CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! BÀI 1 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz, vieát phöông trình maët phaúng (P) chöùa ñöôøng thaúng (d) : x y 2 0 sao cho giao tuyeán cuûa maët phaúng (P) vaø maët caàu (S) : 2x z 6 0 x2 y2 2x 2y 2z 1 0 laø ñöôøng troøn coù baùn kính r = 1. z2 Caâu 2: Cho laêng truï ABC.A'B'C' coù caùc maët beân ñeàu laø hình vuoâng caïnh a. Goïi D, F laàn löôït laø trung ñieåm caùc caïnh BC, C'B'. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng A'B vaø B'C'. GIẢI Caâu 1: Maët phaúng (P) chöùa (d) coù daïng: m(x – y – 2) + n(2x – z – 6) = 0 (P) : (m 2n)x my nz 2m 6n 0 Maët caàu (S) coù taâm I(-1; 1; -1), baùn kính R = 2. (P) caét (S) theo moät ñöôøng troøn giao tieáp (C) coù baùn kính r = 1 R2 d(I; P) r2 3 m 2n m n 2m 6n 2 (m 2n) m 2 n 5m2 22m.n 17n2 5m 2 Cho n 1 3 2 3. 2m 2 5n 2 4m 7n 0 22m 17 Vaäy, coù 2 maët phaúng (P): 0 m 17 5 1 hay m (P1 ) : x y z 4 0 (P2 ) : 7x 17y 5z 4 0 Caâu 2: . A/ Caùch 1: Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng AB BC CA A / B/ B/ C/ C/ A / a caùc tam giaùc ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu. Ta coù: B/ C/ // BC B/ C/ //(A/ BC) / / / / / / BC H C A B (A/ BC) 1 a2 F H / 1 1 4 / 2 2 A F FD 3a2 a 21 Vaäy, d(A/ B; B/ C/ ) FH 7 Trang 1 A/FD vuoâng coù: 1 FH2 FH C/ B/ d(A B; B C ) d(B C ; (A BC)) d(F; (A BC)) BC FD BC (A / BC) Ta coù: / / / BC A D ( A BC caân taïi A ) Döïng FH A/ D Vì BC (A/ BC) 4m.n 7 3a2 FH a 21 . 7 D CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! Caùch 2: Vì caùc maët beân cuûa laêng truï laø caùc hình vuoâng ABC, A/B/C/ laø caùc tam giaùc ñeàu caïnh a. Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), a a 3 a a 3 B ; ;0 ,C ; ; 0 , A / (0; 0; a), 2 2 2 2 z a A C/ / B/ C A a a 3 a a 3 ; ; a , C/ ; ;a 2 2 2 2 Ta coù: B/ C/ // BC, B/ C/ // (A/ BC) B/ x D y B d(B/ C/ ; A/ B) d(B/ C/ ; (A/ BC)) d(B/ ; (A/ BC))   a a 3 a a 3 A/ B ; ; a , A/ C ; ; a 2 2 2 2 2   3 3 3   / / 2 a [A B; A C] 0; a ; a2 0; 1; a2 .n, vôùi n 0; 1; 2 2 2  / / Phöông trình mp (A BC) qua A vôùi phaùp vectô n : 3 0(x 0) 1(y 0) (z a) 0 2 3 a 3 (A/ BC) : y z 0 2 2 a 3 3 a 3 a 3 .a a 21 2 2 2 2 d(B/ (A / BC)) . 7 3 7 1 4 2 a 21 Vaäy, d(A/ B; B/ C/ ) . 7 BÀI 2 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho A(0; 1; 0), B(2; 2; 2), C(-2; 3; 1) vaø ñöôøng thaúng x 1 y 2 z 3 ( ): 2 1 2 1. Tìm ñieåm M thuoäc ( ) ñeå theå tích töù dieän MABC baèng 3. 2. Tìm ñieåm N thuoäc ( ) ñeå theå tích tam giaùc ABN nhoû nhaát. Caâu 2: (1,0 ñieåm) Trang 2 CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! Cho hình choùp S.ABC ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu caïnh a. SA = SB = SC, khoaûng caùch töø S ñeán maët phaúng (ABC) laø h. Tính h theo a ñeå hai maët phaúng (SAB) vaø (SAC) vuoâng goùc nhau. GIẢI Caâu 1: 1. Phöông trình tham soá cuûa (D): x 1 2t y 2 t z 3 2t M ( ) M(1 2t; 2 t; 3 2t)   AB (2; 1; 2), AC ( 2; 2;1)   [AB; AC] ( 3; 6; 6) 3(1; 2; 2)   3.n , vôùi n (1; 2; 2)  Phöông trình mp (ABC) qua A vôùi phaùp vectô n : (ABC): x + 2y – 2z – 2 = 0. 1   1 9 SABC [AB; AC] ( 3)2 ( 6)2 62 . 2 2 2 Ñöôøng cao MH cuûa töù dieän MABC laø khoaûng töø M ñeán (ABC): 1 2t 2( 2 t) 2(3 2t) 2 4t 11 MH d(M(ABC)) 3 1 4 4 1 9 4t 11 Theå tích töù dieän MABC baèng 3 V . . 3 3 2 3 5 17 4t 11 6 t hay t . 4 4 3 3 1 15 9 11 Vaäy, coù 2 ñieåm M caàn tìm laø: M ; ; hay M ; ; 2 4 2 2 4 2 N(1 2t; 2 t; 3 2t) 2. N ( ) 1   1 2 3 2 SABN [NA; NB] 32t 2 128t 146 (4t 8)2 9 2 2 2 2 3 2 maxSABN 4t 8 0 t 2. 2 Vaäy, ñieåm N caàn tìm laø N(-3; 0; 1). Caâu 2: S Caùch 1: Goïi O laø taâm cuûa ABC I SA SB SC Ta coù: OA OB OC ( ABC ñeàu) A SO laø truïc cuûa ñöôøng troøn (ABC) SO (ABC) Maø : AO BC; SO BC BC (SOA) Döïng BI SA , suy ra: SA (IBC) SA  laø goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C). BIC Trang 3 BC IC. SA C O B M CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! SOA vuoâng coù: SA 2 SO 2 OA 2 h 2 a2 3 3h2 a2 3 3h2 SA a2 3 Goïi M laø trung ñieåm BC Ta coù: BM (SOA), BI SA IM SA (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc) MIA  SOA a 3 3 . 2 3h2 a2 SAC (c.c.c) IB IC MI SO. SAB (SAB) AM SA (SAC) 3ah h. 2 3h2 a2 IBC caân taïi I. 1 IM BC IBC vuoâng caân taïi I 2 3ah 1 a 3h 3h2 a2 2 2 2 2 3h a 9h2 3h2 a2 h a 6 . 6 Vaäy, h a 6 . 6 z S Caùch 2: Goïi H laø taâm cuûa ABC vaø M laø trung ñieåm cuûa BC SA SB SC Ta coù: HA HB HC ( ABC ñeàu) Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc A(0; 0; 0), B a a 3 ; ;0 ,C 2 2  SA 0;   [SA; SB]  vôùi n1 H M z y B a a 3 a 3 a 3 ; ; 0 , H 0; ; 0 , S 0; ;h . 2 2 2 3  a 3 ; h , SB 3 a a 3 ; ; 2 6  h , SC a a 3 ; ; 2 6 h a2 3 6 a (3h 3; 3h; a 3) 6 a  .n1, 6 ah a2 3 ; 2 6 a (3h 3; 3h; a 3) 6 a  .n 2 , 6 ah 3 ah ; ; 2 2 (3h 3; 3h; a 3)   [SA; SC]  vôùi n2 C A ah 3 ; 2 (3h 3; 3h; a 3) .   Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông SA; SB neân coù phaùp vectô   Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông SA; SC neân coù phaùp vectô   (SAB) (SAC) cos(n1; n 2 ) 0 Trang 4  n1 .  n2 . CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 27h 2 9h 2 3a2 3h 3.3h 3 3h.3h a 3( a 3) 0 18h2 Vaäy: h 3a2 h 0 a 6 . 6 a 6 . 6 BÀI 3 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho ñöôøng thaúng (d) vaø maët caàu (S): (d) : 2x 2y z 1 0 ; x 2y 2z 4 0 (S) :x 2 y2 z2 4x 6y m 0 Tìm m ñeå (d) caét (S) taïi hai ñieåm M, N sao cho MN = 8. Caâu 2: Cho töù dieän OABC coù ñaùy laø OBC vuoâng taïi O, OB = a, OC = a 3, (a 0) vaø ñöôøng cao OA a 3 . Goïi M laø trung ñieåm caïnh BC. Tính khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng AB vaø OM. GIẢI Caâu 1: Maët caàu (S): (x 2)2 (y 3)2 I(-2; 3; 0), baùn kính R IN MH Döïng IH MN IH IN2 HN2 z 2 M 13 m coù taâm 13 m , vôùi m < 13. HN 4 13 m 16 y 1 z 1 ;1 2 N I m 3 , vôùi m < -3. x t Phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng (d):  (d) coù vectô chæ phöông u 1;    AI ( 2; 2; 1); [AI; u] (3; 6; H 1 t 2 1 t 1 (2; 1; 2) vaø ñi qua ñieåm A(0; 1; -1) 2 6) Trang 5 CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! Khoaûng caùch h töø I ñeán ñöôøng thaúng (d):   [AI; u] 32 62 62 81 h 3.  u 9 22 12 22 Ta coù: IH = h m 3 3 m 3 9 Vaäy, giaù trò caàn tìm: m = -12. 12 (thoûa ñieàu kieän) m Caâu 2: Caùch 1: Goïi N laø ñieåm ñoái xöùng cuûa C qua O. Ta coù: OM // BN (tính chaát ñöôøng trung bình) OM // (ABN) d(OM; AB) = d(OM; (ABN)) = d(O; (ABN)). Döïng OK Ta coù: AO BN, OH AK (K BN; H AK) (OBC); OK BN AK BN BN OK; BN AK BN (AOK) BN OH OH AK; OH BN OH (ABN) d(O; (ABN) OH Töø caùc tam giaùc vuoâng OAK; ONB coù: 1 OH2 1 OA2 1 OK2 1 OA2 Vaäy, d(OM; AB) OH 1 OB2 1 ON2 1 3a2 1 a2 1 3a2 5 3a2 OH z a 15 . 5 a 3 A Caùch 2: N Döïng heä truïc Oxyz, vôùi Ox, Oy, Oz ñoâi moät vuoâng goùc O(0; 0; 0), A(0; 0; a 3); B(a; 0; 0), C(0; a 3; 0), M a 15 5 C O a a 3 a 3 a 3 ; ; 0 vaø N 0; ; 2 2 2 2 B a 3 M a x laø trung ñieåm cuûa AC. MN laø ñöôøng trung bình cuûa ABC AB // MN AB // (OMN) d(AB; OM) = d(AB; (OMN)) = d(B; (OMN)).   a a 3 a 3 a 3 OM ; ; 0 , ON 0; ; 2 2 2 2   [OM; ON] 3a2 a2 3 a2 3 ; ; 4 4 4 a2 3 4 3; 1; 1 a2 3   n , vôùi n ( 3; 1; 1) 4  Phöông trình mp (OMN) qua O vôùi phaùp vectô n : 3x y z Trang 6 0 y CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! Ta coù: d(B; (OMN)) Vaäy, d(AB; OM) 3.a 0 0 3 1 1 a 3 5 a 15 5 a 15 . 5 BÀI 4 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho maët phaúng ( ) : 2x – y + z – 5 = 0. Vieát phöông trình maët phaúng (P) qua giao tuyeán cuûa ( ) vaø maët phaúng (xOy) vaø (P) taïo vôùi 3 maët phaúng 125 toïa ñoä moät töù dieän coù theå tích baèng . 36 Caâu 2: Cho hình choùp SABC coù ñaùy laø tam giaùc ABC vuoâng caân taïi A, AB = AC = a (a > 0), hình chieáu cuûa S treân ñaùy truøng vôùi troïng taâm G cuûa ABC. Ñaët SG = x (x > 0). Xaùc ñònh giaù trò cuûa x ñeå goùc phaúng nhò dieän (B, SA, C) baèng 60o. GIẢI Caâu 1: Phöông trình maët phaúng (xOy): z = 0 Phöông trình maët phaúng (P) thuoäc chuøm xaùc ñònh bôûi ( ) vaø (xOy) coù daïng: (P) : 2mx my (m n)z 5m 0 m(2x – y + z – 5) – nz = 0 Giao ñieåm A, B, C cuûa (P) vaø 3 truïc Ox, Oy, Oz laàn löôït coù toïa ñoä: 5 5m A ; 0; 0 , B(0; 5; 0), C 0; 0; 2 m n Theå tích töù dieän OABC baèng 125 1 1 5 5m 125 V .OA.OB.OC . .5. 36 6 6 2 m n 36 m n 3m m 1, n 2 m n 3m m n 3m m 1, n 4 Vaäy, coù 2 phöông trình maët phaúng (P): (P1 ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n (P2 ) : 2x y 3z 5 0 (m 1; n Caâu 2: . Caùch 1: Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC AM BC ( ABC vuoâng caân) Ta coù: SG (ABC) Suy ra: BC (SAM) IM Döïng BI SA SG 2) 4) S I C BC . SA vaø IC SA Trang 7 A G B M CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!!  laø goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C). BIC SAB SAC (c.c.c) IB IC IBC caân taïi I. 1 a 2 a 2 BC ; AG 2 2 3 AM a 2 1 SG. x. . AS 2 SG 2 AG 2 BC a 2; AM BM MC AIM ~ AGS IM IM  60o Ta coù: BIC Vaäy, x 3ax 2 2 9x2 2a2  30o BIM 9x 2 2a2 18x 2 2a2 ax 2 2 x 2 2a2 9 . BM 3x 3 a . 3 IM.tg30o a 2 2 3.3ax 2 2 9x 2 9x 2 2a2 27x 2 9x 2 a2 x 2a2 a . 3 z Caùch 2: x BC a 2 Goïi M laø trung ñieåm BC a 2 a 2 AM ; AG 2 3 F A Goïi E, F laàn löôït laø hình chieáu cuûa G G treân AB, AC. Töù giaùc AEGF laø hình vuoâng E M a B AG AE 2 AE AF . 3 x Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), a a a a C(0; a; 0), G ; ; 0 , S ; ; x . 3 3 2 2    a a 2a a a 2a SA ; ; x , SB ; ; x , SC ; ; x 3 3 3 3 3 3   a2 a  a  [SA; SB] 0; ax; a 0; x; a.n1 , vôùi n1 0; x; 3 3 3   a2 a a   [SA; SC] ( ax; 0; ) a x; 0; a.n 2 , vôùi n2 . x; 0; 3 3 3   Maët phaúng (SAB) coù caëp vectô chæ phöông SA, SB neân coù phaùp vectô   Maët phaúng (SAC) coù caëp vectô chæ phöông SA, SC neân coù phaùp vectô Goùc phaúng nhò dieän (B; SA; C) baèng 60o. Trang 8 C y  n1  n2 CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 0.x x.0 cos60o 0 x 1 2 a2 2 2 9x a a . Vaäy, x 3 2 a a 3 3 a2 2 x 9 9x 2 a2 a2 0 9 2a2 a2 9 9x2 a2 9 9x 2 a2 x a . 3 BÀI 5 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz, tìm treân Ox ñieåm A caùch ñeàu ñöôøng thaúng (d) : x 1 y 1 2 z 2 vaø maët phaúng ( ) : 2x – y – 2z = 0. 2 Caâu 2: Cho hình choùp SABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc ñeàu coù caïnh baèng 2a 2 , SA vuoâng goùc vôùi (ABC) vaø SA = a. Goïi E, F laàn löôït laø trung ñieåm cuûa caïnh AB, BC. Tính goùc vaø khoaûng caùch giöõa hai ñöôøng thaúng SE vaø AF. GIẢI Caâu 1: Goïi A(a; 0; 0) Ox . Khoaûng caùch töø A ñeán maët phaúng ( ) : d(A; ) 2a 22 12  ( ) qua M 0 (1; 0; 2) vaø coù vectô chæ phöông u (1; 2; 2)   Ñaët M0M1 u Do ñoù: d(A; ) laø ñöôøng cao veõ töø A trong tam giaùc AM 0 M1   [AM0 ; u] 2.SAM0M1 8a2 24a 36 d(A; )  M0 M1 u 3 Theo giaû thieát: d(A; ) = d(A; ) Trang 9 22 2a 3 CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 2a 8a2 24a 36 4a2 3 3 4(a 3)2 0 a 3. Vaäy, coù moät ñieåm A(3; 0; 0). 8a2 24a 36 4a2 24a 36 Caâu 2: Caùch 1: Goïi M laø trung ñieåm cuûa BF EM // AF    (SA; AF) (EM; AF) SEM SAE vuoâng taïi A coù: SE2 SA2 AE a2 2a2 AF 2a 2. 3 2 S SA2 AB2 A H SE a 3 a 6 EM BM MF SB2 3a2 K Vì AF // ME F M a 6 ; BF a 2 2 a2 8a2 9a2 SB 3a ME; AH B 2 2 a 2 vaø AH 2 d(AF; (SME)) AH. SK. Ta coù: AK d(SE; AF) 1 1 1 2 2 AH SA AK2 a 3 Vaäy, d(SE; AF) . 3 Caùch 2: Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), SAK vuoâng coù: C E SF2 SA2 AF2 a2 6a2 7a2 SF a 7 AÙp duïng ñònh lyù ñöôøng trung tuyeán SM trong SBF coù: 1 2 SB2 SF 2 2.SM 2 BF 2 1 2 15a2 9a2 7a2 2SM2 .2a SM2 2 2 Goïi laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF AÙp duïng ñònh lyù haøm Coâsin vaøo SEM coù: 3a2 15a2 3a2 2 2 2 ES EM SM 2 2  cos cosSEM 2.ES.EM a 6 2. .a 3 2 45o. Döïng AK 0 MF 1 a2 2 a2 3 a2 2 . 2 (SME) a 3 3 AH z a S C A Trang 10 x E M B F y CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! B(a 2; a 6; 0), C( a 2; a 6; 0), S(0; 0; a), E a 2 a 6 ; ; 0 ; F(0; a 6; 0) 2 2 vaø M a 2 ; a 6; 0 . 2  SE  a 2 a 6 ; ; a ; AF 2 2 Goïi laø goùc nhoïn taïo bôûi SE vaø AF.ta coù: cos   cos(SE; AF) 0.  (a; a 6; 0), SM a 2 2 a 6 0( a) 2 a2 3a2 0. a2 2 2 a 6. 0 6a2 a 2 ; a 6; a 2 3a2 a 6.a 3 2 . 2 45o.   a2 6 a2 3 a2 3 a2 3   [SE; SM] ; 0; ( 2; 0; 1) n, vôùi n ( 2; 0; 1) 2 2 2 2  Phöông trình maët phaúng (SEM) qua S vôùi phaùp vectô n : 2x z a 0. 0 0 a a 2 Khoaûng caùch töø A ñeán (SEM): d(A;SEM) 3 2 1 Vì AF // EM AF //(SEM) Vaäy, d(SE; AF) d(SE; AF) d(A; SEM) a 3 . 3 ĐỀ 6 Caâu 1: Trong khoâng gian vôùi heä toïa ñoä vuoâng goùc Oxyz cho maët phaúng (P) vaø maët caàu (S): (P): 2x 2y z m2 3m 0 ; (S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 9. Tìm m ñeå (P) tieáp xuùc (S). Vôùi m tìm ñöôïc xaùc ñònh toïa ñoä tieáp ñieåm. Caâu : Cho hình choùp S.ABC coù ñaùy ABC laø tam giaùc vuoâng taïi B, AB = a, BC = 2a, caïnh SA vuoâng goùc vôùi ñaùy vaø SA = 2a. Goïi M laø trung ñieåm SC. Chöùng minh MAB caân vaø tính dieän tích MAB theo a. LỜI GIẢI Caâu 1: (P) : 2x 2y z m2 3m 0 Trang 11 CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! (S) : (x 1)2 (y 1)2 (x 1)2 (P) tieáp xuùc (S) d[I, (P)] 9 coù taâm I(1; -1; 1) vaø baùn kính R = 3. R 2.1 2.( 1) 1.1 m2 3m 3 22 22 12 m 2 3m 1 m2 3m 1 9 9 m2 3m 1 m 2 m 5 9 Vaäy, (P) tieáp xuùc (S) khi m = -5 hay m = 2, khi ñoù (P): 2x + 2y + z – 10 = 0 Ñöôøng thaúng (d) qua I vaø vuoâng goùc vôùi (P) coù phöông trình: x 1 y 1 z 1 2 2 1 x 3 2x 2y z 10 0 Toïa ñoä tieáp ñieåm laø nghieäm cuûa heä: y 1 x 1 y 1 z 1 2 2 z 2 1 Vaäy, toïa ñoä tieáp ñieåm M(3; 1; 2). S Caâu 2: Caùch 1: Ta coù: SA (ABC) SA M AC. Do ñoù SAC vuoâng taïi A coù AM laø 1 SC. trung tuyeán neân MA 2 SA (ABC) Ta laïi coù: AB BC ( ABC vuoâng taïi B) SB A K B BC (ñònh lyù 3 ñöôøng vuoâng goùc) Do ñoù SBC vuoâng taïi B coù BM laø trung tuyeán neân MB Suy ra: MA = MB MAB caân taïi M. Döïng MH // SA vaø HK // BC (H AC; K vì: SA BC C H (ABC) AB MHK vuoâng taïi H coù: MK2 Dieän tích MAB: SMAB 1 SA a 2 1 BC a 2 HK MH2 HK2 1 .MK.AB 2 Caùch 2: ABC vuoâng taïi B coù: AC2 AB2 BC2 a2 4a2 AB) MH MH (ABC) HK AB 1 SC. 2 a2 a2 1 .a 2.a 2 2a2 MK a 2 a2 2 2 z 5a 2 2a S AC a 5 Trang 12 M H C y CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! Döïng BH AC (H AC), ta coù: AB2 a2 a AH AC a 5 5 1 1 1 5 2 2 2 BH AB BC 4a2 2a BH 5 Döïng heä truïc toïa vuoâng goùc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc vaø 2a a A(0; 0; 0), C(0; a 5; 0), S(0; 0; 2a), B ; ; 0 5 5 Toïa ñoä trung ñieåm M cuûa SC laø M 0;  Ta coù: MA  MB 0; a 5 ;a 2 a 5 3a ;a MA 2 2 2a 3a 3a ; ; a MB . 2 5 2 5 suy ra: MA = MB   Ta coù: [MA; MB] Dieän tích MAB: SMAB MAB caân taïi M. a2 ; 5 2a2 2 ;a 5 1   [MA; MB] 2   [MA; MB] 1 2 .a 2 2 a2 2 a2 2 . 2 BÀI 7 Caâu 1: Cho hình choùp ñeàu S.ABC, ñaùy ABC coù caïnh baèng a, maët beân taïo vôùi ñaùy moät goùc baèng (0o 90o ) . Tính theå tích khoái hình choùp S.ABC vaø khoaûng caùch töø ñænh A ñeán maët phaúng (SBC). Caâu 2: . Trong khoâng gian oxyz cho hai ñöôøng thaúng: x 2t x y 3 0 (d1) : y t ; (d2) : 4x 4y 3z 12 0 z 4 Chöùng minh (d1) vaø (d2) cheùo nhau. Vieát phöông trình maët caàu (S) coù ñöôøng kính laø ñoaïn vuoâng goùc chung cuûa (d1) vaø (d2). GIẢI Caâu 1: S Caùch 1: Trang 13 CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! Goïi H laø trung ñieåm cuûa BC. Do S.ABC ñeàu vaø ABC ñeàu neân chaân ñöôøng cao ñænh S truøng vôùi giao ñieåm ba ñöôøng cao laø tröïc taâm O cuûa ABC vaø coù SBC caân taïi S.  suy ra: BC SH, BC AH, neân SHA Ta coù: OH 1 AH 3 . a 3 . 6 SHO vuoâng goùc: SO HO.tg a 3 tg vaø SH 6 HO cos a 3 6.cos 1 1 a 3 a2 3 .SO.SABC . tg . 3 3 6 4 2 1 a 3 .SH.BC 2 12.cos a3tg 24 Theå tích hình choùp S.ABC: V Dieän tích SBC: SSBC Goïi h laø khoaûng caùch töø A ñeán (SBC), ta coù: V 1 .h.SSBC 3 h 3.V SSBC 3. a3tg a2 3 : 24 12 cos Caùch 2: Vì S.ABC laø hình choùp ñeàu neân chaân ñöôøng cao ñænh S truøng vôùi taâm O ñöôøng troøn (ABC). Goïi M laø trung ñieåm cuûa BC. Ta coù: - AO - AM a 3 sin 2 z S 2 AM 3 a 3 a 3 vaø OM 3 6  BC, SM BC SMA C A O - M y SOM vuoâng coù: B a 3 x SO OM.tg tg 6 Döïng heä truïc toïa ñoä Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), a a 3 a a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 B ; ; 0 ,C ; ; 0 ,M 0; ; 0 , O 0; ; 0 , S 0; ; tg 2 2 2 2 2 3 3 6 Theå tích hình choùp: V  Ta coù: BS   [BS; BC] a ; 2 0; 1 .SO.SABC 3 a 3 a 3 ; tg 6 6 a2 3 tg ; 6 a2 3 6 a3tg 24  , BC ( a; 0; 0)  n  Phöông trình maët phaúng (SBC) qua B vôùi vectô phaùp tuyeán n : Trang 14 CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! O x a 2 a2 3 tg 6 y a 3 2 a2 3 (z 0) 6 0 a 3 tg 0. 2 Khoaûng caùch d töø A ñeán (SBC): (SBC) : tg y z tg .O O d tg2 a 3 tg 2 1 a 3 tg 2 1 cos a 3 sin . 2 Caâu 2:  (d1) ñi qua ñieåm A(0; 0; 4) vaø coù vectô chæ phöông u1 (2; 1; 0)  (d2) ñi qua ñieåm B(3; 0; 0) vaø coù vectô chæ phöông u2 (3; 3; 0)  AB (3; 0; 4)       AB.[u1; u2 ] 36 0 AB, u1, u2 khoâng ñoàng phaúng. Vaäy, (d1) vaø (d2) cheùo nhau. x 3 t/ (d2) coù phöông trình tham soá: y t/ z 0 Goïi MN laø ñöôøng vuoâng goùc chung cuûa (d1) vaø (d2) M (d1 ) M(2t; t; 4) , N (d2 ) N(3 t / ; t / ; 0)  MN (3 t / 2t; t / t; 4)   MN u1 2(3 t / 2) (t / t) 0 t/ 1 Ta coù:   t 1 3 t / 2t (t / t) 0 MN u2 BÀI 8 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz coù 2 maët phaúng (P): 3x + 12y – 3z – 5 = 0, (Q): 3x – 4y + 9z + 7 = 0 vaø 2 ñöôøng thaúng: Trang 15 N(2; 1; 0) 1 MN 2. 2 (z 2)2 4. Toïa ñoä trung ñieåm I cuûa MN: I(2; 1; 2), baùn kính R Vaäy, phöông trình maët caàu (S): (x 2)2 (y 1)2 M(2; 1; 4) CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! (d1): x 5 y 3 z 1 ; 2 4 3 (d 2 ) : x 3 y 1 z 2 2 3 4 Vieát phöông trình ñöôøng thaúng ( ) song song vôùi hai maët phaúng (P) vaø (Q), vaø caét hai ñöôøng thaúng (d1) vaø (d2). Caâu 2: Cho hình laäp phöông ABCD . A'B'C'D' caïnh a. M, N laàn löôït laø trung ñieåm cuûa AB vaø C'D'. Tính khoaûng caùch töø B' ñeán (A'MCN). GIẢI Caâu 1:  (P) coù phaùp vectô nP / / (3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n P , vôùi n P  (Q) coù phaùp vectô nQ (3; 4; 9)  (d1) coù vectô chæ phöông u1 (2; 4; 3)  (d2) coù vectô chæ phöông u2 ( 2; 3; 4) ( / ) (P) P  nq Q  np (Q) / (d1 ) (P ), (d 2 )   u u /  u P/ (P / )//(P), (Q / )//(Q) Goïi: (1; 4; 1) Q/  u1 / (Q ) A d1 /  u2 B d2 Suy ra ( ) laø giao tuyeán cuûa hai maët phaúng (P ) vaø (Q/), vaø ( ) // ( /).  /  / ( ) coù vectô chæ phöông u [nP ; nQ ] (32; 12; 16) 4(8; 3; 4) 4u , / vôùi u (8; 3; 4).  / mp (P/) coù caëp vectô chæ phöông u1 vaø u neân coù phaùp vectô:   / n P/ [u1; u ] (25; 32; 26)  Phöông trình mp (P/) chöùa (d1) ñi qua ñieåm A(-5; 3; -1) (d1 ) vôùi n P/ laø: 25(x + 5) + 32(y – 3) + 26(z + 1) = 0 (P ) : 25x 32y 26z 55 0  / mp (Q/) coù caëp vectô chæ phöông u 2 vaø u neân coù phaùp vectô:   / nQ/ [u2 ; u ] (0; 24; 18) / Phöông trình mp (Q/) chöùa (d2) ñi qua ñieåm B(3; -1; 2) 0(x 3) 24(y 1) 18(z 2) 0 / (Q ) : 4y 3x 10 0 Ta coù: ( ) (P/ )  (d 2 ) vôùi n Q/ laø: (Q/ ). Vaäy, phöông trình ñöôøng thaúng ( ) : 25x 32y 26z 55 0 4y 3z 10 Trang 16 0 CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! Caâu 2: Caùch 1: Boán tam giaùc vuoâng AA/ M, BCM, CC/ N, A/ D/ N baèng nhau (c.g.c) / A M MC CN NA A/ MCN laø hình thoi. / D/ A/ C/ N B/ Hai hình choùp B/A/MCN vaø B/.A/NC coù chung ñöôøng cao veõ töø ñænh B/ vaø SA/ MCN neân: VB/ .A/ MCN Maø: VB/ .ANC SA/ MCN D 2.VB/ .A/ NC. VC.A/ B/ N Ta coù: SA / MCN 2.SA/ NC A 1 .CC/ .SA/ B/ N 3 a3 6 1 1 .a. .a.a 3 2 VB/ .A/ MCN 1 / .A C.MN, vôùi A/ C a 3; MN BC/ 2 BH a3 . 3 a 2 a2 6 . 2 Goïi H laø hình chieáu cuûa B/ treân (A/MCN), ta coù: VB/ .A / MCN / M 3.VB/ .A/ MCN a3 a2 6 3. : 3 2 SA/ MCN 1 / .B H.SA / MCN 3 a 6 . 3 Caùch 2: Choïn heä truïc Dxyz, vôùi Dx, Dy, Dz ñoâi moät vuoâng goùc, A(a; 0; 0), B(a; a; 0), C(0; a; 0), D(0; 0; 0), A/(a; 0; a), B/(a; a; a), C/(0; a; a), D/(0; 0; a), a a M a; ; 0 , N 0; ; a 2 2   Ta coù: A / C ( a; a; a), MN ( a; 0; a)   [A / C; MN] (a2 ; 2a2 ; a2 ) a2 (1; 2; 1)   a2 .n vôùi n (1; 2; 1). z / a D A x a Khoaûng caùch d töø B/(a; a; a) ñeán mp(A/MCN): 1 4 1 Trang 17 C a y D (A/ MCN) : x 2y z 2a 0. a 2a a 2a C/ A/ M  Phöông trình mp (A/MCN) qua C(0; a; 0) vôùi phaùp vectô n : 1(x 0) 2(y a) 1(z 0) 0 d N 2a 6 a 6 . 3 B C B CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! ĐỀ 9 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng: x t x t' (d1) : y 4 t ; vaø (d2) : y 3t ' 6 z 6 2t z t' 1 Goïi K laø hình chieáu vuoâng goùc cuûa ñieåm I(1; -1; 1) treân (d2). Tìm phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng qua K vuoâng goùc vôùi (d1) vaø caét (d1). Caâu 2: 1. Tính theå tích cuûa hình choùp S.ABC, bieát ñaùy ABC laø moät tam giaùc ñeàu caïnh a, maët beân (SAB) vuoâng goùc vôùi ñaùy, hai maët beân coøn laïi cuøng taïo vôùi ñaùy goùc . GIẢI Caâu 1:  (d1) coù vectô chæ phöông u1 (1; 1; 2)  (d2) coù vectô chæ phöông u2 (1; 3; 1)  IK (t / 1; 3t / 5; t / 2) 18 18 12 7 t / 1 9t / 15 t / 2 0 t/ K ; ; 11 11 11 11 Giaû söû ( ) caét (d1) taïi H(t; 4 t; 6 2t), (H (d1 ))  18 56 59 HK t; t; 2t 11 11 11   18 56 118 26 HK u1 t t 4t 0 t 11 11 11 11  30 7 1 HK 4; ; (44; 30; 7). 11 11 11 18 x 44 11 12 Vaäy, phöông trình tham soá cuûa ñöôøng thaúng ( ): y 30 . 11 7 z 7 11 K (d2 )   IK u2 Caâu 2: Caùch 1: Döïng SH K(t / ; 3t / 6; t / 1) AB S Trang 18 CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! Ta coù: (SAB) SH (ABC), (SAB) (SAB) (ABC) vaø SH laø ñöôøng cao cuûa hình choùp. Döïng HN SN (ABC) AB, SH BC, HP BC, SP SHN = SHP AC  SNH  AC SPH HN = HP. AHP vuoâng coù: HP SHP vuoâng coù: SH HA.sin60o HP.tg Theå tích hình choùp S.ABC : V Caùch 2: Döïng SH AB Ta coù: (SAB) (ABC), (SAB) a 3 . 4 a 3 tg 4 1 .SH.SABC 3 1 a 3 a2 3 . .tg . 3 4 4 (ABC) B, SH Vì (SAC) vaø (SBC) cuøng taïo vôùi (ABC) moät goùc H laø trung ñieåm AB. Döïng heä truïc toïa ñoä Hxyz, vôùi Hx, Hy, Hz ñoâi moät vuoâng goùc, H(0; 0; 0), a a A ; 0; 0 ; B ; 0; 0 , 2 2 C 0; a 3 ; 0 , S(0; 0; h), (h 2 (SAB) SH z h S B A x Trang 19 C H Phöông trình mp (ABC):  z = 0, vôùi phaùp vectô n1 (0; 0;1) (SAC) : 2h 3x 2hy a 3z ah 3 0 (SAC) taïo vôùi (ABC) moät goùc : 0 0 a 3 cos 0 0 1. 12h2 4h2 1 16h 2 3a2 2 1 tg cos2 3a2 3a2 tg2 a 3 2 h h tg 16 4 1 Theå tích hình choùp S.ABC: V .h.SABC 3 (ABC) vaø ABC ñeàu, neân suy ra 0). Phöông trình mp (SAC): x y z 1 a a 3 h a3 tg 16  vôùi n2 a 3 2 a 2 (2h 3; 2h; a 3) a 3 3a2 16h 2 3a2 1 a 3 a2 3 . tg . 3 4 4 a3 tg . 16 y CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! ĐỀ 10 Caâu 1: Trong khoâng gian Oxyz cho 2 ñöôøng thaúng: x 3 y 1 z 1 x 7 y 3 z 9 ; ( 2 ): ( 1) : 7 2 3 1 2 1 1. Laäp phöông trình chính taéc cuûa ñöôøng thaúng ( 3) ñoái xöùng vôùi ( 2) qua ( 1). 2. Xeùt maët phaúng ( : x + y + z + 3 = 0. Vieát phöông trình hình chieáu cuûa ( 2) theo phöông ( 1) leân maët phaúng ( ).   3. Tìm ñieåm M treân maët phaúng ( ) ñeå MM1 MM 2 ñaït giaù trò nhoû nhaát bieát M1(3; 1; 1) vaø M2(7; 3; 9). Caâu 2: Cho laêng truï ñöùng ABC.A'B'C' coù ñaùy ABC laø tam giaùc caân vôùi AB = AC = a, goùc  120 o , caïnh beân BB' = a. Goïi I laø trung ñieåm CC'. Chöùng minh AB'I vuoâng BAC taïi A vaø tính cosin cuûa goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB'I). GIẢI Caâu 1: x 3 7t1 1.  ( 1 ) : y 1 2t1 coù vectô chæ phöông u1 ( 7; 2; 3) z 1 3t1 x ( 7 7t 2 3 2t 2 2) : y z 9 t2 qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) vaø  coù vectô chæ phöông u2 (1; 2; 1) Goïi H laø hình chieáu cuûa A treân ( 1) H ( 1) H(3 7t1; 1 2t1; 1 3t1 )  AH ( 4 7t1; 2 2t1; 8 3t1 )   AH u1 7( 4 7t1 ) 2( 2 2t1 ) 3( 8 3t1 ) 0 t1 0 H(3; 1; 1) B A  u1 H K A/ B/ Goïi A/ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa A qua H A/(-1; -1; -7) Goïi K laø hình chieáu cuûa B treân ( 1) vaø B/ laø ñieåm ñoái xöùng cuûa B qua K. Töông töï nhö treân ta tìm ñöôïc: 114 25 22 20 105 204 K ; ; B/ ; ; 31 31 31 31 31 31   11 74 13 1 1  A/ B/ ; ; (11; 74; 13) .a vôùi a (11; 74; 13) 31 31 31 31 31 Phöông trình ñöôøng thaúng ( 3) ñoái xöùng vôùi ( 2) qua ( 1) chính laø phöông trình  ñöôøng thaúng A / B/ qua A/ vôùi vectô chæ phöông a . Trang 20 CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! Vaäy, phöông trình chính taéc ( 3): x 1 11 y 1 74 z 7 . 13 2. Maët phaúng ( ) chöùa ( 2) vaø ( ) // ( 1)   ( ) coù caëp vectô chæ phöông u1 ( 7; 2; 3), u2 (1, 2, 1)     [u1; u2 ] ( 8; 4; 16) 4(2; 1; 4) 4n , vôùi n (2; 1; 4)  Phöông trình mp ( ) qua A(7; 3; 9) ( 2 ) vôùi phaùp tuyeán n : ( ) : 2x y 4z 53 0 Ta coù: ( ) ( ) ( / 2 ) laø hình chieáu cuûa ( 2) leân ( ) theo phöông ( 1). x y z 3 0 Vaäy, phöông trình hình chieáu ( 2/ ) : 2x y 4z 53 0 ( I(5; 2; 5) 3. Goïi I laø trung ñieåm M1M2    I 2MI Ta coù: MM1 MM2    M1 MM1 MM2 nhoû nhaát 2MI nhoû nhaát M laø hình chieáu cuûa I treân ( ) Phöông trình ñöôøng thaúng ( ) qua I vaø vuoâng goùc vôùi ( ) laø: x 5 t y 2 t z 5 t M0 Goïi M laø giao ñieåm cuûa ( ) vaø ( ) M ( ) M(5 t; 2 t; 5 t) M ( ) 5 t 2 t 5 t 3 0 t 5 ) M2  u M M(0; 3; 0) Vaäy, ñieåm M caàn tìm: M(0; -3; 0). Caâu 2: Caùch 1: Goïi H laø trung ñieåm BC AH BC. AH ABH laø nöûa tam giaùc ñeàu caïnh AB = a a 3 BC a 3 2 IB/ C/ vuoâng coù: a2 IB/ 2 IC/ 2 B/ C/ 2 3a2 4 a vaø 2 BH AIC vuoâng coù: AI 2 2 IC 13a2 4 2 AC B/ a2 4 2 a /2 Trang 21 A/ 5a2 4 5a2 13a2 2 Ta coù: AI AB 2a IB/ 2 4 4 (AB/ laø ñöôøng cheùo cuûa hình vuoâng AA/B/B caïnh a) Vaäy, AB/I vuoâng taïi A. 2 C/ B H 30o A I C CtnSharing.Com – Download Ebook Free..!!! 1 1 a 5 a2 10 .AI.AB/ . .a 2 2 2 2 4 2 1 1 a a 3 SABC .AH.BC . .a 3 2 2 2 4 laø goùc giöõa hai maët phaúng (ABC) vaø (AB/I), theo coâng thöùc chieáu, ta coù: SABC a2 3 a2 10 30 : SAB/ I 4 4 10 Ta coù: SAB/ I Goïi cos Caùch 2: Goïi H laø trung ñieåm BC AH BC ABH laø nöûa tam giaùc ñeàu caïnh AB = a a a 3 vaø BH BC a 3 2 2 Döïng heä truïc Axyz, vôùi Ax, Ay, Az ñoâi moät vuoâng goùc, A(0; 0; 0), a 3 a ; ;0 , C 2 2  / AB  a 3 a ; ; a , AI 2 2  /  Ta coù: AB .AI  / AB * * a 3 a ; ;a ,I 2 2 a 3 . 2  AI. B/ 60o H z B a 3 a a ; ; 2 2 2 a 3 a a ; ; 2 2 2 a 3 2 a a a . a. 2 2 2 3a2 4 a2 4 2a2 4 0 Vaäy, AB/I vuoâng taïi A.  Phöông trình mp(ABC): z = 0 coù phaùp vectô n1 (0; 0; 1)  /  mp (AB/I) coù caëp vectô chæ phöông AB , AI , neân coù phaùp vectô:  /  [AB ; AI]  vôùi n2 Goïi a2 ; 4 3a2 3 2a2 3 ; 4 4 a2 (1; 3 3; 2 3) 4 a2  .n 2 4 (1; 3 3; 2 3) . laø goùc giöõa (ABC) vaø (AB/I), ta coù: 0 0 2 3 cos 0 0 1. 1 27 12 Trang 22 I C A a 3 a ; ; 0 , A / (0; 0; a), 2 2 a 3 a ; ; a , C/ 2 2 B/ A/ a AH B C/ z 2 3 40 30 . 10 y [...]... 6 Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ vuông góc Oxyz cho mặt phẳng (P) và mặt cầu (S): (P): 2x 2y z m2 3m 0 ; (S) : (x 1)2 (y 1)2 (z 1)2 9 Tìm m để (P) tiếp xúc (S) Với m tìm được xác đònh tọa độ tiếp điểm Câu : Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, BC = 2a, cạnh SA vuông góc với đáy và SA = 2a Gọi M là trung điểm SC Chứng minh MAB cân và tính diện tích MAB theo a LỜI GIẢI... Trong không gian Oxyz cho 2 đường thẳng: x t x t' (d1) : y 4 t ; và (d2) : y 3t ' 6 z 6 2t z t' 1 Gọi K là hình chi u vuông góc của điểm I(1; -1; 1) trên (d2) Tìm phương trình tham số của đường thẳng qua K vuông góc với (d1) và cắt (d1) Câu 2: 1 Tính thể tích của hình chóp S.ABC, biết đáy ABC là một tam giác đều cạnh a, mặt bên (SAB) vuông góc với đáy, hai mặt bên còn lại cùng tạo với đáy góc GIẢI Câu. .. Vậy, tọa độ tiếp điểm M(3; 1; 2) S Câu 2: Cách 1: Ta có: SA (ABC) SA M AC Do đó SAC vuông tại A có AM là 1 SC trung tuyến nên MA 2 SA (ABC) Ta lại có: AB BC ( ABC vuông tại B) SB A K B BC (đònh lý 3 đường vuông góc) Do đó SBC vuông tại B có BM là trung tuyến nên MB Suy ra: MA = MB MAB cân tại M Dựng MH // SA và HK // BC (H AC; K vì: SA BC C H (ABC) AB MHK vuông tại H có: MK2 Diện tích MAB: SMAB 1 SA... 7 11 K (d2 )   IK u2 Câu 2: Cách 1: Dựng SH K(t / ; 3t / 6; t / 1) AB S Trang 18 CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! Ta có: (SAB) SH (ABC), (SAB) (SAB) (ABC) và SH là đường cao của hình chóp Dựng HN SN (ABC) AB, SH BC, HP BC, SP SHN = SHP AC  SNH  AC SPH HN = HP AHP vuông có: HP SHP vuông có: SH HA.sin60o HP.tg Thể tích hình chóp S.ABC : V Cách 2: Dựng SH AB Ta có: (SAB) (ABC), (SAB) a 3... ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân với AB = AC = a, góc  120 o , cạnh bên BB' = a Gọi I là trung điểm CC' Chứng minh AB'I vuông BAC tại A và tính cosin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB'I) GIẢI Câu 1: x 3 7t1 1  ( 1 ) : y 1 2t1 có vectơ chỉ phương u1 ( 7; 2; 3) z 1 3t1 x ( 7 7t 2 3 2t 2 2) : y z 9 t2 qua A (7; 3; 9), B(8; 5; 8) và  có vectơ chỉ phương u2 (1; 2; 1) Gọi H là hình chi u của... a và 2 BH AIC vuông có: AI 2 2 IC 13a2 4 2 AC B/ a2 4 2 a /2 Trang 21 A/ 5a2 4 5a2 13a2 2 Ta có: AI AB 2a IB/ 2 4 4 (AB/ là đường chéo của hình vuông AA/B/B cạnh a) Vậy, AB/I vuông tại A 2 C/ B H 30o A I C CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! 1 1 a 5 a2 10 AI.AB/ a 2 2 2 2 4 2 1 1 a a 3 SABC AH.BC a 3 2 2 2 4 là góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (AB/I), theo công thức chi u, ta có: SABC a2 3 a2... 90o ) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC và khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Câu 2: Trong không gian oxyz cho hai đường thẳng: x 2t x y 3 0 (d1) : y t ; (d2) : 4x 4y 3z 12 0 z 4 Chứng minh (d1) và (d2) chéo nhau Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính là đoạn vuông góc chung của (d1) và (d2) GIẢI Câu 1: S Cách 1: Trang 13 CtnSharing.Com – Download Ebook Free !!! Gọi H là trung điểm của... mặt phẳng (P) và (Q), và cắt hai đường thẳng (d1) và (d2) Câu 2: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a M, N lần lượt là trung điểm của AB và C'D' Tính khoảng cách từ B' đến (A'MCN) GIẢI Câu 1:  (P) có pháp vectơ nP / / (3; 12; 3) 3(1; 4; 1) 3n P , với n P  (Q) có pháp vectơ nQ (3; 4; 9)  (d1) có vectơ chỉ phương u1 (2; 4; 3)  (d2) có vectơ chỉ phương u2 ( 2; 3; 4) ( / ) (P) P  nq Q  np... O d tg2 a 3 tg 2 1 a 3 tg 2 1 cos a 3 sin 2 Câu 2:  (d1) đi qua điểm A(0; 0; 4) và có vectơ chỉ phương u1 (2; 1; 0)  (d2) đi qua điểm B(3; 0; 0) và có vectơ chỉ phương u2 (3; 3; 0)  AB (3; 0; 4)       AB.[u1; u2 ] 36 0 AB, u1, u2 không đồng phẳng Vậy, (d1) và (d2) chéo nhau x 3 t/ (d2) có phương trình tham số: y t/ z 0 Gọi MN là đường vuông góc chung của (d1) và (d2) M (d1 ) M(2t;... ( ) có cặp vectơ chỉ phương u1 ( 7; 2; 3), u2 (1, 2, 1)     [u1; u2 ] ( 8; 4; 16) 4(2; 1; 4) 4n , với n (2; 1; 4)  Phương trình mp ( ) qua A(7; 3; 9) ( 2 ) với pháp tuyến n : ( ) : 2x y 4z 53 0 Ta có: ( ) ( ) ( / 2 ) là hình chi u của ( 2) lên ( ) theo phương ( 1) x y z 3 0 Vậy, phương trình hình chi u ( 2/ ) : 2x y 4z 53 0 ( I(5; 2; 5) 3 Gọi I là trung điểm M1M2    I 2MI Ta có: ... a2 x a BÀI Câu 1: Trong không gian Oxyz, tìm Ox điểm A cách đường thẳng (d) : x y z mặt phẳng ( ) : 2x – y – 2z = Câu 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác có cạnh 2a , SA vuông góc với... ĐỀ Câu 1: Trong không gian Oxyz cho đường thẳng: x t x t' (d1) : y t ; (d2) : y 3t ' z 2t z t' Gọi K hình chi u vuông góc điểm I(1; -1 ; 1) (d2) Tìm phương trình tham số đường thẳng qua K vuông... a2 BÀI Câu 1: Cho hình chóp S.ABC, đáy ABC có cạnh a, mặt bên tạo với đáy góc (0o 90o ) Tính thể tích khối hình chóp S.ABC khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC) Câu 2: Trong không gian oxyz