Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7

84 3,399 5
  • Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 04/10/2015, 12:39

Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7DÃY CÁC SỐ VIẾT THEO QUY LUẬTBài 1: Tìm số hạng thứ n của các dãy số sau:a) 3, 8, 15, 24, 35, ...b) 3, 24, 63, 120, 195, ...c) 1, 3, 6, 10, 15, ...d) 2, 5, 10, 17, 26, ...e) 6, 14, 24, 36, 50, ...f) 4, 28, 70, 130, 208, ...g) 2, 5, 9, 14, 20, ...h) 3, 6, 10, 15, 21, ...i) 2, 8, 20, 40, 70, ...Hướng dẫn:a) n(n+2)b) (3n-2)3nc)n( n + 1)2d) 1+n2e) n(n+5)f) (3n-2)(3n+1)n( n + 3)2(n + 1)(n + 2)h)2g)i)n( n +1)(n + 2)3Bài 2: Tính:a,A = 1+2+3+…+(n-1)+nb,A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100Hướng dẫn:a,A = 1+2+3+…+(n-1)+nA = n (n+1):2b,3A = 1.2.3+2.3(4-1)+3.4.(5-2)+...+99.100.(101-98)3A = 1.2.3+2.3.4-1.2.3+3.4.5-2.3.4+...+99.100.101-98.99.1003A = 99.100.101A = 333300Tổng quát:A = 1.2+2.3+3.4+.… + (n - 1) nA = (n-1)n(n+1): 3Bài 3: Tính:A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101http://NgocHung.name.vn1 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Hướng dẫn:A = 1(2+1)+2(3+1)+3(4+1)+...+99(100+1)A = 1.2+1+2.3+2+3.4+3+...+99.100+99A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99)A = 333300 + 4950 = 338250Tổng quát: A = 1.3+2.4+3.5+...+(n-1)(n+1)A= (n-1)n(n+1):3 + n(n-1):2A= (n-1)n(2n+1):6Bài 4: Tính:A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102Hướng dẫn:A = 1(2+2)+2(3+2)+3(4+2)+...+99(100+2)A = 1.2+1.2+2.3+2.2+3.4+3.2+...+99.100+99.2A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+2(1+2+3+...+99)A = 333300 + 9900A = 343200Bài 5: Tính:A = 4+12+24+40+...+19404+19800Hướng dẫn:1A = 1.2+2.3+3.4+4.5+...+98.99+99.1002A= 666600Bài 6: Tính:A = 1+3+6+10+...+4851+4950Hướng dẫn:2A = 1.2+2.3+3.4+...+99.100A= 333300:2A= 166650Bài 7: Tính:A = 6+16+30+48+...+19600+19998Hướng dẫn:2A = 1.3+2.4+3.5+...+99.101A = 338250:2A = 169125Bài 8: Tính:A = 2+5+9+14+...+4949+5049Hướng dẫn:2A = 1.4+2.5+3.6+...+99.102A = 343200:2A = 171600Bài 9: Tính:A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100http://NgocHung.name.vn2 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Hướng dẫn:4A = 1.2.3.4+2.3.4(5-1)+3.4.5.(6-2)+...+98.99.100.(101-97)4A = 1.2.3.4+2.3.4.5-1.2.3.4+3.4.5.6-2.3.4.5+...+98.99.100.101-97.98.99.1004A = 98.99.100.101A = 2449755Tổng quát:A = 1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+(n-2)(n-1)nA = (n-2)(n-1)n(n+1):4Bài 10: Tính:A = 12+22+32+...+992+1002Hướng dẫn:A = 1+2(1+1)+3(2+1)+...+99(98+1)+100(99+1)A = 1+1.2+2+2.3+3+...+98.99+99+99.100+100A = (1.2+2.3+3.4+...+99.100)+(1+2+3+...+99+100)A = 333300 + 5050A = 338050Tổng quát:A = 12+22+32+...+(n-1)2+n2A = (n-1) n (n+1):3 + n(n +1):2A = n(n+1)(2n+1):6Bài 11: Tính:A = 22+42+62+...+982+1002Hướng dẫn:A = 22(12+22+32+...+492+502)Bài 12: Tính:A = 12+32+52+...+972+992Hướng dẫn:A = (12+22+32+...+992+1002)-(22+42+62+...+982+1002)A = (12+22+32+...+992+1002)-22(12+22+32+...+492+502)Bài 13: Tính:A = 12-22+32-42+...+992-1002Hướng dẫn:A = (12+22+32+...+992+1002)-2(22+42+62+...+982+1002)Bài 14: Tính:A = 1.22+2.32+3.42+...+98.992Hướng dẫn:A = 1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.100-98.99A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99)Bài 15: Tính:A = 1.3+3.5+5.7+...+97.99+99.101http://NgocHung.name.vn3 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Hướng dẫn:A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+...+97(97+2)+99(99+2)A = (12+32+52+...+972+992)+2(1+3+5+...+97+99)Bài 16: Tính:A = 2.4+4.6+6.8+...+98.100+100.102Hướng dẫn:A = 2(2+2)+4(4+2)+6(6+2)+...+98(98+2)+100(100+2)A = (22+42+62+...+982+1002)+4(1+2+3+...+49+50)Bài 17: Tính:A = 13+23+33+...+993+1003Hướng dẫn:A = 12(1+0)+22(1+1)+32(2+1)+...+992(98+1)+1002(99+1)A = (1.22+2.32+3.42+...+98.992+99.1002)+(12+22+32+...+992+1002)A = [1.2(3-1)+2.3(4-1)+3.4(5-1)+...+98.99(100-1)] +(12+22+32+...+992+1002)A = 1.2.3-1.2+2.3.4-2.3+3.4.5-3.4+...+98.99.10098.99+(12+22+32+...+992+1002)A = (1.2.3+2.3.4+3.4.5+...+98.99.100)-(1.2+2.3+3.4+...+98.99) (12+22+32+...+992+1002)Bài 18: Tính:A = 23+43+63+...+983+1003Hướng dẫn:Bài 19: Tính:A = 13+33+53+...+973+993Hướng dẫn:Bài 20: Tính:A = 13-23+33-43+...+993-1003Hướng dẫn:http://NgocHung.name.vn4 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Chuyên đề:TỈ LỆ THỨC-TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAUA. CƠ SỞ LÍ THUYẾTI. TỈ LỆ THỨC1. Định nghĩa:Tỉ lệ thức là một đẳng thức của hai tỉ sốa c=(hoặc a : b = c : d).b dCác số a, b, c, d được gọi là các số hạng của tỉ lệ thức; a và d là các số hạng ngoài hayngoại tỉ, b và c là các số hạng trong hay trung tỉ.2. Tính chất:Tính chất 1: Nếua c= thì ad = bcb dTính chất 2: Nếu ad = bc và a, b, c, d ≠ 0 thì ta có các tỉ lệ thức sau:a c= ,b da b= ,c dd c=b a,d b=c aNhận xét: Từ một trong năm đẳng thức trên ta có thể suy ra các đẳng thức còn lại.II. TÍNH CHẤT CỦA DÃY TỈ SỐ BẰNG NHAU-Tính chất: Từa ca c a+c a−c= suy ra: = ==b db d b+d b−d-Tính chất trên còn mở rộng cho dãy tỉ số bằng nhau:a c ea c ea+b+ca −b+c= == = === ...suyra:b dfb df b+d + f b−d + f(giả thiết các tỉ số trên đều có nghĩa).http://NgocHung.name.vn5 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7* Chú ý: Khi có dãy tỉ sốa b c= =ta nói các số a, b, c tỉ lệ với các số 2, 3, 5.2 3 5Ta cũng viết a : b : c = 2 : 3 : 5B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢIDẠNG I: TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN TRONG CÁC TỈ LỆ THỨC.Ví dụ 1: Tìm hai số x và y biếtx y=và x + y = 202 3Giải:Cách 1: (Đặt ẩn phụ)Đặtx y= =k2 3, suy ra: x = 2k, y = 3kTheo giả thiết: x + y = 20 ⇒ 2k + 3k = 20 ⇒ 5k = 20 ⇒ k = 4Do đó: x = 2.4 = 8y = 3.4 = 12KL: x = 8 , y = 12Cách 2: (sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau):Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:x y x + y 20= ===42 3 2+35Do đó:x=4⇒ x =82y= 4 ⇒ y = 123KL: x = 8 , y = 12Cách 3: (phương pháp thế)Từ giả thiếtx y2y= ⇒x=2 33http://NgocHung.name.vn6 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7mà x + y = 20 ⇒Do đó: x =2y+ y = 20 ⇒ 5 y = 60 ⇒ y = 1232.12=83KL: x = 8 , y = 12Ví dụ 2: Tìm x, y, z biết:x yy z=, = và 2 x − 3 y + z = 63 43 5Giải:Từ giả thiết:x yxy= ⇒ =3 49 12(1)y zyz= ⇒=3 512 20(2)Từ (1) và (2) suy ra:x yz==9 12 20(*)Ta có:x yz2x 3yz2x − 3y + z 6======= =39 12 20 18 36 20 18 − 36 + 20 2Do đó:x= 3 ⇒ x = 279y= 3 ⇒ y = 3612z= 3 ⇒ z = 6020KL: x = 27 , y = 36 , z = 60Cách 2: Sau khi làm đến (*) ta đặtxyz===k9 12 20VD1).Cách 3: (phương pháp thế: ta tính x, y theo z)Từ giả thiết:y z3z= ⇒y=3 55x y3y= ⇒x==3 44http://NgocHung.name.vn3z5 = 9z4203.7( sau đó giải như cách 1 của Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7mà 2 x − 3 y + z = 6 ⇒ 2.Suy ra: y =3.60= 36 ,59z3zz− 3. + z = 6 ⇒= 60 ⇒ z = 6020510x=9.60= 2720KL: x = 27 , y = 36 , z = 60Ví dụ 3: Tìm hai số x, y biết rằng:x y=và x. y = 402 5Giải:Cách 1: (đặt ẩn phụ)Đặtx y= =k2 5, suy ra x = 2k, y = 5kTheo giả thiết: x. y = 40 ⇒ 2k .5k = 40 ⇒ 10k 2 = 40 ⇒ k 2 = 4 ⇒ k = ±2+ Với k = 2 ta có: x = 2.2 = 4y = 5.2 = 10+ Với k = −2 ta có: x = 2.(−2) = −4y = 5.(−2) = −10KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10Cách 2: ( sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau)Hiển nhiên x ≠ 0x yx 2 xy 40====8Nhân cả hai vế củavới x ta được:2 5255⇒ x 2 = 16⇒ x = ±4+ Với x = 4 ta có+ Với x = −4 ta có4 y4.5= ⇒y== 102 52−4 y− 4.5= ⇒y== −10252KL: x = 4 , y = 10 hoặc x = −4 , y = −10Cách 3: (phương pháp thế) làm tương tự cách 3 của ví dụ 1.BÀI TẬP VẬN DỤNG:Bài 1: Tìm các số x, y, z biết rằng:http://NgocHung.name.vn8 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7a)xyz= =và 5 x + y − 2 z = 2810 6 21c)2x 3y 4z==và x + y + z = 49345d)e)x y=và x 2 − y 2 = 45 3f) y + z + 1 = z + x + 1 = x + y − 2 = x + y + zb)x yy z=, = và 2 x + 3 y − z = 1243 45 7x y=và xy = 542 3xyzBài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng:a)xyz= =và 5 x + y − 2 z = 2810 6 21c)2x 3y 4z==và x + y + z = 49345d)e)x y=và x 2 − y 2 = 45 3f) y + z + 1 = z + x + 1 = x + y − 2 = x + y + zb)x yy z=, = và 2 x + 3 y − z = 1243 45 7x y=và xy = 542 3xyzBài 3: Tìm các số x, y, z biết rằng:a) 3x = 2 y , 7 y = 5 z và x − y + z = 32b)x −1 y − 2 z − 3==234c) 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95d)x y z= =và xyz = 8102 3 5e)y + z +1 z + x + 2 x + y − 31===xyzx+ y+zvà 2 x + 3 y − z = 50f) 10 x = 6 y và 2 x 2 − y 2 = −28Bài 4: Tìm các số x, y, z biết rằng:a) 3x = 2 y , 7 y = 5 z và x − y + z = 32b)x −1 y − 2 z − 3==234c) 2 x = 3 y = 5 z và x + y − z = 95d)x y z= =và xyz = 8102 3 5e)y + z +1 z + x + 2 x + y − 31===xyzx+ y+zf) 10 x = 6 y và 2 x 2 − y 2 = −28Bài 5: Tìm x, y biết rằng:1+ 2y 1+ 4y 1+ 6y==18246xBài 6: Tìm x, y biết rằng:http://NgocHung.name.vnvà 2 x + 3 y − z = 509 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 71+ 2y 1+ 4y 1+ 6y==18246xBài 7: Cho a + b + c + d ≠ 0 vàTìm giá trị của: A =Giải:abcd===b+c+d a+c+d a+b+d a+b+ca+b b+c c+d d +a+++c+d a+d a+b b+cabcda +b+c +d1=====b + c + d a + c + d a + b + d a + b + c 3(a + b + c + d ) 3 (Vì a + b + c + d ≠ 0 )=>3a = b+c+d; 3b = a+c+d => 3a-3b= b- a => 3(a- b) = -(a-b) =>4(a-b) = 0 =>a=bTương tự =>a=b=c=d=>A=4Bài 8: Tìm các số x; y; z biết rằng:x7a) y = 3 và 5x – 2y = 87;b)xy=và 2x – y = 34;19 212x + 1 3y − 2 2x + 3y − 1==c)576xb)x 3 y3z3==và x2 + y2 + z2 = 14.8 64 216Bài 9: Tìm các số a, b, c biết rằng: 2a = 3b; 5b = 7c và 3a + 5c – 7b = 30.Bài 10: Tìm các số x, y, z biết :a) x : y : z = 3 : 4 : 5 và 5z2 – 3x2 – 2y2 = 594;b) x + y = x : y = 3.(x – y)Giaia) Đáp số: x = 9; y = 12; z = 15 hoặc x = - 9; y = - 12; z = - 15.b) Từ đề bài suy ra: 2y(2y – x) = 0, mà y khác 0 nên 2y – x = 0, do đó : x =2y.Từ đó tìm được : x = 4/3; y = 2/3.Bài 11. Tìm hai số hữu tỉ a và b biết rằng hiệu của a và b bằng thương của a và b vàbằng hailần tổng của a và b ?Giai. Rút ra được: a = - 3b, từ đó suy ra : a = - 2,25; b = 0,75.Bài 12: Cho ba tỉ số bằng nhau:số đó ?abc,,.b +c c +a a +bBiết a+b+c ≠ 0 .Tìm giá trị của mỗi tỉBài 13. Số học sinh khối 6,7,8,9 của một trường THCS lần lượt tỉ lệ với 9;10;11;8.Biết rằng số học sinh khối 6 nhiều hơn số học sinh khối 9 là 8 em. Tính số học sinhcủa trường đó?Bài 14: Chứng minh rằng nếu có các số a, b, c, d thỏa mãn đẳng thức:http://NgocHung.name.vn10 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7[ab( ab − 2cd ) + c d ].[ ab( ab − 2) + 2(ab + 1)] = 022thì chúng lập thành một tỉ lệ thức.2 2Giải:  ab ( ab − 2cd ) + c d  .  ab ( ab − 2 ) + 2(ab + 1)  = 0=> ab(ab-2cd)+c2d2=0(Vì ab(ab-2)+2(ab+1)=a2b2+1>0 với mọi a,b)=>a2b2-2abcd+ c2d2=0 =>(ab-cd)2=0 =>ab=cd =>đpcmDẠNG II: CHỨNG MINH TỈ LỆ THỨCĐể chứng minh tỉ lệ thức:A C=ta thường dùng một số phương pháp sau:B DPhương pháp 1: Chứng tỏ rằng A. D = B.CPhương pháp 2: Chứng tỏ rằng hai tỉ sốACvàcó cùng giá trị.BDPhương pháp 3: Sử dụng tính chất của tỉ lệ thức.Một số kiến thức cần chú ý:+)a na=b nb(n ≠ 0)na cac+) = ⇒   =  b dbd nSau đây là một số ví dụ minh họa: ( giả thiết các tỉ số đều có nghĩa)Ví dụ 1: Cho tỉ lệ thứca c=b d.Chứng minh rằng:Giải:Cách 1: (PP1)Ta có: (a + b)(c − d ) = ac − ad + bc − bd(1)(a − b)(c + d ) = ac + ad − bc − bd(2)a c= ⇒ ad = bcb d(3)Từ giả thiết:Từ (1), (2), (3) suy ra: (a + b)(c − d ) = (a − b)(c + d )⇒http://NgocHung.name.vna+b c+d=a−b c−d(đpcm)11a+b c+d=a−b c−d Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Cách 2: (PP2)a c= = k , suy ra a = bk , c = dkb dĐặta+bkb + bb( k + 1)k +1Ta có: a − b = kb − b = b(k − 1) = k − 1(1)c + d kd + d d (k + 1) k + 1===c − d kd − d d (k − 1) k − 1Từ (1) và (2) suy ra:a+b c+d=a−b c−d(2)(đpcm)Cách 3: (PP3)Từ giả thiết:a ca b= ⇒ =b dc dÁp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:a b a+b a−b= ==c d c+d c−d⇒a+b c+d=a−b c−d(đpcm)Hỏi: Đảo lại có đúng không ?Ví dụ 2: Cho tỉ lệ thứca c=b d. Chứng minh rằng:ab a 2 − b 2=cd c 2 − d 2Giải:Cách 1: Từ giả thiết:Ta có:(a c= ⇒ ad = bcb d(1))ab c 2 − d 2 = abc 2 − abd 2 = acbc − adbd()cd a 2 − b 2 = a 2 cd − b 2 cd = acad − bc.bdhttp://NgocHung.name.vn12(2)(3) Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7()Ta có:)ab a 2 − b 2=cd c 2 − d 2⇒Cách 2: Đặt(ab c 2 − d 2 = cd a 2 − b 2Từ (1), (2), (3) suy ra:(đpcm)a c= = k , suy ra a = bk , c = dkb dab bk .b kb 2 b 2===cd dk .d kd 2 d 2(1)(())a 2 − b 2 (bk ) 2 − b 2b2k 2 − b2b2 k 2 −1b2====c 2 − d 2 (dk ) 2 − d 2 d 2 k 2 − d 2 d 2 k 2 − 1 d 2Từ (1) và (2) suy ra:ab a 2 − b 2=cd c 2 − d 2(2)(đpcm)a ca bab a 2 b 2 a 2 − b 2Cách 3: Từ giả thiết: = ⇒ = ⇒ = 2 = 2 = 2b dc dcb cdc −d2⇒ab a 2 − b 2=cd c 2 − d 2(đpcm)BÀI TẬP VẬN DỤNG:Bài 1: Cho tỉ lệ thức:a c=. Chứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiếtb dcác tỉ số đều có nghĩa).1)23a + 5b 3c + 5d=3a − 5b 3c − 5da2 + b2a+b=c2 + d 2c+d 2) ab ( a − b )=4)cd ( c − d ) 22a−b c−d=3)a+b c+d5)2a + 5b 2c + 5d=3a − 4b 3c − 4dhttp://NgocHung.name.vn6)132005a − 2006b 2005c − 2006d=2006c + 2007 d 2006a + 2007b Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 77 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd=8) 27 a − 5ac 7b 2 − 5bdac=7)a+b c+dBài 2: Cho tỉ lệ thức:a c=.b dChứng minh rằng ta có các tỉ lệ thức sau: (với giả thiết các tỉ số đều có nghĩa).23a + 5b 3c + 5d=a)3a − 5b 3c − 5da2 + b2a+bb)  = 2c +d2c+d ab ( a − b )=cd ( c − d ) 22d)e)c)2a + 5b 2c + 5d=3a − 4b 3c − 4da−b c−d=a+b c+df)2008a − 2009b 2008c − 2009d=2009c + 2010d 2009a + 2010b7a 2 + 3ab7c 2 + 3cd=i)11a 2 − 8b 2 11c 2 − 8d 27 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd=h) 27 a − 5ac 7b 2 − 5bdac=g)a+b c+d3a b ca a+b+cBài 3: Cho = = . Chứng minh rằng:  =b c ddb+c+d a b cBài 4: Cho = = . Chứng minh rằng:b c dBài 5: Cho3a a+b+c =db+c+d abc==2003 2004 2005Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) 2aaaa3200812Bài 6: Cho dãy tỉ số bằng nhau: a = a = a = ... = a2342009CMR: Ta có đẳng thức:aa2008a 2009 a + a 2 + a 3 +... + a 2008 = 1÷ a 2 + a 3 + a 4 +... + a 2009 aaa18912Bài 7: Cho a = a = ............... = a = a2391http://NgocHung.name.vnvà a1 + a 2 + ... + a9 ≠ 014 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Chứng minh rằng: a1 = a 2 = ... = a9Bài 8: Choabc==2003 2004 2005Chứng minh rằng: 4(a − b)(b − c) = (c − a) 2Bài 9: Chứng minh rằng nếu :aa ba2 + b2 a==thì 2b db +d2 daaa8912Bài 10: Cho a = a = ............... = a = a2391và a1 + a 2 + ... + a9 ≠ 0Chứng minh rằng: a1 = a 2 = ... = a9Bài 11: CMR: Nếu a 2 = bc thìa+b c+a=a−b c−a. Đảo lại có đúng không?a ba2 + b2 a==Bài 12: Chứng minh rằng nếu :thì 2b db +d2 dBài 13:Choa+b c+d=a−b c−dBài 14. Cho tỉ lệ thức :.CMR:a 2 +b 2ab=22c +dcda c=b d. Chứng minh rằng:ac=bd.22( a + b ) = ab ⇒ ( a + b )( a + b ) = a.ba 2 +b 2ab 2ab a + 2ab + b===;=22222cd c + 2cd + d( c + d ) 2 cd ( c + d )( c + d ) c.dcdc +d2Giải. Ta có :⇒c( a + b ) b( c + d ) ca + cb bc + bd ca − bda c===== 1 ⇒ ca + cb = ac + ad ⇒ cb = ad ⇒ =a( c + d ) d ( a + b ) ac + ad da + db ca − bdb dBài 15: Chứng minh rằng nếu:Bài 16: CMR: Nếu a 2 = bc thìu+2 v+3=u −2 v−3a+b c+a=a−b c−aBài 17: CMR nếu a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y )http://NgocHung.name.vn15thìu v=2 3. Đảo lại có đúng không? Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7y−zz−xx− ytrong đó a, b,c khác nhau và khác 0 thì : a(b − c) = b(c − a) = c(a − b)Bài 18:ChoBài 19: Choa+b c+d=a−b c−d.CMR:a c=b da c= . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0b dChứng minh rằng:xa + yb xc + yd=za + tbzc + tdBài 20: Chứng minh rằng nếu:u +2 v+3=u −2 v−3thìu v=2 3Bài 21: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 = ac; c 2 = bdvà b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0a3 + b3 + c3 aChứng minh rằng: 3 3 3 =db +c +dBài 22: CMR nếu a( y + z ) = b( z + x) = c( x + y ) .Trong đó a, b,c khác nhau và khác 0thì :y−zz−xx− y==a(b − c) b(c − a) c(a − b)Bài 23: Cho P =abcax 2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu a = b = c thì giá trị của P2a1 x + b1 x + c1111không phụ thuộc vào x.Bài 24: Cho biết :Bài 25: Choa b'b c'+ = 1; ' + = 1'a bb c. CMR: abc + a’b’c’ = 0.a c= . Các số x, y, z, t thỏa mãn: xa + yb ≠ 0 và zc + td ≠ 0b dChứng minh rằng:xa + yb xc + yd=za + tbzc + tdBài 26: Cho a, b, c, d là 4 số khác 0 thỏa mãn: b 2 = achttp://NgocHung.name.vn16; c 2 = bd và b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7a3 + b3 + c3 aChứng minh rằng: 3 3 3 =db +c +dBài 27: Cho P =abcax 2 + bx + c. Chứng minh rằng nếu a = b = c thì giá trị của P2a1 x + b1 x + c1111không phụ thuộc vào x.Bài 28: Cho tỉ lệ thức:2a +13b 2c +13d=3a −7b3c −7dBài 29: Cho dãy tỉ số :bz −cy cx −az ay −bx==abc;ac=bd.xyz= =abc.Chứng minh rằng:; CMR:Thanh Mỹ,ngày 10 tháng 12 năm2010Chuyên đề: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐIA> MỤC TIÊUThông qua việc giải toán sẽ phát triển được tư duy độc lập, sáng tạo của học sinh,rèn ý chí vượt qua mọi khó khăn.B> THỜI LƯỢNGTổng số :(6 tiết)1) Kiến thức cần nhớ:(1 tiết)2)Các dạng bài tập và phương pháp giải(5 tiết)1. Lý thuyết*Định nghĩa: Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối củamột số a( a là số thực)http://NgocHung.name.vn17 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7* Giá trị tuyệt đối của số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối của số âm là số đốicủa nó.TQ: Nếu a ≥ 0 ⇒ a = aNếu a < 0 ⇒ a = −aNếu x-a ≥ 0=> = x-aNếu x-a ≤ 0=> = a-x*Tính chấtGiá trị tuyệt đối của mọi số đều không âmTQ: a ≥ 0 với mọi a ∈ RCụ thể:=0 a=0≠ 0 a ≠ 0* Hai số bằng nhau hoặc đối nhau thì có giá trị tuyệt đối bằng nhau, và ngược lại haisố có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì chúng là hai số bằng nhau hoặc đối nhau.a = bTQ: a = b ⇔  a = −b* Mọi số đều lớn hơn hoặc bằng đối của giá trị tuyệt đối của nó và đồng thời nhỏ hơnhoặc bằng giá trị tuyệt đối của nó.TQ: − a ≤ a ≤ a và − a = a ⇔ a ≤ 0; a = a ⇔ a ≥ 0* Trong hai số âm số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối lớn hơnTQ: Nếu a < b < 0 ⇒ a > b* Trong hai số dương số nào nhỏ hơn thì có giá trị tuyệt đối nhỏ hơnTQ: Nếu 0 < a < b ⇒ a < b* Giá trị tuyệt đối của một tích bằng tích các giá trị tuyệt đối.TQ: a.b = a . b* Giá trị tuyệt đối của một thương bằng thương hai giá trị tuyệt đối.TQ:aa=bb* Bình phương của giá trị tuyệt đối của một số bằng bình phương số đó.2TQ: a = a 2* Tổng hai giá trị tuyệt đối của hai số luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị tuyệt đối của haisố, dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi hai số cùng dấu.TQ: a + b ≥ a + b và a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 02. Các dạng toán :I. Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối:1. Dạng 1: A(x) = k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước )* Cách giải:http://NgocHung.name.vn18 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7- Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối củamọi số đều không âm )- Nếu k = 0 thì ta có A( x) = 0 ⇒ A( x) = 0 A( x) = k A( x) = − k- Nếu k > 0 thì ta có: A( x) = k ⇒ Bài 1.1: Tìm x, biết:a) 2 x − 5 = 4b)Giảia) = 4x= ± 4a) 2 x − 5 = 42x-5 = ± 4* 2x-5 = 42x = 9x= 4,5* 2x-5 = - 42x =5-42x =1x =0,5Tóm lại:x = 4,5;13b) −1 51− − 2x =3 44c)11 1− x+ =25 3d)37− 2x + 1 =48x =0,551− 2x =44= Bài 1.2: Tìm x, biết:a) 2 2 x − 3 =12b) 7,5 − 3 5 − 2 x = −4,5c) x +4− − 3,75 = − − 2,1515Bài 1.3: Tìm x, biết:a) 2 3x − 1 + 1 = 5b)x−1 = 32c) − x +2 1+ = 3,55 2d) x −11=235Bài 1.4: Tìm x, biết:a) x +1 3− = 5%4 4b) 2 −31−5x− =244c)3 43 7+ x− =2 54 4d) 4,5 −3 15 5x+ =4 23 6Bài 1.5: Tìm x, biết:9111 31 71531=2+ : 4x − =b)c) − 2,5 : x + = 3434 25 244221x 2+ 3: − = 654 32. Dạng 2: A(x) = B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )a) 6,5 − : x +http://NgocHung.name.vn19d) Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7* Cách giải:a = b A( x) = B ( x )ta có: A( x) = B( x) ⇒  a = −b A( x) = − B ( x)Vận dụng tính chất: a = b ⇔ Bài 2.1: Tìm x, biết:a) 5 x − 4 = x + 2b) 2 x − 3 − 3x + 2 = 0a) 5 x − 4 = x + 2* 5x-4=x+25x- x =2+44x=6x= 1,5* 5x-4=-x-25x + x =- 2+ 46x= 2x=Vậy x= 1,5; x=c) 2 + 3x = 4 x − 3d) 7 x + 1 − 5 x + 6 = 0Bài 2.2: Tìm x, biết:a)3157 53724175 1x + = 4 x − 1 b) x − − x + = 0 c) x + = x − d) x + − x + 5 = 02242 85533486 23. Dạng 3: A(x) = B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x )* Cách 1: Ta thấy nếu B(x) < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn vì giá trịtuyệt đối của mọi số đều không âm. Do vậy ta giải như sau:A( x ) = B ( x) (1)Điều kiện: B(x) ≥ 0 (*) A( x) = B ( x )(1) Trở thành A( x) = B( x) ⇒ ( Đối chiếu giá tri x tìm được với điều A( x) = − B ( x)kiện ( * )* Cách 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:Nếu a ≥ 0 ⇒ a = aNếu a < 0 ⇒ a = −aTa giải như sau: A( x) = B( x) (1)• Nếu A(x) ≥ 0 thì (1) trở thành: A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm được vớiđiều kiện )• Nếu A (x ) < 0 thì (1) trở thành: - A(x) = B(x) ( Đối chiếu giá trị x tìm đượcvới điều kiện )VD1:Giải :a0) Tìm x ∈ Q biết =2x* Xét x+ ≥ 0 ta có x+ =2xhttp://NgocHung.name.vn20 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7*Xét x+ < 0 ta có x+ =- 2xBài 3.1: Tìm x, biết:1x = 3 − 2x2c) 5 x = x − 12d) 7 − x = 5 x + 1Bài 3.2: Tìm x, biết:a) 9 + x = 2 xb) 5 x − 3x = 2c) x + 6 − 9 = 2 xd) 2 x − 3 + x = 21Bài 3.3: Tìm x, biết:a) 4 + 2 x = −4 xb) 3x − 1 + 2 = xc) x + 15 + 1 = 3xd) 2 x − 5 + x = 2Bài 3.4: Tìm x, biết:a) 2 x − 5 = x + 1b) 3x − 2 − 1 = xc) 3x − 7 = 2 x + 1d) 2 x − 1 + 1 = xBài 3.5: Tìm x, biết:a) x − 5 + 5 = xb) x + 7 − x = 7c) 3x − 4 + 4 = 3xd) 7 − 2 x + 7 = 2 xa)b) x − 1 = 3x + 24. Dạng 4: Đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối:* Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối:A( x ) + B ( x ) + C ( x) = mCăn cứ bảng trên xét từng khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng )Ví dụ1 : Tìm x biết rằng x − 1 + x − 3 = 2 x − 1 (1) Nhận xét: Như trên chúng ta đã biến đổi được biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đốithành các biểu thức không chứa dấu giá trị tuyệt đối. Vậy ta sẽ biến đổi biểu thức ởvế trái của đẳng thức trên. Từ đó sẽ tìm được xGiảiXétx – 1 = 0 ⇔ x = 1; x – 1 < 0 ⇔ x < 1; x – 1 > 0 ⇔ x > 1x- 3 = 0 ⇔ x = 3; x – 3 < 0 ⇔ x < 3; x – 3 > 0 ⇔ x > 3Ta có bảng xét dấu các đa thức x- 1 và x- 3 dưới đây:x13x–10++x–3- 0+Xét khoảng x < 1 ta có: (1) ⇔ (1 – x ) + ( 3 – x ) = 2x – 1⇔ -2x + 4= 2x – 15⇔ x = (giá trị này không thuộc khoảng đang xét)4≤≤Xét khoảng 1 x 3 ta có:(1) ⇔ (x – 1 ) + ( 3 – x ) = 2x – 1⇔ 2= 2x – 13⇔ x = ( giá trị này thuộc khoảng đang xét)2http://NgocHung.name.vn21 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Xét khoảng x > 3 ta có: (1) ⇔ (x – 1 ) + (x – 3 ) = 2x – 1⇔ - 4 = -1 ( Vô lí)3Kết luận: Vậy x = .2VD2 : Tìm x+ =0Nhận xét x+1=0 => x=-1x-1=0 => x=1Ta lập bảng xét dấux-11x+10++x-10+Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợpNếu x1Bài 4.1: Tìm x, biết:a) 4 3x − 1 + x − 2 x − 5 + 7 x − 3 = 121515b) 3 x + 4 − 2 x + 1 − 5 x + 3 + x − 9 = 51512c) 2 − x + x − + 8 = 1,212Bài 4.2: Tìm x, biết:a) 2 x − 6 + x + 3 = 8c) x + 5 + x − 3 = 9d) x − 2 + x − 3 + x − 4 = 2e) x + 1 + x − 2 + x + 3 = 6f) 2 x + 2 + 4 − x = 11Bài 4.3: Tìm x, biết:a) x − 2 + x − 3 + 2 x − 8 = 9b) 3x x + 1 − 2 x x + 2 = 12c) x − 1 + 3 x − 3 − 2 x − 2 = 4d) x + 5 − 1 − 2 x = xe) x − 2 x + 3 = x − 1f) x + 1 − x = x + x − 3Bài 4.4: Tìm x, biết:a) x − 2 + x − 5 = 3c) 2 x − 1 + 2 x − 5 = 4b) x − 3 + x + 5 = 8d) x − 3 + 3x + 4 = 2 x + 15. Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt:A(x) + B(x) + C(x) = D(x) (1)Điều kiện: D(x) ≥ 0 kéo theo A( x) ≥ 0; B( x) ≥ 0; C ( x) ≥ 0Do vậy (1) trở thành: A(x) + B(x) + C(x) = D(x)Bài 5.1: Tìm x, biết:http://NgocHung.name.vn15d) 2 x + 3 + x − 3 = 2 − x22 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7a) x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4 x35c) x + 2 + x + + x +b) x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5 x − 11= 4x2d) x + 1,1 + x + 1,2 + x + 1,3 + x + 1,4 = 5 xBài 5.2: Tìm x, biết:123100+ x++ x++ ... + x += 101x1011011011011111+ x++ x++ ... + x += 100 xb) x +1.22.33.499.1001111+ x++ x++ ... + x += 50 xc) x +1.33.55.797.991111+ x++ x++ ... + x += 101xd) x +1.55.99.13397.401a) x +6. Dạng 6: Dạng hỗn hợp:Bài 6.1: Tìm x, biết:a) 2 x − 1 +1 4=2 52b) x + 2 x −1= x2 + 22322c) x x + 4 = xBài 6.2: Tìm x, biết:a) 2 x − 1 −1 1=2 5b)13 2x +1 − =24 52c) x x +3=x4Bài 6.3: Tìm x, biết:2a) x x −3=x4Bài 6.4: Tìm x, biết:a) 2 x − 3 − x + 1 = 4 x − 1133b)  x +  2 x − = 2 x −c) x − 2 x −b) x − 1 − 1 = 2c) 3x + 1 − 5 = 22441233= 2x −447. Dạng 7: A + B = 0Vận dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳngthức.* Nhận xét: Tổng của các số không âm là một số không âm và tổng đó bằng 0 khi vàchỉ khi các số hạng của tổng đồng thời bằng 0.* Cách giải chung: A + B = 0B1: đánh giá:A ≥ 0⇒ A + B ≥0B ≥ 0A = 0B = 0B2: Khẳng định: A + B = 0 ⇔ Bài 7.1: Tìm x, y thoả mãn:http://NgocHung.name.vn23 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7a) 3x − 4 + 3 y + 5 = 0b) x − y + y +9=025c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0Bài 7.2: Tìm x, y thoả mãn:32y −3 = 047x − 2007 + y − 2008 = 0a) 5 − x +b)2 1 311 23− + x + 1,5 − +y =03 2 417 13c)* Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B ≤ 0 nhưng kết quả không thay đổi* Cách giải: A + B ≤ 0 (1)A ≥ 0⇒ A + B ≥0B ≥ 0(2)A = 0B = 0Từ (1) và (2) ⇒ A + B = 0 ⇔ Bài 7.3: Tìm x, y thoả mãn:a) 5 x + 1 + 6 y − 8 ≤ 0b) x + 2 y + 4 y − 3 ≤ 0c) x − y + 2 + 2 y + 1 ≤ 0Bài 7.4: Tìm x, y thoả mãn:a) 12 x + 8 + 11y − 5 ≤ 0b) 3x + 2 y + 4 y − 1 ≤ 0c) x + y − 7 + xy − 10 ≤ 0* Chú ý 2: Do tính chất không âm của giá trị tuyệt đối tương tự như tính chất khôngâm của luỹ thừa bậc chẵn nên có thể kết hợp hai kiến thức ta cũng có các bài tươngtự.Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:20072008+ y+4=0a) x − y − 2 + y + 3 = 0b) x − 3 y20062008c) ( x + y ) + 2007 y − 1 = 0d) x − y − 5 + 2007( y − 3) = 0Bài 7.6: Tìm x, y thoả mãn :a) ( x − 1) 2 + ( y + 3) 2 = 0c) 3( x − 2 y )2004+4y+1=024b) 2( x − 5) + 5 2 y − 7 = 05d)1x + 3y −1 +  2 y − 2b)3 x − y + 10 y +2000=0Bài 7.7: Tìm x, y thoả mãn:a) x − 2007 + y − 2008 ≤ 0c)131 x− 2422006+2007 46y+≤02008 52572≤0320082007d) 2007 2 x − y + 2008 y − 4 ≤ 08. Dạng 8: A + B = A + B* Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b ≥ a + bhttp://NgocHung.name.vn524 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Từ đó ta có: a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0Bài 8.1: Tìm x, biết:a) x + 5 + 3 − x = 8b) x − 2 + x − 5 = 3c) 3x − 5 + 3x + 1 = 6d) 2 x − 3 + 2 x + 5 = 11e) x + 1 + 2 x − 3 = 3x − 2f) x − 3 + 5 − x + 2 x − 4 = 2Bài 8.2: Tìm x, biết:a) x − 4 + x − 6 = 2d) 5 x + 1 + 3 − 2 x = 4 + 3xb) x + 1 + x + 5 = 4e) x + 2 + 3x − 1 + x − 1 = 31 - Lập bảng xét dấu để bỏ dấu giá tri tuyệt đốiBài 1: Tìm x, biết:a) 2 x − 6 + x + 3 = 8Ta lập bảng xét dấux-33x+30+2x-60Căn cứ vào bảng xét dấu ta có ba trường hợp* Nếu x3)c) 3x + 7 + 3 2 − x = 13f) x − 2 + x − 7 = 4++2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trongBài 1: Tìm x, biết:1 4a) 2 x − 1 + =2 5* + == =2x-1=2x = + 1http://NgocHung.name.vnx=25 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 72x-1= -2x = - + 1x=* + ==- - (không thỏa mãn)3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng thức:Bài 1: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức:a) x − y − 2 + y + 3 = 0x-y-2 =0x=-1y+3 =0y= -3Bài 2: Tìm x, y thoả mãn :22a) ( x − 1) + ( y + 3) = 0Bài 3: Tìm x, y thoả mãn:a) x − 2007 + y − 2008 ≤ 0Bài 4: Tìm x thoả mãn:a) x + 5 + 3 − x = 8II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệtđối:1. Dạng 1: A + B = m với m ≥ 0* Cách giải:A = 0B = 0* Nếu m = 0 thì ta có A + B = 0 ⇔ * Nếu m > 0 ta giải như sau:A + B = m (1)Do A ≥ 0 nên từ (1) ta có: 0 ≤ B ≤ m từ đó tìm giá trị của B và A tương ứng .Bài 1.1: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:a) x − 2007 + x − 2008 = 0 b) x − y − 2 + y + 3 = 02c) ( x + y ) + 2 y − 1 = 0Bài 1.2: Tìm cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn:54a) x − 3 y + y + 4 = 0b) x − y − 5 + ( y − 3) = 0c) x + 3 y − 1 + 3 y + 2 = 0Bài 1.3: Tìm cặp số nguyên (x, y ) thoả mãn:a) x + 4 + y − 2 = 3b) 2 x + 1 + y − 1 = 4 c) 3x + y + 5 = 5d) 5 x + 2 y + 3 = 7Bài 1.4: Tìm cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:a) 3 x − 5 + y + 4 = 5 b) x + 6 + 4 2 y − 1 = 12 c) 2 3x + y + 3 = 10 d) 3 4 x + y + 3 = 21http://NgocHung.name.vn26 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Bài 1.5: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:222a) y = 3 − 2 x − 3b) y = 5 − x − 1c) 2 y = 3 − x + 4d)3 y = 12 − x − 222. Dạng 2: A + B < m với m > 0.* Cách giải: Đánh giáA + B < m (1)A ≥ 0 ⇒ A + B ≥ 0 (2)B ≥ 0Từ (1) và (2) ⇒ 0 ≤ A + B < m từ đó giải bài toán A + B = k như dạng 1 với 0 ≤ k < mBài 2.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:a) x + y ≤ 3 b) x + 5 + y − 2 ≤ 4c) 2 x + 1 + y − 4 ≤ 3 d) 3x + y + 5 ≤ 4Bài 2.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:a) 5 x + 1 + y − 2 ≤ 7 b) 4 2 x + 5 + y + 3 ≤ 5 c) 3 x + 5 + 2 y − 1 ≤ 3 d) 3 2 x + 1 + 4 2 y − 1 ≤ 73. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a + b ≥ a + b xét khoảng giá trị của ẩn số.Bài 3.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:a) x − 1 + 4 − x = 3 b) x + 2 + x − 3 = 5 c) x + 1 + x − 6 = 7 d) 2 x + 5 + 2 x − 3 = 8Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau.a) x + y = 4 và x + 2 + y = 6b) x +y = 4 và 2 x + 1 + y − x = 5c) x –y = 3 và x + y = 3d) x – 2y = 5 và x + 2 y − 1 = 6Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời:a) x + y = 5 và x + 1 + y − 2 = 4b) x – y = 3 và x − 6 + y − 1 = 4c) x – y = 2 và 2 x + 1 + 2 y + 1 = 4d) 2x + y = 3 và 2 x + 3 + y + 2 = 84. Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm của giá trị tuyệt đối và dấu của một tích:* Cách giải : A( x).B( x) = A( y )Đánh giá: A( y ) ≥ 0 ⇒ A( x).B( x) ≥ 0 ⇒ n ≤ x ≤ m tìm được giá trị của x.Bài 4.1: Tìm các số nguyên x thoả mãn:a) ( x + 2)( x − 3) < 0 b) ( 2 x − 1)( 2 x − 5) < 0c) ( 3 − 2 x )( x + 2) > 0 d) ( 3x + 1)( 5 − 2 x ) > 0Bài 4.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:a) ( 2 − x )( x + 1) = y + 1b) ( x + 3)(1 − x ) = y c) ( x − 2)( 5 − x ) = 2 y + 1 + 2Bài 4.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:a) ( x + 1)( 3 − x ) = 2 y + 1b) ( x − 2)( 5 − x ) − y + 1 = 1 c) ( x − 3)( x − 5) + y − 2 = 05. Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế của đẳng thức:* Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = Bhttp://NgocHung.name.vn27 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Đánh giá: A ≥ mĐánh giá: B ≤ m(1)(2)A = mB = mTừ (1) và (2) ta có: A = B ⇔ Bài 5.1: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:122a) x + 2 + x − 1 = 3 − ( y + 2)c) y + 3 + 5 =b) x − 5 + 1 − x = y + 1 + 3610d) x − 1 + 3 − x = y + 3 + 3( 2 x − 6) 2 + 2Bài 5.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:816a) 2 x + 3 + 2 x − 1 = 2( y − 5) 2 + 2b) x + 3 + x − 1 = y − 2 + y + 21210c) 3x + 1 + 3x − 5 = ( y + 3) 2 + 2d) x − 2 y − 1 + 5 = y − 4 + 2Bài 5.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn:14202a) ( x + y − 2) + 7 = y − 1 + y − 32b) ( x + 2) + 4 = 3 y + 2 + 5630c) 2 x − 2007 + 3 = y − 2008 + 2d) x + y + 2 + 5 = 3 y + 5 + 6III – Rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:• Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối rồi thu gọn:Bài 1: Rút gọn biểu thức sau với 3,5 ≤ x ≤ 4,1a) A = x − 3,5 + 4,1 − xb) B = − x + 3,5 + x − 4,1Bài 2: Rút gọn biểu thức sau khi x < - 1,3:a) A = x + 1,3 − x − 2,5b) B = − x − 1,3 + x − 2,5Bài 3: Rút gọn biểu thức:a) A = x − 2,5 + x − 1,7b) B = x +12− x−55c) C = x + 1 + x − 3−31 022a) A = x + 0,8 − x − 2,5 + 1,9 với x < - 0,81515c) C = 2 − x + x − + 8b) B = x − 4,1 + x −111với ≤ x ≤ 2555http://NgocHung.name.vn28 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7==============&=&=&==============IV – Tính giá trị biểu thức:Bài 1: Tính giá trị của biểu thức:a) M = a + 2ab – b với a = 1,5; b = −0,75Bài 2: Tính giá trị của biểu thức:a) A = 2 x + 2 xy − y với x = 2,5; y =c) C =−34b) N =a 2− với a = 1,5; b = −0,752 b13b) B = 3a − 3ab − b với a = ; b = 0,255a 311− với a = ; b = 0,25 d) D = 3x 2 − 2 x + 1 với x =3 b32Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức:32a) A = 6 x − 3x + 2 x + 4 với x =c) C = 2 x − 2 − 31 − x với x = 4−2312b) B = 2 x − 3 y với x = ; y = −315x 2 − 7 x + 1d) D =với x =23x − 1V – Tìm giá trị lớn nhất – nhỏ nhất của một biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:1. Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm của giá trị tuyệt đối:* Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm của giá trị tuyệt đối vận dụng tính chấtcủa bất đẳng thức để đánh giá giá trị của biểu thức:Bài 1.1: Tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức:3x +2b) B = − 1,4 − x − 2 c) C =e) E = 5,5 − 2 x − 1,5f) F = − 10,2 − 3x − 14g) G = 4 − 5 x − 2 − 3 y + 12h) H = 2,5 − x + 5,8i) I = − 2,5 − x − 5,8k) K = 10 − 4 x − 2l) L = 5 − 2 x − 1m) M = x − 2 + 35,84x −51k) K = 2 3x − 1 − 43 x −112n) N = 2 + 3 x + 5 + 4Bài 1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a) A = 1,7 + 3,4 − xb) B = x + 2,8 − 3,5d) D = 3x + 8,4 − 14,2e) E = 4 x − 3 + 5 y + 7,5 + 17,5g) G = 4,9 + x − 2,8d) D =2x +3a) A = 0,5 − x − 3,52 3+5 7l) L = 2 3x − 2 + 1h) H = x −c) C = 3,7 + 4,3 − xf) F = 2,5 − x + 5,8i) I = 1,5 + 1,9 − xm) M = 51 − 4 x − 1Bài 1.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:15a) A = 5 + 4 3x + 7 + 3−121420b) B = 3 + 815 x − 21 + 7 c) C = 5 + 3x + 5 + 4 y + 5 + 8http://NgocHung.name.vn29 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 722421e) E = 3 + ( x + 3 y ) 2 + 5 x + 5 + 14d) D = −6 + 2 x − 2 y + 3 2 x + 1 + 6Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:a) A =2 7 x + 5 + 117x + 5 + 4b) B =2 y + 7 + 132 2y + 7 + 6c) C =15 x + 1 + 326 x +1 + 8Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:−8a) A = 5 + 4 5 x + 7 + 24614b) B = 5 − 5 6 y − 8 + 351528c) C = 12 − 3 x − 3 y + 2 x + 1 + 35Bài 1.6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a) A =21 4 x + 6 + 333 4x + 6 + 5b) B =6 y + 5 + 142 y + 5 + 14c) C =− 15 x + 7 − 683 x + 7 + 122. Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị của biểuthức:Bài 2.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a) A = x + 5 + 2 − xb) B = 2 x − 1 + 2 x + 6d) D = 4 x + 3 + 4 x − 5e) E = 5 x − 6 + 3 + 5 xc) C = 3x + 5 + 8 − 3xf) F = 2 x + 7 + 5 − 2 xBài 2.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a) A = 2 x − 3 + 2 x + 5b) B = 3 x − 1 + 4 − 3xc)C = 4 x + 5 + 4x − 1Bài 2.3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:a) A = − x − 5 + x + 4b) B = − 2 x + 3 + 2 x + 4c) C = − 3x − 1 + 7 − 3xBài 2.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:a) A = −2 x − 5 + 2 x + 6b) B = −3 x − 4 + 8 − 3xc) C = −5 5 − x + 5 x + 7Bài 2.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a) A = x + 1 + x − 5b) B = x − 2 + x − 6 + 5c) C = 2 x − 4 + 2 x + 13. Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + bBài 3.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a) A = x + 2 + x − 3b) B = 2 x − 4 + 2 x + 5c) C = 3 x − 2 + 3x + 1Bài 3.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a) A = x + 5 + x + 1 + 4b) B = 3x − 7 + 3x + 2 + 8 c) C = 4 x + 3 + 4 x − 5 + 12Bài 3.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:a) A = x + 3 + 2 x − 5 + x − 7b) B = x + 1 + 3x − 4 + x − 1 + 5c) C = x + 2 + 4 2 x − 5 + x − 3d) D = x + 3 + 5 6 x + 1 + x − 1 + 3http://NgocHung.name.vn30 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Bài 3.4: Cho x + y = 5 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:A = x +1 + y − 2Bài 3.5: Cho x – y = 3, tìm giá trị của biểu thức:B = x − 6 + y +1Bài 3.6: Cho x – y = 2 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:C = 2x + 1 + 2 y + 1Bài 3.7: Cho 2x+y = 3 tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:D = 2x + 3 + y + 2 + 2DÃY SỐ TỰ NHIÊN VIẾT THEO QUY LUẬT,DÃY CÁC PHÂN SỐ VIẾT THEO QUY LUẬT( tiếp)Bài 1 : Tính tổng:2 + 4 – 6 – 8 + 10 + 12 – 14 – 16 + 18 + 20 – 22 – 24 … - 2008Hướng dẫn:Bài 2: Cho A = 1 − 2 + 3 − 4 + ... + 99 − 100.a) Tính A.b) A có chia hết cho 2, cho 3, cho 5 không ?c) A có bao nhiêu ước tự nhiên. Bao nhiêu ước nguyên ?Hướng dẫn:Bài 3: Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + ...a) Biết A = 181. Hỏi A có bao nhiêu số hạng ?b) Biết A có n số hạng. Tính giá trị của A theo n ?http://NgocHung.name.vn31 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Hướng dẫn:Bài 4: Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + ....a) Biết A có 40 số hạng. Tính giá trị của A.b) Tìm số hạng thứ 2004 của A.Hướng dẫn:Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau:( x + 2) + ( x + 7) + ( x + 12) + ... + ( x + 42) + ( x + 47) = 655Hướng dẫn:Bài 6: a) Tìm x biết : x + (x+1) + (x+2) + (x+3) + … + (x+2009) = 2009.2010b) Tính M = 1.2+2.3+3.4+ … + 2009. 2010Hướng dẫn:Bài 7: Tính tổng: S = 9.11 + 99.101 + 999.1001 + 9999.10001 + 99999.100001Hướng dẫn:Bài 8: Cho A = 3 + 32 + 33 + ... + 3100Tìm số tự nhiên n biết rằng 2A + 3 = 3nHướng dẫn:Bài 9: Cho A = 3 + 32 + 33 + .... + 32004a) Tính tổng A.b) Chứng minh rằng A 130 .c) A có phải là số chính phương không ? Vì sao ?Hướng dẫn:Bài 10:a) Cho A = 1 − 3 + 3 2 − 33 + ... − 3 2003 + 32004Chứng minh rằng: 4A -1 là luỹ thừa của 3.b) Chứng minh rằng A là một luỹ thừa của 2 vớiA = 4 + 2 3 + 2 4 + 2 5 + ... + 2 2003 + 2 2004Hướng dẫn:Bài 11:a) Cho A = 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 60Chứng minh rằng A chia hết cho 3, 7 và 15.b) Chứng minh rằng tổng 2 + 22 + 23 + … + 22003 + 22004 chia hết cho 42Hướng dẫn:Bài 12:http://NgocHung.name.vn32 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Cho A = 2 + 22 + 23 + ............+299 + 2100Chứng tỏ A chia hết cho 31Hướng dẫn:Bài 13: Cho S = 5 + 52 + 53 + . . . . + 596a, Chứng minh: S M126b, Tìm chữ số tận cùng của SHướng dẫn:Bài 14: Cho A = 1.2.3......29.30B = 31.32.33........59.60a) Chứng minh: B chia hết cho 2 30b) Chứng minh: B - A chia hết cho 61.Hướng dẫn:Bài 15: Cho A = 3 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + ... + 2 2001 + 2 2002So sánh A và B.Hướng dẫn:và B = 2 2003Bài 16: Cho M = 3 + 32 + 33 + ... + 399 + 3100 .a. M có chia hết cho 4, cho 12 không ? vì sao?b.Tìm số tự nhiên n biết rằng 2M+3 = 3n .Hướng dẫn:Bài 17: Cho biểu thức: M = 1 +3 + 32+ 33 +…+ 3118+ 3119a) Thu gọn biểu thức M.b) Biểu thức M có chia hết cho 5, cho 13 không? Vì sao?Hướng dẫn:Bài 18: Tìm số tự nhiên n biết:1 1 122003+ + + ... +=3 6 10n(n + 1) 2004Hướng dẫn:Bài 19:2222+++ ..... +1.3 3.5 5.799.1013333*b) Cho S = 1.4 + 4.7 + 7.10 +  + n(n + 3) n ∈ Na) Tính:Hướng dẫn:Chứng minh: S < 1http://NgocHung.name.vn33 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 72222++ ... ++60.63 63.66117.120 20035555++ ... ++và B =40.44 44.4876.80 2003Bài 20: So sánh: A =Hướng dẫn:Bài 21:111111+++++10 40 88 154 238 3401 1 112b) Tính: M = + + + + .... +3 6 10 152004.2005111++ ... +c) Tính tổng: S =1.2.3 2.3.498.99.100a) Tính A =Hướng dẫn:12Bài 22: So sánh: A = 1 + +111+ 3 + ... + 100 và B = 2.2222Hướng dẫn:Bài 23: So sánh:A=2222++ ... ++60.63 63.66117.120 2006vàB=5555++ ... ++40.44 44.4876.80 2006Hướng dẫn:Bài 24. Tính2 2 222+ + + +.15 35 63 99 1433333+++ ... +b. B = 3+.1+ 2 1+ 2 + 3 1+ 2 + 3 + 41 + 2 + ... + 100a. A =Hướng dẫn:Bài 25: Tính giá trị các biểu thức:1 111+ + ... ++3 597 99a) A = 11111+++ ... ++1.99 3.97 5.9597.3 99.11 1 11+ + + ... +2 3 4100b) B = 99 98 971+++ ... +123991+Hướng dẫn:Bài 26: Chứng minh rằng:http://NgocHung.name.vn34 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7100 - 1 + + + ... +12131  1 2 399 = + + + ... +100  2 3 4100Hướng dẫn:Abiết:B1 1 11123198 199+++ ... ++A = + + + ... +và B =2 3 4200199 198 19721Bài 27: TínhHướng dẫn:Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy:1 1 1 1 11 ;1 ;1 ;1 ;1 ;....3 8 15 24 35Hướng dẫn:Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau:1 1 11; ;;;...6 66 176 336Hướng dẫn:Abiết:B11111+++ ... ++A=1.2 3.4 5.617.18 19.201 1 111B = + + + ... + +11 12 1319 20Bài 30: TínhHướng dẫn:Bài 31: Tìm x, biết:11 111 1++ ... +++ .... +x =10.110 1.11 2.12100.110 1.101 2.102Hướng dẫn:Bài 32: Tính :a) S = 1 + a + a 2 + a 3 + ... + a n , với ( a ≥ 2, n ∈ N )b) S1 = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + ... + a 2 n , với ( a ≥ 2, n ∈ N )c) S2 = a + a 3 + a 5 + ... + a 2 n +1 , với ( a ≥ 2, n ∈ N * )Hướng dẫn:Bài 33: Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + ... + 499 , B = 4100 . Chứng minh rằng: A a x < a/ x/ < a -a< x< aB. LUYỆN TẬP:1. Dạng: Tính giá trị của một Biểu thức :Bài 1 : Tính Gía trị biểu thức A = 3 x 2 −2 x + 1 với /x / = 0,5Giải: / x / = 0,5 x = 0,5 hoặc x = - 0,5- Nếu x = 0,5 thì A = 0,75- Nếu x = - 0,5 thì A = 2,752. Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đốiBài 2 : Rút gọn biểu thức A = 3 ( 2x - 1 ) - / x - 5 /http://NgocHung.name.vn41 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Giải : với x - 5 ≥ 0 x ≥ 0 thì / x -5 / = x - 5với x –5 < 0 x < 5 thì / x – 5 / = - x + 5Xét cả 2 trường hợp ứng với hai khỏang giá trị của biến xa/ Nếu x ≥ 5 thì A = 3 (2x – 1 ) – ( x – 5 ) = 5x + 2b/ Nếu x < 5 thì A = 3 ( 2x – 1 ) – ( -x + 5 ) = 7x – 83. Dạng: Tính giá trị của biến trong Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ:Bài 3 : Tìm x . Biết 2 / 3x – 1 / + 1 = 5Giải : Ta có / 3x - 1 / = 2 Nên 3x – 1 = +2 và -2Xét cả hai trường hợp :a/ 3x – 1 = 2 => x = 1b/ 3x - 1 = 2 => x = -13Bài4 : Với giá trị nào của a,b ta có đẳng thức : /a ( b – 2 ) / = a ( 2 – b )?Giải : Ta biến đổi /a (b – 2 )/ = / a ( 2 – b )/ (1) vì /A/ = /-A// A / = A A ≥ 0Do đó (1) xảy ra 4 trường hợp :a/a = 0 thì b tùy ýb/b = 2 thì a tùy ýc/a > 0 thì b < 2d/a < 0 thì b > 2Bài 5 : Tìm các số a , b sao cho a + b = / a / - / b / (1)HD: Xét 4 trường hợp :a/ a ≥ 0, b > 0 thì (1) a + b = a – b b = - b (không xảy ra )b/ a ≥ 0, b ≤ 0 thì (1) a = b = a + b Đẳng thức nầy luôn luônđúng.Vậy : a ≥ 0, b ≤ 0 thỏa mãn bài toán .c/ a < 0 , b > 0 thì (1) a + b = -a – b a = - b . Vây a < 0 vàb = -a thỏa mãn bài toán .d/ a < 0 , b ≤ 0 thì (1) a + b = -a + b a = -a ( không xảy ra )Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a ≥ 0, b ≤ 0 hoặc a < 0 , b > 04. Dạng Tìm GTNN , GTLN của biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối :Bài 6: a/Tìm GTNN của A = 2 / 3x – 1 / - 4Với mọi x ta có / 3x – 1 / ≥ 0 => 2 / 3x – 1 / ≥ 0Do đó 2 / 3x - 1 / - 4 ≥ - 4Vậy GTNN của A = -4 tại 3x – 1 = 0 x = 1/3http://NgocHung.name.vn42 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7b/ Tìm GTNN của B= 1,5 + /2 - x /HD: B đạt GTNN bằng 1,5 tại=2c/ Tìm GTNN của C = /x-3/HD:Ta có x ≥ 0 => / x − 3 / ≥ 0 => GTNN = 0Bài 7:a/ Tìm GTLN của B = 10 - 4 / x - 2 /Với mọi x ta có / x – 2 / ≥ 0 => - / 4 / x - 2 / ≤ 10Do đó 10- - 4 / x - 2 / ≤ 10Vậy GTLN của B = 10 tại x = 2b/ Tìm GGLN của B = -/ x+2 /HD: C= - /x+2/ ≤ 0 => GTLN = 0khix = −2c/ Tìm GTLN của C= 1 - /2x-3/HD: D = 1-/2x-3/ ≤ 1 => GTLNlla 0khix = 3 / 2Bài 8:Tìm GTNN của C =6với x là số nguyên/ x /− 3- Xét / x / > 3 => C > 0- Xét / x / < 3 => / x / = 0;1hoặc 2 => c = -2 ;-3 hoặc -6Vậy GTNN của C = -6 x = 2 ; -2 .Bài 9 Tìm GTLN của C = x - / x /- Xét x ≥ 0 => C = x - x = 0- Xét x < 0 => C = x – (- x ) = 2x < 0Từ (1) và (2) ta thấy C ≤ 0Vậy GTLN của C = 0 x ≥ 0Bài 10 :Tìm giá trị biểu thức :3a/ A = 6 x −3x 2 + 2 / x / + 4với x = -2/3b/ B = 2/x/ - 4/y/với x = ½ và y = - 3(1)(2)(đs 20/9)(đs -8 )Bài 11 :Rút gọn biểu thức :a/ 3 (x - 1 ) – 2 / x + 3 /(đs :x – 9 với x ≥ −3 ;5x+ 3 với x < 3)b/ 2 / x – 3 / - / 4x - 1 /(đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 vớihttp://NgocHung.name.vn43 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7¼ ≤ x < 3và bằng -2x -5 với x ≥ 3.Bài 12 :a/ A =b/ B =c/ C =d/ D =Tìm GTNN của các biểu thức :2 / 3x – 2 / - 1=>GTNN của A = -1 x = 2/35 / 1 – 4x / - 1=>GTNN của B = -1 x = 1/42x +3/y–2/ -1=> GTNN của C = -1 x = 0 ; y = 2x + / x / ( xét x > 0 ;c < 0) => GTNN của D = 0 x ≤ 0Bài 13:Tìm GTLN của các biểu thức :e/E = 5 - / 2x - 1 /=> GTLN của E = 5 x = 1/21/ x − 2 /+ 3f/F =g/G ==> GTLN của F =1/3 x =2x+2với x là số nguyên/ x/HD : Xét 3 TH : ***x ≤ −2 C ≤ 1x = 1 C = 1x ≥ 1 G =Ta thấy G lớn nhất khix+22=1+xx22nhỏ nhất . Mà lớn nhất x nhỏ nhấtxxtức x = 1 khi đó G = 3 => GTLN của G = 3 x= 3BÀI 14: Tìm x sao cho :a/ / x - 2 / < 4HD: Ta đã biết /x/ < a -a < x < aNên /x-2/3/2=> A = (x -1/2)-(x - 3/2) = 1Vậy với x < 1/2 hoặc x > 3/2 thì giá trị biểu thức A khôngphụ thuộc vào biến xII.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨCHOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI1/Phương pháp chung :Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đốilà xét các khoảng giá trị của biến để lập bảng xét dấu rồi khử dấu giá trị tuyệt đối .Ví dụ 16: Tìm x .Biết rằng :a/ x − 1 + x − 3 = 6(1)GIẢI:Xét x-1 = 0 x = 1x-1< 0 x < 1x-1> 0 x > 1và xét x-3 = 0 x = 3x-3 < 0 x < 3x-3 > 0 x > 3Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 như sau :x13x-10+/x -3/0Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= 6-2x=20x = 4x=-1(không có giá trị(giá trị nầy thuộcnào thoả mãn (1)khoảng đang xét)Vậy x = -1 và x = 5 thì thoả mãn (1)b/ x + 2 + x − 5 = 7http://NgocHung.name.vn45++(x-1)+(x-3) = 62x = 10x=5( giá tri nầy thuộckhoảng đang xét) Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7xx+2x-5--20/5/0+-++* Xét khoảng x 5 Ta đựoc 2x=10 x = 5 ( loại)Kết luận: -2 ≤ x ≤ 5c/ x + 3 − 2 x = x − 4xx+3x- 4--30/4/0+-++*Xét khoảng x < 3 ta được -2x = 7 x= -3,5( thuộc khoảng đang xét)*Xét khoảng -3 ≤ x ≤ 4 ta được 0x = 1=> không có giá trị nào của x thoả mãn.* Xét khoảng x>4 Ta được -2x = -7 x = 3,5 không thuộc khoảng đang xét .Kết luận : vậy x = -3,55Ví dụ 17: Tìm x , Biết: x − 1 + x − 3 < x + 1(2)Tương tự:• Xét khoảng x< 1 Ta có (2) =>(1-x)+*3-x)(x-1)+(3-x) Ta có cácgiá trị 13 => ta có (x-1)+(x-3) 0x + 2 / 3 > 0 x > −2 / 3 1 / 4 − x > 0x < 1/ 4 x + 2 / 3 < 0 x < −2 / 3 (khongthedongthoixayra )x > 1/ 41 / 4 − x < 0 -2/3 < x < 1/4Cách 2: Lập bảng xét dấu:Giá trị xdấu x+3/2dấu 1/4-xdấu của B.thức+--2/30/-2/3+++Vậy Biểu thức > 0 nếub/ Tìm x thoả mãn:1/4/01/4+--2/3 < x < 1/42x − 1 0x > 1 / 22x − 1< 0  (khongthexayra)3+ x3 + x < 0x < 1 / 42 x − 1 < 0x < 1/ 22x − 1< 0   { − 3 < x < 1 / 23+ x3 + x > 0 x > −3Vậy biểu thức < 0 khi -3 < x < 1/2&&&&&&&&&http://NgocHung.name.vn51 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Chuyên đề 2:CHỨNG MINH TAM GiÁC$1.. TỔNG BA GÓC CỦA TAM GIÁCKiến thức cần nhớ :1- Tổng 3 góc của một tam giác bằng 180 độ .2- Trong tam gíác vuông 2 góc nhọ phụ nhau .3- Mỗi góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó.4- Góc ngoài của tam giác lớn hơn 1 góc trong không kề với nó .BAÌ 1 a/ Chứng minh tổng 3 góc trong tam giác bằng 180 độ?(Bằng cách khácSGK)b/ Chứng minh tổng các góc ngoài của một tam giác bằng 360 độ ?c/ Chứng minh góc ngoài của tam giác bằng tổng hai góc trong không kề ?BÀI 2: a/ Tính tổng các góc ở đỉnh của một ngôi sao năm cạnh ?b/ Cho ∆ ABC : AC >AB . Vẽ phân giác AD ( D ∈ BC ) Chứng minh :Góc ADC - góc ADB = góc B - góc C ?HD. Sử dụng định lý góc ngoài của tam giác .BÀI 3 Cho ∆ ABC có góc A = αVẽ tia phân giác BD và CE ( D tuộc AC; E thuộc AB ) cắt nhau tại O .a/ Tính góc BOC theo α ?b/ Vẽ phân giác ngoài tại B và C cẳt nhau tại I . Tính góc BIC theo α ?Hướng dẫn : Tổng quát : Ô = 90 0 +ααvà góc I = 90 0 22BÀI 4 : Tính các góc trong và ngoài của tam giác ABC . Biết Aˆ − Bˆ = Bˆ − Cˆ = 20 0HD : ..=>  = Bˆ + 20 0 , Cˆ = Bˆ − 20 0 => Aˆ + Bˆ + Cˆ = 3 Bˆ = 180 0 ,=> Bˆ = 60 0 ,  = 80 0 ; Cˆ = 40 0 & Bˆ1 = 120 0 , Aˆ1 =100 0 ; Cˆ1 = 140 0BÀI 5 : Vẽ thêm và dùng định lý góc ngoài . Chứng minh : AÔ B = Aˆ + Bˆhttp://NgocHung.name.vn52 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7aAObB$2. CÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAU CỦA HAI TAM GIÁCTam giácTH 1.C-C-CTH 2.C-G-CTH 3.G-C-G$ 3.Tam giác vuôngCạnh huyền + Cạnh góc vuôngHai cạnh góc vuôngCạnh GV+ G.nhọn kề ; C.Huyền +G.nhọnTAM GIÁC VÀ MỘT SỐ TAM GIÁC ĐẶC BIỆT :∆ . CânTam giácĐịnh A,B,C không ∆ ABC:nghĩ thẳng hàngAB = ACaQua Â+ Bˆ + Cˆ =180Bˆ = Cˆ0ˆn hệˆ = 180 − ABcácCˆ 1 > Aˆ2gócÂ=180Cˆ 1 > Bˆ0Quan hệcáccạnh1 cạnh< Tổngvà > Hiệu2cạnh còn lại∆ . ĐỀUAB=BC=AC∆ VUÔNG∆ABC :Aˆ = 90 0∆ vuông cân∆ABC : Aˆ = 90 0Aˆ = Bˆ = Cˆ = 60Bˆ + Cˆ = 90 0Bˆ + Cˆ = 45 0∆ ABC :AB=AC0−2 BˆBC 2 = AB 2 + AC 2AB=ACAB=BC=ACBC > ABBC > ACAB=AC= cBC= c 2BÀI 6 : Cho tam giác ABC có  = 80 độ , Bˆ = 60 độ . Hai tia phân giác của gócB và C cắt nhau tại I . Vẽ tia phân giác ngoài tại đỉnh B cắt tia CI tại D . Chứngminh góc BDC = góc C ?HD: Tính góc C = 40 độ .Tính góc BDC = 180 0 –(90 +30)= 40độ =>gócC =góchttp://NgocHung.name.vn53 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7BÀI 7 : Cho tam giác ABC có góc A = 2 Bˆ và Bˆ = 3 Cˆ .a/ Tính góc A ;B ; C ?b/ Gọi E giao điểm của đường thẳng AB với tia phân giác của góc ngoài tạiđỉnh C . Tính góc AEC ?BAHD : a/Qui về góc C =>góc A+B+C =10 Cˆ => góc C = 18 0=> Bˆ = 54 độ;  = 108 độ.b/ Kẻ tia AC x kề bù vơi góc ACB=> góc AC x = 162 độ=> AC E = 81 độ và  2 = B + C =54+18 =72 độ=>gócE =180–(81+72)= 27độ .CEBÀI 8 : Cho tam giác ABC có các góc A;B;C tỷ lệ với 3;2;1 .Hỏi tam giác ABC làtam giác gì ?HD : Ta có góc A:B:C=3:2:1 => góc A =90 độ=> Tamgiác ABC vuông tại A .BÀI 9 : Cho tam giác ABC có chu vi bằng 21 cm . Độ dài 3 canh là 3 số lẻ liên tiếpvà AB < BC < CA . Tim độ dài 3 cạnh của tam giác A. Biết ∆ABC = ∆PQR.AHD : Gọi độ dài 3 cạnh AB = 2n + 1 ,BC= 2n +3 vàCA = 2n +5 .Ta có AB+BC+AC= 6n = 12 => n= 2=>AB= PQ= 5 ;BC=QR=7,CA=RP=9 cmBCBÀI 10: Cho góc xÔy . Trên tia O x lấy A , B và trên Oy lấy C,D sao cho OA=OC ;AB = CD . Chứng minh rằng : a/ ∆ABC = ∆CDA & b / ∆ABD = ∆CDB ?DChttp://NgocHung.name.vnHD : ∆ABC = ∆CDA(cgc) & ∆CDB = ∆ABD(cgc)54 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7ABBÀI 11 : Cho tam giác ABC.Biết AB = 3 cm , BC = 5 cm và CA = 4 cm .Gọi đườngthẳng qua A và song song với BC là a .Đường qua B song song với CA là b và đườngthẳng qua C và song song vơi AB là c . Gọi M,N,P theo thứ tự giao điểm các đườngthẳng b và c ; a và c ; a và b . Tìm độ dài các cạnh tam giác MNP ?HD : Chứng minh ∆ABC = ∆CNA( gcg ); ∆ABC = ∆BAP = ∆MCB.=>Các cạnh của tam giác MNP dài gấp đôi các cạnhtương ứng của tam giác ABC => MN=2AB = 6cm ;NP = 2BC = 10 cm và NP =2CA = 8cm .ABCMBÀI 12 : Gọi M trung điểm cạnh BC của tam giác ABC , kẻ BH ⊥ AM và CK ⊥ AM.Chứng minh :a/ BH // CKAb/ M trung điểm của HKc/ HC // BK ?HH D : a/ BH // CK vì cùng vuông góc với AM .BMCb/ ∆BHM = ∆CKM => MH = MKc/ ∆HCM = ∆KBM => gocHCB = gocKBC => HC // BKBÀI 13 : Cho tam giác LMN có 3 góc đều nhọn . Người ta vẽ phía ngoài tam giácấyba tam giác đều LMA ; MNB và NLC . Chứng minh rằng : LB = MC = NA ?∆AMN = ∆LMB (cgc) => NA = BLHD : ∆ALN = ∆MLC (cgc) => NA = CM => LB = MC = NA .LAMNhttp://NgocHung.name.vn55 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7BBÀI 14: Cho tamgiác ABC có  = 90 độ ; Bˆ = 60 độ . Phân giác góc B;góc C cắtnhau tai I và AI cắt BC tại M . a/ Chứng minh góc BIC là góc tù ?b/ Tính góc BIC ?AHD:a/ Góc I 1 > góc A 1 Góc ngoài tam giác BIMGóc I 2 > góc A 2 góc ngoài tam giác CIM góc I > góc A = 90 độ = > góc BIC là góc tù .Cb/ ...=> góc BIC = 180 – 45 = 135 độ .MBBÀI 15 : Cho tam giác ABC có góc B – góc C = 20 độ . Tia phân giác góc A cắtBC tại D . Tính số đóc góc ADC ? góc ADB ?AHD : => Ta có Dˆ 1 = Bˆ + Aˆ1; Dˆ 2 = Cˆ + Aˆ 2 => Dˆ 1− Dˆ 2 = Bˆ − Cˆ = 20 0Mà Dˆ 1 + Dˆ 2 = 180 độ => Dˆ 1 =100 0 , Dˆ 2 = 80 0BDCBÀI 16 : Cho tam giác ABC có ba góc nhọn . Vẽ đoạn thẳng AD vuông góc và bằngAB ( D khác phía C đối với AB ) Vẽ đoạn thẳng AE vuông góc và bằng AC ( Ekhác phía B đối với AC ) . Chứng minh rằng : a/ DC = BE ?b/ DC ⊥ BE ?EHD : a/ ∆ADC = ∆ABE (gcg ) => DE = BEDc./ Gọi H là giao điểm AB với CD và K là giaoAđiểm DC với BE. ∆ADH & ∆KBHgocDAH = BKH = 900BCBÀI 17 : Cho tam giác ABC có góc B = 2 Cˆ . Tia phân giác góc B cắt AC ở D . Trêntia đối BD lấy điểm E sao cho BE = AC . Trên tia đối CB lấy điểm K sao choCK = AB . Chứng minh rằng : AE = AK ?HD : Chứng minh góc ABE = góc ACKA=> ∆ABE = ∆KCA(cgc) => AE = AK .Dhttp://NgocHung.name.vn56 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7BCKEBÀI 18 : Cho tam giác ABC với K là trung điểm AB và E trung điểm AC . Trên tiađối tia KC lấy điểm M sao cho KM = KC . Trên tia đối EB lấy điểm N sao choEN = EB . Chứng minh A là trung điểm của MN ?HD: ∆AKM = ∆BKC (cgc) => gocKAM = gocKBC => AM // BC∆AEN = ∆CEB => AN = BC & AN // BCMAKNMà AM//BC;AN//BC=>M;A;N thẳng hàng (1)AM=BC;AN=BC=>AM=AN (2)Từ (1) &(2) => A là trung điểm của MN .EBCBÀI 19 : Cho tam giác ABC. Vẽ về phía ngoài tam giác ABC các tam giác vuông tạiA là ∆ ADB ; ∆ACE có AB = AD ; AC = AE . Kẻ AH vuông góc BC ; DM vuônggóc AH và EN vuông góc AH . Chứng minh rằnga/ DM = AHNEb/ MN đi qua trung điểm DE .DMHD : a/ ...=> ∆ADM = ∆BAH => DM = AHABHCb/ ...=> tương tự câu a => EN=AH =>DM=ENChứng minh DM//EN và gọi O giao điểm MN vàDE => ∆DMO = ∆ENO( gcg ) => OD = OE .BÀI 20 : Cho tam giác ABC. gọi D trung điẻm AB và E trung điểm AC. Vẽ điểm Fsao cho E là trung điểm của DF . Chứng minh rằng :Aa/ DB = CFb/ ∆BDC = ∆FCDˆhttp://NgocHung.name.vn57 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7D1BC2HD: a/ ...=> ∆AED = ∆CEF (cgc) => AD = CF => BD = CFCb/ ...=> ∆DBC = ∆FCD(cgc)11c/ ...=> ∆BDC = ∆FCD => BC = DF => DE = DF => DE = BC .22EFBc/ DE // BC & DE =BÀI 21 : Cho tam giác ABC . Trên cạnh AB lấy điểm D ; E sao cho AD = BE. QuaD và E vẽ các đường song song BC chúng cắt AC theo thứ tự ở M và N . Chứngminh DM + EN = BC ?AHD: Qua N vẽđường thẳng //AB cắt BC tại K.Tacó EN//BKEB//NK nên chứng minh được NK=EB;EN=BK AD= NK ( vì cùng bằng EB ). Chứng minh ∆ADM = ∆NKC (cgc) => DM = KC...=>....ENBFCBÀI 22 : Cho tam giác ABC có  = 60 0 . Các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tạiI và cắt AC ; AB theo thứ tự D ; E . Chứng minh : ID = IE ?AEIHD :DBˆ + Cˆ 120== 60 0220ˆˆ∆BIC :=> BIC = 120 => I 1 = Iˆ4 = 60 0IK phân giác BIˆC => Iˆ = Iˆ = 60 0...=> Bˆ1 + Cˆ1 =12∆BIE = ∆BIK ( gcg ) => IE = IK∆CDI = ∆CIK ( gcg ) => ID = IK => ID = IEBKCBÀI 23 : Cho hai đoạn thẳng AB và CD cắt nhau tại E . Các tia phân giác ACˆ E & DBˆ Ecắt nhau ở K . Chứng minh : BKˆ C =BAˆ C + BDˆ C?2KDAHD: Gọi K là giao điểm CK&BE. H là giao điểm BK&DEXét ∆KGB & ∆AGC => Kˆ + Bˆ1 = Aˆ + Cˆ1(1)Xét ∆KHC & ∆DHB => Kˆ + Cˆ 2 = Dˆ + Bˆ 2(2)HGTừ (1) &(2) => 2 Kˆ = Aˆ + Dˆ => Kˆ =ECBhttp://NgocHung.name.vn58Aˆ + Dˆ2 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7http://NgocHung.name.vn59 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7BÀI 24 : Cho tam giác ABC với M trung điểm BC . Trên nửa nặt phẳng khôngchứa C bờ AB vẽ A x vuông góc AB và lấy D sao cho AD = AB . Trên nửa mặtphẳng không chứa B bờ AC vẽ Ay vuông góc AC và lấy AE = AC .Chứng minh : a/HAM =1ED2b/ AM ⊥ DEHD :a/ Để chứng tỏ DE = 2AM tạo ra đoạn thẳng gấp đôiAM bằng cách trên tia đối MA lấy MK = MA và đichứng minh DE = AK- Xét ∆ABK & ∆DAE : AD = AB( gt ); AE = BK (= AC )Và DAˆ E + Aˆ = 180 0 (viAˆ1 + Aˆ 2 = 180 0 ) (1)Bˆ + Bˆ1 = Bˆ + Cˆ => ABˆ K + Aˆ = Bˆ + Cˆ + Aˆ = 180 0 (vibuAˆ ) (2)EAVậy : ABˆ K = DAˆ E => ∆ABK = ∆DAE => AK = DE => AM =BMCDE2b/ Gọi H là giao điểm AM&DE ; Ta cóBAˆ K + DAˆ H = 90 0 => Dˆ + DAˆ H = 90 0 => ADˆ H = 90 0BÀi 25 Miền trong góc nhọn xÔy vẽ Oz sao cho xÔz =1yÔz .Qua điểm A thuộc2Oy vẽ AH vuông góc O x cắt Oz ở B .Trên tia Bz lấy D sao cho BD = OA . Chứngminh tam gíc AOD cân ?AHD : Để chứng minh AO = AD ta vẽ DE = OBTa thấy : AEˆ B = 90 0 − α & ABˆ E = OBˆ H = 90 0 − α => AEˆ B = ABˆE=> ∆AOB = ∆ADE (cgc) => AO=AD => ∆ AOD cânEODBHhhttp://NgocHung.name.vn60 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7BÀI 26 : Cho góc xÔz = 120 0 . Oy là tia phân giác xÔz ; Ot là tia phân giác củagóc xÔy . M là điểm miềm trong góc yOz. Vẽ MA vuông góc O x,Vẽ MB vuông gócOy,Vẽ MC vuông góc Ot . Chứng minh 0C = MA – MB ?yzMBHHĐ: Gọi E , I là giao điểm của MC với Oy;O x.=> ∆ EOI đều => OC = EK .Vẽ EH ⊥ MA; EK ⊥ OI dễ dàng chứng minh đượcMH = MB ; EK = OC MA-MB = MA – MH = HA = EK = OCEtCOIxAKBÀI 27 : Cho tam giác cân ABC có  = 100 độ. Tia phân giác góc B cắt AC ở D.Chứng minh BC = BD + AD .AHD : Ta có Dˆ 1 = Bˆ 2 + Cˆ = 20 0 + 40 0 trên cạnh BC lấy các điểm K , E sao choBDˆ K = 60 0 & BDˆ E = 80 0 => ∆BDA = ∆BDK ( gcg ) => DA = DK (1)Chứng minh tam gíac DKE cân tại D =>DK = DE (2)Và chứng minh tamgiác DEC cân tại E=>DE=EC (3)Từ (1),(2).(3) =>AD=EC=> BC = BE+EC=BD+ADBK ECBÀI 28 : Cho tam giác ABC nhọn. Vẽ đường cao BD ,CE . Trên tia đối BD lấy điểmI. Trên tia đối CE lấy điểm K sao cho BI = AC , CK = AB .Chứng minh ∆ AIK vuông cân ?HD : Ch/minh ∆ABI = ∆KCA(cgc). AI = AKAGóc AIK=90 độ (vì góc E = góc K (cmt)Suy ra : tam giác AIK vuông cânBChttp://NgocHung.name.vn61 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7BÀI 29:Cho góc xÔy = 90 độ Lấy điểm A trên O x và điểm B trên Oy . Rồi lấy điểmE trên tia đối O x và điểm F trên tia Oy sao cho OE =OB và O F = OA .a/ Chứng minh AB = E F và AB ⊥ E Fb/ Gọi M,N là trung điểm AB, E F Chứng minh tamgiác OMN vuông cân ?HD : a/ ∆OAB = ∆Oß E(2 cgv) => AB = E F & AB ⊥ E Fb/ ∆OMB = ∆ONE (cgc) => OM = ON & gocMOM = 90do =>yOMN vuông cânBFNEMOAxBÀI30: Cho tam giác đều ABC, Trên 2 cạnh AB,AC lần lượt lấy 2 điểm M và N saocho AM = CN . Gọi O là giao điểm CM và BN . Chứn ninh rằng :Aa/ CM = B Nb/ Số đo góc BOC không đổi khi M và N di động trênAB,AC thoả mãn điều kiện AM = CN.MHD: a/ ∆ACM = ∆CBN (cgc) => CM = BN & Cˆ1 = Bˆ1b/ ∆BOCcoBOˆ C = 180 0 − ( Bˆ1 + Cˆ 2 ) = 180 0 − 60 0 = 120 0NOBC&&&&&&&&&http://NgocHung.name.vn62 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Chuyên đề:TAM GIÁC VUÔNGTAM GIÁC CÂN .....A. TAM GIÁC VUÔNG :1/ Định nghĩa tam giác vuông ? tam giác vuông cân ?2/ Tính chất :- Tam giác ABC : Â=90 độ Bˆ + Cˆ = 90 0- Định lý PyTago: ∆ABC : Aˆ = 90 0 ⇔ BC 2 = AB 2 + AC 2- Bộ ba số Py ta go: (3;4;5); (5;12;15);(6;8;10);(8;15;17);(20;21;29)....- Các hệ thức trong tam giác vuông:∆ABC : Aˆ = 90 0 ; AH ⊥ BC => AH .BC = AB. ACAB 2 = BH .BC ; AC 2 = CH .BC.;1∆ABC : Aˆ = 90 ; AB = MC AM = BC2SS AMB = AMC-- Tam giác vuông có một góc nhọn bằng 60 độ (30 độ)là nửa tam giác đều ( cạnh bằng cạnh huyền ).- Các trường hợp hai tam giác vuông bằng nhau: 2 cgv-ChuyềnToán nâng cao:BÀI 1: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc C = 45 độ. Vẽ phân giác AD.Trên tiađối AD lấy AE = BC.Trên tia đối CA lấy CF = AB .Chứng minh :a/ BE = CFb/ BE = BF .Hướng dẫn: a/ Chứng minh : BÂE = B Cˆ F = 135 0ACh/minh : ∆BAE = ∆FCB(cgc) ⇒ BE = CFDb/ ∆ABF : Aˆ = 90 0 => ABˆ F + Fˆ = 90 0ACFMà:Fˆ = Bˆ (cmt ) => ABˆ F + Bˆ = 90 0hayEBˆ F = 90 0 => BE ⊥ BFBÀI 2: Cho tam giác ABC có BC = 2 AB . M trung điểm BC; D trung điểmBM . Chứng minh : AC = 2 ADAHướng dẫn: Trên tia đối AD lấy DE = DA=> ∆ADB = ∆EMD(cgc) => AB = ME; ABˆ D = EMˆ D12=> AB=ME= BC => ME = MC (1)http://NgocHung.name.vn63 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7(1)BDMCMặt khác:EMˆ A = Mˆ 1 + Mˆ 2 ; CMˆ A = Bˆ + BAˆ M ( gocngoai )Mà: Mˆ = B(cmt ); Mˆ = ABˆ M12Vậy : AMˆ E = AMˆ C (2) và AM chung (3)Từ (1),(2) và(3) suy raE∆MCME = ∆AMC => AE = AC => AC = 2ADBÀI 3: Cho tam giác ABC vuông tại A và góc B= 60 độ . Vẽ tia C x ⊥ BC và lấyCE = CA ( CE và CA cùng phía với BC). Kéo dài CB và lấy F sao cho BF = BA .Chứng minh : a/ ∆ACE đều b/ E,A,F thẳng hàng ?Hướng dẫn: a/ Ta có CA = CE (gt) => ∆CEAcanChứng minh tiếp góc ACE = 60 độSuy ra : ∆CAE đềuEb/ Ta có : BA = BF (gt) => ∆BFAcanSuy ra : góc BA F = 30 độ;AVậy: FBˆ A + BAˆ C + CAˆ E = 30 0 + 90 0 + 60 0 = 180 0Ta suy ra ba điểm F;A;E thẳng hàng .EAFFBCBÀI 4: Cho tam giác ABC vuông tại A . Tia phân giác góc B và C cắt nhau tại O .Qua O kẻ đường song song BC,cát AB tại D và cắt AC tại E .Chứng minh : a/ Góc BOC không đổi .b/ DE = DB + ECAHD : a/ BOˆ C = 180 0 − ( Bˆ 2 + Cˆ 2 ) = 180 0 − 45 0 = 135 0b/ ∆DBOcan => DB = DO∆EOC can => EC = EOODEVậy DB+EC=DO+OE=DEBCBÀI 5 : Cho tam giác ABC: Góc B = 2 góc C. Kẻ AH vuông góc BC(H thuộc BC) . Trên tia đối BA lấy BE = BH . Đường thẳng EH cắt AD tại F.Chứn minh : FH = FA = FC .AHướng dẫn: Ta có BH= BE => ∆ BEH cân => Eˆ = Hˆ 1Mà Hˆ 1 = Hˆ 2 => & Bˆ = 2 Hˆ 1 = Bˆ = 2 Hˆ 2 => Hˆ 2 + CˆFVậy tam giác FHC cân =>HF = HC (1)http://NgocHung.name.vn64 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Mặt khác :  = 90 0 −Cˆ & AHˆ F = 90 0 − Hˆ 2Vậy tam giác FAH cân => FA = FH (2)CTừ (1) và (2) => HF = FA = FCBHEBài 6: Cho tam giác ABC :góc A = 90 độ.Ở miềm ngoài tam giác vẽ các tam giácvuông cân ABD, AC F ( AB = BD và AC = CF).a/ Chứng minh : D,A,F thẳng hàng ?b/ Từ A và F kẻ các đường D D ' , FF ' vuông góc xuống BC .Chứng minh : DD ' + FF ' = BCHD: a/  = 45+90+45 = 90 độ=>A,D,F thẳng hàng∆DBD ' = ∆BAH => DD ' = BHb/ Kẻ AH ⊥ BC => ∆CFF ' = ∆AHC => FF ' = HCA=> DD ' + FF ' = BH + HC = BCBCBài 7 : Cho ∆ABC : BAˆ C = 120 0 Kẻ AD phân giác góc A .Từ A hạ DE ⊥ AB ;DF ⊥ AC .a/ Tam giác DE F tam giác gì ?b/ Qua C vẽ đường thẳng // AD cắt AB tại M , tam giácACM là tam giác gì ?AHD: a/ Chứng minh DE = DF và góc EDF = 60 độ => ∆ đềuFb/Tam giác ACM đều .EBDCBÀI 8: Tam giác ABC có AB > AC .Từ trung điểm M của BC kẻ đường thẳngvuông góc với tia phân giác góc A và cắt tia phân giác tại H cắt AB,AC lần lượt tại Evà F . Chứng minh rằng:a/ BE = CFc/ góc BME =Ab/ AE =AB + ACAB − AC; BE =22ACˆ B − Bˆ2HD: a/ Chứng minh góc F = góc EKẻ CD // AB =>BE=CD (1)Mà ∆ CDF cân => CF=CD (2) => BE=CFhttp://NgocHung.name.vn65 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7b/ Ta có AE = AB - BEMà AE=A F= AC+CF=>2AE=AB+ACAB + AC2AB − ACTương tự : 2BE=AB-AC => BE =2ˆ B - Fˆ & BMˆ E = Eˆ - BCEˆ F = ACˆˆc/ Ta có :ˆ E = ACˆB - Bˆ => BMˆ E = ACB - B2BM2 AE=EMCFB.1.2.3.4.TAM GIÁC CÂNBỔ SUNG KIẾN THỨC:Trong một tam giác vuông có một góc nhọn bằng 30 độ thì cạnh đối diện vớigóc ấy bằng nửa cạnh huyền.Một tam giác vuông có góc nhọn bằng 30 độ (hay bằng 60 độ) thì tam giácvuông đó bằng nửa tam giác đều.Cạnh đối diện góc vuông là cạnh tam giácđều và cạnh đối diện góc nhọn 60 độ là chiều cao tam gióc đều.Trong một tam giác vuông có một cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền thìgóc đối diện cạnh với cạnh góc vuông ấy bằng 30 độ.Trong tam giác cân:- Hai trung tuyến ứng với 2cạnh bên bằng nhau.- Hai phân giác ứng với 2 cạnh bên bằng nhau.- Hai đường cao ứng với 2 cạnh bên bằng nhau.TOÁN CHO HS GIỎI:BÀI 9: Cho tam giác nhọn ABC có góc Â= 60 độ. Đường cao BD. Gọi M,N lầnlượt là trung điểm AB ; AC.a/ Xác định dạng của tam giác BMD ? Tam giác AMD ?b/ Trên tia AB lấy điểm E sao cho AE=AN . Chứng minh CE vuông góc AB ?HD:ADhttp://NgocHung.name.vn66 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7MENBCXét tam giác vuông ABD có DM là trung tuyến ứng với cạnh huyềnABnên:MD=MA=MB=AB:2 => Tam giác ABD và tam giác AMD cân.Mà Â=60 độ => tam giác AMD đều.b/ Xét tam giác AEN có AE=AN=>tam giác AEN cân+Â=60 độ=>tamgiác AENđều=>EN=NA=CN=AC:2.Vậy tam giác EAC có trung tuyến EN=AC:2=>tam giác EAC vuôngtại E =>CE vuông góc ABBÀI 10: Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh BC lấy 2 điểm M,N sao choBM=BA;CN=CA. Tính góc MÂN ?HD:BN= 1= M1AC180 − Bˆ2180 − CˆTam giác CAN cân tại C=> Nˆ 1 =2Vậy : MAˆ N = 180 − ( Mˆ 1 + Nˆ ) = 180 − 135 = 45 0Tam giác BAM cân tại B=> Mˆ 1 =BÀI 11: Cho tam giác ABC đường cao AH và trung tuyến AM chia góc A thành 3góc bằngnhau. a/ Chứng minh tam giác ABC vuông ?b/ Tam giấcBM là tam giác đều ?HD:AIhttp://NgocHung.name.vn67 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7BHMCa/ Vẽ MI vuông góc AC . Chưng minh∆MAI = ∆MAH (C.h + g .n) => BH = MH =11BM = MC => Cˆ = 30 0 & HAˆ C = 60 022Vây BÂC= (60.3):2=90 độ => Tam giác ABC vuông tại A.b/ Ta có góc C=30 độ;góc B=60 độ;AM=BM=1/2BC=>tam giác ABMcân cómột góc bằng 60 độ => tam giác ABM đều.BÀI 12: Cho tam giác ABC có góc B= 75 độ,góc C bằng 60 độ. Kéo dài BC mộtđoạn CDsao cho CD=1/2BC .Tính góc ADB ?HD:AH12121BCD- Kẻ BH vuông góc AC. Xét tam gica vuông BHC vuông tại H và góc C=60 độ =>góc11Bˆ1 = 30 0 => CH = BC => CH = CD => ∆CDH can = Dˆ 1 = ACˆ B = 30 0 => ∆HDBcan => HB = HD(1)22- Xét tam giác HAB vuông tại H có góc B2=75-30=45 độ=>tam giác HAB vuôngcân=>HA=HB(2).Từ (1) và (2) => HD=HA=>Tam giác HAD cân.12Ta suy ra Dˆ 2 = Hˆ 1 = 15 0 => ADˆ B = 30 + 15 = 45 0ĐỊNH LÝ:PY-TA-GOKIẾN THỨC BỔ SUNG:1. Trong tam giác vuông cân có cạnh bên băng a thì cạnh huyền bằng a 22. Khoảng cách giải 2 điểm trong mựt phẳng toạ độ:http://NgocHung.name.vn68 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7A( x1 ; y1 ); B( x 2 ; y 2 ) => AB 2 = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 => AB = ( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2BÀI 13: Cho tam giác ABC có AB=24; BC=40 và AC=32.Trên cạnh AC lấy M sao cho AM =7. Chứng minh rằng :a/ Tam giác ABC vuông ?b/góc AMB = 2góc C.HD:A7M24B3240Ca/ Tam giác ABC có: BC 2 = 40.40 = 1600AB 2 + AC 2 = 24.24 + 32.32 = 1600Vậy AB 2 + AC 2 = BC 2 = 1600 => ∆ABCvuongtaiA24 2 − 7 2 = 25b/ Chứng minh ram giác MBC cân : BM=AC − AM = 32 − 7 = 25Suy ra : góc MBC=góc C. Mà góc AMB=góc MBC+góc C ( góc ngoài)Vậy góc AMB = 2. góc CBÀI 14: Cho tam giác ABC có AB=25 ; AC = 26 . Đường cao AH = 24 . TínhBC ?AA252424BH(H1)2625 26CHBC(H.2)- Tính được HB= 7 ; HC= 10- Nếu góc B nhọ=>H nằm giữa BC=>BC=BH+HC=10+7=17 (h1)- Nếu góc B tù => H nằm ngoài BC=>BC=HC--HB=10-7=3 (h2)http://NgocHung.name.vn69 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7BÀI 15: Độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông tỷ lệ 8 và 15. Cạnh huyền51 cm.Tính độ dài 2 cạnh góc vuông ?HD: Giả sử tam giác ABC vuông tại A. =>AB=8k và AC=15kTa có AB 2 + AC 2 = (8k ) 2 + (15) 2 = 512 => 289k 2 = 2601 => k = 3Vậy AB= 8.3= 24 m và AC=15.3= 45 mBÀI 16: Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH,trên đó lấy điểm D. Trêntia đối HA lấy E sao cho HE=AD. Đường vuông góc AH tại D cắt AC tại F . Chứngminh EB vuông góc E F ?HD:ADBFHCEVì AD=HE=>AH=DEÁp dụng Định lý Py ta go vao tam giác vuông ABF;ABH;ADF;BHE;DE Fta được:BF 2 = AB 2 + A F 2 = ( BH 2 + AH 2 ) + ( AD 2 + DF 2 )BF 2 = HB 2 + DE 2 + HE 2 + DF 2 = ( BH 2 + HE 2 ) + ( DE 2 + DF 2 ) = BE 2 + E F 2Vậy theo định lý đảo Py ta go=> tam giác BE F vuông tại E=> EB vuônggóc E FBÀI 17: Một cây tre cao 9 m. Bị gãy ngang thân. Ngọn cây chạm đất và cáh gốc3m . Hỏi điểm gãy cách gốc bao nhiêu mét ?HD :B=Cx?http://NgocHung.name.vn=70 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7ADGọi AB chiều cao cây tre . Điểm gãy C . Ngọn cham đất cách gốc 3 m làđiểm Cthì CB=CD .Tam giác vuông ACD có :AC 2 + AD 2 = CD 2x 2 + 3 2 = (9 − x) 2 => x = 4metBÀI 18: Trong mặt phẳng toạ độ cho các điểm A(5;4); B(2;3) và C(6;1).Tính các góc tam giác ABC ?HDx4A(5;4)3B(2;3)1C(6;1)xO256Ta có : AB = (5 − 2) + (4 − 3) = 10(1)222AC 2 = (5 − 6) 2 + (4 − 1) 2 = 10(2)BC 2 = (6 − 2) 2 + (1 − 3) 2 == 20Từ (1) và (2) => tam giác ABC cân và AB 2 + AC 2 = BC 2 = 20 => ∆ABCvuongVậy góc A =90 độ . góc B = góc C= 45 độCÁC TRƯỜNG HỢP BẰNG NHAUCỦTAM GIÁC VUÔNGBÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác .a/ Chứng minh tam giác ABC cân.b/ Cho AB=37; AM =35 . Tính BC ?HD: (H.1)AAFHhttp://NgocHung.name.vnK71D Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7(H.1)BMC(H.2) BECa/ Vẽ thêm MH vuông góc AB & MK vuông góc AC.Chứng minh∆HAM = ∆KAM (ch + gn) => MH = MKA∆HMB = ∆KMC (ch + cgv) => Bˆ = Cˆ => ∆ABCcantaiAb/ Tam giác ABC cân =>AH vuông gócBC=>BM= AB 2 − AM 2 = 12 => BC = 24BÀI 20: Cho tam giác có ba đường cao bằng nhau.a/ Chứng minh tam giác đó đều ?b/ Cho biết mỗi đường cao có độ dàia 3. Tính độ dài mỗi cạnh tam giác2đó?HD.(H.2) Tam giác ABC có ba đường cao bằng nhau là: AD=BE=C F.a/ Ta chứng minh ∆FBC = ∆ECB(ch + cgv) => Bˆ = Cˆ ;........ => Cˆ = Aˆ => ∆ABCdeu.b/ Gọi độ dài mỗi cạnh là x.Xét tam giac ADC vuông tại D cóAC 2 = AD 2 + CD 2 => x = a:BÀI 21: Cho tam giác ABC cân tại  và Â=80 độ. Gọi O là điểm nằm trong tamgoác sao cho góc OBC=30 độ;góc OCB=10 độ. Chứng minh tam giác COA cân.?MMAAOOBCB(H.1)C( H.2)HD ( Xem H.1) Tam giác ABC cân góc Â=80 độ => gocB=Góc C= 50 độVẽ thêm tam giác đều BCM9 M,A thuộc nửa mặt phẳng bờ BC) góc MCA=60-50=10 độ ∆AMB = ∆AMC (CCC ) => AMˆ B = AMˆ C = 60 0 : 2 = 30 0 ∆OBC = ∆AMC ( gcg ) => CO = CA => ∆COAcan.http://NgocHung.name.vn72 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7BÀI 22: Cho tam giác ABC cân tại A và góc Â= 100 độ.Goi O là điểm nằm trên tiaphân giác góc C sao cho góc CBO=30 độ . Tính góc CAO ?HD: (Xem hình 2) Vẽ tam giác đều BCM9M,A cùng nửa mặt phẳng bờ BC).Chứng minh tương tự bài 19=> ∆COAcantaiC => ACˆ O = 40 : 2 = 20 0Suy ra: CAˆO = (180 - 20) : 2 = 80 0Bài 23: Cho tam giác cân ABC (AB=AC. Kẻ đường vuông góc AB tại B và vuônggóc AC tại C. hai đường nầy cắt nhau tại D.a/ Chứng minh AD là phân giác góc A ?b/ So sánh AD & CD ?HD: (H1)AA( Hình 2)1 2BDCBEM N CD(xem h.1) a/ Chứng minh tam giác ABD=tam giác ACD(Ch+cgv)=> Aˆ1 = Aˆ 2Suy ra AD phân giác góc Âb/ Suy ra AD=CD ( 2 cạnh tương ứng)BÀI 24: Cho tam giác cân ABC9AB=AC) D là một điểm thuộc AB và E là môtđiểm thuộc AC sao cho AD=AE. Từ D và E hạ đường vuông góc với BC. Chứngminh BM=CN ?HD: ( xem hình 2) Chứng minh BD=EC&góc B = góc CSuy ra tam giác BDM=tam giác ECN(Ch+gn)=> BM=CNBÀI 25: Cho góc xÔy trên O x lấy điểm A. Trên O y lấy điểm B. Gọi M trung điểmAB. Từ A, B hạ đường thẳng AE ; BF cùng vuông góc với tia OM . Chứng minhAE=BF ?HD:Chứng minh tam giác MAE=tam giácMBFx(Ch+gn)=>AE=BFhttp://NgocHung.name.vn73 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7AEMFOyBÀI 26: Cho tam giác ABC các tia phân giác góc B,góc C cắt nhau tại O. Kẻ OE,OF,OG thứ tự vuông góc với AC,AB,BC.a/ Chứng minh OE = O F=Ob/ Tia AO cắt BC tại D . Chứng minh góc BOD=góc góc COGHD:A1 2EFO221B1GDC∆BOß = ∆BOG(ch + gn) => OF = OG (1)a/ Chưng minh: ∆COG = ∆COE(ch + gn) => OE = OG(2)T u (1) & (2) => OE = OF= OG121212b/ ∆AOE = ∆AO F => Aˆ 1 = Aˆ 2 = Aˆ ;Bˆ 1 = Bˆ 2 = Bˆ & Cˆ1 = Cˆ 2 = CˆSuy ra Aˆ1 + Bˆ + C 2 = 180 : 2 = 90 0 (1)Mặt khác tam giác vuông BOG(góc G=90 độ)=> Bˆ1 + BOˆ G = 90 0 (2)http://NgocHung.name.vn74 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Từ (1) và(2) => Aˆ1 + Cˆ 2 = BOˆ G (3)Từ (3) và (4)=> BOˆ G = COˆ D BOG = GOˆ D = COˆ D + GOˆ D, BOˆ D = COˆ GBIỂU THỨC ĐẠI SỐ – GIÁ TRỊ CỦA BIỂU THỨC ĐẠI SỐBài 1:Tính giá trị của biểu thức :A = x2 + 4xy – 3y3 với x = 5; y = 14x − 94y + 9Bài 2: Cho x – y = 9, tính giá trị của biểu thức : B = 3 x + y − 3 y + x ( x ≠ - 3y ; y ≠ 3x)Bài 3: Tính giá trị của các biểu thức sau :x 2 ( x 2 + 2 y )( x 2 − 2 y )( x 4 + 2 y 4 )( x 8 + 2 y 8 )với x = 4 và y = 8x 16 + 2 y 16a) A =b) B = 2m2 – 3m + 5 với m = 1c) C = 2a2 – 3ab + b2 với a = 1 và b = 2Bài 4: Xác định các giá trị của biến để biểu thức sau có nghĩa :ax + by + cxy − 3 y6x 2 + x − 3Bài 5: Tính giá trị của biểu thức : N=2x − 1a)x +1x2 − 4b)x −1x2 +1c)Bài 6 : Tìm các giá trị của biến để :a)A= (x + 1)(y2 – 6) có giá trị bằng 0Bài 7 : Tính giá trị của biểu thức sau :5x 2 + 3 y 2A=10 x 2 − 3 y 2vớivới x =12b) B = x2 – 12x + 7 có giá trị bằng 7x y=3 5Bài 8: Cho x, y, z ≠ 0 và x – y – z = 0 .Tính giá trị của biểu thứcz x yB = 1 − 1 − 1 + x y zBài 9:15a) Tìm GTNN của biểu thức C = ( x+ 2)2 + ( y - ) 2 – 10b) Tìm GTLN của biểu thức sau : D =Bài 10: Cho biểu thức E =4( 2 x − 3) 2 + 55− x.Tìm các giá trị nguyên của x để :x−2a) E có giá trị nguyênb) E có giá trị nhỏ nhấtBài 11: Tìm các GTNN của các biểu thức sau :a) (x – 3)2+ 2b) (2x + 1)4 – 1c) (x2 – 16)2 + y − 3 - 2http://NgocHung.name.vn75 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Bài 12: Tìm GTNN của biểu thức :A = x − 2 + x − 10Bài 13: Tìm các giá trị nguyên của x ,để biểu thức sau nhận giá trị nguyên :A=10 x + 155x + 1Bài 14: Cho f(x) = ax + b trong đó a, b ∈ ZChứng minh rằng không thể đồng thời có f(17) = 71 và f(12) = 35Bài 15 Cho f(x) = ax2 + bx + c .Chứng minh rằng không có những số nguyên a, b, cnào làm cho f(x) = 1 khi x = 1998 và f(x) = 2 khi x = 2000Bài 16: Chứng minh rằng biểu thức P = x8 – x5 + x2 – x + 1 luôn nhận giá trị dươngvới mọi giá trị của x.Bài 17: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức :B = x − 1 − x + 3 với x ≤711Bài 18: Chứng minh các đẳng thức sau :a) x2 – y2 = (x+ y) (x- y)b) x3 + y3 = (x+ y) ( x2 – xy + y2)c) a(a – b) – b(b- a) = a2 – b2d) a( b- c) – b(a + c) + c( a – b) = - 2bce) a( 1- b) + a( a2 – 1) = a (a2- b)f) a(b – x) + x(a + b) = b( a + x)Bài 20: Rút gọcn biểu thức đại số sau :a) A = ( 15x + 2y) - [ ( 2 x + 3) − ( 5 x + y ) ]b) B = - (12x + 3y) + (5x – 2y) -[13x + ( 2 y − 5) ]Bài 21: Đặt thừa số chung để viết các tổng sau đây thành tích :a) ab + bd – ac – cdb) ax + by – ay – bxc) x2 – xy – xy + y2d) x2+ 5x + 6Bài 22: Chứng tỏ rằng :a) Biểu thức x2 + x + 3 luôn luôn có giá trị dương với mọi giá trị của x .b) Biểu thức – 2x2 + 3x – 8 không nhận giá trị dương với mọi giá trị của x.Bài 23*: Tìm x, y là các số hữu tỷ biết rằng:1xa) x + = 12xb) x + = 5c) x 3 + 3 = y 3 − xd) (x-2) 25n 2 + 5 + y- 2= 0(n∈ N)Bài 24: Tìm x, y là các số nguyên biết:a)y=x+2x −1b*)y=2x − 3x +1ĐƠN THỨC, ĐƠN THỨC ĐỒNG DẠNGBài tập cơ bảnhttp://NgocHung.name.vn76 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Bài 1: Cộng và trừ các đơn thức :a)3a2 b+ (- a2b) + 2a2b – (- 6a2b)b)(-7y2) + (-y2) – (- 8y2)c)(-4,2p2) + ( - 0,3p2) + 0,5p2 + 3p2d) 5an + (- 2a)n + 6anBài 2: Thực hiện các phép tính sau :a)x x 3x+ +3 6 225b) 3ab. ac – 2a.abc -1 2a bc322212 c)  ac  .c2 - a2.(c.c)2 + ac2.ac - a2c25343 Bài 3: Cho các đơn thức A = x2y và B = xy2 .Chứng tỏ rằng nếu x,y ∈ Z và x + y chiahết cho 13 thì A + B chia hết cho 13Bài 4: Cho biểu thức :P = 2a2n+1 – 3a2n + 5a2n+1 – 7a2n + 3a2n+1+ ( n ∈ N)Với giá trị nào của a thì P > 0Bài 5: Cho biểu thức: Q = 5xk+2 + 3xk + 2xk+2 + 4xk + xk+2 + xk ( k ∈ N)Với giá trị nào của x và k thì Q < 0Bài 6: Tìm x biết : xn – 2xn+1 + 5xn – 4xn+1 = 0 ( n ∈ N; n ≠ 0)Bài 7: Biết A = x2yz , B = xy2z ; C = xyz2 và x+ x + z = 1Chứng tỏ rằng A + B + C = xyzBài 8: Tìm các đơn thức đồng dạng với nhau trong các đơn thức sau:1 5 31x y ;−3 x 3 y;4 x 2 ;5; ax 5 y 3 ; x 3 y79Bài9: Tính tổng :a)1 2 5 3 2 5 4 2 5y z − y z + y z243b) axy3− bxy 3 +7 3xy3Bài10: Rút gọn các biểu thức sau :a) 10n+1- 66.10nb) 2n+ 3 + 2n +2 – 2n + 1 + 2nhttp://NgocHung.name.vn77c)90.10k – 10k+2 + 10k+1 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7d) 2,5.5n – 3 .10 + 5n – 6.5n- 1Nâng caoBài 1: Cho biểu thức M = 3a2x2 + 4b2x2- 2a2x2 – 3b2x2 + 19 ( a ≠ 0; b ≠ 0)Tìm GTNN của MBài 2 : Cho A = 8x5y3 ; B = - 2x6y3 ; C = - 6x7y3 .Chứng tỏ rằng : Ax2 + Bx + C = 0Bài 3: Chứngminh rằng với n ∈ N*a) 8.2n + 2n+1 có tận cùng bằng chữ số khôngb) 3n+3 – 2.3n + 2n+5 – 7.2n chia hết cho 25c)4n+3 + 4n+2 – 4n+1 – 4n chia hết cho 300Bài 4: Cho A = ( - 3x5y3)4 và B = ( 2x2z4)5 .Tìm x,y,z biết A + B = 0Bài 5: Rút gọn:a) M + N – P với M = 2a2 – 3a + 1 , N = 5a2 + a , P = a2 – 4b) 2y – x - { 2 x − y − [ y + 3x − ( 5 y − x ) ]} với x =a2 + 2ab + b2 , y = a2 – 2ab + b2c) 5x – 3 - 2 x − 1Bài 6: Tìm x,biết :a) (0,4x – 2) – (1,5x + 1) – ( - 4x – 0,8) = 3,6b) (3x + 3) –42 111 x − 4  -  x + 1 =  x + 4  -  x − 3 3 633Bài 7: Tìm số tự nhiên abc ( a > b > c) sao cho : abc + bca + cab = 666Bài 8: Có số tự nhiên abc nào mà tổng abc + bca + cab là một số chính phươngkhông ?Bài9 : Tính tổng :a) (- 5x2y + 3xy2 + 7) + ( - 6x2y + 4xy2 – 5)b) (2,4x3 -10x2y) + (7x2y – 2,4x3+3xy2)c) (15x2y – 7xy2-6y2) + (2x2- 12x2y + 7xy2)533xd) (4x2+x2y -5y3)+( x 3 − 6 xy 2 − x 2 y )+( + 10 y 3 )+ ( 6 y 3 − 15 xy 2 − 4 x 2 y − 10 x 3 )3Bài 10: Rút gọn biểu thức saua/ (3x +y -z) – (4x -2y + 6z)http://NgocHung.name.vn78 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7(c / ( 5,7 x) (b / x 3 + 6x 2 + 5 y 3 − 2x 3 − 5x + 7 y 32) ()y − 3,1xy + 8 y − 6,9 xy − 2,3x 2 y + 8 y 33)d)K= 2x.(-3x + 5) + 3x(2x – 12) + 26xM=e)− 2x x − 2 7  5x  x 4 + 3 x −− −  − 35 2 5 56 9Bài 11: Tìm x biết:a) x +2x+3x+4x+…..+ 100x = -213b)11 11x− = x−23 46e)x − 6 x − 7 x − 8 x − 9 x − 10 x − 11++=++789101112g) x − 2 = 13c) 3(x-2)+ 2(x-1)=10h) 3 x − 2 + 4 x − 8 = − 2 −f)13d)x +1 x − 2=34x + 32 x + 23 x + 38 x + 27+=+11121314−1i) 3x − 2 + 5 = 3 + x −23k) x + 2 +x − 2 =3m) (2x-1)2 – 5 =20n) ( x+2)2 =1 1−2 3p) ( x-1)3 = (x-1)q*) (x-1)x+2 = (x-1)2r*) (x+3)y+1 = (2x-1)y+1 với y là một số tựnhiênChủ đề:SỐ CHÍNH PHƯƠNGMỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP VỀ SỐCHÍNH PHƯƠNG.I/ MỤC TIÊU:http://NgocHung.name.vn79 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 71/ Kiến thức: Ôn tập cho học sinh về số chính phương và một số tính chất cóliên quan cũng như một số phương pháp giải toán dựa vào số chính phương.2/ Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng áp dụng tính chất để nhận biết số chínhphương và giảimột số dạng toán có liên quan.3/ Thái độ: Giáo dục học sinh tính chính xác và vận dụng vào thực tế.II/ LÝ THUYẾT:1.Định nghĩa:Số chính phương là một số bằng bình phương của một số tự nhiênVí dụ: 3 2 = 9;15 2 = 225Các số 9; 225 là bình phương của các số tự nhiên : 3; 15 được gọi là số chínhphương2. Một số tính chất:a) Số chính phương chỉ có thể tận cùng là : 0; 1; 4; 5; 6; 9 không thể tận cùng bởi2; 3; 7; 8.b) Một số chính phương có chữ số tận cùng là 5 thì chữ số hàng chục là 2.Thật vậy ,giả sử22M = a5 2 = (10a + 5) = 100a + 100a + 25.Vì chữ số hàng chục của 100a 2 và 100a là số 0 nên chữ số hàng chục của sốMlà 2c) Một số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chục của nólà số lẻ.Thật vậy, giả sử số chính phương N=a2 có chữ số tận cùng là 6thì chữ số hàng đơn vị của số a chỉ có thể là 4 hoặc 6.Giả sử hai chữ số tận cùng của số a là b4 (nếu là b6 thì chứng minh tương tự ),Khi đó b42 = (10b+4)2 = 100b2 + 80b + 16.Vì chữ số hàng chục của số 100b2 và 80b là số chẵn nên chữ số hàng chục của N làsố lẻ.d) Khi phân tích ra thừa số nguyên tố ,số chính phương chỉ chứa các thừa sốnguyên tố với số mũ chẵn ,không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ .Thật vậy ,giả sử A = m2 =ax .by.cz …trong đó a,b,c ,…là các số nguyên tốkhác nhau,còn x,y,z…là các số nguyên tố dương thế thì ,A = m2 = (ax by cz…)2 = a2x.b2y.c2z…Từ tính chất này suy ra-Số chính phương chia hết cho 2 thì chia hết cho 4.-Số chính phương chia hết cho 3 thì chia hết cho 9.-Số chính phương chia hết cho 5 thì chia hết cho 25.-Số chính phương chia hết cho 8 thì chia hết cho 16.3/ Nhận biết một số chính phương:4/ Hằng đẳng thức vận dụng:(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 và a2 – b2 = (a + b)(a – b)5. Các ví dụ:Ví dụ 1.Chứng minh rằng :http://NgocHung.name.vn80 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7a)b)Một số chính phương không thể viết được dưới dạng 4n+2họăc 4n +3 (n∈N);Một số chính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(n∈N).Giảia) Một số tự nhiên chẵn có dạng 2k (k∈N), khi đó (2k)2 = 4k2 là số chiahết cho 4 còn số tự nhiên lẻ có dạng 2k+1 (k∈N) ,Khi đó (2k+1)2 = 4k2+ 4k +1 là số chia cho 4 dư 1.Như vậy một số chính phương hoặc chia hết cho 4hoặc chia cho 4 dư 1 , do đó không thể viết đựơc dưới dạng 4n+2 hoặc4n+3(n∈N)b) Một số tự nhiên chỉ có thể viết dưới dạng 3k hoặc 3k ± 1 (k∈ N) khi đóbình phương của nó có dạng(3k)2 =9k2 là số chia hết cho 3 ,hoặc códạng (3k ± 1)2= 9k2 ± 6k +1 là số khi chia cho 3 thì dư 1.Như vậy một sốchính phương không thể viết dưới dạng 3n+2(n∈N).Ví dụ 2:Cho 5 số chính phương bất kỳ có chữ số hàng chục khác nhaucòn chữ số hàng đơn vị đều là 6.Chứng minh rằng tổng các chữ số hàng chục của 5 số chính phương đó là mộtsố chính phương.GiảiCách 1 .Ta biết rằng 1 số chính phương có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữ số hàng chụccủa nó là số lẻ .Vì vậy chữ số hàng chục của 5 số chính phương đã cho là: 1, 3, 5, 7 ,9khi đó tổng của chúng bằng :1+3+5+7+9=25 =52 là số chính phương.Cách 2. Nếu một số chính phương có M=a2 có chữ số hàng đơn vị là 6 thì chữsố tận cùng của số a là số chẵn, do đó a 2 nên a2 4.Theo dấu hiệu chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của số Mchỉ có thể là16,36,56,76,96.Từ đó ,ta có :1+3+5+7+9=25=52là số chính phươngVí dụ3:Tìm số tự nhiên n có 2 chữ số, biết rằng 2 số 2n+1 và 3n+1 đồng thời là 2 số chínhphươngTrả lờin là số tự nhiên có 2 chữ số nên 10 ≤ n < 100,do đó 21 ≤ 2n+1 < 201 Mặt khác 2n+1 là số chính phương lẻnên 2n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :25; 49; 81; 121; 169.Từ đó n chỉ có thể nhận một trong các giá trị 12, 24, 40, 60,84.Khi đó số 3n+1 chỉ có thể nhận một trong các giá trị :37; 73; 121; 181; 253.Trong các số trên chỉ có số 121=112 là một số chính phương.Vậy số tự nhiên có 2 chữ số cần tìm là n=40.Ví dụ 4:http://NgocHung.name.vn81 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7Chứng minh rằng nếu p là tích của n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không thểlà các số chính phươngGiảiVì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2và p không chia hết cho 4(1)a) Giả sử p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m2 (m∈N)Vì p là số chẵn nên p+1 là số lẻ , do đó m2 là số lẻ ,vì thế m là số lẻ .Đặt m=2k+1 (k∈N)Ta có m2 = (2k+1)2 = 4k2+ 4k+ 1 , suy ra p+1= 4k2+ 4k+ 1do đó p=4k(k+1) là số chia hết cho 4, mâu thuẫn với (1)Vậy p+1 không là số chính phươngb)Ta có p = 2.3.5…là số chia hết cho 3.Do đó p-1 = 3k+2 không là số chính phương Vậy nếu p là tích của n số nguyên tốđầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phươngIII/ BÀI TẬP:BÀI TẬPBÀI GIẢIBài 1: Tìm số tự nhiên n biết Nếu mệnh đề (1) đúng thì từ (2) suy ra n + 20rằng trong 3 mệnh đề sau có 2 có số tận cùng là 2; Từ mệnh đề (3) suy ra n –mệnh đề đúng và một mệnh đề 69 có chữ số tận cùng là 3. Một số chínhsai:phương không có chữ số tận cùng là 2 hoặc 3.1/ n có chữ số tận cùng là 2Như vậy nếu (1) đúng thì (2) và (3) đều sai, trái2/ n + 20 là một số chính giã thiết. Vậy mệnh đề (1) sai và mệnh đề (2)phươngvà (3) đúng.3/ n – 69 là một số chính Đặt n + 20 = a2; n – 69 = b2 (a, b ∈ N và a > b)phương=> a2 – b2 = 89 => (a + b)(a – b) = 89.1a + b = 89suy ra a = 45. Vậy n = 452 –a−b=1Do đó: Bài 2: Cho N là tổng của 2 sốchính phương. Chứng minhrằng:a/ 2N cũng là tổng của 2 sốchính phương.b/ N2 cũng là tổng của 2 sốchính phương.Bài 3: Cho A, B, C, D là các sốchính phương. Chứng minhrằng:(A + B)(C + D) là tổng của2 số chính phương.Bài 4: Cho 3 số nguyên x, y, zsao cho: x = y + z. Chứng minhhttp://NgocHung.name.vn20 = 2005Gọi N = a2 + b2 (a, b ∈ N)a/ 2N = 2a2 + 2b2 = a2 + b2 + 2ab + a2 + b2 – 2ab= (a + b)2 + (a – b)2 là tổng của 2 số chínhphương.b/ N2 = (a2 + b2)2 = a4 + 2a2b2 + b2 = a4 – 2a2b2 +b2+ 4a2b2= (a2 – b2)2 + (2ab)2Theo bài toán thì: A = a2; B = b2; C = c2; D = d2;Nên: (A + B)(C + D) = (a2 + b2)(c2 + d2) == a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 = a2c2 + b2d2 + 2abcd– 2abcd + a2d2 + b2c2 = (ac + bd)2 + (ad – bc) làtổng của 2 số chính phương.Vì x = y + z => x – y – z = 0 => (x – y – z)2 = 0=> x2 + y2 + z2 – 2xy – 2xz + 2yz = 082 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7rằng: 2(xy + xz – yz) là tổngcủa 3 số chính phương.Bài 5: Cho a, b, c, d là các sốnguyên thoả mãn: a – b = c + d.Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 +d2 luôn là tổng của 3 số chínhphương.=> 2(xy + xz – yz) = x2 + y2 + z2Từ a – b = c + d => a – b – c – d = 0=> 2a(a – b – c – d) = 0Nên ta suy ra:a2 + b2 + c2 + d2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2a(a – b – c– d)= (a – b)2 + (a – c)2 + (a – d)2Ta có: n2 + (n + 1)2 + n2(n + 1)2 = n4 + 2n3 +3n2 + 2n + 1 == (n2 + n + 1)2n2 + n là một số chẵn n2 + n + 1 là một số lẻ.Suy ra (n2 + n + 1)2 là một số chính phương lẻ.a/ Từ bài toán ta suy ra: an+1 = 1 + 2 + 3 + ... +(n + 1)Bài 6: Cho 2 số chính phươngliên tiếp. Chứng minh rằng tổngcủa 2 số đó cộng với tích củachúng là một số chính phươnglẻ.Bài 7: Cho an = 1 + 2 + 3 + ... +n(1 + n)n(1 + n + 1)(n + 1)a/ Tính an+1b/ an + an+1 =+=22b/ Chứng minh rằng an + an+1 là(n + 1)(n + n + 2)một số chính phương=2= (n + 1)2C. MỘT SỐ BÀI TẬP TƯƠNG TỰBài 1.Cho 2 số tự nhiên A và B trong đó số A chỉ gồm có 2m chữ số 1,số B chỉ gồm m chữ số 4.Chứng minh rằng : A+B +1 là số chính phương.Bài 2.Tìm một số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng hiệu các bình phương của số đó vàsố viết bởi hai chữ số của số đó nhưng theo thứ tự ngược lại là một số chính phương.Bài3.Tìm số chính phương có 4 chữ số , biết rằng chữ số hàng trăm ,hàng nghìn ,hàng chục, hàng đơn vị là 4 số tự nhiên liên tiếp tăng dần.Bài 4.Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 người ta lập tất cả các số có 6 chữ số , mỗi số gồm cácchữ số khác nhau. Hỏi trong các số lập được có số nào chia hết cho 11 không ? Có sốnào là số chính phương không?Bài 5Người ta viết liên tiếp các số : 1, 2, 3,…, 1994 thành một hàng ngang theo một thứ tựtuỳ ý . Hỏi số tạo thành theo cách viết trên có thể là số chính phương không?http://NgocHung.name.vn83 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7http://NgocHung.name.vn84 [...]... thiết b d các tỉ số đều có nghĩa) 1) 2 3a + 5b 3c + 5d = 3a − 5b 3c − 5d a2 + b2 a+b =  c2 + d 2 c+d  2)  ab ( a − b ) = 4) cd ( c − d ) 2 2 a−b c−d = 3) a+b c+d 5) 2a + 5b 2c + 5d = 3a − 4b 3c − 4d http://NgocHung.name.vn 6) 13 2005a − 2006b 2005c − 2006d = 2006c + 20 07 d 2006a + 2007b Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 7 a 2 + 5ac 7b 2 + 5bd = 8) 2 7 a − 5ac 7b 2 − 5bd a c = 7) a+b c+d Bài 2: Cho... Khẳng định: A + B = 0 ⇔  Bài 7. 1: Tìm x, y thoả mãn: http://NgocHung.name.vn 23 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a) 3x − 4 + 3 y + 5 = 0 b) x − y + y + 9 =0 25 c) 3 − 2 x + 4 y + 5 = 0 Bài 7. 2: Tìm x, y thoả mãn: 3 2 y −3 = 0 4 7 x − 20 07 + y − 2008 = 0 a) 5 − x + b) 2 1 3 11 23 − + x + 1,5 − + y =0 3 2 4 17 13 c) * Chú ý1: Bài toán có thể cho dưới dạng A + B ≤ 0 nhưng kết quả không thay đổi * Cách giải:... y + 5 + 8 http://NgocHung.name.vn 29 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 2 24 21 e) E = 3 + ( x + 3 y ) 2 + 5 x + 5 + 14 d) D = −6 + 2 x − 2 y + 3 2 x + 1 + 6 Bài 1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: a) A = 2 7 x + 5 + 11 7x + 5 + 4 b) B = 2 y + 7 + 13 2 2y + 7 + 6 c) C = 15 x + 1 + 32 6 x +1 + 8 Bài 1.5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: −8 a) A = 5 + 4 5 x + 7 + 24 6 14 b) B = 5 − 5 6 y − 8 + 35... + 2000 =0 Bài 7. 7: Tìm x, y thoả mãn: a) x − 20 07 + y − 2008 ≤ 0 c) 13 1  x−  24 2 2006 + 20 07 4 6 y+ ≤0 2008 5 25 7 2 ≤0 3 2008 20 07 d) 20 07 2 x − y + 2008 y − 4 ≤ 0 8 Dạng 8: A + B = A + B * Cách giải: Sử dụng tính chất: a + b ≥ a + b http://NgocHung.name.vn 5 24 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Từ đó ta có: a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0 Bài 8.1: Tìm x, biết: a) x + 5 + 3 − x = 8 b) x − 2 + x − 5 =... 2 = ac http://NgocHung.name.vn 16 ; c 2 = bd và b 3 + c 3 + d 3 ≠ 0 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a3 + b3 + c3 a Chứng minh rằng: 3 3 3 = d b +c +d Bài 27: Cho P = a b c ax 2 + bx + c Chứng minh rằng nếu a = b = c thì giá trị của P 2 a1 x + b1 x + c1 1 1 1 không phụ thuộc vào x Bài 28: Cho tỉ lệ thức: 2a +13b 2c +13d = 3a −7b 3c −7d Bài 29: Cho dãy tỉ số : bz −cy cx −az ay −bx = = a b c ; a c = b... Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + a) Biết A = 181 Hỏi A có bao nhiêu số hạng ? b) Biết A có n số hạng Tính giá trị của A theo n ? http://NgocHung.name.vn 31 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Hướng dẫn: Bài 4: Cho A = 1 − 7 + 13 − 19 + 25 − 31 + a) Biết A có 40 số hạng Tính giá trị của A b) Tìm số hạng thứ 2004 của A Hướng dẫn: Bài 5: Tìm giá trị của x trong dãy tính sau: ( x + 2) + ( x + 7) + ( x +... 34 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7  100 - 1 + + + +  1 2 1 3 1  1 2 3 99  = + + + + 100  2 3 4 100 Hướng dẫn: A biết: B 1 1 1 1 1 2 3 198 199 + + + + + A = + + + + và B = 2 3 4 200 199 198 1 97 2 1 Bài 27: Tính Hướng dẫn: Bài 28: Tìm tích của 98 số đầu tiên của dãy: 1 1 1 1 1 1 ;1 ;1 ;1 ;1 ; 3 8 15 24 35 Hướng dẫn: Bài 29: Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy sau: 1 1 1 1 ; ; ; ; 6 66 176 ... Cho A = 1 + 4 + 42 + 43 + + 499 , B = 4100 Chứng minh rằng: A < Hướng dẫn: http://NgocHung.name.vn 35 B 3 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 Bài 34: Tính giá trị của biểu thức: a ) A = 9 + 99 + 999 + + 999 9 123 50 ch÷ sè b) B = 9 + 99 + 999 + + 999 9 123 200 ch÷ sè Hướng dẫn: Chuyên đề 1: giải toán chứa dấu giá trị tuyệt đối 1-Kiến thức cơ bản: x ⇔ x ≥ 0 x = − x ⇔ x  0 x ≥ 0; x ≥ x; x = − x http://NgocHung.name.vn... b và a + b = a + b ⇔ a.b ≥ 0 2 Các dạng toán : I Tìm giá trị của x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1 Dạng 1: A(x) = k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là một số cho trước ) * Cách giải: http://NgocHung.name.vn 18 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 - Nếu k < 0 thì không có giá trị nào của x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối của mọi số đều không âm ) - Nếu k = 0 thì ta có A(... mãn - 3 ≤ x ≤ 3) * Nếu x >3 2x-6 + x + 3 = 8 3x = 11 x = ( thỏa mãn x >3) c) 3x + 7 + 3 2 − x = 13 f) x − 2 + x − 7 = 4 + + 2- Bỏ dấu giá trị tuyệt đối theo nguyên tắc từ ngoài vào trong Bài 1: Tìm x, biết: 1 4 a) 2 x − 1 + = 2 5 * + = = = 2x-1= 2x = + 1 http://NgocHung.name.vn x= 25 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 2x-1= - 2x = - + 1 x= * + ==- - (không thỏa mãn) 3 - Sử dụng phương pháp bất đẳng ... A = 1.3+3.5+5 .7+ + 97. 99+99.101 http://NgocHung.name.vn Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán Hướng dẫn: A = 1(1+2)+3(3+2)+5(5+2)+ + 97( 97+ 2)+99(99+2) A = (12+32+52+ + 972 +992)+2(1+3+5+ + 97+ 99) Bài 16: Tính:... http://NgocHung.name.vn 6) 13 2005a − 2006b 2005c − 2006d = 2006c + 20 07 d 2006a + 2007b Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 7 a + 5ac 7b + 5bd = 8) a − 5ac 7b − 5bd a c = 7) a+b c+d Bài 2: Cho tỉ lệ thức: a c = b d Chứng... 3.5 5 .7 99.101 3 3 * b) Cho S = 1.4 + 4 .7 + 7. 10 +  + n(n + 3) n ∈ N a) Tính: Hướng dẫn: Chứng minh: S < http://NgocHung.name.vn 33 Chuyên đề bồi dưỡng HSG Toán 2 2 + + + + 60.63 63.66 1 17. 120
- Xem thêm -

Xem thêm: Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7, Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7, Chuyên đề bồi dưỡng HSG toán 7, BÀI 19: Cho tam giác ABC. Trung tuyến AM cũng là phân giác .