PHẦN I MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Các dạng tốn bất đẳng thức hình học thuộc dạng tốn khó học sinh phổ thông, học sinh phổ thông sở kể học sinh giỏi lúng túng gặp tốn dạng Nhưng thực phần quan trọng hình học kiến thức bất đẳng thức hình học làm phong phú phạm vi ứng dụng toán học So với bất đẳng thức đại số, bất đẳng thức hình học chưa quan tâm nhiều Một nguyên nhân gây khó giải vấn đề phương pháp tiếp cận khơng phải phương pháp thông thường hay áp dụng hình học khơng phải phương pháp đại số túy Để giải toán bất đẳng thức hình học cần thiết phải biết vận dụng kiến thức hình học đại số cách thích hợp nhạy bén Luận văn giới thiệu số bất đẳng thức hình học phương pháp giải áp dụng cho học sinh phổ thông sở Trong trình soạn thảo, dù cố gắng, chắn chuyên đề không tránh khỏi thiếu sót định tơi mong nhận ý kiến đóng góp từ qúy thầy bạn II PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sử dụng phương pháp phân tích, nghiên cứu tài liệu sở tổng hợp chứng minh vấn đề nghiên cứu đồng thời trình bày tập liên quan III PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong chương trình học học sinh phổ thông sở IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: Các kiến thức hình học số bất đẳng thức thường dùng Chương II: Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học mặt phẳng V CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI Nhận đề tài Lập đề cương Sưu tầm tài liệu Nghiên cứu tài liệu Thực đề tài Chỉnh sửa hoàn thiện luận văn PHẦN II NỘI DUNG CÁC KÍ HIỆU CĨ SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ (O) : Đường tròn tâm O (O; R) : Đường trịn tâm O, bán kính R ABC : Tam giác ABC SABC : Diện tích ABC (ABC) : Đường tròn ngoại tiếp ABC a,b,c : Độ dài cạnh đối diện với đỉnh A, B, C ABC ha, hb, hc : Độ dài đường cao xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC ma, mb, mc : Độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC la, lb, lc : Độ dài đường phân giác xuất phát từ đỉnh A, B, C ABC R, r : Bán kính đường trịn ngoại tiếp , nội tiếp tam giác ra, rb, rc : Bán kính đường trịn bàng tiếp đối diện với đỉnh A, B, C ABC đpcm : Điều phải chứng minh 2p : Chu vi tam giác CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG I Các kiến thức hình học Định lí 1: Gọi R r bán kính đường tròn ngoại tiếp đường tròn ngoại tiếp ABC, d khoảng cách tâm đường tròn ngoại tiếp tâm đường trịn ngoại tiếp ABC Khi đó,ta ln có 2Rr = R2 – d2 Định lí 2: Cho ABC Nếu AC > AB ngược lại Định lí 3: Cho trước ABC A’B’C’ có cặp cạnh AB = A’B’ AC = A’C’ Ta có bất đẳng thức BC > B’C’ Định lí 4: Trong đường xiên nối điểm M cho trước với điểm N đường thẳng d cho trước, đường xiên có hình chiếu dài dài (tương tự cho mặt phẳng (P) bất kì) Định lí 5: Trong đường xiên nối điểm M cho trước với điểm N mặt phẳng (P) cho trước, đường xiên có hình chiếu dài dài Định lí 6: tam giác vng ABC A’B’C’ có AC ≥ A’C’ AB = A’B’ Nếu Định lí 7: Trong góc tam diện, mặt nhỏ tổng hai mặt Định lí 8: Tổng mặt góc đa diện lồi nhỏ 2π Định lí 9: Tổng góc nhị diện góc tam diện lớn π nhỏ 3π Định lí 10: Bán kính hai đường trịn R ≥ r, khoảng cách tâm chúng d Điều kiện cần đủ để hai đường tròn cắt R – r d R + r Định lí 11: Các số dương a, b, c độ dài cạnh tam giác a + b > c, b + c > a c + a > b Định lí 12:Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác.Khi ta ln có: MB + MC < AB + AC Định lí 13: Trong tam giác ABC ứng với cạnh dài đường cao, đường trung tuyến,đường phân giác ngắn Định lí 14: Trong tam giác ABC kí hiệu độ dài đường cao, la độ dài đường phân giác, ma độ dài đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A ta có bất đẳng thức : ma ≥ la ≥ Định lí 15: Đường trung tuyến AM tam giác ABC nhỏ nửa tổng cạnh AB AC xuất phát từ đỉnh A Định lí 16: Hình trịn nội tiếp hình trịn lớn chứa nột tam giác Định lí 17: Một tứ giác lồi bị chứa tứ giác khác ( không thiết lồi ) chu vi tứ giác bị chứa nhỏ chu vi tứ giác chứa bên Định lí 18: Trong nửa mặt phẳng bị chia đường thẳng qua điểm A B có đường gấp khúc AC1C2…CkB AD1D2…DpB cho đa giác AC1C2…CkB AD1D2…DpB đa giác lồi Nếu đa giác AC1C2…CkB chứa đa giác AD1D2…DpB bên đường gấp khúc AC1C2…CkB dài đường gấp khúc AD1D2…DpB Định lí 19: Một đa giác có chu vi khơng nhỏ chu vi đa giác tạo bao lồi Định lí 20: Nếu đa giác lồi chứa đa giác lồi khác chu vi đa giác lớn chu vi đa giác nằm Định lí 21: Độ dài đoạn thẳng nằm đa giác lồi không lớn khoảng cách lớn nối đỉnh Định lí 22: Cho (O; r) điểm M Khi ta có : R – d ≤ MN ≤ R + d Với N điểm đường trịn d khoảng cách từ M tới tâm đường trịn Định lí 23: Cho (O; r) điểm M ngồi đường trịn Khi ta có : d – R ≤ MN ≤ d + R Định lí 24: Cho trước điểm M hình trịn tâm O Trong dây cung qua M, dâycungvng góc với MO có độ dài nhỏ Định lí 25: Gọi P giao điểm đường tròn ( O1 ) ( O2 ) Khi đó, ta có bất đẳng thức MN ≤ 2O1O2 cho dây cung qua P.Dấu « = » xảy MN // O1O2 Định lí 26:Diện tích tam giác ABC khơng lớn Định lí 27:Diện tích tứ giác ABCD khơng vượt q Định lí 28:Trong tam giác có chu vi tam giác có diện tích lớn II Các bất đẳng thức thường dùng • Bất đẳng thức Cauchy Với n ≥ số dương tùy ý x1, x2, …, xn ta có trung bình cộng chúng khơng nhỏ trung bình nhân chúng • Bất đẳng thức BCS (Bunhiacopski – Cauchy – Schwarz) Cho trước n ≥ số thực tùy ý x1, x2, …, xn y1, y2, …, yn ta có bất đẳng thức : • Bất đẳng thức Minkowski • Định lí 29: Cho trước n góc ta có bất đẳng thức sau • • • • Định lí 30: Cho trước n góc ta có bất đẳng thức sau • • • Bất đẳng thức Plotemy Cho điểm A, B, C, D mặt phẳng ta ln có: AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD Dấu “=” xảy Tứ giác ABCD nội tiếp CHƯƠNG II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG I Phương pháp sử dụng quan hệ đường vng góc đường xiên, hình chiếu Lí thuyết - Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm nằm ngồi đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn - Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó: + Đường xiên có hình chiếu lớn lớn + Đường xiên lớn có hình chiếu lớn + Hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại Bài tập vận dụng Bài Cho tam giác ABC có AB ≥ AC điểm M nằm cạnh BC CMR: AB ≥ AM Lời giải Gọi H chân đường cao hạ từ A xuống cạnh BC Suy HM ≤ maxHB, HC Và theo Định lí đường vng góc đường xiên lớp 7, ta có đpcm Bài • Cho tam giác ABC M điểm thuộc AC Chứng minh SABC ; SABC b) Cho tứ giác ABCD Chứng minh SABCD Lời giải • Gọi AH đường cao Ta có SABC M điểm thuộc Do : SABC b) Gọi O giao điểm hai đường chéo AC BD; BH DK hai đường cao Suy BH + DK BO + OD = BD Do : SABCD = SABC + SDAC = = Bài Cho tam giác ABC, AM trung tuyến Chứng minh rằng: AM ≤ ngược lại Lời giải Giả sử Gọi D điểm đối xứng A qua M Suy AD = 2AM M trung điểm hai đoạn thẳng BC AD mà => AB = DC AB // DC => => => Xét tam giác ABC tam giác CDB có: AB = DC, BC cạnh chung Do đó: BC < AD => (vơ lí) 10 AB + AC = BC + Nếu A, B, C thẳng hàng A ngồi B, C AB + AC > BC Vậy với ba điểm A, B, C ta ln có AB + AC BC Bài Tam giác ABC có BC = 10 cm, đường trung tuyến BD CE Chứng minh BD + CE > 15 cm Lời giải Gọi G giao điểm BD CE Theo bất đẳng thức tam giác GBC: GB + GC > BC = 10 cm => => BD + CE > Bài Đường trung trực d đoạn thẳng AB chia mặt phẳng thành hai phần I 43 II hình Cho điểm M thuộc phần I điểm N thuộc phần II Chứng minh rằng: • MA < MB • NA > NB Lời giải • Gọi C giao điểm MB d Ta có: CA = CB ( tính chất đường trung trực) Do : MB = MC + CB = MC + CA Xét : MA < MC + CA Do MA < MB • Gọi D giao điểm AN d Ta có : DA = DB ( tính chất đường trung trực) Do : NA = AD + DN = BD + DN Xét : NB < BD + DN Do NB < NA 44 Bài Cho tứ giác ABCD Gọi E, F, I theo thứ tự trung điểm AD, BC, AC Chứng minh : • EI // CD,IF // AB; • Lời giải • Vì EI // DC, EI = có AE = ED, AI = IC nên Tương tự, IF = • Trong ta có EF EI + IF nên 45 có AI = IC, BF = FC nên Vậy Bài Cho hai điểm A, B thuộc nửa mặt phẳng có bờ đường thẳng xy (AB khơng vng góc với xy) Gọi A’ điểm đối xứng với A qua xy, C giao điểm A’B xy Gọi M điểm khác C thuộc đường thẳng xy Chứng minh AC + CB < AM + MB Lời giải A’ đối xứng với A qua xy => xy đường trung trực AA’ => AC = A’C, AM = A’M Ta có: AC + CB = A’C + CB = A’B, AM + MB = A’M + MB, (1) (2) A’B < A’M + MB (quan hệ ba cạnh 46 ) (3) Từ (1), (2) (3) suy : AC + CB < AM + MB Bài 10 Cho tam giác ABC Điểm M nằm đường phân giác góc ngồi đỉnh C ( M khác C) Chứng minh AC + CB < AM + MB Lời giải Gọi d đường phân giác góc ngồi C Trên tia đối tia CB lấy E cho CE = CA V/ cân C, d đường phân giác góc ACE nên d đường trung trực AE Do MA = ME Ta có : AC + CB = EC + CB = BE, (1) AM + MB = EM + MB, (2) có BE < EM + MB (3) Từ (1), (2) (3) suy AC + CB < AM + MB Bài 11 Cho M điểm nằm tam giác ABC Chứng minh : MB + MC < AB + AC Từ suy MA + MB +MC < AB + AC + BC Lời giải BM cắt cạnh AC D BD < AB + AD 47 MB + MD < AB + AD Xét (1) có : MC < MD + DC (2) Từ (1) (2) suy : MB + MC + MD < AB + AD + DC + MD MB + MC < AB + AC Chứng minh tương tự ta có : MA + MC < AB + BC Do : : MA + MB < AC + BC 2(MA + MB + MC) < 2(AB + AC + BC) MA + MB + MC < AB + AC + BC Chú ý: Từ lời giải tốn ta có điều sau: M điểm nằm tam giác ABC MB + MC AB + AC Bài 12 Cho tam giác ABC, AM trung tuyến Chứng minh rằng: AB + AC > 2.AM Lời giải Giả sử AB + AC 2.AM Gọi D điểm đối xứng A qua M M trung điểm chung hai đoạn thẳng BC AD ABCD hình bình hành AB = DC AD = 2.AM Do có DC + AC AD Điều vơ lí ! Vậy AB + AC 2.AM sai AB + AC > 2.AM Bài 13 Cho O điểm ABC Chứng minh rằng: 48 p < OA + OB + OC < 2p Lời giải Ta có : AB < OA + OB BC < OB +OC AC < OA + OC Nên AB + BC + AC < 2( OA + OB + OC) Hay 2p < 2( OA + OB +OC) p < OA + OB +OC (1) Mặt khác ta lại có: OA + OB < CA + CB OB + OC < AB +AC OA + OC < BA + BC Cộng vế theo vế ta có: 2( OA + OB + OC) < 4p OA + OB + OC < 2p Từ (1) (2) suy đpcm Bài 14 49 (2) Cho tam giác ABC điểm M thuộc miền tam giác.Khi ta ln có: MB + MC < AB + AC Lời giải Kéo dài BM phía M cắt cạnh AC điểm N Theo định lí quan hệ ba cạnh tam giác ta có: AN + AB > BN = BM + MN MN + NC > MC PHẦN III KẾT LUẬN Trong trình thực đề tài em cố gắng tìm tịi hệ thống lại số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học mặt phẳng Ở phương pháp chứng minh bất đẳng thức em đưa kiến thức phần lý thuyết số tập phần vận dụng để em tiếp cận, tư sáng tạo Các toán đưa phương pháp chứng minh bất đẳng thức mang tính tương đối Vì phần lớn tốn bất đẳng thức hình học giải phương pháp nêu Các em học sinh nên xem xét toán phù hợp với phương pháp để làm nhanh dể dàng Sau hoàn thành khóa luận này, em mong trở thành tài liệu bổ ích giúp em học sinh bạn nghành việc tiếp cận, tra cứu tìm hiểu bất đẳng thức hình học cách dễ dàng 50 Do điều kiện thời gian lực nghiên cứu thân cịn hạn chế nên khóa luận em khơng thể tránh khỏi thiếu sót Bản thân em mong nhận góp ý thầy cô giáo bạn sinh viên để đề tài em hoàn thiện Cuối em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Trần Mạnh Hùng cô thầy giáo khoa Khoa học – Tự nhiên có ý kiến đóng góp giúp em hồn thành khóa luận TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Đức Tấn, Chuyên đề bất đẳng thức cực trị hình học phẳng, NXB Giáo Dục [2] Bộ SGK SBT lớp 7, 8, 9, NXB Giáo Dục Việt Nam [3] www.diendantoanhoc.net [4] www.violet.vn [5] www.tailieu.vn 51 MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI, MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU II.PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU III.PHẠM VI NGHIÊN CỨU IV NỘI DUNG NGHIÊN CỨU V CÁC BƯỚC THỰC HIỆN ĐỀ TÀI PHẦN II: NỘI DUNG CÁC KÍ HIỆU CĨ SỬ DỤNG TRONG CHUN ĐỀ 52 CHƯƠNG I: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ HÌNH HỌC VÀ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC THƯỜNG DÙNG I.Các kiến thức hình học II.Các bất đẳng thức thường dùng CHƯƠNG II: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC HÌNH HỌC TRONG MẶT PHẲNG I Phương pháp sử dụng quan hệ đường vng góc đường xiên, hình chiếu Lí thuyết Bài tập vận dụng II Phương pháp sử dụng quan hệ góc cạnh đối diện tam giác 14 Lí thuyết 14 Bài tập vận dụng 15 III Phương pháp sử dụng quan hệ đường kính dây cung 23 Lí thuyết 23 Bài tập vận dụng 23 IV Phương pháp sử dụngquan hệ dây cung bị chắn, quan hệ cung số đo cung đường tròn hay hai đường tròn 28 Lí thuyết 28 Bài tập vận dụng 28 V Phương pháp sử dụng quan hệ số đo cung số đo góc nội tiếp ,góc tâm,… 29 Lí thuyết 29 Bài tập vận dụng 29 VI Phương pháp sử dụng quan hệ ba cạnh tam giác Lí thuyết 30 Bài tập vận dụng 31 PHẦN III : KẾT LUẬN 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………….41 53 30 54 55 LỜI CẢM ƠN Hoàn thành luận văn tốt nghiệp nhiệm vụ quan trọng sinh viên trước rời giảng đường Đại học Đồng thời, luận văn tốt nghiệp thể tâm huyết sinh viên với đề tài nghiên cứu Để đạt kết hơm nay, ngồi nổ lực thân em nhận quan tâm giúp đỡ nhiều người Trước tiên cho em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến thầy Trần Mạnh Hùng, người trực tiếp hướng dẫn em trình thực đề tài Đồng thời, em xin cảm ơn quý thầy cô trường Đại học Quảng Bình nói chung, thầy Khoa Khoa học tự nhiên nói riêng truyền đạt cho em kiến thức kinh nghiệm suốt thời gian qua Em chân thành cám ơn Trung Tâm Học Liệu Trường Đại học Quảng Bình giúp đỡ tạo điều kiện cho em trình tìm kiếm tài liệu hoàn thành luận văn Ngoài ra, em xin chân thành cám ơn bạn lớp Sư phạm Toán Khóa 54 giúp đỡ, động viên cho em học tập trình hoạt động hồn thành luận văn Dù có nhiều cố gắng kiến thức hạn chế nên luận văn chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đóng góp bổ sung quý thầy cô bạn để đề tài hoàn thiện Em xin chân thành cám ơn! Quảng Bình, tháng 06 năm 2015 Sinh viên thực 56 Nguyễn Thị Nhi 57 ... thuyết số tập phần vận dụng để em tiếp cận, tư sáng tạo Các toán đưa phương pháp chứng minh bất đẳng thức mang tính tương đối Vì phần lớn tốn bất đẳng thức hình học giải phương pháp nêu Các em học. .. PHẦN III KẾT LUẬN Trong trình thực đề tài em cố gắng tìm tịi hệ thống lại số phương pháp chứng minh bất đẳng thức hình học mặt phẳng Ở phương pháp chứng minh bất đẳng thức em đưa kiến thức phần... có bất đẳng thức sau • • • Bất đẳng thức Plotemy Cho điểm A, B, C, D mặt phẳng ta ln có: AB.CD + AD.BC ≥ AC.BD Dấu “=” xảy Tứ giác ABCD nội tiếp CHƯƠNG II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG