BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ THANH DUNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ d - CỰC TRỊ TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI BÙI THỊ THANH DUNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ d - CỰC TRỊ TÁC DỤNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH THỰC VỚI HAI NÓN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn: PGS.TS.GVCC NGUYỄN PHỤ HY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI-2014 Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành, sâu sắc tới PGS.TS.GVCC Nguyễn Phụ Hy người động viên, quan tâm tận tình hướng dẫn trình thực luận văn này. Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám Hiệu, Phòng Sau Đại Học, thầy giáo, cô giáo trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho suốt trình học tập, nghiên cứu hoàn thành luận văn này. Nhân xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình bạn học viên lớp cao học K16-Toán giải tích trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội giúp đỡ, động viên nhiều suốt trình học tập, nghiên cứu. Do thời gian khả hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót. Rất mong góp ý Thầy giáo, cô giáo bạn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2014 Học viên Bùi Thị Thanh Dung Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS. TS. GVCC Nguyễn Phụ Hy. Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà toán học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2014 Học viên Bùi Thị Thanh Dung Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Bảng ký hiệu viết tắt Mở đầu Không gian Banach thực nửa thứ tự 10 1.1 Không gian Banach thực [4,7] . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2 Không gian Banach thực nửa thứ tự [9,10] . . . . . . 11 1.2.1 Định nghĩa nón tính chất . . . . . . . . . . . . 11 1.2.2 Quan hệ thứ tự không gian Banach thực . . 14 1.2.3 Phần tử u0 - đo không gian Eu0 . . . . . 17 1.2.4 Phần tử thông ước tập K(u0 ) . . . . . . . . . 25 Không gian lp (p > 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 1.3.1 Không gian tuyến tính thực lp . . . . . . . . . . . 27 1.3.2 Không gian Banach lp (p ∈ R, p > 1) . . . . . . . . 30 1.3.3 Quan hệ thứ tự không gian lp . . . . . . . . 34 1.3.4 Phần tử u0 - đo không gian Eu0 1.3 1.3.5 không gian lp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Phần tử thông ước tập K(u0 ) . . . . . . . . . 37 Toán tử d - cực trị không gian Banach thực với hai nón 2.1 2.2 39 Toán tử d - cực trị không gian Banach thực với hai nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.1.1 Định nghĩa tính chất đơn giản . . . . . . . . . 39 2.1.2 Toán tử d - cực trị không gian lp với hai nón 43 Toán tử (K, u0 ) - lõm qui không gian Banach thực với hai nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.2.1 Định nghĩa tính chất đơn giản . . . . . . . . . 48 2.2.2 Toán tử (K, u0 ) - lõm qui không gian lp 53 Sự tồn điểm bất động toán tử d - cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón 55 3.1 Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 3.2 Áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 62 Bảng ký hiệu viết tắt : Tập số thực. Số x : Chuẩn véctơ x. X: Là không gian định chuẩn. E: Không gian Banach thực. K: Nón. inf: Cận đúng. sup: Cận đúng. max: Giá trị lớn nhất. min: Giá trị nhỏ nhất. Eu0 : Tập hợp tất phần tử u0 - đo không gian E. K(u0 ): Tập hợp tất phần tử thuộc E thông ước với phần tử u0 ∈ K\{θ}. lp : Tập hợp tất dãy số thực x = (xn )∞ n=1 cho chuỗi hội tụ. H: Nón không gian E (H = K, H ∩ K\{θ} = ∅). ∞ p i=1 |xn | Mở đầu 1. Lý chọn đề tài Nhiều vấn đề toán học khoa học kỹ thuật dẫn đến việc nghiên cứu tồn điểm bất động toán tử nói chung toán tử d - cực trị nói riêng tác dụng không gian Banach với hai nón. Chính mà toán nhiều nhà toán học giới quan tâm nghiên cứu. Nhà toán học Nga tiếng M.A.Kraxnoxelxki nghiên cứu lớp toán tử phi tuyến: toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với nón cố định, mở rộng cho toán tử lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định, nón tập nón [9]. Nhà toán học Nga Y.A Bakhtin mở rộng kết công trình [8,9] cho lớp toán tử phi tuyến (K, u0 ) - lõm tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định giao khác rỗng [10]. Các lớp toán tử nhà toán học Kraxnoxelxki Bakhtin nghiên cứu có chung tính chất u0 - đo được. Năm 1987, PGS-TS Nguyễn Phụ Hy mở rộng kết lớp toán tử lõm cho lớp toán tử phi tuyến mới: Toán tử lõm quy, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo [1,2,5,6]. Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp toán tử phi tuyến này, nhờ giúp đỡ, hướng dẫn tận tình PGS-TS-GVCC Nguyễn Phụ Hy mạnh dạn chọn nghiên cứu đề tài:"Điểm bất động toán tử d - cực trị tác dụng không gian Banach thực với hai nón", toán tử xét vừa có tính chất (K, u0 ) - lõm qui vừa có tính chất d - cực trị không gian Banach với hai nón cố định, nón K gồm phần tử dương (không gian thứ tự theo nón đó) nón nón H khác K H ∩ K\{θ} = ∅. Còn toán tử xét [7] có tính chất lõm qui d - cực trị tác dụng không gian Banach với nón cố định. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài nhằm nghiên cứu cách có hệ thống, chứng minh chi tiết kết đạt điểm bất động toán tử d - cực trị tác dụng không gian Banach thực với hai nón cố định, không yêu cầu toán tử có tính chất u0 - đo được. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu không gian Banach thực nửa thứ tự. - Tìm hiểu toán tử d - cực trị. - Tìm hiểu tồn điểm bất động toán tử d - cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón. 4. Đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các kiến thức sở cần thiết, kết toán tử d - cực trị, tồn điểm bất động toán tử d - cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo nước liên quan đến điểm bất động toán tử d - cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón. 5. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu báo điểm bất động toán tử d cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón. - Tổng hợp, phân tích, hệ thống khái niệm, tính chất. - Tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn. 6. Những đóng góp luận văn Trình bày cách có hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, số tính chất điểm bất động tồn điểm bất động toán tử d - cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón, kết thu mở rộng cho số lớp toán tử khác. Áp dụng kết đạt không gian Banach thực tổng quát vào không gian Banach thực lp (p > 1). Luận văn sử dụng làm tài liệu cho vấn đề toán học tương tự khác. Từ (2.1) tính chất toán tử A ta có: Ax(1) ≤ Ax(2) ≤ . ≤ Ax(k) ≤ . (k) (1) (2) (k) Đặt z (k) = (zn ) = Ax(k) (∀k, n ∈ N∗ ), zn ≤ zn ≤ . ≤ zn ≤ ., (k) (k) zn = với n ∈ I2 , zn = |zn(k) | ≤ √ (k) xn + với n ∈ I1 , α + = a, a ≥ 1, ∀k ∈ N∗ , ∀n ∈ I1 . Kí hiệu zn∗ = sup(zn(k) ), z ∗ = (zn∗ ), k ⇒ zn∗ = với n ∈ I2 , |zn∗ | ≤ a với n ∈ I1 . Khi z∗ |zn∗ |p p= p ≤ N.a < +∞, n∈I1 N lực lượng I1 , ≤ N < +∞. Nên z ∗ ∈ H. (k) Hơn nữa, zn ≤ zn∗ ∀k ∈ N∗ , ∀n ∈ N∗ ⇒ z (k) ≤ z ∗ (∀k ∈ N∗ ) (k) (k) ≤ z, k ∈ N∗ ⇒ zn ≤ zn , ∀k, n ∈ N∗ Giả sử ∃z = (zn )∞ n=1 cho z ⇒ zn∗ = sup zn(k) ≤ zn , ∀n ∈ N∗ k ⇒ z∗ ≤ z suy z ∗ = sup z (k) = sup(Ax(k) ) k z ∗ ∈ H. Từ (2.2) tính chất toán tử A ta có Ay (1) ≥ Ay (2) ≥ . ≥ Ay (s) ≥ . (s) (1) (2) (s) Đặt w(s) = (wn ) = Ay (s) (s ∈ N∗ ), wn ≥ wn ≥ . ≥ wn ≥ . ∀n, s ∈ N∗ , 47 (s) (s) wn = với n ∈ I2 , wn = |wn(s) | ≤ (s) yn + với n ∈ I1 , β + = b, b ≥ 1, ∀s ∈ N∗ , ∀n ∈ I1 . Kí hiệu wn∗ = inf (wn(s) ), w∗ = (wn∗ ) s ⇒ wn∗ = với n ∈ I2 , |wn∗ | ≤ b với n ∈ I1 . Khi w∗ |wn∗ |p p= p ≤ N.b < +∞, n∈I1 Nên w∗ ∈ H. (s) Hơn nữa, wn ≥ wn∗ ∀s ∈ N∗ , ∀n ∈ N∗ w(s) ≥ w∗ (∀s ∈ N∗ Giả sử ∃w = (wn ) ∈ H cho w(s) ≥ w, s ∈ N∗ (s) ⇒ wn ≥ wn , ∀n ∈ N∗ , ∀s ∈ N∗ ⇒ wn(∗) = inf wn(s) ≥ wn , ∀n ∈ N∗ s ⇒ w∗ ≥ w suy w∗ = inf w(s) = inf (Ay (s) ) s s w∗ ∈ H. Vậy A toán tử d - cực trị. 2.2 Toán tử (K, u0) - lõm qui không gian Banach thực với hai nón 2.2.1 Định nghĩa tính chất đơn giản Giả sử E không gian Banach thực nửa thứ tự theo nón K ⊂ E, H nón không gian E, H = K, H ∩ K\{θ} = ∅, toán 48 tử A : E → E, u0 ∈ H\{θ}. Định nghĩa 2.2.1[9,10] Toán tử A gọi (K, u0 ) - lõm, B1 : Toán tử A dương đơn điệu nón H; B2 : A(H\{θ}) ⊂ H(u0 ); B3 : ∀x ∈ H\{θ}, ∀t ∈ (0, 1) ta có Atx > tAx; B4 : ∀x, y ∈ H(u0 ), ∀t ∈ (0, 1) cho x − ty > θ, ∃δ = δ(x, y, t) > ta có Ax − tAy ≥ δu0 ; Định nghĩa 2.2.2 Toán tử A gọi (K, u0 ) - lõm qui, H1 : Toán tử A dương đơn điệu nón H; H2 : ∀x ∈ H\{θ}, ∀t ∈ (0, 1) ta có Atx > tAx; H3 : ∀x, y ∈ H(u0 ), ∀t ∈ (0, 1) cho x − ty > θ, ∃δ = δ(x, y, t) > ta có Ax − tAy ≥ δu0 ; Định lý 2.2.1 Nếu A toán tử (K, u0 ) lõm qui, ∀α ∈ R∗+ , αA toán tử (K, u0 ) - lõm qui. Chứng minh αA toán tử (K, u0 ) - lõm qui. Thật vậy, - Theo giả thiết A toán tử (K, u0 ) - lõm qui, nên: (∀x ∈ H)Ax ∈ H (∀x, y ∈ H : x ≤ y)Ax ≤ Ay ⇒ αAx ∈ H, αAx ≤ αAy (∀α ∈ R∗+ ) ⇒ toán tử αA dương đơn điệu nón H. - ∀x ∈ H\{θ}, ∀t ∈ (0; 1) ta có Atx > tAx ⇒ (∀α ∈ R∗+ ) (αA)tx = αAtx > αtAx = t(αA)x ⇒ (αA)tx > t(αA)x, (α ∈ R∗+ ). - ∀x, y ∈ H(u0 ), ∀t ∈ (0; 1) cho x − ty > θ, ∃δ = δ(x, y, t) > 49 Ta có Ax − tAy ≥ δu0 ⇒ αAx − αtAy ≥ αδu0 ⇒ (αA)x − t(αA)y > αδu0 . Vậy αA toán tử (K, u0 ) - lõm qui. Định lý 2.2.2 Nếu A toán tử (K, u0 ) - lõm qui ∀n ∈ N∗ , An toán tử (K, u0 ) - lõm qui Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp. Với n = 1, A1 = A toán tử (K, u0 ) - lõm qui (theo giả thiết). Giả sử với n = k ≥ toán tử An = Ak toán tử (K, u0 ) - lõm qui. Ta phải chứng minh toán tử Ak+1 toán tử (K, u0 ) - lõm qui. 1) Ak+1 toán tử dương nón H. Thật vậy, ∀x ∈ H, Ak+1 x = A(Ak x). Theo giả thiết quy nạp, Ak toán tử (K, u0 ) - lõm qui nên Ak toán tử dương nón H. Do Ak x ∈ H. Vì A toán tử (K, u0 ) - lõm qui nên A(Ak x) ∈ H hay Ak+1 x ∈ H. Do đó, Ak+1 toán tử dương nón H. 2) Ak+1 đơn điệu nón H. Thật vậy, Ak toán tử đơn điệu nón H nên: ∀x, y ∈ H, x ≤ y ta có Ak x ≤ Ak y. A toán tử đơn điệu nón H nên ta có: A(Ak x) ≤ A(Ak y). Suy Ak+1 x ≤ Ak+1 y. Do Ak+1 toán tử đơn điệu nón H. 3) ∀x ∈ H\{θ}, ∀t ∈ (0; 1) ta chứng minh Ak+1 tx > tAk+1 x. Thật vậy, Ak toán tử (K, u0 ) - lõm qui ta có Ak x ≥ Ak tx > tAk x ≥ θ nên Ak x ∈ H\{θ}, Ak tx ∈ H\{θ}. 50 A toán tử (K, u0 ) - lõm qui nón H ta có Ak+1 tx = A(Ak tx) ≥ A(tAk x) > tA(Ak x) = tAk+1 x Do suy Ak+1 tx > tAk+1 x. Do ∀x ∈ H ∗ , ∀t ∈ (0; 1) ta có Ak+1 tx > tAk+1 x. 4) Ta chứng minh ∀x, y ∈ H\{u0 }, ∀t ∈ (0; 1), x − ty > θ, ∃δ = δ(x, y, t) > cho Ak+1 x − tAk+1 y ≥ δu0 . Thật vậy, theo giả thiết quy nạp, Ak toán tử (K, u0 ) - lõm qui nên có ∀x, y ∈ H(u0 ), ∀t ∈ (0; 1), x − ty > θ, ∃δ1 = δ1 (x, y, t) > cho Ak x − tAk y ≥ δ1 u0 , (2.3) Ak x − tAk y > θ (2.4) theo giả thiết phép qui nạp lập luận Ak x ∈ H\{θ}, Ak y ∈ H\{θ}. Do A toán tử (K, u0 ) - lõm qui nên ∃δ2 = δ2 (Ak x, Ak y, t) > cho A(Ak x) − tA(Ak y) ≥ δ2 u0 . hay Ak+1 x − tAk+1 y ≥ δ2 u0 . (2.5) Để có bất đẳng thức (2.5) ta sử dụng bất đẳng thức Ak x − tAk y > ( suy từ (2.5)). Nên bất đẳng thức (2.3) ta thay δ1 δ = δ(x, y, t) > cho δ < δ1 , δ < δ3 ta Ak+1 x − tAk+1 y ≥ δu0 51 Do Ak+1 toán tử (K, u0 ) - lõm qui. Vì theo phép quy nạp toán học, An toán tử (K, u0 ) - lõm qui với ∀n ∈ N∗ . Định lý 2.2.3 Nếu A : E → E, B : E → E toán tử (K, u0 ) - lõm qui, A + B toán tử (K, u0 ) - lõm qui Chứng minh Theo giả thiết - A toán tử (K, u0 ) - lõm qui, B toán tử (K, u0 ) - lõm qui. (x, y ∈ H : x ≤ y)Ax ≤ Ay, Bx ≤ By (A + B)x = Ax + Bx ≤ Ay + By = (A + B)y (∀x ∈ H)(A + B)x = Ax + Bx ∈ H ⇒ (A + B)H ⊂ H, nên A + B toán tử dương đơn điệu nón H. - Theo giả thiết ∀x ∈ H\{θ}, ∀t ∈ (0, 1) ta có Atx > tAx, ∀x ∈ H\{θ}, ∀t ∈ (0, 1) ta có Btx > tBx ⇒ (A + B)tx > t(A + B)x - Theo giả thiết ∀x, y ∈ H(u0 ), ∀t ∈ (0, 1) cho x − ty > θ, ∃δ = δ(x, y, t) > Ta có Ax − tAy > δu0 ∀x, y ∈ H(u0 ), ∀t ∈ (0, 1) cho x − ty > θ, ∃µ = µ(x, y, t) > Ta có Bx − tBy > µu0 ⇒ (A + B)x − t(A + B)y ≥ (δ + µ)u0 Vậy A+B toán tử (K, u0 ) - lõm qui. 52 2.2.2 Toán tử (K, u0 ) - lõm qui không gian lp Xét toán tử cho mục 2.1.2 ∞ Với x = (xn )∞ n=1 ∈ lp , đặt Ax = (zn )n=1 = z, √ zn = xn + với n ∈ I1 với n ∈ I2 +) Ta chứng minh toán tử A : lp → lp , dương đơn điệu nón H. Để tiếp tục, ta chọn u0 = (un ), un = với n ∈ I1 , với n ∈ I2 . Khi H(u0 ) = {x = (xn )∞ n=1 ∈ lp : xn > với n ∈ I1 , xn = với n ∈ I2 } (2.6) Thật vậy, Giả sử x ∈ H(u0 ) x ∈ lp (∃α > 0, ∃β > 0) αu0 ≤ xn ≤ βu0 Vì u0 = với n ∈ I2 , u0 = với n ∈ I1 nên xn = với n ∈ I2 , α ≤ xn ≤ β với n ∈ I1 nên xn > với n ∈ I1 . Do x thuộc tập vế phải hệ thức (2.6). Ngược lại, giả sử x thuộc tập vế phải hệ thức (2.6). Ta có x ∈ lp , xn > với n ∈ I1 Do n ∈ I2 , M = max xn ≥ m = xn > n∈I1 n∈I1 ⇒ mun ≤ xn ≤ M un ∀n ∈ N∗ ⇒ mu0 ≤ x ≤ M u0 ⇒ x ∈ H(u0 ). 53 Hệ thức (2.6) chứng minh. +) ∀x = (xn )∞ n=1 ∈ H\{θ}, ∀t ∈ (0, 1), , , ∞ đặt z = (zn )∞ n=1 = Ax, z = (zn )n=1 = Atx, ta có √ zn = với n ∈ I2 , zn = xn + với n ∈ I1 zn, = tzn = với n ∈ I2 √ √ zn, = txn + > t xn + t với n ∈ I1 ⇒ Atx > tAx. ∞ +) ∀x = (xn )∞ n=1 ∈ H(u0 ), ∀y = (yn )n=1 ∈ H(u0 ), ∀t ∈ (0, 1) cho x − ty > θ ∞ Đặt Ax = (zn )∞ n=1 = z, Ay = (wn )n=1 = w ta có ∃α, β > cho x ≤ αu0 , y ≥ βu0 . ∞ ∞ Ax − tAy = (zn )∞ n=1 − t(wn )n=1 = (zn − twn )n=1 Với n ∈ I2 zn = wn = ⇒ zn − twn = 0; Với n ∈ I1 zn − twn = = ≥ ≥ ≥ √ √ xn + − t( yn + 1) √ √ xn − t yn + − t √ √ tyn − t yn + − t √ √ ( t − t) yn + − t √ [( t − t) β + (1 − t)]un √ √ Kí hiệu δ = ( t − t) β + (1 − t) > ta √ √ xn − t yn ≥ δun ∀n ∈ N∗ (do u0 = với n ∈ I2 ). Do Ax − tAy ≥ δu0 . Vậy, A toán tử (K, u0 ) - lõm qui. 54 Chương Sự tồn điểm bất động toán tử d - cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón 3.1 Định lý Giả sử E không gian Banach thực nửa thứ tự theo nón K ⊂ E, H nón không gian E, H = K, H ∩ K\{0} = ∅, toán tử A : E → E, u0 ∈ H\{θ}. Định nghĩa: Phần tử x∗ ∈ E gọi điểm bất động toán tử A, Ax∗ = x∗ . Định lý 3.1.1 Giả sử toán tử A thỏa mãn điều kiện 1) Toán tử A (K, u0 ) - lõm qui d - cực trị; 2) ∃x0 ∈ H\{θ} cho x0 ≤ Ax0 ; 3) ∃R > cho với x ∈ H, x > R x Ax; Khi toán tử A có điểm bất động x∗ ∈ H cho x∗ ≥ x0 , Chứng minh Xét dãy xn = Axn−1 (n = 1, 2, .) toán tử A đơn điệu dương 55 nón H nên x0 ≤ x1 ≤ . ≤ xn < ., (xn )∞ n=0 ⊂ H. Do điều kiện 3) dãy (xn )∞ n=0 bị chặn theo chuẩn. Từ từ tính d cực trị toán tử A suy ∃ sup(Axn−1 ) = x∗ . n Hơn nữa, (∃α > 0) αu0 ≤ x0 ≤ x1 ≤ . ≤ xn ≤ . ≤ x∗ ≤ βu0 ⇒ xn , x∗ ∈ H(u0 ) (n = 0, 1, .) Hiển nhiên, xn ≤ x∗ (n = 1, 2, ) (3.1) xn ≤ xn+1 = Axn ≤ Ax∗ ⇒ x∗ ≤ Ax∗ (3.2) Ta có, xn ≥ αu0 = α α βu0 ≥ x∗ β β hay, xn − αβ −1 x∗ ≥ θ với < αβ −1 ≤ (nếu αβ −1 > 1, xn ≥ αβ −1 x∗ > x∗ mâu thuẫn với (3.1)) Xét ánh xạ: f :R→E t → f (t) = xn − tx∗ f liên tục nhờ tính liên tục phép cộng hai vectơ phép nhân số với vectơ. Từ đó, f −1 (K) tập đóng αβ −1 ∈ f −1 (K). Kí hiệu: tn = sup f −1 (K). Hiển nhiên, tn ∈ (0, 1], n = 1, 2, . tn > αβ −1 . Ta lại có: xn+1 ≥ xn ≥ tn x∗ 56 ⇒ tn+1 ≥ tn ≥ αβ −1 ≥ (n = 1, .) Ta nhận dãy số thực (tn )∞ n=1 không giảm chứa nửa khoảng (αβ −1 ; 1]. Nên, ∃ lim tn = γ ∈ (0, 1] n Giả sử γ < 1. Khi đó, Aγx∗ > γAx∗ ≥ γx∗ ⇒ Aγx∗ − γx∗ > θ Nên ∃δ = δ(Aγx∗ , x∗ , γ) để A2 γx∗ − γAx∗ ≥ δu0 . Do đó, A2 γx∗ η = ≥ γAx∗ + δu0 = γAx∗ + δβ −1 βu0 ≥ γx∗ + δβ −1 x∗ δ ∗ = (γ + δβ −1 )x∗ = γ(1 + )x = γ(1 + η)x∗ , βγ δ βγ > 0. Suy ra, xn+2 ⇒ tn tn = A2 xn ≥ A2 tn x∗ = A2 ( γx∗ ) ≥ A2 γx∗ γ γ tn ≥ γ(1 + η)x∗ = tn (1 + η)x∗ n = 1, 2, . γ tn+2 ≥ (1 + η)tn (n = 1, 2, .) Đặc biệt, t2k+1 ≥ (1 + η)t2k−1 ≥ . ≥ (1 + η)k t1 > 0, k = 1, 2, . ⇒ γ = lim tn = lim t2k+1 = +∞, mâu thuẫn với giả thiết γ < 1. Vậy, γ = 1. Từ suy ra, tn Ax∗ ≤ Atn x∗ ≤ Axn = xn+1 ≤ x∗ (n = 1, 2, .) Cho n → ∞ ta được: Ax∗ ≤ x∗ Từ (3.2) (3.3), Ax∗ = x∗ . Rõ ràng x∗ ∈ H x∗ ≥ x0 . 57 (3.3) 3.2 Áp dụng Toán tử A (xây dựng mục 2.1.2 2.2.2) thỏa mãn điều kiện định lý 3.1.1. Thật vậy, Ta kiểm tra thỏa mãn toán tử A (xây dựng mục 2.1.2 2.2.2) 1) Toán tử A toán tử (K, u0 ) - lõm qui (mục 2.2.2) toán tử d - cực trị (mục 2.1.2) (0) 2) Chọn x(0) = (xn ), 2, n ∈ I1 x(0) n = 0, n ∈ I2 Hiển nhiên, ∃x0 ∈ H\{θ}. (0) Mặt khác, đặt Ax(0) = (zn ) ta có   (0) xn + 1, n ∈ I1 (0) zn =  0, n ∈ I hay √ zn(0) = + 1, n ∈ I1 0, n ∈ I2 nên √ x(0) n = 2< x(0) n = = zn(0) với n ∈ I2 + với n ∈ I1 Do x(0) ≤ Ax(0) 3) Gọi lực lượng tập I1 N N ≥ (vì I1 = ∅). Với x = (xn )∞ n=1 ∈ H. Giả sử |xn0 | = max |xn |. n∈I1 58 Khi x |xn |p p= p ≤ (N |xn0 |p ) p = N p |xn0 |. n∈I1 Kí hiệu α = max{3, N p }, ta có R = 3, α < x |xn0 | > 3αN Ta có xn0 ≥ √ −1 p p≤ N p |xn0 | ≥ 3. xn0 + ⇔ (xn0 − 1)3 − xn0 ≥ ⇔ x2n0 (xn0 − 3) + xn0 + (xn0 − 1) ≥ Bất đẳng thức sau đúng, nên bất đẳng thức x0 ≤ Ax0 . Vậy, toán tử A thỏa mãn điều kiên định lý 3.1.1, nên toán tử A có điểm bất động x∗ ∈ H\{θ}. 59 Kết luận Luận văn trình bày cách hệ thống kiến thức không gian Banach nửa thứ tự, số tính chất điểm bất động tồn điểm bất động toán tử d - cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón, không yêu cầu toán tử phải có tính chất u0 - đo không gian xét với hai nón cố định, kết thu mở rộng số lớp toán tử khác; áp dụng kết đạt không gian Banach thực tổng quát vào không gian Banach thực lp (p > 1). Luận văn chia làm ba chương Chương 1: Không gian Banach thực nửa thứ tự. Hệ thống kiến thức không gian Banach thực, không gian Banach thực nửa thứ tự, không gian lp (p > 1) nửa thứ tự. Chương 2: Toán tử d - cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón. Trình bày số định nghĩa tính chất toán tử d - cực trị không gian lp số định nghĩa, tính chất toán tử (K, u0 ) - lõm qui không gian lp . Chương 3: Sự tồn điểm bất động toán tử d - cực trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón. Trình bày chứng mimh tồn điểm bất động toán tử d - cực 60 trị không gian Banach thực nửa thứ tự với hai nón áp dụng cho lớp toán tử không gian lp . Rất mong đóng góp ý kiến thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! 61 Tài liệu tham khảo A. Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (1987), " Các vecto riêng toán tử lõm quy " Tạp chí toán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học Công Nghệ Việt Nam, tập 15, số 2, trang 1723. [2] Nguyễn Phụ Hy (1987), "Các điểm bất động toán tử lõm quy" Tạp chí toán học, Viện Hàn Lâm Khoa Học Công Nghệ Việt Nam, tập 15, số 1, trang 2732. [3] Nguyễn Phụ Hy (2006), "Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội. [4] Nguyễn Phụ Hy (2012), " Các điểm bất động toán tử (K, u0) - lõm quy" Tạp chí Khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 22/2012, tr 157-167. [5] Nguyễn Phụ Hy (2013), "Các vecto riêng dương toán tử (K, u0) - lõm quy" Tạp chí Khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2, số 24/2013, tr 118-127. [6] Hoàng Tụy (2005), "Hàm thực Giải tích hàm”, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội. [7] Trần Văn Hải (2007), “Điểm bất động lớp toán tử phi tuyến d - cực trị”, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường ĐHSP Hà Nội 2. B. Tài liệu tiếng Nga [8] Бахтин И.А (1959)б О линейных управлениях с вогнутыми и уравномерно вогнутыми операторами, ДАН СССР, Т.126, № 1, с. 9-12. [9] Красносельский М.А. (1962), Положительные решения операторных уравнений, физматгиз, Москва. [10] Бахтин И.А. (1984), Положительные решения нелинейных уравнений с вогнутыми операторами, ВГПИ, Воронеж. 62 [...]... chuẩn X gọi là không gian Banach nếu mọi d y cơ bản trong X đều hội tụ Định nghĩa 1.1.5 Không gian Banach X gọi là không gian Banach thực nếu X là không gian định chuẩn thực 1.2 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự [9,10] 1.2.1 Định nghĩa nón và tính chất Định nghĩa 1.2.1 Giả sử E là không gian Banach thực, K là tập con khác rỗng của không gian E Tập con K được gọi là một nón nếu các phần tử thuộc K thỏa...Chương 1 Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự 1.1 Không gian Banach thực [4,7] Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi không gian định chuẩn thực (hay không gian tuyến tính định chuẩn thực) là không gian tuyến tính X trên trường số thực R cùng với một ánh xạ từ X vào tập R, kí hiệu là (đọc là chuẩn), thỏa mãn các điều kiện sau đây: 1 (∀x ∈ X), x ≥ 0, x = 0 ⇔ x = θ (phần tử không của không gian X); 2 (∀x ∈... cho ∃µ0 ∈ R, x0 ≤ µ0 u0 , Khi đó, tồn tại số thực nhỏ nhất α sao cho x0 ≤ αu0 Chứng minh Xét ánh xạ f :R µ −→ K −→ f (µ) = µu0 − x0 Do tính chất liên tục của hai phép toán cộng hai phần tử và nhân một số với một phần tử trong không gian Banach E, nên f liên tục Từ đó và từ tính đóng của nón K trong không gian E suy ra f −1 (K) là tập đóng trong không gian R Hiển nhiên, µ0 ∈ f −1 (K) Giả sử inf f... , do đó x ∈ Eu0 và ||xn − x||u0 < c, ∀n ≥ n0 Vậy Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn 1.2.4 Phần tử thông ước và tập K(u0 ) Định nghĩa 1.2.6 Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, x, y ∈ E Phần tử x gọi là thông ước với phần tử y, nếu ∃α = α(x) > 0, ∃β = β(x) > 0 sao cho αy ≤ x ≤ βy Nhận xét +) Nếu phần tử x thông ước với phần tử y thì phần tử y thông ước với phần tử. .. ≤ µ1 u0 Theo tính chất 3, tồn tại số thực β nhỏ nhất sao cho −x0 ≤ βu0 hay tồn tại số thực µ d ơng nhỏ nhất β sao cho x0 ≥ −βu0 1.2.3 Phần tử u0 - đo được và không gian Eu0 Định nghĩa 1.2.3 Giả sử E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự theo nón K ⊂ E, u0 là phần tử khác không và cố định thuộc nón K Phần tử x ∈ E gọi là u0 - đo được, nếu tồn tại hai số thực không âm t1 , t2 sao cho −t1 u0 ≤ x ≤... )∞ = (xn )∞ = x, phần tử 1 là phần tử đơn vị của R n=1 n=1 Vậy lp là không gian vector thực với phép toán cộng hai vectơ và nhân một số thực với một vectơ được định nghĩa như trên; (khi đó lp còn được gọi là không gian tuyến tính) 29 1.3.2 Không gian Banach lp (p ∈ R, p > 1) Định lý 1.3.2 ∞ x = (xn )∞ → x n=1 Ánh xạ lp | xn |p p= 1 p (p > 1) n=1 (1.13) là một chuẩn trên không gian lp (p > 1) Chứng... gọi là chuẩn của vectơ x Ta cũng ký hiệu không gian định chuẩn tương ứng là X Các tiên đề 1, 2, 3 gọi là các hệ tiên đề về chuẩn Định nghĩa 1.1.2 D y điểm (xn )∞ của không gian định chuẩn X được gọi là hội tụ tới n=1 10 điểm x ∈ X, nếu: lim n→∞ xn − x = 0 Định nghĩa 1.1.3 D y điểm (xn )∞ trong không gian định chuẩn X gọi là d y cơ bản, nếu n=1 lim n,m→∞ xn − xm = 0 Định nghĩa 1.1.4 Không gian định chuẩn... Banach thực Giả sử E là không gian Banach thực, K là một nón trong không gian E Với hai phần tử x, y ∈ E ta viết x ≤ y, nếu y − x ∈ K Định lý 1.2.3 Quan hệ "≤" là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E 14 Chứng minh +) ∀x ∈ E, ta sẽ chỉ ra x ≤ x Do x − x = θ ∈ K nên x ≤ x ⇒ quan hệ "≤" có tính chất phản xạ +) Nếu x, y ∈ E mà x ≤ y và y ≤ x Ta sẽ chỉ ra x = y Giả sử x = y Do x ≤ y và y ≤ x và x =... phần tử x +) Hai phần tử cùng thông ước với phần tử thứ ba thì thông ước với nhau Chứng minh: +) Phần tử x thông ước với phần tử y nên ∃α = α(x) > 0, β = β(x) > 0 sao cho αy ≤ x ≤ βy 25 Suy ra     y ≥ 1 x,  1 1 β ⇒ x ≤ y ≤ x  β α  1   y ≤ x, α 1 1 = µ ta có: γx ≤ y ≤ µx β α Vậy phần tử y thông ước với phần tử x Đặt = γ; +) Giả sử hai phần tử x, y ∈ E thông ước với phần tử z ∈ E Do đó ∃a > 0,... nón chuẩn tắc Giả sử ∀x, y ∈ K mà x E = y E = 1 ta có θ ≤ x ≤ x + y và bất đẳng thức trên, nên 1 = ||x||E ≤ N ||x + y||E ⇒ ||x + y||E ≥ 1 = δ N Vậy nón K là nón chuẩn tắc Định lý 1.2.9 Nếu K là nón chuẩn tắc thì Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn Chứng minh: Giả sử d y (xn ) là d y cơ bản tùy ý trong không gian Eu0 theo u0 chuẩn, nghĩa là với số d ơng c tùy ý tìm được số tự nhiên n0 sao cho với . về không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. - Tìm hiểu về toán tử d - cực trị. - Tìm hiểu về sự tồn tại điểm bất động của toán tử d - cực trị trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón. 4 tuyến: toán tử lõm tác d ng trong không gian Banach thực với một nón cố định, và mở rộng cho toán tử lõm tác d ng trong không gian Banach thực với hai nón cố định, trong đó một nón là tập con của nón. đến điểm bất động của toán tử d - cực trị trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với hai nón. 5. Phương pháp nghiên cứu - Thu thập tài liệu và các bài báo về điểm bất động của toán tử d - cực