Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Bài 3 :TIỆM CẬN HÀM SỐ 3.1TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1. Đường tiệm cận đứng và đường tiệm cận ngang: • Đường thẳng y = y 0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ( ) ( ) ( ) ngang) của đồ thị hàm số y = f x nếu lim f x = y 0 hoặc lim f x = y 0 . • x →+∞ x →−∞ Đường thẳng x = x 0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm cận ( ) ( ) lim f ( x ) = −∞ hoặc lim f ( x ) = −∞ . đứng) của đồ thị hàm số y = f x nếu lim− f x = +∞ hoặc x →x 0 ( ) lim f x = +∞ hoặc x →x 0 + x →x 0 − x →x 0 + 2. Đường tiệm cận xiên: Đường thẳng y = ax + b a ≠ 0 được gọi là đường tiệm cận xiên ( gọi tắt là ( ) ( ) tiệm cận xiên) của đồ thị hàm số y = f x nếu lim f x =  f x − ax + b  = 0 hoặc lim f x =  f x − ax + b  = 0 x →−∞ ( ) ( ) ( f (x ) Trong đó a = lim x →+∞ x →+∞ a = lim ( ) f x x →−∞ x x ) ( ) ( ) ( ) , b = lim  f x − ax  hoặc  x →+∞  ( ) , b = lim  f x − ax  .  x →−∞  ( ) Chú ý : Nếu a = 0 thì tiệm cận xiên trở thành tiệm cận đứng. 3.2 DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP Ví dụ 1 : Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số : 2x − 1 1. y = 3. y = x +2 2. y = x2 − x + 1 x −1 x2 + 1 x 4. y = 1 + 1 − x 2 Giải : 2x − 1 x +2 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 2 . 1. y = {} 86 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 2x − 1 * Ta có: lim y = lim = lim x →−∞ x →−∞ x + 2 x →−∞ 2x − 1 lim y = lim = lim x →+∞ x →+∞ x + 2 x →+∞ 1 x = 2 và 2 1+ x 2− 1 x = 2 ⇒ y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị khi 2 1+ x 2− x → −∞ và x → +∞ . 2x − 1 lim y = lim = −∞ và − − x +2 x → −2 x → −2 ( ) ( ) lim y = ( )+ x → −2 ( ) x → −2 x→ − 2x − 1 = +∞ ⇒ x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị khi + x +2 −2 lim ( ) ( ) + và x → −2 ; y 2x − 1 = lim = 0 ⇒ hàm số f không x →−∞ x x →−∞ x x + 2 lim ( ) có tiệm cận xiên khi x → −∞ . 1 y 2x − 1 x = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận lim = lim = lim x →+∞ x x →+∞ x x + 2 x →+∞ x + 2 2− ( ) xiên khi x → +∞ . x2 − x + 1 x −1 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 1 2. y = {} 1 x −1  1  ⇒ lim y = lim  x +  = +∞ và x −1 x →1+ x →1+   1  lim y = lim  x +  = −∞ ⇒ x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số − − x − 1   x →1 x →1 * Ta có: y = x + khi x → 1+ và x → 1− ;  1  lim y = lim  x +  = +∞ và x →+∞ x →+∞  x −1  1  lim y = lim  x +  = −∞ ⇒ hàm số không có tiệm cận ngang x →−∞ x →−∞  x −1 87 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 1 1 = 0 và lim (y − x ) = lim =0 x →+∞ x →+∞ x − 1 x →−∞ x →−∞ x − 1 ⇒ y = x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ và x → −∞ . lim (y − x ) = lim x2 + 1 3. y = x * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 0 . {} 1 x 2 = − lim 1 + 1 = −1, ⇒ y = −1 là tiệm cận ngang lim y = lim x →−∞ x →−∞ x →−∞ x x2 của đồ thị hàm số khi x → −∞ . −x 1 + 1 x 2 = lim 1 + 1 = 1, ⇒ y = 1 là tiệm cận ngang của đồ lim y = lim x →+∞ x →+∞ x →+∞ x x2 thị hàm số khi x → +∞ . x 1+ x2 + 1 x2 + 1 = −∞ , lim+ y = lim+ = +∞ ⇒ x = 0 x →0 x →0 x →0 x →0 x x đứng của đồ thị hàm số khi x → 0− và x → 0+ lim− y = lim− y x2 + 1 lim = lim = lim x →−∞ x x →−∞ x →−∞ x2 xiên khi x → −∞ 2 y x +1 = lim = lim x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x2 khi x → +∞ −x 1 + x2 x 1+ lim x2 là tiệm cận 1 x 2 = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận 1 x 2 = 0 ⇒ hàm số y không có tiệm cận xiên 4. y = 1 + 1 − x 2   −1 ≤ x ≤ 1  2 y = 1 + 1 − x ⇔ y ≥ 1  2 x + y − 1 ( 2 ) =1 ( ) Do đó đồ thị hàm số là nửa đường tròn tâm I 0;1 , bán kính R = 1 . Vậy đồ thị hàm số không có tiêm cận. Chú ý : 88 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Cho hàm phân thức f (x ) = u(x ) . v(x ) v(x ) = 0 a) Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là số nghiệm của hệ  . u ( x ) ≠ 0  b) Đồ thị hàm số có tiệm cận ngang ⇔ deg u(x ) ≤ deg v(x ) , trong đó deg là bậc của đa thức. c) Đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ⇔ deg u(x ) = deg v(x ) + 1 .Khi đó để tìm tiệm cận xiên ta chia u(x ) cho v(x ) , ta được: y = ax + b + u1 (x ) v(x ) , trong đó deg u1 (x ) < deg v(x ) ⇒ lim u1 (x ) u1 (x ) = 0 ⇒ y = ax + b là TCX của đồ thị hàm số. v(x ) x → −∞ v(x ) * Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang thì không có tiệm cận xiên và ngược lại. Bài tập tự luyện: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số : 3x − 2 3. y = x + x 2 + 4x + 5 1. y = 3x + 4 x 2 + 5x + 1 2x 2 + 3x − 4 2. y = 2. y = x +2 5x − 2 x → +∞ = lim Ví dụ 2: Tìm tiệm cận của các đồ thị hàm số sau: 1. y = x 2 − 2x + 2 2. y = x + x 2 − 1 Giải : 1. y = x 2 − 2x + 2 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên » . y x 2 − 2x + 2 2 2 * Ta có: a = lim = lim = lim 1 − + =1 x →+∞ x x →+∞ x →+∞ x x x2   b = lim (y − ax ) = lim  x 2 − 2x + 2 − x  x →+∞ x →+∞   2 −2 + −2x + 2 x = lim = lim = −1 x →+∞ x →+∞ 2 2 2 x − 2x + 2 + x 1− + +1 x x2 ⇒ y = x − 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ . 89 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt y x 2 − 2x + 2 2 2 = lim = − lim 1 − + = −1 x →−∞ x x →−∞ x →−∞ x x x2   b = lim (y − ax ) = lim  x 2 − 2x + 2 + x  x →−∞ x →−∞   2 −2 + −2x + 2 x = lim = lim =1 x →−∞ x →−∞ 2 2 2 x − 2x + 2 − x − 1− + −1 x x2 ⇒ y = −x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → −∞ . a = lim 2. y = x + x 2 − 1 * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = −∞; −1 ∪ 1; +∞ . ( )  y x + x2 − 1 1  =2 = lim = lim  1 + 1 − 2  x →+∞ x x →+∞ x →+∞  x x   −1   b = lim y − ax = lim  x 2 − 1 − x  = lim =0 x →+∞ x →+∞   x →+∞ x 2 − 1 + x a = lim ( ) ⇒ y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số khi x → +∞ .  y x + x2 − 1 1  =0 a = lim = lim = lim  1 − 1 − 2  x →−∞ x x →+∞ x →+∞  x x   −1   b = lim y = lim  x 2 − 1 + x  = lim =0 x →−∞ x →−∞   x →−∞ x 2 − 1 − x ⇒ y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số khi x → −∞ . Nhận xét: 1) Xét hàm số y = ax 2 + bx + c (a ≠ 0) . * Nếu a < 0 ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận. * Nếu a > 0 đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y = a (x + b ) khi x → +∞ và 2a  b  y = − a x +  khi x → −∞ . 2a   2) Đồ thị hàm số y = mx + n + p ax 2 + bx + c (a > 0) có tiệm cận là đường thẳng : y = mx + n + p a | x + b |. 2a 90 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Bài tập tự luyện: Tìm tiệm cận của đồ thị hàm số : 1. y = x −2 −x x +4 3. y = x − x 2 + 2x + 3 Ví dụ 3: Tùy theo giá trị của tham số m . Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số x −1 sau: y = . mx 3 − 1 Giải : * m = 0 ⇒ y = −x + 1 ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận. x −1 ⇒ lim f (x ) = lim f (x ) = 0 ⇒ y = 0 là tiệm cận x → +∞ x → −∞ x3 − 1 ngang của đồ thị hàm số khi x → +∞ và x → −∞ . 1 Vì lim f (x ) = lim = ⇒ đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng 3 x →1+ x →1− * m = 1 ⇒ f (x ) = m ≠ 0  1  *  ⇒ hàm số xác định trên D = » \   3 m ≠ 1  m  Đường thẳng y = 0 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số. Đường thẳng x = 1 3 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số. m Bài tập tự luyện: Tùy theo giá trị của tham số m . Hãy tìm tiệm cận của đồ thị hàm số sau: ( m − 1) x y= 2 +m +2 mx 4 + 4 . 1 có cực trị và khoảng cách từ điểm x 2 cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng . 17 Giải : Ví dụ 4: Tìm m để hàm số y = mx + ( ) ( ) * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên −∞; 0 ∪ 0; +∞ . * Ta có : y ' = m − 1 x2 ,x ≠ 0 . 91 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt Để hàm số đã cho có cực trị thì phương trình y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 0 . 1 1 1 Với m > 0 thì y ' = 0 ⇔ m − = 0 ⇔ x1 = − < x2 = và điểm cực x2 m m  1  tiểu của hàm số là A  ;2 m  .  m  1 1 = lim = 0 nên d : y = mx là đường cận xiên. Vì lim x →−∞ x x →+∞ x 1 m −2 m m 2 2 2 m Theo bài toán d = ⇔ = ⇔ = (A,(d )) 17 17 17 m2 + 1 m2 + 1 m = 4 2 2 . 17.m = 2 m + 1 ⇔ 4m − 17m + 4 = 0 ⇔  m = 1  4 Bài toán tương tự : () mx 2 − mx + m − 1 có cực trị và khoảng cách từ điểm x −1 1 cực tiểu của hàm số đã cho đến đường tiệm cận xiên của nó bằng . 2 Tìm m để hàm số y = Ví dụ 5 : Cho hàm số y = ) ( mx 2 + m 2 + m + 2 x + m 2 + 3 . Tìm m để x +1 khoảng cách từ gốc O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất . Giải : ( ) ( * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên −∞; −1 ∪ −1; +∞ ) ( mx 2 + m 2 + m + 2 x + m 2 + 3 y= x +1 = mx + m 2 + 2 + ) 1 , x ≠ −1 x +1 1 1 = lim = 0 nên d : y = mx + m 2 + 2 x →−∞ x + 1 x →+∞ x + 1 () Vì lim () ⇔ d : mx − y + m 2 + 2 = 0 là đường cận xiên hoặc ngang của hàm số. ( ) m2 + 2 Ta có : d O; d = m2 + 1 = m2 + 1 + 1 ≥2 m2 + 1 92 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( ) m2 + 1 = Vậy d O; d nhỏ nhất bằng 2 khi 1 ⇔ m = 0. m2 + 1 Khi đó hàm số có tiệm cận ngang là y = 2 . Bài toán tương tự : Cho hàm số y = ( ) x 2 + m + 2 x + m 2 − 4m + 3 mx + 1 O đến tiệm cận xiên hoặc ngang là nhỏ nhất . . Tìm m để khoảng cách từ gốc mx 2 + (3m 2 − 2)x − 2 C m ,với m ∈ » . x + 3m ( ) 1. Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị (C m ) bằng 450 . 2. Tìm m để đồ thị (C m ) có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ tại A, B sao Ví dụ 6: Cho hàm số y = cho tam giác ∆AOB có diện tích bằng 4 . Giải : Ta có: y = mx − 2 + 6m − 2 x + 3m 1 . 3 Phương trình hai đường tiệm cận là: ∆1 : x = −3m ⇔ x + 3m = 0 Đồ thị hàm số có hai tiệm cận ⇔ 6m − 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ Và ∆2 : y = mx − 2 ⇔ mx − y − 2 = 0 . Véc tơ pháp tuyến của ∆1 và ∆2 lần lượt là : n1 = (1; 0), n2 = (m; −1) 1. Góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 450 khi và chỉ khi 0 cos 45 = cos n1.n2 n1 . n2 = m m2 + 1 = 2 ⇔ 2m 2 = m 2 + 1 ⇔ m = ±1 2 Vậy m = ±1 là những giá trị cần tìm. m ≠ 0 2   2. Hàm số có tiệm cận xiên ⇔  1 . Khi đó: A(0; −2), B  ; 0  m  m ≠  3 1 1 2 Ta có: S ∆ABC = OAOB . = 4 ⇔ . | −2 | . = 4 ⇔ m = ±2 2 2 m Vậy m = ±2 là những giá trị cần tìm. Bài toán tương tự : 93 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt ( m − 1) x Cho hàm số y = 2 + (m + 1)x − 2m + 3 (Cm ) ,với m ∈ » . 1. Tìm m để góc giữa hai tiệm cận của đồ thị (C m ) bằng 450 . 2. Tìm m để đồ thị (C m ) có tiệm cận xiên tạo cắt hai trục tọa độ tại A, B sao x − 2m cho tam giác ∆AOB có diện tích bằng 4 . x2 + x + 1 có đồ thị là C . Chứng minh rằng: x −1 1. Tích khoảng cách từ một điểm bất kì trên C đến hai tiệm cận không đổi ( ) Ví dụ 7: Cho hàm số y = ( ) ( ) 2. Không có tiếp tuyến nào của C đi qua giao điểm của hai tiệm cận. Giải : * Hàm số đã cho xác định và liên tục trên D = » \ 1 . {} 1. Ta có: y = x + 2 + 3 ⇒ hai tiệm cận của đồ thị hàm số là ∆1 : x − 1 = 0 x −1 và ∆2 : x − y + 2 = 0  3  Gọi M ∈ (C ) ⇒ M  x 0 ; x 0 + 2 +  ⇒ d1 = d M , ∆1 = x 0 − 1  x − 1  0  ( x0 − x0 − 2 − ( ) d2 = d M , ∆ 2 = ⇒ d1.d2 = x 0 − 1 3 +2 x0 − 1 = 2 3 = 2 x0 − 1 ) 3 2 x0 − 1 3 2 đpcm. 2 2. Gọi I = ∆1 ∩ ∆2 ⇒ I (1; 3) Giả sử ∆ là tiếp tuyến bất kì của đồ thị (C) ⇒ phương trình của ∆ có dạng   3 3  (x − x ) + x + 2 + ∆ : y = y '(x 0 )(x − x 0 ) + y 0 =  1 − 0 0 2  x0 − 1 (x 0 − 1)     3 3  (1 − x ) + x + 2 + ⇒ I ∈ ∆ ⇔ 1 − =3 0 0 2  x0 − 1 ( x − 1)  0  94 Nguyễn Phú Khánh – Đà Lạt 3 3 6 + x0 + 2 + −3 =0 ⇔ = 0 ta thấy phương trình x0 − 1 x0 − 1 x0 − 1 này vô nghiệm. Vậy không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C) đi qua I . ⇔ 1 − x0 + 95  ... x →−∞ x − − x ⇒ y = tiệm cận ngang đồ thị hàm số x → −∞ Nhận xét: 1) Xét hàm số y = ax + bx + c (a ≠ 0) * Nếu a < ⇒ đồ thị hàm số tiệm cận * Nếu a > đồ thị hàm số có tiệm cận xiên y = a (x +... số m Hãy tìm tiệm cận đồ thị hàm số x −1 sau: y = mx − Giải : * m = ⇒ y = −x + ⇒ đồ thị hàm số tiệm cận x −1 ⇒ lim f (x ) = lim f (x ) = ⇒ y = tiệm cận x → +∞ x → −∞ x3 − ngang đồ thị hàm số. .. (x ) = ⇒ y = ax + b TCX đồ thị hàm số v(x ) x → −∞ v(x ) * Nếu đồ thị hàm số có tiệm cận ngang tiệm cận xiên ngược lại Bài tập tự luyện: Tìm tiệm cận đồ thị hàm số : 3x − y = x + x + 4x + y =