Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI * . ■ •■• PHẠM THỊ MINH THU PHƯƠNG PHÁP ĐIẺM BẤT ĐÔNG CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN \ LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • •• Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI ■ •■• * . HÀ NỘI, 2014 PHẠM THỊ MINH THU PHƯƠNG PHÁP ĐIẺM BẤT ĐÔNG CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN Chuyên ngành: Toán Giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • •• Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Lề Dũng Mưu HÀ NỘI, 2014 HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng cảm ơn ban chủ nhiệm phòng sau Đại học trường Đại học sư phạm Hà Nội thầy, cô giáo giảng dạy lớp cao học khóa 16 đợt (2012 - 2014), tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành tốt Luận văn này. Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn chân thành tới GS.TSKH Lê Dũng Mưu, người hướng dẫn giúp đỡ suốt trình hoàn thành Luận văn. Mặc dù có nhiều cố gắng Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy, cô bạn đọc để Luận văn hoàn thiện hơn. Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2014 Học viên Phạm Thị Minh Thu Tôi xin cam đoan số liệu kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác. Hà Nội, ngày 18 tháng năm 2014 Học viên Phạm Thị Minh Thu Mục lục 2.1.1. Sự tồn tính MỞ ĐẦU 32 LỜI CẢM ƠN 1. Lý chọn đề tài Cho K c R" tập khác rỗng F : Mn —>• M" ánh xạ từ Rn vào Mn. Bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality, viết tắt VI) phát biểu sau: Tìm X G K thỏa mãn ( F (X ) , X — X ) ^ 0, V X £ K. (VI) Điểm X £ K thỏa mãn (VI) gọi nghiệm bất đẳng thức biến phân (VI). Tập tất điểm X G K thỏa mãn (VI) gọi tập nghiệm bất đẳng thức biến phân (VI) kí hiệu Sol(VI) Sol(VI(F,K)). Một tiếp cận quan trọng nghiên cứu bất đẳng thức biến phân, đặc biệt việc nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp giải sử dụng định lý điểm bất động. Ý tưởng cách tiếp cận xây dựng ánh xạ thích hợp cho tập điểm bất động ánh xạ tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân. Cách tiếp cận điểm bất động không làm việc với không gian hữu hạn chiều mà sử dụng không gian Hilbert. Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề này, nhờ hướng dẫn GS.TSKH Lê Dũng Mưu, mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: "Phương pháp điểm bất động cho bất đẳng thức biến phân". Mục đích nghiên cứu đề tài nghiên cứu phương pháp điểm bất động giải bất đẳng thức biến phân. Cụ thể sử dụng định lý điểm bất động Brouwer để chứng minh tồn nghiệm toán bất đẳng thức biến phân. Ngoài dùng định lý điểm bất động theo nguyên lý ánh xạ co Banach để chứng tỏ tính nghiệm bất đẳng thức biến phân đơn điệu mạnh. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài nhằm tổng hợp lại cách có hệ thống tương đối đầy đủ phương pháp điểm bất động loại ánh xạ co, ánh xạ không giãn cho số lớp toán bất đẳng thức biến phân quan trọng. LỜI CẢM ƠN 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài điểm bất động bất đẳng thức biến phân. Dịch, đọc, nghiên cứu tài liệu. Tổng hợp kiến thức, vận dụng cho mục đích nghiên cứu. 6. Dự kiến đóng góp Tổng kết cách có hệ thống tương đối đầy đủ phương pháp điểm bất động cho số lớp toán bất đẳng thức biến phân không gian Hilbert. Hy vọng thân Luận văn tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học có quan tâm tới vấn đề này. Chương Điểm bất động ánh xạ co không giãn Trong luận văn làm việc chủ yếu không gian Hilbert thực H . Dưới ta nhắc lại số khái niệm tính chất không gian Hilbert, điểm bất động ánh xạ co, ánh xạ không giãn, . Các kiến thức chương lấy chủ yếu từ tài liệu [1], [3]. 1.1. Không gian Hilbert 1.1.1. Tích vô hướng Định nghĩa 1.1 .Cho không gian tuyến tính X trường P(P trường số thực R). Ta gọi tích vô hướng không gian X ánh xạ từ tích Descartes X X X vào trường p kí hiệu (.,.), thỏa mãn tiên đề: )Vx,y £ X : (x,y ) = (y,x)2) Vz, y, z e X : (x + y, z) = ( X , z) + {y, z); 3) V x , y £ X , Vqí e p : { a x , y ) = a ( x , y ); 4) Vx £ X : (X , x) > 0, X ^ ỡ (9 phần tử không); (X , a:) = 0, X = 9. Tích vô hướng liên hệ với độ dài (chuẩn) vectơ hệ thức: (x, X ) =11 x\\ . 1.1.2. Định nghĩa không gỉan Hilbert số ví dụ Định nghĩa 1.2. Ta gọi tập H ^ ộ gồm phần tử x,y,z, . không gian Hilbert, tập H thỏa mãn điều kiện sau: 1) H không gian tuyến tính trường P; 2) H trang bị tích vô hướng (.,■); 3) H không gian Banach với chuẩn ||a:|| = \J (x, x), Ta gọi không gian tuyến tính đóng không X H. e gianHilbert H không gian Hilbert không gian H . Ví dụ 1.1. Ký hiệu không gian véctơ thực K chiều. Với V X = (X N )€M Y = (Y N ) G Mfe ta đặt Dễ thấy hệ thức (1.1) (1.1) k thỏa mãn hệ tiên đề tích vô hướng. Chuẩn sinh tích vô hướng (1.1) k 1.1.3. Tính trực giao Định nghĩa 1.3. Cho không gian Hilbert H. Hai phần tử x,y e H gọi trực giao, kỷ hiệu X-Ly, ( x,y ) = 0. Định nghĩa 1.4. Cho không gian Hilbert H tập A c H, A Ỷ ộ' Phần tử X G H gọi trực giao với tập Ả, xl.y(\/y G Á), ký hiệu XẢ.A. Từ định nghĩa suy số tính chất đơn giản sau đây: 1) D -L X Vx G H ( ký hiệu phần tử không không gian Hilbert H. 2) X e H mà XẢ.X X = 9. 3) Nếu phần tử X , Z_LY V J Ẳ ( J Ĩ J J = 1,2, £ H( J = 1,2, .,n) thỏa mãn điều kiện Vöj G P ( J = 1,2, .,n) ta có a^_L X) O N - J =1 4) Cho phần tử X € H dãy phần tử (yn) c H hội tụ tới Y H theo chuẩn ||x|| = \ J (X , & X ). Nếu x_Lyn Vn G iV* X 5) Cho Ả tập trù mật khắp nơi đó, L . Y . không gian H . Khi X £ H X-LA X = 6. Định lý 1.1. (Định lý Pythagore) Nếu x,y G H X-Ly, \\x + y\\ = ||a:|| + \\y\\ . Định lý 1.2. (Định lý hình chiếu lên không gian con) Cho không gian Hilbert H H Q không gian H. Khi phần tử X £ H biểu diễn cách dạng X = y + z, y G H , Z±H . (1.2) Mệnh đề 2.8. Cho $ : R" X R" —> M /ồ song hàm cho Q(x,x) = với X G X. Giả sử $(x,.) —$>(., y) lồi khả vi với x,y £ X. Nếu G xác định (2.23), đơn điệu X. C H Ứ N G M I N H Điểm X , . Y e X . Lấy A e (0,1) X + (1 — A ) Y Rõ ràng X G X X hàm lồi. Do $(., X a) lõm, ta có A A =A X . = $(x a ,x a ) ^ a$(x,x a ) + (1 - a)$(y,x a ). Hoặc tương đương, A [$(z, X A ) - z)] < (1 - a) [ $ ( , Y Y ) - $(ỉ/, £a)]. Mặt khác, Định nghĩa Mệnh đề 2.4 ta có $ ( X , X A ) — $( X , X ) ^( X ) T X G( — A X ), x a ) - ®{y, y) ^ {x a - y) T G(y). Sử dụng tính chất bất đẳng thức với (2.24) ta A ( X A —X ) T G( X ) ^ A [$(x,a:a) — $(x,x)] < (1 - a) [${y,y) - ${y,x a )] ^ (1 - a)(y - x a ) T G{y). (2.24) Vì x a —X = (1 — A ) { Y — x ) y — xa = a(y — X ) ta suy a(l - a)(y - x) T G(x ) < a(l - a)(y - x) T G(y ), bất đẳng thức, (y - x) T [G{y ) - G{x)\ ^ 0. □ Khi đó, G ánh xạ đơn điệu X . Hệ 2.3. Nếu L : M. X M m —¥ M song hàm khả vi lồi- lõm, ánh xạ G (2.7) đơn điệu. Theo G (2.12) đơn điệu, F ., : M Ị —>• = 0, M hàm lồi khả vi. Ta xét hệ sở kép tổng quát (2.1), (2.14), tương đương, (2.15) , u xác định (2.10), V tập lồi đóng Bài toán tìm cặp ( ( U ( V : U *, V * ) €U X V cho m - Mm ánh xạ liên tục. Nó tương đương VI (2.1) với X = U x V , *■(«) + £” b(v) - f(u) G(x ) = G(u, V ) = «íV/ituẠ , I = % (2.26) Mệnh đề 2.9. Giả sử ỉi : M1 K, ỉ = 1, m hàm khả vi lồi. Nếu ánh xạ F : u —> Mĩ b : V —> đơn điệu (ngặt, mạnh), ánh xạ G (2.26) đơn điệu (ngặt, mạnh) X = u X V. Chứng minh. Chọn điểm X = (u, v) £ X y = (u' , v') £ X. Thì {x y) T [G(x ) - G(y)] = (u- u') T [F{u) - F(u r )] + (u — !\T v!) m m -i=l i= + (1; - i/)r[&w - &(«')] + (« - (u- v!) T [F{u) - F{u')] + ( V - v/)r[6(r;) tính đơn điệu G suy - 6(v')], từ tính đơn điệu điệu(ngặt, mạnh) G suy Mệnh đề 2.10. Nếu X* F B . Tính đơn l u ậ n tương tự. = (u*,v*) □ nghiệm của(2.10),(2.15) vôi V = M?, u* nghiệm toán tìm u* £ D cho (■u - u*) T F{u*) ^ Vu € D, (2.27) D = { u e u\fi(u) < bi(v*) i = 1,ra} u giống (2.10). Theo số giả thiết định, toán (2.27) chuyển toán điểm yên ngựa. Bằng cách đặt m L(u,v ) = /o(m) + ỵ2vifi(u) - ip(v). I = (2.28) 2.1.2. Sự tồn tính Mệnh đề 2.11. (Định lý điểm bất động Brouĩver) Mỗi ánh xạ ỉiên tục từ tập lồi không rỗng compact vào có điểm bất động. Để áp dụng kết cho toán (2.1) ta cần vài thuộc tính ánh xạ chiếu. Lấy điểm X tập Y E, ký hiệu 7Ĩ Ỵ { X ) phép chiếu X vào Y tĩy{ x ) £ Y, 11^ — 7T^(rr)II = ||rc — yII. yeY Mệnh đề 2.12. Giả sử Y tập đóng lồi khác rỗng E X ỉà điểm tùy ý E. Khi (ỉ) Tồn điểm chiếu p = 7Ty (a:) X lên tập Y. (ii) Một điểm p GY hình chiếu X lên Y (p - x) T (y - p) ^ Vy e Y. (2.29) I \ X p (2.30) Hình 2.3: (ỈU) Ánh xạ chiếu 7Ty(.) không giãn {x" — x') T ^ \['K Y {x") — ĩĩ Y (x')\\ Vx',x" G E. [ĨĨY{X") — 'KY{X')] C H Ứ N G M I N H . Rõ ràng điểm = 7Ty (a:) nghiệm toán P lồi tối ưu hóa sau đây: min{ inf IIy — x|| ^ 0; y£Y Bài toán có nghiệm nhờ định lý Weierstrass. Cho hai điểm tùy ý X \ đặt P ' = 7T Y ( X = pr, y = v" R ), P " = Ĩ R Y { X X " ) . Áp dụng (2.29) với X " G E = x\ tương ứng, ta (p - x’) T ự - p’) > 0, ự - X "Y ụ-p")^ 0. Cộng hai bất đẳng thức lại áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta ự - p')Tự - p') p '\\; < (*" - x')Tự - p') < II*" - s'11 Suy \\p" -p'\\ < \\x"-x'\\. Do đó, ánh xạ 7Ty(.) không giãn. Áp dụng (2.29) với X ', X " hai điểm tùy ý E. [ĩĩ Y {x') - x'f. [y - ĩĩ Y (x')] ^ 0,Vy e Y; \\p" - p М*")-*"]Г.[у-1Гу(*")]>0,УуеУ. Vì 7Гу ( X ), 7Гу ( X " ) € Y nên ta có: м^) - *f-м*") - *v(*')] > 0; [7Гу(ж") — ж"]71. [ T Ĩ Y ( X ' ) — 7Гу(ж")] ^ 0. Cộng hai bất đẳng thức lại ta được: ~ỳc Y ự') - x'f - (тг y(x") - x"f] . [Ky ự ) - 7Г у(х')] > о hay (æ" — ж')т. [7Гу(ж") — 7Гу(ж')] ^ IK^y^") — 7Гу (ж7))!!2, W, ж" G -Е. -|1(7Гу(ж") - 7Гу(а/))|| ^ ~(х" - х') т . [7Гу - 7Гу (ж')] (ж") Vậy khẳng định iii, đúng. Giả sử tồn hai điểm chiếu Pi,P2 X lên tập Y . Áp dụng (2.29) với hai điểm chiếu P H P ta được: (pi - X ) T ( Y - Pi) ^ 0, Vy G У, (p - x) T (y - p ) ^ 0, Vi/ e Y. Vì P I ,P2 G ^ nên ta có: { P Í - z)T(p2 - Pi) ^ 0, (P2 - z)r(pi -p2) ^ 0. Cộng hai bất đẳng thức lại ta được: (pi - P Ĩ ) (P2 - ж)г - (pi - ж)5 > 0, - IIpi -P2II ^ 0, IIpi -P2II = 0. hay Suy P i = P 2Ta tính phép chiếu, tức khẳng định (i) đúng. □ Mệnh đề 2.13. Cho X tập không rỗng, đóng lồi không gian E. Điểm X* e X nghiệm toán (2.1) X* = 7TX [x* - 6G(x*)] (2.31) với > 0. C H Ứ N G M I N H . Nếu (2.31) đúng, thì, áp d ụ n g (2.29) cho ta (x* — [x* — 6G{x*)])T(x — X*) ^ Vx ẽ X, (i9G(x*)f (x - X*) ^ 0Vz € X, (x — x*)TG(x*) ^ OVx e X. Hình 2.4: Vậy X * £ X * . Ngược lại, cho X * e X * , X * — ỠG( X Ỷ Ẽ = T Ĩ X { X * ) ) . Áp dụng (2.29) cho ta (x — [x* — 6G(x*)]) T (x* — x) ^ (x — X*)T ( X * — x) + [6G{x*y\ r (x* — x) ^ -Ị|(ÍẼ- Z*)Ị| - [9G(x*)f (x- X *) ^ 0, hay (x — x*) T [9G(x*)] ^ —\\x — x*\\ < 0. Nghĩa X * Ệ X * , mâu thuẫn. □ * Định lý 2.2. Cho X tập không rỗng, lồi compact không gian E cho G : X —>• E ánh xạ liên tục. Khi đó, toán (2.1) giải được. Chứng minh. Với X £ X, ta đặt ф(х) := Tĩx {x - G{x)). Khi Ф : X —>• X . Hơn nữa, Ф liên tục hợp củahai ánh xạ liên tục. Vậy tồn X * = Ф ( * ) . Áp dụng Mệnhđề 2.13 tasuy X * Х lànghiệm toán (2.1). □ Định lý 2.3. Cho tập X không rỗng, lồi, đóng không gian E cho G : X —»■ E ánh xạ liên tục. Giả sử tồn tập compact Y X cho Vx G X\Y, 3y G Y : (x — y) T G{x) > 0, toán (2.1) có nghiệm. C H Ứ N G M I N H . Nó đủ để xét trường hợp không bị chặn. Cho B tròn đóng (theo tiêu chuẩn) E với tâm r > II//II cho ПB R Y о bán kính R hình R > 0. Chọn r đủ lớn để G Y . Thì Định lý 2.2 đảm bảo tồn nghiệm X R GX cho VI sau: ( Z —X R ) T G( X )^0ẼIПB R . r Hơn nữa, có ||жг|| < R điều kiện bức. Lấy X G X . Thì tồn e > đủ nhỏ cho x r + e { x — x r ) e X П B r . Từ suy [xr 4- s(x — xr) — xr]TG(xr) ^ 0. Chia £ hai vế bất đẳng thức trên, ta (x — xr)TG(xr) ^ 0. Nó cho thấy X R nghiệm toán (2.1) kết sau. □ Nói chung, toán (2.1) có nhiều nghiệm. Bây xét điều kiện nghiệm cho toán VI (2.1). Mệnh đề 2.14. Nếu G đơn điệu ngặt, toán (2.1) có nhiều nghiệm. C HỨN G MINH. Giả sử có tồn hai nghiệm X ' X " toán (2.1). Khi đó, định nghĩa ta có: (x" — x') T G{x') ^ 0, {x' - x") T Gự) > 0. Cộng hai bất đẳng thức lại ta {x " - x ' ) T [ G {x ' ) - G {x " ) ] 0. Do G đơn điệu ngặt ta suy X ' = X □ ". Định lý 2.4. Cho tập X không rỗng, lồi, đóng không gian Euclide hữu hạn chiều E cho G : X —»■ E ánh xạ liên tục đơn điệu mạnh. Thì toán (2.1) có nghiệm nhất. C H Ứ N G M I N H . Do tính đơn điệu mạnh G ta có: {x — x) T G{x) ^ \ \ X {x — x)TG ( X) + T \\ X — x\\ — > • + 00, — S]|2 —> +00. Do đó, điều kiện Định lý 2.3 thỏa mãn. Suy ra, toán (2.1) giải được. Hơn nữa, G đơn điệu mạnh nên nghiệm nhất. □ Giả sử M ma trận đối xứng, xác định dương, ví dụ M = A I với A > I toán tử đồng nhất. Định lý 2.5. Cho h(x) nghiệm toán tối ưu lồi g(x ) = -min{(G(x),y - X} + ì(y - x,M(y- x))\y e X} . (2.32) Khi X — C H Ứ N G M I N H X ' - (£r(:c) — G { a X 'Ỵ) . Khi M xác định dương, toán (2.32) lồi mạnh. Như H ( X ) nghiệm toán — x,M(y — x)} + (G{x),y- x)\y e H I . Chú ý vi phân hàm tập lồi c nón pháp tuyến C , theo điều kiện cần đủ tối ưu ta có OễM (h(x) — x) + G(x) + N c (h(x)). Suy tồn Z I €N C ( H ( X )) cho M (h(x) — x) + G(x) + Zi = 0, N c { h ( x )) kí hiêu nón pháp tuyến H ( X с H ( X ) . 11 )=X — — F ( X ) Cho M — —Z I = . A I , (2.33) Suy |Ị/ỉ(x) — h(x')\\ ^ l^x — x' -------(0( ж ) — G{ x ')) ) h{x) — h(x'Ỷỳ . Ị|/i(x) - h(x')\\. G{x')) а X — x' — — ( G(x ) — Do X □ Đ Ị N H — X ' ----(ơ(x) — G{ X ')) а . . Giả sử G S L Ý S đơn điệu mạnh thỏa mãn tính chất Lipschitz С với số L . Khi h ánh xạ co с với hệ số c o ỏ := C ^ + ÿ , A > Ệ . H Ứ N G M I N H . Giả sử G S S đơn điệu mạnh thỏa mãn tính chất Lip- schitz С với số L . Ta có X — x' — — ( G(x ) — G(x')) а „/ II2 = ||x — x r \\ z — — (x — x\ G(x ) — G{x')) + -^T-Ц G(x) — G{x')\\ . œ а Từ Định lý 2.5 suy \\h(x) — h(x ')\| ^ \\x — x'\\ -----(x — x\ G(x ) — G(x')} a +ị\\G(x)-G(x’)f. cr Vì G S S đơn điệu mạnh thỏa mãn tính chất Lipschitz С , nên ta có: (x — x r , G(x) — G(x’)) ^ ß\\x — a/||2 Ị|ơ(z) — G(x')\\ ^ L \\x — x'\\ . Như ||/г(ж) — H ( X ' ) \ \ ^ \ \ X — X ' \ \ ------------— \ \ H----------------------------------------- - \ \ Х — a/||2 а2 Do ||/г(ж) - H ( Rõ ràng, A > Ỉ Ệ Ị I X ')Il ^ f - — + \ a аг / Ỏ : = Y J L \\ Х Х — '\\ X -ж'II . — — + ^4 G (0,1). Do H ánh xạ co С với hệ số co ổ. □ Ví dụ 2.3 Cho ánh xạ G : M2 —»• M2 theo công thức: G(x,y) := {G {x : y) : G {x,y)) T : đó, Gi(a;,y) := X + Y , G { X , Giả sử X : = { (X , Y ) \ X ) := - X + Y . + Y ^ 1}. Y Ta G đơn điệu mạnh X . Thật vậy, với z = ;z' = G X, ta có: (г - 2') Г = {х-х' у- у')- т \\z - 2'|| = г ((ж - x'Ÿ + (у - у') ) УУ X + y - x' - y' \ G(z) - Gự) = —x + y + x '-vj Do (z - z'f (G(z ) - G{z')) = (x - x' y - y') ( x + y-x' -y' ^ —X + y + x' — y' = 2. 48 = (x- x'f + (y- y'Ỷ = \\z - z'\\ . Vậy G đơn điệu mạnh X với hệ số r = 1. Do toán tồn nghiệm. Ta G Lipschitz X với số L > 0. Thật vậy, với Z z= ; Z ' = G X , i Z Ỷ Z ' ta có: \y) ự) \\z - z'\\ = \Ị{x- x'ý + (y - y'ý IIG(z) - Gự )\I = yf(x + y - x' - y ')2 + {-X + y + x r - y'Ỷ Xét IIƠOO-ƠOOKLII*-/!!. Tức 2(x-x f Ý + ( y - y ' f Suy Hay L ^ -\/2Chọn L = 2. Vậy G Lipschitz X với số L (x-x'r+ ( y - y f ) Kết luận chung Luận văn đề cập đến vấn đề sau: Nhắc lại số khái niệm tính chất Giải tích hàm như: không gian Hilbert, ánh xạ co . Đồng thời trình bày khái niệm ánh xạ co yếu, ánh xạ không giãn số ví dụ minh họa. Phát biểu toán bất đẳng thức biến phân, toán liên quan tồn nghiệm toán (2.1). Luận văn trình bày tiếp cận quan trọng nghiên cứu bất đẳng thức biến phân, đặc biệt việc nghiên cứu tồn nghiệm phương pháp giải sử dụng định lý điểm bất động. Ý tưởng cách tiếp cận xây dựng ánh xạ thích hợp cho tập điểm bất động ánh xạ tập nghiệm toán bất đẳng thức biến phân. Cách tiếp cận điểm bất động không làm việc với không gian hữu hạn chiều mà sử dụng không gian Hilbert. [...]... (2.3) Ngc li, cho X * l nghim bi toỏn (2.1), (2.3) Thỡ T { x* T ( X *)\\ 2 X * ) G X v cho X * = ^ 0, ngha l X * = T ( X T( X * ) trong (2.1) c | *) Bõy gi, chỳng ta xột bi toỏn ti u húa sau: cho / : X > M l mt hm giỏ tr thc Tỡm im X * G X sao cho f(x*) ^ f(x),Vx e X , hoc min{ F ( X )\ 2 4 X l} (2-4) Chỳng ta kớ hiu X F l tp nghim ca bi toỏn ny nh ngha 2.2 Cho X l mt tp li trong E v cho ip : X... E l kh () Cho Y l mt (c) tp hp con li mca X vi liờn tc trờn Y 2 3 v cho () Q l n khi VQ iu trờn Y khi v l na xỏcnh dng trờn Y ; (ii) Q l n iu ngt trờn Y nu VQ l xỏc nh dng trờn Y ; (ill) Q l n iu mnh trờn Y vi hng s T khi v ch khi {p) T VQ(x)p ^ r||p|| 2 ,Vp Ê E,x eY Cho X l mt tp li úng tựy ý trong E v cho T l mt ỏnh x liờn tc t X vo chớnh nú Bi toỏn tỡm im bt ng l tỡm mt im X * Ê X sao cho =T { X... phõn (variational inequality, vit tt l VI) c phỏt biu nh sau: Tỡm im Ê X sao cho (x x*) T G(x*) ^ , e X X* (2.1) im X * G X tha món (2.1) c gi l nghim ca bt ng thc bin phõn (2.1) v c kớ hiu l Sol (VI) nh ngha 2.1 Cho X l mt tp li trong E v cho Q : X ằ E l mt ỏnh x nh x Q c gi l (a) n iu mnh trờn X vi r > 0 khụng i sao cho mi cp im X, y G X, ta cú (:X - y) T [Q{x) - Q{y )] ^ T \\ X - y\\ 2 ; (b)... D ( X Q ,T X o) = X F ( X e X sao cho F ( T X 0 nờn F o), mõu thun Vy o) = min{/(x) : X G X } Nu X ) = (T X ( X Q F D (T ) = 0 v X ,T 2 X ) < X Q l im bt ng Q ca T Tớnh duy nht ca im bt ng l hin nhiờn vỡ T l co yu nh lý ó c chng minh nh lý 1.9 (nh lý im bt ng Caristi) Cho (X,d) mt khụng gian metric y v hm s if : X ằ (oo,+oc>y na liờn tc di v b chn di Cho ỏnh x T trong X tha món iu kin d(x,Tx... N Ê l iu vụ lớ Vy Ê = 0, > 0 N 0 sao cho vi mi ( N > 0 Vỡ T l co yu nờn N N X N (tp hp mi s t nhiờn) sao cho nu E Theo (1.4) ta cú C Ta s chng minh { D C C T X m ^ I } l dóy Cauchy bng phn chng Gi s cú N G N tn ti thỡ C X I < N D ( ^ M vi F ) ^ 2 Ê v xột cỏc s , X N , n , X = min{ Chn m M > , X X N 1), + ( D D X ( X N M > L ) ^ 2 Ê Chn N N ^ + 2 ), D cho ( X N , Khong cỏch gia hai s liờn... cht ch vi ti u húa v trũ chi khụng hp tỏc Cho l mt tp li úng t v cho V l mt tp li úng trong Rm Gi s L : M 1 X > R l mt hm kh vi li-lừm, tc l, L ( , vi mi V e V v L ( U V ) l li ,.) l lừm vi mi U G U Bi toỏn im yờn nga l tỡm cp im u* e u,v* e V : L{u*,v) ^ L(u*,v*) ^ L{u,v*),Vu e U,Vv (2.16) l mt ỏnh x liờn tc, D cng ging nh trong (2.9), (2.10), = {ue R l \hi(u) = 0 % = 1 , A ; } H I : Mnh 1 , (2.17) ằ K, I = 1, l ỏnh x liờn tc 2.7 Gi s fi v h l affine, nghal fi(u) = { 1 ) OL cho = (i)... h n g minh nh lý 1.11 (xem [3]) Cho l mt tp li, úng, b chn trong khụng gian li u X v T : l mt ỏnh x khụng gión Khi ú tp hp cỏc im bt ng ca T l li, úng v khụng rng C H N G M I N H Vỡ X li u nờn phn x, do ú l compact yu v cú cu trỳc chun tc Vy theo nh lý Kirk, tp hp cỏc im bt ng ca T khụng rng, ngoi ra nú úng vỡ T liờn tc Ta cn chng minh tớnh li ca tp hp ny Cho mt Ê U = T U , V = T [ 0 , 1 ]... minh Chng 2 Phng phỏp im bt ng cho bt ng thc bin phõn Trong chng ny, chỳng ta xem xột mt vi vn v lý thuyt ca bt dng thc bin phõn vi ỏnh x n tr liờn tc di trong khụng gian hu hn chiu, cng nh mi quan h ca chỳng vi cỏc vn khỏc ca gii tớch phi tuyn Cỏc kin thc trong chng ny c ly ch yu t ti liu [5], [7] 2 2 2.1 Bi toỏn VI 2.1.1 Bt ng thc bin phõn v cỏc bi toỏn liờn quan Cho X l mt tp khụng rng, úng v... ,Tx*) ^ d(x*,x n ) + kd(x n _i,x*) Cho N Ơ oo ta c D ( = X* X *,T X * ) = 0, tc l T Nu cũn cú Y * Ê X m T Y *= Y X * * thỡ ta cú d{x*,y*) = d(Tx*,Ty*) ^ kd{x*,y*) Vỡ K < 1 v X * = Y * Vy im bt ng ca T l duy nht v nguyờn lý ó c chng minh 1.2.2 M rng nguyờn lý ỏnh x co nh ngha 1.8 nh x T trong khụng gian metric (x,d) c gi l ( Ê,) co nu vi mi i > 0 u tn ti > 0 sao cho: Nu i ^ d(x , y) < i + s thỡ (1.4) . " ;Phương pháp điểm bất động cho bất đẳng thức biến phân& quot;. Mục đích nghiên cứu của đề tài là nghiên cứu phương pháp điểm bất động giải bất đẳng thức biến phân. Cụ thể là sử dụng định lý điểm. THU PHƯƠNG PHÁP ĐIẺM BẤT ĐÔNG CHO BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • • • Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 ■ • ■ • * HÀ NỘI, 2014 PHẠM THỊ MINH THU PHƯƠNG. không giãn cho một số lớp bài toán bất đẳng thức biến phân quan trọng. LỜI CẢM ƠN 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu của đề tài là điểm bất động và bất đẳng thức biến phân. Dịch,