Đang tải... (xem toàn văn)
Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VƯƠNG THÀNH NAM SỰ KẾT HỢP CỦA PHƯƠNG PHÁP THÁC TRIỂN THEO THAM SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP EULER TRONG VIỆC GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN NHIỀU BIẾN SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. Khuất Văn Ninh HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Khuất Văn Ninh, người định hướng chọn đề tài tận tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn này. Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội giúp đỡ tao điều kiện cho suốt trình học tập. Qua xin gửi lời cảm ơn tới Ban Giám hiệu trường THPT Thái Hòa- Lập Thạch- Vĩnh Phúc giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành tốt khóa học này. Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè động viên, cổ vũ, tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Vương Thành Nam Lời cam đoan Tôi xin cam đoan hướng dẫn PGS.TS. Khuất Văn Ninh, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Sự kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Euler việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số” hoàn thành nhận thức thân tác giả. Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa thành tựu nhà khoa học với trân trọng biết ơn. Hà Nội, tháng năm 2014 Tác giả Vương Thành Nam Mục lục Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chương 1. Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1. Không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2. Không gian Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.3. Nguyên lí ánh xạ co Banach. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Hệ phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.1. Hệ phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Một số chuẩn không gian Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Một số kiến thức phương trình, hệ phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1. Phương trình vi phân thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2. Hệ phương trình vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4. Phương pháp Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.1. Đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4.2. Phương pháp Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 Chương 2. Sự kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Euler việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1. Phương pháp thác triển theo tham số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2. Phương pháp Euler phương pháp Euler cải tiến . . . . 29 2.2.1. Phương pháp Euler giải phương trình vi phân cấp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.2.2. Phương pháp Euler cải tiến thứ nhất. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.3. Phương pháp Euler cải tiến thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.2.4. Phương pháp Euler cải tiến giải hệ phương trình vi phân cấp . . . . . . . . . 31 2.3. Một số ví dụ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chương 3. Lập trình Maple để giải hệ phương trình phi tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 Mở đầu 1. Lí chọn đề tài Bài toán giải hệ phương trình phi tuyến toán dẫn tới từ nhiều toán: Giải phương trình toán tử tích phân phi tuyến theo phương pháp cầu phương; giải phương trình vi phân tuyến tính phương pháp sai phân. Vì toán giải hệ phương trình phi tuyến quan tâm nhiều nhà toán học. Nhiều công trình nghiên cứu giải gần hệ phương trình phi tuyến hệ đề xuất như: Phương pháp lặp đơn, Phương pháp Newton-Raphson, Phương pháp thác triển theo tham số kết hợp với phương pháp Euler. Với mong muốn tìm hiểu sâu vấn đề giải hệ phương trình phi tuyến nên chọn nghiên cứu đề tài “Sự kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Euler việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số”. 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số dựa hai phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Euler. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu cách giải số hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số dựa kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Euler. 4. Đối tượng phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình phi tuyến n biến. Phương pháp thác triển theo tham số, phương pháp Euler . 5. Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm, nghiên cứu tài liệu liên quan. Áp dụng phương pháp Giải tích cổ điển, Giải tích hàm, Giải tích số, Đại số tuyến tính, Phương trình vi phân. 6. Đóng góp luận văn Hệ thống lại nội dung phương pháp thác triển theo tham số kết hợp phương pháp Euler vận dụng vào giải hệ phương trình phi tuyến cụ thể. Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1. Không gian Banach 1.1.1. Không gian định chuẩn Giả sử X không gian véc-tơ trường vô hướng K (thực hay phức). Hàm thực p X gọi chuẩn X nếu: i) p (x) ≥ 0, ∀x ∈ X; p (x) = ⇔ x = θ; ii) p (λx) = |λ| p (x) , ∀λ ∈ K, ∀x ∈ X; iii) p (x + y) ≤ p (x) + p(y), ∀x, y ∈ X. Không gian véc-tơ X với chuẩn gọi không gian định chuẩn. Sau ta dùng kí hiệu ||.|| để chuẩn không gian định chuẩn X. Không gian định chuẩn X không gian metric với metric sinh chuẩn d (x, y) = x − y . 1.1.2. Không gian Banach Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi hội tụ tới điểm x ∈ X, lim xn − x = 0. n→∞ Kí hiệu lim xn = x hay xn → x (n → ∞) . n→∞ Dãy điểm (xn ) không gian định chuẩn X gọi dãy bản, lim m,n→∞ xn − xm = 0. Không gian định chuẩn X gọi không gian Banach, dãy X hội tụ. Ví dụ 1.1. Cho không gian C[a,b] . Với hàm x(t), y(t) ∈ C[a,b] , ∀k ∈ R, ta định nghĩa: i) (x + y) (t) = x(t) + y(t), ∀t ∈ [a, b] ; ii) (kx) (t) = kx(t), ∀t ∈ [a, b]. Như với hai phép toán trên, không gian C[a,b] không gian véc-tơ trường số R. Với x(t) ∈ C[a,b] , đặt x = max |x(t)| t∈[a,b] đó, ta có · chuẩn C[a,b] , C[a,b] với || · || không gian Banach. Ví dụ 1.2. Xét không gian ∞ |xi |2 < +∞}. ∗ l2 = {x = (x1 , x2 , ., xi , .) |xi ∈ R, ∀i ∈ N , i=1 Với x = (xi ), y = (yi ) ∈ l2 , ∀k ∈ R, ta định nghĩa: i) (x + y)i = xi + yi , ∀i ∈ N∗ ; ii) (kx)i = kxi , ∀i ∈ N∗ . Khi l2 không gian véc-tơ trường số R. Với x ∈ l2 , đặt ∞ |xi |2 x = . i=1 Khi ta có · chuẩn l2 , l2 với chuẩn không gian Banach. 1.1.3. Nguyên lí ánh xạ co Banach Định nghĩa 1.1. Cho hai không gian metric M1 = (X, d1 ), M2 = (Y, d2 ). Ánh xạ A : M1 → M2 gọi ánh xạ co tồn số ≤ α < cho d2 (Ax, Ay) ≤ αd1 (x, y) , ∀x, y ∈ X. Định lý 1.1. Mọi ánh xạ co A ánh xạ không gian metric đầy M = (X, d) vào có điểm bất động nhất, nghĩa tồn x ∈ X cho Ax = x. Giả sử X không gian metric đầy ánh xạ A : X → X thỏa mãn điều kiện d (Ax, Ay) ≤ αd(x, y), ≤ α < 52 > Y := proc (n) if n = then 0.1 else G(t (n − 1)), X (n − 1) , Y (n − 1) fi ; end ; Y := proc (n) if n = then 0.1 else G (t (n − 1) , X (n − 1) , Y (n − 1)) end if end proc > array ([seq ([i, X(i), Y (i)] , i = 10)]) ; Máy tính cho ta nghiệm hệ n X Y 0.1 0.1 0.1 0.1 0.09009852217 0.08990147783 0.08212481515 0.08187518485 0.07552705811 0.07527294189 0.06996004741 0.06971995259 0.06518993504 0.06497006495 0.06105120976 0.06085279023 0.05742255477 0.05724464522 0.05421268446 0.05405355552 10 0.05135135327 0.05120903073 53 Bảng so sánh nghiệm với nghiệm xấp xỉ hệ n x X y Y 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.08990147783 0.1 0.09009852217 0.08116092974 0.09009852217 0.08083907026 0.08990147783 0.07309777519 0.08212481515 0.07270222481 0.08187518485 0.06582674533 0.07552705811 0.06539325467 0.07527294189 0.05927241038 0.06996004741 0.05882558962 0.06971995259 0.05336588387 0.06518993504 0.05292231613 0.06497006495 0.04804442900 0.06105120976 0.04761495100 0.06085279023 0.04325103777 0.05742255477 0.04284240423 0.05724464522 0.03893400212 0.05421268446 0.03855009568 0.05405355552 10 0.03504649036 0.05135135327 0.03468919766 0.05120903073 Bảng so sánh sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ hệ ∆x = |xi − Xi | , ∆y = |yi − Xi | ti ∆x ∆y 0.00990147783 0.01009852217 0.00893759243 0.00906240757 0.00902703996 0.00917296004 0.00970031278 0.00987968722 0.01068763703 0.010189436297 54 0.01182405117 0.012047748821 0.01300678076 0.001323783923 0.01417151700 0.014402240990 0.01527868223 0.015503459840 10 0.01630486291 0.016519833070 b) Bây ta sử dụng phương pháp Euler cải tiến phần mềm Maple 18 để giải hệ phương trình vi phân Ta khai báo > f := f : g := g : F := F : G := G h := h : t := t : x := x : y := y : X := X : Y := Y : x3 + x − y x+y > f := (t, x, y) → − − ; 3x2 + 3x2 + f := (t, x, y) → − x3 + x − y x+y − 3x2 + 3x2 + 3x2 + (x + y) x3 + x − y − ; > g := (t, x, y) → 3x2 + 3x2 + 3x2 + (x + y) x3 + x − y g := (t, x, y) → − 3x2 + 3x2 + > h := 0.1; h := 0.1 > t := n → n ∗ h; t := n → n.h > x := proc (n) option remember; x (n − 1) + h ∗ f (x (n − 1) ,) h y (n − 1) , t (n − 1)+ ∗f (x (n − 1))+h∗f (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1)) , y(n − 1) + h ∗ g (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1) , t(n)) end ; 55 x := proc (n) Option remember; x (n − 1) + h ∗ f (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1)) h + ∗ f (x (n − 1)) + h ∗ f (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1)) , y(n − 1) +h ∗ g (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1) , t(n)) end proc >x(0) := 0.1; x(0) := 0.1 > y := proc (n) option remember; y(n − 1) + h ∗ g(t(n − 1), x(n − 1), y(n − 1)) end ; y := proc (n) option remember ; y (n − 1) + h ∗ g (t (n − 1) , x (n − 1) , y (n − 1)) end proc > y(0) := 0.1; y(0) := 0.1 x3 + x − y x+y > F := (t, x, y) → t. − − 3x2 + 3x2 + + 0.1; x3 + x − y x+y F := (t, x, y) → t. − − 3x2 + 3x2 + >G := (t, x, y) → t. x3 + x − y (x + y) 3x2 + − 3x2 + 3x2 + G := (t, x, y) → t. + 0.1 + 0.1; x3 + x − y (x + y) 3x2 + − 3x2 + 3x2 + + 0.1 56 > X(0) := 0.1; Y (0) := 0.1; X(0) := 0.1 Y (0) := 0.1 > X := poc (n) if n = then 0.1 else F (t (n − 1) , X(n − 1), Y (n − 1)) fi ; end ; X := poc (n) if n = then 0.1 else F (t (n − 1) , X (n − 1) , Y (n − 1)) end if end proc > Y := poc (n) if n = then 0.1 else G(t(n − 1), X(n − 1), Y (n − 1)) fi ; end ; Y := poc (n) if n = then 0.1 else G (t (n − 1) , X (n − 1) , Y (n − 1)) end if end proc > array ([seq ([i, X(i), Y (i)] , i = 10)]) ; 57 Máy tính cho ta nghiệm hệ n X Y 0.1 0.1 0.1 0.1 0.09009852217 0.08990147783 0.08212481515 0.08187518485 0.07552705811 0.07527294189 0.06996004741 0.06971995259 0.06518993504 0.06497006495 0.06105120976 0.06085279023 0.05742255477 0.05724464522 0.05421268446 0.05405355552 10 0.05135135327 0.05120903073 Bảng so sánh nghiệm với nghiệm xấp xỉ hệ n x X y Y 0.1 0.1 0.1 0.1 0.1 0.08990147783 0.1 0.09010330425 0.08167783724 0.09009852217 0.08083905884 0.08990147783 0.07463387322 0.08212481515 0.07270120334 0.08187518485 0.06888859300 0.07552705811 0.06538985480 0.07527294189 0.06436570222 0.06996004741 0.05881840836 0.06971995259 58 0.06099502952 0.06518993504 0.05291006587 0.06497006495 0.05871211756 0.06105120976 0.04759649266 0.06085279023 0.05745781603 0.05742255477 0.04281670878 0.05724464522 0.05717788374 0.05421268446 0.03851616225 0.05405355552 10 0.05782260482 0.05135135327 0.03464594402 0.05120903073 Bảng so sánh sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ hệ ∆x = |xi − Xi | , ∆y = |yi − Xi | ti ∆x ∆y 0.00989669575 0.00509837814 0.00890881447 0.01007220500 0.00787969549 0.02708173170 0.00525151658 0.05548843708 0.00033705645 0.09493542190 0.01010673910 0.14516363770 0.02510304664 0.20588714190 0.04610939773 0.27666804520 0.07354730294 0.35681191503 10 0.10742246312 0.44532736902 Ví dụ 3.2. Sử dụng phương pháp thác triển theo tham số phương 59 pháp Euler để tìm nghiệm xấp xỉ hệ phương trình x2 + 2x − y = x+y+2=0 (3.4) Bài giải. Bước 1: Tham số hóa toán Đặt f1 (x, y) = x2 + 2x − y, f2 (x, y) = x + y + f1 x ,X = . F = y f2 Khi hệ phương trình (3.4) có dạng F (X) = 0, = 0 Ta xây dựng hàm G : [0; 1] × R2 → R2 xác định sau G (t, x, y) = tF (X) + (1 − t) (F (X) − F (X0 )) = F (x) − (1 − t) (F (X0 )) = F (x) + (t − 1) (F (X0 )) , t ∈ [0; 1] . Ta xá định với giá trị biến thiên t ∈ [0; 1] nghiệm G (t, x, y) = 0. Khi t = phương trình giả thiết có dạng = G (0, x, y) = F (X) − F (X0 ) , X0 nghiệm phương trình (3.5). (3.5) 60 Khi t = phương trình giả thiết có dạng = G (1, x, y) = F (X). Lấy đạo hàm hai vế phương trình (3.5) theo λ, ta được: 0= ∂G (t, X (t)) ∂G (t, X (t)) + .X (t) , ∂t ∂X (3.6) ∂f1 ∂f1 ∂G (t, X (t)) ∂x ∂y 2x + −1 = ∂f ∂f = ; J (X (t)) = 2 ∂X 1 ∂x ∂y ∂G (λ, X (t)) = F (X0 ) ∂t giải phương trình (3.6) theo biến X (λ) , ta được: ∂G (t, X (t)) X (t) = − ∂X −1 . Hay X (t) = − 3x + −1 ∂G (t, X (t)) . ∂t −1 F (X0 ) , X0 xấp xỉ đầu tiên, hay nghiệm toán cần tìm −1 x (t) 2x + −1 f (x , y ) = − 0 . y (t) 1 f2 (x0 , y0 ) Ta hệ phương trình vi phân dx x2 + 2x − y x + y + =− − dt 2x + 2x + dy x + 2x − y (x + 1) (x + y + 2) = − . dt 2x + 2x + 61 Bước 2: Bây ta giải hệ phương trình vi phân a) Bây ta sử dụng phương pháp Euler phần mềm maple để giải hệ phương trình vi phân Ta khai báo > f := f : g := g : F := F : G := G h := h : t := t : x := x : y := y : X := X : Y := Y : x2 + 2x − y x + y + − ; >f := (t, x, y) → − 2x + 2x + f := (t, x, y) → − x2 + 2x − y x + y + − 2x + 2x + x2 + 2x − y (2x + 2) (x + y + 2) > g := (t, x, y) → − ; 2x + 2x + x2 + 2x − y (2x + 2) (x + y + 2) g := (t, x, y) → − ; 2x + 2x + > h := 0.1; h := 0.1 > t := n → n ∗ h; t := n → n.h > x := proc (n) option remember; x (n − 1) + h ∗ f (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1)) h + ∗ f (x (n − 1)) + h ∗ f (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1)) , y(n − 1) +h ∗ g (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1) , t(n)) end ; x := proc (n) Option remember; 62 x (n − 1) + h ∗ f (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1)) h + ∗ f (x (n − 1)) + h ∗ f (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1)) , y(n − 1) +h ∗ g (x (n − 1) , y (n − 1) , t (n − 1) , t(n)) end proc > x(0) := −0.9; x(0) := −0.9 > y : = proc (n) option remember; y (n − 1) + h ∗ g(t(n − 1), x(n − 1), y(n − 1)) end ; y := proc (n) option remember; y (n − 1) + h ∗ g (t (n − 1) , x (n − 1) , y (n − 1)) end proc > y(0) := −0.9; y(0) := −0.9 x2 + 2x − y x + y + > F := (t, x, y) → t. − − 2x + 2x + − 0.9; x2 + 2x − y x + y + F := (t, x, y) → t. − − 2x + 2x + − 0.9; x2 + 2x − y (2x + 2) (x + y + 2) > G := (t, x, y) → t. − 2x + 2x + x2 + 2x − y (2x + 2) (x + y + 2) G := (t, x, y) → t. − 2x + 2x + − 0.9; − 0.9; 63 > X(0) := −0.9; Y (0) := −0.9; X(0) := −0.9 Y (0) := −0.9 > X := poc (n) if n = then − 0.9 else F (t(n − 1), X(n − 1), Y (n − 1)) fi ; end ; X := poc (n) if n = then − 0.9 else F (t (n − 1) , X (n − 1) , Y (n − 1)) end if end proc > Y := poc (n) if n = then − 0.9 else G(t(n − 1), X(n − 1), Y (n − 1)) fi ; end ; Y := poc (n) if n = then 0.1 else G (t (n − 1) , X (n − 1) , Y (n − 1)) end if end proc > array ([seq ([i, X(i), Y (i)] , i = 10)]) ; 64 Máy tính cho ta nghiệm hệ n X Y −0.9 −0.9 −0.9 −0.9 −0.9091666667 −0.9108333333 −0.9167702163 −0.9192297837 −0.9231873396 −0.9260126604 −0.9286792753 −0.9316407247 −0.9334345346 −0.9364054654 −0.9375930574 −0.9405029426 −0.9412611356 −0.9440716644 −0.9445210618 −0.9472126982 10 −0.9474375910 −0.9500020250 Bảng so sánh nghiệm với nghiệm xấp xỉ hệ n x X y Y −0.9 −0.9 −0.9 −0.9 −0.9 −0.9108333333 −0.9 −0.9045416318 −0.9075630216 −0.9091666667 −0.9205151501 −0.9108333333 −0.9091198482 −0.9167702163 −0.9291847746 −0.9192297837 −0.9092579566 −0.9231873396 −0.9369651869 −0.9260126604 −0.9080137877 −0.9286792753 −0.9439655983 −0.9316407247 −0.9054146420 −0.9334345346 −0.9502837057 −0.9364054654 −0.9014787709 −0.9375930574 −0.9560076569 −0.9405029426 65 −0.8962152843 −0.9412611356 −0.9612177591 −0.9440716644 −0.8896238560 −0.9445210618 −0.9659879623 −0.9472126982 10 −0.8816942030 −0.9474375910 −0.9703871485 −0.9500020250 Bảng so sánh sai số nghiệm xác nghiệm xấp xỉ hệ ∆x = |xi − Xi | , ∆y = |yi − Xi | ti ∆x ∆y 0.0045416318 0.1054167013 0.0115343258 0.2104508397 0.0440942687 0.3337852623 0.1271228368 0.5061643446 0.1985374823 0.6543565683 0.0382932184 0.5068888016 0.0589813405 0.6999143564 0.0012263500 0.7311930476 0.0624082572 0.7962505582 10 0.0921728510 0.8717018620 Kết luận Luận văn giải vấn đề sau 1. Trình bày số nội dung phương pháp thác triển theo tham số, đưa hệ phương trình phi tuyến hệ phương trình vi phân 2. Trình bày nội dung phương pháp Euler Euler cải tiến việc giải phương trình hệ phương trình vi phân. 3. Trình bày kết hợp phương pháp thác triển theo tham số phương pháp Euler việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến. 4. Ứng dụng giải hệ phương trình phần mềm Maple 5. Trình bày phương pháp Newton–Raphson giải hệ phương trình phi tuyến số ví dụ. Do lực thân có hạn chế, luận văn chắn tránh khỏi thiếu sót, em mong nhận góp ý thầy cô bạn đọc để luận văn hoàn thiện hơn. Em xin chân thành cảm ơn. 66 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình toán tử, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học kỹ thuật Hà Nội. [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [B] Tài liệu Tiếng Anh [5] Kung Ching Chang (2005), Methods in Nonlinear Analysis, Springer-Verlag-Berlin Heidelberg. [6] James M. Ortega and Werner C. Rheinboldt,(1970) Iterative solution of nonlinear equations several variables, Academic Press, New York and London. 67 [...]... < 1, x0 là điểm nằm trong lân cận đủ nhỏ của ξ Như vậy nếu sử dụng phương pháp Newton-Raphson để giải phương n trình phi tuyến thì tốc độ hội tụ là q 2 Chương 2 Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số 2.1 Phương pháp thác triển theo tham số Phương pháp thác triển theo tham số để giải phương trình toán tử (method... là các biến số 9 Ví dụ 1.3 Hệ phương trình x1 2 + x2 x3 − x2 − 10 = 0 2 5x 2 + x3 − x2 − 1 = 0 1 x + x x − x2 + 3 = 0 1 2 3 3 là hệ phi tuyến ba ẩn là x1 , x2 , x3 Nhận xét 1.2 Để giải hệ phương trình phi tuyến (1.2) người ta thường dùng các phương pháp như: phương pháp lặp đơn, phương pháp NewtonRaphson, sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Euler, Khi... này chúng tôi sẽ nêu một số ví dụ về giải một số hệ phương trình phi tuyến bằng hai phương pháp: phương pháp Newton-Raphson và phương pháp thác triển theo tham số kết hợp với phương pháp Euler (hoặc Euler cải tiến) và so sánh các kết quả thu được 33 Ví dụ 2.2 Dùng phương pháp Newton-Raphson tìm một nghiệm gần đúng của hệ sau x3 + y − 10 = 0 x + y2 − 6 = 0 Bài giải Đặt f1 (x, y) = x3 + y − 10, f2... giải hệ phương trình vi phân cấp một (2.4) bằng phương pháp số, cụ thể là phương pháp Euler và phương pháp Euler cải tiến Ta chia đoạn [0, 1] thành hữu hạn đoạn nhỏ λ0 = 0 < λ1 < λ2 < < λm = 1 Áp dụng thuật toán Euler ta tìm được nghiệm của hệ phương trình dạng bảng số x (λi ) , i = 0, , m Giá trị x (λm ) = x(1) chính là nghiệm xấp xỉ của hệ phương trình (2.1) 2.2 Phương pháp Euler và các phương pháp. .. và một số phương pháp khác như Phương pháp liên tục hóa (method of continuation ), Phương pháp tham biến bé (method of small parameter), Phương pháp đồng luân (method of homotopy ) đều có một ý tưởng chung là: Để giải một phương trình toán tử người ta gắn nó với một họ một tham số các phương trình toán tử, xuất phát từ một phương trình trong họ đó có nghiệm và tìm được nghiệm đó (ứng với một tham số. .. (ứng với một tham số của họ đó) sau đó bằng cách thác triển theo tham số ta tìm được nghiệm của phương trình đang xét Sau đây chúng ta áp dụng Phương pháp thác triển theo tham số để giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến có dạng F (x) = 0 24 (2.1) 25 Giả sử G : [0, 1] × Rn → Rn G (λ, x) = λF (x) + (1 − λ) [F (x) − F (x (0))] = F (x) − (1 − λ) F (x (0)) = F (x) + (λ − 1) F (x (0)) , trong đó x(0) là... ánh xạ co là phương pháp xấp xỉ liên tiếp 1.2 Hệ phương trình phi tuyến 1.2.1 Hệ phương trình phi tuyến Định nghĩa 1.2 Hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số là hệ có dạng f1 (x1 , x2 , , xp ) = 0 f2 (x1 , x2 , , xp ) = 0 ··· f (x , x , , x ) = 0 p 1 2 p (1.2) ở đây fi , i = 1, 2, , p và các đạo hàm riêng của chúng cho đến cấp hai được giả thiết là liên tục và giới nội,... dλ Trong đó dx1 = Φ1 (λ, x1 , x2 , , xn ) dλ dx2 dλ = Φ2 (λ, x1 , x2 , , xn ) ··· dxn = Φn (λ, x1 , x2 , , xn ) dλ f (x (0)) 1 −1 f2 (x (0)) = −J(x1 , x2 , , xn ) ··· fn (x (0)) (2.4) Phương pháp thác triển theo tham số được sử dụng để giải hệ phương trình phi tuyến Trong phương pháp này, cho trước bài toán F (x) = 0, một tham số của. .. biết Xét phương trình G (λ, x) = 0 Giả sử nghiệm của phương trình là x(λ) và ta giả thiết rằng λ thỏa mãn phương trình G (λ, x(λ)) = 0 với mọi λ ∈ [0, 1] Khi λ = 0 thì phương trình giả thiết có dạng 0 = G (0, x) = F (x) − F (x(0)) và x(0) là một nghiệm đã biết Khi λ = 1 thì phương trình giả thiết có dạng 0 = G (1, x) = F (x) và x(1) = x∗ là nghiệm của phương trình F (x) = 0 Hàm G với tham số λ sẽ cho... duy nhất x∗ của hệ x = Bx + g và ta có đánh giá xk − x∗ ≤ B 1− B xk − xk−1 ; k = 1, 2, , trong đó B là một trong các chuẩn · 1 · 2, · ∞ được tính tương ứng theo chuẩn của véc-tơ x, B là ma trận [bij ]n×n , x, g là các ma trận cột cấp n 1.3 Một số kiến thức về phương trình, hệ phương trình vi phân thường 1.3.1 Phương trình vi phân thường Định nghĩa 1.3 Phương trình vi phân thường là phương trình có dạng . tài Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số . 2. Mục đích nghiên cứu Luận văn nghiên cứu cách giải hệ phương. biến số dựa trên sự kết hợp hai phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Euler. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Hệ phương trình phi tuyến n biến. Phương pháp thác triển theo tham số, . Toán giải tích với đề tài Sự kết hợp của phương pháp thác triển theo tham số và phương pháp Euler trong việc giải hệ phương trình phi tuyến nhiều biến số được hoàn thành bởi nhận thức của bản