TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO LỚP A.PHẦN ĐẠI SỐ: Bài toán 1. So sánh: 2009 20 2009200910 . A , biết: B 1 1 1 A = + + + . + + + 2007 2008 2009 2008 2007 2006 B= + + + . + + 2007 2008 * Bài toán 3. Cho x, y, z, t ∈ N . x y z t Chứng minh rằng: M = x + y + z + x + y + t + y + z + t + x + z + t có giá trị số tự nhiên. Bài toán 4. Tìm x; y ∈ Z biết: a. 25 – y = 8( x – 2009) b. x y = x y + 1997 Bài toán 2. Tính tỉ số c. x + y + = xy – 7. Bài toán 5. Tìm x biết : a. 5(2 x + 3) + 2(2 x + 3) + x + = 16 2 b. x + x − = x + . Bài toán 6. Chứng minh : 19 + 2 + 2 + . + 2 < .2 .3 .4 .10 Bài toán 7. Cho n số x1, x2, ., xn số nhận giá trị -1. Chứng minh x1.x2 + x2.x3 + .+ xn.x1 = n chia hết cho 4. Bài toán 8. Chứng minh rằng: 1 1 1 − + − . + n − − n + . + 2002 − 2004 < 0,2 2 2 2 2 Bài toán 9. Tính giá trị biểu thức A = x n + n giả sử x + x + = . x − 4x Bài toán 10. Tìm max biểu thức: . x2 +1 S= Bài toán 11. Cho x, y, z số dương. Chứng minh : x y z D = 2x + y + z + y + z + x + 2z + x + y ≤ Bài toán 12. Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức : A(x) = ( - 4x + x2 )2004 .( + 4x + x2 )2005 Bài toán 13. Tìm số a, b, c nguyên dương thỏa mãn : a + 3a + = 5b a + = c Bài toán 14. Cho x = 2005. Tính giá trị biểu thức : x 2005 − 2006 x 2004 + 2006 x 2003 − 2006 x 2002 + . − 2006 x + 2006 x − xx−2 + 12 x − Bài toán 15. Rút gọn biểu thức : N= x + x − 20 Bài toán 16. Trong số x, y, z có số dương, số âm số 0. Hỏi số thuộc loại biết : x = y − y z Bài toán 17. Tìm hai chữ số tận tổng sau : B = + + 33 + + . + 32009 Bài toán 18. Cho 3x – 4y = 0. Tìm biểu thức : M = x + y . x2 y2 z x2 + y2 + z + + = . 1 Bài toán 20. Tìm x, y biết : x + y + x + y = Bài toán 19. Tìm x, y, z biết : Bài toán 21. Cho a số gồm 2n chữ số 1, b số gồm n + chữ số 1, c số gồm n chữ số 6. Chứng minh a + b + c + số phương. Bài toán 22. Chứng minh với số tự nhiên a, tồn số tự nhiên b cho ab + số phương. Bài toán 23. Chứng minh chữ số a, b, c thỏa mãn điều kiện ab : cd = a : c abbb : bbbc = a : c . Bài toán 24. Tìm phân số m m m+k khác số tự nhiên k, biết = . n n nk Bài toán 25. Cho hai số tự nhiên a b (a < b). Tìm tổng phân số tối giản có mẫu 7, phân số lớn a nhỏ b. Bài toán 26. Chứng minh rằng: A = + + + + . + n số phương (n lẻ). Bài toán 27. Tìm n biết rằng: n - n + 2n + chia hết cho n + 1. Bài toán 28. Chứng minh rằng: B = 2 + hợp số với số nguyên dương n. Bài toán 29. Tìm số dư chia (n - 1)111 . (n - 1)333 cho n. Bài toán 30. Tìm số tự nhiên n để 1n + 2n + 3n + 4n chia hết cho 5. Bài toán 31. a. Chứng minh rằng: Nếu a không bội số a6 – chia hết cho 7. b. Cho f(x + 1)(x2 – 1) = f(x)(x2 +9) có nghiệm. c. Chứng minh rằng: a5 – a chia hết cho 10. Bài toán 32. Tính giá trị biểu thức: A = y + x − z (x2 – 1) + (y – z)2 = 16. Bài toán 33. Chứng minh rằng: a. 0,5 ( 20072005 – 20032003 ) số nguyên. n +1 1986 2004 − b. M = số nguyên. 1000 2004 − 9  c. Khi viết dạng thập phân số hữu tỉ  − 0,81  11  2004 có 4000 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy. Bài toán 34. So sánh A B biết : A= 1 1 + + + + 2 2 101 102 103 104 105 B = . .3.5 2.7 Bài toán 35. Tìm x biết : a. x + + x +1 + x x + x +1 + x +3 = 57 131 b. (4x – 3)4 = (4x – 3)2 Bài toán 36. Ba ô tô khởi hành từ A phía B. Vận tốc ô tô thứ vận tốc ô tô thứ hai 3km/h. Thời gian ô tô thứ nhất, thứ hai, thứ ba hết quảng đường AB 40 5 giờ, giờ. Tính vận tốc ô tô. Bài toán 37. Chứng minh + a (a ∈ Z+) số vô tỉ. phút, Bài toán 38. Cho số thực a, b cho tập hợp { a2 + a ; b } { b2 + b ; b } nhau. Chứng minh : a = b. Bài toán 39. Cho năm số tự nhiên a, b, c, d, e thỏa mãn : ab = bc = cd = de = ea. Chứng minh : a = b = c = d = e. Bài toán 40. Tìm x, y biết: a. 5x – 17y = 2xy x – y = 5; 2x + 3y = xy. b. x + 2y – 3z = 5xyz (x – 2y)(y + 7) – x = 192 .( xyz > 0) B. Phần hình học Bài toán 41. Tính Aˆ tam giác ABC cân A biết đường thẳng d qua đỉnh A chai tam giác ABC thành hai tam giác cân. Bài toán 42. Cho ∆ ABC vuông cân A, trung tuyến AM. Lấy E ∈ BC. BH, CK ⊥ AE (H, K ∈ AE). Chứng minh ∆ MHK vuông cân. Bài toán 43. Cho ∆ ABC có góc ABC = 50 ; góc BAC = 70 . Phân giác góc ACB cắt AB M. Trên MC lấy điểm N cho góc MBN = 40 . Chứng minh : BN = MC. Bài toán 44. Cho ∆ ABC. Vẽ phía tam giác tam giác vuông cân A ABE ACF. Vẽ AH ⊥ BC. Đường thẳng AH cắt EF O. Chứng minh O trung điểm EF. Bài toán 45. Cho ∆ ABC. Qua A vẽ đường thẳng xy // BC. Từ điểm M cạnh BC vẽ đường thẳng song song với AB, AC chúng cắt xy theo thứ tự D E. Chứng minh : a. ∆ ABC = ∆ MDE b. Ba đường thẳng AM, BD, CE qua điểm. Bài toán 46. Cho ∆ ABC vuông A. Trên cạnh BC lấy hai điểm M N cho BM = BA ;  CN = CA. Tính MAN .  Bài toán 47. Cho ∆ ABC có A = 90 (AB < AC), phân giác AD. Từ D vẽ đường thẳng vuông  góc với BC cắt AC M. Tính MBD .   Bài toán 48. ∆ ABC có B = 75 o ; C = 60 o . Kéo dài BC đoạn thẳng CD cho CD =  BC. Tính ADB .   Bài toán 49. Cho ∆ ABC cân, A = 80 . Trên cạnh BC lấy điểm I cho BAI = 50 ; cạnh AC  lấy điểm K cho ABK = 30 . Hai đoạn thẳng AI BK cắt H. Chứng minh ∆ HIK cân. Bài toán 50. Cho ∆ ABC cân A. Gọi M điểm nằm cạnh BC cho MB < MC. Lấy  điểm O đoạn thẳng AM. Chứng minh AOˆ B > AOC . Bài toán 51. Cho xOy. Trên hai cạnh Ox Oy lấy điểm A B cho OA + OB = 2a. Xác định vị trí A B AB đạt min. Bài toán 52. Cho đoạn thẳng MN = 4cm, điểm O nằm M N. Trên nửa mặt phẳng bờ MN vẽ tam giác cân đỉnh O OMA OMB cho góc đỉnh O 45 . Tìm vị trí O để AB min. Tính độ dài nhỏ đó.  Bài toán 53. Cho ∆ ABC cân A có A = 100 , tia phân giác góc B cắt AC D. Chứng minh BC = BD + AD. Bài toán 54. Cho ∆ ABC vuông có AC = 3AB. Trên AC lấy điểm D E cho AD = DE = EC. Chứng minh AEB + ACB = 45 . Bài toán 55. Cho tam giác ABC cân A, Â = 30 , BC = 2cm. Trên cạnh AC lấy điểm D cho CBD = 60 . Tính độ dài AD.  Bài toán 56. Cho tam giác ABC cân A, B = 75 . Kẻ CH vuông góc với AB. Chứng minh CH = AB . Bài toán 57. Cho tam giác ABC vuông cân B tồn điểm M nằm tam giác cho  MA : MB : MC = : : 3. Tính AMB . Bài toán 58. Nếu a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thỏa mãn điều kiện a2 + b2 > 5c2 c cạnh nhỏ nhất. Bài toán 59. Cho tam giác ABC cân A. Trên trung tuyến BD lấy E cho cho DAE = ABD.   Chứng minh rằng: DAE = ECB . Bài toán 60. Cho ∆ ABC có BAC = 40 , ABC = 60 . Gọi D E điểm tương ứng AC AB cho CBD = 40 ; BCE = 70 . Giả sử BD cắt CE F. Chứng minh rằng: AF ⊥ BC. Bài toán 61. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM, phân giác AN. Từ N vẽ đường thẳng vuông góc với AN cắt AB, AM hai điểm P Q. Từ Q vẽ đường thẳng vuông góc với AB cắt AN O. Chứng minh QO ⊥ BC. Bài toán 62. Cho ∆ ABC. Trung tuyến BM đường phân giác CD cắt I thỏa mãn IB = IC. Từ A kẻ AH ⊥ BC. Chứng minh IM = IH. Bài toán 63. Cho tam giác ABC vuông cân A. Gọi M trung điểm BC, G điểm cạnh AB cho GB = 2GA. Các đường thẳng GM CA cắt D. Đường thẳng qua M vuông góc với CG E cắt AC K. Gọi P giao điểm DE GK. Chứng minh rằng: a. DE = BC b. PG = PE. Bài toán 64. Cho tam giác ABC vuông cân A. Giả sử D điểm nằm bên tam giác cho tam giác ABD cân ADB = 150o. Trên nửa mặt phẳng không chứa D có bờ đường thẳng AC lấy điểm E cho tam giác ACE đều. Chứng minh điểm B, D, E thẳng hàng. Bài toán 65. Cho tam giác ABC, đường trung tuyến BM đường phân giác CD cắt J thỏa mãn điều kiện JB = JC. Từ A kẻ AH vuông góc với cạnh BC. Chứng minh JM = JH. Bài toán 66. Cho tam giác ABC có đường trung tuyến AM, AB = 6cm, AC = 8cm, AM = cm. a. Tính số đo góc BAC b. Tính BC c. Tính diện tích tam giác ABC. Bài toán 67. Cho tam giác ABC có góc BAC 105o, đường phân giacstrong CD đường trung tuyến BM cắt K thỏa mãn KB = KC. Gọi H chân đường cao hạ từ A tam giác ABC. a. Chứng minh HA = HB b. Tính góc ABC góc ACB.’ Bài toán 68. Cho tam giác ABC cân. Trên cạnh đáy BC lấy điểm D cho CD = 2BD. So sánh số đo hai góc BAC CAD. Bài toán 69. Gọi P trung điểm cạnh BC tam giác ABC BE, CF hai đường cao. Đường thẳng qua A, vuông góc với PE, cắt đường thẳng BE N. Gọi K G trung điểm BM CN. Gọi H giao điểm đường thẳng KF GE. CMR: AH ⊥ EF. Bài toán 70. Cho ∆ DEF vuông D, có EK phân giác. Kẻ KM ⊥ EF, kéo dài KM cắt đường thẳng DE I. Chứng minh: a/ DK = KM ; DE = EM. b/ EK ⊥ IF. c/ Nếu cho M trung điểm EF. Chứng minh: DK = . KF ------------------------------ Hết ------------------------------- . TUYỂN CHỌN MỘT SỐ BÀI TOÁN NÂNG CAO LỚP 7 A.PHẦN ĐẠI SỐ: Bài toán 1. So sánh: 20 2009 và 10 20092009 . Bài toán 2. Tính tỉ số B A , biết: 2008 1 20 07 2 3 2006 2 20 07 1 2008 2009 1 2008 1 20 07 1 . Trong 3 số x, y, z có 1 số dương, 1 số âm và một số 0. Hỏi mỗi số đó thuộc loại nào biết : zyyx 23 −= Bài toán 17. Tìm hai chữ số tận cùng của tổng sau : B = 2009432 3 3333 +++++ Bài toán. Bài toán 19. Tìm x, y, z biết : 5432 222222 zyxzyx ++ =++ . Bài toán 20. Tìm x, y biết rằng : x 2 + y 2 + 22 11 yx + = 4 Bài toán 21. Cho a là số gồm 2n chữ số 1, b là số gồm n + 1 chữ số