TRUY CHÖÙNG HÖÕU HAÏN Ñònh lyù P = (Pi)i ∈ N, vôùi Pi laø caùc meänh ñeà luaän lyù. Neáu  P1 ñuùng, vaø  Pn ñuùng → Pn+1 ñuùng thì P ñuùng. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TRUY CHÖÙNG HÖÕU HAÏN Chöùng minh ñònh lyù. Chuyeån thaønh daïng töông ñöông Ñaët S = { i | i ∈ N vaø Pi sai }. Ñeå chöùng minh P ñuùng trôû thaønh chöùng minh S = ∅. Chöùng minh baèng phaûn chöùng Giaû söû S ≠ ∅ thì sinh ra ñieàu maâu thuaãn. Toùm laïi, ñi chöùng minh heä thoáng sinh ra maâu thuaãn :  S ≠ ∅.  P1 ñuùng.  Pn ñuùng → Pn+1 ñuùng. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TRUY CHÖÙNG HÖÕU HAÏN S = { i | i ∈ N vaø Pi sai }. → min(S) = η, → (η ∈ S) vì (S ≠ ∅ vaø S ⊆ N) → (Pη sai). → (P1 ñuùng) → (1 ∉ S). → (1 < η) → [(η−1) ∉ S] → 1 ≤ (η−1) < η. → (Pη−1 ñuùng). → (Pη−1 ñuùng) → (Pη ñuùng). Maâu thuaãn vì cuøng coù (Pη sai) vaø (Pη ñuùng).  Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM HÖÕU HAÏN − VOÂ HAÏN Höõu haïn finite inductive non-reflexive Voâ haïn infinite non-inductive reflexive Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM HÖÕU HAÏN − VOÂ HAÏN F höõu haïn neáu • (∃n) : F 1-1treân vôùi In = {1, 2, … , n}, hoaëc • F = ∅. Taäp hôïp caùc ngoùn tay cuûa 2 baøn tay ↔ I10. Taäp hôïp caùc kyù töï cuûa baûng alphabet ↔ I26. Taäp hôïp caùc gia suùc coù trong nhaø ↔ I100. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM HÖÕU HAÏN − VOÂ HAÏN Ñònh nghóa hình thöùc : F höõu haïn ↔ (∃n)((F ↔ In) ∨ (F = ∅)).  Ñònh nghóa maëc nhieân qui öôùc taäp ∅ vaø In laø höõu haïn. Laáy phuû ñònh 2 veá. F khoâng höõu haïn ↔ (∀n)((F ↔ In) ∧ (F ≠ ∅)).  Höõu haïn vaø voâ haïn laø 2 khaùi nieäm "cuøng toàn taïi". Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ TREÂN TAÄP VH Meänh ñeà P ⊆ In → P höõu haïn. Chöùng minh : P coù phaàn töû cöïc tieåu p1. P − {p1} coù phaàn töû cöïc tieåu p2. P − {p1, p2} coù phaàn töû cöïc tieåu p3. Quaù trình naøy döøng ôû böôùc k (≤ n). P = {p1, p2, p3, … , pk}. Vaäy P ↔ Ik. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ TREÂN TAÄP VH Meänh ñeà P ⊆ höõu haïn → Meänh ñeà Q ⊇ voâ haïn → P höõu haïn. Q voâ haïn. Phaùt bieåu hình thöùc (∀P, Q)[(P ⊆ Q) ∧ (Q höõu haïn → P höõu haïn)]. Do (a → b) = (¬b → ¬a) (∀P, Q)[(P ⊆ Q) ∧ (P voâ haïn → Q voâ haïn)]. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ TREÂN TAÄP VH Ñònh lyù Neáu X höõu haïn thì X khoâng 1-1treân vôùi moïi taäp con rieâng cuûa X. Phaùt bieåu hình thöùc X höõu haïn → (∀S ⊂ X) (X ↔ S). Daïng töông ñöông [(∃S ⊂ X) (X ↔ S)] → X voâ haïn. Neáu X coù taäp con rieâng 1-1 treân vôùi X thì X voâ haïn. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ TREÂN TAÄP VH Ñònh lyù Neáu X höõu haïn thì X khoâng 1-1treân vôùi moïi taäp con rieâng cuûa X. Daïng töông ñöông X höõu haïn → (∀S ⊆ X) (X ↔ S). Chöùng minh : (phaûn chöùng) X höõu haïn vaø [(∃S ⊂ X) (X ↔ S)]. → X ↔ In, vì X höõu haïn, → S ↔ Im vôùi m < n, vì S höõu haïn, → In ↔ I m. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ TREÂN TAÄP VH Ñònh lyù In khoâng 1-1treân vôùi moïi taäp con rieâng S cuûa noù . Chöùng minh (truy chöùng) Pn = "In khoâng 1-1treân vôùi moïi taäp con rieâng", ∀n∈N. P1 ñuùng vì {1} ↔ ∅. Chöùng minh (Pn ñuùng) → (Pn+1 ñuùng). Phaûn chöùng, giaû söû S ⊂ In+1 vaø coù f : In+1 ↔ S. → S − {f(n+1)} ↔ In, vôùi S − {f(n+1) ⊂ In. → maâu thuaãn. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM s TOAÙN TÖÛ TREÂN TAÄP VH Meänh ñeà Taäp X 1-1treân vôùi taäp höõu haïn thì höõu haïn. Taäp X 1-1treân vôùi taäp voâ haïn thì voâ haïn. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ TREÂN TAÄP VH Boå ñeà N ↔ Ne ↔ No Chöùng minh f : N → Ne n  2n g : N → No n  2n−1 aùnh xaï f vaø g laø 1-1treân. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ TREÂN TAÄP VH Heä quaû Taäp N, Z, Q, R, C laø voâ haïn. Chöùng minh Ne N Z Q R C Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM s TOAÙN TÖÛ ∪ TREÂN TAÄP VH Höõu haïn ∪ Höõu haïn = Höõu haïn {a, c} ∪ {1, 2, 3, 4} = {a, c, 1, 2, 3, 4} Voâ haïn ∪ Höõu haïn = Voâ haïn {a, b, c} ∪ {1, 2, 3, … } = {a, c, d, 1, 2, 3, … } Voâ haïn ∪ Voâ haïn = Voâ haïn {1, 3, 5, … } ∪ {2, 4, 6, … } = {1, 2, 3, … }  Caùi höõu haïn “bieán maát” trong caùi voâ haïn. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ ∪ TREÂN TAÄP VH Chöùng minh Cho A ↔ Im, B ↔ In, C vaø D voâ haïn. Höõu haïn ∪ Höõu haïn = Höõu haïn A ∩ B = ∅ → A ∪ B ↔ Im+n. A ∩ B ≠ ∅ → A ∪ B = A ∪ (B−A) Voâ haïn ∪ Höõu haïn = Voâ haïn C ∪ A chöùa taäp con C voâ haïn. Voâ haïn ∪ Voâ haïn = Voâ haïn C ∪ D chöùa taäp con C voâ haïn. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ∪ MÔÛ ROÄNG TREÂN TAÄP VH Hoäi môû roäng ∪Ai treân taäp chæ soá I : I = höõu haïn + Ai = höõu haïn → ∪Ai = höõu haïn. I = {1, 2, 3}, Ai = {x| x ≤ i} I = höõu haïn + 1 Ai = voâ haïn → ∪Ai = voâ haïn. I = {1, 2, 3}, Ai = {x| x > i} I = voâ haïn + 1 Ai = voâ haïn → ∪Ai = voâ haïn. I = N, A1 = N, Ai ={x| x ≤ i} vôùi i>1. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ∪ MÔÛ ROÄNG TREÂN TAÄP VH Hoäi môû roäng ∪Ai treân taäp chæ soá I : I = voâ haïn, Ai = höõu haïn → ∪Ai = khoâng xaùc ñònh. Pi = {x | x ∈ N, 1 ≤ x < i }, ∀i ∈ N, ∪Ai = voâ haïn Qi = {1}, ∀i ∈ N. ∪Ai = höõu haïn ∅ Tröôøng hôïp ñaëc bieät : ∪ Ri = ∅ Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ ∩ TREÂN TAÄP VH Höõu haïn ∩ Höõu haïn = Höõu haïn {a, c, d} ∩ {a, 1, c, 2, d, 3} = {a, c, d} Voâ haïn ∩ Höõu haïn = Höõu haïn {1, 2, 3} ∩ N = {1, 2, 3} Voâ haïn ∩ Voâ haïn = khoâng xaùc ñònh {1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, … } ∩ {2, 4, 6, … } = {2, 4} {1, 3, 5, … } ∩ N = {1, 3, 5, … } Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ∩ MÔÛ ROÄNG TREÂN TAÄP VH Giao môû roäng ∩Ai treân taäp chæ soá I : I = höõu haïn, 1 Ai = höõu haïn → ∩Ai = höõu haïn. I = höõu haïn, Ai = voâ haïn → ∩Ai = khoâng xaùc ñònh. I = voâ haïn, 1 Ai = höõu haïn → ∩Ai = höõu haïn. I = voâ haïn, Ai = voâ haïn → ∩Ai = khoâng xaùc ñònh. Pi = {1} ∪ {x | x ∈ N, i < x},∀i ∈ N, Qi = N, ∀i ∈ N. Tröôøng hôïp ñaëc bieät : ∩ ∅ Ri = ∅ Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ − TREÂN TAÄP VH Höõu haïn − Höõu haïn = Höõu haïn {a, b, c, d, e} − {a, c, d, 1, 2, 3, 4} = {b, e} Höõu haïn − Voâ haïn = Höõu haïn {1, 2, 3} − {2, 4, 6, … } = {1, 3} Voâ haïn − Höõu haïn = Voâ haïn {a, b, c, 1, 2, 3, … } − {a, b, c} = N Voâ haïn − Voâ haïn = khoâng xaùc ñònh N − {2, 4, 6, … } = {1, 3, 5, … } {a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5, … } − N = {a, b, c} Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ Π TREÂN TAÄP VH Tích môû roäng ΠAi treân taäp chæ soá I : I = höõu haïn, Ai = höõu haïn → ΠAi = höõu haïn. I = höõu haïn, 1 Ai = voâ haïn → ΠAi = voâ haïn. I = {1, 2}, A1 = {a}, A2 = N, A1×A2 = voâ haïn. I = voâ haïn, Ai = voâ haïn → ΠAi = voâ haïn. I = voâ haïn, Ai = höõu haïn → ΠAi = khoâng xaùc ñònh. Pi = {1, 2} → ΠP N i = voâ haïn. Qi = {1} → ΠQ N i = höõu haïn. Tröôøng hôïp ñaëc bieät : ΠR ∅ i = {∅}. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOAÙN TÖÛ Π TREÂN TAÄP VH Cho Pi = {1, 2}, i ∈ N. ΠPi = P1 × P2 × P3 × P4 × … × Pn × … Caùc phaàn töû : (1, 1, 1, 1, … , 1, … ) ∈ ΠPi, (2, 1, 1, 1, … , 1, … ) ∈ ΠPi, (1, 2, 1, 1, … , 1, … ) ∈ ΠPi, (1, 1, 2, 1, … , 1, … ) ∈ ΠPi, … (1, 1, 1, 1, … , 2, … ) ∈ ΠPi, … Vaäy ΠPi voâ haïn. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM VOÂ HAÏN DEDEKIND D voâ haïn ↔ (∃H) (D ↔ H) vôùi H ⊂ D. → → ∅ höõu haïn. In höõu haïn. → → → (S ⊆ X höõu haïn → (X ⊇ S voâ haïn → N, Z, Q, R, C laø voâ haïn. S höõu haïn). X voâhaïn). Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM CHÖÙNG MINH HH-VH Chöùng minh taäp X höõu haïn : X 1-1treân vôùi moät taäp höõu haïn. X laø taäp con cuûa moät taäp höõu haïn. Chöùng minh taäp Y voâ haïn : Y 1-1treân vôùi moät taäp voâ haïn. Y laø chöùa moät taäp con voâ haïn. Y 1-1treân vôùi moät taäp con rieâng cuûa noù. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM BAØI TAÄP HH-VH Taäp Σ = {a, b, c, d, … , z}. Taäp Σ* = { x1x2 ... xn | (∀n∈N)(∀i∈[1, n]) (xi ∈ Σ) }. Thí duï : aaa, abcbbd, nguyen ∈ Σ*. Chöùng minh Σ* laø voâ haïn. Laáy P = {a, aa, aaa, aaaa, … } ⊆ Σ*. → P ↔ N. → P voâ haïn. * Söû duïng 2 caùch laø chöùa taäp con voâ haïn vaø 1-1treân. Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM LYÙ THUYEÁT TAÄP HÔÏP HEÁT CHÖÔNG Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM [...]... Vậy ΠPi vô hạn Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM VÔ HẠN DEDEKIND D vô hạn ↔ (∃H) (D ↔ H) với H ⊂ D → → ∅ hữu hạn In hữu hạn → → → (S ⊆ X hữu hạn → (X ⊇ S vô hạn → N, Z, Q, R, C là vô hạn S hữu hạn) X v hạn) Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM CHỨNG MINH HH-VH Chứng minh tập X hữu hạn : X 1-1trên với một tập hữu hạn X là tập con của một tập hữu hạn Chứng minh tập Y vô hạn : Y 1-1trên... trên tập chỉ số I : I = hữu hạn, 1 Ai = hữu hạn → ∩Ai = hữu hạn I = hữu hạn, Ai = vô hạn → ∩Ai = không xác đònh I = vô hạn, 1 Ai = hữu hạn → ∩Ai = hữu hạn I = vô hạn, Ai = vô hạn → ∩Ai = không xác đònh Pi = {1} ∪ {x | x ∈ N, i < x},∀i ∈ N, Qi = N, ∀i ∈ N Trường hợp đặc biệt : ∩ ∅ Ri = ∅ Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOÁN TỬ − TRÊN TẬP VH Hữu hạn − Hữu hạn = Hữu hạn {a, b, c, d, e} −... 3, … } Vô hạn ∪ Vô hạn = Vô hạn {1, 3, 5, … } ∪ {2, 4, 6, … } = {1, 2, 3, … }  Cái hữu hạn “biến mất” trong cái vô hạn Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOÁN TỬ ∪ TRÊN TẬP VH Chứng minh Cho A ↔ Im, B ↔ In, C và D vô hạn Hữu hạn ∪ Hữu hạn = Hữu hạn A ∩ B = ∅ → A ∪ B ↔ Im+n A ∩ B ≠ ∅ → A ∪ B = A ∪ (B−A) Vô hạn ∪ Hữu hạn = Vô hạn C ∪ A chứa tập con C vô hạn Vô hạn ∪ Vô hạn = Vô hạn C ∪ D... e} Hữu hạn − Vô hạn = Hữu hạn {1, 2, 3} − {2, 4, 6, … } = {1, 3} Vô hạn − Hữu hạn = Vô hạn {a, b, c, 1, 2, 3, … } − {a, b, c} = N Vô hạn − Vô hạn = không xác đònh N − {2, 4, 6, … } = {1, 3, 5, … } {a, b, c, 1, 2, 3, 4, 5, … } − N = {a, b, c} Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOÁN TỬ Π TRÊN TẬP VH Tích mở rộng ΠAi trên tập chỉ số I : I = hữu hạn, Ai = hữu hạn → ΠAi = hữu hạn I = hữu hạn, ... tập chỉ số I : I = vô hạn, Ai = hữu hạn → ∪Ai = không xác đònh Pi = {x | x ∈ N, 1 ≤ x < i }, ∀i ∈ N, ∪Ai = vô hạn Qi = {1}, ∀i ∈ N ∪Ai = hữu hạn ∅ Trường hợp đặc biệt : ∪ Ri = ∅ Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOÁN TỬ ∩ TRÊN TẬP VH Hữu hạn ∩ Hữu hạn = Hữu hạn {a, c, d} ∩ {a, 1, c, 2, d, 3} = {a, c, d} Vô hạn ∩ Hữu hạn = Hữu hạn {1, 2, 3} ∩ N = {1, 2, 3} Vô hạn ∩ Vô hạn = không xác đònh... hạn Vô hạn ∪ Vô hạn = Vô hạn C ∪ D chứa tập con C vô hạn Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM ∪ MỞ RỘNG TRÊN TẬP VH Hội mở rộng ∪Ai trên tập chỉ số I : I = hữu hạn + Ai = hữu hạn → ∪Ai = hữu hạn I = {1, 2, 3}, Ai = {x| x ≤ i} I = hữu hạn + 1 Ai = vô hạn → ∪Ai = vô hạn I = {1, 2, 3}, Ai = {x| x > i} I = vô hạn + 1 Ai = vô hạn → ∪Ai = vô hạn I = N, A1 = N, Ai ={x| x ≤ i} với i>1 Nguyễn Quang... hạn, 1 Ai = vô hạn → ΠAi = vô hạn I = {1, 2}, A1 = {a}, A2 = N, A1×A2 = vô hạn I = vô hạn, Ai = vô hạn → ΠAi = vô hạn I = vô hạn, Ai = hữu hạn → ΠAi = không xác đònh Pi = {1, 2} → ΠP N i = vô hạn Qi = {1} → ΠQ N i = hữu hạn Trường hợp đặc biệt : ΠR ∅ i = {∅} Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOÁN TỬ Π TRÊN TẬP VH Cho Pi = {1, 2}, i ∈ N ΠPi = P1 × P2 × P3 × P4 × … × Pn × … Các phần tử : (1,... Bổ đề N ↔ Ne ↔ No Chứng minh f : N → Ne n  2n g : N → No n  2n−1 ánh xạ f và g là 1-1trên Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH Hệ quả Tập N, Z, Q, R, C là vô hạn Chứng minh Ne N Z Q R C Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM s TOÁN TỬ ∪ TRÊN TẬP VH Hữu hạn ∪ Hữu hạn = Hữu hạn {a, c} ∪ {1, 2, 3, 4} = {a, c, 1, 2, 3, 4} Vô hạn ∪ Hữu hạn = Vô hạn {a, b, c} ∪ {1,... của nó Chứng minh (truy chứng) Pn = "In không 1-1trên với mọi tập con riêng", ∀n∈N P1 đúng vì {1} ↔ ∅ Chứng minh (Pn đúng) → (Pn+1 đúng) Phản chứng, giả sử S ⊂ In+1 và có f : In+1 ↔ S → S − {f(n+1)} ↔ In, với S − {f(n+1) ⊂ In → mâu thuẫn Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM s TOÁN TỬ TRÊN TẬP VH Mệnh đề Tập X 1-1trên với tập hữu hạn thì hữu hạn Tập X 1-1trên với tập vô hạn thì vô hạn Nguyễn... 1-1trên với một tập vô hạn Y là chứa một tập con vô hạn Y 1-1trên với một tập con riêng của nó Nguyễn Quang Châu- Khoa CNTT- Trường CN Tp.HCM BÀI TẬP HH-VH Tập Σ = {a, b, c, d, … , z} Tập Σ* = { x1x2 xn | (∀n∈N)(∀i∈[1, n]) (xi ∈ Σ) } Thí dụ : aaa, abcbbd, nguyen ∈ Σ* Chứng minh Σ* là vô hạn Lấy P = {a, aa, aaa, aaaa, … } ⊆ Σ* → P ↔ N → P vô hạn * Sử dụng 2 cách là chứa tập con vô hạn và 1-1trên Nguyễn ... I = hữu hạn, Ai = hữu hạn → ΠAi = hữu hạn I = hữu hạn, Ai = vô hạn → ΠAi = vô hạn I = {1, 2}, A1 = {a}, A2 = N, A1×A2 = vô hạn I = vô hạn, Ai = vô hạn → ΠAi = vô hạn I = vô hạn, Ai = hữu hạn. .. rộng ∩Ai tập số I : I = hữu hạn, Ai = hữu hạn → ∩Ai = hữu hạn I = hữu hạn, Ai = vô hạn → ∩Ai = không xác đònh I = vô hạn, Ai = hữu hạn → ∩Ai = hữu hạn I = vô hạn, Ai = vô hạn → ∩Ai = không xác... TỬ − TRÊN TẬP VH Hữu hạn − Hữu hạn = Hữu hạn {a, b, c, d, e} − {a, c, d, 1, 2, 3, 4} = {b, e} Hữu hạn − Vô hạn = Hữu hạn {1, 2, 3} − {2, 4, 6, … } = {1, 3} Vô hạn − Hữu hạn = Vô hạn {a, b, c, 1,