www.hsmath.net www.hongsontv.vn KĨ THUẬT CHỌN ĐIỂM RƠI TRONG BẤT ĐẲNG THỨC AM-GM Baát ñaúng thöùc Cauchy Kỹ thuật chọn điểm rơi hay còn được gọi kỹ thuật điều chỉnh và lựa chọn tham số. Đối với một số BĐT đồng dạng không đối xứng thì dấu BĐT trong BĐT thường xảy ra khi giá trị của các biến tướng ứng không bằng nhau. Vì vậy, cần lựa chọn kỹ thuật hợp lý để giải các bài toán BĐT (hay cực trị) dạng không đối xứng là rất cần thiết. Một trong những kỹ thuật cơ bản nhất chính là xây dựng thuật toán sắp thứ tự gần đều. (kỹ thuật điểm rơi). Kỹ thuật chủ yếu ở đây thường là các giá trị trung gian được xác định theo cách chọn đặc biệt để tất cả các dấu đẳng thức đồng thời xảy ra. Tham số phụ đưa vào một cách hợp lý để phương trình xác định chúng có nghiệm. Moät soá baát ñaúng thöùc cô baûn Baát ñaúng thöùc Cauchy Cho n soá thöïc khoâng aâm a1 , a2 ,..., an (n ≥ 2) ta luoân coù a1 a2  an n ≥ a1a2 ...an . Daáu “=” xaûy ra khi vaø chæ khi a1 = a2 =  =an . n Moät vaøi heä quaû quan troïng: 1 a1 (a1 a2  an ) ( 1 1 ) ≥ n2 vôùi ai > 0, i = 1, n  a2 an n2 1 1  vôùi ai > 0, i = 1, n ≥ a2 an a1 a2  an Cho 2n soá döông ( n Î Z , n ≥ 2 ): a1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn ta coù: 1 a1 n (a1 b1 )(a2 b2 )...(an bn ) ≥ n a1a2 ...an Bài toán mở đầu: VD1. Cho . Ta có n b1b2 ...bn . Khi đó ta có hệ quả với thì gs o 1 a .h on Bình luận và lời giải : +Sai lầm : 1 1 S =a 2 a. = 2 ⇒ min S = 2 a a +Nguyên nhân : 1 min S = 2 Û a = = 1 a điều này mâu thuẫn với giả thiết a 3 +Xác định điểm rơi : … thì lời giải bài toán như nào?? w Bài 1: Cho a ≥ 3 . Tìm Min của S = a hay nt hay w bởi w Nếu thay điều kiện v Rõ ràng với bài toán trên là kết quả của BĐT Cauchy. www.hongsontv.vn Ta thấy rằng khi a tăng thì S cũng càng lớn nên dẫn đến dự đoán khi a=3 thì S nhận giá trị nhỏ nhất . Và 10 min S = Û a = 3 . Do BĐT Cauchy xãy ra dấu đẳng thức tại điều kiện các số tham gia phải bằng nhau 3 a 1 và phải bằng nhau. nên ta đưa tham số α sao cho tại điểm rơi a = 3 thì cặp số α α Với a=3 cho cặp số a 3 α =α ⇒ 3 1 = 3 Û α= 9 1 1 α = a 3 +Lời giải đúng : a 1 = a 9 S= a 8a 9 1 a 2 a 1 . 9 a 8.3 9 10 10 Û MinS = 3 3 Đẳng thức xãy ra Û a = 3 Bài 2: Cho a 2 .Tìm Min của S = a 1 a2 +Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số a 2 2 1 a2 1 4 1 4 +Sai lầm : 1 S a a2 8 1 a2 a 8 7a 8 2 a 1 . 8 a2 7a 8 2 8a 7a 8 2 8.2 7.2 8 9 4 +Nguyên nhân : Lời giải trên mắc sai lầm ở việc đánh giá mẫu số : “ Nếu a 9 4 Với a=2 thì min S 2 thì 2 8a on t +Lời giải đúng : Đẳng thức xãy ra Bài 3: Cho a, b 1 a2 a 8 a 6a 8 33 a a 1 . . 8 8 a2 6.2 8 9 4 ab 1 ab min S 2 0 , a b 1 .Tìm min của S min S 2 ab 1 ab 1 2 w min S ab a b 2 1 2 1 1 2 w 1 2 ab +Nguyên nhân : ab w +Sai lầm : S 9 4 gs a 8 on 1 a2 a .h S v Ta phải làm sao để khi sử dụng BĐT Cauchy sẽ khử hết biến số a ở cả mẫu số và tử số (vô lí ) 2 là đánh giá sai “ 4 www.hongsontv.vn 1 ab Đặt t +Lời giải đúng : 1 ab t 1 điều này dẫn đến một bài toán mới Cho t 4 .Tìm min của S t t 1 Với t t 2 t 1 15.4 . 16 t 16 4 2 a b 2 4 4 4 1 t 1 4 1 4 16 Ta có : S 1 t t t 1 16 t 15t 16 17 4 Với t 1 thì min S 2 4 hay a b 15 17 4 min S 1 a2 3.6 8 17 4 Lời giải bài 3: Do t S 4 a ab 1 ab 1 nên 2 1 ab 16ab b Đẳng thức xãy ra a 15 16ab 1 b2 a2 1 c2 b2 1 16ab a b 2 16 1 2 b 2 17 4 3 .Tìm min 2 Bài 4: Cho a,b,c>0 thoả mãn a b c S 2 ab. 1 a2 c2 +Sai lầm : S 33 a2 1 . b2 2 b 1 . c2 2 c 1 a2 1 a 1 b 1 b2 2 b2. 1 c2 2 c2. a b c 3 3 2 trái với giả thiết . 36 2 a 2 . 3 2 min S 3 2 a b c 1 c 1 +Xác định điểm rơi : a b a2 1 2 c b2 1 a2 c2 1 b2 1 4 1 c2 1 4 4 4 +Lời giải đúng : b2 1 1 ... 2 2 16 c 16  c 3 17.17 1 16 a 5 b 5 c 5 8 16 a2 1616 b 32 17.17 a2 1616 b 32 3 17 217 (2a.2b.2c) 5 3 17 217 17 17 w 17.17 a 16 b16 8 17 w a2 1616 b 32 c2 16 16 17.17 1 1 ... 2 2 16 a 16  a 16 .h on 1 1 ... 2 2 16 b16 b a2 3 17 2 w S nt 3 2 gs o min S v +Nguyên nhân : 2a 2b 2c 3 15 b 16 c16 8 17 c 16 a 16 8 www.hongsontv.vn 3 17 1 thì min S . 2 2 Bài 5: Cho a,b,c>0 và a 2b 3c 20 .Tìm min của 3 9 4 S a b c a 2b c Lời giải : Ta dự đoán được S=1 tại điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 .Sử dụng BĐT Cauchy ta có : Với a b c a 4 a 2 a. 4 a 4 3 a 4 4 a 3 b 9 b 2 b. 9 b 6 1 b 2 9 b 3 c 16 c 2 c. 16 c 1 16 2 c 4 c a b 3c 5 4 2 4 8 Mà a 2b 3c 3a 4 20 b 2 3 a c 4 9 2b 4 c 8 (1) (2) Cộng (1) và (2) vế theo vế được S 13 Đẳng thức xãy ra a 2, b 3, c 4 min S 13 * Baøi taäp töông töï: Bài 6: Cho a, b, c 0 ab 12; bc 8 Chứng minh rằng: S ( a b c) 2 1 ab 1 bc 1 ca 8 abc 121 2 Bài 7: Cho a,b,c>0 và a=max{a,b,c} . Tìm min của a b S b c 2 1 33 1 c a Bài 8: Cho tam giác ABC .Tìm min của T sin A sin B sin C 1 sin A 1 sin B 1 sin C Bài 9: Cho tam giác ABC nhọn .Tìm min của x, y , z Baøi 10. Cho 1 1 x y sin 2 B 0 1 z 4 1 cos2 C sin 2 C . Tìm GTLN cuûa P 1 cos2 A 1 2x y z 10 9 1 1 9 x 1 2y 1 z 1 1 9 x w 1 z 1 y 1 2z w 1 y w MaxP 1 1 9 2x 1 x 2y z x 1 . y 2z 1 z 10 9 .h Lời giải Sai lầm 1: Ta coù P tv 1 cos2 B on sin 2 A on gs T 5 1 18 x 1 y www.hongsontv.vn Sai lầm 2: 1 1 3 3 2 xyz 3 3 x.2 yz P 1 3 3 xy 2 z 11 1 3 3 2x 1 y 1 z 11 1 33 x 1 2y 1 z 11 1 33 x 1 y 1 2z 10 9 Nguyeân nhaân sai laàm : Caû hai lôøi giaûi treân ñeàu ñaõ bieát höôùng “ñích” song chöa bieát choïn ñieåm rôi. 2x MaxP 2y 10 Û 2z 9 1 + x y z x x z y 1 1 + y z 10 9 (vn) , töùc laø khoâng toàn taïi ( x, y, z ) Î D : P 4 Lôøi giaûi ñuùng: Töø hai lôøi giaûi treân vôùi döï ñoaùn MaxP ñaït ñöôïc taïi x y 4 neân taùch caùc 3 z soá 2x x x ra cho daáu baèng xaåy ra. 1 1 Caùch 1: Ta coù 2x y z x x y z 1 z 1 x Caùch 2: Ta coù 2 x y z 1 1 1 1 . . . x x y z P 1 1 .4 16 x 1 y 1 1 4 x 1 y 1 x 1 z 2 y 1 y 1 z 1 x x x y z 1 z 1 y 2 z 1 , vaäy MaxP 1 khi x 1 2x y z 4 4 x.x. y.z 1 2x y z 1 , töông töï vaø ta coù: z 1 2 16 x 1 . Daáu “=” xaûy ra khi x y 1 y 2 4 x yz , maët khaùc: z x on z w .h N w , , 4 4 . 3 1 , suy ra: 4 z w Vôùi y 1 z 1 , töông töï ta coù: z 1 . 4 Ta có thể thể mở rộng bài toán 10. Thành bài toán tổng quát sau. x, y , z 0 1 1 . Tìm GTLN cuûa P Cho 1 1 1 4 x y z x y x y z MaxP 1 khi x y v 2 x 1 y nt 4 1 16 1 x 1 y gs o P 1 1 16 x z .  ... đẳng thức điều kiện số tham gia phải a phải nên ta đưa tham số α cho điểm rơi a = cặp số α α Với a=3 cho cặp số a α =α ⇒ = Û α= 1 α = a +Lời giải : a = a S= a 8a a a a 8.3 10 10 Û MinS = 3 Đẳng. .. S=1 điểm rơi a=2 , b=3 , c=4 Sử dụng BĐT Cauchy ta có : Với a b c a a a a a 4 a b b b b b b c 16 c c 16 c 16 c c a b 3c 4 Mà a 2b 3c 3a 20 b a c 2b c (1) (2) Cộng (1) (2) vế theo vế S 13 Đẳng thức. .. α = a +Lời giải : a = a S= a 8a a a a 8.3 10 10 Û MinS = 3 Đẳng thức xãy Û a = Bài 2: Cho a Tìm Min S = a a2 +Xác định điểm rơi : a=2 cho cặp số a 2 a2 4 +Sai lầm : S a a2 a2 a 7a a a2 7a 8a