TIẾP CẬN MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẰNG TIẾNG ANH Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Kiều Linh Chi - Nguyễn Phương Anh - 53A Toán Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Chiến Thắng Mở đầu 1.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu thuộc lĩnh vực đề tài Trong toán học, kết cần phải chứng minh. Việc chứng minh kết toán học tuân theo quy trình: Xuất phát từ tiền đề rút kết suy luận lôgic chặt chẽ. Ở trường phổ thông, phát triển nãng lực chứng minh toán học yêu cầu cãn dạy học môn toán. Ở Việt Nam, nhiều nhà giáo dục toán học nghiên cứu, tìm hiểu phương pháp chứng minh toán học Hoàng Chúng, Nguyễn Bá Kim, Phạm Vãn Hoàn, Trần Thúc Trình, . . . Ở nước ngoài, có nhiều nhà giáo dục toán học nghiên cứu vấn đề này, chẳng hạn G. Polya, J. Wilson, G. Hanna, M. Villiers, . . . Đặc biệt, J. Franklin A. Daoud [3] cấu trúc dạng chứng minh toán học. 1.2. Tính cấp thiết vấn đề nghiên cứu Hội nhập quốc tế xu phát triển nhiều lĩnh vực giáo dục không nằm hướng đó. Năm 2015 nãm nhà lãnh đạo ASEAN định đẩy nhanh việc thực hóa Cộng đồng ASEAN (AC) để đoàn kết đưa khu vực phát triển cách toàn diện đồng đều. Điều mang lại thuận lợi to lớn cho nghiệp phát triển đất nước, bên cạnh đặt thách thức không nhỏ với kinh tế - xã hội phát triển. Cụ thể, với giáo dục đặt nhiệm vụ hàng đầu đào tạo đội ngũ nhân lực hùng hậu có khả nãng hội nhập tốt. Yêu cầu xã hội với người giáo viên ngày cao hõn. Việc dạy học môn tự nhiên nói chung, hay môn toán nói riêng tiếng Anh đòi hỏi cụ thể từ yêu cầu ấy. Ở Việt Nam, dạy học Toán tiếng Anh lĩnh vực nghiên cứu mới. Các kết có chủ yếu sách song ngữ chủ đề toán phổ thông, chưa có nghiên cứu thực sâu sắc vấn đề này. Chính vậy, lựa chọn đề tài: Tiếp cận số dạng toán chứng minh tiếng Anh trường phổ thông. 1.3. Mục tiêu Chỉ số dạng toán chứng minh phát biểu tiếng Anh, cấu trúc thường dùng chứng minh tiếng Anh, đưa 14 ví dụ tương ứng phù hợp với chương trình toán phổ thông Việt Nam, qua tãng cường khả nãng tư Toán học vốn ngoại ngữ thân. 1.4. Phương pháp nghiên cứu Chủ yếu phương pháp nghiên cứu lư luận, bao gồm nghiên cứu, tìm hiểu tài liệu liên quan đến dạng toán chứng minh tiếng Việt tiếng Anh từ nguồn khác nhau. 1.5. Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu dạng toán chứng minh phát biểu tiếng Anh. - Phạm vi nghiên cứu môn toán trường phổ thông. Nội dung nghiên cứu kết nghiên cứu đạt Trong chương trình toán học nói chung, toán học phổ thông nói riêng, việc chứng minh tính chất, định lư, hệ quả. . . hay nói tổng quát chứng minh mệnh đề kỹ nãng thiết yếu việc dạy học nội dung đó. Trong toán học, chứng minh cách trình bày thuyết phục (sử dụng hệ thống tiên đề, tính chất chứng minh từ trước phép suy luận có lư) phát biểu toán học đắn. Chứng minh có từ lập luận suy diễn, tranh luận kiểu dự đoán theo kinh nghiệm. Có nghĩa là, chứng minh phải biểu diễn cho thấy phát biểu với trường hợp, ngoại lệ. Một chứng minh thường đoạn vãn, có yêu cầu cấu trúc gồm câu mở đầu, phần thân đoạn câu kết thúc. Trong đó, câu mở đầu câu đặt vấn đề đối tượng cần chứng minh (the topic sentence), phần thân đoạn (the body) gồm thao tác chứng minh, thao tác, ta nên nói rõ ta thực thao tác với mục đích để trình bày giải cách khoa học có hệ thống, đồng thời giúp người đọc dễ dàng hiểu nội dung, câu kết thúc (the concluding sentence) thông báo cho ta biết việc chứng minh hoàn thành đưa câu trả lời cuối cho toán. Các dấu hiệu kết thúc là: therefore, in conclusion, finally, it now can conclude that, . . . Trong nghiên cứu này, tập trung vào cách chứng minh ba loại mệnh đề toán học tiếng Anh sau đây: (i) “All” statement (mệnh đề “Với mọi”) 15 (ii) “If and only if” statement (mệnh đề “Khi khi”) (iii) “Some”statement (mệnh đề “Tồn tại”) Ở mức độ tiếp cận ban đầu, để chứng minh mệnh đề toán học tiếng Anh, điều phải trình bày tiếng Việt, nghĩa trình bày tiếng Anh, dịch lại câu chữ chứng minh đó. Vãn phong tiếng Anh tiếng Việt không giống nhau. Câu cú chứng minh tiếng Việt đa dạng hình thức từ ngữ, ngôn ngữ Toán học tiếng Anh rõ ràng, sáng tương đối đõn giản. Người học hoàn toàn trình bày tiếng Anh có vốn từ vựng dùng toán chứng minh. 2.1 “All” statement 2.1.1. Dạng mệnh đề có cấu trúc chung sau: All As are Bs. Có nghĩa A B. A, B đối tượng, tính chất đó. Cấu trúc tương đương với số cách diễn đạt khác như: “Any A is a B” (Bất kỳ A B) “Every A is a B” (Mỗi A B) “If anything is an A, then it is a B” (Nếu đối tượng A B). Khi chứng minh dạng mệnh đề tiếng Anh, cần phân biệt vai trò A B. Về mặt lôgic toán học, A giả thiết, có (Supposition), B kết luận, cần chứng minh (Conclusion). Còn mặt ngữ pháp, A chủ ngữ (Subject), B tân ngữ (Object). Ta cần phân biệt để có suy luận hợp lư, hướng, tránh sau nhiều bước lập luận lại quay ban đầu. Ta cần chứng minh A B nên phương pháp thường đối tượng mà thỏa mãn A thỏa mãn B. Do đó, cấu trúc chứng minh thường sau: 16 2.1.2. Ví dụ Example 1: Prove that for the product of three successive integers is divisible by 3. Proof: Let M be the product of three successive integers. So, we have to prove that: . M = x. ( x − 1) . ( x − 2) with x ∈ Z = A ∪ B ∪ C, where A = { x = 3k, k ∈ Z} B = { x = 3k + 1, kZ} C = { x = 3k + 2, k ∈ Z} We have: . ∀ x ∈ A, M = 3k. (3k − 1) .(3k − 2) . ∀ x ∈ B, M = (3k + 1) .3k.(3k − 1) . ∀ x ∈ C, M = (3k + 2). (3k + 1) .3k Therefore, ∀ x ∈ Z = A ∪ B ∪ C, . M = x. ( x − 1) . ( x − 2) 3. Chứng minh: Gọi M tích số nguyên liên tiếp bất kỳ. Khi đó, M = x. ( x − 1) . ( x − 2), ∀ x ∈ Z . Ta cần chứng minh M 3. Ta có: Z = A ∪ B ∪ C với A = { x = 3k, k ∈ Z} B = { x = 3k + 1, k ∈ Z} C = { x = 3k + 2, k ∈ Z} Khi đó: . ∀ x ∈ A, M = 3k. (3k − 1) .(3k − 2) . ∀ x ∈ B, M = (3k + 1) .3k.(3k − 1) . ∀ x ∈ C, M = (3k + 2). (3k + 1) .3k Suy ∀ x ∈ Z = A ∪ B ∪ C, . M = x. ( x − 1) . ( x − 2) 3. Example 2: Prove that every odd integer is congruent to or to modulo 4? Proof: Let n be an odd integer, so we can write n = 2m + 1, m ∈ Z. We now have two cases: * Case 1: m is even. Then, m can be written as 2k (k ∈ Z). So, n = 2(2k ) + = 4n + ⇒ n ≡ 1(mod 4) * Case 2: m is odd. Then, m can be written as 2k + 1(k ∈ Z).So, n = 2(2k + 1) + = 4k + + = 4k + => n ≡ 3(mod 4) Therefore, for every odd integer n, n ≡ (mod 4) or n ≡ (mod 4). 2.2 Chứng minh: Gọi n số nguyên lẻ bất kì. Khi ta có n = 2m + 1, m ∈ Z. Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp 1: m chẵn. Khi m = 2k, (k ∈ Z). n = 2(2k) + = 4n + ≡ 1(mod 4) (1) Trường hợp 2: m lẻ. Khi m = 2k + 1(k ∈ Z). n = 2(2k + 1) + = 4k + + = 4k + ≡ 3(mod 4) (2) Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh. “If and only if” statement 2.2.1. Dạng phát biểu có cấu trúc chung sau: “Something is A if and only if it is B”. Có nghĩa đối tượng A B. Trong tiếng anh mệnh đề viết tắt ‘iff’ thường kí hiệu dấu: Mệnh đề diễn đạt sau: “All As are Bs and all Bs are As”. (Mọi A B đồng thời B A) 17 “Being an A is a necessary and sufficient condition for being a B”. (A điều kiện cần đủ để có B). Điều tương đương với khẳng định sau đúng: Nếu đối tượng A B. Và Nếu đối tượng B A. Do viết chứng minh cho dạng mệnh đề ta cần phải viết hai chứng minh, chứng minh cho khẳng định trên. Cụ thể, ta chứng minh sau: bắt đầu giả thiết mệnh đề A tiến hành chứng minh để suy mệnh đề B đúng, ngược lại, giả thiết mệnh đề B để suy mệnh đề A đúng. Cấu trúc chứng minh tiếng Anh sau: 2.2.2. Ví dụ Example 1: Proof the integer n is odd if and only if n2 is odd. Proof: First we show that n being odd implies that n2 is odd. Let n be odd. Then, we can write n = 2a + for some integer a. Thus, n2 = (2a + 1)2 = 4a2 + 4a + = 2(2a2 + 2) + 1. This expresses n2 as twice an integer, plus 1, so n2 is odd. Chứng minh: Đầu tiên, cho thấy n lẻ có nghĩa n2 lẻ. Giả sử n lẻ. Khi đó, theo định nghĩa số lẻ, n = 2a+1 với số nguyên a đó. Do đó: n2 = (2a+1)2 = 4a2 + 4a + = 2(2a2 +2) +1 Điều cho thấy n2 lần số nguyên cộng với 1, n2 số lẻ. 18 - Conversely, let n2 be odd, we need to prove that n being odd. We use proof by contradiction. Suppose n is not odd. Then n is even, so n = 2a for some integer a. Thus, n2 = (2a)2 = 2.(2a2 ) so n2 is even because it’s twice an integer. It contradicts the hypothesis n2 is odd. - Ngược lại, cần chứng minh n2 lẻ có nghĩa n lẻ. Chúng ta chứng minh phản chứng. Giả sử n lẻ. Vậy n số chẵn, nên n = 2a với a số nguyên. Do đó, n2 = (2a)2 = 2.(2a2 ) nên n2 số chẵn. Điều trái với giả thiết n2 lẻ nêu. Therefore, the integer n is odd if and only if n2 is odd. Như vậy, số nguyên n lẻ n2 lẻ. Trong chứng minh phát biểu “if and only if”, sau chứng minh từ P => Q, trước đưa chứng minh từ Q => P ta nên bắt đầu đoạn vãn với chữ “Conversely” (ngược lại) để nhắc nhở người đọc bạn hoàn thành phần chứng minh chuyển sang phần thứ 2. Đó cách trình bày tốt để người đọc đọc xác đoạn vãn chứng minh. Example 2: Suppose a and b are integers. Prove that a ≡ b (mod 6) if and only if a ≡ b (mod 2) and a ≡ b (mod 3). Proof: - Firstly, we prove that if a ≡ b (mod 6), then a ≡ b (mod 2) and a ≡ b (mod 3). Indeed, since a ≡ b (mod 6), then there is an integer n for which a - b = 6n. a - b = 2.(3n) which implies |(a - b), so a ≡ b (mod 2). But we also get a - b = 3.(2n), which implies |(a - b), so a ≡ b (mod 3). Hence, a ≡ b (mod 2) and a ≡ b (mod 3). 19 Chứng minh: -Đầu tiên, chứng minh a ≡ b (mod 6) a ≡ b (mod 2) a ≡ b (mod 3). Giả sử a ≡ b (mod 6), nên có số nguyên n cho: a – b = 6n a – b = 2.(3n) Do |(a – b), hay a ≡ b (mod 2). Mà, a – b = 3.(2n) hay |(a – b), nên a ≡ b (mod 3). Như a ≡ b (mod 2) a ≡ b (mod 3). - Conversely, suppose that a ≡ b (mod 2) and a ≡ b (mod 3). We prove that a ≡ b (mod 6). Since a ≡ b (mod 2), we get |(a - b), so there is an integer k for which a - b = 2k. Hence, a - b is even. Also, from a ≡ b (mod 3), we get |(a - b), so there is an integer t for which a – b = 3t. But since we know a - b is even, it follows that t must be even also, for if it were odd then a - b= 3t would be odd. Hence t = 2m for some integer m. Thus a - b = 3t = 3.2m = 6m. This means |(a - b), so a ≡ b (mod 6). 2.3 - Ngược lại, giả sử a ≡ b (mod 2) a ≡ b (mod 3) ta chứng minh a ≡ b (mod 6). Từ a ≡ b (mod 2) ta có |(a - b), nên có số nguyên k cho a - b = 2k hay a – b số chẵn. Mặt khác, từ a ≡ b (mod 3) ta có |(a - b), nên có số nguyên t cho: a - b = 3t Nhưng a - b số chẵn, suy t phải số chẵn t số lẻ a - b = 3t số lẻ. Vì thế, t = 2m với m số nguyên đó. Như vậy, a - b = 3t = 3.2m = 6m. Điều có nghĩa |(a - b), hay a ≡ b (mod ). “Some” statement 2.3.1. Cấu trúc chung dạng mệnh đề sau: “Some As are Bs” or “Some A is a B” Mệnh đề “Some” phát biểu nói tồn tổng quát, có nghĩa tồn đối tượng thỏa mãn điều kiện cho trước. Nó có hình thức phát biểu thay khác như: “Something is both an A and a B.” (Đối tượng A B). “There exists something that is both an A and a B.” (Tồn đối tượng A B). “There is an A that is also a B.” (Có đối tượng A B). “There is at least one A that is a B.” (Có đối tượng A B). Đối với loại mệnh đề này, cấu trúc chứng minh chung cụ thể việc chứng minh tồn đối tượng mà không rõ khó thực thuyết phục được. Bởi vậy, ta cần có đối tượng cụ thể A B toán thuộc loại mệnh đề này. 2.3.2. Ví dụ Example 1: Show that there is solutions of x100 + 5x − = between x = and x = 1. 20 Proof: Let f(x) = x100 + 5x – 2. We have f(0) = -2 which is negative. While, f(11) = which is posotive. So the graph of f(x) must cross the xaxis somewhere between and 1; that is, there is a solution of f(x) = somewhere between and 1. Chứng minh: Đặt f(x) = x100 + 5x – Ta có f(0) = -2 giá trị âm. Trong đó, f(11) = giá trị dương. Vì đồ thị f(x) phải qua điểm trục x nằm 1; điều có nghĩa có giá trị f(x) = nằm 1. Example 2: Show that the curve x2 + xy + y2 = has an axis of symmetry. Proof: There exists a line y = x that is an axis of symmetry, since if (x, y) lies on the curve, then, x2 + xy + y2 = thus, y2 + yx + x2 = so the point (y, x) also lies on the curve; this is the point opposite (x, y) across the line y = x. Chứng minh: Chúng ta có đường thẳng y = x trục đối xứng, điểm (x, y) nằm đường cong x2 + xy + y2 = suy ra, y2 + yx + x2 = nên điểm (y, x) nằm đường cong, điểm đối xứng với (x, y) qua đường thẳng y = x. Example 3: Show that there exist x, y are integers such that x.y − x − y = 2. Proof: We have that: x.y – x – y = x.(y – 1) – y = x.(y – 1) – (y – 1) = (x – 1).(y – 1) = Since x, y are integers so x – and y – are integers and they are submultiples of 3. Therefore, we have the following cases: x−1 = x−1 = y−1 = ; y−1 = x − = −1 x − = −3 ; y − = −3 y − = −1 Solving, we find: (x, y) = (4, 2); (2, 4); (0, -2); (-2, 0). Hence, there exists solutions of the above equation. Chứng minh: Ta có: x.y – x – y = x.(y – 1) – y = x.(y – 1) – (y – 1) = (x – 1).(y – 1) = Do x, y số nguyên nên x – y – số nguyên chúng ước 3. Suy ta có trường hợp sau: x−1 = x−1 = y−1 = ; y−1 = x − = −1 x − = −3 y − = −3 ; y − = −1 Giải hệ ta cặp số nguyên (x, y) thỏa mãn là: (4, 2); (2, 4); (0, -2); ( -2, 0). 3. Kết luận kiến nghị Qua nội dung trình bày trên,chúng ta thấy việc 21 trình bày toán tiếng Anh điều hoàn toàn không khó khãn nghĩ. Ngôn ngữ khác tri thức chung, cách thức tư lôgic chứng minh hoàn toàn tương tự nhau. Khi gặp toán chứng minh mệnh đề tiếng Anh, không kiểu mệnh đề nói (“All” statement, “If and only if” statement, “Some” statement), ta cần xác định đâu giả thiết, đâu kết luận xác định thao tác chứng minh cần thiết diễn đạt thao tác tiếng Anh. Ta thấy rằng, cấu trúc câu cấu trúc trình bày toán chứng minh tiếng Anh thường đõn giản với hoàn toàn áp dụng cho nhiều trường hợp tương tự. Bởi vậy, cần trang bị không nhiều kiến thức ngữ pháp cần vốn từ vựng chuyên ngành hoàn toàn thực được. Đối với sinh viên sư phạm chúng ta, việc dạy học tiếng Anh yêu cầu thiết thực trình độ chuyên môn. Khó khãn lớn vốn tiếng Anh hạn chế môi trường thực hành hạn hẹp. Bởi vậy, tự thân người cần tự giác rèn luyện thành lập hội nhóm để tự hoàn thiện kiến thức, kỹ nãng đồng thời tích lũy kinh nghiệm, rèn luyện tự tin, để tiếng Anh không “sở đoản” mà trở thành mạnh góp phần xây dựng, củng cố chất lượng đội ngũ giáo viên nói riêng chất lượng toàn ngành giáo dục nói chung, phù hợp với xu hội nhập phát triển thời đại. Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thành Quang, Bài giảng Số học (dành cho sinh viên ngành Sư phạm Toán học), Trường Đại học Vinh. [2] Chu Trọng Thanh, Bài giảng Lô-gic Toán Toán rời rạc (dành cho sinh viên ngành Sư phạm Toán học), Trường Đại học Vinh. [3] Trang web: http://web.maths.unsw.edu.au/˜jim/proofs.html. [4] Trang web: http://www.cut-the-knot.org/proofs/. [5] File pdf: http://www.cimt.plymouth.ac.uk/projects/mepres/allgcse/unitpbk.pdf. Điện thoại liên hệ: 0966 046 912. Địa email: klchi.dhv@gmail.com. 22 . TIẾP CẬN MỘT SỐ DẠNG TOÁN CHỨNG MINH BẰNG TIẾNG ANH Ở TRƯỜNG PHỔ THÔNG Kiều Linh Chi - Nguyễn Phương Anh - 53A Toán Người hướng dẫn: TS. Nguyễn Chiến Thắng 1 Mở đầu 1.1. Tổng. đề toán phổ t hông, chưa có một nghiên cứu nào thực sự sâu sắc về vấn đề này. Chính vì vậy, chúng tôi đã lựa chọn đề tài: Tiếp cận một số dạng toán chứng minh bằng tiếng Anh ở trường phổ thông. 1.3 ra một số dạng toán chứng minh được phát biểu bằng tiếng Anh, những cấu trúc cơ bản thường dùng trong một bài chứng minh bằng tiếng Anh, đưa ra các 14 ví dụ tương ứng phù hợp với chương trình toán