TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THÚY HÀ PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội, tháng 12 năm 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI PHẠM THÚY HÀ PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành : TỐN GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC Hà Nội, tháng 12 năm 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Văn Ngọc Em xin gửi lời cảm ơn chân thành lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Nguyễn Văn Ngọc Nhân dịp em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới tồn thầy, cô giáo khoa tham gia giảng dạy giúp đỡ chúng em suốt trình học tập cao học chun ngành Tốn giải tích trường Em xin chân thành cảm ơn ban Giám hiệu, phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội tạo điều kiện thuận lợi trình em học tập nghiên cứu Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Phạm Thúy Hà LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại Học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận văn trung thực không trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Phạm Thúy Hà Mục lục Mở đầu Các kiến thức bổ trợ 1.1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1.1 Không gian Lp 1.1.2 Các bất đẳng thức định lý tích phân 1.1.3 Biến phân bị chặn 1.2 Chuỗi Fourier L1 1.2.1 Khái niệm chuỗi Fourier 1.2.2 Hội tụ chuỗi Fourier 1.2.3 Chuỗi Fourier - Cosin chuỗi Fourier - Sin 1.3 Chuỗi Fourier L2 1.3.1 Dãy trực giao 1.3.2 Bất đẳng thức Bassel - Định lý Parseval 1.4 Khái niệm toán Sturm - Liouville 1.4.1 Khái niệm 1.4.2 Tính chất 1.4.3 Các ví dụ đơn giản 1.4.4 Các ví dụ phức tạp 1.5 Khai triển vào chuỗi hàm Bessel 1.5.1 Khái niệm hàm Bessel 1.5.2 Khai triển hàm số vào chuỗi hàm Bessel 3 4 5 6 7 12 12 13 14 18 21 21 22 Các phương trình đạo hàm riêng chiều 24 2.1 Phương trình truyền nhiệt hữu hạn 24 2.1.1 Nghiệm toán truyền nhiệt 24 2.1.2 Sự tồn nghiệm phương trình truyền nhiệt 27 2.2 2.3 2.4 2.5 Truyền nhiệt hình trụ trịn xoay - Bài tốn đối xứng trục Phương trình truyền nhiệt khơng hữu hạn 2.3.1 Trường hợp điều kiện biên 2.3.2 Trường hợp điều kiện biên không Phương trình sóng khoảng hữu hạn 2.4.1 Nghiệm hình thức tốn dao động dây có hai đầu cố định - Bài toán biên Dirichlet 2.4.2 Tính đắn nghiệm toán dao động dây Phương trình sóng khơng khoảng hữu hạn 2.5.1 Trường hợp điều kiện biên 2.5.2 Trường hợp điều kiện biên không Các phương trình đạo hàm riêng hai chiều 3.1 Phương trình Laplace hình chữ nhật 3.2 Phương trình truyền nhiệt hình chữ nhật 3.2.1 Trường hợp hệ số khuếch tán 3.2.2 Trường hợp hệ số khuếch tán khác 3.3 Phương trình sóng hình chữ nhật 3.3.1 Phát biểu toán 3.3.2 Phương pháp tách biến - Thỏa mãn điều kiện biên 3.3.3 Thỏa mãn điều kiện ban đầu 3.4 Phương trình sóng khơng hình chữ nhật 3.4.1 Trường hợp điều kiện biên 3.4.2 Trường hợp điều kiện biên khơng 3.5 Phương trình sóng hình trịn 3.5.1 Phát biểu toán 3.5.2 Phương pháp tách biến 31 32 32 34 35 35 38 43 43 47 51 51 53 53 58 60 60 61 63 64 64 66 69 69 70 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 75 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phương pháp tách biến, hay gọi phương pháp Fourier, phương pháp hữu hiệu giải phương trình đạo hàm riêng Thực chất phương pháp tách biến đưa phương trình đạo hàm riêng nhiều biến số giải phương trình vi phân thường biến số Liên quan với điều kiện biên toán, xuất toán Sturm-Liouville tương ứng toán tử vi phân có phổ rời rạc, liên tục Từ đó, nghiệm phương trình đạo hàm riêng tìm dạng chuỗi, dạng tích phân hàm riêng Với mong muốn tiếp cận tới lý thuyết phương trình đạo hàm riêng phương pháp tách biến giải phương trình đạo hàm riêng, hướng dẫn TS Nguyễn Văn Ngọc, chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ “Phương pháp tách biến giải phương trình đạo hàm riêng” Mục đích nghiên cứu Mục tiêu luận văn tìm hiểu sâu phương pháp tách biến trình bày kết việc áp dụng phương pháp tách biến vào việc giải số phương trình đạo hàm riêng chiều, hai chiều, tốn Sturm-Liouville tương ứng có phổ rời rạc Nhiệm vụ nghiên cứu Trong luận văn ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo luận văn trình bày chương sau: Chương Các kiến thức bổ trợ: trình bày kiến thức khơng gian p , định lí tích phân, biến phân bị chặn, kiến thức chuỗi Fourier, L dãy trực giao, khái niệm toán Sturm-Liouville, hàm Bessel, định lí nghiệm, giới thiệu phương pháp tách biến để phục vụ cho việc giải toán chương 2, chương số ví dụ đơn giản Chương Các phương trình đạo hàm riêng chiều: sử dụng phương pháp tách biến hàm riêng để tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt, tồn nghiệm phương trình truyền nhiệt Truyền nhiệt hình trụ trịn xoay-Bài tốn đối xứng trục Phương trình truyền sóng khoảng hữu hạn Bài toán biên Dirichlet số ví dụ tìm nghiệm phương trình sóng phương trình truyền nhiệt Chương Các phương trình đạo hàm riêng hai chiều: giải số tốn phương pháp tách biến phương trình Laplace hình chữ nhật, phương trình truyền nhiệt hình chữ nhật Bài tốn truyền nhiệt hình quạt Phương trình sóng hai chiều khơng hình chữ nhật Đưa phương trình đạo hàm riêng toán Sturm-Liouville tương ứng, giải triệt để việc tìm nghiệm tổng qt phương trình sóng chiều trường hợp điều kiện biên khác Các nghiệm tìm biểu diễn dạng chuỗi lượng giác hàm Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp tách biến giải phương trình đạo hàm riêng Phương pháp nghiên cứu Đưa phương trình đạo hàm riêng tốn Sturm - Liouville tương ứng Những đóng góp đề tài Giải số toán biên khó xuất học vật lý Chương Các kiến thức bổ trợ 1.1 Một số kiến thức bổ trợ Các kiến thức mục chủ yếu trích từ tài liệu [1] Không gian Lp 1.1.1 Với p số thực: p < ∞, Ω ∈ Rn ta định nghĩa Lp (Ω) lớp hàm f (x) xác định Ω, cho p f p |f (x)|p dx = < ∞, dx = dx1 dx2 dxn (1.1) Ω Số f gọi chuẩn hàm f (x) Lp (Ω) không gian Banach Đặc biệt, L2 (Ω) không gian Hilbert với tích vơ hướng p (f, g) = f (x)g(x)dx, (1.2) Ω g(x) liên hợp phức g(x) Hàm f (x) xác định Ω gọi chủ yếu bị chặn Ω, tồn số dương C , cho |f (x)| C hầu khắp nơi Ω Cận lớn số C ký hiệu ess supx∈Ω |f (x)| Ta ký hiệu L∞ (Ω) không gian tất hàm chủ yếu bị chặn Ω Chuẩn L∞ (Ω) xác định theo công thức f ∞ = esssupx∈Ω |f (x)| sup lấy tất phân hoạch đơn vị [a, b] Dưới mệnh đề quan trọng trù mật Lp Định lý 1.1 (Về trù mật) i) Nếu khoảng (a, b) hữu hạn lớp hàm sau trù mật khắp nơi Lp (a, b): M −lớp hàm bị chặn, C−lớp hàm liên tục, S−lớp hàm bậc thang, P −lớp đa thức đại số, T −lớp đa thức lượng giác trù mật khắp nơi Lp (−π, π) ii) Lớp Sc tất hàm bậc thang trù mật Lp (−∞, ∞), (p 1.1.2 1) Các bất đẳng thức định lý tích phân Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Holder) Nếu f ∈ Lp , g ∈ Lq , ú p, q ă fg f p 1 + = p q g q, Định lý 1.3 (Bất đẳng thức Minkowski) Nếu p f +g f p p 1, (1.3) 1, (1.4) + g p Định lý 1.4 (Định lý Lebesgue) Giả sử Ω cho dãy hàm khả tổng {fk (x)}∞ hội tụ hầu khắp nơi đến hàm f (x) Nếu tồn hàm thực F (x) 0, F (x) ∈ L1 (Ω), cho |fk (x)| F (x), x ∈ Ω, ∀k f (x) ∈ L1 (Ω) lim fk (x)dx = f (x) dx k→∞ Ω Định lý 1.5 (Định lý Fubini) Cho F (x, y) khả tích Ω1 × Ω2 Khi x→ F (x, y)dy khả tích Ω1 , y → Ω2 dx Ω1 1.1.3 F (x, y)dx khả tích Ω2 Ngoài Ω1 F (x, y) dy = Ω2 dy Ω2 F (x, y dx = Ω1 F (x, y) dxdy (1.5) Ω1 ×Ω2 Biến phân bị chặn Định nghĩa 1.1 Cho f hàm số ( thực phức ) xác định đoạn [a, b] Giả sử p = {x0 , x1 , , xn } phân hoạch đoạn [a, b], nghĩa 61 Các điều kiện ban đầu u (x, y, 0) = f (x, y) , ∂u (x, y, 0) = g(x, y), < x < a, < y < b ∂t (3.19) (3.20) tương ứng biểu thị vị trí ban đầu vận tốc ban đầu màng thời điểm t = Chúng ta phải tìm hàm u = u(x, y, t) thỏa mãn phương trình (3.16), điều kiện biên (3.17), (3.18) điều kiện ban đầu (3.19), (3.20) 3.3.2 Phương pháp tách biến - Thỏa mãn điều kiện biên Ta giải toán biên phương pháp tách biến Chúng Ta tìm nghiệm tốn dạng tích u (x, y, t) = X (x) Y (y) T (t) Thế biểu thức vào phương trình (3.16), ta được: XY T = c2 X Y T + XY T Chia hai vế cho c2 XY T , ta T X Y = + 2T c X Y Do vế trái hàm phụ thuộc vào t vế phải hàm phụ thuộc vào x y biểu thức hai vế phải số Chúng ta xét số tách âm (Chúng ta loại trừ trường hợp không âm lập luận, thực phần trước, mà chúng cho ta nghiệm tầm thường) Như vậy: T = −k , c2 T X Y + = −k (k > 0) X Y Phương trình thứ cho T + k c2 T = Phương trình thứ hai viết lại dạng X Y =− − k2 X Y Bởi phương trình có vế phải phụ thuộc vào y vế trái phụ thuộc vào x, suy rằng: 62 X = −µ2 , X − Y − k = −µ2 ; µ > 0, Y hay X + µ2 X = Y + ν Y = 0, ν = k − µ2 (Ở lần loại bỏ tất giá trị không âm số tách sở chúng cho ta nghiệm tầm thường) Kết hợp với điều kiện biên ta có phương trình vi phân thường với điều kiện sau X + µ2 X = 0, X (0) = 0, X (a) = 0, (3.21) Y + ν Y = 0, Y (0) = 0, Y (b) = 0, (3.22) k = µ2 + ν (3.23) T + c2 k T = 0, Nghiệm tổng quát ba phương trình vi phân trên, là: X (x) = c1 cosµx + c2 sin µx, Y (y) = d1 cos νy + d2 sin νy, T (t) = e1 cos ckt + e2 sin ckt, k = µ2 + ν Từ điều kiện biên X Y nhận : c1 = 0, c2 sin µa = 0, Như vậy, µ = µm = mπ , a Do đó, Xm (x) = sin d1 = 0, d2 sin νa = nπ , b m, n = 1, 2, , ν = νn = mπ x, a Yn (y) = sin nπ y b Chú ý m = n = 0, nghiệm đồng không nên không quan tâm Cũng vậy, giá trị âm m n thay đổi dấu nghiệm khơng cho thêm nghiệm Ta có: k = kmn = µ2 + v n = m m2 π n2 π + , a2 b ∀m, n = 1, 2, , Do đó, ∗ T (t) = Tmn = Bmn cosλmn t + Bmn sin λmn t, 63 m2 a2 ta đặt λmn = cπ + n2 b2 Các λmn gọi đặc trưng tần số màng Trái với chiều trường hợp dây dao động, tần số đặc trưng không bội nguyên tần số sở Như nhận nghiệm tích thỏa mãn phương trình (3.16) điều kiện biên (3.17), (3.18) umn = sin nπ nπ ∗ x sin y(Bmn cosλmn t + Bmn sin λmn t) a b Các hàm umn gọi nghiệm phương trình sóng hai chiều (3.16) Theo nguyên lý chất chồng, nghiệm tổng quát phương trình có dạng ∞ ∞ ∗ (Bmn cosλmn t + Bmn sin λmn t) sin u(x, y, t) = n=1 m=1 3.3.3 mπ nπ x sin y a b (3.24) Thỏa mãn điều kiện ban đầu Để tìm nghiệm đáp ứng điều kiện ban đầu u(x, y, 0) = f (x, y) ∂u (x, y, 0) = g(x, y), < x < a, < y < b Để tương thích với điều kiện ∂t biên, ta giả thiết f (0, y) = f (a, y) = 0, g(0, y) = g(a, y) = 0, f (, 0) = f (x, b) = 0, (3.25) g(x, 0) = g(x, b) = (3.26) Từ điều kiện ban đầu u(x, y, 0) = f (x, y), ta ∞ ∞ Bmn sin f (x, y) = n=1 m=1 Tương tự ∞ mπ nπ x sin y a b ∞ ∗ Bmn λmn sin g(x, y) = n=1 m=1 nπ mπ x sin y a b Cho thỏa mãn điều kiện ban đầu ta tìm hệ số chuỗi Fourier kép Bmn = ∗ Bmn = ab b a f (x, y) sin abλmn b mπ nπ x sin ydxdy, a b a g(x, y) sin 0 mπ nπ x sin ydxdy a b (3.27) (3.28) Như vậy, nghiệm phương trình sóng (3.16), thỏa mãn điều kiện biên (3.17), (3.18) điều kiện đầu (3.19), (3.20) cho ∗ công thức (3.24), dó hệ số Bmn , Bmn cho công thức (3.27), (3.28) 64 3.4 3.4.1 Phương trình sóng khơng hình chữ nhật Trường hợp điều kiện biên Tìm nghiệm phương trình sóng khơng ∂ 2w = c2 ∂t2 ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y + f (x, y, t), < x < a, < y < b, t > (3.29) với điều kiện biên nhất: u(0, y, t) = 0, u(a, y, t) = 0, < y < b, t > 0, (3.30) u(x, 0, t) = 0, u(x, b, t) = 0, < x < a, t > (3.31) điều kiện ban đầu nhất: ∂u (x, y, 0) = 0, ∂t u (x, y, 0) = 0, < x < a, < y < b Chúng ta sử dụng phương pháp hàm riêng toán tử Laplace để giải toán Như biết hàm riêng tốn tử Laplace nghiệm khơng tầm thường phương trình ∆φ = ∂ 2φ ∂ 2φ + = −kφ, < x < a, < y < b, ∂x2 ∂y với điều kiện biên φ (x, 0) = 0, φ (x, b) = 0, 00; u (x, 0, t) = ν1 (x, t) , u (x, b, t) = ν2 (x, t) , < x < a, t >0, điều kiện ban đầu u (x, y, 0) = φ (x, y) v, ∂u (x, y, 0) = Ψ (x, y) , < x < a, < y < b ∂t Giả thiết µ1 (0, t) = ν1 (0, t), ν1 (a, t) = µ2 (0, t), µ2 (b, t) = ν2 (a, t), ν2 (0, t) = µ1 (t, t), t > Lời giải Đặt u∗ (x, y, t) = A (t) + B (t) x + C (t) y + D (t) xy + ν1 (x, t) x y + [ν2 (x, t) − ν1 (x, t)] + µ1 (y, t) + [µ2 (y, t) − µ1 (y, t)] , b a đó: A (t) = −v1 (0, t) = −µ1 (0, t) , B (t) = v1 (0, t) − v1 (a, t) µ1 (0, t) − µ2 (0, t) = , a a C (t) = v1 (0, t) − v2 (0, t) µ1 (0, t) − µ1 (b, t) = , b b D (t) = v1 (a, t) − v2 (a, t) + v2 (0, t) − v1 (0, t) ab = µ1 (b, t) − µ2 (b, t) + µ2 (0, t) − µ1 (0, t) ab 67 Ta tìm nghiệm tốn dạng: u = u∗ + v + ω, v (x, y, t) nghiệm toán  < x < a, < y < b, t > 0, vtt = c2 (vxx + vyy ) ,      v (0, y, t) = v (a, y, t) = 0, < y < b, t > 0,     (3.36) v (x, 0, t) = v (x, b, t) = 0, < y < b, t > 0,     v (x, y, 0) = φ (x, y) − u∗ (x, y, 0) , < x < a, < y < b,      v (x, y, 0) = Ψ (x, y) − u∗ (x, y, 0) , < x < a, < y < b t t Còn w(x, y, t) nghiệm toán  ∗ ∗ ∗ ωtt (x, y, t) = c (ωxx + ωyy ) + f (x, y, t) − utt − c uxx + uyy     ω (0, y, t) = ω (a, y, t) = 0,  < y < b, t > 0, ω (x, 0, t)       = ω (x, b, t) = 0, (3.37) < x < a, t > 0, = ωt (x, y, 0) = 0, ω (x, y, 0) , < x < a, < y < b Như vậy, đưa toán tổng quát toán (3.36), (3.37) biết cách giải Ví dụ 3.1 Tìm nghiệm phương trình ∂ 2u = ∂t2 π ∂ 2u ∂ 2u + ∂x2 ∂y + t sin πx sin πy, < x < 1, < y < 1, t > 0, với điều kiện biên u(0, y, t) = yt, u(1, y, t) = (1 − y)t, < y < 1, t > 0; u(x, 0, t) = xt, u(x, 1, t) = (1 − x)t, < x < 1, t > 0, điều kiện ban đầu u (x, y, 0) = 100, ∂u (x, y, 0) = x + y − 2xy + sin πx sin 2πy, < x < 1, < y < ∂t Lời giải Ta có: A (t) = 0, B (t) = −t, C (t) = −t, D (t) = 2t Đặt: u∗ (x, y, t) = −xt − yt + 2xyt + xt + y [(1 − x) t − xt] + yt + x [(1 − y) t − yt] = (x + y − 2xy) t, 68 Tính tốn trực tiếp ta u∗ (0, y, t) = yt, u∗ (1, y, t) = (1 − y) t, < y < 1, t > 0, u∗ (x, 0, t) = xt, u∗ (x, 1, t) = (1 − x) t, < x < 1, t > 0, u∗ (x, y, 0) = 0, u∗ (x, y, 0) = x + y − 2xy, u∗ − t tt π u∗ + u∗ = xx yy Nghiệm toán u = v + ω + u∗ , với v (x, y, t) nghiệm toán vtt = (vxx π + vyy ) , < x < 1, < y < 1, t > 0, v (0, y, t) = v (1, y, t) = 0, < y < 1, t > 0, v (x, 0, t) = v (x, 1, t) = 0, < x < 1, t > 0, v (x, y, 0) = 100, < x < 1, < y < 1, vt (x, y, 0) = sin πx sin πy, < x < 1, < y < 1, ω (x, y, t) nghiệm toán ωtt = (ωxx π + ωyy ) + t sin πx sin πy, < x < 1, < y < 1, t > 0, ω (0, y, t) = ω (1, y, t) = 0, < y < 1, t > 0, ω (x, 0, t) = ω (x, 1, t) = 0, < x < 1, t > 0, ω (x, y, 0) = ωt (x, y, 0) = 0, < x < 1, < y < Ta có: ∞ ∞ ∗ (Bmn cosλmn t + Bmn sin λmn t) sin mπx sin nπy v (x, y, t) = n=1 m=1 đó: λmn = m2 + n2 1 Bmn = 400 ∗ B12 = m − (−1)n 400 − (−1) sin mπx sin nπydxdy = ; π mn 2 ∗ = √ ; Bmn = 0, (m, n) = (1, 2) λ12 69 Do Bmn = m n chẵn, có: 1600 v (x, y, t) = π ∞ ∞ cosλ(2l+1)(2k+1)t n=1 m=1 (2l + 1) (2k + 1) sin (2l + 1) πx sin (2k + 1) πy √ + √ sin 5t sin πx sin 2πy (3.38) Tìm w, ta có: ∞ ∞ w (x, y, t) = sin mπx m=1 n=1 sin nπy √ m2 + n2 t fmn (ω) sin m2 + n2 (t − ω) dω (3.39) Với : f11 = t, fmn = 0, (m, n) = (1, 1) , ta có t √ ω sin (t − ω) dω = √ √ sin 2t t+ √ , t fmn (ω) sin m2 + n2 (t − ω) dw = 0, (m, n) = (1, 1) Do : ω (x, y, t) = Vậy nghiệm toán u (x, y, t) = (x + y − 2xy) t + 1600 + π ∞ ∞ k=0 l=0 √ sin 2t t+ √ √ sin 2t t+ √ cosλ(2l+1)(2k+1)t (2l + 1) (2k + 1) sin πx sin πy √ sin πx sin πy + √ sin 5t sin πx sin 2πy sin (2l + 1) πx sin (2k + 1) πy 3.5 Phương trình sóng hình trịn 3.5.1 (3.40) Phát biểu tốn Bài tốn: Chúng ta giải phương trình sóng hai chiều tọa độ cực: ∂ 2u = c2 ∂t ∂ u ∂u ∂ 2u + + ∂r2 r ∂r r2 ∂θ2 , (3.41) đó: < r < a, < θ < 2π, t > Ở u = u (r, θ, t) biểu thị độ lệch màng điểm (r, θ) thời điểm t Điều kiện ban đầu (vị trí vận tốc) là: u (r, θ, 0) = f (r, θ) , ∂u (r, θ, 0) = g (r, θ) , < r < a, Để tránh nghiệm tầm thường, nhận điều kiện R (a) = Như vậy, sử dụng (3.44) thấy Θ (0) = Θ (2π) , Θ (0) = Θ (2π) 71 Như vậy, đến phương trình riêng biệt sau Θ + µ2 Θ = 0, Θ (0) = Θ (2π) , Θ (0) = Θ (2π) , r2 R + rR + λ2 − µ2 R = 0, R (a) = 0, T +c2 λ2 T = • Giải phương trình tách Chúng ta bắt đầu giải Θ Khi µ = nghiệm khơng đổi A0 Nếu µ = 0, nghiệm tổng qt có dạng: Θ (θ) = c1 cosµθ + c2 sin µθ Để thỏa mãn điều kiện biên phải lấy µ số nguyên Như Θm (θ) = Am cosmθ + Bm sin µθ, m = 0, 1, 2, (Chú ý giá trị âm m khơng cho thêm nghiệm nào) Đặt λ = m phương trình ẩn R, ta được: r2 R + rR + λ2 r2 − m2 R = 0, R (a) = Đây phương trình Bessel dạng tham số bậc m, ta có R (r) = Rmn (r) = Jm (λmn r) , m = 0, 1, 2, , n = 1, 2, , αmn αmn không điểm dương thứ n hàm Bessel Jm a phương trình ẩn T trở thành µmn = Với λ = λmn T + c2 λ T = mn với nghiệm Amn cos cλmn t Bmn sin cλmn t Sử dụng biểu thức R, Θ, T đến nghiệm tích (3.41) (3.43) umn (r, θ, t) = Jm (λmn r) (amn cos mθ + bmn sin mθ) cos cλmn t, (3.47) u∗ (r, θ, t) = Jm (λmn r) a∗ cos mθ + b∗ sin mθ sin cλmn t mn mn mn (3.48) m = 0, 1, 2, , n = 1, 2, Lưu ý b0n , b∗ không cần thiết sin mθ = m = chúng 0n ta xem chúng 72 • Ngun lí chồng chất nghiệm tổng qt *) Chúng ta xét trường hợp thứ nhất, vận tốc ban đầu khơng, tức giải tốn biên gồm từ (3.41) – (3.44) cho g = Điều kiện ban đầu trường hợp u (r, θ, 0) = f (r, θ) , ∂u (r, θ, 0) = 0, < r < a,