SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐỀ TÀI: KHAI THÁC CÁC ỨNG DỤNG TỪ MỘT BÀI TOÁN LỚP 8 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 PhÇn I: giíi thiÖu ®Ò tµi: A.Lý do chän ®Ò tµi: “Gi¶i to¸n lµ mét nghÖ thuËt thùc hµnh;gièng nh− b¬i léi,tr−ît tuyÕt,hay ch¬i ®µn …”V× vËy ®Ó cã kü n¨ng gi¶i bµi tËp ph¶i qua qu¸ tr×nh luyÖn tËp .Tuy r»ng,kh«ng ph¶i lµ cø gi¶i bµi tËp lµ cã kü n¨ng.ViÖc luyÖn tËp sÏ cã hiÖu qu¶,nÕu nh− biÕt khÐo lÐo khai th¸c tõ mét bµi tËp sang mét lo¹t bµi tËp t−¬ng tù,nh»m vËn dông mét tÝnh chÊt nµo ®ã,nh»m rÌn luyÖn mét ph−¬ng ph¸p chøng minh nµo ®ã. Thùc tiÔn cho thÊy häc sinh th−êng häc to¸n kh«ng chó ý ®Õn ph−¬ng ph¸p gi¶i nªn khi gÆp nh÷ng bµi to¸n cã sö dông ph−¬ng ph¸p t−¬ng tù gÆp nhiÒu lóng tóng. VËy kh«ng ngoµi t©m huyÕt víi c¸c em häc sinh,niÒm ®am mª dµnh cho bé m«n to¸n häc vµ sù mong muèn n©ng cao chÊt l−îng –t«i ® tiÕn hµnh häc tËp tÝch luü so¹n ra ®Ò tµi nµy”….” B.nhiÖm vô: +C¬ së lý luËn cña ®Ò tµi: viÖc khai th¸c bµi tËp to¸n cã ý nghÜa hay kh«ng? +VËn dông lý luËn vµo thùc tiÔn: khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 C.Ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu: +ph−¬ng ph¸p nghiªn cøu thùc tiÔn,lý thuyÕt +ph−¬ng ph¸p tæng kÕt kinh nghiÖm +ph−¬ng ph¸p thùc nghiÖm s− ph¹m D.Giíi h¹n ®Ò tµi vµ môc ®Ých nghiªn cøu: -Giíi h¹n ®Ò tµi khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8:¸p dông ®Ó d¹y häc sinh líp 6,7,8 -Môc ®Ých ®Ò tµi:Phôc vô cho c«ng t¸c båi d−ìng c¸c khèi 6,7,8 vµ lµm tµi liÖu tù häc cho c¸c em gióp c¸c em t×m cho m×nh ph−¬ng ph¸p häc tËp tÝch cùc. PhÇn 2: néi dung A.C¬ së lý luËn cña ®Ò tµi: Gi¶i bµi tËp to¸n lµ qu¸ tr×nh suy luËn,nh»m kh¸m ph¸ ra quan hÖ l«gic gi÷a c¸i ® cho (gi¶ thiÕt) víi c¸i ph¶i t×m (.kÕt luËn).Nh−ng c¸c quy t¾c suy luËn,còng nh− c¸c ph−¬ng ph¸p chøng minh ch−a ®−îc d¹y t−êng minh.Do ®ã,häc sinh th−êng gÆp nhiÒu khã kh¨n khi gi¶i bµi tËp.Thùc tiÔn d¹y häc còng cho thÊy:HS kh¸ giái th−êng ®óc kÕt nh÷ng tri thøc,ph−¬ng ph¸p cÇn thiÕt cho m×nh b»ng con ®−êng kinh nghiÖm;cßnHS trung b×nh ,yÕu, kÐm gÆp nhiÒu lóng tóng.§Ó cã kÜ n¨ng gi¶i bµi tËp ph¶i qua qu¸ tr×nh luyÖn tËp.Tuy r»ng,kh«ng ph¶i cø gi¶i nhiÒu bµi tËp lµ cã nhiÒu kÜ n¨ng.ViÖc luyªn tËp sÏ cã nhiÒu hiÖu qu¶,nÕu nh− biÕt khÐo lÐo khai th¸c tõ mét bµi tËp sang mét lo¹t bµi tËp t−¬ng tù,nh»m vËn dông Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 1 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 mét tÝnh chÊt nµo ®ã,nh»m rÌn luyÖn mét ph−¬ng ph¸p chøng minh nµo®ã. Quan s¸t ®Æc ®iÓm bµi to¸n,kh¸i qu¸t ®Æc ®iÓm ®Ò môc lµ v« cïng quan träng,song quan träng h¬n lµ sù kh¸i qu¸t h−íng suy nghÜ vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i.Sù thùc lµ khi gi¶i bµi tËp th× kh«ng chØ lµ gi¶i mét vÊn ®Ò cô thÓ mµ lµ gi¶i ®Ò bµi trong mét lo¹t vÊn ®Ò nµo ®ã.Do ®ã h−íng suy nghÜ vµ ph−¬ng ph¸p gi¶i bµi tËp còng nhÊt ®Þnh cã mét ý nghÜa chung nµo ®ã.NÕu ta chó ý tõ ®ã mµ kh¸i qu¸t ®−îc h−íng suy nghÜ vµ c¸ch gi¶i cña vÊn ®Ò nµo ®ã lµ g× th× ta sÏ cã thÓ dïng nã ®Ó chØ ®¹o gi¶i vÊn ®Ò cïng lo¹i vµ sÏ më réng ra.Nhµ to¸n häc §Òc¸c nãi rÊt ®óng r»ng: “Mçi vÊn ®Ò mµ t«i gi¶i quyÕt ®Òu sÏ trë thµnh vÝ dô mÉu mùc dïng ®Ó gi¶i quyÕt vÊn ®Ò kh¸c”.Do ®ã sau khi gi¶i mét bµi to¸n nªn chó ý khai th¸c h−íng suy nghÜ vµ c¸ch gi¶i. B.VËn dông lý luËn vµo thùc tiÔn: xÐt bµi to¸n 28 trang 21 s¸ch bµi tËp to¸n 8 –tËp 1: a.Chøng minh: 1 1 1 − = x x + 1 x( x + 1) (1) b.§è: §è em tÝnh nhÈm ®−îc tæng sau: 1 1 1 1 1 + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) 1 1 1 x +1− x = -H−íng dÉn:a.BiÕn ®æi vÕ tr¸i thµnh vÕ ph¶i : − = x x + 1 x( x + 1) x( x + 1) b.XÐt ®Æc ®iÓm ®¼ng thøc ë c©u a:VP cã mÉu lµ 1tÝch 2biÓu thøc c¸ch nhau 1;1 1 1 1 − = .T−¬ng tù víi ®Æc ®iÓm nh− VP ë c©u a;ta cã: x x + 1 x( x + 1) 1 1 1 1 1 1 + + + + + = x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + − + − + − + = x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 x + 5 x chÝnh lµ tö th× cã -C¸ch ph¸t biÓu kh¸c cña bµi to¸n: a.ViÕt ph©n thøc 1 thµnh hiÖu cña hai ph©n thøc cã tö bµng 1 x( x + 1) b.VËn dông kÕt qu¶ c©u a,h y rót gän biÓu thøc sau: 1 1 1 1 1 1 + + + + + x( x + 1) ( x + 1)( x + 2) ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5) x + 5 I.khai th¸c øng dông bµi 28 trong tÝnh to¸n;trong to¸n rót gän;to¸n chøng minh ®¼ng thøc: Tõ(1),nÕu thay x=1 th× ta cã c¸c bµi to¸n sau: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 2 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi1:TÝnh: 1 2 a. + 1 1 1 1 1 + + + + ..... + 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6 99.100 H−íng dÉn: 1 1 1 1 1 1 = + + + + + ..... + 2 2 .3 3 .4 4 .5 5 .6 99.100 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 99 + − + − + − + ... + − = 1− = 2 2 3 3 4 4 5 99 100 100 100 1 2 1 1 1 + + ...... + víi n ≥ 1 2 .3 3 .4 n(n + 1) 1 n = H−íng dÉn:t−¬ng tù c©u a;ta cã kÕt qu¶ lµ:1n +1 n +1 + Tõ ®ã cã bµi to¸n tæng qu¸t :b.TÝnh tæng + *)NhËn xÐt ®Æc ®iÓm mÉu c¸c ph©n thøc ®Ó tõ ®ã ta cã c¸c d¹ng bµi to¸n kh¸c:c¸c h¹ng tö trong tæng trªn ®Òu lµ nh÷ng ph©n thøc cã d¹ng:mÉu lµ mét tÝch 2nh©n tö c¸ch nhau 1 ®¬n vÞ chÝnh b»ng tö.VËy mÉu lµ tÝch 2nh©n tö c¸ch nhau 2 hay 3 hay 4…th× gi¶i bµi to¸n nh− thÕ nµo?ch¼ng h¹n: Bµi2:TÝnh tæng: a. 1 1 1 1 + + + .... + 1 .3 3 .5 5 .7 2005.2007 b. 1 1 1 1 + + + .... + víi n ≥ 0 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) H−íng dÉn:a.ViÕt mçi h¹ng tö trong tæng d−íi d¹ng hiÖu 2ph©n thøc: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( − ); = ( − ); = ( − );...... = ( − ) .VËy 1 .3 2 1 3 3 .5 2 3 5 5 .7 2 5 7 2005.2007 2 2005 2007 1 1 1 1 + + + .... + = 1 .3 3 .5 5 .7 2005.2007 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1003 ( − + − + − + .... + − ) = (1 − )= 2 1 3 3 5 5 7 2005 2007 2 2007 2007 b.Ph−¬ng ph¸p lµm t−¬ng tù nh− c©u a. 1 1 1 1 = ( − ) nªn ta cã: (3n + 2)(3n + 5) 3 3n + 2 3n + 5 1 1 1 1 + + + .... + = 2.5 5.8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n +1 ( − + − + − + ... + − )= ( − )= 3 2 5 5 8 8 11 3n + 2 3n + 5 3 2 3n + 5 3n + 5 XÐt h¹ng tö tæng qu¸t: +T−¬ng tù nh− vËy cã thÓ ®Ò xuÊt mét lo¹t bµi to¸n cïng lo¹i vµ gi¶i quyÕt víi cïng ph−¬ng ph¸p. *)Chó ý ®Õn ®Æc ®iÓm tö vµ mÉu c¸c ph©n thøc ta cã bµi to¸n tæng qu¸t h¬n:tö lµ mét sè(biÓu thøc) bÊt kú,mÉu lµ tÝch cña 2 sè(biÓu thøc) c¸ch ®Òu nhau th× gi¶i quyÕt bµi to¸n nh− thÕ nµo?ch¼ng h¹n: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 3 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi3:TÝnh tæng: 5 5 5 5 5 + + + + .... + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 n n n n + + + ...... b. víi a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =b a1a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a k a k +1 a. H−íng dÉn:a.Ph−¬ng ph¸p lµm:viÕt c¸c h¹ng tö trong tæng d−íi d¹ng hiÖu(t−¬ng 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 5 5 1 1 ) do ®ã: = ( − ); = ( − ); = ( − );....; = ( − 2 .4 2 2 4 4 .6 2 4 6 6 .8 2 6 8 98.100 2 98 100 5 5 5 5 5 5 1 1 1 1 1 1 1 1 = ( − + − + − + .... + − )= + + + + .... + 2.4 4.6 6.8 8.10 98.100 2 2 4 4 6 6 8 98 100 5 1 1 49 = ( − )= 2 2 100 20 tù bµi 2) b.Ph−¬ng ph¸p lµm t−¬ng tù c©u a.§©y chÝnh lµ bµi to¸n tæng qu¸t rót ra tõ c¸c bµi to¸n trªn.VËy ta xÐt c¸c tr−êng hîp sau: +Tr−êng hîp 1:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k =n Bµi to¸n nµy gi¶i ®−îc dÔ dµng theo c¸ch ph©n tÝch cña bµi 1 v× khi ®ã: n 1 1 = − a 1a 2 a 1 a 2 ………………………. n 1 1 = − a k a k +1 a k a k +1 1 1 n n n n + + + ...... = − a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 a k a k +1 +Tr−êng hîp 2:NÕu a 2 − a1 = a 3 − a 2 = a 4 − a 3 = ...... = a k +1 − a k = b ≠ n n n n n n b b b b + + + ...... Ta cã = ( + + + .... + ) a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 b a1 .a 2 a 2 .a 3 a 3 .a 4 a k .a k +1 Céng tõng vÕ ta cã: Bµi to¸n nµy thùc chÊt ® ®−a vÒ d¹ng bµi 2;bµi3.Do ®ã ta cã kÕt qu¶ lµ n 1 1 ( − ) b a k a k +1 -NÕu mÉu lµ tÝch cña 3 sè tù nhiªn c¸ch ®Òu nhau th× sao?Tõ ®ã ta cã c¸c bµi to¸n khã h¬n : 1 1 1 1 + + + .... + víi 1.2.3 2.3.4 3.4.5 (n − 1).n.(n + 1) 1 1 1 1 B= + + + .... + víi n ∈ N ; n ≥ 2 1.3.5 3.5.7 5.7.9 (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) Bµi4:TÝnh tæng :A= n≥1 ,n ∈ N H−íng dÉn: Ph−¬ng ph¸p gi¶i t−¬ng tù nh− c¸c bµi trªn:viÕt c¸c h¹ng tö d−íi d¹ng hiÖu. Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 4 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 2 1 1 = − Do ®ã ta cã: (n − 1)n(n + 1) (n − 1).n n.(n + 1) NhËn xÐt: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − + − + ... + − )= ( − ) 2 1.2 2.3 2.3 3.4 (n − 1).n n.(n + 1) 2 2 n.(n + 1) 4 1 1 = − NhËn xÐt: Do ®ã ta cã: (2n − 1)(2n + 1)(2n + 3) (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + ... + − ) B= ( − + − + − 4 1.3 3.5 3.5 5.7 5.7 7.9 (2n − 1)(2n + 1) (2n + 1)(2n + 3) 1 1 1 ) = ( − 4 3 (2n + 1)(2n + 3) A= ( 1 1 b −a *)NhËn xÐt: Tõ (1) ta cã ®¼ng thøc tæng qu¸t h¬n: − = víi a ≠ 0; b ≠ 0 th× a b a.b viÖc ¸p dông ng−îc c«ng thøc trªn trong thùc tÕ ®−îc sö dông rÊt nhiÒu. Ch¼ng h¹n víi bµi to¸n sau: Bµi 5: Cho biÕt a,b,c lµ c¸c sè thùc kh¸c nhau.Chøng minh: b−c c−a a−b 2 2 2 + + = + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b b − c c − a H−íng dÉn:§èi víi ®Ò nµy nÕu dïng c¸ch hoµ ®ång mÉu sè vÕ tr¸i ®Ó chøng minh th× qu¸ tr×nh tÝnh phøc t¹p.Cã c¸ch g× ng¾n gän kh«ng?Quan s¸t c¸c sè h¹ng ë vÕ tr¸i ta thÊy tö sè võa ®óng b»ng hiÖu cña 2 thõa sè ë mÉu sè: b-c=(a-c)-(a-b);c-a=(b-a)-(b-c);a-b=(c-b)-(c-a).§iÒu ®ã gîi cho ta nhí ®Õn dïng b−a 1 1 b−c 1 1 = − tøc = − . Do ®ã: a.b a b (a − b)(a − c) a − b a − c b−c c−a a−b 1 1 1 1 1 1 + + = − + − + − = (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) a − b a − c b − c b − a c − a c − b 1 1 1 1 1 1 2 2 2 + + + + + = + + (§PCM) a−b c−a b−c a−b c−a b−c a−b b−c c−a *)Chó ý ®Õn mÉu: nÕu ta thay x.(x+1)= x 2 + x ; (x+1)(x+2)= x 2 + 3x + 2 ;….ta sÏ cã ng−îc c«ng thøc c¸c bµi to¸n luyÖn cho häc sinh kü n¨ng ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: Bµi6:Rót gän c¸c biªñ thøc sau: 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 x + x x + 3x + 2 x + 5x + 6 x + 7x + 12 x + 9x + 20 1 1 1 1 b. N= 2 + 2 + 2 + 2 x − 5x + 6 x − 7x + 12 x − 9x + 20 x − 11x + 30 a. M= 2 H−íng dÉn:a.§Ó rót gän M cÇn ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh©n tö Ta cã: x 2 +x = x(x+1); x 2 + 3x + 2 = x 2 + x + 2x + 2 = (x+1)(x+2); x 2 + 5x + 6 = x 2 + 2x + 3x + 6 = (x+2)(x+3); x 2 + 7x + 12 = x 2 + 3x + 4x + 12 =(x+3)(x+4); x 2 + 9x + 20 = x 2 + 4x + 5x + 20 =(x+4)(x+5) Do ®ã: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 5 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 1 1 1 1 1 + + + + (x + 1)x (x + 1)(x + 2) (x + 2)(x + 3) (x + 3)(x + 4) (x + 4)(x + 5) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + − x x +1 x +1 x + 2 x + 2 x + 3 x + 3 x + 4 x + 4 x + 5 1 1 5 = − = x x + 5 x(x + 5) M= b.T−¬ng tù ta cã: 1 1 1 1 + + + (x − 2)(x − 3) (x − 3)(x − 4) (x − 4)(x − 5) (x − 5)(x − 6) 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − x −2 x −3 x −3 x −4 x −4 x −5 x −5 x −6 1 1 −4 = − = x − 2 x − 6 (x − 2)(x − 6) N= Bµi 7: Rót gän: a a a a 1 + 2 + 2 + 2 + 2 2 2 x + a.x x + 3a.x + 2a x + 5.a.x + 6a x + 7.a.x + 12a x + 4a a a a a 1 b.H= 2 + 2 + 2 + .. + 2 + 2 2 2 x + ax x + 3ax + 2a x + 5ax + 6a x + 19ax + 90a x + 10a a.K= 2 H−íng dÉn: a a a a 1 + + + + x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + − + − + x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a 1 = x a a a a 1 b.H= + + + + x(x + a) (x + a)(x + 2a) (x + 2a)(x + 3a) (x + 3a)(x + 4a) x + 4a 1 a 1 + ... + + x + 5a (x + 9a)(x + 10a) x + 10a 1 1 1 1 1 1 1 1 1 H== − + − + − + − + x x + a x + a x + 2a x + 2a x + 3a x + 3a x + 4a x + 4a 1 1 1 1 + ... + − + x + 5a x + 9a x + 10a x + 10a 1 H= x 2x + 1 1 1 *)XÐt biÓu thøc sau: (x + 1)2 − x 2 = 2x + 1 nªn ta cã: 2 = 2 − 2 x .(x + 1) x (x + 1) 2 a.K= Do ®ã ta cã bµi to¸n sau: Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 6 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 Bµi8:Rót gän biÓu thøc sau: A= 3 5 2x + 1 + + ........ + 2 2 (1.2) (2.3) [x(x + 1)]2 H−íng dÉn: 2x + 1 = x .(x + 1)2 1 1 1 1 1 A= 2 − 2 + 2 − 2 + 2 − 1 2 2 3 3 1 x(x + 2) =1= 2 (x + 1) ( x + 1) 2 -NhËn xÐt: 2 1 1 − nªn ta cã: 2 x (x + 1) 2 1 1 1 + ... + 2 − 2 4 x (x + 1) 2 II.khai th¸c c¸c øng dông bµi 28 trong chøng minh bÊt ®¼ng thøc: Bµi9:Chøng minh r»ng víi mäi sè tù nhiªn n ≥ 1 : 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + ... + < 2 2 2 4 6 8 (2n) 2 1 1 1 1 1 b.B = 2 + 2 + 2 + .... + < 2 3 5 7 (2 n + 1) 4 a.A = H−íng dÉn: a.NhËn xÐt: 1 1 1 1 1 1 1 1 = . 2 < . mµ = − nªn ta cã: 2 (2 n ) 4 n 4 ( n − 1).n (n − 1).n n − 1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + ... + = ( 2 + 2 + 2 + ... + 2 ) nªn 2 2 2 4 6 8 (2n) 4 1 2 3 n 1 1 1 1 1 + + + ... + ) hay A< (1 + 4 1.2 2.3 3.4 (n − 1).n 1 1 1 1 1 1 1 1 − ) hay A< (1 + 1 − + − + − + ... + 4 2 2 3 3 4 n −1 n A= 1 4 1 n 1 2 A< (1 + 1 − ) hay A < − 1 1 hay A< 4n 2 (§PCM) b.NhËn xÐt: 1 1 1 1 1 1 1 1 < ⇔ < ⇔ < ( − ) 2 2 2 2 (2n + 1) (2n + 1) − 1 (2n + 1) 2n.(2n + 2) (2n + 1) 2 2n 2n + 2 nªn ta cã: 1 1 1 1 + 2 + 2 + ... + hay 3 −1 5 −1 7 −1 (2n + 1)2 − 1 1 1 1 1 + + + ... + B< hay 4.2 4.6 6.8 2n(2n + 2) B< 2 Ng−êi thùc hiÖn: Lª ThÞ HiÒn 7 Khai th¸c c¸c øng dông tõ mét bµi to¸n líp 8 B< 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( − + − + − + ... + − ) hay 2 2 4 4 6 6 8 2n 2n + 2 B< 1 1 1 1 1 1 ( − )⇒B < − ⇒B< 2 2 2n + 2 4 4(n + 1) 4 (§PCM) Bµi10:Chøng minh víi n nguyªn,n>1 th×: 1 1 1 1 1 A= 2 + 2 + 2 + .... + 2 < 2 − 1 2 3 n n H−íng dÉn:§Ó ¸p dông (1) cÇn sö dông ph−¬ng ph¸p lµm tréi,t−¬ng tù nh− bµi 9. -NhËn xÐt: Víi k=2;3;4;…;n ta cã: 1 1 1 1 1 < hay 2 < − (2) 2 k (k − 1).k k k −1 k LÇn l−ît cho k=2;3;4;…;n trong (2) råi céng l¹i vÕ theo vÕ ta ®−îc: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 − A= 2 + 2 + 2 + 2 + ... + 2 < 1 + − + − + ... + 1 2 3 4 n 1 2 2 3 n −1 n A[...]... giải bài tập có hệ thống là một yếu tố cơ bản giúp học sinh nắm vững kiến thức,giải quyết linh hoạt các bài tập toán và đạt kết quả cao trong học tập môn toán. Điều quan trọng nhất cần đề cập bài toán theo nhiều cách khác nhau,nghiên cứu kỹ ,khảo sát kỹ từng chi tiết và kết hợp các chi tiết của bài toán theo nhiều cách để mở rộng cho các bài toán khác.Đồng thời qua đó có thể khai thác các ứng dụng của một. .. +1 5 2 2 n +1 1 1 9 N< + hayN < (ĐPCM) 5 4 20 Với k=2: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 10 Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 III .khai thác các ứng dụng bài 28 trong giải phơng trình,bất phơng trình: Bài1 9:Giải phơng trình: a.( 1 1 1 1 1 1 + + + ).x = + + + 1.101 2.102 10.110 11 2.12 100.110 b.( 1 1 1 1 1 48 98 + + + + ).(x 2) + x = x 1.3 3.5 5.7 97.99 99 99 1 3 1 1 1 2007 + + = x(x + 1) 2009... đề tài đợc hoàn chỉnh hơn *)Sau đây là một số bài tập đề nghị: Bài 1:Tính các tổng sau: a 1 1 1 1 + + + + 1.5 5.9 9.13 (4n 3)(4n + 1) 1 1 1 + + + 4.5 5.6 (n + 3)(n + 4) 7 7 7 1 + + + + c 1 .8 8.15 (7n 6)(7n + 1) 7n + 1 b Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 13 Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 1 1 1 1 + + + + 2.5 5 .8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) Bài 2:Rút gọn các biểu thức sau: 2 2 2 2 + + + a (x +... thực hiện: Lê Thị Hiền 12 Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 1 1 1 1 ( )= 2 x +1 x + 5 6 3(x + 5 x 1) = (x + 1)(x + 5) 2 2 (x + 3) = 4 x+3=4 hoặc x+3=-4 x=1 hoặc x=-7 (thoả m n ĐKXĐ) * )Các câu b;c;d phơng pháp làm hoàn toàn tơng tự câu a Bài 23:Giải bất phơng trình: ( 1 1 1 1 1 1 1 + + + + + + + )x < 1.51 2.52 10.60 11 2.12 3.13 50.60 Hớng dẫn:Cách làm tơng tự bài 21b);chỉ có chú ý... 2007 )= 2( + + + + 2 3 3 4 4 5 x x + 1 2009 1 1 2007 2 2007 2 2 )= = 2( 1 x=20 08( thoả m n = 2 x + 1 2009 x + 1 2009 x + 1 2009 x o; x 1 ) Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền 11 Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 Bài2 1:Giải phơng trình: 1 1 1 1 1 9 + + + + )( x 1) + x = x 1 2 2 3 3 4 9.10 10 10 1 1 1 1 1 1 1 1 b.( ) + + + + )x = ( + + + + 1.51 2.52 3.53 10.60 1.11 2.12 3.13 50.60 1 1 1.. .Khai thác các ứng dụng từ một bài toán lớp 8 2 n + n 1 1 5 11 K= + + + .+ ... 5) x + I.khai thác ứng dụng 28 tính toán; trong toán rút gọn ;toán chứng minh đẳng thức: Từ( 1),nếu thay x=1 ta có toán sau: Ngời thực hiện: Lê Thị Hiền Khai thác ứng dụng từ toán lớp Bài1 :Tính: a... Khai thác ứng dụng từ toán lớp III.khai thác ứng dụng 28 giải phơng trình,bất phơng trình: Bài1 9:Giải phơng trình: a.( 1 1 1 + + + ).x = + + + 1.101 2.102 10.110 11 2.12 100.110 b.( 1 1 1 48 98. .. đích nghiên cứu: -Giới hạn đề tài khai thác ứng dụng từ toán lớp 8: áp dụng để dạy học sinh lớp 6,7 ,8 -Mục đích đề tài:Phục vụ cho công tác bồi dỡng khối 6,7 ,8 làm tài liệu tự học cho em giúp em