Chuyên đề: tứ giác nội tiếp I. Lý thuyết: 1. Chứng minh điểm thuộc đờng tròn. (Tứ giác ABCD nội tiếp) Cách 1. Theo định nghĩa: CM có điểm cách điểm (Có O: OA = OB = OC = OD) Cách 2. Theo tính chất: àA + C = 1800 (Hoặc Góc A góc tứ giác C) Cách 3. Theo quỹ tích cung chứa góc: ãABD = ãACD . Cách 4: AB cắt CD I thoả mãn: IA.IB = IC.ID Chú ý: Cần ý trờng hợp: àA = C = 900 ãABD = ãACD = 900 Các loại tứ giác học lớp 8, từ giác nội tiếp đợc đờng tròn ? 2. Chứng minh nhiều điểm thuộc đờng tròn: Cách 1. CM có điểm cách điểm cho (Có O: OA = OB = OC = OD = ) Cách 2. Ghép điểm điểm đó, chứng minh tứ giác nội tiếp. Tiếp ghép điểm khác (trong có điểm tr ớc), chứng minh tứ giác nội tiếp lại tiếp tục làm nh trên. Chú ý: a. Qua điểm không thẳng hàng xác định đờng tròn. b. Có đờng tròn nhận đoạn thẳng cho trớc làm đờng kính. II. Bài tập: Bài 1. Cho tứ giác ABCD có AC BD. Gọi M, N, P, Q thứ tự trung điểm AB, BC, CD DA. Chứng minh rằng: a. Tứ giác MNPQ nội tiếp đợc đờng tròn, xác định tâm O đờng tròn đó. b. Biết AC = 19cm, BD = 98cm. Tính diện tích đờng tròn (O). Bài 2. Cho tứ giác lồi ABCD, gọi M, N, P, Q giao điểm đ ờng phân giác tứ giác. Chứng minh điểm: M, N, P, Q thuộc đ ờng tròn. Bài 3. Cho hai đờng tròn (O) (O) cắt điểm A, B. Các đờng thẳng AO, AO cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai C, D cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai E, F. Chứng minh rằng: a. Ba điểm B, C, D thẳng hàng. b. Tứ giác CDEF nội tiếp đợc đờng tròn. c. A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông A. Kẻ đờng cao AH vẽ đờng tròn đờng kính AH, đờng tròn cắt AB E, cắt AC F. Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp. Bài 5. Cho hình vuông ABCD. Lấy AB làm cạnh huyền dựng tam giác vuông AEB phía hình vuông. Chứng minh phân giác góc E chia hình vuông thành hai phần có diện tích nhau. Bài 6. Cho tam giác MNP vuông M (MN < MP) nội tiếp đờng tròn tâm (O, R). Gọi K trung điểm MP MI đờng cao tam giác MNP. a. Chứng minh tứ giác MIOK nội tiếp đợc đờng tròn (O). Xác định tâm O đờng tròn đó. b. Xác định vị trí tơng đối hai đờng tròn (O) (O). c. Đờng tròn (O) cắt MN E. Chứng minh điểm E, O, K thẳng hàng. Bài 7. Từ điểm A bên đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến ADE tới đờng tròn. Gọi I trung điểm DE. a. Chứng minh điểm A, B, C, D, E thuộc đờng tròn. b. Chứng minh IA tia phân giác góc BIC. Bài 8. Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đờng tròn (O). Hai điểm H, K cạnh BC, AH, AK thứ tự cắt đờng tròn P, Q. Chứng minh rằng: a. Tứ giác KHPQ nội tiếp đợc đờng tròn. b. AH.AP = AK.AQ. Bài 9. Từ điểm A bên đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn. Gọi I điểm nằm dây BC, đờng thẳng vuông góc với OI I cắt AB, AC thứ tự M, N. Chứng minh I trung điểm đoạn thẳng MN. Bài 10. Cho tam giác nhọn ABC, đờng tròn đờng kính BC cắt AB, AC thứ tự D, E. AE cắt BD H. Chứng minh rằng: a. Tứ giác ADHE nội tiếp đợc đờng tròn (O). b. AI BC OO DE. Bài 11. a. Cho hai đoạn thẳng AB CD cắt I. Biết IA.IB = IC.ID, chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đờng tròn. b. Cho hai đoạn thẳng AB CD kéo dài cắt I (A nằm I,B; C nằm I, D). Biết IA.IB = IC.ID, chứng minh điểm A, B, C, D thuộc đờng tròn. Bài 12. Cho hai đờng tròn (O) (O) cắt A, B. Một đờng thẳng qua A cắt hai đờng tròn P, Q. Các tiếp tuyến hai đờng tròn P, Q cắt T. CMR: a. Góc PBQ không đổi đờng thẳng MN quay quanh A.b. Tứ giác TPBQ nội tiếp đợc đờng tròn. . hàng. Bài 7. Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn tâm O kẻ hai tiếp tuyến AB, AC và một cát tuyến ADE tới đờng tròn. Gọi I là trung điểm của DE. a. Chứng minh rằng 5 điểm A, B, C, D, E cùng thuộc một. Chứng minh rằng: a. Ba điểm B, C, D thẳng hàng. b. Tứ giác CDEF nội tiếp đợc một đờng tròn. c. A là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE. Bài 4. Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ đờng cao AH và. đợc một đờng tròn. b. AH.AP = AK.AQ. Bài 9. Từ một điểm A ở bên ngoài đờng tròn (O) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC tới đờng tròn. Gọi I là một điểm nằm trên dây BC, đờng thẳng vuông góc với OI tại I