Đang tải... (xem toàn văn)
Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp 2 dạng bảo toàn
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THÙY DUNG NGHIỆM SUY RỘNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH ELLIPTIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI DẠNG BẢO TOÀN Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS. Hà Tiến Ngoạn HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Sự giúp đỡ hướng dẫn tận tình thầy suốt trình làm luận văn giúp tác giả trưởng thành nhiều cách tiếp cận vấn đề mới. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới Ban giám hiệu trường đại học sư phạm Hà Nội 2, Phòng sau đại học, thầy cô giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi suốt trình tác giả học tập hoàn thành luận văn này. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả ii LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành trường Đại học Sư phạm Hà Nội hướng dẫn PGS. TS Hà Tiến Ngoạn. Trong nghiên cứu luận văn, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2014 Tác giả Mục lục Mở đầu Một số không gian hàm 1.1. Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Không gian Lp (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Đạo hàm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Khái niệm không gian Sobolev . . . . . . . . . . . 1.2. Không gian Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Không gian C l Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Không gian C l,γ Ω với ≤ γ ≤ . . . . . . . . 1.3. Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Định lý Lax-Milgram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Nguyên lý loại trừ Fredholm không gian Hilbert . . Nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn 11 2.1. Sự tồn nghiệm suy rộng toán Dirichlet . . . . 11 iii iv 2.1.1. Định nghĩa nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . 11 2.1.2. Nguyên lý cực đại yếu . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.1.3. Tính giải toán Dirichlet . . . . . . . 16 2.2. Tính khả vi nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 20 2.3. Bất đẳng thức Harnack . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.1. Bất đẳng thức Harnack yếu . . . . . . . . . . . . 24 2.3.2. Bất đẳng thức Harnack mạnh . . . . . . . . . . . 24 2.4. Tính quy toàn cục . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.5. Tính bị chặn nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . 28 2.6. Một số đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn Holder nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6.1. Đánh giá nghiệm . . . . . . . . . . . . . . 35 2.6.2. Đánh giá đạo hàm cấp . . . . . . . . 38 2.7. Các đánh giá biên nghiệm suy rộng . . . . . . . 40 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 MỞ ĐẦU 1. Lý chọn đề tài Trong lý thuyết phương trình đạo hàm riêng elliptic tuyến tính cấp hai, việc nghiên cứu tính giải toán Dirichlet cho phương trình elliptic cấp hai tổng quát cần thiết. Đối với phương trình cấp hai tuyến tính dạng bảo toàn đưa vào lớp nghiệm suy rộng có độ trơn tối thiểu phù hợp với đòi hỏi thực tế. Lớp nghiệm suy rộng thường tìm không gian Sobolev thích hợp. Sau nghiệm suy rộng tồn tại, nghiên cứu tính chất định tính chúng đánh giá độ lớn độ trơn chúng cần thiết. Để tìm hiểu vấn đề mạnh dạn chọn đề tài cho luận văn thạc sĩ là: “Nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn”. Luận văn gồm hai chương. Chương 1, trình bày không gian hàm không gian Sobolev, không gian Holder số định lý, đặc biệt định lý Lax-Milgram dùng để nghiên cứu toán. Trong chương 2, phần đầu mô tả khái niệm nghiệm suy rộng toán Dirichlet, trình bày Nguyên lý cực đại yếu tính giải toán Dirichlet. Luận văn trình bày số tính chất định tính tính khả vi nghiệm suy rộng, bất đẳng thức Harnack, tính quy toàn cục, tính bị chặn nghiệm suy rộng, cuối trình bày số đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn Holder nghiệm suy rộng bên miền biên. Nội dung luận văn tham khảo từ chương tài liệu [3]. 2. Mục đích nghiên cứu Trình bày lớp nghiệm suy rộng với điều kiện tồn nghiệm. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Khái niệm nghiệm suy rộng toán Dirichlet. - Tính khả vi nghiệm suy rộng. - Nguyên lý cực đại yếu. - Các tính chất định tính nghiệm suy rộng. - Các đánh giá tiên nghiệm nghiệm suy rộng. - Sự tồn nghiệm toán Dirichlet. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Loại phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn. 5. Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết, thu thập tài liệu, đọc phân tích, tổng hợp để nghiên cứu tổng quan lớp nghiệm suy rộng phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn. 6. Những đóng góp đề tài Luận văn tài liệu tham khảo chuyên đề này. Chương Một số không gian hàm 1.1. Không gian Sobolev 1.1.1. Không gian Lp (Ω) Giả sử Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên ∂Ω. Lp (Ω) không gian hàm u(x) = u(x1 , x2 , ., xn ), ≤ p < +∞ cho u (x) p Lp (Ω) |u(x)|p dx < +∞. = Ω Không gian Lp (Ω) với chuẩn Lp (Ω) không gian Banach. Khi p = : u (x) L2 (Ω) |u (x)|2 dx. = Ω Chuẩn L2 (Ω) sinh tích vô hướng u (x) v (x)dx (u (x) , v (x))L2 (Ω) = Ω L2 (Ω) không gian Hilbert. Khi p = ∞ ta định nghĩa L∞ (Ω) gồm hàm u(x) cho u (x) 1.1.2. L∞ (Ω) = ess sup |u (x)| < +∞. x∈Ω Đạo hàm suy rộng Giả sử u, v ∈ L1loc (Ω) α đa số. Ta nói v đạo hàm suy rộng cấp α u uDα φdx = (−1)|α| Ω vφdx Ω với hàm thử φ ∈ Co∞ (Ω). Kí hiệu Dα u = v. Trong trường hợp Ω = (a, b) ⊂ R, u(x) có đạo hàm suy rộng u (x) = v(x) ∈ L1loc (a, b) ta nói u(x) khả vi yếu (a, b). 1.1.3. Khái niệm không gian Sobolev Với k ∈ N, ≤ p ≤ +∞, không gian Wk,p (Ω) không gian bao gồm tất hàm u (x) ∈ Lp (Ω) có đạo hàm suy rộng Dα u (x) ∈ Lp (Ω), với α, cho |α| ≤ k, α = (α1 , ., αn ) , |α| = α1 + . + αn , Dα = D1α1 .Dnαn , Dj = ∂ , αj ∈ N, ∂xj tức Wk,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) ; Dα u ∈ Lp (Ω) , ∀ |α| ≤ k} . 33 Định lý 2.14. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.3), (2.4) (2.9) giả sử f i ∈ Lq (Ω) , i = 1, ., n, g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n. Khi u H1 (Ω)-nghiệm yếu (nghiệm yếu trên) phương trình (2.4) ta có: sup u (−u) ≤ sup u+ u− + Ck, Ω k = λ−1 f (2.46) ∂Ω q + g q/2 C = C (n, ν, q, |Ω|). Chứng minh. Giả sử u nghiệm yếu (2.4). Từ giả thiết (2.9), l = sup u+ nghiệm yếu không tính ∂Ω tổng quát giả sử l = 0. Tiếp tục chứng minh Định lý 2.1, ta có: aij Dj uDi v − bi + ci vDi u dx ≤ Ω f i Di v − gv dx, (2.47) Ω với v không âm H10 (Ω) cho uv ≤ 0. Bất đẳng thức yếu (2.47) thỏa mãn điều kiện (2.38) với bi = d = với c thay b + c. Ta giả sử k > đặt M = sup u+ . Trong (2.47) ta chọn hàm Ω thử: v= u+ ∈ H10 (Ω) , + M +k−u dùng (2.38) ta thu : |Du+ |2 dx (M + k − u+ )2 λ Ω |b + c| u+ |Du+ | u+ |g| (M + k) |f|2 + + dx. (M + k − u+ ) M + k − u+ 2λ(M + k − u+ )2 ≤ M +k Ω Từ định nghĩa k, ta có : |Du+ |2 dx ≤C+ λ (M + k − u+ ) Ω |b + c| |Du+ | dx, C = C (|Ω|). (M + k − u+ ) Ω 34 Bây ta định nghĩa ω = log M +k . M + k − u+ Khi từ bất đẳng thức Schwarz ta thu |Dω|2 dx ≤ C 1 + λ−2 Ω |b + c|2 dx Ω ≤ C (ν, |Ω|) , bất đẳng thức Sobolev ta có : ω ≤ C (n, ν, |Ω|) . (2.48) Chứng minh hoàn thành việc ω nghiệm yếu phương trình dạng (2.4). Lấy η ∈ C01 (Ω) thỏa mãn η η ≥ 0, ηu ≥ Ω, ta thay vào (2.47) hàm thử : v = − . (M + k − u+ ) Khi ta thu aij Dj ωDi η + ηaij Di ωDj ω − bi + ci ηDi ω dx Ω (Di η + ηDi ω) f i −ηg + M + k − u+ (M + k − u+ ) ≤ dx. Ω Do η|Dω|2 dx aij Dj ωDi η − bi + ci ηDi ω dx + λ Ω Ω |g| |f|2 + k 2λk ≤ f i Di η η+ (M + k − u+ ) Ω dx + λ η|Dω|2 dx, Ω gˆη + fˆi Di η dx, aij Dj ωDi η − bi + ci ηDi ω dx ≤ Ω Ω (2.49) 35 gˆ = |g| /k + |f|2 /2λk , fˆi − f i / M + k − u+ , gˆ q/2 ≤ 2λ, ˆf ≤ λ. q Khi ta áp dụng Định lý 2.5.1 để thu sup ω ≤ C (1 + ω ) Ω ≤ C, C = C (n, ν, q, |Ω|) , từ (2.48), (M + k) /k ≤ C (2.46) thỏa mãn. Kết cho nghiệm yếu thu việc thay u −u. 2.6. Một số đánh giá tiên nghiệm theo chuẩn Holder nghiệm suy rộng 2.6.1. Đánh giá nghiệm Định lý 2.15. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) giả thiết f i ∈ Lq (Ω) , i = 1, n, g ∈ Lp/2 (Ω) với q > n. Khi u H1 (Ω) - nghiệm phương trình (2.2) Ω, u liên tục Holder địa phương Ω với hình cầu B0 = BR0 (y) ⊂ Ω, R ≤ R0 ta có: osc u ≤ CRα R0−α sup |u| + k , BR (y) (2.50) B0 C = C (n, Λ/λ, ν, q, R0 ) α = α (n, Λ/λ, νR0 , q) số dương, k = λ−1 f q + g q/2 osc u = sup u − inf u. BR (y) BR (y) BR (y) 36 Chứng minh. Không tính tổng quát giả sử R ≤ R0 /4. Ta viết M0 = sup |u| , M4 = sup u, m4 = inf u, M1 = sup u, m1 = inf u. B0 B4R B4R BR BR Khi ta có: L (M4 − u) = M4 Di bi + d − Di f i − g, L (u − m4 ) = −m4 Di bi + d + Di f i + g. Do đó, ta đặt: k (R) = λ−1 Rδ f q + M0 b q + λ−1 R2δ g q/2 + M0 d q/2 , δ = − n/q, áp dụng bất đẳng thức Harnach yếu với p = cho hàm M4 −u, u−m4 B4R , ta thu : R−n (M4 − u) dx ≤ C M4 − M1 + k (R) , B2R R−n (u − m4 ) dx ≤ C m1 − m4 + k (R) . B2R Từ phép cộng ta có : M4 − m4 ≤ C M4 − m4 + m1 − M1 + k (R) , từ đó, viết ω (R) = osc u = M1 − m1 . BR Ta có ω (R) ≤ γω (4R) + k (R) γ = − C −1 , C = C (n, Λ/λ, νR0 , q) . Bổ đề đơn giản sau kết mong muốn. 37 Bổ đề 2.4. Giả sử ω hàm không giảm nửa khoảng (0, R0 ] thỏa mãn, với R ≤ R0 , bất đẳng thức ω (τ R) ≤ γω (R) + σ (R) , (2.51) σ không giảm < γ, τ < 1. Khi đó, với µ ∈ (0, 1) R ≤ R0 , ta có ω (R) ≤ C R R0 α ω (R0 ) + σ Rµ R01−µ , (2.52) C = C (γ, τ ) α = α (γ, τ, µ) số dương. Chứng minh. Ta cố định ban đầu số R1 mà R1 ≤ R0 . Khi với R ≤ R1 ta có ω (τ R) ≤ γω (R) + σ (R1 ) . Từ σ không giảm. Bây ta lặp lặp lại bất đẳng thức để có với số nguyên dương m bất kì, ω (τ m R1 ) ≤ γ m ω (R1 ) + σ (R1 ) m−1 γi i=0 σ (R1 ) ≤ γ m ω (R0 ) + , 1−γ với R ≤ R1 , ta chọn m cho τ m R1 < R ≤ τ m−1 R1 . Do ω (R) ≤ ω τ m−1 R1 ≤ γ m−1 ω (R0 ) + R ≤ γ R1 σ (R1 ) 1−γ log γ/ log τ ω (R0 ) + σ (R1 ) 1−γ 38 Lấy R1 = R01−µ Rµ để ta có từ trước R ω (R) ≤ γ R0 (1−µ) log γ/ log τ ω (R0 ) + σ R01−µ Rµ 1−γ . Định lý 2.15 suy việc chọn µ cho (1 − µ) log γ/ log τ < µδ. Định lý 2.16. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3), giả sử f i ∈ Lq (Ω) , i = 1, n, g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n. Khi đó, u ∈ H1 (Ω) thỏa mãn phương trình (2.4) Ω, với Ω ⊂⊂ Ω ta có u C α (Ω ) ≤C u L2 (Ω) +k , (2.53) C = C (n, Λ/λ, ν, q, d ) , d = dist (Ω , ∂Ω) , α = α (n, Λ/λ, νd ) > k = λ−1 f q + g q/2 . Chứng minh. Đánh giá (2.53) việc đặt R0 = d Định lý 2.15 sử dụng Bổ đề 2.3 để đánh giá sup |u|. 2.6.2. Đánh giá đạo hàm cấp Định lý 2.17. Giả sử u ∈ C 1,α (Ω) nghiệm yếu phương trình Lu = g + Di f i , (2.54) miền bị chặn Ω. Khi với miền Ω ⊂⊂ Ω ta có |u|1,α;Ω ≤ C |u|0;Ω + |g|0;Ω + |f |0,α;Ω , (2.55) với C = C (n, λ, K, d ), λ đưa (2.6), K thỏa mãn 39 max i,j=1, .,n aij , bi 0,α;Ω , ci , d 0;Ω ≤ K, (2.56) d = dist (Ω , ∂Ω). Định lý 2.18. Giả sử u ∈ C 1,α Ω nghiệm yếu phương trình (2.54) C 1,α miền Ω, thỏa mãn u = ϕ ∂Ω, ϕ ∈ C 1,α Ω . Khi ta có |u|1,α ≤ C |u|0 + |ϕ|1,α + |g|0 + |f |0,α , (2.57) với C = C (n, λ, K, ∂Ω), λ K trên. Định lý 2.19. Giả sử Ω miền C 1,α L toán tử thỏa mãn (2.2), (2.9) (2.56) với K < ∞. Giả sử g ∈ L∞ (Ω) , f i ∈ C α Ω ϕ ∈ C 1,α Ω . Khi toán Dirichlet tổng quát Lu = g + Di f i Ω, u = ϕ ∂Ω (2.58) giải C 1,α Ω . Chứng minh. Lí luận phép xấp xỉ. Lấy Lk dãy toán tử với hệ số aijk , bik , cik , dk đủ trơn, cho aijk → aij , bik → bi Ω cik → ci , dk → d L1 k → ∞; điều giả thiết hệ số xấp xỉ thỏa mãn (2.2), (2.9) (2.56).Tiếp theo, lấy fki , gk , ϕk ∈ C Ω k → ∞ lấy fki → f i với fki 0,α ≤ c fi ϕ với |ϕk |1,α ≤ c|ϕ|1,α gk → g L1 (Ω) với |gk |0,Ω ≤ c g 0,α , ϕk → ∞;Ω . Cuối lấy {Ωk } dãy C 2,α miền Ω, cho ∂Ωk → ∂Ω mặt ∂Ωk C 1,α . Những giả thiết đây, toán Dirichlet trơn xấp xỉ Lk u = gk + Di fki Ωk , u = ϕk ∂Ωk (2.59) 40 có C 2,α Ωk nghiệm thỏa mãn C 1,α đánh giá (2.57). Ta |uk |0 ≤ sup |uk | + C (|gk |0 + |fk |0 ) , ∂Ω ta kết luận tính C 1,α đánh giá |uk |1,α;Ωk ≤ C |ϕk |1,α;Ωk + |gk |0;Ωk + |fk |0,α;Ωk ≤ C |ϕ|1,α;Ω + |g|0,Ω + |f |0,α;Ω (2.60) số C độc lập với k. Cho k → ∞ dạng yếu (2.54), ta thu giới hạn C 1,α Ω nghiệm yếu u (2.58) thỏa mãn (2.60). Nghiệm lớp lớn H1 (Ω) hàm mà u − ϕ ∈ H10 (Ω) theo Định lý 2.1. Hệ 2.4. Với giả thiết Định lý 2.18, u ∈ H1 (Ω) u − ϕ ∈ H10 (Ω), kết luận (2.57) đúng. Hệ 2.5. Giả sử T C 1,α phần biên miền Ω, giả sử u ∈ H1 (Ω) nghiệm yếu (2.54) cho u = T . Khi u ∈ C 1,α (Ω ∪ T ), với Ω ⊂⊂ Ω ∪ T ta có |u|1,α;Ω ≤ C |u|0;Ω + |g|0;Ω + |f |0,α;Ω (2.61) với C = C (n, λ, K, d , T ), λ K Định lý 2.17 d = dist (Ω , ∂Ω − T ). 2.7. Các đánh giá biên nghiệm suy rộng Giả sử T tập Ω u hàm H1 (Ω). Khi ta nói u ≤ T theo nghĩa H1 (Ω) u+ giới hạn H1 (Ω) 41 dãy hàm C01 Ω − T . Ta thấy với u liên tục T , định nghĩa thỏa mãn u ≤ T theo nghĩa thông thường. Ta thiết lập mở rộng sau Bổ đề 2.3 Định lý 2.8. Định lý 2.20. Giả sử toán tử L thỏa mãn (2.2), (2.3) giả sử f i ∈ Lp (Ω) , i = 1, ., n, g ∈ Lq/2 (Ω), với q > n. Khi u hàm H1 (Ω)-nghiệm yếu phương trình (2.4) Ω, ta có với y bất kì, y ∈ Rn , R > p > 1, −n/p sup u+ u+ M ≤C R M BR (y) Lp (B2R (y)) + k (R) , (2.62) M = sup u+ ∂Ω∩B2R sup {u (x) , M } , x ∈ Ω + uM (x) = M, x∈ / Ω, k cho (2.29), C = C (n, Λ/λ, νR, q, p). Định lý 2.21. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) giả sử f i ∈ Lq (Ω) , i = 1, ., n, g ∈ Lq/2 (Ω) với q > n. Khi u H1 (Ω)-nghiệm yếu phương trình (2.4) Ω không âm Ω ∩ B4R (y) với hình cầu B4R (y) ⊂ Rn , với p cho ≤ p < n/ (n − 2), ta có R−n/p u− m Lp (B2R (y)) ≤C inf u− m + k (R) , BR (y) m= inf u inf {u (x) , m}, x ∈ Ω − um (x) = m, x∈ /Ω ∂Ω∩B4R (2.63) 42 C = C (n, Λ/λ, νR, q, p). Chứng minh. Sự rút gọn chứng minh Bổ đề 2.3 Định lý 2.8 tạo sau : Đặt u¯ = u+ m + k u nghiệm yếu u¯ = u− m + k u nghiệm yếu trên. Khi hàm thử bất đẳng thức tích phân (2.36) chọn u¯β − (M + k)β , β > v=η u¯β − (m + k)β , β < 0, (2.64) η ∈ C01 (B4R ) cụ thể hóa. Khi cấu trúc 1/2 |A (x, z, p)| ≤ |a| |p| + ¯b z¯ p.A (x, z, p) ≥ |p|2 − 2¯b¯ z2 z¯B (x, z, p) ≤ ε|p|2 + b¯ z ε xác định giá v, với z¯ = u¯ p = Du, v ≤ η u¯β , ta trở lại đánh giá sau cho u¯ ¯bη + + |a|2 |Dη|2 u¯β+1 dx. (2.65) η u¯β−1 |Du|2 dx ≤ C (|β|) Ω Ω Đánh giá (2.62) (2.63) thu chứng minh Bổ đề 2.3 Định lý 2.8. Ta nói Ω thỏa mãn điều kiện nón điểm x0 ∈ ∂Ω tồn nón tròn xoay hữu hạn V = Vx0 với đỉnh x0 cho Ω ∩ Vx0 = x0 . Điều kiện nón thỏa mãn ∂Ω trơn. Ta có mở rộng sau đánh giá Holder (2.50). Định lý 2.22. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) giả sử f i ∈ Lq (Ω) , i = 1, ., n, g ∈ Lq/2 với q > n. Khi u 43 H1 (Ω)-nghiệm phương trình (2.4) Ω Ω thỏa mãn điều kiện nón x0 ∈ ∂Ω, ta có với R R0 bất kì, < R < R0 B0 = BR0 (x0 ), osc u ≤ C Rα R0−α sup |u| + k + σ Ω∩BR RR0 , (2.66) Ω∩B0 σ (R) = osc ∂Ω∩BR (x0 ) u, C = C (n, Λ/λ, ν, q, R0 , Vx0 ) α = α (n, Λ/λ, νR0 , q, Vx0 ) số dương. Trong phần sau ta viết gọn Ω ∩ BR (x0 ) = ΩR với R bất kì, ∂Ω ∩ BR (x0 ) = (∂Ω)R điểm x0 hiểu x0 ∈ ∂Ω. Chứng minh. Ta từ chứng minh Định lý 2.15. Giả sử ban đầu R ≤ inf {R0 /4, height Vx0 } đặt M0 = sup |u| , M4 = sup u, m4 = inf u, M1 = sup u, m1 = inf u, ΩR0 Ω4R Ω4R ΩR ΩR height Vx0 chiều cao nón Vx0 . Khi áp dụng đánh giá (2.63) cho hàm M4 − u, u − m4 B4R (x0 ), ta thu (M4 − M ) |B2R (x0 ) − Ω| ≤ R−n n R (M4 − u)− M4 −M dx B2R (x0 ) ≤ C M4 − M1 + k¯ (R) , (m − m4 ) |B2R (x0 ) − Ω| ≤ R−n n R B2R (x0 ) (u − m4 )− m−m4 dx 44 ≤ C m1 − m4 + k¯ (R) , M = sup u, m = inf u. (∂Ω)4R (∂Ω)4R Dùng điều kiện nón ta có M4 − M ≤ C M4 − M1 + k¯ (R) , m − m4 ≤ C m1 − m4 + k¯ (R) , phép cộng ta osc u ≤ γ osc u + k¯ (R) + osc u, ΩR Ω4R (∂Ω)4R γ = − 1/C, C(n, Λ/λ, νR0 , q, Vx0 ). Đánh giá (2.66) từ Bổ đề 2.4. Nếu giả thiết Định lý 2.22 thỏa mãn σ (R) → R → 0, đánh giá (2.66) u(x0 ) = lim u (x) định nghĩa x→x0 tốt. Kết tính liên tục toàn cục cách trực tiếp từ Định lý 2.16 Định lý 2.22. Hệ 2.6. Giả sử Ω thỏa mãn điều kiện nón tất điểm x0 ∈ ∂Ω osc ∂Ω∩BR (x0 ) u → R → với x0 ∈ ∂Ω. Khi hàm số u liên tục Ω. Đánh giá Holder thu từ Định lý 2.22 miền Ω bị hạn chế nữa. Ta nói Ω thỏa mãn điều kiện nón T ⊂ ∂Ω Ω thỏa mãn điều kiện nón điểm x0 ∈ T nón Vx0 nón cố định V . Ta có mở rộng sau Định lý 2.16. Định lý 2.23. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) giả sử f i ∈ Lq (Ω) , i = 1, ., n, g ∈ Lq/2 với q > n, giả sử Ω thỏa mãn điều kiện nón phần biên T . Khi u ∈ H1 (Ω) 45 thỏa mãn phương trình (2.4) Ω tồn số K, α0 > cho osc ∂Ω∩BR (x0 ) u ≤ KRα0 , ∀ x0 ∈ T, R > 0, u ∈ C α (Ω ∪ T ) với α > với Ω ⊂⊂ Ω ∪ T , u C α (Ω ) ≤ C sup |u| + K + k , (2.67) Ω α = α (n, Λ/λ, νd , V, q, α0 ) , C = C (n, Λ/λ, ν, V, q, α0 , d ) , d = dist (Ω , ∂Ω − T ) , k = λ−1 f q + g q/2 . Nếu Ω = Ω, d thay diam Ω. Chứng minh. Giả sử y ∈ Ω , δ = dist (y, ∂Ω) < d . Từ Định lý 2.14 với R0 = δ, ta có với x bất kì, x ∈ Bδ , |u(x) − u(y)| ≤ C δ −α sup |u| + k . α |x − y| Bδ Bây ta chọn x0 ∈ ∂Ω cho |x0 − y| = δ. Bằng đánh giá (2.63) với R = 2δ, R0 = 2d ta thu δ −α osc u ≤ δ −α osc u ≤ C sup |u| + k + K Bδ Ω2δ Ω 2α dương, 2α ≤ α0 . Do với x ∈ Bδ (y) bất kì, đặt u (x0 ) = 0, ta có |u (x) − u (y)| ≤ C sup |u| + k + K . (2.68) |x − y|α Ω Tiếp tục áp dụng đánh giá (2.66), với R = |x − y| , R0 = 2d ta thấy (2.68) xác định với d ≥ |x − y| ≥ δ. 46 Ta phát biểu định lý tồn nghiệm suy rộng toán Dirichlet cho phương trình (2.4) với giá trị biên ∂Ω liên tục suy từ Định lý 2.1 Hệ 2.6 Định lý 2.24. Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2.2), (2.3) giả sử f i ∈ Lq (Ω) , i = 1, ., n, g ∈ Lq/2 với q > n, giả sử Ω thỏa mãn điều kiện nón điểm ∂Ω. Khi với ϕ ∈ C (∂Ω), tồn hàm số u ∈ H1loc (Ω) ∩ C Ω thỏa mãn Lu = g + Di f i Ω, u = ϕ ∂Ω. Chứng minh. Giả sử {ϕm } dãy C (Ω) hội tụ tới ϕ ∂Ω. Bởi Định lý 2.1 Hệ 2.6, tồn dãy {um } H1 (Ω) ∩ C Ω cho Lum = g + Di f i Ω um = ϕm ∂Ω. Bởi Định lý 2.10 ta có: sup |um1 − um2 | ≤ sup |ϕm1 − ϕm2 | → m1 , m2 → ∞, Ω ∂Ω {um } hội tụ tới hàm u ∈ C Ω thỏa mãn u = ϕ ∂Ω. Hơn đánh giá (2.65) ta có, với Ω ⊂⊂ Ω |D (um1 − um2 )|2 dx → m1 , m2 → ∞. Ω Do u ∈ H1loc (Ω) thỏa mãn phương trình (2.4) Ω. Tính nghiệm u việc áp dụng Định lý 2.1 miền Ω ⊂⊂ Ω. KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau 1. Khái niệm nghiệm suy rộng toán Dirichlet cho phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn, mô tả điều kiện đủ để nghiệm suy rộng tồn nghiệm. 2. Nghiên cứu tính chất định tính nghiệm suy rộng như: tính khả vi nghiệm suy rộng, bất đẳng thức Harnack, tính quy toàn cục. 3. Nghiên cứu tính trơn bên miền toàn miền nghiệm suy rộng. Chứng minh đánh giá tiên nghiệm nghiệm suy rộng đạo hàm theo chuẩn không gian Sobolev Holder. Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Mạnh Hùng (2008), Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính (Phần I), Nhà xuất Đại học Sư phạm Hà Nội. [2] Nguyễn Thừa Hợp (2004), Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội. [B] Tài liệu tiếng Anh [3] David Gilbarg. Trudinger(2001), Elliptic Partial Diferential Equations of Second Order, Springer. 48 [...]... hạch của các ánh xạ (λI − T ), (λI − T ∗ ) có số chiều dương hữu hạn và phương trình λx − T x = y, λx − T ∗ x = y là 10 giải được khi và chỉ khi y trực giao với hạch của (λI − T ∗ ) trong trường hợp đầu tiên và λI − T trong trường hợp khác Chương 2 Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn 2. 1 Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet 2. 1.1 Định nghĩa nghiệm suy. .. mãn điều kiện (2. 2) và (2. 3) Khi đó L (u, v) ≥ λ 2 |Du |2 dx − λν 2 Ω u2 dx, (2. 14) Ω trong đó có hằng số dương λ và ν được mô tả trong (2. 2) và (2. 3) Chứng minh aij Di uDj u + bi − ci uDi u − du2 dx L (u, u) = Ω λ λ|Du |2 − |Du |2 − λν 2 u2 dx 2 ≥ Ω = λ 2 |Du |2 dx − λν 2 Ω u2 dx Ω Cho σ ∈ R, ta định nghĩa toán tử Lσ bởi Lσ u = Lu − σu 18 Từ Bổ đề 2. 1 ta thấy rằng các dạng song tuyến tính tương ứng với... tại của đạo hàm suy rộng cấp cao của nghiệm suy rộng của phương trình (2. 4) Với sự trợ giúp của các kết quả tính khả vi nhận được dưới đây, ta sẽ suy ra sự tồn tại nghiệm cổ điển của bài toán Dirichlet Trong các mục sau đây ta sẽ nghiên cứu các thuộc tính của nghiệm suy rộng, chẳng hạn như bất đẳng thức Harnack, tính liên tục Holder Kết quả về tính trơn trong định lý dưới đây cho các điều kiện đủ để nghiệm. .. được từ (2. 12) aij Dj vDi vdx ≤ 2 ν Ω v |Dv|dx, Γ = supp Dv ⊂ supp v, Γ trong đó supp v = {x ∈ Ω; v(x) = 0} Do tính elliptic ngặt của L, tức là điều kiện (2. 2) ta suy ra |Dv |2 dx ≤ 2 Ω v |Dv|dx ≤ 2 v 2; Γ Dv 2 , Γ vì thế Dv 2 ≤ 2 v 2; Γ Bây giờ ta áp dụng bất đẳng thức Sobolev, cho n ≥ 3 nhận được v 2n/(n 2) ≤C v 2; Γ ≤ C| supp Dv|1/n v 2n/(n 2) Ở đây C = C (n, ν), vì thế |supp Dv| ≥ C −n (2. 13) Trong... ∞ Ω tùy ý 2. 5 Tính bị chặn của nghiệm suy rộng Ta sẽ nghiên cứu tính bị chặn toàn cục của H1 (Ω) -nghiệm của phương trình (2. 4) khi nghiệm này là bị chặn trên ∂Ω Ta viết lại phương trình (2. 4) dưới dạng : Di Ai (x, u, Du) + B (x, u, Du) = 0, (2. 36) trong đó Ai (x, z, p) = aij (x) pj + bi (x) z − f i (x) , B (x, z, p) = ci (x) pi + d (x) z − g (x) , với (x, z, p) ∈ Ω × R × Rn 1 Định nghĩa 2. 2 Một hàm... để thu được: 1 /2 H (ω) 2 /(ˆ 2) n n 2 ¯ b(H (ω) ω) dx ≤ C Ω 31 b ≤C ¯ 1 /2 q /2 H (ω) ω 2q/(q 2) , ở đây n = n với n > 2, 2 < ˆ < q, C = C (n) với n > 2 và C = C ˆ |Ω| ˆ 2 2, với n = 2 Cấu trúc (2. 40) và đánh giá ở trên tiếp tục đúng với k = 0 trong (2. 39) kéo theo f và g là tập bằng không Chọn k như trong giả thiết của định lý, ta có: H (ω) 2 /(ˆ 2) n n ≤ C ωH (ω) 2q/(q 2) , (2. 43) ở đây C =... thuẫn này chứng tỏ (2. 10) là đúng Tính duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet tổng quát cho phương trình (2. 4) là một hệ quả trực tiếp của Định lý 2. 1 1 Hệ quả 2. 1 [3] Giả sử u ∈ H0 (Ω) thỏa mãn Lu = 0 trong Ω Khi đó u = 0 trong Ω 2. 1.3 Tính giải được của bài toán Dirichlet Định lý 2. 2 [3] Giả sử toán tử L thỏa mãn điều kiện (2. 2), (2. 3) và (2. 9) Khi đó với mọi ϕ ∈ H 1 (Ω) và g, f i ∈ L2 (Ω) , i = 1 n,... hàm u(x) ∈ Hloc (Ω) được gọi là một nghiệm yếu dưới (nghiệm yếu trên, nghiệm yếu) của phương trình (2. 36) trên Ω nếu 29 các hàm số Ai (x, u, Du) và B (x, u, Du) là khả tích địa phương và Di vAi (x, u, Du) − vB (x, u, Du) dx ≤ (≥, =) 0, (2. 37) Ω 1 với ∀v ≥ 0, v ∈ C0 (Ω) Nhận xét 2. 2 Nếu nghiệm yếu của phương trình (2. 4) thuộc H 1 (Ω) thì nó cũng chính là nghiệm suy rộng Đặt b = b1 , , bn , c = c1 , ,... nhiên tính duy nhất của kết quả bên trên sẽ phá vỡ nếu giả thiết về tính liên tục của aij bị làm suy yếu, tức là cho phép gián đoạn aij ∈ L∞ (Ω), như được chứng minh bởi phương trình ∆u + b xi xj n−1 , 0 < λ < 1 2 Dij u = 0, b = −1 + 1−λ |x| (2. 25) Với n > 2( 2 − λ) > 2 có hai nghiệm u1 (x) = 1, u2 (x) = |x|λ ∈ H2 (B) và phù hợp trên ∂B, ở đây B là hình cầu đơn vị B1 (0) Hơn nữa tính khả vi cấp cao của nghiệm. .. của biên ∂Ω, kết quả tính chính quy bên trong trước đó có thể mở rộng cho toàn Ω Trước tiên ta suy ra tương tự toàn cục của Định lý 2. 5 26 Định lý 2. 10 [3] Giả sử ngoài các giả thiết của Định lý 2. 5, ta giả thiết thêm rằng ∂Ω là lớp C 2 và rằng ở đó tồn tại một hàm số ϕ ∈ H2 (Ω) mà u − ϕ ∈ H1 (Ω) Khi đó ta cũng có u ∈ H2 (Ω) và 0 u H2 (Ω) ≤C u L2 (Ω) + f L2 (Ω) + ϕ H2 (Ω) , (2. 33) ở đó C = C (n, λ, . . 9 2 Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn 11 2. 1. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirichlet . . . . 11 iii iv 2. 1.1. Định nghĩa nghiệm suy rộng. hợp khác. Chương 2 Nghiệm suy rộng của phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn 2. 1. Sự tồn tại nghiệm suy rộng của bài toán Dirich- let 2. 1.1. Định nghĩa nghiệm suy rộng Trong miền. tiên nghiệm đối với nghiệm suy rộng. - Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán Dirichlet. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Loại phương trình elliptic tuyến tính cấp hai dạng bảo toàn. 3 5. Phương