Tuyển tập 36 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)

91 3,783 17
  • Loading ...
    Loading ...
    Loading ...

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

Tài liệu liên quan

Thông tin tài liệu

Ngày đăng: 23/09/2015, 21:46

PHềNG GD&T QUNH LU KHO ST NNG KHIU HC SINH LP NM HC 2014 - 2015 THI CHNH THC thi mụn: Toỏn Thi gian: 120 phỳt (Khụng k thi gian giao ) Cõu (2,5 im). x2 + + : x + x 3x 27 3x Cho biu thc A = a) Nờu iu kin xỏc nh ri rỳt gn A. b) Tỡm giỏ tr ca x giỏ tr ca A < -1. Cõu (2,5 im). a) Gii phng trỡnh: x3 3x = 0. b) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: P = x2 + 5y2 + 2xy 4x 8y + 2015. Cõu (1,0 im). Cho cỏc s: x, y, x tha món: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx v x2014 + y2014 + z2014 = 3. Tớnh giỏ tr ca biu thc: P = x25 + y4 + z2015. Cõu (3,0 im). Cho hỡnh vuụng ABCD cú AC ct BD ti O. M l im bt k thuc cnh BC (M khỏc B, C). Tia AM ct ng thng CD ti N. Trờn cnh AB ly im E cho BE = CM. a) Chng minh: OEM vuụng cõn. b) Chng minh: ME // BN. c) T C, k CH BN (H BN). Chng minh rng ba im O, M, H thng hng. Cõu (1,0 im). Cho S = 1.2.3 + 2.3.4 + 3.4.5 + .+ k(k + 1)(k + 2) (vi k N*). Chng minh rng: 4S + 1l bỡnh phng ca mt s t nhiờn. ------ Ht ------ H v tờn thớ sinh: SBD: HNG DN CHM MễN: TON Ni dung Cõu 1a. 1b 2a. 2b. KX: x -3;0;3 x 3x + x x + x+3 A= : = x x( x 3) 3(3 x)(3 + x) Vi x {-3;0;3} ta cú: x+3 < > x > A < x x Kt hp vi iu kin ta cú < x thỡ A < -1 x3 - 3x - = (x3 + 1) 3(x + 1) = (x + 1)(x2 x 2) = (x - 2)(x + 1)2 = x = 2; x = - P = x2 + 5y2 + 2xy 4x 8y + 2015 P = (x2 + y2 + 2xy) 4(x + y) + + 4y2 4y + + 2010 P = (x + y 2)2 + (2y 1)2 + 2010 2010 => Giỏ tr nh nht ca P = 2010 x = ; y = 2 Ta cú: x2 + y2 + z2 = xy + yz + zx 2(x2 + y2 + z2) = 2(xy + yz + zx) (x - y )2 +( y z)2 + (z x)2 = im 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,25 x = y = z 3. Thay vo biu thc: x2014 + y2014 + z2014 = => x = y = z = 0,25 0,25 Vi x = y = z = thi P = Vi x = y = z = -1 thỡ P = -1 0,25 E A B O M H' D C 4a Xột OEB v OMC Vỡ ABCD l hỡnh vuụng nờn ta cú OB = OC V B1 = C1 = 450 BE = CM ( gt ) Suy OEB = OMC ( c .g.c) H N 0,5 OE = OM v O1 = O3 Li cú O2 + O3 = BOC = 900 vỡ t giỏc ABCD l hỡnh vuụng 4b O2 + O1 = EOM = 900 kt hp vi OE = OM OEM vuụng cõn ti O 0,5 T (gt) t giỏc ABCD l hỡnh vuụng AB = CD v AB // CD AM BM + AB // CD AB // CN = ( Theo L Ta- lột) (*) MN MC M BE = CM (gt) v AB = CD AE = BM thay vo (*) AM AE Ta cú : = ME // BN ( theo L o ca l Ta-lột) MN EB Gi H l giao im ca OM v BN 0,25 0,25 0,25 0,25 T ME // BN OME = OH ' B ( cp gúc ng v) M OME = 450 vỡ OEM vuụng cõn ti O 4c MH ' B = 450 = C1 OMC BMH (g.g) OM MC = ,kt hp OMB = CMH ' ( hai gúc i nh) BM MH ' OMB CMH (c.g.c) OBM = MH ' C = 450 Vy BH ' C = BH ' M + MH ' C = 900 CH ' BN M CH BN ( H BN) H H hay im O, M, H thng hng (pcm) Ta cú: k(k + 1)(k + 2) = = 0,25 0,25 0,25 0,25 1 k (k + 1)(k + 2). 4= k(k + 1)(k + 2). [ (k + 3) (k 1)] 4 1 k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) 4 0,5 => 4S =1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + . . . + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) - k(k + 1)(k + 2)(k - 1) = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) => 4S + = k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + k(k + 1)(k + 2)(k + 3) + = k( k + 3)(k + 1)(k + 2) + = (k2 + 3k)(k2 + 3k +2) + = (k2 + 3k + 1)2 Suy pcm. (Hc sinh lm cỏch khỏc ỳng cho im ti a) 0,25 Mt khỏc 0,25 S GIO DC V O TO BC GIANG K THI CHN HC SINH GII VN HO CP TNH NM HC 2012-2013 MễN THI: TON; LP: PH THễNG THI CHNH THC Ngy thi: 30/3/2013 Thi gian lm bi 150 phỳt, khụng k thi gian giao thi cú 01 trang Cõu 1. (4,5 im) 1) Phõn tớch biu thc sau thnh nhõn t: P = 2a + 7a 2b + 7ab + 2b3 . 2) Cho x + x = . Tớnh giỏ tr biu thc Q = x + x5 + x + x + x + x + . Cõu 2. (4,5 im) x x +1 4026 1) Cho biu thc: R = . Tỡm x biu thc xỏc + : x 2x x + 2x x 4x x nh, ú hóy rỳt gn biu thc. 2) Gii phng trỡnh sau: x ( x 1)( x + 1)( x + ) = . Cõu 3. (4,0 im) 1) Cho n l s t nhiờn l. Chng minh n3 n chia ht cho 24. 2) Tỡm s t nhiờn n n + 4n + 2013 l mt s chớnh phng. Cõu 4. (6,0 im) 1) Cho hỡnh thang ABCD vuụng ti A v D. Bit CD=2AB=2AD v BC = a . a. Tớnh din tớch hỡnh thang ABCD theo a . b. Gi I l trung im ca BC, H l chõn ng vuụng gúc k t D xung AC. Chng minh HDI = 450 . 2) Cho tam giỏc ABC cú BC = a, CA = b, AB = c . di cỏc ng phõn giỏc ca tam giỏc k t cỏc nh A, B, C ln lt l la , lb , lc . Chng minh rng: 1 1 1 + + > + + la lb lc a b c Cõu 5. (1,0 im) Cho hai s khụng õm a v b tho a + b = a + b . Tỡm giỏ tr ln nht ca biu thc: S= a b + a +1 b +1 ---------------Ht---------------Cỏn b coi thi khụng gii thớch gỡ thờm. H v tờn thớ sinh: .S bỏo danh: . Giỏm th (H tờn v ký) Giỏm th (H tờn v ký) S GIO DC V O TO BC GIANG HNG DN CHM BI THI CHN HC SINH GII VN HO CP TNH NGY THI 30 /3/2013 MễN THI: TON; LP: PH THễNG CHNH THC Bn hng dn chm cú 04 trang Cõu Hng dn gii Ta cú P = ( a + b ) + 7ab ( a + b ) = ( a + b ) ( a ab + b ) + ab ( a + b ) = ( a + b ) ( 2a + 2b + 5ab ) = ( a + b ) ( 2a + 4ab + 2b + ab ) (2.5 im) = ( a + b ) 2a ( a + 2b ) + b ( b + 2a ) = ( a + b )( 2a + b )( a + 2b ) Kt lun P = ( a + b )( 2a + b )( a + 2b ) Ta cú Q = x ( x + x3 + x ) + ( x + x3 + x ) + x + x + x + (2.0 im) (4.5 im) 0,5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 = x2 ( x2 + x ) + ( x2 + x ) + x + 0.5 = x2 + x + = 0.5 Vy Q = Cõu 0.5 (4.5 im) x x x +1 . + x ( x ) x ( x + ) x ( x ) 4026 K: x ( x ) Ta cú R = x x (2.5 im) 0.5 0.5 Khi ú: x x + + 4026 x x + x ( x 1)( x + ) + ( x + 1)( x ) = . 4026 x2 2 ( x 4) = . = 4026 x 2013 x Vy R xỏc nh v R = 2013 x R= 0.5 0.5 0.5 + Nu x , phng trỡnh ó cho tr thnh ( x )( x 1)( x + 1)( x + ) = 0.5 ( x 1)( x ) = x4 5x2 = x2 ( x2 5) = (2 im) x = (l ) x = ( tm ) x = ( l ) Nu x , phng trỡnh ó cho tr thnh ( x )( x 1)( x + 1)( x + ) = 0.5 0.5 ( x )( x 1)( x + 1)( x + ) = ( x 1)( x ) = x4 5x2 + = x + = vụ nghim KL: Phng trỡnh cú mt nghim x = . 0.25 0.25 Cõu (4 im) Ta cú n n = n ( n 1)( n + 1) 0.5 Vỡ n 1; n; n + l ba s t nhiờn liờn tip nờn cú mt ba s (2 im) 0.5 ú chia ht cho 3. Do ú ( n3 n )M (1) Vỡ n l s t nhiờn l nờn n v n + l hai s t nhiờn chn liờn tip. Do ú ( n 1)( n + 1)M8 ( n3 n )M8 (2) 0.5 Vỡ v l hai s nguyờn t cựng nờn kt hp vi (1), (2) suy ( n3 n )M 24 (pcm) 0.5 + Gi s n + 4n + 2013 = m , ( m ) + Suy ( n + ) + 2009 = m2 m ( n + ) = 2009 0.5 ( m + n + )( m n ) = 2009 + Mt khỏc 2009 = 2009.1 = 287.7 = 49.41 v m + n + > m n nờn cú cỏc trng hp sau xy ra: (2 im) m + n + = 2009 m = 1005 m n = n = 1002 m + n + = 287 m = 147 m n = n = 138 m + n + = 49 m = 45 TH3: m n = 41 n = TH1: Vy cỏc s cn tỡm l: 1002; 138; 2. Cõu 0.5 TH1: 0.5 0.5 (6 im) A B H I D (4 im) C E a) + Gi E l trung im ca CD, ch ABED l hỡnh vuụng v BEC l tam giỏc vuụng cõn. 0.5 + T ú suy AB = AD = a; BC = 2a 0.5 + Din tớch ca hỡnh thang ABCD l S = = ( AB + CD ) . AD ( a + 2a ) .a = 3a 2 0.5 0.5 b) + ADH = ACD (1) (hai gúc nhn cú cp cnh tng ng vuụng gúc) 0.5 + Xột hai tam giỏc ADC v IBD vuụng ti D v B cú AD IB = = , ú hai tam giỏc ADC v IBD ng dng. DC BD Suy ACD = BDI (2) + T (1) v (2), suy ADH = BDI + M ADH + BDH = 450 BDI + BDH = 450 hay HDI = 450 M A (2 im) B D C + Gi AD l ng phõn giỏc gúc A, qua C k ng thng song song vi AD ct ng thng AB ti M. Ta cú BAD = AMC (hai gúc v trớ ng v) 0.5 0.5 0.5 DAC = ACM (hai gúc v trớ so le trong) M BAD = DAC nờn AMC = ACM hay tam giỏc ACM cõn ti A, suy AM = AC = b AD BA c + Do AD//CM nờn = = CM BM b + c + M CM < AM + AC = 2b c AD 11 > > + (1) b + c 2b la b c 0.5 0.5 + Tng t ta cú 11 1 11 > + (2); > + (3) lb c a la b c 0.5 Cng (1), (2), (3) theo v, ta cú pcm Cõu + Ta cú a + 2a; b + 2b a + b + 2a + 2b a + b 2 + Chng minh c vi hai s dng x, y thỡ im 1 + x y x+ y + a +1+ b +1 a +1 b +1 1im 0.25 0.25 + Do ú S = 0.25 + Kt lun: GTLN ca S l 1, t c a = b = . 0.25 im ton bi (20im) Lu ý chm bi: - - Trờn õy ch l s lc cỏc bc gii, li gii ca hc sinh cn lp lun cht ch, hp logic. Nu hc sinh trỡnh by cỏch lm khỏc m ỳng thỡ cho im cỏc phn theo thang im tng ng. Vi bi 4, nu hc sinh v hỡnh sai hoc khụng v hỡnh thỡ khụng chm. PHềNG GIO DC V O TO QUN NG HNH SN Kè THI CHN HC SINH GII NM HC 2012-2013 CHNH THC MễN THI: TON - LP Thi gian: 150 phỳt (khụng tớnh thi gian giao ủ) Bi 1: (1,50 ủim) 2a + thnh hiu hai bỡnh phng. a (a + 1) 2.1 + 2.2 + 2.3 + 2.2012 + b./ Cho M = 2 + + + . + 2 (1 + 1) (2 + 2) (3 + 3) (20122 + 2012) a./ Hóy vit biu thc sau : Chng minh rng M < Bi 2: (2,00 ủim) a./ Chng minh rng n3 28n chia ht cho 48 vi mi n l s nguyờn chn x + 3x + 3x + = x + x x + 15 x Bi 3: (2,50 ủim) Cho biu thc P = + + : x x x x + x b./ Gii phng trỡnh sau: a./ Rỳt gn biu thc P. b./ Tỡm cỏc giỏ tr ca x ủ P > -1 c./ Gii phng trỡnh P = Bi 4: (1,00 ủim). Cho a > ; b > v a2 + b2 = 10; Tỡm giỏ tr nh nht ca Q = 1 + a b2 Bi 5: (3,00 ủim) Cho tam giỏc ABC cú AB = 2a; AC = 3a; BC = 4a. ng phõn giỏc AD v BE ct ti I. Gi M l trung ủim ca AC, G l trng tõm tam giỏc ABC. a./ Tớnh ủ di ủon thng BD theo a. b./ Chng minh IG // AC c./ Tớnh t s din tớch ca t giỏc EIGM v ABC HT Trn Vn Hng Phũng GD&T 0.5 x + x + = x + x + x + = x ( x + 1) + ( x + 1) = ( x + 1)( x + ) 1.2 0,5 (1,25 i m) x + 2008 x + 2007 x + 2008 = x + x + 2007 x + 2007 x + 2007 + 0,25 = x + x + + 2007 ( x + x + 1) = ( x + 1) x + 2007 ( x + x + 1) 0,25 = ( x + x + 1)( x x + 1) + 2007 ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x x + 2008 ) 0,25 2. 2,0 2.1 x x + + x = (1) + Nu x 1: (1) ( x 1) = x = (tha iu kin x 1). 0,5 + Nu x < 1: (1) x x + = x x ( x 1) = ( x 1)( x 3) = x = 1; x = (c hai u khụng hn 1, nờn b loi) Vy: Phng trỡnh (1) cú mt nghim nht l x = . 2.2 0,5 1 x + + x + x + x + = ( x + ) (2) x x x x iu kin phng trỡnh cú nghim: x 2 1 (2) x + + x + x + x + = ( x + ) x x x x 0,25 1 2 x + x + = ( x + ) ( x + ) = 16 x x x = hay x = v x . Vy phng trỡnh ó cho cú mt nghim x = 0,5 0,25 2.0 3.1 3.2 Ta cú: 1 a a b b c c A= ( a + b + c )( + + ) = + + + + + + + + a b c b c a c a b a b a c c b =3+ ( + ) + ( + ) + ( + ) b a c a b c x y M: + (BT Cụ-Si) y x Do ú A + + + = 9. Vy A Ta cú: P( x) = ( x + )( x + )( x + )( x + ) + 2008 = ( x + 10 x + 16 )( x + 10 x + 24 ) + 2008 0,5 0,5 0,5 t t = x + 10 x + 21 (t 3; t 7) , biu thc P(x) c vit li: P( x) = ( t 5)( t + 3) + 2008 = t 2t + 1993 0,5 Do ú chia t 2t + 1993 cho t ta cú s d l 1993 4,0 4.1 4.2 4.3 + Hai tam giỏc ADC v BEC cú: Gúc C chung. CD CA (Hai tam giỏc = CE CB vuụng CDE v CAB ng dng) Do ú, chỳng dng dng (c.g.c). Suy ra: BEC = ADC = 1350 (vỡ tam giỏc AHD vuụng cõn ti H theo gi thit). Nờn AEB = 450 ú tam giỏc ABE vuụng cõn ti A. Suy ra: BE = AB = m BM BE AD Ta cú: (do BEC ADC ) = = BC BC AC m AD = AH (tam giỏc AHD vuụng võn ti H) BM AD AH BH BH nờn (do ABH CBA ) = = = = BC AC AC AB BE Do ú BHM BEC (c.g.c), suy ra: BHM = BEC = 1350 AHM = 450 Tam giỏc ABE vuụng cõn ti A, nờn tia AM cũn l phõn giỏc gúc BAC. GB AB AB ED AH HD Suy ra: , m = = ( ABC DEC ) = ( ED // AH ) = GC AC AC DC HC HC GB HD GB HD GB HD Do ú: = = = GC HC GB + GC HD + HC BC AH + HC 1,0 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 S 11 Bi 1: (2im) 3x y 4xy b) Nu a, b, c l cỏc s dng ụi mt khỏc thỡ giỏ tr ca a thc sau l s dng: A = a + b3 + c3 3abc Bi 2: (2 im) Chng minh rng nu a + b + c = thỡ: a b a b b c c a c A= + + + + =9 a b a b b c c a c Bi 3: (2 im) Mt ụ tụ phi i quóng ng AB di 60 km thi gian nht nh. Na quóng ng u i vi tc ln hn tc d nh l 10km/h. Na quóng ng sau i vi tc kộm hn tc d nh l km/h. Tớnh thi gian ụ tụ i trờn quóng ng AB bit ngi ú n B ỳng gi. Bi 4: (3 im) Cho hỡnh vuụng ABCD trờn cnh BC ly im E. T A k ng thng vuụng gúc vi AE ct ng thng CD ti F. Gi I l trung im ca EF. AI ct CD ti M. Qua E dng ng thng song song vi CD ct AI ti N. a) Chng minh t giỏc MENF l hỡnh thoi. b) Chng minh chi vi tam giỏc CME khụng i E chuyn ng trờn BC Bi 5: (1 im) x + 3x + = y Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: a) Cho x 2xy + 2y 2x + 6y + 13 = .Tớnh N = THI HC SINH GII TON LP Bi 1: (2 im) a) Phừn tch thnh tha s: (a + b + c) a b c b) Rt gn: x x 12 x + 45 3x 19 x + 33x Bi 2: (2 im) Chng minh rng: A = n (n 7) 36n chia ht cho 5040 vi mi s t nhin n. Bi 3: (2 im) a) Cho ba mỏy bm A, B, C hỳt nc trờn ging. Nu lm mt mnh th my bm A hỳt ht nc 12 gi, mỏy bm B hỳt htnc 15 gi v mỏy bm C hỳt ht nc 20 gi. Trong gi u hai mỏy bm A v C cựng lm vic sau ú mi dựng n mỏy bm B. Tnh xem bao lừu th ging s ht nc. b) Gii phng trnh: x + a x 2a = 3a (a l hng s). Bi 4: (3 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti C (CA > CB), mt im I trờn cnh AB. Trờn na mt phng b AB cú cha im C ngi ta k cỏc tia Ax, By vuụng gúc vi AB. ng thng vuụng gúc vi IC k qua C ct Ax, By ln lt ti cỏc im M, N. a) Chng minh: tam giỏc CAI ng dng vi tam giỏc CBN. b) So snh hai tam gic ABC v INC. c) Chng minh: gỳc MIN = 900. d) Tm v tr im I cho din tớch IMN ln gp ụi din tớch ABC. Bi 5: (1 im) Chng minh rng s: 22499 .4 09 l s chớnh phng. ( n ). 14 24 39100 14 424 n-2 số n số THI HC SINH GII TON LP Bi 1: (2,5im) Phõn tớch a thc thnh nhõn t a) x5 + x +1 b) x4 + c) x x - 3x + x -2 vi x > Bi : (1,5im) Cho abc = Rỳt gn biu thc: A= a b 2c + + ab + a + bc + b + ac + 2c + Bi 3: (2im) Cho 4a2 + b2 = 5ab v 2a > b > Tớnh: P = ab 4a b 2 Bi : (3im) Cho tam giỏc ABC cõn ti A. Trn BC ly M bt kỡ cho BM < CM. T N v ng thng song song vi AC ct AB ti E v song song vi AB ct AC ti F. Gi N l im i xng ca M qua E F. a) Tớnh chu vi t giỏc AEMF. Bit : AB =7cm b) Chng minh : AFEN l hỡnh thang cõn c) Tớnh : ANB + ACB = ? d) M v trớ no t giỏc AEMF l hỡnh thoi v cn thờm iu kin ca ABC cho AEMF l hỡnh vuụng. Bi 5: (1im) Chng minh rng vi mi s nguyờn n thỡ : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia ht cho 23. THI HC SINH GII TON LP Bi 1: (4 im) Phõn tớch cỏc a thc sau thnh nhõn t: a) (x + y + z) x3 y3 z3. b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010. Bi 2: (2 im) Gii phng trỡnh: x 241 x 220 x 195 x 166 + + + = 10 . 17 19 21 23 Bi 3: (3 im) Tỡm x bit: 2 ( 2009 x ) + ( 2009 x )( x 2010 ) + ( x 2010 ) ( 2009 x ) ( 2009 x )( x 2010 ) + ( x 2010 ) = 19 . 49 Bi 4: (3 im) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc A = 2010x + 2680 . x2 + Bi 5: (4 im) Cho tam giỏc ABC vuụng ti A, D l im di ng trờn cnh BC. Gi E, F ln lt l hỡnh chiu vuụng gúc ca im D lờn AB, AC. a) Xỏc nh v trớ ca im D t giỏc AEDF l hỡnh vuụng. b) Xỏc nh v trớ ca im D cho 3AD + 4EF t giỏ tr nh nht. Bi 6: (4 im) Trong tam giỏc ABC, cỏc im A, E, F tng ng nm trờn cỏc cnh BC, CA, AB cho: AFE = BFD, BDF = CDE, CED = AEF . a) Chng minh rng: BDF = BAC . b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7. Tớnh di on BD. Mt li gii: Bi 1: a) (x + y + z) x3 y3 z3 = ( x + y + z ) x y3 + z3 = ( y + z ) ( x + y + z ) + ( x + y + z ) x + x ( y + z ) ( y yz + z ) = ( y + z ) ( 3x + 3xy + 3yz + 3zx ) = ( y + z ) x ( x + y ) + z ( x + y ) = ( x + y )( y + z )( z + x ) . b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010 = ( x x ) + ( 2010x + 2010x + 2010 ) = x ( x 1) ( x + x + 1) + 2010 ( x + x + 1) = ( x + x + 1)( x x + 2010 ) . Bi 2: x 241 x 220 x 195 x 166 + + + = 10 17 19 21 23 x 241 x 220 x 195 x 166 1+ 2+ 3+ 4=0 17 19 21 23 x 258 x 258 x 258 x 258 + + + =0 17 19 21 23 1 ( x 258 ) + + + = 17 19 21 23 x = 258 Bi 3: 2 ( 2009 x ) + ( 2009 x )( x 2010 ) + ( x 2010 ) ( 2009 x ) ( 2009 x )( x 2010 ) + ( x 2010 ) = 19 . 49 KX: x 2009; x 2010 . t a = x 2010 (a 0), ta cú h thc: ( a + 1) ( a + 1) a + a = 19 ( a + 1) + ( a + 1) a + a 49 a + a + 19 = 3a + 3a + 49 49a + 49a + 49 = 57a + 57a + 19 8a + 8a 30 = a = 2 (tho K) ( 2a + 1) 42 = ( 2a 3)( 2a + ) = a = 4023 4015 hoc x = (tho K) 2 4023 4015 v x = l giỏ tr cn tỡm. Vy x = 2 Bi 4: 2010x + 2680 A= x2 + 335x 335 + 335x + 2010x + 3015 335(x + 3) = = 335 + 335 x2 +1 x2 +1 Vy giỏ tr nh nht ca A l 335 x = 3. Suy x = Bi 5: a) T giỏc AEDF l hỡnh ch nht (vỡ E = A = F$ = 90o ) C t giỏc AEDF l hỡnh vuụng thỡ AD l tia phõn giỏc ca BAC . b) Do t giỏc AEDF l hỡnh ch nht nờn AD = EF Suy 3AD + 4EF = 7AD 3AD + 4EF nh nht AD nh nht F D l hỡnh chiu vuụng gúc ca A lờn BC. Bi 6: a) t AFE = BFD = , BDF = CDE = , CED = AEF = . D A E Ta cú BAC + + = 1800 (*) Qua D, E, F ln lt k cỏc ng thng vuụng gúc vi BC, AC, AB ct ti O. Suy O l giao im ba ng phõn giỏc ca tam giỏc DEF. A OFD + OED + ODF = 90o (1) E F Ta cú OFD + + OED + + ODF + = 270o (2) O o (1) & (2) + + = 180 (**) s s s (*) & (**) BAC = = BDF . b) Chng minh tng t cõu a) ta cú: B = , C = AEF DBF DEC ABC B B D C 5BF 5BF 5BF BD BA = = BD = BD = BD = BF BC 8 7CE 7CE 7CE CD CA = = CD = CD = CD = 8 CE CB AE AB 7AE = 5AF 7(7 CE) = 5(5 BF) 7CE 5BF = 24 AF = AC = CD BD = (3) Ta li cú CD + BD = (4) (3) & (4) BD = 2,5 THI HC SINH GII TON LP Cõu 1: Cho x = b2 + c2 a2 a (b c) ;y= 2bc (b + c)2 a Tớnh giỏ tr P = x + y + xy Cõu 2: Gii phng trỡnh: a, 1 1 = + + a+b x a b x (x l n s) (b c)(1 + a ) (c a)(1 + b) (a b)(1 + c) b, + + =0 x + a2 x + b2 x + c2 (a,b,c l hng s v ụi mt khỏc nhau) Cõu 3: Xỏc nh cỏc s a, b bit: (3x + 1) a b = + 3 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1)2 Cõu 4: Chng minh phng trỡnh: 2x2 4y = 10 khụng cú nghim nguyờn. Cõu 5: Cho ABC; AB = 3AC Tớnh t s ng cao xut phỏt t B v C THI HC SINH GII TON LP Cõu 1: Cho a + b = 1. Tớnh giỏ tr biu thc: M = 2(a3 + b3) 3(a2 + b2) Cõu 2: Chng minh rng: a b c 1, + + = bit abc = 1. ab+a+1 bc+a+1 ac+c+1 n + n +1 * 2, (n N ) khụng l phõn s ti gin. n + n +1 Cõu 3: Cho biu thc: 1 1 P= + + + + a a a 3a + a 5a + a 7a + 12 a 9a + 20 a. Tỡm iu kin P xỏc nh. b. Rỳt gn P. c. Tớnh giỏ tr ca P bit a3 - a2 + = Cõu 4*: Tỡm s t nhiờn n a thc: A(x) = x2n + xn +1 chia ht cho a thc x2 + x + Cõu 5: Cho hỡnh bỡnh hnh ABCD cú AD = 2AB. K ng thng qua C v vuụng gúc vi AB ti E. Gi M l trung im ca AD. a. Chng minh: tam giỏc EMC cõn. b. Chng minh: Gúc BAD = gúc AEM. c. Gi P l mt im thuc on thng EC. Chng minh tng khong cỏch t P n Me v n MC khụng ph thuc vo v trớ ca P trờn EC. THI HC SINH GII TON LP Bi 1: (2 im) a) Phõn tớch a thc sau thnh nhõn t: a(b + c) (b c) + b(c + a) (c a ) + c(a + b) (a b) 1 b) Cho a, b, c khỏc nhau, khỏc v + + = a b c 1 Rỳt gn biu thc: N = + + a + 2bc b + 2ca c + 2ab Bi 2: (2im) a) Tỡm giỏ tr nh nht ca biu thc: M = x + y xy x + y + b) Gii phng trỡnh: ( y 4,5) + ( y 5,5) = Bi 3: (2im) Mt ngi i xe mỏy t A n B vi tc 40 km/h. Sau i c 15 phỳt, ngi ú gp mt ụ tụ, t B n vi tc 50 km/h. ụ tụ n A ngh 15 phỳt ri tr li B v gp ngi i xe mỏy ti mt mt a im cỏch B 20 km. Tớnh quóng ng AB. Bi 4: (3im) Cho hỡnh vuụng ABCD. M l mt im trờn ng chộo BD. K ME v MF vuụng gúc vi AB v AD. a) Chng minh hai on thng DE v CF bng v vuụng gúc vi nhau. b) Chng minh ba ng thng DE, BF v CM ng quy. c) Xỏc nh v trớ ca im M t giỏc AEMF cú din tớch ln nht. Bi 5: (1im) 2 Tỡm nghim nguyờn ca phng trỡnh: 3x + y = 345 THI HC SINH GII TON LP Cõu 1: Phõn tớch thnh nhõn t: a, a3 + b3 + c3 3abc b, (x-y)3 +(y-z)3 + (z-x)3 Cõu 2: Cho A = x(1 x ) x3 + x3 : ( + x )( x) x 1+ x 1+ x a, Rỳt gn A b, Tỡm A x= - c, Tỡm x 2A = Cõu 3: a, Cho x+y+z = 3. Tỡm giỏ tr nh nht ca M = x2 + y2 + z2 b, Tỡm giỏ tr ln nht ca P = x ( x + 10) Cõu 4: a b c + + 0, CMR: 1< b, Cho x,y CMR: x2 y x y + + x y x y Cõu 5: Cho ABC u cú di cnh l a, kộo di BC mt on CM =a a, Tớnh s o cỏc gúc ACM b, CMR: AM AB c, Kộo di CA on AN = a, kộo di AB on BP = a. CMR MNP u. phòng gdgd-đt đức thọ Đề thi thức đề thi olympic toán năm học 20122012-2013 Thời gian làm 120 phút 4xy 1 : + 2 2 y x y x y + 2xy + x a) Tìm điều kiện x, y để giá trị A đợc xác định b) Rút gọn A c) Nếu x, y số thực thỏa mãn 3x + y + 2x 2y = 1, tìm giá trị nguyên đơng A ? Câu 1: Cho biểu thức A = y x y x Lời giải: a) ĐKXĐ A là: y + 2xy + x y 1 2+ y x y + 2xy + x ( y x )( y + x ) = 2x + 2xy 4xy 2y 4xy b) A = 2 : = . y x ( y x )( y + x ) 2y ( y x )( y + x ) c) ĐK cần: Từ điều kiện 3x + y + 2x 2y = 2x + 2xy + x 2xy + y + ( x y ) + = 2 2x + 2xy + ( x y ) + ( x y ) + = 2x + 2xy + ( x y + 1) = 2 2x + 2xy = ( x y + 1) . Do < A nên giá trị A cần tìm A {1;2} ĐK đủ: Với A = ( x y + 1) = Xét x y + = x = y (loại x y) Xét x y + = x = y thay vào 3x + y + 2x 2y = đợc ( y ) + y + ( y ) 2y = 4y 12y + = 4y 12y + = ( 2y ) 3+ y = 2y = 2 =2 2y = y = 3+ 2 ; y= x= x= 2 2 Với A = ( x y + 1) = x y + = x = y thay vào 3x + y + 2x 2y = đợc y= y = (loại) ( y 1) + y + ( y 1) 2y = 4y 6y = 2y ( 2y ) = x= y = + Vậy A = ( x;y ) ; ; ; 2 2 A = ( x;y ) ; 2 x 17 x 15 x 13 x 11 + = + 2008 2010 2012 2014 2 b) Tìm số x, y, z biết x + y + z = xy + yz + zx x 2012 + y 2012 + z 2012 = 32013 Câu 2: a) Giải phơng trình sau x 17 x 15 x 13 x 11 1+ 1= 1+ 2008 2010 2012 2014 x 2025 x 2025 x 2025 x 2025 1 + = + x 2025 + =0 2008 2010 2012 2014 2008 2010 2012 2014 Lời giải: a) Phơng trình tơng đơng ( ) 1 1 1 1 nên > > + >0 2008 2012 2010 2014 2008 2010 2012 2014 Do ta có x 2025 = x = 45 . Tập nghiệm phơng trình là: S = {45;45} Vì b) Từ giả thiết x + y + z = xy + yz + zx 2x + 2y + 2z 2xy 2yz 2zx = (x y) + (y z) + (z x) = x y = y z = z x = x = y = z Do x 2012 + y 2012 + z 2012 = 32013 3x 2012 = 2013 x = . Vậy x = y = z = 3; x = y = z = -3 4x = m + , với m tham số. Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng x b) Chứng minh a + b + c a3 + b3 + c a + b + c 4x Lời giải: a) ĐKXĐ: x 1. Ta có = m + 4x = ( x 1)( m + ) 4x = x ( m + ) ( m + ) x 4x = x ( m + ) ( m + ) x ( m 1) = m + Câu 3: a) Cho phơng trình Nếu m = = nên phơng trình vô nghiệm m+2 Nếu m x = . Để phơng trình có nghiệm dơng m m + 2 9 m +) m m2 + m > m2 + m + > m + > 4 ( m + )( m 1) > m + > m 1 m + > m < -2; m > 1. Vậy giá trị m cần tìm m < -2; m > 2 b) Ta dễ dàng chứng minh đợc a + b a3b + ab3 . Thật a + b a 3b + ab3 a3 ( a b ) b3 ( a b ) ( a b ) a3 b ( (a b) ( ) b 3b2 a + ab + b ( a b ) a + + với a, b ) Chứng minh tơng tự ta có b + c b3 c + bc c + a c a + ca3 Do a + b + c a4 + b + b + c + c + a + a4 + b + c ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) a b + ab + b c + bc + c a + ca + a + b + c = a ( a + b + c ) + b ( a + b + c ) + c ( a + b + c ) ( a + b + c ) a3 + b + c . Mặt khác a + b + c ( a + b + c ) a + b + c ( ( ) ( Do ( a + b + c ) a + b + c ) (a + b + c )(a +b +c ) a ) + b + c a4 + b4 + c Dấu = xảy a = b = c = Câu 4: Cho đoạn thẳng AB, gọi O trung điểm AB. Vẽ phía AB tia Ax, By vuông góc với AB. Lấy điểm C tia Ax, điểm D tia By cho COD = 900 a) Chứng minh ACO BOD OCD BOD b) Kẻ OI CD (I CD), gọi K giao điểm AD BC. Chứng minh IK // AC c) Gọi E giao điểm OD với IK. Chứng minh IE = BD y Lời giải: a) Xét ACO BOD có CAO = OBD = 900 (gt) D AOC = BDO (cùng phụ BOD) x ACO BOD (g g) I CO AO CO OD CO OD (Vì AO = OB) = = = OD BD AO BD OB BD C K Xét OCD BOD có CO OD = OCD BOD (c g c) OB BD B A COD = OBD = 900 (gt) O b) Ta có ACO BOD ACO = BOD OCD BOD DCO = BOD . Do ACO = DCO E Xét CAO ( CAO = 900 ) CIO ( CIO = 900 ) có: ACO = DCO CAO = CIO (Cạnh huyền góc nhọn) CA = CI. Chứng minh tơng tự ta có CO chung DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) DB = DI CA AB (gt) DK DB DI CA // DB (Hệ định lí TaLets) Mặt khác = = AK CA CI DB AB (gt) DK DI Từ ta có suy IK // AC (Định lí đảo định lí TaLes) = AK CI c) Theo câu b) ta có IK // AC mà AC // BD nên IK // BD IED = BDE (so le) Mặt khác DBO = DIO (Cạnh huyền góc nhọn) BDE = IDE . Do IED = IDE IED cân I IE = ID mà ID = BD (Theo câu b). Vậy IE = BD 22 23 2n+1 22014 + + + . + + . + n 2013 2013 + 20132 + 20132 + 2013 + 2013 + 1 So sánh S với 1006 x ( y + 1) x ( y 1) x x 2x x x 2x Lời giải: Ta có = = = y y +1 y y +1 y y ( y 1)( y + 1) Câu 5: Cho S = 2013 Lần lợt thay x 2; 22; 23; ; 22014 y 2013; 20132; 20132 ; ; 20132 đợc 22 22 23 22014 22015 S= + + . + = 2013 2014 2013 20132 20132 20132 20132 2013 1 22015 1 = < . Vậy S < 22014 1006 2013 1006 1006 Lời giải: Nguyễn Ngọc Hùng THCS Hoàng Xuân Hãn [...]... 20132 20132 − 1 = . **************************** ĐỀ CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2011-2012 Môn: Toán - Lớp 8 Bài Câu Nội dung Điểm Bài 1: 2,0đ 11 10 - 1 = (11 - 1)(11 9 +11 8 + 11 7 . GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2010 -2011 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 Thời gian: 150 phút (không tính thời gian giao đề) (Đề gồm có 01 trang) . ĐỀ CHÍNH THỨC Trần Văn Hồng Phòng GD&ĐT PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THCS QUẬN NGŨ HÀNH SƠN NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN - LỚP 8 HƯỚNG DẪN CHẤM
- Xem thêm -

Xem thêm: Tuyển tập 36 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết), Tuyển tập 36 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết), Tuyển tập 36 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 (có đáp án chi tiết)

Từ khóa liên quan