Ôn Tập Tìm giao tuyến mặt phẳng Phương pháp: *Tìm hai điểm chung hai mặt phẳng α β *Tìm đường thẳng a ⊂ α đường thẳng b ⊂ β cho a  b = I I điểm chung α β 1.Cho điểm A,B,C,D không nằm mặt phẳng a)Chứng minh hai đường thẳng AB CD chéo b)Trên đoạn AB AD lấy điểm M N cho đường thẳng MN cắt đường thẳng BD I.Hãy xét xem điểm I thuộc mặt phẳng ?Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (CMN) (BCD) 2.Trong mặt phẳng α cho hai đường thẳng a b cắt O. Gọi c đường thẳng cắt α điểm I khác O a)Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (O,c) α b)Gọi M điểm c khác I.Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (M,a) (M,b). Chứng minh giao tuyến luôn nằm mặt phẳng cố định M di động c 3.Cho hai mặt phẳng α β cắt theo giao tuyến d.Ta lấy hai điểmA ,B thuộc mặt phẳng α không thuộc d điểm O nằm α β Các đường thẳng OA, OB cắt β A’ B’.Giả sử đường thẳng AB cắt d C a)Chứng minh ba điểm O,A,B không thẳng hàng b)Chứng minh ba điểm A’,B’,C thẳng hàng từ suy ba đường thẳng AB,A’B’ d đồng qui 4.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB,AC,BD lấy điểm M,N,P cho MN không //BC, MP không //AD. Tìm giao tuyến sau: a) (MNP)  (ABC) b) (MNP)  (ABD)  c) (MNP) (BCD) d) (MNP)  (ACD) 5.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB,AC lấy điểm M,N cho MN không //BC,trong tam giác BCD lấy điểm I. Tìm giao tuyến sau: a) (MNI)  (ABC) b) (MNI)  (BCD) c) (MNI)  (ABD) d) (MNI)  (ACD) 6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang.Tìm giao tuyến sau: a) (SAC)  (SBD) b) (SAB)  (SCD) c) (SAD)  (SBC) 7.Cho tứ diện ABCD.Trong tam giác ABC BCD lấy điểm M,N.Tìm giao tuyến sau: a) (BMN)  (ACD) b) (CMN)  (ABD) c) (DMN)  (ABC) 8.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm I ,trong tam giác BCD ACD lấy điểm J,K.Tìm giao tuyến sau: a) (ABJ)  (ACD) b) (IJK)  (ACD) c) (IJK)  (ABD) d) (IJK)  (ABC) 9.Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J trung điểm AD BC a)Chứng minh IB JA đường thẳng chéo b)Tìm giao tuyến mặt phẳng (IBC)  (JAD) c)Gọi M điểmnằm đoạn AB;N điểm nằm đoạn AC .Tìm giao tuyến mặt phẳng (IBC)  (DMN) 10.Cho ba điểm A,B,C không thẳng hàng điểm O nằm mặt phẳng (ABC).Gọi A’,B’,C’ điểm nằm đường thẳng OA,BO,OC. Giả sử A’B’  AB = D , B’C’  BC = E , C’A’  CA = F. Chứng minh điểm D,E,F thẳng hàng 11.Cho tứ diện ABCD. Gọi I điểm nằm đường thẳng BD đoạn BD.Trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ đường thẳng qua I cắt hai đoạn AB AD K L.Trong mặt phẳng (BCD) ta vẽ đường thẳng qua I cắt hai đoạn CB CD M N a)Chứng minh điểm K,L,M,N thuộc mặt phẳng b)Gọi O1= BN  DM ; O2 = BL  DK J = LM  KN. Chứng minh ba điểm A,J,O1 thẳng hàng ba điểm C,J,O2 thẳng hàng c)Giả sử hai đường thẳng KM LN cắt H,chứng minh điểm H nằm đường thẳng AC 12.Cho tứ diện ABCD. Gọi A’,B’,C’,D’lần lượt trọng tâm tam giác BCD,CDA,DAB ABC a)Chứng minh hai đường thẳng AA’ BB’ nằm mặt phẳng b)Gọi I giao điểm AA’ BB’,chứng minh : c)Chứng minh đường thẳng AA’,BB’,CC’ đồng qui 13.Cho tứ diện ABCD.Hai điểm M ,N nằm hai cạnh AB AC cho ≠ .Một mặt phẳng (P) thay đổi luôn qua MN,cắt CD BD E F a)Chứng minh đường thẳng EF luôn qua điểm cố định b)Tìm quĩ tích giao điểm I ME NF c)Tìm quĩ tích giao điểm J MF NE 14.Cho tứ diện ABCD.Gọi G trọng tâm tam giác ACD.Các điểm M ,N ,P thuộc đoạn thẳng AB ,AC ,AD cho = = = .Gọi I = MN ∩ BC J = MP ∩ BD a)Chứng minh đường thẳng MG, PI, NJ đồng phẳng b)Gọi E F trung điểm CD NI; H = MG ∩ BE ;K = GF ∩ mp(BCD),chứng minh điểm H ,K ,I ,J thẳng hàng Tìm giao điểm đường thẳng mặt phẳng Phương pháp: để tìm giao điểm đường thẳng a mặt phẳng α Bước 1: Chọn mặt phẳng β chứa a (β gọi mặt phẳng phụ) Bước 2: Tìm giao tuyến α β đường thẳng d Bước 3: Gọi M giao điểm a với d M giao điểm a với α 1.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AC,BC,BD lấy điểm M,N,K. Tìm giao điểm sau: a) CD  (MNK) b)AD  (MNK) 2.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB,AC,BC lấy điểm M,N,P.Tìm giao điểm sau: a) MN  (ADP) b) BC  (DMN) 3.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M,trong tam giác BCD lấy điểm N.Tìm giao điểm sau: a) BC  (DMN) b) AC  (DMN) c) MN  (ACD) 4.Cho hình chóp S.ABCD. Trong tứ giác ABCD lấy điểm O,tìm giao điểm AM với mặt phẳng (SBC) ,(SCD) 5.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB,AC lấy điểmM,N; tam giác BCD lấy điểm P.Tìm giao điểm sau: a) MP  (ACD) b) AD  (MNP) c) BD  (MNP) 6.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang.Trên cạnh SC lấy điểm E a)Tìm giao điểm F đường thẳng SD với mặt phẳng (ABE) b) Chứng minh đường thẳng AB ,CD EF đồng qui 5.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M ,trong tam giác BCD ACD lấy điểm N,K.Tìm giao tuyến sau: a) CD  (ABK) b) MK  (BCD) c) CD  (MNK) d) AD  (MNK) 7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O.Gọi M N trung điểm SA SC.Gọi (P) mặt phẳng qua điểm M,N B a) Tìm giao tuyến (P) ∩ (SAB) (P) ∩ (SBC) b)Tìm giao điểm I đường thẳng SO với mặt phẳng (P) giao điểm K đường thẳng SD với mặt phẳng (P) c)Xác định giao tuyến mặt phẳng (P) với mặt phẳng (SAD) mặt phẳng (SDC) d)Xác định giao điểm E, F đường thẳng DA,DC với (P). Chứng minh E ,B ,F thẳng hàng 8.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành .Gọi M N trung điểm AB SC a)Xác định I = AN ∩ (SBD) J = MN ∩ (SBD) b)Tính tỉ số ; 9.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang đáy lớn AB.Gọi I J trung điểm SB SC a)Xác định giao tuyến (SAD) ∩ (SBC) b)Tìm giao điểm SD với mặt phẳng (AIJ) c)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AIJ) 10.Cho tứ diện ABCD.Trong tam giác ABC BCD lấy điểm I,J.Tìm giao điểm sau: a)IJ  (SBC) b)IJ  (SAC) 7.Cho tứ diện ABCD,gọi M N trung điểm AC BC.Trên đoạn BD ta lấy điểm P cho BP = 2PD.Tìm giao điểm của: a)CD với mặt phẳng (MNP) b)AD với mặt phẳng (MNP) 11.Cho tứ diện SABC. Gọi I H trung điểm SA AB.Trên đoạn SC ta lấy điểm K cho CK = 3KS a)Tìm giao điểm đường thẳng BC mặt phẳng (IHK) b)Gọi M trung điểm IH.Tìm giao điểm KM với mặt phẳng (ABC) 9.Cho hình chóp S.ABCD cho ABCD hình thang.Trên cạnh SC lấy điểm M a)Tìm giao điểm N đường thẳng SD với mặt phẳng (AMB) b)Chứng minh ba đường thẳng AB,CD,MN đồng qui 12.Cho hình thang ABCD ABEF có chung đáy lớn AB không nằm mặt phẳng a)Xác định giao tuyến sau : (AEC)  (BFD) ; (BCE)  (AFD) b)Lấy điểm M đoạn DF. Tìm giao điểm AM  (BCE) 13.Cho tứ diện ABCD. Gọi I J trung điểm AC BC.Trên cạnh BD,ta lấy điểm K cho BK = 2KD a)Tìm giao điểm E đường thẳng CD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh DE = DC b)Tìm giao điểm F đường thẳng AD với mặt phẳng (IJK). Chứng minh FA = 2FD c)Chứng minh FK song song IJ d)Gọi M N hai điểm nằm hai cạnh AB CD.Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng (IJK) 14.Cho tứ diện SABC.Lấy điểm A’,B’,C’lần lượt nằm cạnh SA,SB,SC cho SA’ = SA ;SB’ = SB ;SC’ = SC a)Tìm giao điểm E,F đường thẳng A’B’ A’C’ với mặt phẳng (ABC) b)Gọi I J điểm đối xứng A’ qua B’ C’. Chứng minh IJ = BC BI = CJ c)Chứng minh BC đường trung bình tam giác AEF 15*.Trong mặt phẳng α cho tam giác ABC. Gọi β mặt phẳng cắt α theo giao tuyến BC.Trong mặt phẳng β ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx Cy song song với nằm phía với α. Trên Bx Cy ta lấy B’ C’ cho BB’ = 2CC’ a)Tìm giao điểm D đường thẳng BC với mặt phẳng (AB’C’) tìm giao tuyến mặt phẳng (AB’C’) với mặt phẳng α b)Trên đoạn AC’ ta lấy điểm M cho AM = AC’.Tìm giao điểm I đường thẳng B’M với mặt phẳng α chứng minh I trung điểm AD c)Chứng minh B’ C’ theo thứ tự chạy Bx Cy cho BB’ = 2CC’ mặt phẳng (AB’C’) luôn cắt α theo giao tuyến cố định d)Gọi E F trung điểm AB BC.Cạnh AC cắt DE G. Hãy tính tỉ số chứng minh AD = 2AF 16.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình bình hành tâm O.Một mặt phẳng (P) cắt cạnh SA,SB,SC A’,B’,C’ a)Dựng giao điểm D’ mặt phẳng (P) với cạnh SD b)Gọi I giao điểm A’C’ với SO. Chứng minh : + =2 c)Chứng minh rằng: + = + Dựng thiết diện với hình chóp Thiết diện hình chóp với mặt phẳng α phần chung hình chóp với mặt phẳng α Phương pháp: để dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng α t ta làm sau Bước 1:Dựng giao tuyến α với mặt hình chóp Bước 2:Giới hạn đoạn giao tuyến phần giao tuyến nằm mặt xét hình chóp Tiếp tục hai bước với mặt khác hình chóp đoạn giao tuyến khép kín tạo thành đa giác,đa giác thiết diện 1.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh BC,CD,AD lấy điểm M,N,P.Dựng thiết diện ABCD với mặt phẳng(MNP) 2.Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh SD lấy điểm M.Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (BCM) 3.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB,AC lấy điểm M,N;trong tam giác BCD lấy điểm I.Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNI) 4.Cho hình chóp S.ABCD cạnh SA,AB,BC lấy điểm M,N,P.Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) 5.Cho hình chóp S.ABCD cạnh SA,SB,SC lấy điểm M,N,P. a)Tìm giao điểm MN  (ABCD) b)Tìm giao điểm NP  (ABCD) c)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng(MNP) 6.Cho tứ diện ABCD.Trong tam giác ABC ,ACD BCD lấy điểm M,N,P. a)Tìm giao điểm MN  (BCD) b)Dựng thiết diện tứ diện với mặt phẳng(MNP) 7.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD đáy lớn AB.Gọi M,N trung điểm SB SC. a)Tìm giao tuyến (SAD)  (SBC) b)Tìm giao điểm SD  (AMN) c)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN) 9.Cho hình chóp S.ABCD.Trong tam giác SCD ta lấy điểmM a)Tìm giao tuyến (SBM)  (SAC) b)Tìm giao điểm BM  (SAC) c)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng(ABM) 10.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M N trung điểm cạnh SB SC a)Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC) b)Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt phẳng (AMN) c)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN) 11.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD. Gọi H K trung điểm cạnh CB CD, M điểm cạnh SA. Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MHK) 12*.Cho hình chóp S.ABCD có đáy lớn AD = 2BC. Gọi N trung điểm SB,M nằm cạnh SA cho AM = 2MS. Gọi α mặt phẳng thay đổi qua MN cắt BC AD P Q a)Chứng minh đường thẳng MN,AB,CD PQ đồng qui điểm I b)Gọi J K giao điểm SC SD với α,chứng minh ba điểm I ,J ,K thẳng hàng c)Tìm α  (SAC) α  (SBD) d)Gọi R = MQ  NP , Chứng minh điểm R chạy đường thẳng cố định α thay đổi .Cho tứ diện ABCD có cạnh a.Gọi I trung điểm AD, J điểm đối xứng với D qua C, K điểm đối xứng với D qua B a)Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (IJK) b)Tính diện tích thiết diện Đường thẳng song song đường thẳng Định nghĩa: hai đường thẳng song song hai đường thẳng nằm mặt phẳng điểm chung Định lý 1:Hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba song với nhau: a //c & b//c ⇒ a // b Chú ý: Khi hai đường thẳng a b nằm mặt phẳng ta sử dụng định lý học để chứng minh chúng song song với nhau: *hai đường thẳng vuông góc với đường thẳng // với *Dùng định lý Talet: Một đường thẳng song song với cạnh tam giác chắn hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ Định lý 2: Nếu hai mặt phẳng cắt có chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng song song với hai đường thẳng α ∩ β = d  a ⊂ α, b ⊂ β ⇒ d // a ,b a // b  1.Cho tứ diện ABCD.Gọi I,J,K,L trung điểm AB,BC, CD, DA .Chứng minh IJKL hình bình hành 2.Cho tứ diện ABCD .Gọi H, K trọng tâm tam giác BCD ACD .Chứng minh HK//AB 3.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành .Gọi M, N, P, Q điểm cạnh BC, SC, SD, DA cho MN//BS, NP//CD, MQ//CD . Chứng minh PQ//SA 4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi.Gọi M ,N ,E ,F trung điểm cạnh bên SA ,SB ,SC ,và SD a)Chứng minh ME//AC , NF//BD b)Chứng minh ba đường thẳng ME ,NF ,và SO(O giao điểm AC BD) đồng qui c)Chứng minh điểm M,N,E,F đồng phẳng 4.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật .Gọi M ,N ,E ,F trọng tâm tam giác SAB, SBC ,SCD ,và SDA. Chứng minh : a) Bốn điểm M,N,E,F đồng phẳng b)Tứ giác MNEF hình thoi c)Ba đường thẳng ME ,NF SO đồng qui (O giao điểm AC BD) 5. Cho hai hình bình hành ABCD ABEF không nằm mặt phẳng .Trên đoạn AC BF lấy điểm M ,N cho: AM = kAC BN = kBF (0 < k < 1) a)Giả sử k = 1/3 ;chứng minh MN // DE b)Giả sử MN // DE tính k 6.Cho tứ diện ABCD .Trên cạnh AC, BC, AD lấy điểm M,N,P.Dựng giao tuyến (MNP)  (BCD) trường hợp sau: a) PM cắt CD b) PM //CD 8.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AB. Gọi M, N trung điểm SA SC a)Dựng giao tuyến (SAB)  (SCD) , (DMN)  (ABCD) b)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (DMN) 9.Cho tứ diện ABCD .Gọi I, J trung điểm AB, AD .Điểm M thay đổi cạnh BC a)Tìm giao điểm N CD (IJM) b)Gọi H giao điểm IM JN ;K giao điểm IN JM. Tìm tập hợp điểm H; K M thay đổi cạnh BC 10.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AD . Điểm M thay đổi cạnh SA a)Dựng giao điểm N SD mặt phẳng(BCM) b)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng(BCM) c)Gọi I =BM  CN.Tìm tâp hợp điểm I M chạy SA 11.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành .Gọi H,K trung điểm SA,SB a)Chứng minh HK//CD b)Trên cạnh SC lấy điểm M. Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng(MKH) 12.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành ,điểm M thay đổi cạnh SD a)Dựng giao tuyến (SAD)  (SBC) b)Dựng giao điểm N SC mặt phẳng(ABM); ABMN hình ? Có thể hình bình hành không ? c)Gọi I giao điểm AN BM.Chứng minh M chạy cạnh SD I chạy đường thẳng cố định .Cho tứ diện ABCD .Gọi I,J K trọng tâm tam giác BCD ,CDA ,ABC. Dựng thiết diện ABCD với mặt phẳng (IJK) 13.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành .Gọi M trung điểm cạnh SC. a)Tìm giao điểm I AM với (SBD).Chứng minh IA =2IM b)Tìm giao điểm F SD với (ABM).Chứng minh F trung điểm SD ABMF hình thang c)Gọi N điểm tuỳ ý cạnh AB.Tìm giao điểm đường thẳng MN với mặt phẳng(SBD) 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O .M trung điểm SC N trung điểm OB a)Tìm giao điểm I SD với mặt phẳng (AMN) b)Tính tỉ số 15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác lồi.Gọi M N trọng tâm tam giác SAB SAD. E trung điểm BC a)Chứng minh MN // BD b)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNE) c)Gọi H K giao điểm mặt phẳng (MNE) với cạnh SB SD. Chứng minh LH // BD Đường thẳng song song mặt phẳng 1.Cho tứ diện ABCD .Gọi I, J trung điểm BC CD a)Chứng minh BD//(AIJ) b)Gọi H, K trọng tâm tam giác ABC ACD Chứng minh HK//(ABD) 2.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành .G trọng tâm tam giác SAB E điểm cạnh AD cho DE = 2EA. Chứng minh GE // (SCD) 3.Cho hình bình hành ABCD ABEF không đồng phẳng. a)Gọi M , N trung điểm AD,BE.Chứng minh MN//(CDE) b)Trên đoạn AC BF lấy điểm P, Q cho AM = kAC ; BN = kBF (0 < k < 1). Chứng minh MN // (CDEF) 5.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành .Gọi M, N trung điểm AB AD.Mặt phẳng α chứa MN //SA a)Dựng giao điểm SC α b)Dựng thiết diện hình chóp với α 6.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB lấy điểm M.Gọi α mặt phẳng qua M // cạnh AC,BD.Dựng thiết diện tứ diện với α 7.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành ,M 1điểm thay đổi cạnh AB.Mặt phẳng α qua M //SA AD a)Dựng thiết diện α với hình chóp .Chứng minh thiết diện hình thang b)Chứng minh đoạn giao tuyến α với(SCD) thì//SD c)Tìm quĩ tích giao điểm cạnh bên thiết diện M thay đổi cạnh SD 8.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớnAB. Điểm M thay đổi cạnh BC,mặt phẳng α qua M //AB SC a)Dựng giao tuyến (SAD)  (SBC) b)Dựng thiết diện hình chóp với α c)Chứng minh đoạn giao tuyến α với (SAD) //SD 9.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành .Gọi M,N trung điểm SA,SB.Điểm P thay đổi cạnh BC a)Chứng minh CD//(MNP) b)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) . Chứng minh thiết diện hình thang. c)Gọi I giao điểm cạnh bên thiết diện ,tìm quĩ tích điểm I 10.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AB. Điểm M thay đổi cạnh SA a)Tìm giao tuyến (SAD)  (SBC) ; (SAB)  (SCD) b)Dựng giao điểm N = SB  (CDM) c)Gọi I = CM  DN ; J = DM  CN. Chứng minh M thay đổi cạnh SA I,J chạy đường thẳng cố định 11.Cho tứ diện ABCD có AB = AC = CD = a AB vuông góc CD .Lấy điểm M cạnh AC,đặt AM = x (0< x < a). Mặt phẳng α qua M song song với AB CD cắt BC,BD,AD N,P,Q a)Chứng minh MNPQ hình chữ nhật b)Tính diện tích MNPQ theo a x c)Xác định x để diện tích MNPQ lớn 12.Cho tứ diện ABCD có AB vuông góc CD,tam giác BCD vuông C góc BDC = 300 ; M điểm thay đổi cạnh BD ; AB = BD = a; đặt BM = x . Mặt phẳng α qua M song song với AB,CD a)Dựng thiết diện tứ diện với α b)Tính diện tích S thiết diện c)Xác định vị trí M BD để S lớn 13.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a ,SB = b tam giác SAC cân S. Trên cạnh AB lấy điểm M ,đặt AM = x (0 < x < a) Mặt phẳng α qua M ,song song AC SB cắt BC ,SC ,SA N,P,Q a)MNPQ hình ? b)Tính diện tích MNPQ. Xác định x để diện tích lớn 14.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, SAB tam giác vuông A với SA = a.Gọi M điểm thay đổi cạnh AD,đặt AM = x (0 < x < a ). Gọi α mặt phẳng qua M song song CD SA a)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng α,thiết diện hình b)Tính diện tích thiết diện theo a x 15.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD nửa lục giác ABCD đáy lớn AB = 2a,hai cạnh bên AD BC cắt I. Tam giác SAB cân S SI = 2a. Trên đoạn AI ta lấy điểm M ,đặt AM = x (0< x < 2a ). Mặt phẳng α qua M song song SI AB cắt BI ,SB ,SA N ,P ,Q a)Tính góc SI AB b) MNPQ hình ? c)Tính diện tích MNPQ theo a x.Tìm x để diện tích lớn nhất. Khi MNPQ hình d)Gọi K = MP  NQ.Tìm quĩ tích điểm K M chạy đoạn AI 16*.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O.Gọi M N trung điểm AB SC a)Tìm giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) (SAB) ∩ (SCD) b)Chứng minh MN //(SAD) c)Chứng minh đường thẳng AN qua trọng tâm tam giác SBD d)Gọi P trung điểm SA.Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) 17*.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O.Gọi M N trung điểm SA SC a)Tìm giao tuyến (SAC) ∩ (SBD) (BMN) ∩ (ABCD) ; (BMN) ∩ (SBD) b)Tìm giao điểm K SD (BMN). Chứng minh SK = SD c)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (BMN) d)Gọi I J trung điểm AB CD . Chứng minh MI // (SBC) (IJN)//(SAD) Mặt phẳng song song mặt phẳng 1.Cho hình bình hành ABCD ABEF nằm mặt phẳng khác nhau. a)Chứng minh (ADF)//(BCE) b)Gọi I,J,K trung điểm cạnh AB,CD,EF. Chứng minh (DIK)//(JBE) 2.Cho tứ diện ABCD.Gọi H,K,L trọng tâm tamgiác ABC, ABD, ACD. Chứng minh (HKL)//(BCD) 3.Cho tam giác ABC DEF nằm mặt phẳng α, β song song với a)Dựng giao tuyến α  (AEF); β  (BCD) b)Dựng giao tuyến (AEF)  (BCD) 4.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang đáy lớn AD. M điểm nằm cạnh AB,mặt phẳng α qua M α//(SBC). Dựng thiết diện hình chóp với α.Thiết diện hình ? 5.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình bình hành .Điểm M thay đổi cạnh BC,mặt phẳng α qua M // mặt phẳng (SAB) a)Dựng thiết diện hình chóp với α,chứng minh thiết diện hình thang b)Chứng minh CD // α c)Tìm quỹ tích giao điểm cạnh bên thiết diện 6.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vuông A D; AD = CD = a ; AB = 2a,tam giác SAB vuông cân tạiA.Trên cạnh AD lấy điểm M.Đặt AM =x. Mặt phẳng α qua M //(SAB) a)Dựng thiết diện hình chóp với α b)Tính diện tích chu vi thiết diện theo a x 7.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ a)Chứng minh (BA’C’) // (ACD’) b)Tìm giao điểm I = B’D  (BA’C’); J = B’D  (ACD’) Chứng minh điểm I,J chia đoạn B’D thành phần bằngnhau c)GọiM,N trung điểm C’B’ D’D.Dựng thiết diện hình hộp với mặt phẳng (BMN) 8.Trong mặt phẳng α cho hình bình hành ABCD.Ta dựng nửa đường thẳng song song với nằm phía với α . Một mặt phẳng β cắt nửa đường thẳng A’,B’,C’,D’ a)Chứng minh mp(AA’,BB’) // mp(CC’,DD’) b)Chứng minh tứ giác A’B’C’D’ hình bình hành c)Chứng minh AA’ + CC’ = BB’ + DD’ 9.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.Gọi I I’ trung điểm cạnh BC B’C’ a)Chứng minh AI // A’I’ b)Tìm giao điểm IA’  (AB’C’) c)Tìm giao tuyến (AB’C’)  (BA’C’) 10.Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi I ,K ,G trọng tâm tam giác ABC, A’B’C’ ACC’ . Chứng minh rằng: a) (IKG) // (BB’C’C) b) (A’KG) // (AIB’) 10.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.Gọi H trung điểm A’B’ a)Chứng minh CB’ // (AHC’) b)Tìm giao tuyến d = (AB’C’)  (A’BC) . Chứng minh d // (BB’C’C) 11.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’.Gọi M N trung điểm cạnh AA’ AC a)Dựng thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (MNB’) b)Gọi P trung điểm B’C’.Dựng thiết diện lăng trụ với mặt phẳng (MNP) 11.Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’.Gọi M N tâm mặt bên AA’C’C BB’D’D. Chứng minh MN//(ABCD) 12.Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình bình hành với AB = a, AD = 2a .Mặt bên SAB tam giác vuông cân tạiA.Trên cạnh AD ta lấy điểm M,đặt AM = x. Mặt phẳng α qua M //mặt phẳng (SAB) cắt BC,SC,SD N,P,Q (0 < x < 2a) a)Chứng minh MNPQ hình thang vuông b)Tính diện tích MNPQ theo a x c)Gọi I = MQ  NP.Tìm tập hợp điểm I M chạy trêncạnh AD 13.Cho hình chóp S.ABCD với ABCD hình bình hành Gọi I trung điểm SD a)Xác định giao điểm K = BI  (SAC) b)Trên IC lấy điểm H cho HC=2HI. Chứng minh KH//(SAD) c)Gọi N điểm SI cho SN=2NI. Chứng minh (KHN)//(SBC) d)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (KHN) 14.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD tâm O.Gọi M,N,P trung điểm SC,AB,AD a)Tìm giao tuyến mặt phẳng (SBC) (SAD) b)Tìm giao điểm I AM  (SBD) c)Gọi J = BP  AC .Chứng minh IJ // (SAB) d)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MNP) Hình chóp 1.Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥(ABC),SA = a. Tam giác ABC vuông B,góc C = 60o ,BC = a. a)Chứng minh mặt hình chóp tam giác vuông.Tính Stp b)Tính thể tích VS.ABC c)Từ A kẻ AH ⊥ SB ,AK ⊥ SC. Chứng minh SC ⊥(AHK) ∆AHK vuông d)Tính thể tích VS.AHK 2.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình vuông cạnh a.Đường cao SA = a, M trung điểm SB a)Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông.Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABCD b)Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (ADM).Tính diện tích thiết diện c)Thiết diện chia hình chóp làm hai hình đa diện,tính thể tích khối đa diện 3.Cho hình chóp S.ABC có đáy mặt bên SAB tam giác cạnh a.Chân đường cao SH hình chóp đối xứng với tâm O đáy qua cạnh AB a)Chứng minh mặt bên SAC SBC tam giác vuông b)Tính diện tích toàn phần hình chóp S.ABC c)Tính góc mặt bên đáy d)Tính thể tích VS.ABC khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAB) 4.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình chữ nhật ,SA ⊥(ABCD), SC = a.Cạnh AC SC tạo với đáy góc α = 60o , β = 45o a)Xác định góc α,β b)Tính thể tích diện tích xung quanh hình chóp S.ABCD 5.Cho hình chóp S.ABC có (SAB)⊥(ABC), tam giác SAB tam giác ABC vuông C ,góc BAC = 30o a)Tính chiều cao hình chóp b)Tính thể tích hình chóp 6.Trên nửa đường thẳng Ox,Oy,Oz vuông góc đôi ta lấy điểm A,B,C cho OA = OB = OC = a a)Chứng minh OABC hình chóp b)Tính diện tích toàn phần thể tích hình chóp OABC 7. Hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang vuông A B. AD = 2a,AB = BC = a ; SA ⊥(ABCD) ; cạnh SC tạo với đáy (ABCD) góc ϕ = 60o a)Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông.Tính diện tích toàn phần b)Tính thể tích S.ABCD c)Tính góc SC mặt phẳng (SAB) 8.Cho tứ diện SABC có đáy tam giác ABC vuông B , AB = 2a , BC = a, SA ⊥ (ABC) ,SA = 2a. Gọi I trung điểm AB a) Chứng minh mặt bên hình chóp tam giác vuông b) Tính góc hai mặt phẳng (SIC) (ABC) c) Gọi N trung điểm AC ,tính khoảng cách từ điểm N đến mặt phẳng (SBC) 9.Cho hình chóp S.ABC có ABC tam giác cạnh a .SA = SB = SC = a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Tính góc ϕ hai mặt phẳng (SBC) (ABC) c)Tính diện tích tam giác SBC 10.Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân A , BC = a .SA = SB = SC = a)Tính khoảng cách từ S đến mặt phẳng (ABC) b)Chứng minh hai mặt phẳng (SBC) (ABC) vuông góc c)Tính góc ϕ hai mặt phẳng (SAC) (ABC) d)Tính diện tích tam giác (SAC) 11.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thoi cạnh a, góc A = 60o SA = SB = SD = a)Tính hình chóp từ S đến mặt phẳng (ABCD) b)Chứng minh hai mặt phẳng (SAC) (ABCD) vuông góc c)Chứng minh hai mặt phẳng (SBD) (SAC) vuông góc tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBD) d)Tính góc ϕ hai mặt phẳng (SBD) (ABCD) ⇒ diện tích ∆SBD Hình lăng trụ 1.Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy = cạnh bên = a Gọi I,J trung điểm BC BB’ a)Chứng minh BC’ ⊥ (AIJ) b)Tính góc ϕ hai mặt phẳng (AIJ) (ABC) c)Tính diện tích tam giác AIJ 2.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi ABCD cạnh a, góc A = 60o , A’A = A’B = A’D = a a)Tính chiều cao lăng trụ b)Chứng minh hai mặt chéo lăng trụ vuông góc c)Tính góc ϕ hai mặt phẳng (A’BD) (ABCD) d)Tính diện tích tam giác A’BD cà diện tích toàn phần lăng trụ 3.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ a)Chứng minh hai mặt chéo vuông góc b)Tính khoảng cách hai đường thẳng AA’ BD’ c)Tính góc ϕ hai mặt phẳng (D’AC) (ABCD) d)Tính diện tích tam giác D’AC 4.Cho lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi cạnh a , góc A = 60o .Gọi O O’ tâm hai đáy, OO’ = 2a a)Tính diện tích mặt chéo lăng trụ b)Tính diện tích toàn phần thể tích lăng trụ 5.Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có đường chéo B’D = 12 . Cạnh đáy CD = ; cạnh bên CC’ = a)Tính diện tích toàn phần thể tích hình hộp b)Tính góc B’D mặt hình hộp 6.Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình thoi ABCD cạnh a,tâm O góc A = 60o ; D’O vuông góc (ABCD) ; cạnh bên tạo với đáy góc ϕ = 60o a)Xác định góc ϕ tính chiều cao , cạnh bên hình hộp b)Chứng minh BD’ ⊥ A’C’ c)Chứng minh mặt bên hình hộp nhau,suy Stp d)Tính thể tích hình hộp thể tích tứ diện ACDC’ 7*.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a,cạnh bên = a hình chiếu C’ mặt phẳng (ABC) trùng với tâm tam giác ABC a)Tính góc cạnh bên đáy,chiều cao lăng trụ b)Chứng minh mặt bên AA’C’C BB’C’C ; mặt bên ABB’A’ hình vuông.Từ tính diện tích toàn phần lăng trụ c)Tính thể tích tứ diện OBCB’ 8*.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có cạnh đáy a .Đường chéo AB’ mặt bên tạo với đáy góc ϕ = 60o. Gọi I trung điểm BC a)Tính diện tích toàn phần thể tích lăng trụ b)Xác định hình chiếu A BB’C’C c)Tính góc đường thẳng AB’ mặt phẳng (BB’C’C) d)Tính thể tích tứ diện BAIC’ 9*.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cạnh a; cạnh bên AA’ = a hình chiếu B’ mặt phẳng (ABC) trung điểm I AC a)Tính góc cạnh bên đáy b)Tính thể tích lăng trụ c)Tính thể tích tứ diện AIBC’ 10.Cho lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD hình thoi tâm O;cạnh a góc A = 60o ;B’O vuông góc (ABCD) ; cạnh bên a a)Tính góc cạnh bên đáy thể tích lăng trụ b)Chứng minh hai mặt chéo vuông góc c)Tính diện tích toàn phần lăng trụ 11.Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vuông A,AC = a,góc BCA = 60o . BC’ tạo với mặt phẳng (AA’C’C) góc α = 45o a)Xác định α tính chiều cao lăng trụ b)Tính diện tích toàn phần thể tích lăng trụ 12.Cho lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy = a, đường chéo BC’ tạo với mặt phẳng (AA’B’B) góc α = 30o a)Xác định α tính chiều cao lăng trụ b)Tính diện tích toàn phần thể tích lăng trụ 13.Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy tam giác ABC cạnh a,điểm A’ cách A,B,C AA’ tạo với đáy góc ϕ = 60o a)Chứng minh mặt bên BB’C’C hình chữ nhật b)Tính diện tích xung quanh thể tích lăng trụ c)Tính thể tích tứ diện ABB’C Mặt cầu 1.Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) , ABCD hình chữ nhật AB = a , SA = BC = 2a. Chứng minh điểm S,A,B,C,D nằm mặt cầu.Tìm tâm ,bán kính mặt cầu 2.Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) . BE , BF đường cao tam giác ABC SBC . Gọi H H’ trực tâm tam giác ABC SBC a)Chứng minh SH’ , AH BC đồng qui điểm I b)Chứng minh điểm E,F,I,S,B mặt cầu 3.Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥(ABCD) ABCD hình vuông cạnh a.Dựng mặt phẳng β qua A vuông góc với đường thẳng SC,β cắt SB ,SC ,SD B’ ,C’ ,D’ a)Chứng minh điểm A,B,C,D,B’,C’,D’ nằm mặt cầu cố định b) Tính diện tích mặt cầu 4.Trong mặt phẳng α cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD.Trên đường thẳng ⊥ α A ta lấy điểm S .Gọi H,K hình chiếu A SB SC a)Chứng minh tam giác AHD,AKD vuông b)Chứng minh điểm A,B,C,H,K nằm mặt cầu 5.Cho hình chóp tam giác S.ABC cạnh đáy = a,cạnh bên = 2a.Tìm tâm,bán kính mặt cầu qua điểm S,A,B,C 6.Trong mặt phẳng α cho đường tròn đường kính AB = 2R .Trên đường tròn ta lấy điểm C.Kẻ CH ⊥ AB (H∈AB).Gọi I trung điểm CH .Trên ˆ I = 60o . Chứng minh ∆SAB = tia Ix ⊥ α ta lấy điểm S cho SH ∆CAB.từ suy tâm ,bán kính mặt cầu qua đỉnh S,A,B,C 7.Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) ,và cạnh SA = a AB = b, AC = c.Xác định tâm,bán kính mặt cầu qua đỉnh S,A,B,C trường hợp sau: ˆ C = 90o a) BA ˆ C =60o b = c b) BA ˆ C = 120o b = c c) BA 8.Cho hình chóp S.ABCD có SA ⊥ (ABCD) SA = a. ABCD là hình thang vuông A B có AB = BC = a AD = 2a. Gọi E trung điểm cạnh AD. Xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.CDE 9.Cho tứ diện ABCD cạnh a a)Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BCD) b)Tính góc cạnh bên đáy c)Tính góc mặt bên đáy d)Tìm tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD 10.Cho hình chóp tam giác S.ABC có cạnh đáy a. Cạnh bên hợp với đáy góc φ = 60o a)Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp b)Tính góc mặt bên đáy 11.Cho tứ diện SABC có SA ⊥ (ABC) đáy tam giác cạnh a. Mặt bên (SBC) hợp với đáy góc φ = 30o a)Xác định tâm tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện b)Tính góc SC mặt phẳng (ABC) Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng ,đường thẳng 1.Cho mặt cầu tâm O đường kính AB = 2R.Điểm H thuộc đoạn AB cho AH = R. Mặt phẳng α ⊥ AB H, cắt mặt cầu theo đường tròn (L).Tính diện tích (L) 2.Cho mặt cầu S(O,R) ; A điểm nằm mặt cầu . Mặt phẳng α qua A cho góc OA α 30o a)Tính diện tích đường tròn thiết diện α mặt cầu b)Đường thẳng qua A ⊥ α cắt (S) B.Tính độ dài AB 3.Cho mặt cầu S(O;R) tiếp xúc cạnh tam giác ABC a)Chứng minh hình chiếu H O mặt phẳng (ABC) tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC b)Biết độ dài cạnh ∆ABC 6,8,10 R = 3.Tính khoảng cách từ O đến mặt phẳng (ABC) 4.Trong mặt phẳng α cho đường tròn đường kính AB tâm O.Gọi M điểm nằm đường tròn .Trên đường thẳng ⊥ α A ta lấy điểm C.Gọi H hình chiếu A mặt cầu a)Chứng minh H nằm mặt cầu (O) b)Tiếp tuyến với (O) A M cắt K. Chứng minh KA = KM = KH.Từ suy KH tiếp tuyến mặt cầu (O) 5.Cho mặt cầu (O;R) điểm A biết OA = 2R. Qua A kẻ tiếp tuyến với mặt cầu B cát tuyến cắt mặt cầu C D cho CD = R a)Tính độ dài đoạn AB b)Tính khoảng cách từ O đến đường thẳng CD 6.Cho mặt cầu (O;R) tiếp xúc mặt phẳng (P) I.Gọi M điểm nằm mặt cầu điểm đối xứng với I qua tâm O.Từ M ta kẻ hai tiếp tuyến mặt cầu vuông góc với cắt mặt phẳng (P) A B. Chứng minh AB2 = AI2 + IB2 7. Chứng minh mặt cầu tiếp xúc với cạnh tứ diện tứ diện có tổng cặp cạnh đối diện . Đường thẳng song song đường thẳng Định nghĩa: hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung Định lý 1:Hai đường thẳng cùng song song với đường. bình của tam giác AEF 15*.Trong mặt phẳng α cho tam giác đều ABC. Gọi β là mặt phẳng cắt α theo giao tuyến BC.Trong mặt phẳng β ta vẽ hai nửa đường thẳng Bx và Cy song song với nhau và nằm cùng. thứ ba thì song với nhau: a //c & b//c ⇒ a // b Chú ý: Khi hai đường thẳng a và b cùng nằm trong một mặt phẳng thì ta có thể sử dụng các định lý đã học để chứng minh chúng song song với nhau: *hai