www.VNMATH.com www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 1: (x+a)(x+b)(x+c)(x+d) = m (1) với a+b=c+d và m ≠ 0 Cách giải: Phương trình (1) được viết lại: [x2 +(a+b)x +ab][ x2 +(c+d)x +cd] =m Vì a+b = c+d nên ta đặt t=x2 +(a +b)x= x2 +(c+d)x lúc đó phương trình (1) được viết lại như sau: (t +ab)(t+cd) = m  t2 +(ab+cd)t +abcd –m =0 Giải phương trình theo t  x Ví dụ: giải phương trình sau (x+1)(x+2)(x+3)(x+4) = 120  (x+1)(x+4)(x+2)(x+3)=120  (x2 +5x +4)(x2 +5x+6)=120 Đặt t = x2+5x Lúc đó phương trình được viết lại: (t+4)(t+6)=120  t2 +10t-96 =0  t=6, t=-16 Với t=6 thì x2 +5x-6=0  x=1, x=-6 Với t=-16 thì x2 +5x+16=0 ( vô nghiệm) BÀI TẬP 1. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=4 2. (2x-1)(2x+3)(x+2)(x+4)+9=0 3. (x+2)(x+4)(x2 +6x+1)=8 4. (x+1)(x+2)(x+5)(x+6)=252 5. (16(x2 -1)(x2 +8x+15)=105 Tìm m để phương trình sau 6. (x+4)(x+5)(x+7)(x+8)=m có nghiệm 7. x(x+1)(x+2)(x+3)=m có 4 nghiệm phân biệt. 8. (x+2)(x+4)(x2 +4x +m)=8m có 4 nghiệm dương phân biệt Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 3 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI nx mx + =k  Dạng 2: ax2+bx+c ax2+dx+c Với giả thiết biểu thức ở mẫu luôn khác không Cách giải: Trước tiên ta nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Khi x≠ 0 ta chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x, lúc đó phương trình đã cho (2) được viết lại như sau: m n + =k (2.1) c c ax+b+ ax+d+ x x c Đặt t= ax+ lúc đó phương trình (2.1) được viết lại: x m n + =k (2.2) t+b t+d Giải phương trình (3) ta được nghiệm giả sử đó t1, t2 rồi từ đó ta suy ra nghiệm của phương trình (2) bằng cách giải các phương trình c c ax+ = t1 , ax+ = t2 x x Ví dụ: giải phương trình 3x 4x + =1 (2.3) 4x2-8x+7 4x2-10x+7 Nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho. Xét x≠ 0 lúc đó chia cả tử và mẫu của mỗi phân thức cho x ta được Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 4 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 4 + 3 =1 (2.4) 7 7 4x-8+ 4x-10+ x x 7 khi đó phương trình (2.4) dược viết lại là Đặt t = 4+ x 4 3 + =1 t-8 t-10 Quy đồng mẫu thì ta có phương trình t2 -25t +144=0. Phương trình này có hai nghiệm t 1=16, t2=9 7 Với t1=16 ta có phương trình 4x+ =16 x 7 1  4x2 -16x +7=0  x1 = , x2 = 2 2 Với t2 =9 ta có phương trình 7 4x + =9  4x2 -9x+7=0 (không có nghiệm thực) x 7 1 Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm là x1 = , x2 = 2 2 BÀI TẬP Giải các phương trình sau x 3 2x + = 1. 3x2-x+1 3x2-4x+1 2 2x 13x 2. + =6 2x2-5x+3 2x2+x+3 2x 6x 3. 2 + 2 =1 x +8x+5 x +x+5 3x 2x 8 4. 2 - 2 = x -4x+1 x +x+1 3 2x 6x Cho phương trình sau + =m x2+8x+5 x2+x+5 Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 5 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tìm m để phương trình đã cho thoả mãn các điều kiện sau: 5. Phương trình đã cho có nghiệm 6. Phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 7. Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt 8. Phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt 9. Phương trình đã cho có 4 nghiệm dương phân biệt 10. Với giá trị nào của m thì phương trình 2x 3x + =1 có 4 nghiệm dương phân biệt x2-4mx+1 x2+mx+1 x1, x2, x3, x4 thoả mãn x1+x2+x3+x4 = 14  Nhân đây tôi cũng muốn nói đến dạng phương trình cùng họ hàng với dạng toán trên. 1 1 1 1 + + = (*) x2+9x+20 x2+11x+30 x2+13x+42 18 Giải như sau: Ta thấy (*) được viết lại: 1 1 1 1 + + = (x+4)(x+5) (x+5)(x+6) (x+6)(x+7) 18 1 1 1 1 1 1 1  + + = x+4 x+5 x+5 x+6 x+6 x+7 18 1 1 1  =  x2 +11x-26 =0  x1= 2, x2= -13 x+4 x+7 18 Tương tự giải phương trình sau: 1 1 1 + 2 +…… + 2 =k 2 x +(2n-1)x+n2-n x +3x+2 x +5x+6 Giả sử A là sự thành công trong cuộc sống. Vậy thì A=X+Y+Z trong đó X=làm việc, Y=vui chơi, Z=im lặng (Albert Einstein's). Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 6 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  4 4 (x+a) + (x+b) =c Dạng 3 Cách giải: Đặt t= x+ (3) a+b lúc đó phương trình (3) được 2 viết lại như sau:  a-b4  a-b4 t+  + t-  =c  2   2  (a-b)4  2t +3(a-b) t + -c=0 8 Giải phương trình trùng phương này ta tìm được t rồi từ t suy ra giá trị của x Ví dụ: Giải phương trình (x+1)4 + (x+3)4 = 272 Giải: Đặt t=x+2 Lúc đó phương trình đã cho được viết lại là: (t-1)4 +(t+1)4 =272  t4 +6t2 -135=0 Đặt X=t2 0 khi đó ta có X2 +6X-135=0  X=9, X=-15[...]... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 11 (Phương trình hồi quy) ax4 +bx3+cx2  dx+k=0 (11) trong đó kb2=ad2 Ở đây chỉ xét trường hợp k≠ 0, còn khi k=0 thì phương trình đã suy biến về phương trình bậc ba Với loại này ta có cách giải như sau d k Trước hết để thuận tiện ta đặt = = b a Ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình (11) Với x≠ 0, ta chia hai vế của phương trình. .. Giải các phương trình sau: 1 2x2 -3x+2= 4x2-6x+28 Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 17 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2 x2-7x +2= 2x2-14x+84 Cho phương trình sau x2 -7x+m - 3x2-21x+85 =0 3 Giải phương trình khi m=19 4 Giải và biện luận theo m nghiệm của phương trình (8.3) Cho phương trình 6x2-12x+5= 2x2-4x+m 5 Giải phương trình khi m= 85, m=2 119 6 Giải phương trình. .. m=-12 4 Giải phương trình khi m=-22 5 Giải và biện luận nghiệm của phương trình đã cho 6 Với giá trị nào của m thì phương trình đã cho có it nhất hai nghiệm dương phân biệt Cho phương trình sau: Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 15 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 2m(2mx2 +3x+m)2 +6mx2 +8x+4m=0 2 7 Giải phương trình khi m=3 8 Với giá trị nào của m thì phương trình đã... 30 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT BẬC BỐN AX4+BX3+CX2+DX+E=0(A≠ 0) (13) Trước hết ta chú ý rằng phương trình (13) luôn có thể được đưa về dạng x4 +ax3+bx2+cx+d=0 (13.1) nên ta chỉ cần xét phương trình này  Khi a2+b2+c2=0 thì ta dễ dàng tìm được nghiệm của phương trình  Khi a2+b2+c2≠ 0 a Đặt x= y- khi đó phương trình (13.1) được viết lại... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Khi đó ta có các nghiệm của phương trình đã cho là: 1, -10, -9 3 1121 -9 3 1121 + , 2 2 118 118 BÀI TẬP Giải các phương trình sau 1 1 1 1 29 1 + = x+2 x+5 x+4 x+7 252 4 4 4 4 43 2 2 + 2 - 2 - 2 = x -3 x -5 x +7 x +9 36 3 Giải và biện luận phương trình sau: 3 3 3 3 + =m (5.2) x2+1 x2+2 x2+3 x2+4 4 Tìm m để phương trình (5.2) có hai nghiệm phân biệt mà hai. .. nghiệm của phương trình ban đầu - Tôi tư duy có nghĩa là tôi tồn tại! Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 29 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Ví dụ: Giải phương trình x3 +2x2 +3x +4=0 (12.3) Hướng dẫn: Bằng cách đặt x = t - 2 ta đưa phương trình đã cho 3 5 70 t+ =0 (12.4) 3 27 5 Bằng cách đặt t= X ta có thể đưa (12.4) về dạng 3 -14 (12.5) X3 +3X = 5 Phương trình (12.4)... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 10 (Phương trình phản phương) ax4+bx3+cx2 bx+a=0 (a≠ 0) (10) Với loại này ta có nhận xét x=0 không phải là nghiệm của phương trình đã cho Khi x≠ 0 thì ta chia hai vế xủa phương trình cho x2 khi đó ta được ax2+bx+c  b a + =0 x x2  1 2  1  axx +bxx+c 2=0     1 khi đó ta có phương trình mới x at2 +bt +c 2=0 (10.1) Việc giải phương. .. ta có phương trình là u3 -3u =m p -p Kết luận: Mọi phương trình bậc ba luôn luôn có thể đưa về dạng x3 +3x=m hoặc x3 -3x=m Ta có đồ thị hàm y=x3+3x như sau    Dựa vào đồ thị ta nhận xét phương trình x3 +3x=m có duy nhất nghiệm Được biên soạn bởi Trương Quang Phú 26 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Đồ thị hàm số y= x3 -3x Dựa vào đồ thị ta có nhận xét phương trình. .. Quang Phú 14 www.VNMATH.com MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 7 a(ax2+bx+c)2 +b(ax2+bx+c) +c=x (7) Đặt t= ax2+bx+c khi đó ta có hệ phương trình sau: ax2 +bx+c=t  2 at +bt+c=x Giải hệ phương trình này ta thu được nghiệm của phương trình đã cho Ví dụ: Giải phương trình sau: (x2+3x-4)2 +3(x2+3x-4) =x+4 (7.1) Đặt t=x2+3x-4 Khi đó ta có hệ phương trình sau: x2+3x-4=t  2 (7.2)... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 9  1 2   f(x)+a +  1 2   f(x)+b =c (9) Giả sử các biểu thức ở mẫu luôn khác không b-a a+b và = khi đó Với loại này ta đặt X= f(x)+ 2 2 phương trình đã cho được viết lại như sau:  1 2  1 2 =c   + X+ X-     Tiến hành quy đồng mẫu ta có phương trình sau: cX4 -2(c2 +1)X2 + c4 -22=0 (9.1) Phương trình (9.1) là một phương ... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI Tìm m để phương trình cho thoả mãn điều kiện sau: Phương trình cho có nghiệm Phương trình cho có nghiệm Phương trình cho có nghiệm phân biệt Phương. .. MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  Dạng 11 (Phương trình hồi quy) ax4 +bx3+cx2  dx+k=0 (11) kb2=ad2 Ở xét trường hợp k≠ 0, k=0 phương trình suy biến phương trình bậc ba Với... SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI  PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TỔNG QUÁT AX3+BX2+CX+D=0(A≠ 0) (12) Sau xin cung cấp cho bạn nhìn tổng quát phương trình bậc ba Trước hết ta ý phương trình