Tuyển tập 36 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)

PHềNG GD&T QUNH LU KHO ST NNG KHIU HC SINH LP NM HC 2014 - 2015 THI CHNH THC thi mụn: Toỏn Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Cõu (2,5 im). x2 + + : x + x 3x 27 3x Cho biu thc A = a) Nờu iu kin xỏc nh ri rỳt gn A. b) Tỡm giỏ tr ca x giỏ tr ca A < -1. Cõu (2,5 im). a) Gii phng trỡnh: x3 3x = 0. b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x2 + 5y2 + 2xy 4x 8y + 2015. Cõu (1,0 im). Cho cỏc s: x, y, x tha món: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx v x2014 + y2014 + z2014 = 3. Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = x25 + y4 + z2015. Cõu (3,0 im). Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC ct BD ti O. M l im bt k thuc cnh BC (M khỏc B, C). Tia AM ct ng thng CD ti N. Trờn cnh AB ly im E cho BE = CM. a) Chng minh: OEM vuụng cõn. b) Chng minh: ME // BN. c) T C, k CH BN (H BN). Chng minh rng ba im O, M, H thng hng. Cõu (1,0 im). Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + .+ k(k + 1)(k + 2) (vi k N*). Chng minh rng: 4S + 1l bỡnh phng ca mt s t nhiờn. ------ Ht ------ H v tờn thớ sinh: SBD: HNG DN CHM MễN: TON Ni dung Cõu 1a. 1b 2a. 2b. KX: x -3;0;3 x 3x + x x + x+3 A= : = x x( x 3) 3(3 x)(3 + x) Vi x {-3;0;3} ta cú: x+3 < > x > A < x x Kt hp vi iu kin ta cú < x thỡ A < -1 x3 - 3x - = (x3 + 1) 3(x + 1) = (x + 1)(x2 x 2) = (x - 2)(x + 1)2 = x = 2; x = - P = x2 + 5y2 + 2xy 4x 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) 4(x + y) + + 4y2 4y + + 2010 P = (x + y 2)2 + (2y 1)2 + 2010 2010 => Giỏ tr nh nht ca P = 2010 x = ; y = 2 Ta cú: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2(x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz + zx) (x - y )2 +( y z)2 + (z x)2 = im 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 x = y = z 3. Thay vo biu thc: x2014 + y2014 + z2014 = => x = y = z = 0,25 0,25 Vi x = y = z = thi P = Vi x = y = z = -1 thỡ P = -1 0,25 E A B O M H' D C 4a Xột OEB v OMC Vỡ ABCD l hỡnh vuụng nờn ta cú OB = OC V B1 = C1 = 450 BE = CM ( gt ) Suy OEB = OMC ( c .g.c) H N 0,5 OE = OM v O1 = O3 Li cú O2 + O3 = BOC = 900 vỡ t giỏc ABCD l hỡnh vuụng 4b O2 + O1 = EOM = 900 kt hp vi OE = OM OEM vuụng cõn ti O 0,5 T (gt) t giỏc ABCD l hỡnh vuụng AB = CD v AB // CD AM BM + AB // CD AB // CN = ( Theo L Ta- lột) (*) MN MC M BE = CM (gt) v AB = CD AE = BM thay vo (*) AM AE Ta cú : = ME // BN ( theo L o ca l Ta-lột) MN EB Gi H l giao im ca OM v BN 0,25 0,25 0,25 0,25 T ME // BN OME = OH ' B ( cp gúc ng v) M OME = 450 vỡ OEM vuụng cõn ti O 4c MH ' B = 450 = C1 OMC BMH (g.g) OM MC = ,kt hp OMB = CMH ' ( hai gúc i nh) BM MH ' OMB CMH (c.g.c) OBM = MH ' C = 450 Vy BH ' C = BH ' M + MH ' C = 900 CH ' BN M CH BN ( H BN) H H hay im O, M, H thng hng (pcm) Ta cú: k(k + 1)(k + 2) = = 0,25 0,25 0,25 0,25 1 k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). [ (k + 3) (k 1)] 4 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 4 0,5 => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + = (k2 + 3k + 1)2 Suy pcm. (Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng cho im ti a) 0,25 Mt khỏc 0,25 S GIO DC V O TO BC GIANG K THI CHN HC SINH GII VN HO CP TNH NM HC 2012-2013 MễN THI: TON; LP: PH THễNG THI CHNH THC Ngy thi: 30/3/2013 Thi gian lm bi 150 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú 01 trang Cõu 1. (4,5 im) 1) Phõn tớch biu thc sau thnh nhõn t: P = 2a + 7a 2b + 7ab + 2b3 . 2) Cho x + x = . Tớnh giỏ tr biu thc Q = x + x5 + x + x + x + x + . Cõu 2. (4,5 im) x x +1 4026 1) Cho biu thc: R = . Tỡm x biu thc xỏc + : x 2x x + 2x x 4x x nh, ú hóy rỳt gn biu thc. 2) Gii phng trỡnh sau: x ( x 1)( x + 1)( x + ) = . Cõu 3. (4,0 im) 1) Cho n l s t nhiờn l. Chng minh n3 n chia ht cho 24. 2) Tỡm s t nhiờn n n + 4n + 2013 l mt s chớnh phng. Cõu 4. (6,0 im) 1) Cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v D. Bit CD=2AB=2AD v BC = a . a. Tớnh din tớch hỡnh thang ABCD theo a . b. Gi I l trung im ca BC, H l chõn ng vuụng gúc k t D xung AC. Chng minh HDI = 450 . 2) Cho tam giỏc ABC cú BC = a, CA = b, AB = c . di cỏc ng phõn giỏc ca tam giỏc k t cỏc nh A, B, C ln lt l la , lb , lc . Chng minh rng: 1 1 1 + + > + + la lb lc a b c Cõu 5. (1,0 im) Cho hai s khụng õm a v b tho a + b = a + b . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: S= a b + a +1 b +1 ---------------Ht---------------Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh: .S bỏo danh: . Giỏm th (H tờn v ký) Giỏm th (H tờn v ký) S GIO DC V O TO BC GIANG HNG DN CHM BI THI CHN HC SINH GII VN HO CP TNH NGY THI 30 /3/2013 MễN THI: TON; LP: PH THễNG CHNH THC Bn hng dn chm cú 04 trang Cõu Hng dn gii Ta cú P = ( a + b ) + 7ab ( a + b ) = ( a + b ) ( a ab + b ) + ab ( a + b ) = ( a + b ) ( 2a + 2b + 5ab ) = ( a + b ) ( 2a + 4ab + 2b + ab ) (2.5 im) = ( a + b ) 2a ( a + 2b ) + b ( b + 2a ) = ( a + b )( 2a + b )( a + 2b ) Kt lun P = ( a + b )( 2a + b )( a + 2b ) Ta cú Q = x ( x + x3 + x ) + ( x + x3 + x ) + x + x + x + (2.0 im) (4.5 im) 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 = x2 ( x2 + x ) + ( x2 + x ) + x + 0.5 = x2 + x + = 0.5 Vy Q = Cõu 0.5 (4.5 im) x x x +1 . + x ( x ) x ( x + ) x ( x ) 4026 K: x ( x ) Ta cú R = x x (2.5 im) 0.5 0.5 Khi ú: x x + + 4026 x x + x ( x 1)( x + ) + ( x + 1)( x ) = . 4026 x2 2 ( x 4) = . = 4026 x 2013 x Vy R xỏc nh v R = 2013 x R= 0.5 0.5 0.5 + Nu x , phng trỡnh ó cho tr thnh ( x )( x 1)( x + 1)( x + ) = 0.5 ( x 1)( x ) = x4 5x2 = x2 ( x2 5) = (2 im) x = (l ) x = ( tm ) x = ( l ) Nu x , phng trỡnh ó cho tr thnh ( x )( x 1)( x + 1)( x + ) = 0.5 0.5 ( x )( x 1)( x + 1)( x + ) = ( x 1)( x ) = x4 5x2 + = x + = vụ nghim KL: Phng trỡnh cú mt nghim x = . 0.25 0.25 Cõu (4 im) Ta cú n n = n ( n 1)( n + 1) 0.5 Vỡ n 1; n; n + l ba s t nhiờn liờn tip nờn cú mt ba s (2 im) 0.5 ú chia ht cho 3. Do ú ( n3 n )M (1) Vỡ n l s t nhiờn l nờn n v n + l hai s t nhiờn chn liờn tip. Do ú ( n 1)( n + 1)M8 ( n3 n )M8 (2) 0.5 Vỡ v l hai s nguyờn t cựng nờn kt hp vi (1), (2) suy ( n3 n )M 24 (pcm) 0.5 + Gi s n + 4n + 2013 = m , ( m ) + Suy ( n + ) + 2009 = m2 m ( n + ) = 2009 0.5 ( m + n + )( m n ) = 2009 + Mt khỏc 2009 = 2009.1 = 287.7 = 49.41 v m + n + > m n nờn cú cỏc trng hp sau xy ra: (2 im) m + n + = 2009 m = 1005 m n = n = 1002 m + n + = 287 m = 147 m n = n = 138 m + n + = 49 m = 45 TH3: m n = 41 n = TH1: Vy cỏc s cn tỡm l: 1002; 138; 2. Cõu 0.5 TH1: 0.5 0.5 (6 im) A B H I D (4 im) C E a) + Gi E l trung im ca CD, ch ABED l hỡnh vuụng v BEC l tam giỏc vuụng cõn. 0.5 + T ú suy AB = AD = a; BC = 2a 0.5 + Din tớch ca hỡnh thang ABCD l S = = ( AB + CD ) . AD ( a + 2a ) .a = 3a 2 0.5 0.5 b) + ADH = ACD (1) (hai gúc nhn cú cp cnh tng ng vuụng gúc) 0.5 + Xột hai tam giỏc ADC v IBD vuụng ti D v B cú AD IB = = , ú hai tam giỏc ADC v IBD ng dng. DC BD Suy ACD = BDI (2) + T (1) v (2), suy ADH = BDI + M ADH + BDH = 450 BDI + BDH = 450 hay HDI = 450 M A (2 im) B D C + Gi AD l ng phõn giỏc gúc A, qua C k ng thng song song vi AD ct ng thng AB ti M. Ta cú BAD = AMC (hai gúc v trớ ng v) 0.5 0.5 0.5 DAC = ACM (hai gúc v trớ so le trong) M BAD = DAC nờn AMC = ACM hay tam giỏc ACM cõn ti A, suy AM = AC = b AD BA c + Do AD//CM nờn = = CM BM b + c + M CM < AM + AC = 2b c AD 11 > > + (1) b + c 2b la b c 0.5 0.5 + Tng t ta cú 11 1 11 > + (2); > + (3) lb c a la b c 0.5 Cng (1), (2), (3) theo v, ta cú pcm Cõu + Ta cú a + 2a; b + 2b a + b + 2a + 2b a + b 2 + Chng minh c vi hai s dng x, y thỡ im 1 + x y x+ y + a +1+ b +1 a +1 b +1 1im 0.25 0.25 + Do ú S = 0.25 + Kt lun: GTLN ca S l 1, t c a = b = . 0.25 im ton bi (20im) Lu ý chm bi: - - Trờn õy ch l s lc cỏc bc gii, li gii ca hc sinh cn lp lun cht ch, hp logic. Nu hc sinh trỡnh by cỏch lm khỏc m ỳng thỡ cho im cỏc phn theo thang im tng ng. Vi bi 4, nu hc sinh v hỡnh sai hoc khụng v hỡnh thỡ khụng chm. PHềNG GIO DC V O TO QUN NG HNH SN Kè THI CHN HC SINH GII NM HC 2012-2013 CHNH THC MễN THI: TON - LP Thi gian: 150 phỳt (khụng tớnh thi gian giao ủ) Bi 1: (1,50 ủim) 2a + thnh hiu hai bỡnh phng. a (a + 1) 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.2012 + b./ Cho M = 2 + + + . + 2 (1 + 1) (2 + 2) (3 + 3) (20122 + 2012) a./ Hóy vit biu thc sau : Chng minh rng M < Bi 2: (2,00 ủim) a./ Chng minh rng n3 28n chia ht cho 48 vi mi n l s nguyờn chn x + 3x + 3x + = x + x x + 15 x Bi 3: (2,50 ủim) Cho biu thc P = + + : x x x x + x b./ Gii phng trỡnh sau: a./ Rỳt gn biu thc P. b./ Tỡm cỏc giỏ tr ca x ủ P > -1 c./ Gii phng trỡnh P = Bi 4: (1,00 ủim). Cho a > ; b > v a2 + b2 = 10; Tỡm giỏ tr nh nht ca Q = 1 + a b2 Bi 5: (3,00 ủim) Cho tam giỏc ABC cú AB = 2a; AC = 3a; BC = 4a. ng phõn giỏc AD v BE ct ti I. Gi M l trung ủim ca AC, G l trng tõm tam giỏc ABC. a./ Tớnh ủ di ủon thng BD theo a. b./ Chng minh IG // AC c./ Tớnh t s din tớch ca t giỏc EIGM v ABC HT Trn Vn Hng Phũng GD&T 0.5 x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1)( x + ) 1.2 0,5 (1,25 i m) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + 0,25 = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1) 0,25 = ( x + x + 1)( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x x + 2008 ) 0,25 2. 2,0 2.1 x x + + x = (1) + Nu x 1: (1) ( x 1) = x = (tha iu kin x 1). 0,5 + Nu x < 1: (1) x x + = x x ( x 1) = ( x 1)( x 3) = x = 1; x = (c hai u khụng hn 1, nờn b loi) Vy: Phng trỡnh (1) cú mt nghim nht l x = . 2.2 0,5 1 x + + x + x + x + = ( x + ) (2) x x x x iu kin phng trỡnh cú nghim: x 2 1 (2) x + + x + x + x + = ( x + ) x x x x 0,25 1 2 x + x + = ( x + ) ( x + ) = 16 x x x = hay x = v x . Vy phng trỡnh ó cho cú mt nghim x = 0,5 0,25 2.0 3.1 3.2 Ta cú: 1 a a b b c c A= ( a + b + c )( + + ) = + + + + + + + + a b c b c a c a b a b a c c b =3+ ( + ) + ( + ) + ( + ) b a c a b c x y M: + (BT Cụ-Si) y x Do ú A + + + = 9. Vy A Ta cú: P( x) = ( x + )( x + )( x + )( x + ) + 2008 = ( x + 10 x + 16 )( x + 10 x + 24 ) + 2008 0,5 0,5 0,5 t t = x + 10 x + 21 (t 3; t 7) , biu thc P(x) c vit li: P( x) = ( t 5)( t + 3) + 2008 = t 2t + 1993 0,5 Do ú chia t 2t + 1993 cho t ta cú s d l 1993 4,0 4.1 4.2 4.3 + Hai tam giỏc ADC v BEC cú: Gúc C chung. CD CA (Hai tam giỏc = CE CB vuụng CDE v CAB ng dng) Do ú, chỳng dng dng (c.g.c). Suy ra: BEC = ADC = 1350 (vỡ tam giỏc AHD vuụng cõn ti H theo gi thit). Nờn AEB = 450 ú tam giỏc ABE vuụng cõn ti A. Suy ra: BE = AB = m BM BE AD Ta cú: (do BEC ADC ) = = BC BC AC m AD = AH (tam giỏc AHD vuụng võn ti H) BM AD AH BH BH nờn (do ABH CBA ) = = = = BC AC AC AB BE Do ú BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 1350 AHM = 450 Tam giỏc ABE vuụng cõn ti A, nờn tia AM cũn l phõn giỏc gúc BAC. GB AB AB ED AH HD Suy ra: , m = = ( ABC DEC ) = ( ED // AH ) = GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do ú: = = = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 S 11 Bi 1: (2im) 3x y 4xy b) Nu a, b, c l cỏc s dng ụi mt khỏc thỡ giỏ tr ca a thc sau l s dng: A = a + b3 + c3 3abc Bi 2: (2 im) Chng minh rng nu a + b + c = thỡ: a b a b b c c a c A= + + + + =9 a b a b b c c a c Bi 3: (2 im) Mt ụ tụ phi i quóng ng AB di 60 km thi gian nht nh. Na quóng ng u i vi tc ln hn tc d nh l 10km/h. Na quóng ng sau i vi tc kộm hn tc d nh l km/h. Tớnh thi gian ụ tụ i trờn quóng ng AB bit ngi ú n B ỳng gi. Bi 4: (3 im) Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cnh BC ly im E. T A k ng thng vuụng gúc vi AE ct ng thng CD ti F. Gi I l trung im ca EF. AI ct CD ti M. Qua E dng ng thng song song vi CD ct AI ti N. a) Chng minh t giỏc MENF l hỡnh thoi. b) Chng minh chi vi tam giỏc CME khụng i E chuyn ng trờn BC Bi 5: (1 im) x + 3x + = y Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: a) Cho x 2xy + 2y 2x + 6y + 13 = .Tớnh N = THI HC SINH GII TON LP Bi 1: (2 im) a) Phừn tch thnh tha s: (a + b + c) a b c b) Rt gn: x x 12 x + 45 3x 19 x + 33x Bi 2: (2 im) Chng minh rng: A = n (n 7) 36n chia ht cho 5040 vi mi s t nhin n. Bi 3: (2 im) a) Cho ba mỏy bm A, B, C hỳt nc trờn ging. Nu lm mt mnh th my bm A hỳt ht nc 12 gi, mỏy bm B hỳt htnc 15 gi v mỏy bm C hỳt ht nc 20 gi. Trong gi u hai mỏy bm A v C cựng lm vic sau ú mi dựng n mỏy bm B. Tnh xem bao lừu th ging s ht nc. b) Gii phng trnh: x + a x 2a = 3a (a l hng s). Bi 4: (3 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti C (CA > CB), mt im I trờn cnh AB. Trờn na mt phng b AB cú cha im C ngi ta k cỏc tia Ax, By vuụng gúc vi AB. ng thng vuụng gúc vi IC k qua C ct Ax, By ln lt ti cỏc im M, N. a) Chng minh: tam giỏc CAI ng dng vi tam giỏc CBN. b) So snh hai tam gic ABC v INC. c) Chng minh: gỳc MIN = 900. d) Tm v tr im I cho din tớch IMN ln gp ụi din tớch ABC. Bi 5: (1 im) Chng minh rng s: 22499 .4 09 l s chớnh phng. ( n ). 14 24 39100 14 424 n-2 số n số THI HC SINH GII TON LP Bi 1: (2,5im) Phõn tớch a thc thnh nhõn t a) x5 + x +1 b) x4 + c) x x - 3x + x -2 vi x > Bi : (1,5im) Cho abc = Rỳt gn biu thc: A= a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + Bi 3: (2im) Cho 4a2 + b2 = 5ab v 2a > b > Tớnh: P = ab 4a b 2 Bi : (3im) Cho tam giỏc ABC cõn ti A. Trn BC ly M bt kỡ cho BM < CM. T N v ng thng song song vi AC ct AB ti E v song song vi AB ct AC ti F. Gi N l im i xng ca M qua E F. a) Tớnh chu vi t giỏc AEMF. Bit : AB =7cm b) Chng minh : AFEN l hỡnh thang cõn c) Tớnh : ANB + ACB = ? d) M v trớ no t giỏc AEMF l hỡnh thoi v cn thờm iu kin ca ABC cho AEMF l hỡnh vuụng. Bi 5: (1im) Chng minh rng vi mi s nguyờn n thỡ : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia ht cho 23. THI HC SINH GII TON LP Bi 1: (4 im) Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: a) (x + y + z) x3 y3 z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bi 2: (2 im) Gii phng trỡnh: x 241 x 220 x 195 x 166 + + + = 10 . 17 19 21 23 Bi 3: (3 im) Tỡm x bit: 2 ( 2009 x ) + ( 2009 x )( x 2010 ) + ( x 2010 ) ( 2009 x ) ( 2009 x )( x 2010 ) + ( x 2010 ) = 19 . 49 Bi 4: (3 im) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = 2010x + 2680 . x2 + Bi 5: (4 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, D l im di ng trờn cnh BC. Gi E, F ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca im D lờn AB, AC. a) Xỏc nh v trớ ca im D t giỏc AEDF l hỡnh vuụng. b) Xỏc nh v trớ ca im D cho 3AD + 4EF t giỏ tr nh nht. Bi 6: (4 im) Trong tam giỏc ABC, cỏc im A, E, F tng ng nm trờn cỏc cnh BC, CA, AB cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF . a) Chng minh rng: BDF = BAC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tớnh di on BD. Mt li gii: Bi 1: a) (x + y + z) x3 y3 z3 = ( x + y + z ) x y3 + z3 = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x ( y + z ) ( y yz + z ) = ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = ( y + z ) x ( x + y ) + z ( x + y ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) . b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 ) = x ( x 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x x + 2010 ) . Bi 2: x 241 x 220 x 195 x 166 + + + = 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1+ 2+ 3+ 4=0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 + + + =0 17 19 21 23 1 ( x 258 ) + + + = 17 19 21 23 x = 258 Bi 3: 2 ( 2009 x ) + ( 2009 x )( x 2010 ) + ( x 2010 ) ( 2009 x ) ( 2009 x )( x 2010 ) + ( x 2010 ) = 19 . 49 KX: x 2009; x 2010 . t a = x 2010 (a 0), ta cú h thc: ( a + 1) ( a + 1) a + a = 19 ( a + 1) + ( a + 1) a + a 49 a + a + 19 = 3a + 3a + 49 49a + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 8a + 8a 30 = a = 2 (tho K) ( 2a + 1) 42 = ( 2a 3)( 2a + ) = a = 4023 4015 hoc x = (tho K) 2 4023 4015 v x = l giỏ tr cn tỡm. Vy x = 2 Bi 4: 2010x + 2680 A= x2 + 335x 335 + 335x + 2010x + 3015 335(x + 3) = = 335 + 335 x2 +1 x2 +1 Vy giỏ tr nh nht ca A l 335 x = 3. Suy x = Bi 5: a) T giỏc AEDF l hỡnh ch nht (vỡ E = A = F$ = 90o ) C t giỏc AEDF l hỡnh vuụng thỡ AD l tia phõn giỏc ca BAC . b) Do t giỏc AEDF l hỡnh ch nht nờn AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nh nht AD nh nht F D l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn BC. Bi 6: a) t AFE = BFD = , BDF = CDE = , CED = AEF = . D A E Ta cú BAC + + = 1800 (*) Qua D, E, F ln lt k cỏc ng thng vuụng gúc vi BC, AC, AB ct ti O. Suy O l giao im ba ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF. A OFD + OED + ODF = 90o (1) E F Ta cú OFD + + OED + + ODF + = 270o (2) O o (1) & (2) + + = 180 (**) s s s (*) & (**) BAC = = BDF . b) Chng minh tng t cõu a) ta cú: B = , C = AEF DBF DEC ABC B B D C 5BF 5BF 5BF BD BA = = BD = BD = BD = BF BC 8 7CE 7CE 7CE CD CA = = CD = CD = CD = 8 CE CB AE AB 7AE = 5AF 7(7 CE) = 5(5 BF) 7CE 5BF = 24 AF = AC = CD BD = (3) Ta li cú CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5 THI HC SINH GII TON LP Cõu 1: Cho x = b2 + c2 a2 a (b c) ;y= 2bc (b + c)2 a Tớnh giỏ tr P = x + y + xy Cõu 2: Gii phng trỡnh: a, 1 1 = + + a+b x a b x (x l n s) (b c)(1 + a ) (c a)(1 + b) (a b)(1 + c) b, + + =0 x + a2 x + b2 x + c2 (a,b,c l hng s v ụi mt khỏc nhau) Cõu 3: Xỏc nh cỏc s a, b bit: (3x + 1) a b = + 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)2 Cõu 4: Chng minh phng trỡnh: 2x2 4y = 10 khụng cú nghim nguyờn. Cõu 5: Cho ABC; AB = 3AC Tớnh t s ng cao xut phỏt t B v C THI HC SINH GII TON LP Cõu 1: Cho a + b = 1. Tớnh giỏ tr biu thc: M = 2(a3 + b3) 3(a2 + b2) Cõu 2: Chng minh rng: a b c 1, + + = bit abc = 1. ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 n + n +1 * 2, (n N ) khụng l phõn s ti gin. n + n +1 Cõu 3: Cho biu thc: 1 1 P= + + + + a a a 3a + a 5a + a 7a + 12 a 9a + 20 a. Tỡm iu kin P xỏc nh. b. Rỳt gn P. c. Tớnh giỏ tr ca P bit a3 - a2 + = Cõu 4*: Tỡm s t nhiờn n a thc: A(x) = x2n + xn +1 chia ht cho a thc x2 + x + Cõu 5: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AD = 2AB. K ng thng qua C v vuụng gúc vi AB ti E. Gi M l trung im ca AD. a. Chng minh: tam giỏc EMC cõn. b. Chng minh: Gúc BAD = gúc AEM. c. Gi P l mt im thuc on thng EC. Chng minh tng khong cỏch t P n Me v n MC khụng ph thuc vo v trớ ca P trờn EC. THI HC SINH GII TON LP Bi 1: (2 im) a) Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t: a(b + c) (b c) + b(c + a) (c a ) + c(a + b) (a b) 1 b) Cho a, b, c khỏc nhau, khỏc v + + = a b c 1 Rỳt gn biu thc: N = + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bi 2: (2im) a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: M = x + y xy x + y + b) Gii phng trỡnh: ( y 4,5) + ( y 5,5) = Bi 3: (2im) Mt ngi i xe mỏy t A n B vi tc 40 km/h. Sau i c 15 phỳt, ngi ú gp mt ụ tụ, t B n vi tc 50 km/h. ụ tụ n A ngh 15 phỳt ri tr li B v gp ngi i xe mỏy ti mt mt a im cỏch B 20 km. Tớnh quóng ng AB. Bi 4: (3im) Cho hỡnh vuụng ABCD. M l mt im trờn ng chộo BD. K ME v MF vuụng gúc vi AB v AD. a) Chng minh hai on thng DE v CF bng v vuụng gúc vi nhau. b) Chng minh ba ng thng DE, BF v CM ng quy. c) Xỏc nh v trớ ca im M t giỏc AEMF cú din tớch ln nht. Bi 5: (1im) 2 Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 3x + y = 345 THI HC SINH GII TON LP Cõu 1: Phõn tớch thnh nhõn t: a, a3 + b3 + c3 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Cõu 2: Cho A = x(1 x ) x3 + x3 : ( + x )( x) x 1+ x 1+ x a, Rỳt gn A b, Tỡm A x= - c, Tỡm x 2A = Cõu 3: a, Cho x+y+z = 3. Tỡm giỏ tr nh nht ca M = x2 + y2 + z2 b, Tỡm giỏ tr ln nht ca P = x ( x + 10) Cõu 4: a b c + + 0, CMR: 1< b, Cho x,y CMR: x2 y x y + + x y x y Cõu 5: Cho ABC u cú di cnh l a, kộo di BC mt on CM =a a, Tớnh s o cỏc gúc ACM b, CMR: AM AB c, Kộo di CA on AN = a, kộo di AB on BP = a. CMR MNP u. phòng gdgd-đt đức thọ Đề thi thức đề thi olympic toán năm học 20122012-2013 Thời gian làm 120 phút 4xy 1 : + 2 2 y x y x y + 2xy + x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A đợc xác định b) Rút gọn A c) Nếu x, y số thực thỏa mãn 3x + y + 2x 2y = 1, tìm giá trị nguyên đơng A ? Câu 1: Cho biểu thức A = y x y x Lời giải: a) ĐKXĐ A là: y + 2xy + x y 1 2+ y x y + 2xy + x ( y x )( y + x ) = 2x + 2xy 4xy 2y 4xy b) A = 2 : = . y x ( y x )( y + x ) 2y ( y x )( y + x ) c) ĐK cần: Từ điều kiện 3x + y + 2x 2y = 2x + 2xy + x 2xy + y + ( x y ) + = 2 2x + 2xy + ( x y ) + ( x y ) + = 2x + 2xy + ( x y + 1) = 2 2x + 2xy = ( x y + 1) . Do < A nên giá trị A cần tìm A {1;2} ĐK đủ: Với A = ( x y + 1) = Xét x y + = x = y (loại x y) Xét x y + = x = y thay vào 3x + y + 2x 2y = đợc ( y ) + y + ( y ) 2y = 4y 12y + = 4y 12y + = ( 2y ) 3+ y = 2y = 2 =2 2y = y = 3+ 2 ; y= x= x= 2 2 Với A = ( x y + 1) = x y + = x = y thay vào 3x + y + 2x 2y = đợc y= y = (loại) ( y 1) + y + ( y 1) 2y = 4y 6y = 2y ( 2y ) = x= y = + Vậy A = ( x;y ) ; ; ; 2 2 A = ( x;y ) ; 2 x 17 x 15 x 13 x 11 + = + 2008 2010 2012 2014 2 b) Tìm số x, y, z biết x + y + z = xy + yz + zx x 2012 + y 2012 + z 2012 = 32013 Câu 2: a) Giải phơng trình sau x 17 x 15 x 13 x 11 1+ 1= 1+ 2008 2010 2012 2014 x 2025 x 2025 x 2025 x 2025 1 + = + x 2025 + =0 2008 2010 2012 2014 2008 2010 2012 2014 Lời giải: a) Phơng trình tơng đơng ( ) 1 1 1 1 nên > > + >0 2008 2012 2010 2014 2008 2010 2012 2014 Do ta có x 2025 = x = 45 . Tập nghiệm phơng trình là: S = {45;45} Vì b) Từ giả thiết x + y + z = xy + yz + zx 2x + 2y + 2z 2xy 2yz 2zx = (x y) + (y z) + (z x) = x y = y z = z x = x = y = z Do x 2012 + y 2012 + z 2012 = 32013 3x 2012 = 2013 x = . Vậy x = y = z = 3; x = y = z = -3 4x = m + , với m tham số. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng x b) Chứng minh a + b + c a3 + b3 + c a + b + c 4x Lời giải: a) ĐKXĐ: x 1. Ta có = m + 4x = ( x 1)( m + ) 4x = x ( m + ) ( m + ) x 4x = x ( m + ) ( m + ) x ( m 1) = m + Câu 3: a) Cho phơng trình Nếu m = = nên phơng trình vô nghiệm m+2 Nếu m x = . Để phơng trình có nghiệm dơng m m + 2 9 m +) m m2 + m > m2 + m + > m + > 4 ( m + )( m 1) > m + > m 1 m + > m < -2; m > 1. Vậy giá trị m cần tìm m < -2; m > 2 b) Ta dễ dàng chứng minh đợc a + b a3b + ab3 . Thật a + b a 3b + ab3 a3 ( a b ) b3 ( a b ) ( a b ) a3 b ( (a b) ( ) b 3b2 a + ab + b ( a b ) a + + với a, b ) Chứng minh tơng tự ta có b + c b3 c + bc c + a c a + ca3 Do a + b + c a4 + b + b + c + c + a + a4 + b + c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b + ab + b c + bc + c a + ca + a + b + c = a ( a + b + c ) + b ( a + b + c ) + c ( a + b + c ) ( a + b + c ) a3 + b + c . Mặt khác a + b + c ( a + b + c ) a + b + c ( ( ) ( Do ( a + b + c ) a + b + c ) (a + b + c )(a +b +c ) a ) + b + c a4 + b4 + c Dấu = xảy a = b = c = Câu 4: Cho đoạn thẳng AB, gọi O trung điểm AB. Vẽ phía AB tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C tia Ax, điểm D tia By cho COD = 900 a) Chứng minh ACO BOD OCD BOD b) Kẻ OI CD (I CD), gọi K giao điểm AD BC. Chứng minh IK // AC c) Gọi E giao điểm OD với IK. Chứng minh IE = BD y Lời giải: a) Xét ACO BOD có CAO = OBD = 900 (gt) D AOC = BDO (cùng phụ BOD) x ACO BOD (g g) I CO AO CO OD CO OD (Vì AO = OB) = = = OD BD AO BD OB BD C K Xét OCD BOD có CO OD = OCD BOD (c g c) OB BD B A COD = OBD = 900 (gt) O b) Ta có ACO BOD ACO = BOD OCD BOD DCO = BOD . Do ACO = DCO E Xét CAO ( CAO = 900 ) CIO ( CIO = 900 ) có: ACO = DCO CAO = CIO (Cạnh huyền góc nhọn) CA = CI. Chứng minh tơng tự ta có CO chung DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) DB = DI CA AB (gt) DK DB DI CA // DB (Hệ định lí TaLets) Mặt khác = = AK CA CI DB AB (gt) DK DI Từ ta có suy IK // AC (Định lí đảo định lí TaLes) = AK CI c) Theo câu b) ta có IK // AC mà AC // BD nên IK // BD IED = BDE (so le) Mặt khác DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) BDE = IDE . Do IED = IDE IED cân I IE = ID mà ID = BD (Theo câu b). Vậy IE = BD 22 23 2n+1 22014 + + + . + + . + n 2013 2013 + 20132 + 20132 + 2013 + 2013 + 1 So sánh S với 1006 x ( y + 1) x ( y 1) x x 2x x x 2x Lời giải: Ta có = = = y y +1 y y +1 y y ( y 1)( y + 1) Câu 5: Cho S = 2013 Lần lợt thay x 2; 22; 23; ; 22014 y 2013; 20132; 20132 ; ; 20132 đợc 22 22 23 22014 22015 S= + + . + = 2013 2014 2013 20132 20132 20132 20132 2013 1 22015 1 = < . Vậy S < 22014 1006 2013 1006 1006 Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn [...]... 20132 20132 − 1 = . **************************** ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán - Lớp 8 Bài Câu Nội dung Điểm Bài 1: 2,0đ 11 10 - 1 = (11 - 1)(11 9 +11 8 + 11 7 . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2010 -2011 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề) (Đề gồm có 01 trang) . ĐỀ CHÍNH THỨC Trần Văn Hồng Phòng GD&ĐT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 HƯỚNG DẪN CHẤM