a i1i2 ...in  k 1 i ...... jm  .... X a  ik j1 j2 ... jm i1i2 ...in  m in .... jm  k 1 m j1 j2 ..... jm i1i2 ..... ik 1 ik 1 .... in  X a i   k k 1 j1 .... jk 1 ik 1 ...in i1i2 ....in i1 ....   Xa  j1 in .... X a jk .... jm jk Kết luận: Các tích tensor nhìn chung là không bất khả quy, có thể tách tích tensor thành các biểu diễn bất khả quy. 1.3.3. Ví dụ tìm ⨂ , ⨂ *cho SU(3) a) ⨂ ta có thành phần tensor vàcó thành phần tensor  ⨂ có thành phần tensor có số chiều biểu diễn là 9 (khả quy) Viết lại: ( ) Biểu diễn bất khả quy 6 chiều đối xứng (2,0) Nguyễn Thị Nhung 21 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Biểu diễn bất khả quy chiều phản đối xứng (0,1) Vậy: ⨂ ⨂ , b) có thành phần tensor có thành phần tensor  ⨂ Vậy: ⨂ 1.4. Phƣơng pháp bảng Young cho SU(N) Ở cuối của phần này là phương pháp bảng Young. Ta biết rằng các biểu diễn bất biế khả quy của nhóm unita có thể thực hiện bằng bằng bảng Young. Các tensor hoàn phản xứng và không vết cũng sẽ cho một bảng Young. Vậy thay vì biểu diễn tích tensor phức tạp ta sẽ đưa về biểu diễn dạng bảng Young với những quy tắc nhân bảng Young đơn giản tiện lợi hơn. 1.4.1. Bảng Young a. Nhóm SU(3) Ta thấy SU(3) có hai biểu diễn cơ bản , ra biểu diễn bất kỳ . Từ hai biểu diễn cơ bản có thể sinh , ⨂ đối xứng theo và phản đối xứng theo , chứa mọi biểu diễn cần tìm. Đối xứng hóa các chỉ số thích hợp sẽ cho biểu diễn bất khả quy tương ứng. . Cho tensor tổng quát: . . biến đổi như V Tính chất của đối xứng theo các cặp Nguyễn Thị Nhung , , đối xứng theo ℓ 22 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý phản đối xứng theo mỗi cặp , , phản đối xứng theo ℓ Để rút các biểu diễn tensor này về biểu diễn bất khả quy ta làm như sau: Tìm biểu diễn bất khả quy của với weight cao nhất. Đối xứng theo , đối xứng theo Phản đối xứng theo . Đối xứng không vết: . Vế trái với điều kiện không vết:  Vế phải với điều kiện không vết: đối xứng theo (một tensor luôn biểu diễn được thành một đối xứng và mà phản đối xứng) Một tensor như thế này đối xứng theo và đối xứng theo cặp , , phản đối xứng theo , , đối xứng theo , không vết tự động thoả mãn sẽ cho một bảng Young. Biểu diễn bất khả quy qua bảng Young Các cặp phản đối xứng tương đương xếp vào một cột. Những đơn i cunxg là cột, nhưng chỉ 1 ô (giữa i và các cặp là đối xứng nên đặt i tương đương k là đủ) Đối xứng theo các ô trên hàng, phản đối xứng theo các ô trên cột. b) Quy tắc tính chiều biểu diễn bất khả quy của một bảng Young Nguyễn Thị Nhung 23 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý + Chọn ô gốc là N trên cùng bên trái, sang phải tăng một đơn vị, xuống dưới trừ một đơn vị. + Chiều của biểu diễn: Ví dụ: Chiều biểu diễn của SU(3) 3 4 2 . . . . 3 4 . Chiều biểu diễn của SU(5) 5 6 . Nguyễn Thị Nhung ⨂ 24 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý 5 6 4 3 2 . . . . . . ⨂ ⨂ 1.4.2. Quy tắc nhân bảng Young Bảng Young cho một biểu diễn bất khả quy bất kỳ từ biểu diễn cơ bản. Cho hai bảng 2 biểu diễn bất khả quy , Để tính ⨂ ta có quy tắc: Bước 1: Nhặt mọi ô trên hàng thứ nhất của Nhặt mọi ô trên hàng thứ hai của là là (Tất cả các ô trên một hàng là như nhau) Bước 2: Nhặt mọi hàng 1 đặt vào theo bên phải và ở dưới ,không có hai ô trên 1 cột cùng số ,vì sự phản đối xứng sẽ làm nó triệt tiêu .Vậy bảng thu được là bảng chuẩn. Các ô trên hàng không tăng khi sang phải Bước 3: Nguyễn Thị Nhung 25 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Nhặt mọi Khoa Vật Lý đặt vào kết quả của bước 2 Bước 4: Đọc các nhãn , từ phải sang trái theo hàng, và từ trên xuống dưới theo cột là một nhóm hoán vị mạng ( số số ) 1.4.3. Ví dụ đối với SU(3) và SU(5) a) SU(3) ⨂ ⨂ ⨂ ⨂ Ta thấy: 3 (1,0) 6 (2,0) 3* (0,1) 6* (0,2) 3 8 10 (1,1) (3,0) (1 ô,0 cột) Nguyễn Thị Nhung 26 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp 3* Khoa Vật Lý (0 ô, 1 cột) 6 (2 ô lẻ,0 cột phản đối xứng) 6* (0 ô lẻ,2 cột phản đối xứng) 8 (1 ô lẻ,1 ô phản đối xứng) (3 ô lẻ,0 cột phản đối xứng) 10 1 (0 ô lẻ) Nguyễn Thị Nhung 27 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp ⨂ = Khoa Vật Lý Loại (b,a) (a,b) Loại (b,a) ⨂ * (a,b) Hoán vị mạng phải được thỏa mãn số b > số a ⨂ ⨂ * = = Nguyễn Thị Nhung 28 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý ⨂ ⨂ = Nguyễn Thị Nhung 29 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý b) SU(5) Có bốn biểu cơ bản: (biểu diễn bất khả quy 10 chiều) (biểu diễn bất khả quy 10 chiều) Một biểu diễn phó (24 chiều) bằng ⨂ = Nguyễn Thị Nhung 30 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý CHƢƠNG 2 : ĐỐI XỨNG CHUẨN VÀ MẪU QUARK Ở chương này tôi muốn đề cập đến trường hợp đối xứng chuẩn với nhóm giao hoán U(1) và trường hợp đối xứng với nhóm SU(2). Trong lý thuyết chuẩn thì đưa ra đạo hàm hiệp biến, từ đạo hàm hiệp biến đó sẽ xuất hiện các trường chuẩn (hay gọi là hạt gauge boson) truyền tương tác, rồi xây dựng Lagrangian bất biến mô tả tương tác. Trong vật lý nhóm U(1)Q mô tả được tương tác điện từ (trong chuẩn QED), nhóm SU(3)C mô tả được trong tương tác mạnh (trong QCD) 2.1. Đối xứng với nhóm giao hoán U(1) 2.1.1. Nhóm giao hoán U(1) U(1) là nhóm biến đổi pha liên tục, góc pha của hàm sóng sin. Yếu tố U = e-iQx là phép quay mặt phẳng phức hai chiều. Trong đó: Q là vi tử duy nhất của U Q toán tử điện tích = Q̅ = - ̅ Trong điện động lực học, đại lượng bảo toàn là điện tích. Mà theo định lý Noether “ Tính chất lagrangian bất biến dưới 1 phép biến đổi liên tục nào đó cho phép suy ra tính chất bảo toàn của một đại lượng lực biến đổi theo thời gian”. Vậy có thể dùng nhóm U(1) để mô tả điện động lực. U(1) phải là biến đổi định xứ, vì mỗi điểm trong không gian hàm sóng electron biến đổi theo một định hướng khác nhau, = const thì U(1) toàn cục, α = α(x) thì U(1) định xứ 2.1.2. Xây dựng Lagrangian bất biến dƣới U(1) định xứ Lagrangian tự do trường spinor L0 = ̅ ( i Nguyễn Thị Nhung –m) 31 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Trong đó L0 bất biến dưới U(1) toàn cục, không bất biến dưới U(1) định xứ. Ta có ̅̅̅i ’ ̅i do thành phần động năng chứa đạo hàm thông thường ( đạo hàm trường tại các điểm khác nhau là khác nhau) i tại hai điểm Phải chỉnh lại trường điể và để đạo hàm tại hai theo hai hướng khác nhau à như nhau có iên kết với nhau) Ta đưa vào một trường liên kết - trường vectơ i Trong đó: được yêu cầu là biến đổi như toán tử trường Langrangian của spinor bất biến dưới U(1) định xứ là: LSQED = ̅  LSQED = ̅ ( Nguyễn Thị Nhung ) ̅ 32 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Trong đó: ̅ ̅ là thành phần tự do là thành phần tương tác Lagrangian toàn phần của lí thuyết QED: ( LQED = ̅( ) ̅ ) ( ) 2.1.3. Tensor cƣờng độ điện trƣờng Tensor cường độ điện trường được định nghĩa như sau: Ta sẽ chứng minh tensor cường độ trường chính là kết qủa của một độ sai lệch khi đạo hàm theo hai hướng khác nhau. , [ , [ Thật vậy: [ ⦋ , ⦌ ⦋ , ⦌ , ]=[ , ] =0 mà = ]+ ] ⦋ , ⦌ ⦋ , ⦌ ⦋ , ⦌ 2.1.4. Quy luật biến đổi của trƣờng chuẩn và tensor cƣờng độ trƣờng Trước tiên ta xét quy luật biến đổi của ( ( )  ⦋( ) , xuất phát từ quy luật biến đổi của ) ]  Quy luật biến đổi của Nguyễn Thị Nhung 33 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Kết luận: Khoa Vật Lý bất biến dưới phép biến đổi định xứ U(1) 2.1.5. Lagrangian bất biến của trƣờng điện từ với U(1) định xứ Lgange = . [ ] để thỏa mãn tính tái chuẩn hóa, , để phương trình chuyển động lagrange khớp với phương trình Maxwell.  Lgange =  0  Ex E  y  Ez  Ex 0 Bz  By Ey  Bz 0 Bx Cần đưa vào số hạng cố định chuẩn LGF =  Ez  By   Bx   0  . Trường đưa vào để duy trì đối xứng gauge thì có bốn thành phần thực. Trong khi đó, trường điện từ - hạt photon vật lí chỉ có hai trạng thái phân cực (2 trạng thái spin vật lí). Vậy “ Fixing the gauge” là phương pháp phá vỡ đối xứng gauge trước đó ở trong lagrangian (2 trạng thái mất đi tương đương hai ma trận xuất hiện). là trường vectơ không khối lượng buộc phải có điều kiện cố định chuẩn. Ngoài ra, từ lgauge ta không tìm được hàm truyền của photon. Lgauge = Chuyển sang không gian xung lượng ∫ Toán tử ̃ không có nghịch đảo  Nguyễn Thị Nhung ]̃ [ ứng với trị riêng bằng 0 34 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý [ Lgauge + LFQ  Khi lượng tử hoá trường chuẩn bằng phương pháp tích phân phiếm hàm, với việc đưa vào điều kiện cố định chuẩn (gauge fixing) đồng nghĩa với đưa vào tham số chuẩn, đã xuất hiện số hạng ma. ∑ ̅ ∫ [ , ] . , Trong đó: ̅ , là các trường ma Mà ∫ ∑ ̅ [ ] , Hàm trường của trường ma: Nhận xét: Các trường ma chỉ tương tác với trường chuẩn. Các trường ma là trường vô hướng nhưng tuân theo các hệ thức phản giao hoán (tuân theo phân bố Fecmi) ̅ Lint = Nguyễn Thị Nhung ̅ 35 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Với lí thuyết QED dùng nhóm U(1)Q thì chính là điện tích của trường 2.2. Đối xứng chuẩn với nhóm không giao hoán SU(2) 2.2.1. Nhóm không giao hoán SU(2) Nhóm SU(2) gồm các ma trận ⨂ với det U =1 và quy tắc nhân nhóm là phép nhân ma trận. Xét biểu diễn định nghĩa của nhóm SU(2) thì phép biến đổi SU(2) có dạng , , là vi tử của nhóm SU(2), trong đó với Đối với biểu diễn cơ bản .. : Hạt sống trong không gian biểu diễn cơ bản thì Ф = ( ) Biểu diễn chính quy ( ) ( ) ( Hạt sống trong không gian biểu diễn phó: ( ) ) Xét trường hợp spinor ở trong biểu diễn cơ bản: Dưới phép biến đổi SU(2) toàn cục: ( ) ̅ ( ) ( Xét lagrangian: ̅ ̅ ̅ ) bất biến) Kết luận: Lagranggian của trường spinor bất biến dưới phép biến đổi toàn cục, làm việc với nhóm U(1) toàn cục thì không thể đưa vào trường chuẩn. Nguyễn Thị Nhung 36 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý 2.2.2. Lý thuyết chuẩn với phép biến đổi SU(2) định xứ ( Ta có: ̅ ̅ ̅ SU (2)  )    ̅̅̅ ̅   Đạo hàm theo các hướng khác nhau làm phép biến đổi không có cùng quy luật và số hạng động năng không bất biến. Vậy phải đưa vào trường chuẩn liên kết không gian giữa hai điểm để cho đạo hàm trường biến đổi cùng và quy luật. ,   , , Đạo hàm hiệp biến biến đổi như hàm trường  ( ) Quy luật biến đổi của trường chuẩn, ta xuất phát từ phép biến đổi của đạo hàm hiệp biến.  Đặt ( ) và nhân vào bên phải  2.2.3. Tensor cƣờng độ trƣờng [ Nguyễn Thị Nhung , 37 ] K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp [ , ] [ , ] [ , Khoa Vật Lý [ , ] [ [ , ] ] [ , ] ]  hay Với không bất biến dưới phép biến đổi chuẩn SU(2) , Cụ thể: [ SU (2) [ ]  .  Tuy nhiên , ] [ , ] . ( ) bất biến. Thật vậy: SU (2)   ( ( ) ) Kết luận: Có ba trường chuẩn không khối lượng xuất hiện , , ba hạt này mang lực tương tác hạt nhân yếu, lúc đó Yang Mill cho rằng ba hạt ấy mang tương tác mạnh. 2.2.4. Lagrangian bất biến của trƣờng chuẩn là biểu diễn chính quy của nhóm SU(2) nên không phải là một số mà là một ma trận dạng: (  Không thể lagrangian có dạg Nguyễn Thị Nhung ) như với nhóm U(1). Ta phải lấy vết 38 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý ∑ ( ) n=1 để lí thuyết tái chuẩn hóa vì để có dạng giống với ( . ( ) ) (  ) Lagrangian toàn phần: ̅ ̅ Với: ( và {   (   Với:   ) } ) [ ] ’   Ta có: Nhận xét: Trong lý thuyết Yang Mill không xuất hiện số hạng khối lượng trường nên hạt mang tương tác yếu được cho là không khối lượng. Suy ra điều này không chính xác. Vì tương tác yếu là tương tác tầm ngắn hạt truyền phải có khối lượng. Nguyễn Thị Nhung 39 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý 2.3. Mẫu quak Từ lý thuyết Erghtfall Way của Gell – Man suy ra các hadron có thể được xây dựng từ quark là biểu diễn cơ sở của SU(3). ∑ Phép biến đổi SU(3) gồm các phần tử dạng: , Trong đó: là thực Quy luật biến đổi của toán tử trường:   Nếu thì biểu diễn đơn tuyến tương đương với biểu diễn một chiều trung hòa bởi 1 hạt. , Nếu biểu diễn cơ sở tương đương 8 biểu diễn (3 3) chiều trung hòa bởi ba hạt. ( ) ( ( ) ) ( ( ) ) √ ( ( ) ( ) ) Ta có tính chất hermit: [ Nguyễn Thị Nhung ] 40 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp [ ] , ( Khoa Vật Lý , ) , , Từ biểu diễn cơ sở suy ra mọi biểu diễn khác nhau. Ta xét biểu diễn cơ sở cho các quark. Ta có: [ , ] , , Trong đó: ., , , (chỉ số vị) Các số lượng tử gắn với SU(3) có spin đồng vị I1, I2, I3 và siêu tích √ Ta có: [ , √ ] , √ Quark u,d có siêu tích , quark s có siêu tích Ví dụ: , biểu diễn phó hay [ trung hòa bởi 8 hạt ] , , , , .., Có 9 tổ hợp khả dĩ của quark ( ) và phản quark ( ) ( ) ( ) ⨂ Đồng nhất 8 thành phần với các trường trong bát tuyến sau + Bát tuyến Baryon : p, n, + Bát tuyến Meson : + Bát tuyến Meson : Nguyễn Thị Nhung , , , , , , , , , , , , , , , ,̃ , ,̃ ,̃ 41 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Để thuận tiện, ta viết bát tuyến dưới dạng ma trận √ √ √ √ √ √ Ma trận tương ứng có dạng: √ √ √ √ ( √ Tương tự ta có bát tuyến Messon √ (Messon giả vô hướng) √ √ ( Nguyễn Thị Nhung ) √ ̃ 42 √ ) K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Tương tự ta có bát tuyến Messon √ (Messon giả vô vectơ) √ √ √ ( √ ) Chú ý các đa tuyến quarks 8 baryon 8 Messon : ( : ) ̃ ̅) ( ̅, 8 Messon ( : ̅, ̅, ̅ ̅ ) ̃ ( 10 Baryon , , ) , : 2.4. Nhóm SU(3) trong tƣơng tác mạnh (QCD) 2.4.1. Lý thuyết QCD với nhóm đối xứng gauge SU(3)C Các khó khăn về mặt lý thuyết liên quan tới sự tồn tại quark. Nguyễn Thị Nhung 43 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý + Các hạt cộng hưởng cấu tạo từ các quark cùng trạng thái spin hoặc spin thì bị vi phạm nguyên lý loại trừ Pauli. + Các qúa trình hủy cặp và ̅ + Biên độ tán xạ ̅ Theo lý thuyết như trên thì: ( không màu ) à Mà: ế Gell – Man với ý tưởng các quark chứa số lượng tử màu NC. Để phù hợp với thực nghiệm và giải quyết vấn đề vi phạm nguyên lý Pauli thì mỗi quark còn gắn với một số lượng tử màu NC = 3. ∑ ∑ à  ế ̅ Quá trình phân rã: Tính gần đúng công ta có tỷ số rã √ ế NC = 3 thì √ ế Nguyễn Thị Nhung , √ , 44 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Nếu bổ đính vòng thì cho kết qủa khớp hơn 2.4.2. Biểu diễn cơ sở của nhóm SU(3)C Mỗi quark được mô tả bởi một tam tuyến trường hợp biểu diễn ( Trong đó: ) ( ) , , chỉ số vị , , chỉ số màu Mỗi phản quark mô tả bởi một phản tam tuyến tổ hợp biểu diễn ∑ Các quy luật biến đổi dưới phép biến đổi của nhóm biểu diễn SU(3)C ( ) Vậy dưới nhóm biến đổi cơ sở của nhóm SU(N) SU(3)C thì quy luật biến đổi là: ( ) ( ) Trong đó: các vi tử cuả nhóm SU(N) và nhóm SU(3)C là giao hoán nhau, tác dụng lên chỉ số vị của quark và chỉ tác dụng lên chỉ số màu quark. 2.4.3. Lagrangian mô tả tƣơng tác mạnh giữa quark và gluon + Đạo hàm hiệp biến ( ) ( + Trường chuẩn 8 gluon Nguyễn Thị Nhung , , , ) , 45 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý + Tensor cường độ trường chuẩn [ , ]  + Lagrangian mô tả tương tác mạnh quark và gluon , + Lagrangian bất biến chuẩn SU(3) có tính chất tương tác chuẩn như SU(2) đã trình bày. Nguyễn Thị Nhung 46 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý CHƢƠNG 3 : MÔ HÌNH CHUẨN Ở một mức năng lượng nhất định nào đó, một số tương tác có thể thống nhất với nhau. Nhóm đối xứng chuẩn SU(2)L⨂ U(1)Y mô tả được tương tác điện từ và tương tác yếu. Dùng cơ chế Higss phá vỡ đối xứng này sẽ sinh ra 3 hạt gauge boson mang khối lượng truyền tương tác yếu, còn một hạt gause boson không mang khối lượng chính là photon truyền tương tác điện từ. Mô hình chuẩn với nhóm đối xứng chuẩn SU(3)C⨂ SU(2)L⨂ U(1)Y mô tả sự thống nhất của cả ba tương tác điện từ, yếu, mạnh. Do SU(3)C đã trình bày chương trước. Chương này nhấn mạnh về phần SU(2)L⨂ U(1)Y. 3.1. Nhóm đối xứng chuẩn SU(2)L U(1)Y Kế thừa lý thuyết Fermi, Glashon nhận thấy tương tác yếu được truyền bởi , ba hạt . Ông cũng nhận thấy có thể xem xét lực yếu và lực điện từ cùng , nhau, như vậy phải xét tới 4 dòng , , , tương tác tới 4 gauge boson . Thực tế không có nhóm đơn nào thỏa mãn có 4 vi tử. Và các tích yếu (3 vi tử) định nghĩa từ các dòng này không tạo thành đại số đóng kín. Do đó sử dụng 1 nhóm SU(2) cũng không mô tả được 3 dòng này. Do đó sử dụng 1 nhóm SU(2) cũng không mô tả được 3 dòng này.Ta sẽ chứng minh được: ,̃ Xét qúa trình rã cho Tương tác yếu: có hai dòng ̃ và với các dòng V-A cho ta điện tích yếu ∫ ∫ ∫  [ , Nguyễn Thị Nhung ] ∫ [ ] 47 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Tương tác điện từ: Trong đó: Tương tác điện từ sinh ra điện tích điện: ∫ Như vậy , ∫ không tạo thành đại số đóng kín. Vậy phương pháp mở rộng nhóm đối xứng chuẩn, 4 vi tử bị phá vỡ ( để 4 sinh ra 4 gauge boson) phải thuộc nhóm tích trực tiếp. SU(2)L ⨂ U(1)Q à nhó đơn giản nhất thỏa mãn. Phải xắp xếp các hạt trái vào một ưỡng tuyến, hạt phải vào đơn tuyến. ( ) , ( ) , ( ) ( ) , , ( ) , , ( ) , , 3.2. Toán tử điện tích và siêu tích yếu Do bảo toàn điện tích, toán tử điện tích là tổng của vi tử chéo: Trong đó: là vi tử chéo của SU(2)L Y là vi tử của U(1)Y Nguyễn Thị Nhung 48 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Tác động lên lưỡng tuyến lepton: ( , ) . ) ( ( * ( ) ) ( ( )+ ) Ta có: ,  , Chọn Nhận xét: 1) Lưỡng tuyến Đơn tuyến 2) , , ( , ) ( , ) ( , ) Nguyễn Thị Nhung 49 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Phá vỡ đối xứng: Để sinh khối lượng cho các hạt (boson chuẩn và fermi người ta đưa vào lưỡng tuyến) ( , ) ( ) và chọn trường nền có: √ , Suy ra 3 vi tử Vi tử , của nhóm SU(2)L bị phá vỡ. ( )( 𝑣 ) √ ( )( 𝑣 ) √ ( )( 𝑣 ) √ của U(1)Q không thể bị phá vỡ vì liên quan tới bảo toàn dòng điện ( tích )( ) √ Kết luận: - SU(2)L⨂ U(1)Y  U(1)Q - Bốn vi tử - Bốn dòng , bị phá vỡ sinh 4 gauge boson , , , , tương tác với nhau thông qua các gauge boson - Sử dụng nhóm SU(2)L⨂ U(1)Y với phá vỡ đối xứng tự phátcho lý thuyết tái chuẩn hóa. Nhóm này mô tả lực điện yếu đã biết. 3.3. Biến đổi chuẩn SU(2)L⨂ U(1)Y a) Quy luật biến đổi của các hạt dưới nhóm SU(2)L⨂ U(1)L SU (2) L U (1)Y   SU (2) L U (1)Y   SU (2) L U (1)Y   Nguyễn Thị Nhung 50 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý SU (2) L U (1)Y   SU (2) L U (1)Y   b) Dạng của đạo hàm hiệp biến Đạo hàm hiệp biến tác động lên hạt trái ( ) ( ) Đạo hàm hiệp biến tác động lên hạt phải c) Dạng Lagrangian bất biến dưới nhóm chuẩn SU(2)L⨂ U(1)Y ( ) ̃ Trong đó: Mà ̃ Nguyễn Thị Nhung 51 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý KẾT LUẬN Nghiên cứu về đề tài “ Ứng dụng của nhóm Lie trong các mô hình thống nhất tương tác” luận văn thu được kết qủa như sau: 1) Đưa ra được khái niệm về nhóm Lie, vi tử của nhóm, biểu diễn nhóm và xây dựng đại số Lie cho mối quan hệ giữa các vi tử qua hằng số cấu trúc của nhóm. 2) Bằng phương pháp nâng hạ weight (trị riêng của cuả các toán tử cartan) ta xây dựng các vectơ trạng thái. 3) Xây dựng các biểu diễn cao chiều từ việc lấy tích tensor của các biểu diễn cơ sở, biểu diễn liên hợp. Phương pháp tensor cũng cho xác định các biểu diễn bất khả quy. Cho 1 biểu diễn bất khả quy hoặc tách khả quy thành tổng của các biểu diễn bất khả quy. 4) Ta thấy được các biểu diễn bất khả quy của nhóm unita có thể thực hiện được bằng những bảng Young. Bảng Young cho nhân các biểu diễn, tách các biểu diễn. 5) U(1)Q mô tả được tương tác điện từ (điện động lực, lượng tử), SU(2)L mô tả tương tác yếu (lý thuyết isospin của Heisenberg), còn SU(3)C mô tả được trong tương tác mạnh (sức điện động lượng tử). 6) Nhóm đối xứng chuẩn ⨂ mô tả được trong tương tác điện từ và tương tác yếu (lý thuyết yếu Glashow – Weirberg – Shalam). Nhóm đối xứng chuẩn ⨂ ⨂ mô tả thống nhất cả ba tương tác điện từ, yếu, mạnh (mô hình chuẩn). Nguyễn Thị Nhung 52 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] GS. Hoàng Ngọc Long “ Nhập môn lý thuyết trường và mô hình thống nhất tương tác điện yếu’’ [2] TS. Phùng Văn Đồng “Giáo trình lý thuyết nhóm’’ [3] Lie Algebras in Particle Physics [4] Gauge theory of elememtary particle physics “ Ta – Pei Cheng and Ling – FongLi” Nguyễn Thị Nhung 53 K37 Vật Lý [...]... Lý Và nhóm nửa đơn sẽ là tích trực tiếp của nhóm đơn Ví dụ SU(3) ⨂ SU(2) là nhóm nửa đơn c) Định lý tổng quát Mọi nhóm Lie đều viết được thành tích trực tiếp của các nhóm đơn và thừa số abelian Ví dụ mô hình chuẩn chính là một nhóm Lie tổng quát ⨂ ⨂ Nhóm nửa đơn đóng vai trò rất quan trọng trong vật lý lượng tử, đặc biệt là ứng dụng mô tả vật lý hạt Bởi khi thống nhất các tương tác cần mở rộng nhóm. .. đối xứng chuẩn bao gồm một tập hợp các vi tử mà có thể không có nhóm đơn nào đáp ứng Ví dụ thống nhất tương tác điện – yếu cần 4 vi tử buộc ta phải sử dụng tích trực tiếp của và Khi đó, sử dụng nhóm nửa đơn là phương pháp đơn giản nhất 1.2 Phƣơng pháp weight cho SU(2) Muốn tìm các biểu diễn của nhóm Lie, ta bắt đầu với các biểu diễn của đại số Lie cuả nhóm, sau đó chuyển sang các biểu diễn của nhóm. .. XỨNG CHUẨN VÀ MẪU QUARK Ở chương này tôi muốn đề cập đến trường hợp đối xứng chuẩn với nhóm giao hoán U(1) và trường hợp đối xứng với nhóm SU(2) Trong lý thuyết chuẩn thì đưa ra đạo hàm hiệp biến, từ đạo hàm hiệp biến đó sẽ xuất hiện các trường chuẩn (hay gọi là hạt gauge boson) truyền tương tác, rồi xây dựng Lagrangian bất biến mô tả tương tác Trong vật lý nhóm U(1)Q mô tả được tương tác điện từ (trong. .. m  - Các vecter riêng của vi tử chéo gọi là vecter weight m - Trị riêng lớn nhất của vi tử chéo gọi là hight weight, ta ký hiệu là a)Vi tử nâng hạ wieght Trong cơ sở mà chéo hóa thì ta định nghĩa các vi tử nâng hạ , như sau √ Ý nghĩa vật lý của các vi tử nâng hạ trong cơ học lựơng tử chính là toán tử nâng hạ spin, còn trong mô hình chuẩn thì chúng là vi tử của các boson chuẩn Từ đại số của nhóm SU(2)... U(1)Q mô tả được tương tác điện từ (trong chuẩn QED), nhóm SU(3)C mô tả được trong tương tác mạnh (trong QCD) 2.1 Đối xứng với nhóm giao hoán U(1) 2.1.1 Nhóm giao hoán U(1) U(1) là nhóm biến đổi pha liên tục, góc pha của hàm sóng sin Yếu tố U = e-iQx là phép quay mặt phẳng phức hai chiều Trong đó: Q là vi tử duy nhất của U Q toán tử điện tích = Q̅ = - ̅ Trong điện động lực học, đại lượng bảo toàn là điện... số Lie 1.1.2 Đại số Lie Ta sẽ chứng minh được với là hằng số cấu trúc của nhóm Lie Chứng minh: Theo luật nhân nhóm:    Xét , , đủ nhỏ, lấy ln hai vế ta có: ( [ Nguyễn Thị Nhung ) n ][ ] 8 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý Ta có: [ ] Mà:  [  Hay: , ] [ , ] , , , Hệ thức đúng cho mọi hệ số , , bất kỳ Đặt tương ứng: [ , ] [ , ] Trong đó: là hằng số cấu trúc của nhóm, có tính phản đối xứng... tensor như thế này đối xứng theo và đối xứng theo cặp , , phản đối xứng theo , , đối xứng theo , không vết tự động thoả mãn sẽ cho một bảng Young Biểu diễn bất khả quy qua bảng Young Các cặp phản đối xứng tương đương xếp vào một cột Những đơn i cunxg là cột, nhưng chỉ 1 ô (giữa i và các cặp là đối xứng nên đặt i tương đương k là đủ) Đối xứng theo các ô trên hàng, phản đối xứng theo các ô trên cột b) Quy... dựng các biểu diễn cao chiều từ việc lấy tích tensor của các biểu diễn cơ sở, biểu diễn liên hợp và ngược chiều, tách biểu diễn nhìn chung không bất khả quy của các tích tensor này thành tổng của các biểu diễn bất khả quy thành phần Tôi sẽ làm cụ thể cho SU(3) 1.3.1 Tích tensor Xét , là hai biểu diễn của ứng với biểu diễn N chiều với các vectơ cơ sở i ,  i  1, , N  ứng với biểu diễn M chiều với các. .. phải chứng minh 1.1.4 Đại số Lie compact Vết của tích 2 biểu diễn phó có thể chéo hóa và giả sử rằng các trị riêng của toán tử chéo xã định dương và chọn để bằng thì định nghĩa được đại số Lie compact , Để chứng minh ta có: Nguyễn Thị Nhung 10 K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý , Xét với các nhóm unita, trong đó , có thể chéo hóa, là số thực, và đối xứng theo là ma trận unita tác động trong. .. phản đối xứng theo mỗi cặp , , phản đối xứng theo ℓ Để rút các biểu diễn tensor này về biểu diễn bất khả quy ta làm như sau: Tìm biểu diễn bất khả quy của với weight cao nhất Đối xứng theo , đối xứng theo Phản đối xứng theo Đối xứng không vết: Vế trái với điều kiện không vết:  Vế phải với điều kiện không vết: đối xứng theo (một tensor luôn biểu diễn được thành một đối xứng và mà phản đối xứng) Một ... truyền tương tác, xây dựng Lagrangian bất biến mô tả tương tác Trong vật lý nhóm U(1)Q mô tả tương tác điện từ (trong chuẩn QED), nhóm SU(3)C mô tả tương tác mạnh (trong QCD) 2.1 Đối xứng với nhóm. .. “ Ứng dụng nhóm Lie mô hình thống tương tác ’ Nguyễn Thị Nhung K37 Vật Lý Khóa luận tốt nghiệp Khoa Vật Lý CHƢƠNG : NHÓM LIE Phần giới thiệu chung khái niệm nhóm Lie vi tử nhóm, biểu diễn nhóm. .. theo cách mà sống xuất Không có Higgs ngày Nhằm phần tìm hiểu lý thuyết nói trên, luận văn em đề cập lý thuyết nhóm liên tục, nhóm Lie, ứng dụng nhóm Lie mô hình xây dựng mô hình thống tương tác