MT S NG DNG CA NH Lí GI TR TRUNG BèNH Nguyn Vn Ho Lờ Th Huyn My2 Trong bi bỏo ny chỳng tụi trỡnh by mt s phng phỏp xõy dng cỏc bi toỏn t nh lý giỏ tr trung bỡnh vi k thut to dng hm ph. 1. t Cỏc nh lý giỏ tr trung bỡnh úng vai trũ quan trng Toỏn hc, cng nh nhiu lnh vc khoa hc khỏc. Trong Toỏn hc, ngi ta cú th k n mt s nh: bi toỏn tn ti nghim ca cỏc phng trỡnh i s, c lng khong cha nghim ca cỏc phng trỡnh v toỏn t vic gii gn ỳng ca lý thuyt s, bi toỏn tỡm cc tr ca hm s Khi ngun ca cỏc nh lý giỏ tr trung bỡnh l nh lý Rolle nh sau: nh lý. Cho hm y = f (x ) liờn tc trờn [a, b], kh vi trờn (a, b) v f (a) = f (b) . Khi ú, tn ti ớt nht mt s c ẻ (a, b) cho f Â(c ) = . Theo mt khớa cnh, nhỡn li cỏch chng minh ca nh lý Lagrange v nh lý Cauchy, chỳng ta thy hai nh lý ú l h qu ca nh lý Rolle nh vic thit lp hai hm ph tng ng l j (x ) = f (x ) - f (a ) - f (b) - f (a ) (x - a ) b- a v j (x ) = f (x ) - f (a ) - f (b) - f (a ) g(x ) - g (a ) , g(b) - g(a ) ( ) vi hm f (x ) (m õy chỳng ta gi nú l hm gc) liờn tc trờn on ộờởa, bựỳỷ v kh vi trờn khong (a, b) . Theo ý tng ú, chỳng tụi s dng cỏc tớnh cht riờng bit ca mt s hm s cp kt hp vi hm gc f (x ) cú c cỏc bi toỏn mi. õy, cỏc hm ph mi c thit lp theo hai cỏch thc sau: 1. Kt hp hm gc f (x ) vi mt s hm s cp n gin di dng tng v dng tớch. 2. Tớnh cht ca hm gc tho cỏc gi thit ca nh lý giỏ tr trung bỡnh c chỳng tụi gn kt vi cỏc gii hn c bn to nhng bi toỏn v s hi t ca dóy s. 2. Ni dung 2.1. nh lý Rolle vi cỏc hm s s cp n gin Nh ó núi trờn õy, cỏc phn ny chỳng ta hiu gc l hm f (x ) no ú liờn tc trờn on ộởờa, bựỷỳ v kh vi trờn khong (a, b) . 2.1.1. Mt s hm ph di dng tng 2.1.1.1. Hm m TS, trng HSP H Ni Hc viờn Cao hc K15- Toỏn Gii tớch, trng HSP H Ni Xột hm ph di dng tng ca hm gc vi hm m h (x ) = f (x ) + t - x , ú t l s thc no ú m < t . Gi thit ca nh lý Rolle i vi hm h (x ) ch cũn l s tho thờm iu kin f (a ) + t - a = f (b) + t - b . T ú suy tn ti s c ẻ (a, b) cho o hm ca hm h (x ) trit tiờu, tc l f Â(c ) - t - c ln t = . Nh vy, chỳng ta nhn c bi toỏn di dng tng quỏt theo giỏ tr ca c s hm m t - x nh sau Bi toỏn 1. Cho hm f (x ) liờn tc trờn ộờởa, bựỳỷ v kh vi trờn (a, b) tha iu kin f (a ) + t - a = f (b) + t - b vi s thc < t . Chng minh rng tn ti ớt nht mt giỏ tr c ẻ (a, b) cho f Â(c ) = t - c ln t . Bng vic gỏn cho t cỏc giỏ tr c th ta nhn c mt s bi toỏn sau õy Bi toỏn 1.1. Cho hm s f (x ) liờn tc trờn ộờở0;1ựỳỷ, kh vi trờn f (0) + = f (1) + e - . Chng minh rng tn ti s c ẻ (0;1) cho f Â(c ) = e - c . (0;1) v Bi toỏn 1.2. Cho hm s f (x ) liờn tc trờn ộờở0;1ựỳỷ, kh vi trờn (0;1) v tho iu kin f (0) + = f (1) + 2012- . Chng minh rng tn ti s c ẻ (0;1) cho 2012c.f Â(c ) = ln 2012 . 2.1.1.2. Hm logarit Chỳng ta xột hm ph c gn kt vi hm logarit di dng h (x ) = f (x ) - loga x vi s thc a no ú m < a . iu kin bng ti giỏ tr hai u mỳt ca hm h (x ) b trờn on ộờởa, bựỷỳ tr thnh f (b) - f (a ) = loga . Bi vỡ, o hm ca hm h (x ) l a - h Â(x ) = f Â(x ) - (x ln a ) , nờn tn ti s c ẻ (a, b) tho f Â(c ) = . T ú, chỳng ta nhn c ln a c bi toỏn Bi toỏn 2. Cho hm s f (x ) liờn tc trờn ộờởa, bựỳỷ, kh vi trờn (a, b) . Gi s rng f (b) - f (a ) = loga f Â(c ) = b , vi ab > v < a . Chng minh rng tn ti s c ẻ (a, b) cho a . c ln a Thay th mt s giỏ tr c th cho c s a ca hm logarit, chỳng ta nhn c mt s bi toỏn Bi toỏn 2.1. Cho hm f (x ) liờn tc trờn ộởờ2011; 2011.e ựỷỳ, kh vi trờn (2011; 2011.e ) v tho iu kin f (2011.e ) = + f (2011) . Chng minh rng tn ti s c ẻ (2011; 2011.e ) cho f Â(c ) = c - . Bi toỏn 2.2. Gi s hm f (x ) liờn tc trờn ộởờ1;2010ựỷỳ, kh vi trờn khong (1;2010) tr cỏc im nguyờn trờn on ú v ổ 1ử ữ; k = 1, 2009 . f (k + 1) - f (k ) = ln ỗỗỗ1 + ữ ữ ữ ỗố kứ Chng minh rng tn ti ck ẻ (k; k + 1) cho 2009 ck f Â(ck ) = 2009 . k= 2.1.1.3. Hm a thc Kớ hiu Pn (x ) = l + l 1x + . + l n x n , l n l a thc bc n ca bin x . Hm ph h (x ) = f (x ) - Pn (x ) cú o hm l n h Â(x ) = f Â(x ) - kl k x k - . k= iu kin v tớnh liờn tc v kh vi ca h(x ) trờn on ộờởa, bựỳỷ nhn c t gi thit ca hm gc f (x ) . Giỏ tr bng ca hm h(x ) ti hai u mỳt tr thnh n f (b) - f (a ) = ( l k bk - a k ) k= . T ú, chỳng ta nhn c Bi toỏn 3. Cho hm f (x ) liờn tc trờn on ộờởa, bựỷỳ, kh vi trờn khong (a, b) . Gi s Pn (x ) l a thc bc n tha iu kin f (a ) - Pn (a ) = f (b) - Pn (b), tr cỏc im nguyờn trờn on ộờởa, bựỷỳ. Chng minh rng tn ti f Â(c ) = Pn Â(c ). Vi a thc P2 (x ) = kin c ẻ (a, b) cho x2 chỳng ta thu c Bi toỏn 3.1. Cho hm f (x ) liờn tc trờn ộờở1;2012ựỳỷ, kh vi trờn (1;2012) v tha iu f (k + 1) - f (k ) = 2k + ; vi mi k = 1, 2011 . Chng minh rng tn ti ck ẻ (k; k + 1) cho 2011 f Â(ck ) = 2011 c k= k . Vi a thc P (x ) = - (x - 1) , chỳng ta cú c Bi toỏn 3.2. Cho hm s f kh vi trờn minh tn ti hai s phõn bit a, b ẻ (0; 1) cho 2.1.2. Mt s hm ph di dng tớch ộ0;1ự v tha f (0) = , f (1) = - . Chng ỳ ởờ ỷ f Â(a ).f Â(b) = . 2.1.2.1. Hm m Hm h (x ) = f (x ). t - x vi < t cú o hm h Â(x ) = f Â(x ) - f (x )ln t t - x . ( ) iu kin bng ti hai u mỳt ca hm h(x ) trờn on ộờởa, bựỳỷ cú th vit di dng f (a )t = f (b)t a . Khi ú, chỳng ta nhn c bi toỏn b Bi toỏn 4. Cho hm f (x ) liờn tc trờn ộởờa, bựỷỳ, kh vi trờn (a, b) v tho iu kin f (a )t b = f (b)t a vi s thc < t no ú. Chng minh rng tn ti c ẻ (a, b) cho f Â(c ) = f (c )ln t . Vi giỏ tr t = e , chỳng ta nhn c Bi toỏn 4.1. Cho hm f (x ) liờn tc trờn ộởờa0 ;an ựỷỳ, kh vi trờn (a0 ;an ) tr (n - 1) im ẻ (a0 ;an ) , i = 1, n - . Chng minh rng nu f (x ) ch trit tiờu ti ỳng cỏc im a i vi mi i = 0, n thỡ tn ti cỏc s ci ẻ (ai ;ai + ) , i = 0, n - cho n- f Â(ci ) i= f (ci ) = 1. - x Trong bi toỏn ny, chỳng ta xột hm h (x ) = e n f (x ) , x ẻ Ă . Tớnh liờn tc v kh vi ca h (x ) nhn c t hm f (x ) v d dng thy rng h (ai ) = , vi mi i = 0, n . o hm ca h (x ) l x h Â(x ) = - x -n e f (x ) + e n f Â(x ) . n Theo nh lý Rolle, tn ti cỏc s ci ẻ (ai ;ai + ) vi mi i = 0, n - cho h Â(ci ) = , tc l f Â(ci ) f (ci ) = . Tng ca n giỏ tr ny cho ta khng nh n n- f Â(ci ) i= f (ci ) = . Cng tng t nh th, vi hm ph h(x ) = e a x f (x ) , chỳng ta c Bi toỏn 4.2. Chng minh rng nu f liờn tc khong úng ộởờa, bựỷỳ, kh vi trờn khong m (a, b) v f (a) = f (b) = thỡ vi a ẻ Ă , tn ti x ẻ (a, b) cho a f (x ) + f Â(x ) = . Thit lp hm ph di dng h(x ) = e g(x ) f (x ) , ta c Bi toỏn 4.3. Cho f (x ) v g(x ) l cỏc hm liờn tc trờn ộởờa, bựỷỳ, kh vi trờn (a, b) v gi s f (a) = f (b) = . Chng minh rng tn ti c ẻ (a, b) cho g Â(c) f (c) + f Â(c) = . 2.1.2.2. Hm logarit Lp hm ph h (x ) = f (x ). loga x ; vi < a, b v < a . iu kin bng ti hai giỏ tr u mỳt ca hm trờn on ộờởa, bựỳỷ c vit di dng f (b) f (a ) = logb a . Bi vỡ o hm ca h(x ) l h Â(x ) = f Â(x )loga x + f (x ) x ln a nờn chỳng ta nhn c bi toỏn Bi toỏn 5. Cho hm f (x ) liờn tc trờn ộờởa, bựỳỷ, kh vi trờn (a, b) v f (b) = f (a ). logb a ; vi < a, b . Chng minh rng tn ti c ẻ (a, b) cho f Â(c ) = - f (c ) c ln c . Trng hp a = e , chỳng ta cú bi toỏn Bi toỏn 5.1. Cho hm f (x ) liờn tc trờn ộờởe;e ựỳỷ, kh vi trờn (e;e ) v f (e ) = f (e ) . 2 Chng minh rng tn ti c ẻ (e;e ) cho f Â(c ) = - f (c ) c ln c . 2.2. Mt s cỏch xõy dng bi toỏn gii hn ca dóy s t nh lý giỏ tr trung bỡnh Trong phn ny, chỳng ta xõy dng mt s bi toỏn v gii hn ca dóy s bng cỏch thit lp nhng dóy hm s tho cỏc gi thit ca nh lý Rolle. thun li cho vic trỡnh by kt qu, chỳng ta nhc li mt s gii hn c bn 1. a lim ( n )đ e a (n ) - = 1. a (n ) ổ a ( n )đ ln(1 + a (n )) = 1. a (n ) 4. lim sin a (n ) = 1. a (n ) a ( n )đ a (n ) a ữ ỗỗ1 + ữ 3. a (lim ữ n )đ Ơ ỗ ỗố a (n ) ữ ứ 5. lim 2. lim = ea . a ( n )đ t an a (n ) = 1. a (n ) 2.2.1. Cỏc bi toỏn Bi toỏn 6. Cho hm s f (x ) kh vi trờn on ộờởa, bựỳỷ. Gi s rng f (a) = f (b) = v f (x ) Ơ vi mi x ẻ (a, b) . Chng minh rng tn ti dóy {x n }n = khong (a, b) cho lim nđ Ơ f Â(x n ) ( n e - 1) f (x n ) = 2012 . chng minh bi toỏn ny, chỳng ta xột hm s H n (x ) = e - 2012x n f (x ), x ẻ (a, b) . o hm ca H n (x ) l H n Â(x ) = - 2012 e n =e - 2012x n 2012x n f (x ) + e - 2012 x n f Â(x ) ổ ỗỗf Â(x ) - 2012 f (x )ữ ữ ữ. ỗỗố ữ n ứ T gi thit f (x ) kh vi trờn ộờởa, bựỳỷ v f (a) = f (b) = , chỳng ta suy H n (x ) tha cỏc iu kin ca nh lý Rolle. Do ú, tn ti dóy {x n }è (a, b) cho H n Â(x n ) = . T ú, ta cú f Â(x n ) f (x n ) = 2012 . n S dng gii hn c bn 1, chỳng ta thu c lim nđ Ơ Gi nguyờn hm H n (x ) = e - f Â(x n ) ( e - 1) f (x n ) 2012x n 2012 = lim n nđ Ơ n ( e - 1)n = lim nđ Ơ 2012 n = 2012 . e- 1 n f (x ) v s dng cỏc gii hn c bn khỏc, chỳng ta nhn c cỏc bi toỏn sau Bi toỏn 6.1. Cho hm f (x ) kh vi trờn ộờởa, bựỷỳ v f (a) = f (b) = . Chng minh rng nu f (x ) khụng ng nht bng trờn khong (a, b) thỡ tn ti mt dóy {x n } khong (a, b) cho n ổ f Â(x ) ữ n ữ lim ỗỗỗ1 + = e 2012 . ữ nđ Ơ ỗ ữ f (x n ) ữ ố ứ Bi toỏn 6.2. Cho hm f (x ) kh vi trờn ộờởa, bựỷỳ v f (a) = f (b) = . Chng minh rng nu f (x ) khụng ng nht bng trờn khong (a, b) thỡ tn ti mt dóy {x n } khong (a, b) cho ộ ổ f Â(x ) ửự n ữ ỳ ữ lim ờờn ln ỗỗỗ1 + ữỳ= 2012 . ữ nđ Ơ ỗ ữ f ( x ) ỳ n ứỷ ởờ ố Bi toỏn 6.3. Cho hm f (x ) kh vi trờn ộờởa, bựỷỳ v f (a) = f (b) = . Chng minh rng nu f (x ) khụng ng nht bng trờn khong (a, b) thỡ tn ti mt dóy {x n } khong (a, b) cho ộ f Â(x n ) ự ỳ= 2012 lim ờờn sin nđ Ơ f (x n ) ỳ ờở ỳ ỷ . Bi toỏn 6.4. Cho hm f (x ) kh vi trờn ộờởa, bựỳỷ v f (a) = f (b) = . Chng minh rng nu f (x ) khụng ng nht bng trờn khong (a, b) thỡ tn ti mt dóy {x n } khong (a, b) cho ộ f Â(x n ) ự ỳ= 2012 . lim ờờn t an nđ Ơ f (x n ) ỳ ờở ỳ ỷ 2.2.2. Mt s hm khỏc Ngoi hm H n (x ) c xột bi toỏn m u, ta cú th lp cỏc hm khỏc. Tng ng vi mi hm cựng gii hn c bn, ta c cỏc bi toỏn mi. Hm H n1 (x ) = e - xa n f (x ) cú o hm ax a- H n1 (x ) Â = e n ( ) = e - xa n xa n f (x ) + e - xa n f Â(x ) a- ổ ỗỗf Â(x ) - a x ữ f ( x )ữ . ữ ỗỗ ữ n ố ứ Khi hm H n1 (x ) tho cỏc iu kin ca nh lý Rolle nhn c t gi thit ca hm gc cho ta khng nh (H n1 (x n ))Â = . iu ú, tng ng vi f Â(x n ) xn a- f (x n ) = a . n T ú, chỳng ta cú bi toỏn Bi toỏn 7. Cho hm f (x ) kh vi trờn on ộởờa, bựỳỷ v giỏ tr ca hm ti hai u mỳt u bng 0. Chng minh rng nu f (x ) khụng ng nht bng trờn khong (a, b) thỡ tn ti mt dóy {x n } khong (a, b) tha 1. nlim đƠ f Â(x n ) ( n e - 1)x n a - f (x n ) = a; n 2. ổ f Â(x ) ữ ỗ lim ỗỗ1 + a - n ữ = ea ữ ữ nđ Ơ ỗ ữ x n f (x n ) ứ ố ; ộ ổ ửự f Â(x ) ữ ỗ ỳ= a lim ờờn ln ỗỗ1 + a - n ữ ữ ỳ nđ Ơ ữ x n f (x n ) ữ ờở ốỗ ứỳ ỷ 3. ; 4. 5. Hm H n2 (x ) = f (x ).cos ổ f Â(x ) ữ ỗ ữ= a lim ỗỗn sin a - n ữ ữ nđ Ơ ỗ x n f (x n ) ữ ố ứ ổ f Â(x ) ữ ỗ lim ỗỗn t an a - n ữ = a ữ ữ nđ Ơ ỗ ữ x n f (x n ) ứ ố ; . x cú o hm n (H n x x (x ) Â = f Â(x )cos f (x ) sin . n n n ) iu kin (H n2 (x n ))Â = cho ta f Â(x n ) f (x n ) = x t an n . n n T ú, chỳng ta cú bi toỏn ộ pự Bi toỏn 8. Cho hm f (x ) kh vi trờn ờờ0; ỳỳ v f (0) = 4ỷ ổp ữ = . Khi ú, nu f (x ) khụng f ỗỗỗ ữ ữ ữ ỗố ứ ổ pử ng nht bng trờn khong ỗỗỗ0; ữữữ thỡ tn ti mt dóy {x n } khong ú cho ỗố ữ ứ lim nđ Ơ n f Â(x n ) x n f (x n ) = 1. Tng t nh vy, i vi hm H n3 (x ) = f (x ) cot ộ pự x ; vi x ẻ ờờ0; ỳỳ, n 4ỷ chỳng ta nhn c ộ pự ổp Bi toỏn 9. Cho hm f (x ) kh vi trờn ờờ0; ỳỳ v f (0) = f ỗỗỗ ữữữ = . Khi ú nu f (x ) khụng ữ ỗố ứ 4ỷ ổ pử ng nht bng trờn khong ú thỡ tn ti dóy {x n } è ỗỗỗ0; ữữữ cho ữ ỗố ứ lim nđ Ơ x n f Â(x n ) f (x n ) = 1. Kt thỳc phn ny chỳng ta trỡnh by li gii y ca bi toỏn sau Bi toỏn 10. Cho hm s f (x ) kh vi trờn ộờởa, bựỷỳ v f (a) = f (b) = . Gi s f (x ) khụng ng nht bng trờn (a, b) . Chng minh rng tn ti dóy {x n }è (a, b) cho lim nđ Ơ ổ Xột hm H n4 (x ) = f (x )ln ỗỗỗ1 + ỗố x n f Â(x n ) f (x n ) = - 2012 . x 2012 ữ ữ . Ta cú ữ ữ n ứ x 2011 2012. 2012 ổ x ữ n . ữ H n4 (x ) Â = f Â(x )ln ỗỗỗ1 + ữ+ f (x ) ỗố n ữ x 2012 ứ 1+ n ( ) T cỏc iu kin ca hm f (x ) , chỳng ta thy rng hm H n4 (x ) tha iu kin ca Ơ nh lý Rolle trờn ộờởa, bựỳỷ. T ú, suy tn ti dóy {x n }n = è (a, b) cho (H n4 (x n ))Â = , tc l 2012 2011 xn n . = ổ x 2012 ổ x 2012 ửữ f (x n ) ữ ỗỗ ỗ n n ữ ữ ữln ỗỗ1 + ữ ỗ1 + n ữ ữ ốỗ n ứữ ữ ỗố ứ f Â(x n ) Do ú ộ ờ Â x n f (x n ) lim = lim ờnđ Ơ n đ Ơ f (x n ) ờ ờở ộ ờ = lim ờnđ Ơ ờ ờở ự ỳ 2012 2012 ỳ xn ỳ n ỳ ổ x 2012 ữ ổ x 2012 ửữỳ ỗỗ ỗỗ n n ữ ữ ln ỗ1 + ữỳỳ ỗỗ1 + n ữ ữ ữ n ứữ ữỳ ố ứ ốỗ ỷ ự ỳ ỳ ỳ 2012 n ì ỳ 2012 2012 ổ x ửữ ổ x ửữỳ ỗỗ ỗ n n ữ ln ỗ1 + ữỳ ữ ỗ1 + n ữ ỗ ữ ữỳ ữ n ỗố ỗ ứ ố ứữỳỷ x n 2012 = - 2012 . 3. Kt lun Chỳng tụi ó trỡnh by mt s phng phỏp xõy dng mt s kt qu mi i vi phộp tớnh vi phõn ca hm s mt bin s t nh lý giỏ tr trung bỡnh. Bng vic s dng nhng tớnh cht c trng ca hm s cp v k thut to dng hm ph, chỳng tụi a mt s bi toỏn i vi hm kh vi. Thờm na, chỳng ta cng thy c mt phng phỏp dng kt hp gia gii hn c bn vi nh lý giỏ tr trung bỡnh cú c mt lp cỏc bi toỏn gii hn v dóy s khỏ c sc. TI LIU THAM KHO 1. P. Ahern, M. Flores and W. Rudin, An invariant volume-mean-value property, J. Funct. Anal. 111, 1993, p. 380-397. 2. W. A. Granville, Elements of the Differential and Integral Calculus (revised edition), 2008. 3. W. J. Kaczor, M. T. Nowak, Problems in Mathematical Analysis II: Continuity and Differentiation, Student mathematical library, Volume 12, 2001, p. 45-52. 4. K. Ramachandra, Lectures on the Mean-Value and Omega-Theorems for the Riemann Zeta-Function, Springer-Verlag Berlin Heidelberg-New York-Tokyo, 1995. APPLICATION OF MEAN VALUE THEOREM Nguyen Van Hao, Le Thi Huyen My Abstract In this paper, we presented some methods of construction of problems by mean value theorems with technics of creation aid functions. . MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ GIÁ TRỊ TRUNG BÌNH Nguyễn Văn Hào 1 Lê Thị Huyền My 2 Trong bài báo này chúng tôi trình bày một số phương pháp xây dựng các bài toán từ Định lý giá trị trung. giải gần đúng của lý thuyết số, bài toán tìm cực trị của hàm số Khởi nguồn của các định lý giá trị trung bình là Định lý Rolle như sau: Định lý. Cho hàm ()y f x= liên tục trên [ , ]ab ,. ít nhất một số ( , )c a bÎ sao cho ( ) 0fc ¢ = . Theo một khía cạnh, nhìn lại cách chứng minh của Định lý Lagrange và Định lý Cauchy, chúng ta thấy hai định lý đó là hệ quả của Định lý Rolle