Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy LỜI MỞ ĐẦU 1. LÝ do chän ®Ò tµi Trang bÞ nh÷ng tri thøc, ph¬ng ph¸p vµ ph¸t triÓn t duy, trÝ tuÖ cho häc sinh lµ môc tiªu ®îc ®Æt lªn hµng ®Çu trong c¸c môc tiªu d¹y häc m«n to¸n. Trong ch¬ng tr×nh H×nh häc 10 c¸c bµi to¸n liªn quan ®Õn täa ®é vµ ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng Oxy lµ phÇn rÊt quan träng. PhÇn täa ®é trong mÆt ph¼ng ®ãng vai trß cùc k× quan trong trong to¸n häc vµ còng lµ phÇn kh«ng thÓ thiÕu trong c¸c ®Ò thi §¹i häc trong nh÷ng n¨m häc gÇn ®©y. Häc sinh ®îc lµm quen víi c¸c bµi tËp vÒ täa ®é vµ ®êng th¼ng trong §¹i sè tõ khi häc THCS, lªn THPT c¸c em l¹i gÆp l¹i trong m«n §¹i sè 10 vµ h×nh häc 10, nhng c¸c em vÉn hay gÆp khã kh¨n khi cho r»ng ®©y lµ to¸n h×nh häc. §Ó häc sinh thÊy ®îc c¸ch nhÊt qu¸n cña d¹ng to¸n t×m ®Ønh vµ c¹nh cña tam gi¸c t«i muèn lµm næi bËt yÕu tè gi¶i tÝch trong viÖc gi¶i quyÕt bµi tËp h×nh häc. Trong qu¸ tr×nh d¹y häc t«i lu«n t×m tßi c¸c vÝ dô ®iÓn h×nh tæng hîp thµnh c¸c ph¬ng ph¸p gi¶i cô thÓ cho häc sinh, ®ång thêi híng dÉn häc sinh biÕt nhËn d¹ng bµi to¸n vµ ph¸t triÓn thµnh c¸c bµi to¸n míi. §©y còng lµ vÊn ®Ò cã thÓ ph¸t triÓn ® îc t duy to¸n häc cho häc sinh. Díi ®©y t«i xin trao ®æi víi quý ®ång nghiÖp vµ c¸c em häc sinh mét chuyªn ®Ò nhá tr×nh bµy vÊn ®Ò nhá vÒ ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng: ”T×m mét sè yÕu tè cña tam gi¸c trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy.” Néi dung ®Ò tµi gåm 3 phÇn: PhÇn 1: LÝ thuyÕt vÒ ®iÓm ®êng th¼ng trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy. PhÇn 2: §iÓm ®êng th¼ng ®Æc biÖt trong tam gi¸c. PhÇn 3: Bµi tËp tæng hîp. 2. Môc ®Ých nghiªn cøu Mét vÊn ®Ò trong H×nh häc 10 mµ häc sinh thÊy khã kh¨n khi gÆp ph¶i. Gióp häc sinh ®Þnh híng ®îc bµi to¸n t×m mét sè yÕu tè cña tam gi¸c trong mÆt ph¼ng Oxy khi gi¶i bµi tËp. 2 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy Båi dìng cho häc sinh ph¬ng ph¸p, kÜ n¨ng gi¶i to¸n h×nh häc gi¶i tÝch trong mÆt ph¼ng. Qua ®ã nh»m n©ng cao kh¶ n¨ng t duy logic, t¹o høng thó häc tËp cho häc sinh. 3. §èi tîng nghiªn cøu C¸c kiÕn thøc vÒ täa ®é ®iÓm, ®êng th¼ng ®Æc biÖt cña tam gi¸c vµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng. Nh»m t×m lêi gi¶i cho mçi bµi to¸n vÒ ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng cô thÓ. 4. Giíi h¹n cña ®Ò tµi Lµ gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng d¹y häc sinh khèi 10 cña trêng THPT Hång Th¸i t«i thÊy c¸c em hay gÆp khã kh¨n khi lµm bµi tËp vÒ t×m ®iÓm vµ ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng trong tam gi¸c. Nªn t«i tËp trung vµo viÖc: “gióp häc sinh t×m ®iÓm ®êng th¼ng trong tam gi¸c khi biÕt mét sè d÷ kiÖn ®Æc biÖt”, ¸p dông gi¶ng d¹y trong c¸c tiÕt häc tù chän b¸m s¸t cho häc sinh líp 10 t«i d¹y. 5. NhiÖm vô cña ®Ò tµi. KÕ ho¹ch gióp ®ì häc sinh häc tèt m«n H×nh häc 10 phÇn ph¬ng ph¸p täa ®é trong mÆt ph¼ng: gi¶i ®îc bµi to¸n “t×m mét sè yÕu tè cña tam gi¸c trong mÆt ph¼ng täa ®é Oxy ”. 6. Ph¬ng ph¸p nghiªn cøu 6.1 VÒ lÝ luËn: “Phát triển tư duy khoa học” và “tăng cường ở các em ý thức, năng lực vận dụng một cách thông minh những điều đã học”. §æi míi trong ph¬ng ph¸p d¹y häc hiÖn nay coi träng viÖc: “lÊy häc trß lµm trung t©m ngêi thÇy chØ ®ãng vai trß lµ ngêi gióp c¸c em ®i ®óng híng, gióp c¸c em tiÕp thu kiÕn thøc mét c¸ch chñ ®éng, s¸ng t¹o”. 6.2 VÒ thùc tiÔn PhÊn ®Êu ®Ó d¹y tèt c¸c m«n häc nãi chung vµ m«n To¸n nãi riªng lµ nguyÖn väng tha thiÕt cña ®éi ngò gi¸o viªn. To¸n häc lµ m«n khoa häc suy diÔn trõu tîng 3 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy nªn lµ gi¸o viªn To¸n víi t«i ®©y còng lµ dÞp ®Ó t«i häc tËp, nghiªn cøu, trau dåi ®Ó rót ra nh÷ng kinh nghiÖm cho riªng m×nh. §Ó mçi tiÕt häc to¸n tr«i qua häc sinh h×nh thµnh nh÷ng kiÕn thøc míi vµ kÜ n¨ng míi, vËn dông mét c¸ch s¸ng t¹o nhÊt, th«ng minh nhÊt trong viÖc häc to¸n. C¸c em thÊy yªu thÝch m«n to¸n h¬n, høng thó häc tËp h¬n. NỘI DUNG Phần 1: LÍ THUYẾT VỀ ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG 1. VÉC TƠ ĐẶC TRƯNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG 1.1 Véctơ u (u1 , u 2 ) là véctơ chỉ phương (VTCP) của (∆ ) ⇔ (∆ ) // giá của u 1.2 Véctơ n(a, b) là véctơ pháp tuyến (VTCP) của (∆ ) ⇔ (∆ ) // giá của n 1.3 Nhận xét: Đường thẳng (∆ ) có vô số véctơ chỉ phương và vô số véctơ pháp tuyến đồng thời u ⊥ n 2. PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG 2.1 Phương trình tham số: Đường thẳng (∆ ) đi qua điểm M 0 ( x0 , y0 ) và có VTCP  x = x0 + u1t t∈R ⇒ phương trình tham số dạng: u (u1 , u 2 )  y = y + u t  0 2 2.2 2.3 Nhận xét: VTCP u (u1 , u 2 ) ⇒ VTPT n(u 2 ,−u1 ) Phương trình chính tắc: Đường thẳng (∆ ) đi qua điểm M 0 ( x0 , y0 ) và có VTCP x − x0 y − y 0 = . u (u1 , u 2 ) ⇒ phương trình chính tắc dạng: u1 u2 Phương trình tổng quát: Đường thẳng (∆ ) đi qua điểm M 0 ( x0 , y0 ) và có VTPT n(a, b) ⇒ phương trình tổng quát dạng: a( x − x0 ) + b( y − y0 ) = 0 ⇔ ax + by + c = 0 . 2.4 2.5 2.6 2.7 Nhận xét:VTPT n(a, b) ⇒ VTCP u (b,−a) . Phương trình hệ số góc: Phương trình đường thẳng với hệ số góc a: phương trình dạng y = ax + b . Phương trình đường thẳng qua 2 điểm M 1 ( x1 , y1 ) , M 2 ( x2 , y 2 ) : Phương trình x − x1 y − y1 = dạng . x2 − x1 y 2 − y1 x y Phương trình dạng đoạn chắn qua A(a;0), B(0; b) dạng: + = 1 . a b Phương trình chùm đường thẳng: Cho 2 đường thẳng cắt nhau: 4 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy (∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0 , (∆ 2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0 với I = (∆1 ) ∩ (∆ 2 ) thì đường thẳng (∆ ) qua I là p (a1 x + b1 y + c1 ) + q (a2 x + b2 y + c2 ) = 0 với p 2 + q 2 > 0 3. VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG  x = x1 + a1t t∈R 3.1 Dạng tham số: (∆1 ) đi qua M 1 ( x1 , y1 ) :   y = y1 + b1t  x = x2 + a2t ' (∆ 2 ) đi qua M 2 ( x2 , y2 ) :  t '∈ R  y = y2 + b2t ' - Nếu u1 (a1 , b1 ) ≠ k u2 (a2 , b2 ) ⇔ a1b2 − a2b1 ≠ 0 thì (∆1 ) ∩ (∆ 2 ) tại I. - Nếu u1 (a1 , b1 ) = k u2 ( a2 , b2 ) và M 1 ∉ (∆ 2 ) thì (∆1 ) //( ∆ 2 ) - Nếu u1 (a1 , b1 ) = k u2 ( a2 , b2 ) và M 1 ∈ (∆ 2 ) thì (∆1 ) ≡ (∆ 2 ) 3.2 Dạng tổng quát: (∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0 và (∆ 2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0  a1 x + b1 y + c1 = 0 Xét hệ:  a2 x + b2 y + c2 = 0 - Nếu hệ có 1 nghiệm ( x0 , y0 ) thì (∆1 ) ∩ (∆ 2 ) = I ( x0 , y0 ) . - Nếu hệ vô nghiệm thì (∆1 ) //( ∆ 2 ) . - Nếu hệ có nghiệm với mọi x hoặc mọi y thì (∆1 ) ≡ ( ∆ 2 ) . 4. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG 4.1 Dạng hệ số góc: Cho (∆1 ) : y = a1 x + b1; (∆ 2 ) : y = a2 x + b2 [ ] Góc giữa ( ∆1 , ∆ 2 ) = α ∈ 00 ;900 với a1a2 ≠ −1: tan α = 4.2 a1 − a2 1 + a1a2 với a1a2 = −1: α = 900 ⇔ (∆1 ) ⊥ (∆ 2 ) Dạng tổng quát: Cho 2 đường thẳng: (∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0 VTPT n1 (a1 ; b1 ) (∆ 2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0 VTPT n2 ( a2 ; b2 ) cos α = n1.n2 n1 . n2 = a1.a2 + b1.b2 a12 + b12 . a22 + b22 . 5. KHOẢNG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG PHÂN GIÁC 5.1 Khoảng cách từ M 0 ( x0 , y0 ) đến (∆ ) : ax + by + c = 0 là d ( M 0 ∆ ) = 5.2 Cho ax0 + by0 + c a2 + b2 (∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0 cắt nhau thì phương trình 2 đường phân giác: (∆ 2 ) : a2 x + b2 y + c2 = 0 a1 x + b1 y + c1 a x+b y +c =± 2 22 2 2 2 2 a1 + b1 a2 + b2 5 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy Dấu hiệu a1a2 + b1b2 > 0 a1a2 + b1b2 < 0 Phân giác góc nhọn a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2 = 2 2 a1 + b1 a22 + b22 a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2 = − a12 + b12 a22 + b22 Phân giác góc tù a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2 = − a12 + b12 a22 + b22 a1 x + b1 y + c1 a2 x + b2 y + c2 = a12 + b12 a22 + b22 Phần 2: ĐIỂM VÀ ĐƯỜNG THẲNG ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC Loại 1: Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương trình của 2 đường có cùng tính chất. Dạng 1: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 đường cao xuất phát từ 2 đỉnh còn lại. Cách giải: * Viết phương trình AB, AC. * Tìm toạ độ của B,C. * Viết phương trình BC. Bài tập 1.1: Cho ∆ABC biết A(-1;-3) và phương trình 2 đường cao BH: 5 x + 3 y − 25 = 0 , CK: 3 x + 8 y − 12 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác. Giải: Vì AB ⊥ CK nên AB có phương trình 8 x − 3 y + c = 0 A∈ AB ⇔ c = −1 : Phương trình AB có dạng: 8 x − 3 y − 1 = 0 . Vì AC ⊥ BH nên AC có phương trình 3 x − 5 y + m = 0 A∈ AC ⇔ m = −12 : Phương trình AC có dạng: 3 x − 5 y − 12 = 0 .  8x − 3 y − 1 = 0 ⇒ B( 2;5) B = AB ∩ BH ⇒ Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ:  5 x + 3 y − 25 = 0 3 x − 5 y − 12 = 0 ⇒ C ( 4;0) C = AC ∩ CK ⇒ Tọa độ điểm C là nghiệm của hệ:  3 x + 8 y − 12 = 0  x−2 y−4 = ⇔ 5 x + 2 y − 20 = 0 . Phương trình cạnh BC: 4−2 0−4 Bài tập tương tự Bài tập 1.2: Cho tam giaùc ABC vôùi phöông trình caïnh BC: x-y +2=0, hai ñöôøng cao BH:2x-7y-6=0, CH: 7x-2y-1=0.Vieát phöông trình hai caïnh coøn laïi vaø ñöøông cao thöù ba . Bài tập 1.3. Cho tam giaùc ABC coù phöông trình caïnh AB : 5x-3y+2=0 vaø phöông trình caùc ñöôøng cao qua ñænh A vaø B laàn löôït laø : 4x-3y +1=0 , 7x+2y -22 =0 Laäp phöông trình hai caïnh AC, BC vaø ñöôøng cao thöù ba. 6 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy Bài tập 1.4: Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC bieát B(-4;-5) vaø hai ñöôøng cao coù phöông trình : 5x+3y – 4=0 , 3x +8y +13=0 Bài tập 1.5: Cho tam giaùc ABC vôùi ñænh A(1;1) .Caùc ñöôøng cao haï töø B vaø C laàn löôït naèm treân caùc ñöôøng thaúng : -2x +y -8 = 0; 2x +3y-6=0 Haõy vieát phöông trình ñöôøng thaúng chöùa ñöôøng cao haï töø A vaø xaùc ñònh toaï ñoä caùc ñænh B,C. (ĐHSP HN 2000) Bài tập 1.6: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(1;0) và 2 đường thẳng lần lượt chứa các đường cao vẽ từ B và C có phương trình : x − 2 y + 1 = 0 và 3 x + y − 1 = 0 . Tính diện tích tam giác ABC. Dạng 2: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh còn lại. Cách giải: Cách 1. * Kiểm tra A không thuộc (d1), (d2).(nếu giả thiết chưa cho cụ thể) * Tìm toạ độ trọng tâm. * Tìm toạ độ B, C. * Viết phương trình các cạnh. Cách 2. * Kiểm tra A không thuộc (d1), (d2).(nếu giả thiết chưa cho cụ thể) * Tìm toạ độ trọng tâm G. * Tìm toạ độ A0 là điểm đối xứng với A qua G. * Viết phương trình đường thẳng (d3) qua A0 và song song với (d1), Viết phương trình đường thẳng (d4) qua A0 và song song với (d2). * Tìm B, C. * Viết phương trình các cạnh của tam giác. Bài tập 2.1: Cho ∆ABC biết A(1;3) và phương trình 2 đường trung tuyến BM: x − 2 y + 1 = 0 , CN: y − 1 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác. Giải: Gọi G là trọng tâm G = BM ∩ CN ⇔ Tọa độ G là nghiệm của hệ: x − 2 y + 1 = 0 ⇒ G (1;1) . A  y − 1 = 0  2 N M Gọi I là trung điểm của BC thì AG = AI ⇒ I (1;0) 3  x = 2t − 1 B C ⇒ B(2t − 1; t ) BM: x − 2 y + 1 = 0 ⇒  y = t  x = t ' ⇒ C (t ' ;1) CN: y − 1 = 0 ⇒   y =1 7 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy  2t − 1 + t ' =1  t = −1 ⇒ B (−3;−1) 2 ⇔ Vì I là trung điểm của BC nên:  t + 1  t ' = 5 ⇒ C (5;1)  =0  2 x −1 y −3 = ⇔ x− y+2=0 Phương trình AB: − 3 −1 −1 − 3 x −1 y − 3 = ⇔ x + 2y − 7 = 0 Phương trình AC: 5 −1 1− 3 x + 3 y +1 = ⇔ x − 4 y −1 = 0 . Phương trình BC: 5 + 3 1+1 Bài tập tương tự: Bài tập 2.2: Vieát phöông trình caùc caïnh cuûa moät tam giaùc bieát ñænh A(4,3) ,hai trung tuyeán coù phöông trình x+y -5= 0 ,2x-y -1 =0. Bài tập 2.3: Cho ∆ABC biết A(1;1) các trung tuyến hạ từ B và C lần lượt có phương trình : 2 x − y + 8 = 0 , CN: 2 x + 3 y − 6 = 0 . a. Viết phương trình trung tuyến xuất phát từ A. b. Xác định tọa độ B, C.. Bài tập 2.4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; −1) và phương trình hai đường trung tuyến BB1 : 8x − y − 3 = 0,CC1 :14x − 13y − 9 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác. Dạng 3: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh và 2 phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh còn lại. Cách giải: Cách giải. * Tìm toạ độ các điểm A1,A2 lần lượt đối xứng với A qua (d1), (d2). * Viết phương trình A1A2 và tìm toạ độ của B, C. * Viết phương trình AB, AC. Bài tập 3.1: Cho ∆ABC biết A(2;-1) và phương trình 2 đường phân giác trong của góc B: x − 2 y + 1 = 0 , góc C: x + y + 3 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác. Gọi A1 , A2 lần lượt đối xứng với A qua CN và BM AA1 ⊥ CN : phương trình dạng x − y + c = 0 AA1 qua A(2;-1) nên ⇒ c = −3 : AA1: x − y − 3 = 0 x − y − 3 = 0  x = 0 I = AA1 ∩ CN ⇒  ⇒ ⇒ I (0;−3) x + y + 3 = 0 y = − 3   A N B ⇒ A ( − 2;−5)A1 1 A1 đối xứng với A qua CN nên I là trung điểm của AA1 AA2 ⊥ BM : phương trình dạng 2 x + y + m = 0 AA2 qua A(2;-1) nên ⇒ m = −3 : AA2: 2 x + y − 3 = 0 I M K C A2 8 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy 2 x + y − 3 = 0  x = 1 K = AA2 ∩ BM ⇒  ⇒ ⇒ K (1;1)  x − 2 y +1 = 0 y = 1 A2 đối xứng với A qua BM nên K là trung điểm của AA2 ⇒ A2 (0;3) . x+2 y+5 = ⇔ 4x − y + 3 = 0 . Đường thẳng BC qua A1A2 nên phương trình dạng: 0+ 2 3+5 4 x − y + 3 = 0  x = − 5 7 5 1 ⇒ ⇒ B (− ; ) B = BC ∩ BM ⇒  7 7  x − 2 y +1 = 0  y = 1 7 19 8 1 Đường thẳng AB có VTCP AB = (− ; ) = (−19;8) ⇒ VTPT n AB = (8;19) 7 7 7 Phương trình dạng: 8( x − 2) + 19( y + 1) = 0 ⇔ 8 x + 19 y + 3 = 0 4 x − y + 3 = 0  x = − 6 5 6 9 ⇒ ⇒ C ( − ;− ) C = BC ∩ CN ⇒  5 5  x+ y+3= 0 y = − 9 5 16 − 4 − 4 (4;1) ⇒ VTPT n AC = (1;−4) Đường thẳng AC có VTCP AC = (− ; ) = 5 5 5 Phương trình dạng: 1( x − 2) − 4( y + 1) = 0 ⇔ x − 4 y − 6 = 0 . Bài tập tương tự: Bài tập 3.2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(4; −1) và phương trình hai đường phân giác BB2 : x − 1 = 0,CC2 : x − y − 1 = 0 . a. Tính tọa độ các điểm B, C. b. Viết phương trình các cạnh của tam giác. Loại 2:Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một đỉnh và phương trình của 2 đường có tính chất khác nhau. Dạng 4: Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh B và 1 đường cao AH và 1 phân giác trong góc C. Cách giải: * Lập phương trình BC.. C * Tìm C giao của BC và phân giác. * Tìm B’ đối xứng với B qua phân giác góc C. * Lập phương trình AC qua B’ và C. * Tìm A giao của AC và AH. H * Lập phương trình AB. B’ I B D D A 9 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy Bài tập 4.1: Cho ∆ABC biết B(2;-1) và đường cao AH 3 x − 4 y + 27 = 0 và phân giác trong CD: x + 2 y − 5 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác. Giải: Vì BC ⊥ AH nên phương trình BC có dạng: 4 x + 3 y + c = 0 BC qua B(2;-1) nên c = −5 . Phương trình BC: 4 x + 3 y − 5 = 0 .  4 x + 3 y − 5 = 0  x = −1 ⇒ ⇒ C ( −1;3) C = BC ∩ CD nên tọa độ C là nghiệm của hệ:  x + 2 y − 5 = 0 y = 3   Gọi B’ đối xứng với B qua CD nên BB' ⊥ CD . Phương trình BB’ có dạng: 2 x − y + m = 0 BB’ qua B(2;-1) nên m = −5 . Phương trình BB’ dạng: 2 x − y − 5 = 0 . 2 x − y − 5 = 0  x = 3 ⇒ ⇒ I (3;1) I = BB'∩CD nên tọa độ I là nghiệm của hệ:  x + 2 y − 5 = 0 y = 1   B ' ( 4 ; 3 ) I là trung điểm của BB’ nên Đường thẳng AC qua C và B’ có VPCP CB '(5;0) ⇒ VTPT n AC (0;5) . Phương trình AC dạng: 0( x + 1) + 5( y − 3) = 0 ⇔ y − 3 = 0 .  y −3= 0  x = −5 ⇒ ⇒ A( −5;3) A = AC ∩ AH nên tọa độ A là nghiệm của hệ:  3 x − 4 y + 27 = 0 y = 3   x +5 y −3 = ⇔ 4x + 7 y −1 = 0 Phương trình AB dạng: 2 + 5 −1− 3 Bài tập tương tự: Bài tập 4.2 (ĐH KTHN 98) Cho tam giác ABC có đỉnh A(−1;3) , đường cao BH nằm trên đường thẳng y = x , phân giác trong góc C nằm trên đường thẳng x + 3 y + 2 = 0 . Viết phương trình cạnh BC. Bài tập 4.3: Cho tam giác ABC có B(1;5) và phương trình đường cao AH: x + 2 y − 2 = 0 , đường phân giác CD: x − y − 1 = 0 . Tìm tọa độ các điểm A, C. Dạng 5:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 đường cao và trung tuyến xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau. Cách giải: * Kiểm tra điểm A không thuộc 2 đường đã cho. * Lập phương trình cạnh AC ( vuông góc với đường cao) * Tìm tọa độ C. * B thuộc BH ( tham số hóa B) tìm trung điểm M của AB theo tham số. * Vì M thuộc CM nên tìm được tham số đó. Tìm được B. * Lập phương trình AB,BC. Bài tập 5.1: Cho ∆ABC biết A(2;-7) và đường cao BH 3 x + y + 11 = 0 và trung tuyến CM : x + 2 y + 7 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác. A Giải: H Vì AC ⊥ BH : 3x + y + 11 = 0 và AC qua A nên M C B 10 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy phương trình AC dạng: 1( x − 2) − 3( y + 7) = 0 ⇔ x − 3 y − 23 = 0 C = AC ∩ CM nên tọa độ C là nghiệm của hệ:  x − 3 y − 23 = 0 ⇒ C (5;−6)   x + 2y + 7 = 0  x=t BH : 3x + y + 11 = 0 ⇔  t∈R  y = −3t − 11 B ∈ BH ⇒ B (t ;−3t − 11) . t + 2 − 3t − 18 ; ) Trung điểm M của AB: M ( 2 2 t + 2  − 3t − 18  M ∈ CM ⇒ + 2  + 7 = 0 ⇒ t = −4 ⇒ B( −4;1) 2 2   x+4 y −1 = ⇔ 4 x + 3 y + 13 = 0 . Phương trình đường thẳng AB: 2 + 4 − 7 −1 x+4 y −1 = ⇔ 7 x + 9 y + 19 = 0 . Phương trình đường thẳng BC: 5 + 4 − 6 −1 Bài tập tương tự Bài tập 5.2: Cho tam giaùc ABC coù B(-4;0) , ñöôøng cao kẻ từ A: − 4 x + 3 y + 2 = 0 vaø ñöôøng trung tuyeán keû töø ñænh C coù phöông trình : 4 x + y + 3 = 0 . a. Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC. b. Tính diện tích tam giác. Bài tập 5.3: Cho tam giác ABC có đỉnh A(2;1) đường cao qua B: x − 3 y − 7 = 0 và trung tuyến qua C: x + y + 1 = 0 . Xác định tọa độ B và C của tam giác. Bài tập 5.4: Cho tam giác ABC có đỉnh A(13) đường cao qua B: y − 1 = 0 và trung tuyến qua C: x − 2 y + 1 = 0 . Lập phương trình các cạnh của tam giác. Bài tập 5.4: Cho tam giaùc ABC coù C(4;-1) , ñöôøng cao vaø ñöôøng trung tuyeán keû töø ñænh A coù phöông trình töông öùng laø : (d1) : 2x-3y +12=0 , (d2) : 2x+3y =0 Laäp phöông trình caùc caïnh cuûa tam giaùc ABC. Dạng 6:Viết phương trình các cạnh của tam giác khi biết 1 đỉnh, 1 trung tuyến và 1 phân giác trong xuất phát từ 2 đỉnh khác nhau. Cách giải: * Kiểm tra điểm A không thuộc 2 đường đã cho. * Tìm K đối xứng với A qua phân giác. * C thuộc CK (tham số hóa C), tìm trung điểm M của AC theo tham số * Vì M thuộc BM nên tìm được tham số đó. Tìm được C. * Lập phương trìnhAC, BC. 11 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy * Tìm B lập phương trình AB. Bài tập 6.1:Cho ∆ABC biết A(1;2), đường trung tuyến BM : 2 x + y + 1 = 0 và phân giác trong CD: x + y − 1 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác. Giải: Điểm C ∈ CD : x + y − 1 = 0 ⇒ C (t ;1 − t ) A t +1 3 − t ; ) Trung điểm M của AC: M ( 2 2 D M I t +1 3 − t M ∈ BM ⇒ 2. + + 1 = 0 ⇒ t = −7 ⇒ C (−7;8) 2 2 B Lấy K đối xứng với A qua CD nên AK ⊥ CD K mà AK qua A ⇒ phương trình AK: 1( x − 1) − 1( y − 2) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0 x − y + 1 = 0 ⇒ I (0;1) I = AK ∩ CD nên:  x + y − 1 = 0 I là trung điểm của AK nên K(-1;0). x +1 y = ⇔ 4x + 3y + 4 = 0 Đường thẳng BC qua K, C dạng: − 7 +1 8 x −1 y − 2 = ⇔ 3x + 4 y − 11 = 0 Đường thẳng AC: − 7 −1 8 − 2  2x + y +1 = 0 1 ⇒ B( ;−2) B = BM ∩ BC nên:  2 4 x + 3 y + 4 = 0 x −1 y−2 = ⇔ 8x − y − 6 = 0 Đường thẳng AB: 1 2 −1 − 2 − 2 Bài tập tương tự: Bài tập 6.2: Cho tam giác ABC có A(4;-1) và phương trình trung tuyến BB 1: 8 x − y − 3 = 0 , phân giác trong CC1: x − y − 1 = 0 . Viết phương trình các cạnh của tam giác. Bài tập 6.3: Cho ∆ABC biết C(4;3), Phân giác trong và đường trung tuyến kẻ từ một đỉnh của tam giác có phương trình: x + 2 y − 5 = 0 , 4 x + 13 y − 10 = 0 .Viết phương trình các cạnh của tam giác. Loại 3 Xác định các yếu tố của tam giác khi biết trước tọa độ một số điểm đặc biệt nào đó của tam giác. Dạng 7: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và tọa độ trọng tâm. Cách giải: 12 C Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy * Tìm được 1 đỉnh của tam giác A * Tham số hóa đỉnh B và C. * G là trọng tâm nên tìm được B và C * Viết phương trình BC. A G C B M Bài tập 7.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trọng tâm G (4;3) và AB : 4 x + y + 15 = 0 , AC : 2 x + 5 y + 3 = 0 . Giải: 4 x + y + 15 = 0 ⇒ A(−4;1) A = AB ∩ AC nên tọa độ A là nghiệm của hệ:  2 x + 5 y + 3 = 0   x=t B ∈ AB : 4 x + y + 15 = 0 ⇒  ⇒ B(t ;−4t − 15) y = − 4 t − 15   x = −4 + 5t ' C ∈ AC : 2 x + 5 y + 3 = 0 ⇒  ⇒ C (−4 + 5t ' ;1 − 2t ' )  y = 1 − 2t ' Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên: x A + xB + xC 25   t + 5t '−8  =4 t=−  xG =   3 3 3 ⇔ ⇒  y + y B + yC − 4t − 2t '−13 17  yG = A  = 3  t' = 3 3 3    25 55 73 31 98 86 2 ⇒ B(− ; ), C ( ;− ) ⇒ BC ( ;− ) = (49;−43) ⇒ VTPT nBC ( 43;49) 3 3 3 3 3 3 3 Đường thẳng BC qua M(8;4) và có VTPT nBC ( 43;49) : Phương trình dạng: 43( x − 8) + 49( y − 4) = 0 ⇔ 43 x + 49 y − 540 = 0 Bài tập tương tự Bài tập 7.2: Cho tam giác ABC biết trọng tâm G ( −2;−1) và AB : 4 x + y + 15 = 0 , AC : 2 x + 5 y + 3 = 0 . a. Tìm tọa độ A và trung điểm M của BC b. Tìm B và viết phương trình BC Bài tập 7.3: Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm G (−2;0) . Biết phương trình các cạnh AB, AC theo thứ tự : 4 x + y + 14 = 0 , 2 x + 5 y − 2 = 0 . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác. Dạng 8: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khiAbiết 2 cạnh và tọa độ trực tâm. Cách giải: A H * Viết phương trình đường thẳng BH, tìm B B C 13 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy * Viết phương trình đường thẳng CH, tìm C. * Viết phương trình BC. Bài tập 8.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trực tâm H (1;1) và AB : 5 x − 2 y + 6 = 0 , AC : 4 x + 7 y − 21 = 0 . Giải: Đường thẳng BH ⊥ AC nên phương trình BH: 7 x − 4 y + c = 0 BH qua H(1;1) ⇒ c = −3 . Phương trình BH dạng: 7 x − 4 y − 3 = 0 5 x − 2 y + 6 = 0 19 ⇒ B( −5;− ) B = AB ∩ BH nên tọa độ B là nghiệm của hệ :  2 7 x − 4 y − 3 = 0 Đường thẳng CH ⊥ AB nên phương trình CH: 2 x + 5 y + m = 0 CH qua H(1;1) ⇒ c = −7 . Phương trình CH dạng: 2 x + 5 y − 7 = 0 4 x + 7 y − 21 = 0 28 7 ⇒ C ( ;− ) C = AC ∩ CH nên tọa độ C là nghiệm của hệ :  3 3  2x + 5 y − 7 = 0 43 43 43 ⇒ BC ( ; ) = (2;1) ⇒ VTPT nBC (1;−2) 3 6 6 19 Đường thẳng BC qua B (−5;− ) và có VTPT nBC (1;−2) nên phương trình dạng: 2 19 1( x + 5) − 2( y + ) = 0 ⇔ x − 2 y − 14 = 0 . 2 Bài tập tương tự: Bài tập 8.2: Cho phương trình hai cạnh của tam giác ABC là : x + 3 y − 4 = 0 , 3 x + 4 y − 10 = 0 và tọa độ trực tâm H(3;-1). Viết phương trình đường thẳng cạnh còn lại. Dạng 9: Tìm phương trình đường thẳng cạnh còn lại của tam giác khi biết 2 cạnh và tọa độ trung điểm cạnh còn lại Cách giải: * B thuộc AB ( tham số hóa B) * C thuộc AC ( tham số hóa C) * M là trung điểm của BC * Viết phương trình BC. Bài tập 9.1: Lập phương trình cạnh BC của tam giác ABC biết trung điểm của BC là M (−2;2) và AB : x − 2 y − 2 = 0 , AC : 3 x + y − 4 = 0 . Giải: B ∈ AB : x − 2 y − 2 = 0 nên B (2b + 2; b) C ∈ AC : 3x + y − 4 = 0 nên C (c;4 − 3c) 14 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy 2b + 2 + c  x = M  2 Vì M là trung điểm của BC nên  b + 4 − 3c  yM =  2 18   2b + 2 + c b=− = −2 2 b + c = − 6    7 ⇔ ⇔ Theo bài ra M (−2;2) nên:  b + 24 − 3c 6  b − 3c = 0  c =− =2  2 7  22 18 8 32 8 ⇒ B (− ;− ) ⇒ BM ( ; ) = (1;4) ⇒ VTPT nBC (4;−1) 7 7 7 7 7 Đường thẳng BC qua M(-2;2) và có VTPT nBC (4;−1) có phương trình : 4( x + 2) − 1( y − 2) = 0 ⇔ 4 x − y + 10 = 0 Dạng 10: Cho biết tọa độ 2 điểm của tam giác. Tìm tọa độ đỉnh còn lại thuộc 1 đường thẳng sao cho thỏa mãn điều kiện cho trước. Cách giải: * Tham số hóa tọa độ đỉnh đã cho. * Cho thỏa mãn điều kiện đầu bài. Bài tập 10.1: Cho tam giác ABC biết A(-1;3), B(1;1) và ∆ : 2 x − y = 0 a. Tìm C thuộc ∆ sao cho tam giác ABC cân ở C. b. Tìm C thuộc ∆ sao cho tam giác ABC vuông ở A. Giải: a/ C ∈ ∆ : 2 x − y = 0 ⇒ C (t ;2t ) , ⇒ AC = (t + 1) 2 + (2t − 3) 2 ⇒ BC = (t − 1) 2 + (2t − 1) 2 Để ∆ABC cân ở C ⇔ AC 2 = BC 2 ⇔ (t + 1) 2 + (2t − 3) 2 = (t − 1) 2 + ( 2t − 1) 2 ⇔ t = 2 ⇒ C ( 2;4) . b/ C ∈ ∆ : 2 x − y = 0 ⇒ C (t ;2t ) . Ta có : AB = ( 2;−2); AC (t + 1;2t − 3) Để ∆ABC vuông ở A ⇔ AB. AC = 0 ⇔ 2(t + 1) − 2(2t − 3) = 0 ⇔ −t + 4 = 0 ⇔ t = 4 ⇒ C ( 4;8) Bài tập tương tự Bài tập 10.2: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1 : x + y − 2 = 0 và d 2 : x + y − 8 = 0 . Tìm tọa độ B, C lần lượt thuộc d1 , d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. Dạng 11: Cho 1 đỉnh của tam giác, 2 đỉnh còn lại thuộc 2 đường thẳng khác. Tìm 2 đỉnh (đường thẳng) thỏa mãn điều kiện cho trước. Cách giải: * Tham số hóa tọa độ 2 đỉnh thuộc 2 đường thẳng. 15 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy * Cho 2 điểm thỏa mãn điều kiện đầu bài. ( hoặc sử dụng phương pháp khác tùy vào bài toán) Bài tập 11.1:Cho d1 : 2 x − 3 y + 1 = 0 ; d 2 : 4 x + y − 5 = 0 và điểm A là giao của d1, d2. Tìm B ∈ d1 và C ∈ d 2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(3;5) Giải:  x = 1 + 3b B ∈ d1 : 2 x − 3 y + 1 = 0 ⇔  (b ∈ R ) ⇒ B(1 + 3b;1 + 2b)  y = 1 + 2b C ∈ d 2 : 4 x + y − 5 = 0 ⇒ C (c;5 − 4c) 2 x − 3 y + 1 = 0 x = 1 A = d1 ∩ d 2 ⇔  ⇔ ⇒ A(1;1)  4x + y − 5 = 0 y =1 x A + xB + xC   3b + c + 2 x = =3 G   3 3 ⇔ Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:  y + y B + yC 2b − 4c + 7  yG = A  =5 3 3   18 61 43  b = ⇒ B ( ; )  7 7 7  5 5 55 c = − ⇒ C (− ; ) 7 7 7  Bài tập 11.2: Trên mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(2;−2) . Viết phương trình đường thẳng d qua M (3;1) cắt trục Ox, Oy tại B và C sao cho ∆ABC cân tại A. Giải: Gọi B (a;0) = d ∩ Ox, C (0; b) = d ∩ Oy . Phương trình đường thẳng d dạng đoạn chắn: x y + = 1, bc ≠ 0 a b 3 1 M ∈ d ⇒ + = 1 (*) . a b ∆ABC cân tại A ⇔ AB 2 = AC 2 ⇔ (a − 2) 2 + 4 = 4 + (b + 2) 2  a−2=b+2 a = b + 4 ⇔ ⇔  a − 2 = −b − 2  a = −b x y  d : 1 b = 2 , a = 6  6 + 2 = 1 ⇔ x + 3y − 6 = 0  2 ⇒ Với a = b + 4 thay vào (*) ⇔ b = 4 ⇔  x y b = − 2 , a = 2   d2 : − = 1 ⇔ x − y − 2 = 0  2 2 Với a = −b thay vào (*) ⇔ b = −2 ⇒ a = 2 (loại) Vì trùng với d 2 . Bài tập tương tự Bài tập 11.2: Cho d1 : x + y + 5 = 0 ; d 2 : x + 2 y − 7 = 0 và điểm A(2;3). Tìm B ∈ d1 và C ∈ d 2 sao cho tam giác ABC có trọng tâm G(2;0). 16 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy Phần 3. BÀI TẬP TỔNG HỢP. Bài tập 1:Trong mặt phẳng Oxy cho 2 điểm A(0;2) và B (− 3;−1) . Tìm tọa độ trực tâm và tâm đường tròn ngoại tiếp của tam giác OAB. (ĐH-A2004) Giải: Cách 1: (Viết phương trình 2 trong 3 đường cao và tìm giao điểm) + Đường thẳng qua O(0;0) và vuông góc với AB có VTPT BA( 3;3) có phương trình: 3x + 3 y = 0 Đường thẳng qua B (− 3;−1) và vuông góc với OA có VTPT OA(0;2) có phương trình: y = −1 .  3x + 3 y = 0 ⇒ H ( 3;−1) . Trực tâm H là nghiệm của hệ:  y = − 1  + (Viết phương trình 2 trong 3 đường trung trực và tìm giao điểm) Đường trung trực cạnh OA có phương trình y = 1 , Đường trung trực cạnh OB có phương trình 3x + y + 2 = 0 . Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB nghiệm của hệ:  3x + 3 y + 2 = 0 ⇒ I (− 3;1) .  y = 1  Cách 2: + Gọi trực tâm H ( x; y ) của tam giác ABO thì:  AH .OB = 0  3x + y − 2 = 0 x = 3 ⇔ ⇔ ⇒ H ( 3;−1)  y + 1 = 0 y = − 1 BH . OA = 0    + Gọi I (a; b) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB thì IA = IB = IO hay IA2 = IB 2 = IO 2 a = − 3  a 2 + b 2 = a 2 + (b − 2) 2  − 4a + 4 = 0 ⇔ 2 ⇔ ⇔ ⇒ I (− 3;1)   2 2 2 2 3 a + 6 = 0 a + b = ( a + 3 ) + ( b + 1 ) b = 1    Bài tập 2:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có AB=AC và góc BAC=90 0 biết 2 M (1;−1) là trung điểm cạnh BC và G ( ;0) trọng tâm của tam giác. Tìm tọa độ đỉnh A, B, 3 C.(ĐH-B2003) Giải: Vì G là trọng tâm ∆ABC và M là trung điểm BC nên: C MA = 3MG = (−1;3) ⇒ A(0;2) Phương trình BC qua M(1;-1) và vuông góc với MA = (−1;3) là − 1( x − 1) + 3( y + 1) = 0 M G A B 17 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy − x + 3y + 4 = 0 Mà ∆ABC vuông cân tại A nên MA = MB = MC = 10 ⇒ tọa độ B, C thỏa mãn phương trình đường tròn : ( x − 1) 2 + ( y + 1) 2 = 10 .  − x + 3y + 4 = 0  y =0⇒ x =4 ⇔ Tọa độ B, C là nghiệm của hệ sau:  2 2  y = −2 ⇒ x = −2  ( x − 1) + ( y + 1) = 10 Vậy tọa độ B, C là (4;0), (−2;−2) . Bài tập 3: Lập phương trình các cạnh của tam giác biết đỉnh A(2;1) trực tâm H(-6;-3) và trung điểm cạnh BC là D(2;2). Giải: Đường thẳng BC qua D(2;2) và có VTPT HA(8;4) = 4(2;1) . Phương trình BC dạng: 2( x − 2) + 1( y − 2) = 0 ⇔ 2 x + y − 6 = 0 . Giả sử B(x;y) thì C(4-x;4-y) (Do D(2;2) là trung điểm của BC.) AB ( x − 2; y − 1), CH ( x − 10; y − 7) . Vì AB ⊥ CH nên AB.CH = 0 5 x 2 − 20 x + 15 = 0 ( x − 2)( x − 10) + ( y − 1)( y − 7) = 0  x = 1, y = 4 ⇔ ⇔ ⇔ 2x + y − 6 = 0 y = 6 − 2x   x = 3, y = 0  B(1;4) ⇒ C (3;0) hoặc B(3;0) ⇒ C (1;4) nên phương trình AC và AB dạng: 3 x + y − 7 = 0; x + y − 3 = 0 3 Bài tập 4:Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có diện tích S = , hai đỉnh 2 A(3;−2), B (2;−3) . Trọng tâm tam giác nằm trên đường thẳng 3 x − y − 8 = 0 . Tìm tọa độ đỉnh C. Giải: C Vì G ∈ đường thẳng : 3 x − y − 8 = 0 nên G (t ;3t − 8) Phương trình đường thẳng AB: x − y − 5 = 0 và AB = 2 G 2S 3 ⇒ chiều cao h = = B AB 2 A 1 Khoảng cách từ G tới AB bằng h . 3 t − 3t + 8 − 5 1 3 = Theo công thức khoảng cách ta có d (G; AB ) = . 3 2 2  2t − 3 = 1 t = 2 ⇒ G1 (2;−2) ⇔ 2t − 3 = 1 ⇔  ⇔ . t = 1 ⇒ G ( 1 ; − 5 ) 2 t − 3 = − 1  2   x = 3.2 − 3 − 2  xc = 3xG − x A − xB  x =1 ⇒ c ⇒ c ⇒ C (1;−1) Với G1 (2;−2) thì ⇒  y = 3 y − y − y y = 3 .( − 2 ) + 2 + 3 y = − 1  c G A B  c  c 18 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy Với G1 (1;−5) thì  x = 3.1 − 3 − 2  x = 3xG − x A − xB  x = −2 ⇒ c ⇒ c ⇒ c ⇒ C (−2;−10) y = 3 .( − 5 ) + 2 + 3 y = − 10  y c = 3 yG − y A − y B c  c  Vậy có 2 điểm C thỏa mãn: C (1;−1), C (−2;−10) . Bài tập 5: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A(2;2) và các đường thẳng d1 : x + y − 2 = 0 và d 2 : x + y − 8 = 0 . Tìm tọa độ B, C lần lượt thuộc d1 , d 2 sao cho tam giác ABC vuông cân tại A. (ĐH- B2007). Giải: Vì B ∈ d1 , C ∈ d 2 nên B (b;2 − b), C (c;8 − c)  AB. AC = 0  (b − 2)(c − 2) + (−b)(6 − c) = 0 ⇔ Để ∆ABC vuông cân ở A thì  2 2 2 2 (b − 2) + b = (c − 2) + (6 − c)  AB = AC  bc − 4b − c + 2 = 0  (b − 1)(c − 4) = 2 ⇔ 2 ⇔  2 2 2 b − 2b = c − 8c + 18 (b − 1) − (c − 4) = 3 Đặt b − 1 = x; c − 4 = y ta được:  x = −2, y = 1 b = −1, c = 3  xy = 2 ⇔ ⇔  2  2 x − y = 3  b = 3, c = 5  x = 2, y = 1 Vậy B(-1;3), C(3;5) hoặc B(3;-1), C(5;3). Bài tập 6: Trong mặt phẳng Oxy xác định tọa dộ đỉnh C của tam giác ABC biết hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng AB là điểm H(-1,-1), đường phân giác trong của góc A có phương trình : x − y + 2 = 0 và đường cao kẻ từ B có phương trình 4 x + 3 y − 1 = 0 . (ĐH – B2008) Giải: Gọi d1 : x − y + 2 = 0 d2 : 4 x + 3 y − 1 = 0 Vì d1 là phân giác trong của góc A nên đường thẳng l qua H và vuông góc với d1 cắt AC tại điểm H’ đối xứng với H qua d1. Gọi I là giao điểm của l và d1, I là trung điểm của HH’. Phương trình đường thẳng l : y + 1 = −( x + 1) Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ :  x− y+2=0 ⇔ I (−2;0)  y + 1 = − ( x + 1 )  a − 1 = 2 x1 = −4 ' Gọi tọa độ của H’(a;b) thì  ⇒ H ( −3;1) b − 1 = 2 y1 = 0  19 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy Đường thẳng AC qua H’(-3;1) và ⊥ d2: 4 x + 3 y − 1 = 0 nên AC có hệ số góc bằng k = 3 4 3 3 13 nên có phương trình là: y − 1 = ( x + 3) ⇔ y = x + 4 4 4  x − y + 2 = 0 ⇔ A(5;7) 1 suy ra tọa độ của điểm A:  y = ( 3 x + 13 )  4 CH qua H(-1;-1) có VPPT là HA(6;8) = 2.(3;4) . Phương trình CH dạng: 3( x + 1) + 4( y + 1) = 0 ⇔ 3x + 4 y + 7 = 0 3 x − 4 y + 13 = 0 10 3 ⇒ C (− ; ) C = AC ∩ CH nên tọa độ C là nghiệm của hệ:  3 4  3x + 4 y + 7 = 0 Bài tập 7: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC cân tại A và có đỉnh A(−1;4) và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng ∆ : x − y − 4 = 0 . Xác định tọa độc các điểm B và C, biết diện tích tam giác ABC bằng 18 (ĐH-B2009) Giải : Gọi đường cao là AH A −1− 4 − 4 9 = Ta được: AH = d ( A, ∆) = 2 2 2S ∆ABC 36 2 = =4 2 BC = AH 9 ∆ 2 B H C BC 97 AB= AC= AH 2 + = 4 2 Hai điểm B(x; y), C(x; y) cùng thỏa mãn hệ sau: 97  11 3 3 5 ( x + 1) 2 + ( y − 4) 2 =  2 ⇔ ... ⇔ ( x; y ) = ( ; ) hoặc (x; y)= ( ;− ) 2 2 2 2  x− y−4=0 11 3 3 5 3 5 11 3 Vậy B ( ; ), C ( ;− ) hoặc B ( ;− ), C ( ; ) . 2 2 2 2 2 2 2 2 Bài tập 8: Xác định tọa độ đỉnh B của tam giác ABC, biết C ( 4;3) , ác đường phân giác trong và trung tuyến kẻ từ đỉnh A lần lượt có phương trình x + 2 y − 5 = 0 , 4 x + 13 y − 10 = 0 . Giải: A Gọi C’ đối xứng với C qua phân giác AD: x + 2 y − 5 = 0 Khi đó C '∈ AB H = AD ∩ CC ' thì H (5 − 2t ; t ) ⇒ CH (1 − 2t ; t − 3) C’ H VTCP của AD là u AD = ( 2;−1) C B D M 20 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy Vì AD ⊥ CH ⇒ CH .u AD = 0 ⇔ 2(1 − 2t ) − 1(t − 3) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ H (3;1) .  xC ' = 2 x H − xC  x =2 ⇔  C' ⇒ C ' ( 2;−1). H là trung điểm của CC’ nên  y = 2 y − y y = − 1 H C  C'  C' A = AD ∩ AM (AM là trung tuyến từ A, M trung điểm BC) nên tọa độ A là nghiệm của  x + 2y − 5 = 0  x=9 ⇔ ⇒ A(9;−2) . hệ:  4 x + 3 y − 10 = 0  y = −2 x−9 y +2 = ⇔ x + 7y + 5 = 0 Phương trình AB qua A(9;-2) và C’(2;-1) nên: 2 − 9 −1+ 2 B ∈ AB : x + 7 y + 5 = 0 ⇒ B (−7b − 5; b) − 13m + 10 M ∈ AM : 4 x + 13 y − 10 = 0 ⇒ M ( ; m) 4 M là trung điểm của BC nên: − 13m + 10  − 14b + 13m = 12  b =1 − 7b − 5 + 4 = 2. ⇔ ⇔  4  b − 2m = −3 m = 2  b + 3 = 2m Vậy: B (−12;1) . Bài tập 9: Cho tam giác ABC có cả 3 góc nhọn. Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AC của tam giác, biết tọa độ chân đường cao hạ từ A, B, C tương ứng là: A1 (−1;−2) , B1 (2;2) , C1 (−1;2) A Giải: Gọi H là trực tâm tam giác ABC thì: B1 Từ tính chất của tứ giác nội tiếp, ta chứng minh được C1 H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác A1B1C1. H Đường thẳng A1B1 có phương trình : 4 x − 3 y − 2 = 0 B Đường thẳng B1C1 có phương trình : y − 2 = 0 A1 Khi đó phương trình cặp đường phân giác góc A1B1C1:  x − 2 y + 2 = 0 ( ∆1 ) 4x − 3y − 2 = ±( y − 2) ⇔  5 2 x + y − 6 = 0 ( ∆ 2 ) − 1 − 2(−2) + 2 = 5 > 0 Thay tọa độ của A1, C1 vào phương trình của (∆1 ) ta được:   − 1 − 2.2 + 2 = −3 < 0 ⇒ A1 ,C1 nằm về 2 phía khác nhau của (∆1 ) ⇒ (∆1 ) là phân giác trong của góc A1B1C1. Nên BB1 là đường thẳng (∆1 ) ⇒ AC là phân giác ngoài của góc A1B1C1. Vậy AC có phương trình là (∆ 2 ) : 2 x + y − 6 = 0 . ( Tương tự các đường phân giác ngoài của góc B1A1C1, A1C1B1 tương ứng là các đường thẳng BC, AB của tam giác ABC). 21 C Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy KÕt luËn - Với mục đích tự học và nâng cao trình độ, nâng cao chất lượng giảng dạy cho học sinh trong trường phổ thông, đồng thời cung cấp tài liệu tham khảo cho học sinh lớp 10. §Ò tµi t«i ®· nªu ®îc ph¬ng ph¸p chung cho mçi d¹ng còng nh minh häa b»ng c¸c bµi to¸n cô thÓ, ®ång thêi còng ®a ra cho mçi d¹ng mét sè bµi tËp t¬ng tù ®Ó vËn dông. - §Ò tµi ®· ®îc t«i ¸p dông gi¶ng d¹y trong giê häc tù chän b¸m s¸t t¹i líp 10A10, 10A12 trêng THPT Hång Th¸i vµ thu ®îc kÕt qu¶ t«i xin tr×nh bµy trang sau. - Tuy vËy, trong qu¸ tr×nh viÕt, do thêi gian vµ kinh nghiÖm gi¶ng d¹y cã h¹n nªn kh«ng tr¸nh khái nh÷ng thiÕu sãt, h¹n chÕ nhÊt ®Þnh. RÊt mong nhËn ®îc sù gãp ý cña Héi ®ång khoa häc nhµ trêng THPT Hång Th¸i – §an Phîng – Hµ Néi, Héi ®ång khoa häc Së GD & §T Hµ Néi. T«i xin ch©n thµnh c¶m ¬n. KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM 1. Kết quả thu được Đề tài đã được tôi áp dụng trong quá trình giảng dạy tự chọn bám sát lớp 10, được học sinh đồng tình và đạt được kết quả, nâng cao khả năng tìm điểm và phương trình đường thẳng trong tam giác khi biết một số yếu tố liên quan. Các em hứng thú học tập hơn, khi đã quy bài toán hình học về các yếu tố giải tích. Ở những lớp đã được giảng dạy và phân loại bài toán các em biết định hướng khi giải bài tập dạng này. Học sinh với mức học trung bình khá trở lên đã có kỹ năng giải bài tập. Học sinh biết áp dụng tăng rõ rệt. Kết quả thu được cụ thể như sau : Lớp 10A10 Sĩ số 50 Không hiểu bàikhông làm được Hiểu bài-làm được bài tập G Học lực K TB Y 22 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài 71 % 29 % 5% 29% 53% 13% 24 % 76 % 10% 55% 28% 7% Lớp 10A12 Sĩ số 46 Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài Không hiểu bàikhông làm được 74 % Hiểu bài-làm được bài tập 26 % G 4% Học lực K TB 20% 58% Y 18% 28 % 72 % 8% 53% 9% 30% Như vậy sau khi chuyên đề được áp dụng tôi thấy các phương pháp có hiệu quả tương đối. Theo tôi khi dạy phần tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy giáo viên cần đưa thêm các bài toán dạng tương tự để học sinh vận dụng và nắm được bài tốt hơn. 2. Bài học kinh nghiệm Qua việc nghiên cứu và tiến hành dạy thử nghiệm chuyên đề, đồng thời tôi có lấy ý kiến của học sinh cho thấy: a. Đối với giáo viên − Sau nghiên cứu và viết sáng kiến xong tôi đã nắm rõ về phương pháp tìm các yếu tố của tam giác khi biết các yếu tố đặc biệt. − Nắm chắc cơ sở lý luận về phương pháp dạy học sinh “tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy” b. Đối với học sinh − Học sinh hiểu rõ, có phương pháp và kĩ năng giải bài tập − Rèn luyện khả năng phân tích, tìm tòi lời giải, nghiên cứu khai thác lời giải một bài toán. Như vậy, giáo viên không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến thức của sách giáo khoa mà cần chú ý phân loại các dạng toán, khái quát được cách giải cho mỗi dạng tạo hứng thú học tập cho học sinh. 23 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy Môc lôc Lêi më ®Çu...................................................................................................2 1. LÝ do chän ®Ò tµi: ........................................................................................2 2. Môc ®Ých nghiªn cøu: ..................................................................................2 3. §èi tîng nghiªn cøu:....................................................................................3 4. Giíi h¹n nghiªn cøu: ...................................................................................3 5. NhiÖm vô cña ®Ò tµi: ....................................................................................3 24 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy 6. Ph¬ng ph¸p nghªn cøu: ...............................................................................3 Néi dung .........................................................................................................4 PhÇn 1: LÝ thuyÕt vÒ ®iÓm ®êng th¼ng trong mÆt ph¼ng .................................4 1. Vec t¬ ®Æc trng ............................................................................................4 2. Ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng................................................................................4 3. VÞ trÝ t¬ng ®èi cña ®êng th¼ng.....................................................................5 4. Gãc gi÷a hai ®êng th¼ng...............................................................................5 5 Kho¶ng c¸ch vµ ph¬ng tr×nh ®êng ph©n gi¸c...............................................5 PhÇn 2: §iÓm vµ ®êng th¼ng ®Æc biÖt trong tam gi¸c.....................................6 Lo¹i 1:BiÕt täa ®é 1 ®iÓm vµ ph¬ng tr×nh 2 ®êng cïng tÝnh chÊt .............6 Lo¹i 2: BiÕt täa ®é 1 ®iÓm vµ ph¬ng tr×nh 2 ®êng kh¸c tÝnh chÊt.............9 Lo¹i 3: BiÕt täa ®é 1 sè ®iÓm vµ ®êng ®Æc biÖt.........................................12 PhÇn 3: Bµi tËp tæng hîp..................................................................................17 KÕt luËn ..........................................................................................................22 Tµi liÖu tham kh¶o 1. Ph¬ng ph¸p gi¶i to¸n h×nh häc gi¶i tÝch trong mÆt ph¼ng – Lª Hång §øc, Lª H÷u TrÝ. 2. TuyÓn tËp 750 bµi tËp to¸n h×nh häc – NguyÔn Sinh Nguyªn. 3. Bµi to¸n ThiÕt lËp ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng – NguyÔn Thanh C¶nh. 4. Giíi thiÖu ®Ò thi tuyÓn sinh vµo §H, C§ toµn quèc (2002 – 2010) – TrÇn TuÊn DiÖp – Ng« Long HËu – NguyÔn Phó Trêng. 5. C¸c tµi liÖu trªn internet: Violet, VNmath.com, ebook.here.vn. 25 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy NhËn xÐt cña héi ®ång gi¸m kh¶o cÊp trêng: ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ 26 Tìm một số yếu tố của tam giác trong mặt phẳng Oxy ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................ NhËn xÐt cña héi ®ång gi¸m kh¶o cÊp së: ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................................. 27 [...]... 2 + ( y + 1) 2 = 10 x + 3y + 4 = 0 y =0 x =4 Ta B, C l nghim ca h sau: 2 2 y = 2 x = 2 ( x 1) + ( y + 1) = 10 Vy ta B, C l (4 ;0), (2 ;2) Bi tp 3: Lp phng trỡnh cỏc cnh ca tam giỏc bit nh A(2;1) trc tõm H(-6;-3) v trung im cnh BC l D(2;2) Gii: ng thng BC qua D(2;2) v cú VTPT HA(8;4) = 4(2 ;1) Phng trỡnh BC dng: 2( x 2) + 1( y 2) = 0 2 x + y 6 = 0 Gi s B(x;y) thỡ C(4-x;4-y) (Do D(2;2)... A(-1;3), B(1;1) v : 2 x y = 0 a Tỡm C thuc sao cho tam giỏc ABC cõn C b Tỡm C thuc sao cho tam giỏc ABC vuụng A Gii: a/ C : 2 x y = 0 C (t ;2t ) , AC = (t + 1) 2 + (2 t 3) 2 BC = (t 1) 2 + (2 t 1) 2 ABC cõn C AC 2 = BC 2 (t + 1) 2 + (2 t 3) 2 = (t 1) 2 + ( 2t 1) 2 t = 2 C ( 2;4) b/ C : 2 x y = 0 C (t ;2t ) Ta cú : AB = ( 2;2); AC (t + 1;2t 3) ABC vuụng A AB AC = 0 2(t... nờn B (b;2 b), C (c;8 c) AB AC = 0 (b 2)(c 2) + (b )(6 c) = 0 ABC vuụng cõn A thỡ 2 2 2 2 (b 2) + b = (c 2) + (6 c) AB = AC bc 4b c + 2 = 0 (b 1)(c 4) = 2 2 2 2 2 b 2b = c 8c + 18 (b 1) (c 4) = 3 t b 1 = x; c 4 = y ta c: x = 2, y = 1 b = 1, c = 3 xy = 2 2 2 x y = 3 b = 3, c = 5 x = 2, y = 1 Vy B(-1;3), C(3;5) hoc B(3;-1), C(5;3) Bi tp 6: Trong mt phng Oxy xỏc nh... 2S ABC 36 2 = =4 2 BC = AH 9 2 B H C BC 97 AB= AC= AH 2 + = 4 2 Hai im B(x; y), C(x; y) cựng tha món h sau: 97 11 3 3 5 ( x + 1) 2 + ( y 4) 2 = 2 ( x; y ) = ( ; ) hoc (x; y)= ( ; ) 2 2 2 2 x y4=0 11 3 3 5 3 5 11 3 Vy B ( ; ), C ( ; ) hoc B ( ; ), C ( ; ) 2 2 2 2 2 2 2 2 Bi tp 8: Xỏc nh ta nh B ca tam giỏc ABC, bit C ( 4;3) , ỏc ng phõn giỏc trong v trung tuyn k t nh A ln lt cú phng trỡnh... D(2;2) l trung im ca BC.) AB ( x 2; y 1), CH ( x 10; y 7) Vỡ AB CH nờn AB.CH = 0 5 x 2 20 x + 15 = 0 ( x 2 )( x 10) + ( y 1 )( y 7) = 0 x = 1, y = 4 2x + y 6 = 0 y = 6 2x x = 3, y = 0 B(1;4) C (3 ;0) hoc B(3;0) C (1 ;4) nờn phng trỡnh AC v AB dng: 3 x + y 7 = 0; x + y 3 = 0 3 Bi tp 4:Trong mt phng Oxy cho tam giỏc ABC cú din tớch S = , hai nh 2 A(3;2), B (2 ;3) Trng tõm tam giỏc nm... 1 = ( x + 1 ) a 1 = 2 x1 = 4 ' Gi ta ca H(a;b) thỡ H ( 3;1) b 1 = 2 y1 = 0 19 Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy ng thng AC qua H(-3;1) v d2: 4 x + 3 y 1 = 0 nờn AC cú h s gúc bng k = 3 4 3 3 13 nờn cú phng trỡnh l: y 1 = ( x + 3) y = x + 4 4 4 x y + 2 = 0 A(5;7) 1 suy ra ta ca im A: y = ( 3 x + 13 ) 4 CH qua H(-1;-1) cú VPPT l HA(6;8) = 2 .(3 ;4) Phng trỡnh CH dng: 3( x +... 2 M (1 ;1) l trung im cnh BC v G ( ;0) trng tõm ca tam giỏc Tỡm ta nh A, B, 3 C.(H-B2003) Gii: Vỡ G l trng tõm ABC v M l trung im BC nờn: C MA = 3MG = (1 ;3) A(0;2) Phng trỡnh BC qua M(1;-1) v vuụng gúc vi MA = (1 ;3) l 1( x 1) + 3( y + 1) = 0 M G A B 17 Tỡm mt s yu t ca tam giỏc trong mt phng Oxy x + 3y + 4 = 0 M ABC vuụng cõn ti A nờn MA = MB = MC = 10 ta B, C tha món phng trỡnh ng trũn : ( x... 3 y + y B + yC 4t 2t '13 17 yG = A = 3 t' = 3 3 3 25 55 73 31 98 86 2 B( ; ), C ( ; ) BC ( ; ) = (4 9;43) VTPT nBC ( 43;49) 3 3 3 3 3 3 3 ng thng BC qua M(8;4) v cú VTPT nBC ( 43;49) : Phng trỡnh dng: 4 3( x 8) + 4 9( y 4) = 0 43 x + 49 y 540 = 0 Bi tp tng t Bi tp 7.2: Cho tam giỏc ABC bit trng tõm G ( 2;1) v AB : 4 x + y + 15 = 0 , AC : 2 x + 5 y + 3 = 0 a Tỡm ta A v trung im M ca... ng phõn giỏc gúc A1B1C1: x 2 y + 2 = 0 ( 1 ) 4x 3y 2 = ( y 2) 5 2 x + y 6 = 0 ( 2 ) 1 2(2 ) + 2 = 5 > 0 Thay ta ca A1, C1 vo phng trỡnh ca (1 ) ta c: 1 2.2 + 2 = 3 < 0 A1 ,C1 nm v 2 phớa khỏc nhau ca (1 ) (1 ) l phõn giỏc trong ca gúc A1B1C1 Nờn BB1 l ng thng (1 ) AC l phõn giỏc ngoi ca gúc A1B1C1 Vy AC cú phng trỡnh l ( 2 ) : 2 x + y 6 = 0 ( Tng t cỏc ng phõn giỏc ngoi ca gúc B1A1C1,... hợp 17 Kết luận 22 Tài liệu tham khảo 1 Phơng pháp giải toán hình học giải tích trong mặt phẳng Lê Hồng Đức, Lê Hữu Trí 2 Tuyển tập 750 bài tập toán hình học Nguyễn Sinh Nguyên 3 Bài toán Thi t lập phơng trình đờng thẳng Nguyễn Thanh Cảnh 4 Giới thi u đề thi tuyển sinh vào ĐH, CĐ toàn quốc (2 002 2010) Trần Tuấn Diệp Ngô Long Hậu Nguyễn Phú Trờng 5 Các tài liệu trên internet: ... + = Hai điểm B(x; y), C(x; y) thỏa mãn hệ sau: 97  11 3 ( x + 1) + ( y − 4) =  ⇔ ⇔ ( x; y ) = ( ; ) (x; y)= ( ;− ) 2 2  x− y−4=0 11 3 5 11 Vậy B ( ; ), C ( ;− ) B ( ;− ), C ( ; ) 2 2 2... Nếu u1 (a1 , b1 ) = k u2 ( a2 , b2 ) M ∉ ( ) ( 1 ) / /( ∆ ) - Nếu u1 (a1 , b1 ) = k u2 ( a2 , b2 ) M ∈ ( ) ( 1 ) ≡ ( ) 3.2 Dạng tổng qt: ( 1 ) : a1 x + b1 y + c1 = ( ) : a2 x + b2 y + c2 =... AC = BC ⇔ (t + 1) + (2 t − 3) = (t − 1) + ( 2t − 1) ⇔ t = ⇒ C ( 2;4) b/ C ∈ ∆ : x − y = ⇒ C (t ;2t ) Ta có : AB = ( 2;−2); AC (t + 1;2t − 3) Để ∆ABC vng A ⇔ AB AC = ⇔ 2(t + 1) − 2(2 t − 3) =