Thông tin tài liệu
§Ò to¸n hay
1) Cho a, b, c lµ c¸c sè kh«ng ©m tho¶ m·n:
(a + b - c)3 + (b + c- a)3 + (c + a - b)3 = a3 + b3 + c3
Chøng minh r»ng a = b = c.
Lêi gi¶i: §Æt a + b - c = x, b + c - a = y, c + a - c = z
⇔b=
x+ y
y+z
x+z
;c=
;a=
2
2
2
⇔ 8(x3 + y3 + z3) = (x + z)3 + (x + y)3 + (y + z)3
⇔ 2(x3 + y3 + z3) = xz(x + z) + xy(x + y) + yz(y + z)
⇔ (x + y)(x - y)2 + (x + z)(x - z)2 + (y + z)(y - z)2 = 0
2) Cho A lµ sè tù nhiªn cã ba ch÷ sè, B lµ sè viÕt ngîc l¹i c¸c ch÷ sè cña A vµ
S lµ tæng c¸c ch÷ sè cña A.
T×m sè A nÕu A = 2B + S .
1)A = 100a+10b+c, 1≤ a, b, c ≤ 9
B = 100c + 10b + a
⇒ 100a+10b+c = 200c + 20b + 2a + a +b +c
97a - 200c = 11b ⇒ 97a - 200c chia hÕt cho 11⇒ 2(c+a) chia hÕt cho 11
⇒ c+a chi hÕt cho 11 ⇒ c+a =11 (*)
MÆt kh¸c 97a - 200c - 2b = 11b ⇒ 2(a+b+c) chia hÕt cho 9 tõ (*) ⇒ b =7
97a - 200c =11.7 ⇒ -(4c+a) + 96a-196c chia hÕt cho 7
⇒ 4c+a chia hÕt cho 7 ⇒ 4a+c = 7, 14, 21, 28, 35, 42 kÕt hîp (*)
⇒c=8⇒a=3
vËy sè cÇn t×m lµ 378
KiÓm tra l¹i kh«ng tho¶ m·n vËy kh«ng tån t¹i sè nh vËy
3.Cho c¸c sè thùc d¬ng a, b, c. Chøng minh:
b
a +b
2
2
c
+
b +c
2
2
a
+
c +a
2
2
≤3 2
2
hdÉn:
P=
b
a2 + b2
+
c
b2 + c2
+
c
c2 + a2
Chia c¶ tö vµ mÉu víi mçi sè h¹ng a, b, c
⇒P=
1
1+ x2
+
1
1+ y2
+
1
1+ z2
x, y, z nh nhau chøng minh
Tõ (a+b)2 ≤ 2(a2+b2) ⇒
chøng minh
2(
; ( x = a/b; y = b/c; z = a/z ⇒ xyz = 1)
1
1+ x2
1
1+ x2
+
+
1
1+ y2
1
1+ y2
≤
2
1 + xy
≤ 2(
víi 0 < xy ≤1;
1
1
+
)
2
1+ x
1+ y2
2
1
1
2
1
1
+
≤
+
)≤
⇔
2
2
2
2
1 + xy
1 + xy
1+ x
1+ y
1+ x
1+ y
qui ®ång:
1
(2+x2+y2)(1+xy) ≤ 2(1+x2+y2+x2y2)
⇔ x2+y2 +2x2y2- (x2+y2)xy – 2xy ≥ 0
(xy - 1)(x - y)2 ≥ 0 dÊu b»ng khi x = y hoÆc xy = 1
Tõ 0 < xy ≤1 ⇒ z ≥ 1 ⇒ Q =
⇒Q=
t
1+ t
2
+
2
1+ t
≤
1
1+ z
2
+
2
1
do xyz =1 ; ®Æt t =
1 + xy
z
2t
2
2t 2 1 + t
+
+
=
; ( v× 1+t ≤ 2(1 + t 2 ) )
1+ t
1+ t
1+ t 1+ t
2
2t 2 1 + t 3 2 ⇔ 2t +
2 2(1 + t ) ≤ 3t + 3 b×nh ph¬ng cã (t - 1) ≥ 00,50
+
≤
1+ t
1+ t
2
4.Cho ba sè thùc a, b, c tho¶ m·n:
1
1
1
a ≥ b ≥ c > 0 ; abc = 1 vµ a + b+ c > + +
a b c
Chøng minh a + b > ab + 1.
HD:
1
1
1
, a ≥ b ≥ c > 0 ⇒ b ≤ vµ c ≤
a
b
c
1 1 1
a + b + c ≤ + + m©u thuÉn
a b c
a≤1⇒a≤
0,50
a>1
1
1
; b - 1≥ 1 a
b
1
1
(a - 1)(b - 1) ≥ (1 − )(1 − )
a
b
1 1 1
ab - a - b + 1 ≥ 1 - − +
a b ab
1
1 1
-a–b≥- − +c
c
a b
1 1 1
+ + ≥ a + b + c m©u thuÉn
a b c
NÕu b ≥1 ⇒ a - 1 > 1 -
⇒ b < 1 ⇒ (a - 1)(b - 1) < 0 ⇒ ab - a - b + 1 < 0
a + b > ab + 1
0,25
0,25
0,25
0,25
Bµi 5
Cho biÓu thøc:
(a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 ) = 2005
TÝnh tæng a + b.
Bµi 6
a) Ph©n tÝch ®a thøc a3 + b3 +c3 - 3abc thµnh nh©n tö ;
b) Trôc c¨n thøc ë mÉu sè cña biÓu thøc sau:
1
3
4 −3 2 +3
Bµi 7
Cho tam gi¸c vu«ng ABC (A = 900), AD lµ ph©n gi¸c cña gãc A (D
thuéc BC). Chøng minh:
2
AD AD
+
= 2
AB AC
Bµi 8
Chøng minh r»ng:
sin22030' =
1
2− 2
2
Híng dÉn
Bµi 5
(a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 )( a 2 + 2005 − a ) = 2005( a 2 + 2005 − a)
2005(b + b 2 + 2005 ) = 2005( a 2 + 2005 − a )
a + b = a 2 + 2005 − b 2 + 2005 (1)
(a + a 2 + 2005 )(b + b 2 + 2005 )( b 2 + 2005 − b) = 2005( b 2 + 2005 − b)
2005(a + a 2 + 2005 ) = 2005( b 2 + 2005 − b)
a + b = b 2 + 2005 − a 2 + 2005 (2)
Céng (1) víi (2) a + b = 0
Bµi 6
1) Ph©n tÝch a3 + b3 +c3 - 3abc = (a+b+c)(a2+b2+c2 - ab - bc- ca)
2) ¸p dông nh©n tö vµ mÉu sè víi
Tö sè 3 16 + 3 4 + 9 + 3 4 3 2 − 33 4 + 33 2
MÉu sè ( 3 16 + 3 4 + 9 + 3 4 3 2 − 33 4 + 33 2 )( 3 4 − 3 2 + 3)
= 4 - 2 +27 + 3 4 3 2 .3 =35
Bµi 7
Tõ D kÎ DM ⊥AB vµ DN⊥AC
Chøng minh tø gi¸c AMDN lµ h×nh vu«ng ⇒ DM = DN =
AD
2
dt(ABC) = dt(ABD) + dt(ADC)
AB. AC = (AB + AC)DM = (AB + AC)
Chia ca hai cho AB. AC (®pcm)
AD
2
Bµi 8
Dùng tam gi¸c vu«ng c©n ABC (A= 900), kÎ BD lµ ph©n gi¸c cña gãc B
AD
(*)
BD
AD AB
AB
1
=
=
=
TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c
DC BC AB 2
2
AD
1
⇒ DC + AD =
2 +1
0
'
∠ABD = 22030' ⇒ sin 22 30 =
AD
=
AB
1
2 +1
⇒ AD =
AB
2 +1
⇒ AB = AD( 2 + 1)
BD 2 = AB2+AD2 = AD2[( 2 +1)2 + 1] ⇒ BD = AD 4 + 2 2 thay vµo (*)
3
0
'
⇒ sin 22 30 =
AD
=
BD
1
=
4+2 2
Bµi 9
Chøng minh r»ng sin 18 0 =
1
=
2( 2 + 2 )
2− 2
=
2.2
2− 2
2
5 −1
4
B
D
A
C
Dùng tam gi¸c c©n cã gãc ®Ønh 360 (AB = AC), kÎ ph©n gi¸c BD.
TÝnh chÊt ®êng ph©n gi¸c
CD BC
BC. AC
⇒ CD =
=
AD AB
BC + AB
MÆt kh¸c ∆ABC ∼ ∆BCD ⇒
AB
AB BC
=
⇒ AB.CD = BC2 ⇒
BC CD
BC. AC
2
2
2
= BC 2 ⇒ AB = BC + AB.BC chia hai vÕ cho AB ⇒
BC + AB
2
2
BC
BC
BC
BC
− 1 = 0 ⇒ 4
−1 = 0
+
+ 2.
AB
2 AB
AB
2 AB
⇒ 4 sin 2 18 0 + 2 sin 18 0 − 1 = 0 => sin 18 0 =
5 −1
4
Bài 10
Cho a, b, c là các số thực thoả mãn các điều kiện:
a < b < c ; a + b + c = 6 ; ab + bc + ca = 9.
C/ minh : 0 < a < 1 < b < 3 < c < 4
HD:
a +b+c = 6⇒ a +b = 6−c
9 = ab + bc + ac = ab + c ( a + b ) = ab + c ( 6 − c )
⇒ ( c − 3) = ab , tương tự ( b − 3) = ac , ( a − 3) = bc
+ Ta có a, b, c không thể cùng âm vì a + b + c = 6
2
2
2
2
2
2
a+b
+ a, b ≤ 0 vô lí ⇒ a, b, c > 0, ab <
÷ với mọi a, b ⇒ 4 ( c − 3) < ( 6 − c )
2
2
⇒ c − 4c < 0 ⇒ c ( c − 4 ) < 0,c > 0 ⇒ c < 4
+ c ≤ 2 do a < b < c ⇒ a + b + c 2
2
+ c > 2 ⇒ 2 < c < 4 ⇒ −1 < c − 3 < 1 , do ab = ( c − 3) ⇒
ab < 1 ⇒ a 4, c < 4 ⇒ b > 1
b ≥ 3 ⇒ a + b + c > b + c > 2b ≥ 6 ⇒ vô lí ⇒ b < 3
2
( a − 3) ( b − 3) ( c − 3) = abc − 3 ( ab + bc + ac ) + 9 ( a + b + c ) − 27 = abc > 0
c - 3 >0 ⇒ c > 3
⇒0 ... đối chiếu đề bài, ta có: A = x + y = x + y 3 = 1 1 x + y = x + y ( x + y) = x = y = x= y= 2 3 Chú ý: Bài tập có cách giải khác cách xét hai trờng hợp: 1) x 0, y 2) x 0, y Bài ( Ta có: x... x +1 x x +1 với x 6/Rút gọn A= x+ + x + + x Các tập vận dụng BĐT a + b a + b dấu xảy khi: ab (*) Vào rút gọn, tính giá trị biểu thức Bài 1: Cho biểu thức: A= x+ y x+ y 1 xy + + xy x... 0,25 0,25 Bài Cho biểu thức: (a + a + 2005 )(b + b + 2005 ) = 2005 Tính tổng a + b Bài a) Phân tích đa thức a3 + b3 +c3 - 3abc thành nhân tử ; b) Trục thức mẫu số biểu thức sau: +3 Bài Cho tam
Ngày đăng: 04/10/2015, 20:00
Xem thêm: Download tuyển tập các bài toán chọn lọc thì học sinh giỏi lớp 9, thi tuyển sinh vào THPT, Download tuyển tập các bài toán chọn lọc thì học sinh giỏi lớp 9, thi tuyển sinh vào THPT