Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) MỘT SỐ KINH NGHIỆM VỀ DẠY HỌC GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TÍCH NĂM HỌC 2012 - 2013 I/PHẦN MỞ ĐẦU Mơn tốn mơn học phong phú đa dạng , niềm say mê người u thích tốn học Đối với học sinh để có kiến thức vững , đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện , học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên : làm để trang bị cho em có đầy đủ kiến thức ? Đó câu hỏi mà giáo viên phải đặt cho thân 1.1/ Lý chọn đề tài Chuyên đề ' giải phương trình tích ' học kỹ chương trình lớp , có nhiều tập ứng dụng nhiều để giải tập chương trình đại số lớp lớp Vì yêu cầu học sinh nắm vận dụng nhuần nhuyễn phương pháp giải phương trình tích vấn đề quan trọng Nắm tinh thần trình giảng dạy tốn tơi dày cơng tìm tịi ; nghiên cứu để tìm phương pháp giải phương trình tích đa dạng dễ hiểu Góp phần rèn luyện trí thơng minh lực tư sáng tạo cho học sinh SGK trình bày phương pháp phân tích vế trái thành tích đa thức phương pháp đặt nhân tử chung ; tách hạng tử ; phương pháp them bớt hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; để làm số dạng tập giải phương trình tích Khi học chun đề học sinh thích thú có ví dụ đa dạng , có nhiều vận dụng cách giải khác cuối đưa dạng tích từ giúp em học tập kiến thức giải số tốn khó 1.2/ Mục tiêu nhiệm vụ đề tài Trong nhiều năm phân công làm nhiệm vụ trực tiếp giảng dạy Tơi tích lũy nhiều kiến thức dạng tốn “ giải phương trình tích “ dạng tập vận dụng đặc biệt hướng dẫn học sinh cách nhận dạng toán để biết nên áp dụng phương pháp để vùa giải nhanh gọn vừa dễ hiểu ; giúp cho học sinh biết nhìn nhận cách học mơn tốn cách giải tốn theo mạch kiến thức mang tính lo gic Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) - phương pháp dạy học loại tập “ Giai dạng phương trình đưa dạng phương trình tích “ Đổi phương pháp dạy học Nâng cao chất lượng dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi Cụ thể : - Tìm hiểu thực trạng học sinh - Những phương pháp thực - Những chuyển biến sau áp dụng - Rút học kinh nghiệm 1.3: Đối tượng nghiên cứu : Sách giáo khoa đại số lớp ; Sách giáo viên ; sách tham khảo nâng cao Sách Tập toán tập hai Học sinh lớp trường THCS Nguyễn Viết Xuân 1.4 Giới hạn phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu giải phương trình tích tập vận dụng chương trình Học kỳ II môn đại số lớp 1.5 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp đọc sách tài liệu - Phương pháp nghiên cứu sản phẩm - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm - Phương pháp thực nghiệm - Phương pháp đàm thoại nghiên cứu vấn đề II NỘI DUNG ĐỀ TÀI 2.1 Cơ sở lý luận Trong hoạt động giáo dục đồi hỏi học sinh cần phải tự học ; tự nghiên cứu cao Tức đích cần phải biến q trình giáo dục thành q trình tự giáo dục Như Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) học sinh phát huy lực sáng tạo ; tư khoa học từ xử lý linh hoạt vấn đề đời sống xã hội Một phương pháp để học sinh đạt điều mơn tốn ( cụ thể mơn đại số lớp ) khích lệ em sau tiếp thu thêm lượng kiến thức em cần khắc sâu tìm tịi tốn liên quan Để làm giáo viên cần gợi say mê học tập ; tự nghiên cứu , đào sâu kiến thức em học sinh 2.2 : Thực trạng : 2.2.1: a/ Thuận lợi : - Cơ sở vật chất nhà trường đầy đủ - Tài liệu tham khảo đa dạng ; đội ngũ giáo viên có lực vững vàng ,nhiệt tình - Đa số em ham học ; thích nghiên cứu b/ Khó khăn : Lực học em khơng đồng Một số em học sinh tiếp thu chậm khơng đáp ứng u cầu chương trình Điều kiện kinh tế gia đình học sinh cịn nghèo nên có ảnh hưởng lớn đến chất lượng học tập học sinh 2.2.2: a/Thành công - Đa số em nhận thức đắn ý thức học tập cần phải hăng say học tập - Học sinh nắm kiến thức cách có hệ thống ; em nắm dạng tập phương pháp giải tập - Đã gợi say mê học tập em học sinh b/ Hạn chế : Thời lượng thực giảng dạy hạn chế Một số em học sinh tiếp thu chậm - Thời gian thực tế lớp nên việc lồng ghép dạng tốn có liên quan cịn khó khăn có tốn học sinh cịn bỡ ngỡ chưa biết cách giải 2.2.3 : a/ Mặt mạnh : Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) - Ban giám hiệu nhà trường đạo thường xuyên coi việc phát triển lực chuyên môn then chốt ; nhà trường phát động nhiều phong trào nhằm đẩy mạnh công tác chuyên môn Tạo điều kiện thuận lợi để thầy giáo có điều kiện học hỏi đúc rút nhiều kinh nghiệm cho thân - Đa số giáo viên nhiệt tình công tác giảng dạy ; học sinh ham học - Cơ sở vật chất đầy đủ ; đồ dung học tập phong phú b/ Mặt yếu : Chất lượng học sinh không đồng nên việc tiếp thu kiến thức hạn chế 2.2.4 : Các nguyên nhân ; yếu tố tác động - Xuất phát từ thực trạng nói nguyên nhân chủ yếu nhằm giúp cho em học sinh có ý thức học tập đắn ; tạo ham mê học tập giúp em có điều kiện lĩnh hội số kiến thức để em học tập sau tốt - Xuát phát từ ham học hỏi học sinh ham mê nghiên cứu lòng yêu nghề thân - Sự đạo sát cấp chuyên môn phát động phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm nhằm nâng cao chất lượng giảng dạy 2.3 : Giải pháp , biện pháp 2.3.1: Mục tiêu giải pháp , biện pháp - Nghiên cứu đề tài nhằm mục đích giúp giáo viên nắm rõ phương pháp giải phương trình đưa dạng “ Phương trình tích “ Đồng thời vận dụng phương pháp để giải tốn hay khó sau - Giải phương trình sử dụng phương pháp tách hạng tử phân tích đa thức đưa - dạng tích Trước hết giáo viên phải làm cho học sinh thấy rõ “ Giải phương trình tích ? Và dạng tập vận dụng vận dụng Phân tích vế trái thành tích ( thừa số ) biến đổi vế trái thành tích đa thức ; đơn thức khác ẩn vế phải 2.3.2: Nội dung phương pháp thực G/V ? : Một tích ? Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) Trong tích có thừa số tích ? - Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải có thừa số - Trong tích có thừa số tích Ví dụ : Giải phương trình : ( 2x – ) ( x + ) = ( I ) Phương pháp giải Tính chất nêu phép nhân viết ab = ⇔ a = b = ( với a ; b số ) Đối với phương trình ta có : ( 2x – ) ( x + ) = ⇔ 2x – = Hoặc x+1=0 Do để giải phương trình ( I ) ta phải giải hai phương trình 1/ 2x – = ⇔ x = ⇔ x = 1,5 2/ x + = ⇔ x = - Vậy phương trình cho có hai nghiệm : x = 1,5 x = - Và ta viết tập hợp nghiệm phương trình : S = { 1,5; −1} Giải phương trình gọi giải phương trình tích Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau GV? : Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) …………….A(x n ) = ( II ) ta cần giải phương trình ? HS: Để giải phương trình ( II ) ta cần giải phương trình sau A( x ) = (1) A( x ) = (2) …………………… A ( xn ) = (n) Nghiệm phương trình ( ) ; ( ) …….( n ) nghiệm phương trình ( II ) Với giá trị x thỏa mãn điều phương trình ( II ) Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) SAU ĐÂY LÀ MỘT SỐ VÍ DỤ ÁP DỤNG I/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH ĐƠN GIẢN VÍ DỤ 1: Giải phương trình (x+1)(x+4)=(2–x)(2+x) Nhận xét : Hai tích khơng có nhân tử chung thi ta phải khai triển thu gọn để tìm cách đưa dạng tích , để giải phương trình ta cần thực hai bước Bước : Đưa phương trình cho dạng phương trình tích cách chuyển tất hạng tử từ vế phải sang vế trái đổi dấu hạng tử ; vế phải ; áp dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để phân tích vế trái thành tích Ta có : ( x + ) ( x + ) = ( – x ) ( + x ) ⇔ (x+1)(x+4)–(2–x)(2+x)=0 ⇔ x + x + x + − 22 + x = ⇔ x + x = ⇔ x (2 x + 5) = Bước : Giải phương trình tích vừa tìm kết luận nghiệm x = x = x =  ⇔ ⇔ x ( 2x + ) = ⇔  2 x + =  x = −5  x = − 5  Vậy nghiệm phương trình : S = 0; −  2  VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x − = x ( 3x − ) 7 Tương tự ví dụ ta thực phép chuyển vế ta có : 3 x − = x ( 3x − ) ⇔ x − = x − x = 7 7 ⇔ Giáo viên : 3  3 x − − x + x = ⇔  x − x ÷− ( − x ) = 7  7 Kinh nghiệm giải phương trình tích ⇔ Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) 3  x ( − x ) − ( − x ) = ⇔ ( − x )  x − 1÷ = 7  1 − x = x −1   ⇔ 3 ⇔ x − = x =    7 Vậy nghiệm phương trình : S = 1;   3 VÍ DỤ : Giải phương trình : x − x + − = Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh biến đổi vế trái dựa vào đẳng thức Giải : Ta có : x2 − 2x + − = ⇔ ( x − x + 1) − = ⇔ ( x − 1) − 22 = ⇔ ( x −1 − 2) ( x −1 + 2) = ⇔ ( x − 3) ( x + 1) = x − = x = ⇔ ⇔ x +1 =  x = −1 Vậy nghiệm phương trình S = { −1;3} VÍ DỤ 4: Giải phương trình : ( x − 1) + ( x − 1) ( x + ) + ( x + ) = 2 Đối với phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh nhận đẳng thức bình phương tổng để áp dụng giải nhanh gọn việc nhân đa thức phân tích thành nhân tử Ta xem ( x- ) =A ; ( x + ) = B ⇒ phương trình có dạng ( A + B ) = Giải : ta có ( x − 1) + ( x − 1) ( x + ) + ( x + ) = Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) ⇔ ( x − 1) + ( x + )  = ⇔ ( x − 1) + ( x + )  = ⇔ ( x − 1+ x + 2) = ⇔ 2x + = ⇔ x = −1 ⇔ x = −  1  2 Vậy nghiệm phương trình : S = −  VÍ DỤ : Giải phương trình : ( )( ) − x 2x + = Đây phương trình tích có chứa thức bậc hai , Để tránh cho học sinh hiểu tốn mơt cách phức tạp phương trình có chứa bậc hai nên giáo viên hướng dẫn học sinh thực cách giải thơng thường 2; 3; coi hệ số thông thường Giải : ta có ( )( ) − x 2x +1 =  x =  − x =  ⇔ ⇔ 2 x + = x =  −1 2  −1    Vậy nghiệm phương trình : S =  ;   2   II/ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH HẠNG TỬ ĐỂ PHÂN TÍCH ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ : Giải phương trình : x3 + 3x + x = Đối với phương trình học sinh có cách giải khác chẳng hạn ta tham khảo hai cách giải sau Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) 2 Cách : Ta có : x + 3x + x = ⇔ x ( x + 3x + = ) ⇔ x ( x + x + x + ) = ( tách 3x = x + 2x ) ⇔ x ( x + x ) + ( x + )  = ( nhóm hạng tử ) ⇔ x  x ( x + 1) + ( x + 1)  = ( đặt nhân tử chung ) ⇔ x ( x + 1) ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) x = x =   ⇔  x + = ⇔  x = −1 x + =  x = −2   Vậy nghiệm phương trình : S = { 0; −1; −2} CÁCH 2: Giải : Ta có x3 + x + x = ⇔ x + x + x + x = ( tách 3x = x + x ) ⇔ ( x3 + x ) + ( x + x ) = ⇔ x ( x + 1) + x ( x + 1) = ⇔ ( x + 1) ( x + x ) = ⇔ ( x + 1) x ( x + ) = ( đặt nhân tử chung ) x +1 =  x = −1   ⇔ x = ⇔ x = x + =  x = −2   Vậy nghiệm phương trình : S = { 0; −1; −2} VÍ DỤ 2: Giai phương trình : x − 19 x − 30 = phương trình chưa xuất nhân tử chung ; không dạng đẳng thức Do giải giáo viên cần lưu ý cho học sinh cần sử dụng phương pháp biết để phân tích vế trái thành tích ( gợi ý phương pháp tách hạng tử ) ta cần tách hạng tử : -19x = - 9x – 10x Giải : Ta có : Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích x3 − 19 x − 30 = ⇔ x − x − 10 x − 30 = ( ) ( Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) ) ⇔ x − x − ( 10 x + 30 ) = ⇔ x x − − 10 ( x + 3) = ( ) ⇔ x x − 32 − 10 ( x + 3) = ⇔ x ( x − 3) ( x + 3) − 10 ( x + 3) = ( ) ⇔ ( x + 3)  x ( x − ) − 10  = ⇔ ( x + 3) x − 3x − 10 = ( ) ⇔ ( x + 3) x − x + x − 10 = ⇔ ( x + 3) ( x − x ) + ( x − 10 )  = ⇔ ( x + 3)  x ( x − ) + ( x − )  = ⇔ ( x + 3) ( x − ) ( x + ) = x + =  x = −3   ⇔ x − = ⇔ x = x + =  x = −2   Vậy nghiệm phương trình : S = { −3; −2;5} VÍ DỤ : Giải phương trình : x + x − = Đối với phương trình ta tách hạng tử 5x = 6x – x Giải : Ta có : x + x − = ⇔ x + x − x − = ( ) ⇔ 3x + x − ( x + ) = ⇔ 3x ( x + ) − ( x + ) = ⇔ ( x + ) ( 3x − 1) =  x = −2 x + =  ⇔ ⇔ x = 3x − =    1 3 Vậy nghiệm phương trình : −2;  VÍ DỤ : Giải phương trình : x + 14 x + x = Đói với phương trình bước ta phải biến đổi vế trái thành tích cách đặt nhân tử chung để biểu thức ngoặc đơn giản Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) sau dung phương pháp tách hạng tử để đưa dạng tích ( ) 2 Giải : Ta có : x + 14 x + x = ⇔ x x + x + = ⇔ x ( x + x + x + 3) = ⇔ x ( x + x ) + ( x + )  = ⇔ x  x ( x + 3) + ( x + 3)  = ⇔ x ( x + 3) ( x + 1) =  x = 2 x =   ⇔  x + = ⇔  x = −3 2 x + =   x = −    Vậy : nghiệm phương trình : S = 0; −3; − VÍ DỤ 5: Giải phương trình : 1  2 x + x + 20 = Đói với phương trình vế trái chưa xuất nhân tử chung Do ta cần biến đổi để đưa vế trái dạng tích cách Tách hạng tử 9x = 4x + 5x Giải: Ta có : x + x + 20 = ⇔ x + x + x + 20 = ( ) ⇔ x + x + ( x + 20 ) = ⇔ x ( x + ) + ( x + ) = x + =  x = −4 ⇔ ( x + ) ( x + 5) = ⇔  ⇔ x + =  x = −5 Vậy nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ 6: Giải phương trình : { −4; −5} x2 + x − = Ta biến đổi vế trái phương trình thành tích cách tách hạng Tử x = 3x – 2x sau nhóm hạng tử đặt nhân tử chung Giải : Ta có : x + x − = ⇔ x + 3x − x − = Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) ⇔ ( x + 3x ) − ( x + ) = ⇔ x ( x + 3) − ( x + 3) = x + =  x = −3 ⇔ ( x + 3) ( x − ) = ⇔  ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { −3; 2} VÍ DỤ 7: Giải phương trình : x − x + = Đối với phương trình có nhiều cách giải khác sau Một số cách giải Cách 1: Tách hạng tử -3x = -2x - x x − 3x + = ⇔ x − x − x + = Ta có : ( ) ⇔ x − x − ( x − ) = ⇔ x ( x − 1) − ( x − 1) = x −1 = x = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = ⇔  ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} Cách : Tách hạng tử = - + Ta có : x − 3x + = ⇔ x − 3x − + = ⇔ ( x − ) − ( 3x − ) = ⇔ ( x + ) ( x − ) − ( x − ) = ⇔ ( x − ) ( x + ) − 3 = ⇔ ( x − ) ( x − 1) = x − = x = ⇔ ⇔ x −1 = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích −3 x = 2.x Cách : Biến đổi Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) ; 2= − 4 x − 3x + = ⇔ x − x + − = 4 Ta có : 2  9 3  1  ⇔  x − x + ÷− = ⇔  x − x +  ÷  −  ÷ = 4        2  3 1    3 1  ⇔  x − ÷ −  ÷ = ⇔   x − ÷+    x − ÷+  = 2 4     2    1  ⇔  x − + ÷ x − − ÷ = ⇔ ( x − 1) ( x − ) = 2  2  x −1 = x = ⇔ ⇔ x − = x = Vậy nghiệm phương trình : S = { 1; 2} III/DẠNG BIẾN ĐỔI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO ĐƯA VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH VÍ DỤ 1: Giải phương trình x − 13 x + 36 = Đây phương trình bậc ẩn x để giải dạng phương trình ta cần đặt biến phụ sau tìm giá tri biến phụ ta lắp giá trị vào biểu thức lien quan ban đầu để tìm nghiệm Ở ta đặt x = a ta có cách giải sau Giải :Ta có : x − 13 x + 36 = ⇔ a − 13a + 36 = ⇔ a − 4a − 9a + 36 = ⇔ ( a − 4a ) − ( 9a − 36 ) = ⇔ a ( a − 4) − ( a − 4) = ⇔ ( a − 4) ( a = 9) = Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) a = a − = ⇔ ⇔ a − =  a2 = Vì ta đặt   x = ±2 x = x =a⇒ ⇔   x = ±3 x = Vậy nghiệm phương trình : S = { ±2; ±3} VÍ DỤ 2: Giải phương trình : x + x + = Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn học sinh đặt ẩn phụ : Đặt x = a nên ta có cách giải sau Giải :Ta có : x + x + = ⇔ 2a + 5a + = ( ) ⇔ 2a + 4a + a + = ⇔ 2a + 4a + ( a + ) = ( tách 5a = 4a + a ) ⇔ 2a ( a + ) + ( a + ) = ⇔ ( a + ) ( 2a + 1) = ( nhóm đặt NTC ) a = −2 a + =  ⇔ ⇔ a = −  2a + =   x2 −  Vì đặt x = a ⇒  x = −  Điều khơng thể xẩy x ≥ với giá trị x phương trình cho vô nghiệm : tập hợp nghiệm phương trình : S = φ VÍ DỤ : Giải phương trình : x + x + = ta biến đổi vế trái cách đặt ẩn phụ x = a để đưa dạng tích Giải : Ta có : x + x + = ⇔ 9a + 6a + = Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) ⇔ ( 3a ) + 2.3a + 12 = ⇔ ( 3a + 1) = 2 ⇔ 3a + = ⇔ a = − Trường hợp khơng thể xẩy Vì đặt x2 = a ⇒ x2 = − Vì x ≥ với giá trị x Vậy phương trình vơ nghiệm Tập hợp nghiệm phương trình : S = φ VÍ DỤ 4: Giải phương trình : x + x − = Đặt x2 = a Ta có cách giải sau x − x − = ⇔ 2a − 7a − = ⇔ 2a − 8a + a − = ⇔ ( 2a − 8a ) + ( a − ) = ⇔ 2a ( a − ) + ( a − ) = ⇔ ( a − ) ( 2a + 1) = a = a − =  ⇔ ⇔ a=−  2a + =   Vì đặt x = a ⇒ x = ⇒ x = ±2 Và : x = − Loại Vậy nghiệm phương trình : S = { ±2} VÍ DỤ : Giải phương trình : x − 20 x + 18 = Đặt x = a nên ta có cách giải sau x − 20 x + 18 = ⇔ 2a − 20 x + 18 = ⇔ ( a − 10a + ) = ⇔ ( a − 9a − a + ) = Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) ⇔  a − 9a − ( a − )  = ⇔  a ( a − ) − ( a − )  = ( ) a − = a = ⇔ ( a − ) ( a − 1) = ⇔  ⇔ a − = a = Vì đặt x = a ⇒ x = ⇒ x = ±3 Và : x = ⇒ x = ±1 Vậy nghiệm phương trình : S = { ±1; ±3} IV: DẠNG BIẾN ĐỔI CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA ẨN Ở MẪU VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TÍCH Đây dạng phương trình mà giải ta cần phải tìm điều kiện xác định phương trình Điều kiện xác định phương trình tìm giá trị ẩn để mẫu thức khác không Sau số ví dụ dạng phương trình VÍ DỤ 1: Gi ải phương trình : x+2 − = x − x x ( x − 2) (I) x ≠ x ≠ ⇔ x − ≠ x ≠ Điều kiện xác định phương trình :  Giải : Ta có (I) ⇔ ( x + 2) x − ( x − 2) = x+2 − = ⇔ x − x x ( x − 2) x ( x − 2) x ( x − 2) ⇔ ( x + 2) x − ( x − 2) = ⇔ x2 + 2x − x + = x = x = ⇔ x + x = ⇔ x ( x + 1) = ⇔  ⇔ x +1 =  x = −1 Vì điều kiện xác định phương trình : x ≠ x ≠ Nên với x = loại Do nghiệm phương trình : S = Giáo viên : { −1} Kinh nghiệm giải phương trình tích VÍ DỤ 2: Giải phương trình : Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) ( x − 11) x−2 − = x+2 x−2 x −4 ( II ) ĐKXĐ: x ≠ ±2 Giải : Ta có : (II) ⇔ ( x − 11) x−2 − = x+2 x−2 x −4 ( x − ) − ( x + ) = ( x − 11) ⇔ ( x + 2) ( x − 2) ( x + 2) ( x − 2) Quy đồng mẫu hai vế ⇔ ( x − ) − ( x + ) = ( x − 11) ( Nhân hai vế với ( x + ) ( x − ) khử mẫu ) Khai triển chuyển vế thu gọn ta ⇔ x − x + 20 = ⇔ x − x − x + 20 = ( tách -9x = - 4x – 5x ) ⇔ ( x − x ) − ( x − 20 ) = ⇔ x ( x − ) − ( x − ) = x − = x = ⇔ ( x − ) ( x − 5) = ⇔  ⇔ x − =  x = Vì x = ; x = Thuộc tập xác định phương trình Vậy nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ : Giải phương trình : { 4;5} 2x −1 = −x x−2 x−2 ( III) ĐKXĐ : x≠2 Giải : Ta có : (III) ⇔ 2x −1 − x ( x − 2) 2x −1 = −x⇔ = x−2 x−2 x−2 x−2 ⇔ = x − − x + x ( nhân hai vế với x – khử mẫu ) ⇔ x2 − x + = ⇔ ( x − 2) = ⇔ x−2=0⇔ x = Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) (Loại x = khơng thỏa mãn ĐKXĐ phương trình Vậy tập hợp nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ : Giải phương trình : x + 1 = x2 + x x φ ( IV ) ĐKXĐ : x ≠ x3 + x x + ( IV ) ⇔ = ⇔ x3 + x = x + x x ⇔ x3 − x − + x = ⇔ ( x3 − x ) − ( − x ) ( ) ⇔ x ( − x ) − ( − x ) = ⇔ (1 − x) x − = ⇔ ( x − 1) ( x − 1) ( x + x + 1) = ⇔ ( x − 1) (x Vì 2 (x + x + 1) = 1  1 + x + 1) = x + x + + =  x + 2.x + ÷+ 4  4 1  =x+ ÷ + >0 2  nên ( x − 1) (x ) + x + = ⇔ ( x − 1) = ⇔ x − = ⇔ x = Thỏa mãn điều kiện toán Vậy nghiệm phương trình : S = { 1} V: MỘT SỐ VÍ DỤ VỀ PHƯƠNG TRÌNH TÍCH KHÁC Tùy theo dạng phương trình mà ta có cách biến đổi khác Để đưa phương trình cho dạng phương trình tích Sau dạng phương trình đặc trưng Ví dụ I: Giải phương trình : Giáo viên : 2− x 1− x x −1 = − 2001 2002 2003 Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) Đây phương trình áp dụng cách giải thong thường gặp nhiều khó khăn Do để giải phương trình ta sử dụng phương pháp sau Để biến đổi đưa phương trình cho dạng phương trình tích đơn giản Ta cộng thêm vào hai vế phương trình biến đổi phương trình sau 2− x 1− x x 2− x  1− x   −x  −1 = − ⇔ +1 =  + 1÷+  + 1÷ 2001 2002 2003 2001  2002   2003  ⇔ 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x 2003 − x = + ⇔ − − =0 2001 2002 2003 2001 2002 2003 1   ⇔ ( 2003 − x )  − − ÷ = ⇔ 2003 − x = ⇔ x = 2003  2001 2003 2003  Vì : 1 − − ≠0 2001 2002 2003 Vậy nghiệm phương trình : S = VÍ DỤ : Gi ải phương trình : { 2003} x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 94 93 92 91 90 89 Cộng thêm vào hai vế phương trình ta  x +1   x +   x +   x +   x +   x +   94 + 1÷+  93 + 1÷+  92 + 1÷ =  91 + 1÷+  90 + 1÷+  89 + 1÷             ⇔ x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + = + + 94 93 92 91 90 89 ⇔ x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 x + 95 + + − − − =0 94 93 92 91 90 89 1 1   ⇔ ( x + 95 )  + + − − − ÷ =  94 93 92 91 90 89  ⇔ x + 95 = ⇔ x = −95 Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Vì : Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) 1 1 1 + + − − − ≠0 94 93 92 91 90 89 Vậy nghiệm phương trình : S = { −95} VÍ DỤ 3: Giải phương trình : 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x + + + + = −5 41 43 45 47 49 Đối với phương trình ta chuyển hạng tử -5 sang vế trái tách Thành hạng tử hạng tử đơn vị nên ta có cách giải sau 59 − x 57 − x 55 − x 53 − x 51 − x + + + + = −5 41 43 45 47 49  59 − x   57 − x   55 − x   53 − x   51 − x  ⇔ + 1÷+  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷ =  41   43   45   47   49  ⇔ 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x 100 − x + + + + =0 41 43 45 47 49 1 1   ⇔ ( 100 − x )  + + + + ÷=  41 43 45 47 49  ⇔ 100 − x = ⇔ x = 100 Vì : 1 1 + + + + ≠0 41 43 45 47 49 Vậy nghiệm phương trình : S = { 100} VÍ DỤ : Giải phương trình : x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 59 58 57 56 55 54 Để giải phương trình giáo viên cần hướng dẫn cho học sinh cộng thêm vào hai vế phương trình tách thành nhóm sau Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) x +1 x + x + x + x + x + + + = + + 59 58 57 56 55 54  x +1   x +   x +   x +   x +   x +  ⇔ + ÷+  + 1÷+  + 1÷ =  + 1÷+  + 1÷+  + 1÷ 59 58 57 56 55 54             ⇔ x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 + + = + + 59 58 57 56 55 54 ⇔ x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 x + 60 + + − − − =0 59 58 57 56 55 54 1 1   ⇔ ( x + 60 )  + + − − − ÷ =  59 58 57 56 55 54  ⇔ x + 60 = ⇔ x = −60 Vì : 1 1 1 + + − − − ≠0 59 58 57 56 55 54 Vậy nghiệm phương trình : S = { −60} VÍ DỤ 5: Giải phương trình : x − x − 15 x − 25 x − 1990 x − 1980 x − 1970 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 Đối với phương trình giáo viên hướng dẫn cho học sinh trừ hai vế đơn vị tách phần ta có cách giải sau Giải : x − x − 15 x − 25 x − 1990 x − 1980 x − 1970 + + = + + 1990 1980 1970 15 25  x −   x − 15   x −   x − 1990   x − 1980   x − 1970  ⇔ − 1÷+  − 1÷+  − 1÷ =  − 1÷+  − 1÷+  − 1÷  1990   1980   1970     15   25  ⇔ x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 + + = + + 1990 1980 1970 15 25 ⇔ x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 x − 1995 + + − − − =0 1990 1980 1970 15 25 Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) 1 1   ⇔ ( x − 1995 )  + + − − − ÷=  1990 1980 1970 15 25  ⇔ x − 1995 = ⇔ x = 1995 Vì : 1 1 1 + + − − − ≠0 1990 1980 1970 15 25 Vậy nghiệm phương trình : S = { 1995} 2.3.3 : Điều kiện thực giải pháp ; biện pháp - Được góp ý bổ sung ; xếp thời gian tổ chuyên môn tổ chức ngoại khóa - Thực q trình giảng dạy thông qua tiết học lớp ; tiết giải tập - biện pháp tổ chức thực tập trung phân theo nhóm đối tượng học sinh 2.3.4 : Mối quan hệ giải pháp biện pháp Với phương pháp biến đổi giải phương trình tích đơn giản ; phương pháp tách hạng tử ; phương pháp đặt ẩn phụ ; phương pháp quy đồng mẫu khử mẫu ; phương pháp cộng vào hai vế ; nhóm quy đồng đưa hạng tử có tử giống để đặt nhân tử chung có mục đích chung đưa phương trình dạng phương trình tích 2.3.5 : Kết khảo nghiệm giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu Trên số kinh nghiệm việc dạy học mơn tốn giải phương trình Được ứng dụng số phương pháp biến đổi khác trình giải để đưa dạng phương trình tích qua việc thực kết đạt học sinh tiếp thu tốt nhiều so với chưa thực phương pháp 2.4 : Kết thu qua khảo nghiệm ; giá trị khoa học vấn đề nghiên cứu kết trước sau thực kinh nghiệm dạy phương trình tích khảo sát sau sau Khi chưa thực dạy phương pháp giải phương trình tích Khảo sát 20 em kết đạt sau Lớp GIỎI Giáo viên : KHÁ TB YẾU KÉM Kinh nghiệm giải phương trình tích SL TL SL TL 8C 0% 5% 8D 0% 10% SL 10 TL 50% 45% Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) SL TL SL TL 35% 10% 40% 5% Kết sau thực giảng dạy phương pháp gải phương trình tích LỚP 8C 8D Giỏi SL TL 20% 25% KHÁ SL TL 25% 20% TB SL TL 45% 40% YẾU SL TL 10% 15% KÉM SL 0 TL 0% 0% III: PHẦN KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1: Kết luận Việc áp dụng phương pháp biến đổi phương trình để đưa dạng phương trình tích có hiệu Làm cho học sinh thay đổi tính tư ; nhận thức nhanh ; nhìn nhận vấn đề sâu rộng ; chắn học sinh biết phân tích biến đổi nhìn nhận tốn nhiều khía cạnh khác Kết khảo sát cao nhiều so với chưa áp dụng phương pháp Trong q trình thực thân tơi khơng thể tránh khỏi khiếm khuyết thiếu sót Tính lơgic hệ thống phương trình nên thân tơi mong đóng góp ý kiến q báu từ q thầy giáo nói chung q thầy giáo mơn tốn nói riêng Nhất đồng chí tổ chun mơn để thân đúc rút nhiều kinh nghiệm trình dạy học nói chung việc dạy học mơn tốn nói riêng có việc dạy học giải phương trình tích thân tơi xin chân thành cảm ơn 3.2 : Kiến nghị : - Cần tạo cho học sinh có nhiều quỹ thời gian để em tham dự chuyên đề rút từ kinh nghiệm - Nhà trường cần tạo điều kiện thuận lợi kinh phí để thực chuyên đề có tính chất liên quan Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích DUYỆT CỦA TỔ CHUN MƠN Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) G/V BỘ MÔN Nguyễn Thanh Cường Nguyễn Thanh Hiền Hội đồng thẩm định khoa học cấp trường ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Hội đồng thẩm định khoa học phòng giáo dục huyện krông ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) TÀI LIỆU THAM KHẢO TT TÊN SÁCH Sách giáo khoa đại số tập II TÁC GIẢ Phan Đức Chính NHÀ XUẤT BẢN Nhà xuất giáo dục Sách hướng dẫn giáo viên đại số Tôn Thân tập II Nguyễn Huy Đoan Nhà xuất giáo dục Sách tập đại số tập II Lê văn Hồng Nhà xuất giáo dục Ôn tập đại số Vũ Hữu Bình Nhà xuất giáo dục Các tốn hay đại số Lê Đình Phi Đại học quốc gia hà nội Các toán chọn lọc Nguyễn Ngọc Đạm (Bồi dưỡng học sinh ; giỏi ) Nguyễn Quang Hanh Nhà xuất đại học sư Ngô long hậu phạm hà nội Nguyễn đức Tấn Nhà xuất đại học Phan Hoàng Ngân quốc gia Thành phố Nguyễn Anh Hồng Hồ Chí Minh 405 Bài tập đại số Nguyễn Đức Hòa Giáo viên : .. .Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) - phương pháp dạy học loại tập “ Giai dạng phương trình đưa dạng phương trình tích “ Đổi phương pháp dạy học Nâng cao... dung phương pháp thực G/V ? : Một tích ? Giáo viên : Kinh nghiệm giải phương trình tích Đại số lớp ( 2012 – 2013 ) Trong tích có thừa số tích ? - Cần cho học sinh thấy rõ : Một tích thừa số phải... −1} Giải phương trình gọi giải phương trình tích Giáo viên đưa dạng phương trình tích tổng qt sau GV? : Để giải phương trình tích : A(x ) A(x ) …………….A(x n ) = ( II ) ta cần giải phương trình