Thông tin tài liệu
chuyªn ®Ò nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc, ®a thøc víi ®a thøc vµ bÈy h»ng
®¼ng thøc ®¸ng nhí.
I) Nh©n ®¬n thøc víi ®a thøc:
1. KiÕn thøc c¬ b¶n: A(B + C) = A. B + A. C
2. Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n:
a) 3x(5x2 - 2x - 1);
b) (x2 - 2xy + 3)(-xy);
1
2
2
c) x2y(2x3 - xy2 - 1);
d) x(1,4x - 3,5y);
2
5
7
1
2
3
4
e) xy( x2 - xy + y2);
f)(1 + 2x - x2)5x;
2
3
4
5
2
g) (x2y - xy + xy2 + y3). 3xy2;
h) x2y(15x - 0,9y + 6);
3
−3 4
i)
x (2,1y2 - 0,7x + 35);
7
Bµi 2. §¬n gi¶n biÓu thøc råi tÝnh gi¸ trÞ cña chóng.
−3
a) 3(2a - 1) + 5(3 - a)
víi a =
.
2
b) 25x - 4(3x - 1) + 7(5 - 2x)
víi x = 2,1.
c) 4a - 2(10a - 1) + 8a - 2
víi a = -0,2.
1
d) 12(2 - 3b) + 35b - 9(b + 1)
víi b =
2
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh sau:
a) 3y2(2y - 1) + y - y(1 - y + y2) - y2 + y;
b) 2x2.a - a(1 + 2x2) - a - x(x + a);
c) 2p. p2 -(p3 - 1) + (p + 3). 2p2 - 3p5;
d) -a2(3a - 5) + 4a(a2 - a).
Bµi 4. §¬n gi¶n c¸c biÓu tøc:
a) (3b2)2 - b3(1- 5b);
b) y(16y - 2y3) - (2y2)2;
1
1
c) (- x)3 - x(1 - 2x - x2);
d) (0,2a3)2 - 0,01a4(4a2 - 100).
2
8
Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.
a) x(2x + 1) - x2(x + 2) + (x3 - x + 3);
b) x(3x2 - x + 5) - (2x3 +3x - 16) - x(x2 - x + 2);
Bµi 6. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau ®©y b»ng 0;
a) x(y - z) + y((z - x) + z(x - y);
b) x(y + z - yz) - y(z + x - zx) + z(y - x).
Bµi tËp n©ng cao
Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) P(x) = x7 - 80x6 + 80x5 - 80x4 +….+ 80x + 15
víi x = 79.
b) Q(x) = x14 - 10x13 + 10x12 - 10x11 + …+ 10x2 - 10x + 10 víi x = 9.
c) M(x) = x3 - 30x2 - 31x + 1
víi x = 31.
d) N(x) = x5 - 15x4 + 16x3 - 29x2 + 13x
víi x = 14.
Bµi 8. Chøng minh r»ng :
a) 356 - 355 chia hÕt cho 34
b) 434 + 435 chia hÕt cho 44.
Bµi 9. Cho a vµ b lµ c¸c sè nguyªn. Chøng minh r»ng:
a) nÕu 2a + b M 13 vµ 5a - 4b M 13 th× a - 6b M 13;
b) nÕu 100a + b M 7 th× a + 4b M 7;
c) nÕu 3a + 4b M 11 th× a + 5b M 11;
II) Nh©n ®a thøc víi ®a thøc.
1. KiÕn thøc c¬ b¶n: (A + B)(C + D) = A.C + A.D + B.C + B.D;
2. Bµi tËp ¸p dông:
1
Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) (5x - 2y)(x2 - xy + 1);
1
c) x2y2(2x + y)(2x - y);
2
b) (x - 1)(x + 1)(x + 2);
1
d) ( x - 1) (2x - 3);
2
1
1
e) (x - 7)(x - 5);
f) (x - )(x + )(4x - 1);
2
2
g) (x + 2)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (1 - x)(1 + x +x2 + x3 + x4);
h) (2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
i) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
Bµi 2.Chøng minh:
a) (x - 1)(x2 - x + 1) = x3 - 1;
b) (x3 + x2y + xy2 + y3)(x - y) = x3 - y3;
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp nh©n:
a) (x + 1)(1 + x - x2 + x3 - x4) - (x - 1)(1 + x + x2 + x3 + x4);
b) ( 2b2 - 2 - 5b + 6b3)(3 + 3b2 - b);
c) (4a - 4a4 + 2a7)(6a2 - 12 - 3a3);
d) (2ab + 2a2 + b2)(2ab2 + 4a3 - 4a2b)
e) (2a3 - 0,02a + 0,4a5)(0,5a6 - 0,1a2 + 0,03a4).
Bµi 4. ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng ®a thøc:
a) (2a - b)(b + 4a) + 2a(b - 3a);
b) (3a - 2b)(2a - 3b) - 6a(a - b);
c) 5b(2x - b) - (8b - x)(2x - b);
d) 2x(a + 15x) + (x - 6a)(5a + 2x);
Bµi 5. Chøng minh r»ng gi¸ trÞ c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn y:
a) (y - 5)(y + 8) - (y + 4)(y - 1);
b) y4 - (y2 - 1)(y2 + 1);
Bµi 6. T×m x, biÕt:
a) (2x + 3)(x - 4) + (x - 5)(x - 2) = (3x - 5)(x - 4);
b) (8x - 3)(3x + 2) - (4x + 7)(x + 4) = (2x + 1)(5x - 1);
c) 2x2 + 3(x - 1)(x + 1) = 5x(x + 1);
d) (8 - 5x)((x + 2) + 4(x - 2)(x + 1) + (x - 2)(x + 2);
e) 4(x - 1)( x + 5) - (x +2)(x + 5) = 3(x - 1)(x + 2).
Bµi tËp n©ng cao
Bµi 7. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc:
a3 + b3 + c3 - 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 - ab - bc - ca).
Bµi 8. Cho a + b + c = 0. Chøng minh M = N = P víi :
M = a(a + b)(a + c);
N = b(b + c)(b + a);
P = c(c + a)(c + b);
Bµi 9. Sè 350 + 1 cã lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp kh«ng ?
HD: Tríc hÕt chøng minh tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp chia cho 3 th× d 0 hoÆc 2. ThËt vËy
nªu trong hai sè tù nhiªn liªn tiÕp cã mét sè chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia hÕt cho 3, nÕu c¶ hai
sè ®Òu kh«ng chia hÕt cho 3 th× tÝch cña chóng chia cho 3 d 2 ( tù chøng minh). Sè 350 + 1 chia cho 3 d 1
nªn kh«ng thÓ lµ tÝch cña hai sè tù nhiªn liªn tiÕp.
Bµi 10. Cho A = 29 + 299. Chøng minh r»ng A M 100
HD: Ta cã A = 29 + 299 = 29 + (211)9 = (2 + 211)(28 - 27 .211 + 26.222 - …-2.277 + 288)
Thõa sè thø nhÊt 2 + 211 = 2050
⇒ AM4100 ⇒ AM100
Thõa sè thø hai ch½n
III) C¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
1.1) (A + B)2 = A2 + 2AB + B2.
1.2) (A - B)2 = A2 - 2.AB + B2.
1.3) A2 - B2 = (A - B)(A + B).
1.4) (A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3.
1.5) (A - B)3 = A3 - 3A2B + 3AB2 + B3.
1.6) A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2).
2
1.7) A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB + B2).
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. TÝnh
a) (x + 2y)2;
b) (x - 3y)(x + 3y);
d) (x - 1)2;
e) (3 - y)2
c) (5 - x)2.
1
f) (x - )2.
2
Bµi 2. ViÕt c¸c biÓu thøc sau díi d¹ng b×nh ph¬ng cña mét tæng:
1
a) x2 + 6x + 9;
b) x2 + x + ;
c) 2xy2 + x2y4 + 1.
4
Bµi 3. Rót gän biÓu thøc:
a) (x + y)2 + (x - y)2;
b) 2(x - y)(x + y) +(x - y)2 + (x + y)2;
c) (x - y + z)2 + (z - y)2 + 2(x - y + z)(y - z).
Bµi 4. øng dômg c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau;
a) (y - 3)(y + 3);
b) (m + n)(m2 - mn + n2);
c) (2 - a)(4 + 2a + a2);
d) (a - b - c)2 - (a - b + c)2;
3
3
e) (a - x - y) - (a + x - y) ;
f) (1 + x + x2)(1 - x)(1 + x)(1 - x + x2);
Bµi 5. H·y më c¸c dÊu ngoÆc sau:
a) (4n2 - 6mn + 9m2)(2n + 3m)
b) (7 + 2b)(4b2 - 4b + 49);
2
2
c) (25a + 10ab + 4b )(5a - 2b);
d)(x2 + x + 2)(x2 - x - 2).
Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) x2 - y2 t¹i x = 87
víi y = 13;
b) x3 - 3x2 + 3x - 1
Víi x = 101;
c) x3 + 9x2 + 27x + 27
víi x = 97;
2
d) 25x - 30x + 9
víi x = 2;
e) 4x2 - 28x + 49
víi x = 4.
Bµi 7. §¬n gi¶n c¸c biÓu thøc sau vµ tÝnh gi¸ trÞ cña chóng:
a) 126 y3 + (x - 5y)(x2 + 25y2 + 5xy)
víi x = - 5, y = -3;
b) a3 + b3 - (a2 - 2ab + b2)(a - b)
víi a = -4, b = 4.
Bµi 8. Sö dông h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí ®Ó thùc hiÖn c¸c phÐp tÝnh sau:
a) (a + 1)(a + 2)(a2 + 4)(a - 1)(a2 + 1)(a - 2);
b) (a + 2b - 3c - d)(a + 2b +3c + d);
c) (1 - x - 2x3 + 3x2)(1 - x + 2x3 - 3x2);
d) (a6 - 3a3 + 9)(a3 + 3);
e) (a2 - 1)(a2 - a + 1)(a2 + a + 1).
Bµi 9. T×m x, biÕt:
a) (2x + 1)2 - 4(x + 2)2 = 9;
b) (x + 3)2 - (x - 4)( x + 8) = 1;
c) 3(x + 2)2 + (2x - 1)2 - 7(x + 3)(x - 3) = 36;
d)(x - 3)(x2 + 3x + 9) + x(x + 2)(2 - x) = 1;
e) (x + 1)3 - (x - 1)3 - 6(x - 1)2 = -19.
Bµi 10.TÝnh nhÈm theo c¸c h»ng ®¼ng thøc c¸c sè sau:
a) 192; 282; 812; 912;
b) 19. 21; 29. 31; 39. 41;
c) 292 - 82; 562 - 462; 672 - 562;
Bµi 11. Chøng mih c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
a) a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab;
b) a4 + b4 = (a2 + b2)2 - 2a2b2;
6
6
2
2
2
2 2
2 2
c) a + b = (a + b )[(a + b ) - 3a b ];
d) a6 - b6 = (a2 - b2)[(a2 + b2)2 - a2b2].
C¸c bµi to¸n n©ng cao
Bµi 12. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
X4 + y 4 + (x + y)4 = 2(x2 + xy + y2)2;
Bµi 13. H·y viÕt c¸c biÓu thøc díi d¹ng tæng cña ba b×nh phong:
(a + b + c)2 + a2 + b2 + c2.
Bµi 14. Cho (a + b)2 = 2(a2 + b2). Chøng minh r»ng a = b.
Bµi 15. Cho a2 + b2 + c2 = ab + bc + ca. Chøng minh r»ng a = b =c.
Bµi 16. Cho ( a + b + c)2 = 3(ab + bc + ca). Chøng minh r»ng a = b = c.
Bµi 17. Cho a + b + c = 0
(1)
a2 + b2 + c2 = 2(2)
3
TÝnh a4 + b4 + c4.
Bµi 18. cho a + b + c = 0. Chøng minh ®¼ng thøc:
a) a4 + b4 + c4 = 2(a2b2 + b2c2 +c2a2);
b) a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2;
4
4
c) a + b + c
4
a
= (
2
+ b2 + c2
)
2
;
2
Bµi 19. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lu«n lu«n cã gi¸ trÞ d¬ng víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn.
a) 9x2 - 6x +2;
b) x2 + x + 1;
c) 2x2 + 2x + 1.
Bµi 20. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña c¸c biÓu thøc sau:
a) A = x2 - 3x + 5;
b) B = (2x -1)2 + (x + 2)2;
Bµi 21. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc:
a) A = 4 - x2 + 2x;
b) B = 4x - x2;
Bµi 22. Cho x + y = 2; x2 + y2 = 10. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + y3.
Bµi 23. Cho x + y = a; xy = b.
TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau theo a vµ b:
a) x2 + y2;
b) x3 + y3;
c) x4 + y4;
d) x5 + y5;
Bµi 24. a) cho x + y = 1. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: x3 + y3 + 3xy.
b) cho x - y = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: x3 - y3 - 3xy.
Bµi 25. Cho a + b = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
M = a3 + b3 + 3ab(a2 + b2) + 6a2b2(a + b).
Bµi 26. Rót gän c¸c biÓu thøc sau:
a) A = (3x + 1)2 - 2(3x + 1)(3x + 5) + (5x + 5)2;
b) B = (3 + 1)(32 + 1)(34 + 1)(38 + 1)(318 + 1)(332 + 1);
c) C = (a + b - c)2 + (a - b + c)2 - 2(b - c)2;
d) D = (a + b + c)2 + (a - b - c)2 + (b - c - a)2+ (c - b - a)2;
e) E = (a + b + c + d)2 + (a + b - c - d)2 + (a + c - b - d)2 + (a + d - b - c)2;
g) G = (a + b + c)3 - (b + c - a)3 - (a + c - b)3 + (a + b - c)3;
h) H = (a + b)3 + (b + c)3 + (c + a)3 - 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bµi 28. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
a) (a + b + c)2 + a2 + b2 + c2 = (a + b)2 +(b + c)2 + (c + a)2;
b) (a + b + c)3 - a3 - b3 - c3 = 3(a + b)(b + c)(c + a).
Bµi 29. Cho a + b + c = 0. chøng minh r»ng: a3 + b3 + c3 = 3abc.
Bµi 30. Chøng minh r»ng:
a) nÕu n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× 2n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng.
b) nÕu 2n lµ tæng hai sè chÝnh ph¬ng th× n còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng.
c) nÕu n lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng th× n2 còng lµ tæng cña hai sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 31. a) Cho a = 11…1(n ch÷ sè 1), b = 100…05(n - 1 ch÷ sè 0). Chøng minh r»ng: ab + 1 lµ sè
chÝnh ph¬ng.
b) Cho mét d·y sè cã sè h¹ng ®Çu lµ 16, c¸c sè h¹ng sau lµ c¸c sè t¹o thµnh b»ng c¸ch viÕt chÌn
sè 15 vµo chÝnh gi÷a sè h¹ng liÒn tríc :
16, 1156, 111556, …
Chøng minh r»ng mäi sè h¹ng cña d·y ®Òu lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 32. Chøng minh r»ng ab + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng víi a = 11…12(n ch÷ sè 1),
b = 11…14(n ch÷ sè 1).
Bµi 33. Cho a gåm 2n ch÷ sè 1, b gåm n + 1 ch÷ sè 1, c gåm n ch÷ sè 6. Chøng minh r»ng a + b + c + 8
lµ sè chÝnh ph¬ng.
Bµi 34. Chøng minh r»ng c¸c biÓu thøc sau lµ sè chÝnh ph¬ng:
{ − 22...2
{
{ + 44...4
{ +1
a) A = 11...1
b) B = 11...1
2n
n
2n
Bµi 35. C¸c sè sau lµ b×nh ph¬ng cña sè nµo ?
{ 00...0
{ 25 ;
{ { ;
a) A = 99...9
b) B = 99...9800...01
n
n
{ { ;
c) C = 44...488...89
n
n−1
n
{ { .
d) D = 11...122...25
n
n+1
4
n
n
chuyªn ®Ò Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
I) Ph¬ng ph¸p ®Æt nh©n tö chung: A(B + C ) =A.B +A.C
*) Bµi tËp: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
*) Bµi 1: Ph©n tÝch thµnh nh©n tö
5
a) 3x - 3y
Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
b) 2x + 5x + x y
a) 4x2 − 6x;
c)14x 2 − 21xy 2 + 28x 2 y 2
b)21x2 y − 12xy2 ;
d)4x 3 − 14x 2
c)x3 + x2 − 2x;
e)5y10 + 15y 6
d)3x ( x − 1) + 7 x2 ( x − 1) ;
f)9x 2 y 2 + 15x 2 y − 21xy
g)x(y − 1) − y(y − 1)
h)10x(x − y) − 8y(y − x)
e)x2 y2 z + xy2 z2 + x2 yz;
2
3
2
f )2x ( x + 1) + 2 ( x + 1) ;
g)4x ( x − 2y ) + 8y ( 2y − x )
i)3x 2 (x + 1) − 2(x + 1)
j)a(b + c) + 3b + 3c
k)a(c − d) + c − d
l)b(a − c) + 5a − 5c
m)b(a − c) + 5a − 5c
n)a(m − n) + m − n
o)mx + my + 5x + 5y
p)ma + mb − a − b
q)1 − xa − x + a
Bµi 4: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc
a) 15.91,5+ 150.0,85
b) 5x5 (x − 2z) + 5x5 (2z − x)t¹i x= 1999; y= 2000
Bµi 4: T×m x, biÕt
a) 5x(x-2)-(2-x)= 0
b) 4x(x+ 1)= 8(x+ 1)
1 2
c) x(2x-1)+ − x = 0
3 3
d)x(x − 4) + (x − 4) 2 = 0
r)(a − b)2 − (b − a)(a + b)
e)x2 − 5x = 0;
f )3x(x − 2) + 2(2 − x) = 0;
g)5x(3x − 1) + x(3x − 1) − 2(3x − 1) = 0.
t)a(a − b)(a + b) − (a + b)(a − ab + b )
Bµi 2: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
a)2x(x+3)+2(x+3)
b)4x(x-2y)+8y(2y-x)
2
2
e)(x + 5)2 − 3(x + 5)
Bµi 5:Chøng minh r »ng
a) B×nh ph¬ng cña mét sè lÎ chia cho 4
th× d 1
b) B×nh ph¬ng cña mét sè lÎ chia cho 8
th× d 1
f)2x(x − 3) − (x − 3)2
Bµi 6: chøng minh r»ng:
c) y 2 (x 2 + y) − zx 2 − zy
d)3x(x + 7)2 − 11x 2 (x + 7) + 9( x + 7)
n 2 ( n + 1) + 2n ( n + 1)
g)x(x − 7) + (7 − x)2
lu«n chia hÕt cho 6 víi mäi sè nguyªn n.
h)3x(x − 9)2 − (9 − x)3
i)5x(x − 2) − (2 − x)
j)4x(x + 1) − 8x 2 (x + 1)
k)p m +2 .q − p m +1 .q 3 − p 2 .q n +1 + p.q n +3
o)5x5 (x − 2z) + 5x 5 (2z − x)
p)10x(x − y) − 8y(y − x)
q)21x 2 − 12xy 2
r)2x(x + 1) + 2(x + 1)
t)4x(x − 2y) + 8y(2y − x)
II) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p dung h»ng ®¼ng thøc:
6
1) Ph¬ng ph¸p: BiÕn ®æi c¸c ®a thøc thµnh d¹ng tÝch nhê sö dông h»ng ®¼ng thøc
1. A2 + 2AB + B2 = (A + B)2
2. A2 - 2AB + B2 = (A + B)2
3. A2 - B2 = (A - B)(A + B)
4. A3 + 3A2B + 3AB2 +B2 = (A + B)3
5. A3 -3A2B + 3AB2 - B3 = ( A - B)3
6. A3 + B3 = (A + B)(A2 - AB + B2)
7. A3 - B3 = (A - B)(A2 + AB +B2)
2)Bµi tËp:
Bµi 1: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) x2 - 9;
b) 4x2 - 25;
6
6
c) x - y
d) 9x2 + 6xy + y2;
e) 6x - 9 - x2; f) x2 + 4y2 + 4xy
g) 25a2 + 10a + 1;
h)10ab + 0,25a2 + 100b2
1 2
i)9x2 -24xy + 16y2
j) 9x2 - xy +
y
36
k)(x + y)2 - (x - y)2
l)(3x + 1)2 - (x + 1)2
3
3
3
n) x + y + z - 3xyz.
Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + 8;
b) 27x3 -0,001
6
3
c) x - y ;
d)125x3 - 1
3
2
e) x -3x + 3x -1;
f) a3 + 6a2 + 12a + 8
Bµi 3: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x6 + 2x5 + x4 - 2x3 - 2x2 + 1;
2
2
b) M = 4abcd + ( a 2 + b 2 ) ( c 2 + d 2 ) − 4 cd ( a 2 + b 2 ) + ab ( c 2 + d 2 )
Bµi 4 TÝnh nhanh:
a) 252 - 152;
b) 872 + 732 - 272 - 132
2
2
c) 73 -27 ;
d) 372 - 132
e) 20092 - 92
Bµi 5 T×m x, biÕt
a) x3 - 0,25x = 0;
b) x2 - 10x = -25
c) x2 - 36 = 0; d) x2 - 2x = -1
e) x3 + 3x2 = -3x - 1
Bµi 6: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) 2x8 - 12x4 + 18;
b) a4b + 6a2b3 + 9b5;
6
3
2
c) -2a - 8a b - 8b ; d) 4x + 4xy6 + xy12.
Bµi 7 Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau chØ nhËn nh÷ng gi¸ trÞ kh«ng ©m
a) x2 - 2xy + y2 + a2;
b) x2 + 2xy + 2y2 + 2y + 1;
c) 9b2 - 6b + 4c2 + 1;
d) x2 + y2 +2x + 6y + 10;
Bµi 8 Chøng minh r»ng c¸c ®a thøc sau kh«ng ©m víi bÊt k× gi¸ trÞ nµo cña c¸c ch÷:
a) x2 + y2 - 2xy + x - y + 1
b) 2x2 + 9y2 + 3z2 + 6xy - 2xz + 6yz
c) 8x2 + y2 + 11z2 + 4xy - 12 xz - 5yz
d) 5x2 + 5y2 + 5z2 + 6xy - 8xz - 8yz
Bµi 9 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n ta cã: (4n + 3)2 - 25 chia hÕt cho 8.
III) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p nhãm c¸c h¹ng tö.
1) KiÕn thøc c¬ b¶n: T×m c¸ch t¸ch ®a thøc ®· cho thµnh nhãm c¸c h¹ng tö thÝch hîp sao cho khi ph©n
tÝch mçi nhãm h¹ng tö thµnh nh©n tö th× xuÊt hiÖn nh©n tö chung.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x2 - xy + x - y;
b) xz + yz - 5(x + y)
c) 3x2 -3xy - 5x + 5y.
7
d) x2 + 4x - y2 + 4;
e) 3x2 + 6xy + 3y2 - 3z2;
2
2
2
2
f) x -2xy + y - z + 2zt - t ;
g) x2 - x - y2 - y;
h) x2 - 2xy + y2 - z2;
i) 5x - 5y + ax - ay;
j) a3 - a2x - ax + xy; k) 7a2 -7ax - 9a + 9x;
l) xa - xb + 3a - 3b;
Bµi 2 Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö;
a) ma - mb + na - nb -pa + pb;
b) x2 + ax2 -y - ax +cx2 - cy;
c) ax - bx - cx + ay - by - cy;
d) ax2 + 5y - bx2 + ay + 5x2 - by;
Bµi 3 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + y3 + 2x2 -2xy + 2y2;
b) a4 + ab3 - a3b - b4;
c) a3 - b3 + 3a2 + 3ab + 3b2;
c) x4 + x3 y - xy3 - y4;
Bµi 4 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) 70a - 84b - 20ab - 24b2;
b) 12y - 9x2 + 36 - 3x2y;
c) 21bc2 - 6c - 3c3 +42b;
d) 30a3 - 18a2b - 72b + 120a.
Bµi 5 Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
a) x3 + 3x2y + x +3x2y + y + y3;
b) x3 + y(1 - 3x2) + x(3y2 - 1) - y3;
1
c) 27x3 + 27x2 + 9x +1 + x + ;
d) x(x + 1)2 + x(x - 5) - 5(x +1)2.
3
Bµi 6 T×m x, biÕt:
a) x3 + x2 + x + 1 = 0;
b) x3 - x2 - x + 1 = 0;
2
c) x - 6x + 8 = 0;
d) 9x2 + 6x - 8 = 0.
e) x(x - 2) + x - 2 = 0;
f) 5x(x - 3) - x + 3 = 0.
Bµi 7 TÝnh nhanh gi¸ trÞ cña mçi ®a thøc sau;
a) x2 - 2xy - 4z2 + y2 t¹i x = 6; y = -4; z = 45.
b) 3(x - 3)(x + 7) + (x - 4)2 + 48 t¹i x = 0,5
Bµi 8. TÝnh nhanh :
a) 37,5 . 6,5 - 7,5 . 3,4 - 6,6 . 7,5 + 3,5 . 37,5;
b) 452 + 402 - 152 + 80.45.
Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
P = ab(a - b) + bc(b - c) + ca(c - a).
Bµi 10. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x3z + x2yz - x2z2 - xyz2;
b) pm+2q - pm+1q3 - p2qn+1 + pqn+3.
IV) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng c¸ch phèi hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p.
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
- §Æt nh©n tö chung.
- Dïng h»ng ®¼ng thøc.
- Nhãm nhiÒu h¹ng tö vµ c¸c ph¬ng ph¸p kh¸c.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
a) x3 - 2x2 + x;
b) 2x2 + 4x + 2 - 2y2;
c) 2xy - x2 - y2 + 16;
4
3
3
2
3
2
d) a + a + a b + a b e) a + 3a + 4a + 12;
f) a3 + 4a2 + 4a + 3;
g) x2y + xy2 + x2z + xz2 + y2z + yz2 + 2xyz;
h) a2 + b2 + 2a - 2b - 2ab;
2
2
3
2
i) 4a - 4b - 4a + 1; j) a + 6a + 12a + 8;
k) (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - ( a - b + c)3 - (-a + b +c)3.
Bµi 2. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) (2x + 3y)2 - 4(2x + 3y);
b) (x + y)3 - x3 - y3;
2
2
c) (x - y + 4) - (2x + 3y - 1) ;
d) (a2 + b2 - 5)2 - 4(ab + 2)2.
e) bc(b + c) + ca(c - a) - ab(a + b);
f) 2a2b + 4ab2 - a2c + ac2- 4b2c + 2bc2 - 4abc;
g) y(x - 2z)2 + 8xyz + x(y - 2z)2 - 2z(x + y)2;
h) x5 - 5x3 + 4x;
3
2
4
2 2
i) x - 11x + 30x;
j) 4x - 21x y + y4;
k) x3 + 4x2 - 7x - 10;
l) (x2 + x)2 - (x2 + x) + 15;
n) (x +2)(x + 3)(x + 4)(x + 5) - 24; m) (x2 + 8x + 7)(x2 + 8x + 15) + 15;
o) (x2 + 3x + 1)(x2 + 3x + 2) - 6.
Bµi 2: T×m x, biÕt.
1
a) 5x(x - 1) = x - 1; b) 2(x + 5) - x2 - 5x = 0;
c) x3 - x = 0;
4
8
d) (2x - 1)2 - (x + 3)2 = 0
Bµi 3. TÝnh nhanh gi¸ trÞ biÓu thøc:
1
1
a) x2 + x +
t¹i x = 49,75;
2
16
e) x2(x - 3) +12 - 4x =0.
b) x2 - y2 - 2y - 1 t¹i x = 93 vµ y = 6.
To¸n khã më réng:
Bµi 4. a) Sè 717 + 17. 3 - 1 chia hÕt cho 9. Hái sè 718 + 18.3 - 1 cã chia hÕt cho 9 kh«ng?
b) BiÕn ®æi thµnh tÝch c¸c biÓu thøc:
A = 1 + a[(a + 1)9 + (a + 1)8 + (a + 1)7 + …+ (a + 1)2 + a + 2].
Bµi 5. Chøng minh c¸c h»ng ®¼ng thøc sau:
1) x6 + 3x2y2 + y6 = 1
Víi x2 + y2 = 1
4
2 2
4
2
2
2) x + x y + y = a - b
víi x2 + y2 = a, xy = b
3) (a3 + b3 - a3b3)3 + 27a6b6 = 0
víi ab = a + b.
4) p2 + (p - a)2 + (p - b)2 + (p - c)2 = a2 + b2 + c2
víi a + b + c = 2p.
Bµi 6. TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc:
a) A = 217 - 216 - 215 - 214 - …- 22 - 2 - 1.
b) B = x17 - 12x16 + 12x15 - 12x14 +…- 12x2 + 12x - 1
víi x = 11.
Bµi 7. Rót gän:
a) A = 3(22 + 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1)(264 + 1).
2
3
4
n
b) Më réng: B = 3(22 + 1)(22 + 1)(2 2 + 1)(2 2 + 1)...(2 2 + 1)
Bµi 8. Chøng minh:
1
a5(b2 + c2) + b5(a2 + c2) + c5(a2 + b2) = (a3 + b3 + c3)(a4 + b4 + c4) víi a + b + c = 0
2
Bµi 9. Chøng minh: 2(a5 + b5 + c5) = 5abc(a2 + b2 + c2)
víi a + b + c = 0.
Bµi 10. Tæng c¸c sè nguyªn a1, a2, a3, …, an chia hÕt cho 3. Chøng minh r»ng
A = a13 + a23 + a33 + …+ an3 còng chia hÕt cho 3
V) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö.
1) Ph¬ng ph¸p t¸ch mét sè h¹ng thµnh nhiÒu sè h¹ng kh¸c.
1.1) §a thøc d¹ng f(x) = ax2 + bx + c.
- Bíc 1: T×m tÝch ac.
- Bíc 2: Ph©n tÝch a.c ra tÝch cña hai thøa sè nguyªn b»ng mäi c¸ch.
- Bíc 3: Chän hai thõa sè mµ tæng b»ng b.
C¸c bµi tËp ¸p dông d¹ng nµy:
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö
a) 4x2 - 4x - 3;
b) x2 - 4x + 3;
c) x2 + 5x + 4;
2
2
d) x - x - 6;
e) x + 8x + 7;
f) x2 - 13 x + 36;
g) x2 +3x - 18;
h) x2 - 5x - 24;
i) 3x2 - 16x + 5;
2
2
j) 8x + 30x + 7;
k) 2x - 5x - 12;
l) 6x2 - 7x - 20.
1.2) §a thøc tõ bËc ba trë lªn ngêi ta dïng ph¬ng ph¸p t×m nghiÖm cña ®a thøc.
a) Chó ý: nÕu ®a thøc f(x) cã nghiÖm x = a th× nã chøa thõa sè x - a.
Trong ®ã a lµ íc sè cña an,, víi f(x) = a0xn + a1xn-1 + a2xn-2+ …+ an-1 + an.
b) VÝ dô: Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: f(x) = x3 - x2 - 4.
LÇn lît kiÓm tra víi x = ± 1, ± 2, ± 4, ta thÊy f(2) = 23 - 22 - 4 = 0.
§a thøc cã nghiÖm x =2, do ®ã chøa thõa sè x - 2.
Ta t¸ch nh sau:
C¸ch 1: x3 - x2 - 4 = x3 - 2x2 + x2 - 2x + 2x - 4
= x2(x - 2) + x(x - 2) + 2(x - 2)
= ( x - 2)(x2 + x + 2).
C¸ch 2: x3 - x2 - 4 = x3 - 8 - x2 + 4
= (x - 2)(x2 + 2x + 4) - (x + 2)(x - 2)
= (x - 2)(x2 + 2x + 4 - x - 2)
= (x - 2)(x2 + x + 2).
2) Ph¬ng ph¸p ®Æt Èn phô: Khi mét ®a thøc phøc t¹p, hoÆc cã bËc cao, ta cã thÓ ®Æt Èn phô nh»m “
gi¶m bËc” cña ®a thøc ®Ó ph©n tÝch.
2.1) VÝ dô. Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö:
9
a) f(x) = (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12.
b) g(x) = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) - 24.
HD: a) §Æt y = x2 + x + 1, khi ®ã ®a thøc f(x) = y(y + 1) - 12 = y2 + y - 12 = (y - 3)(y + 4)
Thay ngîc trë l¹i y = x2 + x + 1 vµo ®a thøc f(x) ta ®îc:
f(x) = (x2 + x + 1 - 3)(x2 + x + 1 + 4) = (x2 + x + 5)(x2 + x - 2) = (x - 1)(x + 2)(x2 + x + 5)
b) f(x) = [(x + 1)(x + 4)][(x + 2)(x + 3)] - 24
= (x2 + 5x + 4)(x2 + 5x + 6) - 24
= y(y + 2) - 24 víi y = x2 + 5x + 4
= y2 + 2y - 24
= (y - 4)(y + 6)
Thay ngîc trë l¹i y = x2 + 5x + 4 ta ®îc
f(x) = (x2 + 5x + 4 - 4)(x2 + 5x + 4 + 6) = (x2 +5x)(x2 + 5x + 10) = x(x + 5)(x2 + 5x + 10)
3) Ph¬ng ph¸p thªm, bít mét h¹ng tö thÝch hîp ®Ó lµm xuÊt hiÖn h»ng ®¼ng thøc hiÖu hai b×nh
ph¬ng.
*) VÝ dô: Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö
a) x8 + x4 + 1;
b) x4 + 4;
HD: a) x8 + x4 + 1 = x8 + 2x4 + 1 - x4 = (x4 + 1)2 - x4 = (x4 + x2 +1)(x2 - x2 + 1)
= [(x4 + 2x2 + 1) - x2][(x4 + 2x2 + 1) - 3x2]
= [(x2 + 1)2 - x2][(x2 + 1)2 - ( 3 x)2]
= (x2 +1 - x)(x2 + 1 - 3 x)(x2 + 1 + x)(x2 + 1 + 3 x)
*) Bµi tËp ¸p dông :
Bµi 1. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) f(x) = x4 + 324
b) f(x) = x8 + 1024;
c) f(x) = x8 + 3x4+ 4
1
Bµi 2. a) Ph©n tÝch n4 +
4
4 1 4 1 4 1
1 + ÷ 2 + ÷... 19 + ÷
4
4
4
b) ¸p dông: Rót gän S =
4 1 4 1 4 1
2 + 4 ÷ 4 + 4 ÷... 20 + 4 ÷
4) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng: Tríc hÕt ta x¸c ®Þnh d¹ng cña c¸c thõa sè chøa biÕn cña ®a thøc, råi
g¸n cho c¸c biÕn c¸c gi¸ trÞ cô thÓ ®Ó x¸c ®Þnh thõa sè cßn l¹i.
a) VÝ dô: Ph©n tÝch thµnh thõa sè:
P = x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y).
Gi¶i:
Thö thay x bëi y th× P = y2(y - z) - y2(z - y) = 0. Nh vËy P chøa thõa sè x = y
nÕu thay x bëi y, y bëi z, z bëi x th× P kh«ng ®æi. Do ®ã P chøa thõa sè cã d¹ng (x - y),
(y - z), (z - x). vËy P cã d¹ng P = k(x - y)(y - z)(z - x).
V× ®¨ngt thøc x2(y - z) + y2(z - x) + z2(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x) ®óng víi mäi x, y, z,
Nªn ta g¸n x = 2, y = 1, z = 0 vµo ®¼ng thøc ta ®îc:
4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2) ⇔ 2 = -2k ⇔ k = -1
vËy P = -(x - y)(y - z)(z - x)
C¸c bµi tËp ¸p dông cña c¸c d¹ng trªn.
Bµi 1: Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè
a) 6x2 - 11x + 3;
b) 2x2 + 3x - 27;
2
2
c) 2x - 5xy + 3y ;
d) 2x2 -5xy - 3y2.
Bµi 2. Ph©n tÝch ra thõa sè nguyªn tè:
a) x3 + 2x - 3;
b) x3 - 7x + 6;
3
2
c) x + 5x + 8x + 4;
d) x3 - 9x2 + 6x + 16;
e) x3 - x2 - 4;
f) x3 - x2 - x - 2;
3
2
g) x + x - x + 2;
h) x3 - 6x2 - x + 30.
Bµi 3. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (b»ng nhiÒu c¸ch).
x3 - 7x - 6.
Bµi 4. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
10
a) 27x3 - 27x2 + 18x - 4;
b) 2x3 - x2 + 5x + 3.
Bµi 5. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) (x2 + x)2 - 2(x2 + x) - 15;
b) x2 + 2xy + y2 - x - y - 12;
c) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) - 12;
d) (x + 2)(x + 3)(x + 4)( x+ 5) - 24;
e) (x + a)( x + 2a)(x + 3a)(x + 4a) + a4
f) (x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (xy + yz + zx)2;
g) 2(x4 + y4 + z4) - (x2 + y2 + z2)2 - 2(x2 + y2 + z2)(x + y + z)2 + (x + y + z)4.
Bµi 6. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö (dïng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn - §Æt Èn phô)
a) (a + b + c)3 - 4(a3 + b3 + c3) - 12abc
HD: §Æt x = a + b, y = a - b.
Bµi 7. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
a) 4x4 - 32x2 + 1;
b) x6 + 27;
c) 3(x4 + x2 + 1) - (x2 + x + 1)2;
d) (2x2 - 4)2 + 9;
4
e) 4x + 1;
f) 64x4 + y4;
4
g) x + 324;
h) x8 + x + 1;
7
5
8
i) x + x + 1;
j) x + x4 + 1;
k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6;
l) x3 + 3xy + y3 - 1.
Bµi 8. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö b»ng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh
a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1;
b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10
c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1;
c) x4 - 8x + 63.
Bµi 9. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö:
x8 + 98x2 + 1.
Bµi 10. Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö ( Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ d¬ng).
a) M = a(b + c - a)2 + b(c + a - b)2 + c( a + b - c)2 + (a + b - c)(b + c - a)(c + a - b).
b) N = a(m - a)2 + b(m - b)2 + c(m - c)2 - abc víi 2m = a + b + c
chuyªn ®Ò chia ®a thøc cho ®a thøc
I) Chia ®¬n thøc cho ®¬n thøc (trêng hîp ®¬n thøc A chia hÕt cho ®¬n thøc B).
1) Ph¬ng ph¸p:
- Chia hÖ sè cña ®¬n thøc A cho hÖ sè cña ®¬n thøc B.
- Chia tõng luü thõa cña tõng biÕn trong A cho luü thõa cña biÕn ®ã cã trong B.
- Nh©n c¸c kÕt qu¶ t×m ®îc víi nhau.
1) VÝ dô vµ bµi tËp:
Bµi 1. Lµm phÐp tÝnh chia:
a) 10015 : 10012;
b) (-79)33 : (- 79)32;
16
14
21
18
1 1
3 3
c) ÷ : ÷ ;
d) − ÷ : − ÷ .
2 2
5 5
Bµi 2. Chia c¸c ®¬n thøc:
−1
3
a) -21xy5z3 : 7xy2z3;
b) ( a3b4c5) : a2bc5;
2
2
c) x2yz : xyz;
d) x3y4 : x3y;
e) 18x2y2z : 6xyz;
f) 5a3b : (-2a2b);
4 2
4
g) 27x y z : 9x y;
h) 9x2y3 : (-3xy2);
−3 2 4 1 2 2
i) (
mn): mn;
j) 5x4y3z2 : 3xyz2;
4
2
3
1
k) (-7a3b4c5) : (-21b3c2);
l) (a - b)5 : (b - a)2;
2
2
n) (x + y)2 : (x + y);
m)(x - y)5 : (y - x)4;
−2 2
o) (x - y +z)4 : (x - y + z)3;
¬) 0,5ambnc3 : (
a bc);
3
p) 1,8an+3bn+2cn +1 : (-0,9an+1bn-1c).
Bµi 3. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau:
1
(-x2y5)2 : (-x2y5) t¹i x =
vµ y = -1.
2
11
Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp chia:
4
6
−1
a) (xy2 - x2y3 + x3y2) : 2xy;
b) (x3 - 3x2y +5xy2) : ( x);
3
5
3
3 3 6 2 6 4 3
9 5 2 3 3 3
c) ( a b c + a b c a b c ) : a bc;
4
5
10
5
5
4
3
d) [3(a - b) - 6(a - b) + 21(b - a) + 9(a - b)2] : 3(a - b)2
e) (u4 - u3v + u2v2 - uv3) : (u2 + v2).
Bµi 5. Víi gi¸ trÞ nµo cña n th× thùc hiÖn ®îc c¸c phÐp chia ®¬n thøc sau? Víi ®iÒu kiÖn t×m ®îc h·y thùc
hiÖn phÐp chia ®ã .
a)x2n : xn + 3;
b) 3xny2 : 4x2y;
3 5
n 2
c) 6x y : 5x y ;
d) xnyn+2 : 3x3y4.
II) Chia ®a thøc cho ®¬n thøc.
1) Ph¬ng ph¸p: Chia ®a thøc A cho ®¬n thøc B.
- Chia mçi h¹ng tö cña ®a thøc A cho ®¬n thøc B.
- Céng c¸c kÕt qu¶ l¹i víi nhau.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
a) (7. 35 - 34 + 36) : 34;
b) (163 - 642) : 83;
Bµi 2. Lµm tÝnh chia:
a) (5x4 - 3x3 + x2) : 3x2;
b) (5xy2 + 9xy - x2y2): (-xy);
1
1
c) (x3y3 - x2y3 - x3y2) : x2y2;
d) (24x4y3 - 40x5y2 - 56x6y3) : (-24x4y2);
2
3
2
e) [a3 - (4a6 + 6a5 - 9a4) : 6a2].(1,5a2 + a4);
3
f) [(3x2y - 6x3y2) : 3xy + (3xy - 1)x]2 : 0,5x2.
g) [7(a - b)5 + 5(a - b)3] : (b - a)2;
h) [7(a - 3b)3 + (a - 3b)] : (2a - 6b);
i) (x3 + 3x2y + 3xy2 + y3) : (2x + 2y).
Bµi 3. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
15 2mn n-1 p+2
a) (3ambn - 1cp-2x - 7a5b3c5 +
a b c x) : (-3a3-mb5c4);
4
b) [(a + b - c)3 + (a - b + c)3 + (-a + b + c)3 - (a + b + c)3] : 24abc;
c) [(x + y)7 - (x7 + y7)] : 7xy.
d) Chøng minh sè cã d¹ng A = 34n + 4 - 43n + 3 chia hÕt cho 17 ( n thuéc N).
Bµi 4. Lµm tÝnh chia:
a) [5(a - b)3 + 2(a - b)2] : (b - a)2
b) 5(x - 2y)3 : (5x - 10y);
c) (x3 - 8y3) : (x + 2y);
d) [5(a + b)7 - 12(a + b)5 + 7(a + b)11] : 4(-a - b)3
e) [3(a - b)4(2a + b)3 + 10(a - b)5 - (a - b)6(2a + b)] : 5(a - b)3.
Bµi 5. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc víi x = -2.
A = (2x2 - x) : x + (3x3 - 6x2) : 3x2 + 3.
III) Chia ®a thøc mét biÕn ®· s¾p xÕp:
1) Ph¬ng ph¸p chung:
- Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc bÞ chia cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia th× ®îc h¹ng tö cao
nhÊt cña th¬ng.
- Nh©n h¹ng tö cao nhÊt cña th¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy ®a thøc bÞ chia trõ ®i tÝch võa t×m ®îc, ta ®îc
d thø nhÊt.
- Chia h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc d thø nhÊt cho h¹ng tö cao nhÊt cña ®a thøc chia ta ®îc h¹ng tö thø
hai cña th¬ng.
- Nh©n h¹ng tö thø hai cña th¬ng víi ®a thøc chia råi lÊy d thø nhÊt trõ ®i tÝch võa t×m ®îc, ta ®îc d thø
hai.
- LÆp l¹i qu¸ tr×nh trªn cho ®Õn khi:
+) nÕu d cuèi cïng b»ng 0 th× phÐp chia cã d b»ng 0 vµ ®îc gäi lµ phÐp chia hÕt.
+) nÕu d cuèi cïng kh¸c 0 vµ bËc cña ®a thøc d thÊp h¬n bËc cña ®a thøc chia th× phÐp chia ®ã ®îc gäi lµ phÐp chia cã d.
2) Ký hiÖu:
12
A(x) lµ ®a thøc bÞ chia;
B(x) lµ ®a thøc chia;
Q(x) lµ ®a thøc th¬ng;
R(x) lµ ®a thøc d;
Ta lu«n cã: A(x) = B(x). Q(x) + R(x);
- NÕu R(x) = 0 th× A(x) = B(x) . Q(x) gäi lµ phÐp chia hÕt.
- NÕu R(x) ≠ 0 th× A(x) = B(x). Q(x) + R(x),( bËc cña R(x) nhá h¬n bËc cña B(x)) gäi lµ phÐp chia cã d.
3) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Lµm tÝnh chia:
a) (6x2 + 13x - 5) : (2x + 5);
b) (x3 - 3x2 + x - 3) : (x - 3);
4
3
2
2
c) (2x + x - 5x - 3x - 3) : (x - 3);
Bµi 2. S¾p sÕp c¸c ®a thøc sau theo luü gi¶m dÇn thõa cña biÕn:
a) (12x2 - 14x + 3 - 6x3 + x4) : (1 - 4x + x2);
b) (x5 - x2 - 3x4 + 3x + 5x3 - 5) : (5 + x2 - 3x);
c) (2x2 - 5x3 + 2x + 2x4 - 1) : (x2 - x - 1);
d) (x3 - 7x + 3 - x2) : (x - 3);
e) (2x4 - 3x3 - 3x2 - 2 + 6x) : (x2 - 2);
f) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
g) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5);
h) (6x3 - 2x2 - 9x + 3) : (3x - 1);
i) (3x4 + 11x3 - 5x2 - 19x + 10) : (x2 + 3x - 2);
j) (-3x2 + 10x3 - x - 3 + 12x4) : (x + 1 + 3x2);
k) (5x + 3x2 - 2 + 2x4 - 11x3 + 6x5) : (-3x + 2x2 + 2);
l) (2x3 + 5x2 - 2x + 3) : (2x2 - x + 1);
n) (2x3 - 5x2 + 6x - 15) : (2x - 5);
m) (x4 - x - 14) : (x - 2).
Bµi 3. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, h·y xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc
d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt;
a) (x3 + 2x2 - 3x + 9) : (x + 3);
b) (9x4 - 6x3 +15x2 + 2x - 1) : (3x2 - 2x + 5).
HD:
a) KÝ hiÖu sè d lµ r, ta cã thÓ biÕt:
x3 + 2x2 - 3x + 9 = (x + 3).q(x) + r
Trong ®¼ng thøc trªn ®Æt x = -3, ta ®îc:
r = (-3)3 + 2(-3)2 - 3(-3) + 9 = 9
vËy d trong phÐp chia lµ 9.
b) Ta thÊy ngay th¬ng trong bíc thø nhÊt cña phÐp chia lµ 3x vµ do ®ã ®a thøc d thø nhÊt lµ 2x 1. V× 2x - 1 cã bËc nhá h¬n 3x2 - 2x + 5 nªn kh«ng thÓ thùc hiÖn tiÕp phÐp chia ®îc n÷a. Do ®ã phÐp
chia kh«ng lµ phÐp chia hÕt vµ ®a thøc d lµ 2x - 1.
Bµi 4. Kh«ng thùc hiÖn phÐp chia, xÐt xem phÐp chia sau ®©y cã lµ phÐp chia hÕt kh«ng vµ t×m ®a thøc
d trong trêng hîp kh«ng chia hÕt.
1
a) (8x2 - 6x + 5) : (x - );
b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1);
2
c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1);
d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1) :(6x2 + 3x - 1).
Bµi 5. TÝnh nhanh:
a) (9a2 - 16b2) : (4b - 3a);
b) (25a2 - 30ab + 9b2) : (3b - 5a);
c) (27a3 - 27a2 + 9a - 1) : (9a2 - 6a + 1);
1 3
4
1
d) (64a3 b ) : (16a2 + ab + b2).
27
3
9
4) Mét sè ph¬ng ph¸p kh¸c ®Ó t×m ®a thøc th¬ng vµ ®a thøc d:
4.1) Ph¬ng ph¸p ®Æt phÐp chia:
VÝ dô:
X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
Gi¶i
13
Thùc hiÖn phÐp chia
x3
+ ax
+
b
x2 + x - 2
3
2
x +
x - 2x
-x2 + (a +2)x +
b
x-1
-x2 x +
2
(a + 3)x + (b -2)
§Ó chia hÕt, ®a thøc d ph¶i ®ång nhÊt b¨ng 0, nªn :
a + 3 = 0
a = −3
⇔
b − 2 = 0
b = 2
vËy víi a = -3; b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x + 2.
4.2) Ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh.
- NÕu hai ®a thøc f(x) vµ g(x) b»ng nhau víi mäi gi¸ trÞ cña biÕn sè x th× ngêi ta goi lµ hai ®a thøc h»ng
®¼ng hoÆc hai ®a thøc ®ång nhÊt. KÝ hiÖu f(x) ≡ g(x).
- Hai ®a thøc (®· viÕt díi d¹ng thu gän) ®îc gäi lµ ®ång nhÊt (h»ng ®¼ng) khi vµ chØ khi c¸c hÖ sè cña
c¸c ®¬n thøc ®ång d¹ng chøa trong hai ®a thøc ®ã lµ b»ng nhau.
*) VÝ dô:
X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
Gi¶i
§a thøc bÞ chia cã bËc lµ ba, ®a thøc chia cã bËc hai, nªn th¬ng lµ mét nhÞ thøc bËc nhÊt, h¹ng tö bËc
nhÊt lµ x3 : x2 = x.
Gäi th¬ng cña phÐp chia lµ x + c, ta cã:
x3 + ax + b = (x2 + x - 2)(x + c)
x3 +ax + b = x3 + (c + 1)x2 + (c - 2)x - 2c.
Hai ®a thøc trªn ®ång nhÊt nªn :
c + 1 = 0
c = −1
c − 2 = a ⇔ a = −3
−2c = b
b = 2
VËy víi a = -3, b = 2 th× x3 + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2, th¬ng lµ x - 1.
4.3) Ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng.
*) VÝ dô:
X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a vµ b ®Ó ®a thøc x3 + ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 + x + 2.
Gi¶i
Gäi th¬ng cña phÐp chia x3 + ax + b cho x2 + x - 2 lµ Q(x), ta cã:
x3 + ax + b = (x - 1)(x + 2).Q(x)
V× ®¼ng thøc ®óng víi mäi x, nªn lÇn lît cho x = 1, x = -2 ta ®îc :
1 + a + b = 0
a + b = −1
a = −3
⇔
⇔
−8 − 2a + b = 0
−2 a + b = 8
b = 2
3
Víi a = -3; b = 2 th× x + ax + b chia hÕt cho x2 + x - 2 vµ th¬ng lµ x - 1.
4.4) Ph¬ng ph¸p vËn dông vµo ®Þnh lý B¬du
a) §Þnh lý: Sè d trong phÐp chia ®a thøc f(x) cho nhÞ thøc x - a b»ng gi¸ trÞ cña ®a thøc f(x) t¹i x
= a.(NghÜa lµ r = f(a)).
b) Chó ý: §a thøc f(x) chia hÕt cho x - a khi vµ chØ khi f(a) = 0
C¸c bµi tËp ¸p dông cho c¸c ph¬ng ph¸p trªn.
Bµi 1. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 6x3 + ax2 + bx + 1 lµ b×nh ph¬ng cña mét ®a thøc.
HD: sö dông ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh, ta cã ha ®¸p sè.
x4 - 6x3 + 7x2 + 6x + 1 = (x2 - 3x - 1)2
x4 - 6x3 + 11x2 - 6x + 1 = (x2 - 3x +1)2
Bµi 2. X¸c ®Þnh a vµ b ®Ó ®a thøc x4 - 3x3 + 2x2 - ax + b chia hÕt cho ®a thøc x2 - x - 2.
HD: sö dông ph¬ng ph¸p gi¸ trÞ riªng, ta ®îc kÕt qu¶ a = 2; b = - 4.
Bµi 3. X¸c ®Þnh c¸c hÖ sè a vµ b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 + x + 1;
b) 2x3 + ax + b chia cho x + 1 d -6, chia cho x - 1 d 21.
HD: ta cã kÕt qu¶
a) a = 1; b = 1;
14
b) a = 3; b = -1.
Bµi 4. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó:
a) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc x3 + 3x2 + 3x - 2 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x + 1;
b) Gi¸ trÞ cña biÓu thøc 2x2 + x - 7 chia hÕt cho gi¸ trÞ cña biÓu thøc x - 2.
HD
a) Thùc hiÖn phÐp chia (x3 + 3x2 + 3x - 2) : (x + 1) = x2 + 2x + 1 d lµ -3
Suy ra -3 M (x + 1) ⇒ x ∈ {0; -2; 2; -4}.
b) x ∈ {3; 1; 5; -1}.
Bµi 5. Cho ®a thøc A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a (a thuéc Q). X¸c ®Þnh a sao cho A(x) chia hÕt cho x + 1.
HD
*) C¸ch 1. (§Æt phÐp chia ®a thøc).
A(x) = a2x3 + 3ax2 - 6x - 2a chia cho ®a thøc (x + 1) ®îc th¬ng lµ
2 2
a x + (3a - a2)x + (a2 - 3a - 6) vµ ®a thøc d lµ -a2 + a + 6
- §Ó ®a thøc A(x) chia hÕt cho ®a thøc x + 1 th× ®a thøc d ph¶i b»ng 0, tøc lµ
-a2 + a + 6 = 0, gi¶i ph¬ng tr×nh ta ®îc a = -2; a = 3.
*) C¸ch 2. (Dïng ph¬ng ph¸p hÖ sè bÊt ®Þnh).
+) T×m h¹ng tö bËc cao nhÊt a2x3 : x = a2x2, h¹ng tö bËc thÊp nhÊt -2a : 1 = -2a
+) BiÓu diÔn A(x) = (a2x2 + bx - 2a)(x + 1), sau ®ã dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt ®Ó t×m ra a = -2; a
= 3 vµ kÕt luËn.
*) C¸ch 3. (Dïng ph¬ng ph¸p xÐt gi¸ trÞ riªng).
Bµi 6. X¸c ®Þnh h»ng sè a sao cho:
a) 10x2 - 7x + a chia hÕt cho2x - 3;
b) 2x2 + ax + 1 chia cho x - 3 d 4;
c) ax5 + 5x4 - 9 chia hÕt cho x - 1.
Bµi 7. X¸c ®Þnh c¸c h»ng sè a vµ b sao cho:
a) x4 + ax2 + b chia hÕt cho x2 - x + 1;
b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hÕt cho x2 + 3x - 10;
c) ax4 + bx3 + 1 chia hÕt cho ®a thøc(x - 1)2;
d) x4 + 4 chia hÕt cho x2 + ax + b.
Bµi 8. T×m c¸c h»ng sè a vµ b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 th× d 7, chia cho x - 3 th× d - 5.
Chuyªn ®Ò ph©n thøc ®¹i sè
I) Ph©n thøc ®¹i sè:
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
A
a) §Þnh nghÜa: Mét ph©n thøc ®¹i sè (hay nãi gän lµ ph©n thøc) lµ mét biÓu thøc cã d¹ng ,
B
trong ®ã A, B lµ nh÷ng ®a thøc, B lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0
A lµ tö thøc (tö).
B lµ mÉu thøc
Mçi mét ®a thøc còng ®îc coi lµ mét ®a thøc cã mÉu lµ 1.
b) Hai ph©n tøc b¼ng nhau:
A
C
A
C
Víi hai ph©n thøc
vµ , ta nãi
=
nÕu A.D = B.C
B
D
B
D
2) Bµi tËp:
Bµi 1. Dïng ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
x2 ( x + 2)
x
x 2 y 3 7 x3 y 4
=
=
a)
;
b)
;
2
x+2
5
35 xy
x ( x + 2)
3 − x x2 − 6x + 9
;
=
3+ x
9 − x2
5 y 20 xy
=
e)
;
7
8x
x + 2 ( x + 2 ) ( x + 1)
g)
;
=
x −1
x2 −1
c)
d)
x3 − 4 x − x 2 − 2 x
;
=
10 − 5 x
5
3x ( x + 5) 3x
=
f)
;
2 ( x + 5)
2
h)
15
x 2 − x − 2 x 2 − 3x + 2
;
=
x +1
x −1
x3 + 8
= x + 2.
x2 − 2 x + 4
Bài 2. Dïng ®Þnh nghÜa hai ph©n thøc b»ng nhau, h·y t×m ®a thøc A trong mçi ®¼ng thøc sau.
A
6 x 2 + 3x
4 x 2 − 3x − 7 4 x − 7
a)
;
b)
;
=
=
2 x −1 4 x2 −1
A
2x + 3
4 x2 − 7 x + 3
A
x2 − 2x
x2 + 2x
c)
;
d)
.
=
=
x2 −1
x2 + 2 x + 1
2 x 2 − 3x − 2
A
Bµi 3. B¹n Lan viÕt c¸c ®¼ng thøc sau vµ ®è c¸c b¹n trong nhãm häc tËp t×m ra chç sai. Em h·y söa sai
cho ®óng.
5 x + 3 5 x 2 + 13 x + 6
x +1
x2 + 3
a)
;
b)
;
=
=
x−2
x2 − 4
x + 3 x2 + 6x + 9
x2 − 2 x + 2
2 x2 − 5x + 3 2 x2 − x − 3
c) 2
;
d) 2
.
=
=
x −1 x +1
x + 3x − 4 x 2 + 5 x + 4
Bµi 5. Ba ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng?
x2 + x − 2 x + 2 x2 − 4
.
;
;
x2 −1 x + 1 x2 − x − 2
Bµi 6. T×m tËp x¸c ®Þnh cña c¸c ph©n thøc sau:
3
x2 + 3
a)
;
b) 2
;
5x + 2
x − 6x + 9
x
2x +1
c) 2
;
d) 2
.
x + 3x
x − 3x + 2
Bµi 7. t×m c¸c gi¸ trÞ cña biÕn ®Ó c¸c biÓu thøc sau b»ng 0.
3x − 1
x2 − x
a) 2
;
b)
;
x −5
2x +1
x 2 − 3x + 2
x2 − 2x
c)
;
d)
;
x2 + 1
x2 − 4 x + 4
x 4 + x3 + x + 1
x4 − 5x 2 + 4
e) 4
;
f)
.
x − x3 + 2 x 2 − x + 1
x 4 − 10 x 2 + 9
Bµi 8. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña biÕn ®Ó c¸c ph©n thøc sau nhËn gi¸ trÞ nguyªn:
2 ( x + 1)
3
6
a) 2
;
b)
;
c) 3
;
x + x +1
x −3
x +1
II) TÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®¹i sè:
1) KiÕn thøc c¬ b¶n:
a) TÝnh chÊt:
A A.M
- TÝnh chÊt 1: =
(M lµ ®a thøc kh¸c ®a thøc 0).
B B.M
A A:M
- TÝnh chÊt 2: =
(M lµ nh©n tö chung kh¸c 0).
B B:M
A −A
b) Quy t¾c ®æi dÊu: =
.
B −B
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc, h·y ®iÒn mét ®a thøc thÝch hîp vµo chç trèng trong c¸c
®¼ng thøc sau:
x − x2
x
x 2 + 8 3 x3 + 24 x
a) 2
b)
;
= ;
=
5 x − 5 ...
2x −1
...
...
3 x 2 − 3xy
− x 2 + 2 xy − y 2
...
=
= 2
c)
;
d)
;
x − y 3( y − x) 2
x+ y
y − x2
i)
16
5x + 5 y 5x2 − 5 y 2
x3 + x 2
...
=
e)
;
f)
.
=
...
2 y − 2x
x2 −1 x −1
Bµi 2. BiÕn ®æi mçi ph©n thøc sau thµnh mét ph©n thøc b»ng nã vµ cã tö thøc lµ ®a thøc A cho tríc.
8x2 − 8x + 2
4x + 3
2
, A = 1− 2x ;
, A= 12x +9x ;
a) 2
b)
( 4 x − 2 ) ( 15 x − 1)
x −5
Bµi 3. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau thµnh mét cÆp ph©n thøc
b»ng nã vµ cã cïng tö thøc.
3
x −1
x+5
x 2 − 25
a)
vµ
;
b)
vµ
;
x+2
5x
4x
2x + 3
Bµi 4. Dïng tÝnh chÊt c¬ b¶n cña ph©n thøc hoÆc quy t¾c ®æi dÊu ®Ó biÕn ®æi mçi cÆp ph©n thøc sau
thµnh mét cÆp ph©n thøc b»ng nã vµ cã cïng mÉu thøc:
3x
7x + 2
4x
3x
a)
vµ
;
b)
vµ
;
x −5
5− x
x +1
x −1
2x
x+3
2
x−4
c) 2
vµ
;
d)
vµ
( x + 1) ( x − 3)
( x + 1) ( x − 2 ) ;
x + 8 x + 16
2x + 8
Bµi 5. C¸c ph©n thøc sau cã b»ng nhau kh«ng?
x3 y3
x2
x2
x2
a)
vµ
;
b)
vµ
;
xy 3
y
x + y2
x2 + y 2
1− x
x −1
−3( x − 1)
3( x − 1)
c)
vµ
;
d)
vµ
;
2
( x − 1)(3 − x )
( x − 1)( x − 3)
(1 − x)
( x − 1) 2
Bµi 6. H·y viÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc cã mÉu thøc lµ 1 - x3;
x
x +1
x2
a) 3
;
b)
;
c) 2
.
x −1
x + x +1
x −1
Bµi 7. ¸p dông quy t¾c ®æi dÊu ®Ó viÕt c¸c ph¬ng tr×nh b»ng c¸c ph©n thøc sau:
− xy 2
1 − x2
a)
;
b)
;
2x − x
x −1
y 2 − x2
−2 x + 1
c)
;
d)
.
x− y
−x − 2
Bµi 8. ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng mÉu thøc:
x
x
y
a) x 2 vµ
;
b)
vµ ;
2y
x +1
x
2x + y
x
x +1
1− x
c) 3
;
d) 5 4 vµ 4 5 .
3 vµ
x −y
x− y
x y
x y
Bµi 9. ViÕt c¸c ph©n thøc sau díi d¹ng nh÷ng ph©n thøc cã cïng tö thøc:
x
1
x−2
y
a) vµ
;
b)
vµ ;
y
x
x+3
x
2
2
3 2
x −y
x+ y
x y
x2 y3
c)
vµ
;
d)
vµ
;
2 x 2 − xy
x
x− y
x+ y
III) Rót gän ph©n thøc
1) Ph¬ng ph¸p:
- Ph©n tÝch c¶ tö vµ mÉu thµnh nh©n tö (nÕu cÇn) ®Ó t×m nh©n tö chung.
- Chia c¶ tö vµ mÉu cho nh©n tö chung ®ã.
2) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Rót gän c¸c ph©n thøc sau:
14 xy 5 (2 x − 3 y )
8 xy (3 x − 1)3
a)
;
b)
;
21x 2 y (2 x − 3 y ) 2
12 x3 (1 − 3x )
17
20 x 2 − 45
5 x 2 − 10 xy
c)
;
d)
;
(2 x + 3) 2
2(2 y − x)3
80 x 3 − 125 x
9 − ( x + 5) 2
e)
;
f) 2
;
3( x − 3) − ( x − 3)(8 − 4 x)
x + 4x + 4
32 x − 8 x 2 + 2 x 3
5 x3 + 5 x
g)
;
h)
;
x 3 + 64
x4 −1
10 xy 2 ( x + y )
x 2 + 5x + 6
i) 2
.
J)
;
15 xy ( x + y )3
x + 4x + 4
x 2 − xy − x + y
3 x 2 − 12 x + 12
k) 2
;
l)
;
x + xy − x − y
x4 − 8x
7 x 2 + 14 x + 7
2a 2 − 2ab
n)
;
m)
;
3x 2 + 3x
ac + ad − bc − bd
2x − 2 y
x 2 − xy
o) 2
¬) 2
;
2 ;
x − 2 xy + y 2
y −x
2 − 2a
x2 − 6x + 9
p) 3
;
q) 2
;
a −1
x − 8 x + 15
x 4 − 2 x3
x7 − x4
v)
;
u)
;
2 x 4 − x3
x6 − 1
24,5 x 2 − 0,5 y 2
( x + 2) 2 − ( x − 2) 2
)
;
x)
;
3,5 x 2 − 0,5 xy
16 x
(a − b)(c − d )
a 3 − 3a 2 + 2a − 6
y)
;
z) 2
.
2
(b − a 2 )(d 2 − c 2 )
a +2
Bµi 2. Chøng minh c¸c ®¼ng thøc sau:
x 2 y + 2 xy 2 + y 3 xy + y 2
x 2 + 3 xy + 2 y 2
1
=
=
a)
;
b) 3
.
2
2
2
2
3
2 x + xy − y
2x − y
x + 2 x y − xy − 2 y
x− y
Bµi 3. §æi dÊu ë tö hoÆc ë mÉu råi rót gän ph©n thøc:
45 x(3 − x)
y 2 − x2
a)
;
b) 3
.
15 x( x − 3)3
x − 3 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
Bµi 4. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc sau:
1
ax 4 − a 4 x
x3 + x 2 − 6 x
a) 2
víi a = 3, x = ;
b)
víi x = 98
3
a + ax + x 2
x3 − 4 x
1
1
x3 + 3x
x 4 − 2 x3
−
c) 3
víi
x
=
;
d)
víi x = − ;
5
2
3
2
2
3x + x
2x − x
2
7
1
1
10ab − 5a
a +1
e)
víi a = , b = ;
f) 15
víi a = 0,1;
2
6
7
16b − 8ab
a + a8
2x − 4 y
x2 − 9 y2
g)
víi x + 2y = 5;
h)
víi 3x - 9y = 1.
0, 2 x 2 − 0,8 y 2
1,5 x + 4,5 y
a −b
Bµi 5. Cho 3a2 + 3b2 = 10ab vµ b > a > 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P =
.
a+b
Bµi 6. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo biÕn x.
2ax − 2 x − 3 y + 3ay
x2 − y 2
a)
;
b)
;
4ax + 6 x + 6 y + 6ay
( x + y )(ay − ax)
Bµi tËp n©ng cao.
Bµi 7. Rót gän c¸c biÓu thøc.
18
m4 − m
ab 2 + a 3 − a 2b
;
b)
;
2m 2 + 2m + 2
a 3b + b 4
xy + 1 − x − y
ax + ay − bx − by
c)
;
d)
;
y + z − 1 − yz
ax − ay − bx + by
a 2 + b 2 − c 2 + 2ab
a 2 − b2
e) 2 2 2
;
f) 2
;
a − b + c + 2ac
a − a − b − b2
a 3 (b 2 − c 2 ) + b3 (c 2 − a 2 ) + c 3 (a 2 − b 2 )
a3 + 1
g)
;
h)
;
a 2 (b − c) + b 2 (c − a ) + c 2 ( a − b)
2a 2 + 4a + 2
x 2 − ( a + b) x + ab
x 2 + a 2 − b 2 − 2bc + 2ax − c 2
i) 2
;
j) 2
;
x − (a − b) x − ab
x + b 2 − a 2 + 2bx − 2ac − c 2
x x−2
3x3 − 2 x 2 + 4 x − 5
k)
;
l) 2
.
2
6 x + 3x − 9
x − 5x + 6
a 2 x − b2 x
1 − (2a + 3b) 2
n) x
;
m)
;
a + bx
2a + 3b + 1
33 x − 33 y
24 m − 24 n
o) x
;
¬)
;
3 + 3y
22 n + 22 m
a 2 (b − c ) + b 2 (c − a) + c 2 (a − b)
2 x 3 − 7 x 2 − 12 x + 45
p)
;
q)
;
ab 2 − ac 2 − b3 + bc 2
3 x3 − 19 x 2 + 33x − 9
x 3 − y 3 + z 3 + 3 xyz
x 3 + y 3 + z 3 − 3 xyz
u)
;
)
.
( x + y ) 2 + ( y + z ) 2 + ( z − x) 2
( x − y ) 2 + ( y − z ) 2 + ( z − x) 2
Bµi 8. T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó c¸c ph©n thøc sau b»ng 0.
x 4 + x3 + x + 1
x4 − 5x 2 + 4
a) 4
;
b)
.
x − x3 + 2 x 2 − x + 1
x 4 − 10 x 2 + 9
Bµi 9. ViÕt gän biÓu thøc sau díi d¹ng mét ph©n thøc.
A = (x2 - x + 1)(x4 - x2 + 1)(x8 - x4 + 1)(x16 - x8 + 1)(x32 - x16 + 1).
HD: Nh©n biÓu thøc A víi x2 + x + 1, tõ ®ã xuÊt hiÖn nh÷ng biÓu thøc liªn hîp nhau
x2 + y 2 + z 2
Bµi 10. Rót gän
biÕt r»ng x + y + z = 0.
( y − z ) 2 + ( z − x) 2 + ( x − y ) 2
3x − 2 y
Bµi 11. TÝnh gi¸ trÞ cña ph©n thøc A =
, biÕt r»ng 9x2 + 4y2 = 20xy, vµ 2y < 3x 0,3x + 2 y < 0 ⇒ A < 0 . vËy A = − .
2
4
4
4
4
(1 + 4)(5 + 4)(9 + 4)...(21 + 4)
Bµi 12. Rót gän biÓu thøc: P = 4
.
(3 + 4)(7 4 + 4)(114 + 4)...(234 + 4)
HD
XÐt n4 + 4 = (n2 + 2)2 - 4n2 = (n2 +2n + 2)(n2 - 2n + 2) = [n(n - 2) + 2][n(n + 2) + 2]
(−1.1 + 2)(1.3 + 2) (3.5 + 2)(5.7 + 2)
(19.21 + 2)(21.23 + 2)
−1.1 + 2
1
×
×.... ×
=
=
Do ®ã P =
(1.3 + 2)(3.5 + 2) (5.7 + 2)(7.9 + 2)
(21.23 + 2)(23.25 + 2) 23.25 + 2 577
1
Bµi 13. Cho ph©n sè A =
(mÉu cã 99 ch÷ sè 0). TÝnh gi¸ trÞ cña A víi 200 ch÷ sè thËp ph©n.
1, 00...01
HD
10100
Ta cã A = 100
. Nh©n tö vµ mÉu víi 10100 - 1, ta ®îc:
10 + 1
a)
19
100 }
100
}
10 (10 − 1) 99...9 00...0
A=
=
= 0,99...9
{ 00...0
{
10200 − 1
99...9
100
100
{
100
100
200
(Theo quy t¾c ®æi sè thËp ph©n tuÇn hoµn ®¬n ra ph©n sè).
(a 2 + b 2 + c 2 )(a + b + c ) 2 + (ab + bc + ca ) 2
Bµi 14. Cho ph©n thøc: M =
(a + b + c) 2 − (ab + bc + ca)
a) T×m c¸c gi¸ trÞ cña a, b, c ®Ó ph©n thøc cã nghÜa.
b) Rót gän biÓu thøc M.
HD:
a) §iÒu kiÖn ®Ó ph©n thøc M cã nghÜa lµ mÉu thøc k¸c 0.
XÐt (a + b + c)2 - (ab + bc + ca) = 0 ⇔ a2 + b2 + c2 + ab + bc + ca = 0.
⇔ 2a2 + 2b2 + 2c2 +2ab + 2bc + 2ca = 0
⇔ (a + b)2 + (b + c)2 + (c + a)2 = 0
⇔ a+b=b+c=c+a
⇔ a = b = c.
vËy ®iÒu kiÖn ®Ó ph©n thøc M cã nghÜa lµ a, b, c kh«ng ®ång thêi b»ng 0,
tøc lµ a2 + b2 c2 ≠ 0.
b) Do (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ca, do ®ã dÆt a2 + b2 + c2 = x;
ab + bc + ca = y. Khi ®ã (a + b + c)2 = x + 2y.
x( x + 2 y ) + y 2 x 2 + 2 xy + y 2 ( x + y ) 2
=
=
= x + y = a 2 + b 2 + c 2 + ab + bc + ca
Ta cã M =
x + 2y − y
x+ y
x+ y
(§iÒu kiÖn lµ a2 + b2 c2 ≠ 0)
IV) Quy ®ång mÉu thøc.
1) T×m mÉu thøc chung cña nhiÒu ph©n thøc:
- Ph©n tÝch c¸c mÉu thµnh nh© tö (nÕu cÇn).
- LËp tÝch c¸c nh©n tö b»ng sè vµ ch÷:
+) Nh©n tö b»ng sè lµ BCNN cña c¸c sè ë mÉu.
+) Nh©n tö b»ng ch÷ lµ luü thõa víi sè mò lín nhÊt.
2) Bµi tËp ¸p dông
C¸c bµi tËp c¬ b¶n vµ n©ng cao.
Bµi 1. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau:
25
14
11
3
,
,
a)
b)
;
2
5 ;
4
14 x y 21xy
102 x y 34 xy 3
3x + 1 y − 2
1
x +1 x −1
, 2 3;
, 2 4,
c)
d)
;
4
3 2
12 xy 9 x y
6 x y 9 x y 4 xy 3
3 + 2x
5
2
4x − 4
x−3
, 2 2,
,
;
e)
f)
4
5 ;
10 x y 8 x y 3 xy
2 x( x + 3) 3 x( x + 1)
2x
x−2
5
3
,
,
g)
h) 3
.
3
2 ;
( x + 2) 2 x( x + 2)
3 x − 12 x (2 x + 4)( x + 3)
Bµi 2. Quy ®«ng mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau.
7 x − 1 5 − 3x
x +1
x+2
, 2
,
a)
;
b)
;
2
2
2x + 6x x − 9
x − x 2 − 4x + 2x2
7
4
x− y
4 x 2 − 3x + 5
2x
6
,
, 2
c)
;
d)
;
, 2
,
3
5x x − 2 y 8 y − 2x2
x −1
x + x +1 x −1
x
x +1
x −1
5x2
4x
3
,
,
e) 3
;
f)
;
,
,
3
2
2
x −1 x − x x + x + 1
x + 6 x 2 + 12 x + 8 x 2 + 4 x + 4 2 x + 4
a−x
a+x
a−d
a+d
, 2
, 2
g)
h) 2
;
2
2
2 ;
6 x − ax − 2a 3 x + 4ax − 4a
a + ab + ad + bd a + ab − ad − bd
x
y
z
, 2
, 2
i) 2
;
2
2
2
2
x − 2 xy + y − z x − y + 2 yz − z x − 2 xz − y 2 + z 2
20
1
3
2
x
x2 − y 2
,
,
,
,x+ y ;
j) 3
;
k)
x + 1 2 x + 2 x2 − x + 1
x − y x 2 − 2 xy + y 2
x2
2x +1
x +1
l)
.
, 2
, 2
2
6 x − 7 x − 3 2 x − 7 x + 6 3x − 5x − 2
Bµi 3. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc:
a+ x b+ x b−a
2x +1
x + 2a
, 2 2,
, 2
a)
b) 2
;
3
2 ;
2
axb a xb axb
x − 4ax + 4a x − 2ax
a+x
a−x
a+b
a −c
, 2
, 2
c)
d) 2
;
2
2
2 ;
6 x − ax − 2a 3 x + 4ax − 4a
a − bc + ac − ab a − bc + ac − b 2
x
x+2
x −1
x+2
x
2x +1
, 2
, 2
,
,
e) 3
;
f) 2
.
2
x − 27 x − 6 x + 9 x + 3x + 9
x − 3x + 2 −2 x + 5 x − 3 −2 x 2 + 7 x − 6
Bµi 4. Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc (cã thÓ ®æi dÊu ®Ó t×m MTC cho thuËn tiÖn).
x −1 x +1
1
2x −1
a−x
2x2 −1
,
,
a)
;
b)
;
,
,
2 x + 2 2x − 2 1 − x2
x + a − x 2 + ax − a 2 x 3 + a 3
24
4x
18
x +1
x
2x −1
,
, 2
, 4
, 7
c)
;
d)
;
3
2
2
4
2
4x − x x − 2x 2x + x
2 x − x x + 2 x + 4 x − 8x
2x
y
4 xy
,
, 2
e) 2
.
2
2
2
x − 3xy + 2 y −3 x + 4 xy − y 3x − 7 xy + 2 y 2
Bµi 5. Rót gän råi quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc sau.
x2 − 5x + 6 2 x2 − 7 x + 5
x3 − 2 x 2 − x + 2
x3 − 5 x + 4
a)
;
b)
;
,
,
x2 − 4
− x2 + 4x − 3
x3 + x 2 − 4 x − 4 x3 + 2 x 2 − 3x − 4
x 3 − 2 x 2 + 5 x + 26 x3 + 4 x 2 + 10 x + 12
c) 3
;
,
x − 5 x 2 + 17 x − 13 x 3 − x 2 + 2 x + 16
x 2 + y 2 + z 2 + 2 xy + 2 yz + 2 zx
x 3 + y 3 + z 3 − 3xyz
,
d)
.
x 2 − y 2 − z 2 − 2 yz
( x − y )2 + ( y − z )2 + ( z − x) 2
x
x+2
, 2
Bµi 6. Cho biÓu thøc B = 2x3 + 3x2 - 29x + 30 vµ hai ph©n thøc
2
2 x + 7 x − 15 x + 3 x − 10
a) Chia ®a thøc B lÇn lît cho c¸c mÉu cña hai ph©n thøc ®· cho.
b) Quy ®ång mÉu thøc cña hai ph©n thøc ®· cho.
1
2
, 2
Bµi 7. Cho hai ph©n thøc: 2
. Chøng tá r»ng cã thÓ chän ®a thøc
x − 4x − 5 x − 2x − 3
x3 - 7x2 + 7x + 15 lµm mÉu thøc cung ®Ó quy ®ång mÉu thøc hai ph©n thøc ®· cho. H·y quy ®ång mÉu
thøc.
V) PhÐp céng c¸c ph©n thøc ®ai sè.
1) Céng hai ph©n thøc cïng mÉu: Céng tö víi tö vµ gi÷ nguyªn mÉu
2) Céng hai ph©n thøc cã mÉu thøc kh¸c nhau:
- Quy ®ång mÉu thøc c¸c ph©n thøc.
- Céng hai ph©n thøc cïng mÉu (sau khi ®· quy ®ång).
3) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Céng c¸c ph©n thøc cïng mÉu thøc:
1− 2x 3 + 2 y 2x − 4
x2 − 2
2− x
+
+
+
a)
;
b)
;
3
3
3
2
6x y 6x y
6x y
x( x − 1)
x( x − 1) 2
3x + 1
x2 − 6 x
x 2 + 38 x + 4 3 x 2 − 4 x − 2
c) 2
;
d)
.
+ 2
+
x − 3x + 1 x − 3 x + 1
2 x 2 + 17 x + 1 2 x 2 + 17 x + 1
Bµi 2. Céng c¸c ph©n thøc kh¸c mÉu thøc:
5
7
11
4x + 2 5 y − 3 x +1
+
+
+
+
a)
;
b)
;
2
2
6 x y 12 xy 18 xy
15 x 3 y 9 x 2 y 5 xy 3
3 3x − 3
3x − 2
x3 + 2 x
2x
1
+
+
c)
;
d)
;
+ 2
+
2
3
2x 2x −1 2x − 4x
x +1 x − x +1 x +1
21
y
4x
1
3
x − 14
+ 2
+ 2
+ 2
;
f)
;
2 x − xy y − 2 xy
x + 2 x − 4 ( x + 4 x + 4)( x − 2)
1
1
1
1
1
+
+
+
g)
;
h)
;
x + 2 ( x + 2)(4 x + 7)
x + 3 ( x + 3)( x + 2) ( x + 2)(4 x + 7)
Bµi 3. Dïng quy t¾c ®æi dÊu ®Ó t×m mÉu thøc chung råi thùc hiÖn phÐp céng.
4
2
5x − 6
1 − 3x 3x − 2
3x − 2
+
+
+
+
a)
b)
;
2 ;
x+2 x−2 4− x
2x
2x −1 2x − 4x2
1
1
x
x2 + 2
2
1
+
+
c) 2
;
d)
;
+ 2
+
2
2
3
x + 6x + 9 6x − x − 9 x − 9
x −1 x + x + 1 1− x
x
x
4 xy
+
+ 2
e)
.
x − 2 y x + 2 y 4 y − x2
Bµi 4. Céng c¸c ph©n thøc:
1
1
1
+
+
a)
;
( x − y )( y − z ) ( y − z )( z − x) ( z − x)( x − y )
4
3
3
+
+
b)
;
( y − x )( z − x) ( y − x)( y − z ) ( y − z )( x − z )
1
1
1
+
+
c)
;
x( x − y )( x − z ) y ( y − x )( y − z ) z ( z − x)( z − y )
4
3
3
+
+
d)
;
(a − x)(c − x) (a − x)(a − c) (a − c)( x − c )
1
1
1
+
+
e)
.
a (a − b)(a − c ) b(b − a )(b − c) c(c − a )(c − b)
Bµi 5. Lµm tÝnh céng c¸c ph©n thøc.
11x + 13 15 x + 17
2x +1
32 x 2
1− 2x
+
a)
;
b)
;
+
+ 2
2
2
3x − 3
4 − 4x
2x − x 1− 4x
2x + x
1
1
2x
x4
+
+
c) 2
d)
+ x3 + x 2 + x + 1 ;
2
3 ;
x + x +1 x − x 1− x
1− x
5
3
x
x +1
2x + 3
+
+ 3;
+
e)
f)
;
2
2
2 x y 5 xy
y
2 x + 6 x ( x + 3)
3x + 5
25 − x
x4 + 1
+
g) 2
;
h) x 2 +
+1;
x − 5 x 25 − 5 x
1 − x2
4 x 2 − 3 x + 17
2x −1
6
i)
;
+ 2
+
3
x −1
x + x +1 1− x
Bµi 6. Cho hai biÓu thøc:
1
1
x −5
3
+
A= +
,
B=
x x + 5 x( x + 5)
x+5
Chøng tá r»ng A = B.
Bµi 7. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc :
2x
1
1
+ 2
+ 2
a) A =
víi x = 10;
3
1− x
x − x x + x +1
x4
b) B =
+ x 3 + x 2 + x + 2 víi x = -99
1− x
C¸c bµi tËp n©ng cao
a
b
x2 + 5
+
Bµi 8. T×m c¸c sè a vµ b sao cho ph©n thøc 3
viÕt ®îc thµnh
x − 2 ( x + 1) 2
x − 3x − 2
HD: Dïng mét trong hai ph¬ng ph¸p (hÖ sè bÊt ®Þnh hoÆc xÐt gi¸ trÞ riªng) ®Ó t×m a vµ b sau khi
quy ®ång.
Bµi 9. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo x
e)
2
22
x− y y−z z−x
y
z
x
+
+
+
+
;
b)
.
xy
yz
zx
( x − y )( y − z ) ( y − z )( z − x) ( z − x)( x − y )
Bµi 10. Céng c¸c ph©n thøc :
1
1
1
+
+
.
2
2
2
2
2
(b − c)(a + ac − b − bc) (c − a )(b + ab − c − ac) (a − b)(c + bc − a 2 − ab)
(§Ò thi häc sinh giái líp 8 toµn quèc 1980)
Bµi 11. Rót gän biÓu thøc :
1
1
2
4
8
+
+
+
+
A=
.
2
4
1 − x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8
Bµi 12. T×m c¸c sè A, B, C ®Ó cã :
x2 − x + 2
A
B
C
=
+
+
.
3
3
2
( x − 1)
( x − a ) ( x − 1)
x −1
Bµi 13. Chøng minh h»ng ®¼ng thøc :
a 2 + 3ab 2a 2 − 5ab − 3b 2
a 2 + an + ab + bn
.
+
=
a 2 − 9b 2 6ab − a 2 − 9b 2 3bn − a 2 − an + 3ab
VI) PhÐp trõ c¸c ph©n thøc ®¹i sè.
1) Ph©n thøc ®èi:
- Hai ph©n thøc ®îc gäi lµ ®èi nhau nÕu tæng cña chóng b»ng 0.
A −A
−A A
= .
- C«ng thøc: − =
vµ −
B
B
B
B
2) PhÐp trõ:
A
C
A
C
- Quy t¾c: Muèn trõ ph©n thøc
cho ph©n thøc
, ta céng
víi ph©n thøc ®èi cña
B
D
B
D
A C A −C
− = +
- C«ng thøc:
B D B D
3) Bµi tËp ¸p dông:
Bµi 1. Lµm tÝnh trõ c¸c ph©n thøc:
3x − 2 7 x − 4
3 x + 5 5 − 15 x
−
a)
;
b) 3 −
;
2 xy
2 xy
4x y
4 x3 y
9x + 5
5x − 7
4 x + 7 3x + 6
−
−
c)
;
d)
;
2
2( x − 1)( x + 3) 2( x − 1)( x + 3) 2
2x + 2 2x + 2
xy
x2
5x + y 2 5 y − x2
−
−
e) 2
;
f)
;
x − y2 y2 − x2
x2 y
xy 2
x
x
x+9
3
−
− 2
g)
;
h) 2
;
5 x + 5 10 x − 10
x − 9 x + 3x
3
x−6
x 4 − 3x 2 + 2
− 2
i)
;
j) x 2 + 1 −
;
2x + 6 2x + 6x
x2 −1
3x + 1
1
x+3
x + 1 1 − x 2 x(1 − x)
−
+
−
−
k)
;
l)
;
2
2
( x − 1)
x + 1 1 − x2
x −3 x +3
9− x
3x + 2
6
3x − 2
5
4 − 3x 2
− 2
− 2
n)
m) 2
.
−
−3;
2
2
x − 2x +1 x −1 x + 2x +1
2x + 6x x − 9
Bµi 2. Theo ®Þnh nghÜa cña phÐp trõ, khi viÕt
A C E A −C − E
− − = +
+
.
B D F B D
F
¸p dông ®iÒu nµy ®Ó lµm c¸c phÐp tÝnh sau:
18
3
x
1
1
3x − 6
− 2
− 2
−
−
a)
b)
.
2
2 ;
( x − 3)( x − 9) x − 6 x + 9 x − 9
3 x − 2 3x + 2 4 − 9 x
Bµi 3. rót gän c¸c biÓu thøc :
a)
23
3x 2 + 5x + 1
1− x
3
1
x2 + 2
;
b)
;
−
−
+
1
−
x3 − 1
x2 + x + 1 x −1
x2 − x + 1
x3 + 1
7
x
36
+ 2
c) −
.
x x + 6 x + 6x
Bµi 4. Thùc hiÖn phÐp tÝnh:
1
2
3
+
−
a)
;
( x − 1)( x − 2) ( x − 2)( x − 3) ( x − 3)( x − 1)
1
1
1
+
−
b) A =
.
a (a − b)(a − c) b(b − a)(b − c) (a − c)(c − b)
Bµi 5. TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc:
1
x2 + 2
a) A = 2
víi x = 99;
+1− 3
x − x +1
x +1
2x +1 1− 2x
2
1
+
−
b) B =
.
2 víi x =
4x − 2 4x + 2 1 − 4x
4
C¸c bµi to¸n n©ng cao
Bµi 6. Rót gän c¸c biÓu thøc :
a
a
a
1
+
+
+
a) A =
;
x( x + a ) ( x + a)( x + 2a) ( x + 2a )( x + 3a ) x + 3a
1
1
1
1
+
+
+ ... +
b) B =
;
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)
3
3
3
3
+
+
+ ... +
HD: Thùc hiÖn nh©n hai vÕ víi 3 ta ®îc 3.B =
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5)
3
1
1
=
−
Tõ ®ã ta cã
(3n + 2)(3n + 5) 3n + 2 3n + 5
3
1 1
= −
XÐt tõng sè h¹ng cô thÓ :
2.5 2 5
3 1 1
= −
5.8 5 8
…..
3
1
1
=
−
(3n + 2)(3n + 5) 3n + 2 3n + 5
3
3
3
3
1
1
3n + 5 − 2 3(n + 1)
+
+
+ ... +
=
=
= −
2.5 5.8 8.11
(3n + 2)(3n + 5) 2 3n + 5 2(3n + 5) 2(3n + 5)
3(n + 1)
n +1
⇔B=
Hay 3.B =
2(3n + 5)
2(3n + 5)
1
1
1
1
+
+
+ ... +
c) C =
.
1.2 2.3 3.4
n(n + 1)
HD : Thùc hiÖn nh phÇn trªn
Bµi 7. Chøng minh c¸c biÓu thøc sau kh«ng phô thuéc vµo c¸c biÕn x, y, z.
x+z
x+ y
y+z
−
−
.
( x − y )( y − z ) ( x − z )( y − z ) ( x − y )( x − z )
Bµi 8. Thùc hiÖn phÐp tÝnh :
1
1
1
+
+
a) A =
;
(a − b)(a − c ) (b − a )(b − c) (c − a)(c − b)
1
1
1
+
+
b) B =
;
a (a − b)(a − c) b(b − a)(b − c) c(c − a )(c − b)
a)
24
bc
ac
ab
+
+
;
(a − b)(a − c) (b − a )(b − c ) (c − a )(c − b)
a2
b2
c2
+
+
d) D =
;
(a − b)( a − c ) (b − a )(b − c) (c − a)(c − b)
Bµi 9. X¸c ®Þnh c¸c sè h÷u tû a, b, c sao cho:
1
ax + b
c
= 2
+
a) 2
;
( x + 1)( x − 1) x + 1 x − 1
1
1
1
§¸p sè: Dïng ph¬ng ph¸p ®ång nhÊt ta ®îc a = − , c = , b = − .
2
2
2
1
a
b
c
1
1
= +
+
b)
;
(§S : a = ; b = −1; c = )
x( x + 1)( x + 2) x x + 1 x + 2
2
2
1
a
b
c
=
+
+
c)
. (§S: a = -1; b = 1; c = 1)
2
2
( x + 1) ( x + 2) x + 1 ( x + 1)
x+2
Bµi 10. Cho abc = 1
(1)
1 1 1
a+b+c = + +
(2)
a b c
Chøng minh trong 3 sè a, b, c tån t¹i mét sè b»ng 1.
HD
bc + ac + ab
Tõ (2) : a + b + c =
abc
Do abc = 1 nªn a + b + c = ab + bc + ca
(3)
§Ó chøng minh trong 3 sè a, b, c cã mét sè b»ng 1 ta chóng minh: (a - 1)(b - 1)(c - 1) = 0
XÐt (a - 1)(b - 1)(c - 1) = (ab - a - c + 1)(c - 1) = (abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1)
= (abc - 1) + (a + b + c) - (ab + bc + ca)
Tõ (1) vµ (3) suy ra biÓu thøc trªn b»ng 0, tån t¹i mét trong ba thõa sè a - 1, b - 1, c - 1 b»ng 0, do ®ã tån
t¹i mét trong ba sè a, b, c b»ng 1.
x
2x − 3y
+
Bµi 11. Cho 3y - x = 6. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc : A =
.
y−2
x−6
3 y − 6 2 x − ( x + 6)
+
= 3 +1 = 4 .
HD : A =
y−2
x−6
x2 y 2 z 2 x2 + y 2 + z 2
Bµi 12. T×m x, y, z biÕt :
.
+
+ =
2
3
4
5
HD:
2
x2 x2 y 2 y 2 z 2 z 2
x
y 2 z 2 x2 + y 2 + z 2
Tõ
suy ra : − ÷+ − ÷+ − ÷ = 0
+
+ =
5 4 5
2
3
4
5
2 5 3
3
2
1 2
⇒ x2 + y 2 +
z = 0 ⇒ x = y = z = 0.
10
15
20
1
1
2
2
Bµi 13. T×m x, y biÕt: x + y + 2 + 2 = 4 .
x
y
HD
c) C =
2
2
1
1
1
1
1
1
Ta cã x 2 + 2 ÷+ y 2 + 2 ÷ = 4 ⇒ x 2 + 2 − 2 ÷+ y 2 + 2 − 2 ÷ = 0 ⇒ x − ÷ + y − ÷ = 0
x
y
x
y
x
y
1
2
x = x
x = 1
⇒
⇒ 2
y = 1
y = 1
y
Cã bèn ®¸p sè nh sau:
25
x
y
Bµi 14. Cho biÕt :
HD
1
1
1
-1
-1
1
-1
-1
1 1 1
1 1 1
+ + = 2 (1), 2 + 2 + 2 = 2 (2). Chøng minh r»ng a + b + c = abc.
a b c
a b c
1 1 1
1
1
1
+ 2 + 2 + 2 + + ÷= 4
2
a b c
ab ac bc
1
1
1
a+b+c
+ + =1⇒
= 1 ⇒ a + b + c = abc
Do (2) nªn :
ab ac bc
abc
a b c
x y z
a 2 b2 c2
Bµi 15. Cho + + = 0 (1) , + + = 2 (2). TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: 2 + 2 + 2 .
x y z
a b c
x
y
z
HD
Tõ (1) suy ra : bcx + acy + abz = 0
(3)
2
2
2
ab ac bc
a
b
c
Tõ (2) suy ra : 2 + 2 + 2 + 2 + + ÷ = 4
x
y
z
xy xz yz
Tõ (1) suy ra :
Do ®ã :
a 2 b2 c 2
abz + acy + bcx
+ 2 + 2 = 4−2
=4
2
x
y
z
xyz
Bµi 16. Cho (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 vµ a, b, c kh¸c 0. CMR:
1 1 1
3
+ 3+ 3=
.
3
a b c
abc
HD
Tõ gi¶ thiÕt suy ra : ab + bc + ca = 0.
ab + bc + ca
1 1 1
=0⇒ + + =0
Do ®ã :
abc
a b c
Sau ®ã chøng minh r»ng nÕu x + y + z = 0 th× x3 + y3 + z3 = 3xyz.
a b c b c a
Bµi 17. Cho + + = + + . Chøng minh r»ng trong ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nhau.
b c a a b c
HD
Tõ gi¶ thiÕt suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b ⇒ a 2 (c − b) − a (c 2 − b 2 ) + bc(c − b) = 0
⇒ (c − b)(a 2 − ac − ab + bc) = 0 ⇒ (c − b)(a − b)(a − c) = 0
Tãm l¹i mét trong c¸c thõa sè c- b, a - b, a - c b»ng 0. Do ®ã trong ba sè a, b, c tån t¹i hai sè b»ng nhau.
Bµi 18. T×m c¸c gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó ph©n thøc sau cã gi¸ trÞ nguyªn :
5
2 x3 − 6 x 2 + x − 8
⇒ x ∈ { −2; 2; 4;8} )
a) A =
;
(§S : A = 2 x 2 + 1 −
x −3
x−3
3
x 4 − 2 x3 − 3x 2 + 8 x − 1
2
⇒ x ∈ { 0; 2} )
b) B =
; (§S : B = x − 4 +
2
( x − 1) 2
x − 2x +1
2
x 4 + 3x 3 + 2 x 2 + 6 x − 2
2
C
=
x
+
3
x
−
⇒ x ∈ { 0}
c) C =
.
(§S
:
2
x +2
x2 + 2
1
1
2
4
8
+
+
+
+
Bµi 19. Rót gän biÓu thøc : A =
2
4
1 − x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8
HD
Rót gän b»ng c¸ch quy ®ång tõng ®«i mét :
1
1
2
4
8
2
2
4
8
4
4
8
A=
+
+
+
+
=
+
+
+
=
+
+
2
4
8
2
2
4
8
4
4
1 − x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 − x 1 + x 1 + x 1 + x 1 − x 1 + x 1 + x8
8
8
16
+
=
=
8
8
1 − x 1 + x 1 − x16
Chó ý: Khi tr×nh bµy ph¶i viÕt thªm ®iÒu kiÖn ®Ó biÓu thøc cã nghÜa.
Bµi 20. Rót gän biÓu thøc :
26
3
5
2n + 1
B = (1.2) 2 + (2.3) 2 + ... +
2
[ n(n + 1)]
HD
Ta t¸ch tõng ph©n thøc thµnh hiÖu cña ph©n thøc råi dïng ph¬ng ph¸p khö liªn tiÕp, ta ®îc :
2k + 1
(k + 1) 2 − k 2 1
1
=
= 2−
2
2
2
2
k (k + 1)
k ( k + 1)
k
(k + 1) 2
1 1 1 1
1
1
1
n( n + 2)
= 1−
=
Do ®ã B = 2 − 2 + 2 − 2 + ... + 2 −
2
2
1 2 2 3
n (n + 1)
( n + 1)
( n + 1) 2
VII) PhÐp nh©n c¸c ph©n thøc ®¹i sè.
A C A.C
1) KiÕn thøc c¬ b¶n: × =
.
B D B.D
2) TÝnh chÊt c¬ b¶n:
A C C A
- Giao ho¸n: × = ×
B D D B
A C E A C E
- KÕt hîp: × ÷× = × × ÷
B D F B D F
A C E A C A E
- Ph©n phèi ®èi víi phÐp céng: + ÷ = × + × .
BD F B D B F
3) Bµi tËp c¬ b¶n:
Bµi 1. Lµm tÝnh nh©n ph©n thøc :
24 y 5 21x
10 x 3 121 y 5
× −
×
a)
;
b)
÷;
7 x 2 12 y 3
11 y 2 25 x
18 y 3 15 x 2
4 x + 8 2 x − 20
×
× − 3 ÷;
c) −
d)
;
3
4 ÷
(
x
−
10)
( x + 2) 2
25
x
9
y
2 x 2 − 20 x + 50 x 2 − 1
( x 2 − xy ) 2
x3 + y 3
×
×
e)
;
f)
;
3x + 3
4( x − 5)3
x 2 − y 2 x3 y − x 2 y 2 + xy 3
( x 2 + 1)( x 4 + 1)( x8 + 1)
x 2 − 6 x + 9 x 3 + 27
g)
.
h)
;
×
x16 − 1
x 2 − 3x + 9 3x − 9
1
x 2 − ax + bx − ab x 2 + 2ax + a 2
×( x 3 − 8 y 3 ) ;
i) 2
j) 2
;
×
2
5 x + 10 xy + 20 y
x + ax − bx − ab x 2 + bx + b 2
a 2 + ax + ba + bx a 2 − ax − bx + ab
x 2 + ax − 3a − 3 x x 2 + 4 x − ax − 4a
k) 2
;
l) 2
.
× 2
×
a − ax − ab + bx a + ax − bx − ab
x + 3a − ax − 3 x x 2 + 4 x + ax + 4a
Bµi 2. Rót gän biÓu thøc (chó ý thay ®æi dÊu ®Ó thÊy ®îc nh©n tö chung).
x + 3 8 − 12 x + 6 x 2 − x 3
6 x − 3 25 x 2 + 10 x + 1
a) 2
;
b)
;
×
×
x −4
9 x + 27
5x2 + x
1 − 8 x3
3x 2 − x 1 − x 4
×
c) 2
.
x − 1 (1 − 3 x)3
Bµi 3. Ph©n tÝch c¸c tö thøc vµ mÉu thøc (nÕu cÇn th× dïng ph¬ng ph¸p thªm bít cïng mét h¹ng tö hoÆc
t¸ch mét sè thµnh hai sè h¹ng) råi rót gän biÓu thøc :
x +1
4− x
x − 2 x2 − 2x − 3
× 2
a)
;
b) 2
;
× 2
x − 2x − 8 x + x
x + 1 x − 5x + 6
x+2
x 2 − 36
c)
.
× 2
4 x + 24 x + x − 2
Bµi 4. ¸p dông tÝnh chÊt ph©n phèi cña phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng ®Ó rót gän biÓu thøc:
x3
2 x + 1954
x3
21 − x
a)
;
×
+
×
x + 1975
x +1
x + 1975 x + 1
27
19 x + 8 5 x − 9 19 x + 8 4 x − 2
×
−
×
.
x − 7 x + 1945 x − 7 x + 1945
x 2 + y 2 ( x − y)2
y 2 ( x − y)2
×
−
×
c)
;
x+ y
x2
x+ y
x2
Bµi 5. Rót gän biÓu thøc :
x 4 + 15 x + 7
x
4x3 + 4
x7 + 3x 2 + 2 3x
x2 + x + 1
a)
;
b)
.
×
×
×
×
2 x3 + 2 14 x 2 + 1 x 4 + 15 x + 7
x3 − 1
x + 1 x7 + 3x 2 + 2
x
y 2
2
+
c)
÷( x − y ) ;
x+ y x− y
Bµi 6. Rót gän råi tÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc :
x2 y 2
x+ y
1
+
− ÷ 2
÷ víi x = 15, y = 5.
2
x x + xy + y
x− y
y
Bµi 7. Chøng minh r»ng :
x 32 + x16 + 1
2
4
2
8
4
16
8
.
x − x +1 x − x +1 x − x +1 x − x +1 = 2
x + x +1
b)
(
)(
)(
)(
)
28
[...]... hằng số a và b sao cho: a) x4 + ax2 + b chia hết cho x2 - x + 1; b) ax3 + bx2 + 5x - 50 chia hết cho x2 + 3x - 10; c) ax4 + bx3 + 1 chia hết cho đa thức(x - 1)2; d) x4 + 4 chia hết cho x2 + ax + b Bài 8 Tìm các hằng số a và b sao cho x3 + ax + b chia cho x + 1 thì d 7, chia cho x - 3 thì d - 5 Chuyên đề phân thức đại số I) Phân thức đại số: 1) Kiến thức cơ bản: A a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay... x + 3a 1 1 1 1 + + + + b) B = ; 2.5 5 .8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 3 3 3 3 + + + + HD: Thực hiện nhân hai vế với 3 ta đợc 3.B = 2.5 5 .8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 3 1 1 = Từ đó ta có (3n + 2)(3n + 5) 3n + 2 3n + 5 3 1 1 = Xét từng số hạng cụ thể : 2.5 2 5 3 1 1 = 5 .8 5 8 3 1 1 = (3n + 2)(3n + 5) 3n + 2 3n + 5 3 3 3 3 1 1 3n + 5 2 3(n + 1) + + + + = = = 2.5 5 .8 8.11 (3n + 2)(3n + 5) 2 3n + 5 2(3n + 5)... a 2 ab) (Đề thi học sinh giỏi lớp 8 toàn quốc 1 980 ) Bài 11 Rút gọn biểu thức : 1 1 2 4 8 + + + + A= 2 4 1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8 Bài 12 Tìm các số A, B, C để có : x2 x + 2 A B C = + + 3 3 2 ( x 1) ( x a ) ( x 1) x 1 Bài 13 Chứng minh hằng đẳng thức : a 2 + 3ab 2a 2 5ab 3b 2 a 2 + an + ab + bn + = a 2 9b 2 6ab a 2 9b 2 3bn a 2 an + 3ab VI) Phép trừ các phân thức đại số 1) Phân thức... 6 x 2 + x 8 x { 2; 2; 4 ;8} ) a) A = ; (ĐS : A = 2 x 2 + 1 x 3 x3 3 x 4 2 x3 3x 2 + 8 x 1 2 x { 0; 2} ) b) B = ; (ĐS : B = x 4 + 2 ( x 1) 2 x 2x +1 2 x 4 + 3x 3 + 2 x 2 + 6 x 2 2 C = x + 3 x x { 0} c) C = (ĐS : 2 x +2 x2 + 2 1 1 2 4 8 + + + + Bài 19 Rút gọn biểu thức : A = 2 4 1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8 HD Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một : 1 1 2 4 8 2 2 4 8 4 4 8 A= + + +... bậc nhỏ hơn 3x2 - 2x + 5 nên không thể thực hiện tiếp phép chia đợc nữa Do đó phép chia không là phép chia hết và đa thức d là 2x - 1 Bài 4 Không thực hiện phép chia, xét xem phép chia sau đây có là phép chia hết không và tìm đa thức d trong trờng hợp không chia hết 1 a) (8x2 - 6x + 5) : (x - ); b) 6x2 - 3x + 3) : (2x - 1); 2 c) (x4 + x3 + x2 + x - 4) : (x - 1); d) (18x5 + 9x4 - 3x3 + 6x2 + 3x - 1)... 4x + 1; f) 64x4 + y4; 4 g) x + 324; h) x8 + x + 1; 7 5 8 i) x + x + 1; j) x + x4 + 1; k) a6 + a4 + a2b2 + b4 - b6; l) x3 + 3xy + y3 - 1 Bài 8 Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phơng pháp hệ số bất định a) 4x4 + 4x3 + 5x2 + 2x + 1; b) 3x2 + 22xy + 11x + 37y + 7y2 + 10 c) x4 - 7x3 + 14x2 - 7x + 1; c) x4 - 8x + 63 Bài 9 Phân tích đa thức thành nhân tử: x8 + 98x2 + 1 Bài 10 Phân tích đa thức thành nhân... bằng số và chữ: +) Nhân tử bằng số là BCNN của các số ở mẫu +) Nhân tử bằng chữ là luỹ thừa với số mũ lớn nhất 2) Bài tập áp dụng Các bài tập cơ bản và nâng cao Bài 1 Quy đồng mẫu thức các phân thức sau: 25 14 11 3 , , a) b) ; 2 5 ; 4 14 x y 21xy 102 x y 34 xy 3 3x + 1 y 2 1 x +1 x 1 , 2 3; , 2 4, c) d) ; 4 3 2 12 xy 9 x y 6 x y 9 x y 4 xy 3 3 + 2x 5 2 4x 4 x3 , 2 2, , ; e) f) 4 5 ; 10 x y 8 x y... gọn biểu thức : A = 2 4 1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x8 HD Rút gọn bằng cách quy đồng từng đôi một : 1 1 2 4 8 2 2 4 8 4 4 8 A= + + + + = + + + = + + 2 4 8 2 2 4 8 4 4 1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 + x 1 x 1 + x 1 + x 1 + x 1 x 1 + x 1 + x8 8 8 16 + = = 8 8 1 x 1 + x 1 x16 Chú ý: Khi trình bày phải viết thêm điều kiện để biểu thức có nghĩa Bài 20 Rút gọn biểu thức : 26 3 5 2n + 1 B = (1.2) 2 + (2.3) 2... 17 Cho + + = + + Chứng minh rằng trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau b c a a b c HD Từ giả thiết suy ra : a2c + ab2 + bc2 = b2c + ac2 +a2b a 2 (c b) a (c 2 b 2 ) + bc(c b) = 0 (c b)(a 2 ac ab + bc) = 0 (c b)(a b)(a c) = 0 Tóm lại một trong các thừa số c- b, a - b, a - c bằng 0 Do đó trong ba số a, b, c tồn tại hai số bằng nhau Bài 18 Tìm các giá trị nguyên của x để phân thức... (21.23 + 2)(23.25 + 2) 23.25 + 2 577 1 Bài 13 Cho phân số A = (mẫu có 99 chữ số 0) Tính giá trị của A với 200 chữ số thập phân 1, 00 01 HD 10100 Ta có A = 100 Nhân tử và mẫu với 10100 - 1, ta đợc: 10 + 1 a) 19 100 } 100 } 10 (10 1) 99 9 00 0 A= = = 0,99 9 { 00 0 { 10200 1 99 9 100 100 { 100 100 200 (Theo quy tắc đổi số thập phân tuần hoàn đơn ra phân số) (a 2 + b 2 + c 2 )(a + b + c ) 2 + (ab + bc + ... + số phơng b) Cho dãy số có số hạng đầu 16, số hạng sau số tạo thành cách viết chèn số 15 vào số hạng liền trớc : 16, 1156, 111556, Chứng minh số hạng dãy số phơng Bài 32 Chứng minh ab + số. .. + ax + b Bài Tìm số a b cho x3 + ax + b chia cho x + d 7, chia cho x - d - Chuyên đề phân thức đại số I) Phân thức đại số: 1) Kiến thức bản: A a) Định nghĩa: Một phân thức đại số (hay nói gọn... = 11 2n n 2n Bài 35 Các số sau bình phơng số ? { 00 { 25 ; { { ; a) A = 99 b) B = 99 980 0 01 n n { { ; c) C = 44 488 89 n n1 n { { d) D = 11 122 25 n n+1 n n chuyên đề Phân tích đa thức thành
Ngày đăng: 01/10/2015, 16:35
Xem thêm: ôn tập đại số 8 theo chuyên đề, ôn tập đại số 8 theo chuyên đề