Đang tải... (xem toàn văn)
Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học Toán tử đơn điệu cực đại và một số ứng dụng luận văn thạc sĩ toán học
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VŨ VĂN QUYỀN TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU CỰC ĐẠI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn Giải Tích Mã số: 60 46 01 02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN HÀO HÀ NỘI, 2014 LÍI CM èN Luên vôn ữủc hon thnh tÔi Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi TĂc giÊ chƠn thnh cÊm ỡn TS Nguyạn Vôn Ho  tên tẳnh hữợng dăn, tÔo iÃu kiằn cho tĂc giÊ hon thnh luên vôn ThÔc sắ TĂc giÊ xin by tọ lỏng biát ỡn cĂc thƯy cổ giĂo v cĂn bở cổng nhƠn viản cừa Trữớng Ôi hồc Sữ phÔm H Nởi  quan tƠm giúp ù TĂc giÊ chƠn thnh cÊm ỡn cĂc thƯy cổ giĂo v cĂc bÔn ỗng nghiằp ð Tr÷íng THPT L÷ìng T i - huy»n L÷ìng T i - t¿nh Bc Ninh, °c bi»t l ð Tê to¡n cừa Trữớng,  tÔo mồi iÃu kiằn thuên lủi cho t¡c gi£ H Nëi, ng y 28 th¡ng 06 n«m 2014 TĂc giÊ luên vôn Vụ Vôn QuyÃn LI CAM OAN Tổi xin cam oan luên vôn ny l kát quÊ nghiản cựu cừa riảng tổi dữợi sỹ hữợng dăn cừa TS Nguyạn Vôn Ho Trong quĂ trẳnh nghiản cựu, tổi  ká thứa thnh quÊ khoa hồc cừa cĂc nh khoa hồc vợi sỹ trƠn trồng v biát ỡn CĂc kát quÊ trẵch dăn luên vôn ny  ữủc ch ró nguỗn gốc H Nởi, ngy 28 thĂng 06 nôm 2014 TĂc giÊ luên vôn Vụ Vôn QuyÃn Mửc lửc M Ưu Kián thực chuân b 1.1 Mởt số kián thực cỡ s và giÊi tẵch lỗi 1.1.1 Têp lỗi 1.1.2 ành l½ Carath²odory 10 1.1.3 ành l½ Hahn-Banach 10 1.1.4 1.2 ành l½ t¡ch khỉng gian vector 11 Mët số kián thực cỡ s và giÊi tẵch bián phƠn 14 To¡n tû ỡn iằu cỹc Ôi v mởt số ựng dửng 17 2.1 To¡n tû ìn i»u v to¡n tû ìn i»u cỹc Ôi 17 2.2 Dữợi vi phƠn cừa hm lỗi 31 2.3 Mët sè lỵp to¡n tỷ ỡn iằu cỹc Ôi 44 2.3.1 To¡n tû ìn i»u kiºu (D) 44 2.3.2 ToĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng 54 2.4 Mët sè ùng döng 60 2.4.1 Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu 2.4.2 60 Mởt c trững cừa tẵnh lỗi mÔnh 61 K¸t luên 67 Ti liằu tham khÊo 67 M Ưu Lỵ chồn à ti Tẵnh ỡn iằu (thữớng ữủc gồi l tẵnh ỡn iằu Minty-Browder) cừa mởt toĂn tû tø mët khæng gian Banach v o khæng gian èi ngău cừa nõ ữủc ữa bi Browder v Minty cĂch Ơy khoÊng hỡn 50 nôm GiÊ sỷ E têp l mët khỉng gian Banach, G ⊂ E × E∗ thc G, E∗ l khỉng gian li¶n hđp cõa nâ Mởt ữủc gồi l ỡn iằu náu vợi mội cp (x, x∗ ) v (y, y ∗ ) ta câ (x∗ − y ∗ , x − y) ≥ Mởt têp G E ì E ữủc gồi l ỡn iằu cỹc Ôi náu nõ l cỹc Ôi c¡c tªp ìn i»u theo quan h» bao h m Mët Ănh xÔ a tr T: E E ữủc gồi l mởt toĂn tỷ ỡn iằu ( ỡn iằu cỹc Ôi) náu têp ỗ th cừa nõ l ỡn iằu ( ỡn iằu cỹc Ôi) ToĂn tỷ ỡn iằu l mởt cổng cử hiằu quÊ v ữủc sỷ dửng rởng rÂi nhiÃu lắnh vỹc khĂc cừa toĂn hồc nhữ: phữỡng trẳnh vi phƠn, lỵ thuyát tối ữu, lỵ thuyát xĂc suĐt, kinh tá, c biằt giÊi tẵch lỗi, tẵnh lỗi cừa mởt hm nỷa liản tửc dữợi cõ th ữủc c trững bi tẵnh ỡn iằu cừa dữợi vi phƠn cừa nõ Mởt số kát quÊ gƯn Ơy cừa Huy v Chieu [10]  sỷ dửng tẵnh ỡn iằu cỹc Ôi nghiản cựu tẵnh lỗi mÔnh cừa mởt h m sè Sau â, Chieu v Trang [11] ¢ sỷ dửng cổng cử ối Ôo hm Frchet v ối Ôo hm Mordukhovich c trững tẵnh ỡn iằu v ỡn iằu cỹc Ôi cừa mởt toĂn tỷ Viằc nghiản cựu tẵnh ỡn iằu v ỡn iằu cỹc Ôi l mởt à ti luổn thu hút ữủc sỹ quan tƠm cừa nhiÃu nh toĂn hồc Vợi mong muốn ữủc tẳm hiu và lợp cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi chóng tỉi ¢ chån · t i To¡n tû ìn i»u cỹc Ôi v mởt số ựng dửng. Mửc ẵch nghiản cựu Nghiản cựu cĂc tẵnh chĐt cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi tứ mởt khổng gian Banach vo khổng gian ối ngău cừa nõ Nghiản cựu mởt số phữỡng phĂp c trững tẵnh ỡn iằu cỹc Ôi cõa mët to¡n tû Nghi¶n cùu mët sè ùng dưng cõa to¡n tû ìn i»u Nhi»m vư nghi¶n cùu Tẳm hiu và cĂc tẵnh chĐt cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi v cĂc phữỡng phĂp c trững tẵnh chĐt ny cừa mởt toĂn tỷ Tẳm hiu mởt sè ùng dưng cõa to¡n tû ìn i»u èi tữủng v phÔm vi nghiản cựu ã ối tữủng nghiản cựu l lợp cĂc toĂn tỷ ỡn iằu ã PhÔm vi nghiản cựu: Tẵnh ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng, ỡn iằu cỹc Ôi ton cửc cừa mởt toĂn tỷ v mởt số ựng dửng giÊi tẵch lỗi Phữỡng phĂp nghiản cựu Sỷ dửng cĂc phữỡng phĂp nghiản cựu giÊi tẵch lỗi, giÊi tẵch bián phƠn Dỹ kián õng gõp cừa luên vôn: Trẳnh by chi tiát v cõ hằ thống cĂc tẵnh chĐt cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Tứ õ nghiản cựu mët sè ùng dưng cõa to¡n tû ìn i»u cüc Ôi giÊi tẵch lỗi H Nởi, ngy 28 thĂng 06 nôm 2014 TĂc giÊ luên vôn Vụ Vôn QuyÃn Chữỡng Kián thực chuân b 1.1 Mởt số kián thực cỡ s và giÊi tẵch lỗi 1.1.1 Têp lỗi Cho CX X l mởt khổng gian vector trản trữớng số thỹc Mởt têp hủp ữủc gồi l lỗi náu vợi mồi cp im õ x, y C (x, y) := {z = λx + (1 − )y : (0, 1)} lỗi náu vợi mồi x, y ∈ C v λ ∈ (0, 1) ta câ ta câ (x, y) ⊆ C , Nâi c¡ch kh¡c, C λx + (1 − λ)y ∈ C Trong khổng gian hỳu hÔn chiÃu, mt phng, oÔn thng, ữớng thng, tam giĂc, hẳnh cƯu cho ta cĂc hẳnh Ênh và têp lỗi Trong mt cƯu v cĂc ữớng cong nõi chung khổng phÊi l têp lỗi Tứ nh nghắa rng suy cĂc kát quÊ dữợi Ơy: Mằnh à 1.1 Giao cừa mởt hồ bĐt kẳ cĂc têp lỗi l têp lỗi Ta gồi bao lỗi cừa mởt têp cĂc têp lỗi chựa A lỗi b nhĐt chựa A X, kẵ hiằu co A, l giao cõa t§t c£ Tø M»nh · 1.1, co A cụng l mởt têp lỗi v l têp A Mằnh à 1.2 (a)Mởt têp lỗi thẳ chựa mồi tờ hủp lỗi cừa cĂc vector cừa nõ, (b) co A (c) C l tờ hủp lỗi cừa cĂc vector thuởcA}, l têp lỗi v ch Mởt têp A ⊆ A = {x|x A ⊆ X Lóc â, C = co C ữủc gồi l cƠn ối náu vợi mồi A = A, hỡn nỳa náu A= thẳ |λ| ≤ ∈ A ta câ Mët tªp vứa lỗi vứa cƠn ối ữủc gồi l têp tuyằt ối lỗi A, B X Mằnh à 1.3 (a)Cho l cĂc têp lỗi, R Lúc õ A+B, A cụng lỗi; (b)nh v Ênh ngữủc cừa mởt têp lỗi (cƠn ối) qua mởt Ănh xÔ tuyán tẵnh l têp lỗi(cƠn ối) Cho E l mởt têp cừa têp lỗi biản cừa C, hay C biản cừa C, hay C -cỹc - bĂn cỹc biản, náu C E C\E ữủc gồi l têp bĂn cỹc l têp lỗi, v E l têp cỹc biản, náu x, y C, ∀λ ∈ (0, 1) : (λx + (1 − λ)y ∈ E =⇒ x, y ∈ E) Rã r ng, mët tªp ìn tû: E = {¯} x CC C- C x l ữủc kẵ hiằu l mởt hẳnh trỏn (khổng suy bián) trản mt phng vợi biản l ữớng trỏn têp bĂn cỹc biản v ối vợi têp Têp tĐt cÊ cĂc im cỹc biản cừa ext(C) minh håa ta x²t C måi tªp cõa C- th¼ hai kh¡i ni»m n y l trịng nhau, lóc â ta nâi iºm cüc bi¶n cõa l cüc bi¶n cơng l L, lóc â ext(C) = L, b£n th¥n C v L Ãu l têp C -cỹc biản, mồi nỷa hẳnh trỏn l bĂn cỹc biản khổng phÊi l C -cỹc biản Ta dng kim chựng ữủc kát quÊ sau: Bờ à 1.1 Cho C l têp lỗi (a) Hủp cừa mởt hồ cĂc têp X C -(bĂn) biản; cỹc biản l têp C -(b¡n) cüc méi x∈E cho v x∗ ∈ int C x T (x), / vợi tỗn tÔi a ph÷ìng v v U v z ∗ ∈ T (z) ∩ C x∗ − z ∗ , x − z < Chựng minh Theo mởt hữợng no õ, náu náu zE C ữủc cho trữợc, t E , l têp lỗi m x U x T (x), / nh÷ng x∗ + B ∗ ⊂ U Tø tẵnh lỗi, v b chn cừa U náu T l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi U = int C uE v xE >0 thẳ tỗn tÔi Theo mởt hữợng kh¡c, C ≡ [u∗ , x∗ ] + B ∗ vỵi cho u∗ ∈ T (u) ∩ U u∗ + B U v l têp lỗi, õng yáu* m nõ cõ th ữủc sỷ dửng kim tra U cõ tẵnh chĐt nhữ yảu cƯu Trong mằnh à tiáp theo, ch sỷ dửng tẵnh phÊn xÔ nhữ mởt Ăp dửng cừa nh lẵ 2.6 (tờng cừa hai toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi mởt khổng gian phÊn xÔ) Mằnh à 2.9 Náu T E l phÊn xÔ v l ỡn iằu cỹc Ôi trản E, thẳ l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng Chùng minh Gi£ sû r¬ng Cơng gi£ sû r¬ng cõa T v T2 = ∂δC têng cõa chóng T1 + T2 v tứ tẵnh cỹc Ôi cừa l têp lỗi v õng yáu* v int C Tứ int D(T2 ) E∗ x ∈ T1 (x∗ ), / C x int C iằu cỹc Ôi tứ v T v o E m x∗ ∈ T (x) °t T1 / = int C, l ỡn iằu cỹc Ôi BƠy giớ, T1 + T2 , ta thĐy rơng suy tỗn tÔi l nghch Êo T suy tỗn tÔi c¡c to¡n tû ìn D(T1 ) ∩ int D(T2 ) = ∅ T2 (x∗ ) = {0}, ∩ R(T ) = ∅ Theo ành l½ 2.6, x∗ ∈ T (x) / suy x ∈ T1 (x∗ ) + T2 (x∗ ) / Do z ∗ ∈ D(T1 ) ∩ D(T2 ) ≡ R(T ) ∩ C z ∈ (T1 + T2 )(z ∗ ) cho x∗ − z ∗ , x − z < Ta câ thº vi¸t z = u + v, â u ∈ T1 (z ∗ ) z ∗ − w∗, v ≥ (tùc l , vỵi måi z ∗ ∈ T (u)) w C v Vẳ vêy, v T2 (z ∗ ) i·u n y ngh¾a l z ∗ ∈ T (u) ∩ C cho > x∗ − z ∗ , x − u − x∗ − z ∗ , v ≥ x∗ − z ∗ , x − u , 56 chựng tọ rơng T thọa mÂn iÃu ki»n M»nh · 2.8 v â l ìn iằu cỹc Ôi a phữỡng Nhợ lÔi Vẵ dử 2.11 cừa Gossez và toĂn tỷ tuyán tẵnh ỡn iằu cỹc Ôi A: R(A) ToĂn tỷ ny s ữủc quan tƠm mửc ny, mc dũ l tuyán tẵnh (do õ lỗi) A khổng l ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng Do õ, khổng phÊi mồi toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Ãu l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng Vẵ dử 2.12 ToĂn tû Chùng minh L§y c£ v A khỉng l ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng e = (1, 0, 0, ), v ÷đc coi nh÷ l mët phƯn tỷ cừa , v lĐy 1 1 z = (− , , , , ) ∈ 2 2 1 , â vỵi n ≥ 1 2, (Az)n = + n + n+1 Hìn núa, e − Ae = (1, 1, 1, ) v e − Az ∞ = 2 , nản náu U l hẳnh cƯu ỡn mð ∞ , th¼ x∗ ≡ e − Az ∈ U °t ∞ x = e − z Náu u v Au U, thẳ lim |(Au)n | = | uk | ≤ v Bơng tẵnh toĂn trỹc tiáp, ta cõ (Az)1 = n→∞ â k=1 ∞ ∗ x − Ax, u = e − Ae, u = uk ≤ 1, k=1 x∗ , x = e, e − Az, e − e, z = − (Az)1 − z1 = Vẳ vêy, x = Ax 1 + > m°c dò x∗ − Au, x − u = x∗ , x − Au, x − x∗ , u = x∗ , x + Ax, u − x∗ , u ≥ 57 vỵi méi Au U iÃu ny mƠu thuăn vợi nh nghắa cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng Ta văn khổng biát liằu cĂc lợp cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi loÔi (D) thỹc sỹ khĂc vợi lợp cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng hay khổng Tuy nhiản, náu thảm vo iÃu kiằn bực thẳ lỵp n y thüc sü l lỵp cõa lỵp c¡c toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng thĐy iÃu ny, ta cƯn hai kát quÊ chuân b Mằnh · 2.10 N¸u u, v, x ∈ E, u∗ , v ∗ , x∗ ∈ E ∗ v λ ∈ [0, 1], th¼ λu∗ + (1 − λ)v ∗ − x∗ , λu + (1 − λ)v − x = = λ u∗ − x∗ , u − x + (1 − λ) v ∗ − x∗ , v − x − λ(1 − λ) u∗ − v ∗ , u − v Bê · 2.7 Gi£ sû r¬ng mð cõa E∗ x∗ ∈ T (x) ∩ U v T (2.8) l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi, z U \ T (z) Khi õ, tỗn tÔi cho U l mởt têp x z ∗ , x − z ≥ b ∈ E, b∗ ∈ U v r>0 vỵi måi cho vỵi måi x∗ ∈ T (x) ∩ U, x∗ − b∗ , x − b ≥ r Chùng minh V¼ T l ỡn iằu cỹc Ôi, nản tỗn tÔi y − z ∗ , y − z < v °t L§y 1>λ>0 b = λz + (1 − λ)y x∗ ∈ T (x) ∩ U , cho y ∗ ∈ T (y) cho b∗ := λz ∗ + (1 − λ)y ∗ ∈ U Khi â, sû dưng ¯ng thùc (2.8), vỵi måi ta câ x∗ − b∗ , x − b = λ x∗ − z ∗ , x − z + (1 − λ) x∗ − y ∗ , x − y − λ(1 − λ) z ∗ − y ∗ , z − y ≥ −λ(1 − λ) z ∗ − y ∗ , z y > Vẳ vêy, ta cõ th °t r = −λ(1 − λ) z ∗ − y , z y > 58 nh lỵ 2.12 Gi£ sû r¬ng (i) R(T ) = E ∗ hoc (ii) T l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi cho ho°c R(T ) = E ∗ v T l bùc Khi â T l to¡n tû ìn i»u cỹc Ôi a phữỡng Chựng minh Trữợc tiản, giÊ sỷ r¬ng mð v cho z ∈ E, z ∗ ∈ U x T (x) U thọa mÂn Náu nhữ Bờ à 2.7 Vẳ b T (x) ∩ U cho R(T ) = E ∗ , z ∗ − x∗ , z − x ≥ z ∗ ∈ T (z), / U ⊂ E∗ v vợi mồi l têp lỗi xE b E, b∗ ∈ U v r>0 theo gi£ thi¸t, suy tỗn tÔi xE thẳ tỗn tÔi b R(T ) b∗ − b∗ , x − b ≥ r > 0, Vẳ vêytheo Bờ à 2.7, Ơy l iÃu mƠu thuăn Tiáp theo giÊ sỷ rơng T R(T ) l trũ mêt E v T l bực Náu khổng l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng, ta cõ th tẳm mởt têp m U E cho r th tẳm ữủc n U R(T ) = ∅ z ∗ − x∗ , z x v bĂn kẵnh õ vợi vợi v phƯn tỷ vợi mội xE nhữ Bờ à 2.7 Vẳ xn E v ừ lợn, ta cõ x∗ ∈ T (xn ) n x∗ ∈ U n v R(T ) cho v z ∗ ∈ U \ T (z) x∗ ∈ T (x) ∩ U Chån l trị mªt b∗ − x∗ → n E , b, b ta cõ Những, Vẳ vªy r ≤ x∗ − b∗ , xn − b ≤ x∗ − b∗ n n i·u n y suy z∈E xn − b xn − b → ∞ Tứ tẵnh bực suy x , Ơy cụng n lÔi l iÃu mƠu thuăn Hằ quÊ 2.5 Náu T l ỡn iằu cỹc Ôi, bực v thuởc kiu (D), thẳ T l ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng Chựng minh Nhợ lÔi rơng, theo nh lẵ 2.11, s k²o theo R(T ) = E ∗ 59 T l bùc v thuëc kiºu (D) 2.4 Mët sè ùng dửng 2.4.1 Sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu Cho E õng toĂn tỷ T l mởt khổng gian Banach phÊn xÔ, E X²t to¡n tû l bùc tr¶n C E ∗, T :E n¸u T + ∂δC inf ∅ = +∞ l bực trản C l mởt têp lỗi, D(T ) = E Ta nâi r¬ng, l bùc, tùc l lim ∗ inf C y − ∞ → y (T +C )(y) vợi qui ữợc vợi C Dạ thĐy r¬ng, y∗, y = ∞, y (2.9) ∂δC = NC (y) Do â, to¡n tû T v ch¿ lim ∗ inf C y − ∞ → y ∈(T +NC )(y) y∗, y = ∞ y B¥y gií, ta xt bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn: Tẳm y ∈ C v y ∗ ∈ T (y) cho y ∗ , x − y ≥ ∀x ∈ C iÃu ny tữỡng ữỡng vợi viằc giÊi phữỡng trẳnh suy rëng NC (y) (2.10) ∈ T (y) + Trong khổng gian Hilbert iÃu ny tữỡng ữỡng vợi viằc tẳm khổng im cừa Ănh xÔ TC (x) := T (PC (x)) + (I − PC )(x), vỵi I l Ănh xÔ ỗng nhĐt Bi toĂn bĐt ng thực bián phƠn trản ữủc kẵ hiằu l nh lỵ sau trẳnh by mởt iÃu kiằn cho sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa dữợi giÊ thiát và tẵnh ỡn iằu cừa toĂn tỷ nh lỵ 2.13 Náu T gian Banach phÊn xÔ core (C − co D(T )), V I(T, C) V I(T, C) T l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trản mởt khổng E v C E thẳ bi toĂn l mởt têp lỗi õng v V I(T, C) 60 câ nghi»m ∈ º chùng minh ành lỵ ny cƯn kát quÊ bờ trủ sau: Bờ à 2.8 [4, nh lỵ 26] Cho GiÊ sỷ E∗ T :E E l mët khæng gian Banach ph£n xÔ l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi v f l mởt hm lỗi v õng Náu core {co D(T ) − co D(∂f )}, th¼ (a) ∂f + T + J (b) ∂f + T (c) ∂f l to n ¡nh l to¡n tû ìn i»u cüc Ôi l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Chựng minh nh lỵ 2.13 t f := C l hm ch cừa têp C Vợi mội n = 1, 2, 3, · · · , °t Tn := T + J/n Chúng ta giÊi phữỡng trẳnh suy rởng (T + ∂δC ) + J (yn ) n ∈ (Tn + C )(yn ) = v lĐy giợi hÔn ữủc n (2.11) tián vổ hÔn Cử th hỡn, theo Bê · 2.8 ta t¼m ∗ yn ∈ C , yn ∈ (T + ∂δC )(yn ) v ∗ jn ∈ J(yn )/n vỵi ∗ ∗ yn = −jn Khi â, ta câ: ∗ jn , yn = − yn ≤ n n T + ∂δC suy d¢y yn bà ch°n v ∗ yn , yn = Tứ tẵnh bực cừa Bơng cĂch lĐy dÂy náu cƯn ta cõ th giÊ sû d¢y theo Bê · 2.8 T + ∂δC yn y jn (yáu) LÔi l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi v nõ l demi- õng (demi-closed)[3] Tứ õ suy 2.4.2 vẳ vêy (T + ∂δC )(y) = T (y) + NC (y) Mởt c trững cừa tẵnh lỗi mÔnh CĂc hm lỗi cõ vai trỏ rĐt quan trồng cĂc lắnh vỹc cừa toĂn hồc tứ lỵ thuyát tối ữu, lỵ thuyát iÃu khin, bĐt ng thực bián phƠn, 61 toĂn kinh tá v ữủc Ăp dửng rởng rÂi cĂc lắnh vỹc nhữ cổng nghiằp, kinh tá, y hồc v nghằ thuêt Nhữ  biát, mởt cổng cử rĐt mÔnh kim tra tẵnh lỗi cừa mởt hm õ l tiảu chuân bêc hai Chng hÔn, mởt hm Hessian ϕ(x) ϕ : Rn → R thc lỵp C2 l lỗi v ch l mởt ma nỷa xĂc nh dữỡng vợi mồi Nhơm giÊm nhà giÊ thiát và tẵnh trỡn C2 x Rn cừa hm ữủc xt  cõ nhiÃu tĂc giÊ sỷ dửng cĂc loÔi Ôo hm suy rởng khĂc c trững tẵnh lỗi cừa mởt hm số [2, 12, 14] Vợi cĂc khĂi niằm cỡ bÊn nhữ nõn phĂp tuyán khổng lỗi cừa cĂc têp hủp khổng gian Banach, dữợi vi phƠn khổng lỗi cừa cĂc hm số thỹc, ối Ôo hm Frchet v ối Ôo hm Mordukhovich cừa Ănh xÔ a tr, sau 35 nôm phĂt trin, lỵ thuyát vi phƠn suy rởng GiĂo sữ B S Mordukhovich xữợng  tr nản hon thiằn v ữa ¸n nhi·u ùng dưng quan trång Bë s¡ch [19, 20], gỗm têp, mội têp cõ chữỡng, ữủc xuĐt bÊn nôm 2006,  nhanh chõng tr thnh mởt ti li»u quan trång, ÷đc nhi·u ng÷íi sû dưng Bë s¡ch õ chựa ỹng nhiÃu kát quÊ sƠu sưc và GiÊi tẵch khổng trỡn, GiÊi tẵch a tr, Lỵ thuyát tối ữu, v ựng dửng GƯn Ơy, cĂc kát quÊ cừa GS Nguyạn ổng Yản nhõm nghiản cựu [9, 10, 11]  ch cõ th c trững tẵnh lỗi cừa mởt hm số qua dữợi vi phƠn bêc hai Frchet v dữợi vi phƠn bêc hai Mordukhovich Trong mửc ny, chúng tổi xin trẳnh by mởt phƯn kát quÊ [10] cõa PGS TS Nguy¹n Quang Huy v TS Nguyạn Huy Chiảu  sỷ dửng dữợi vi phƠn bêc hai Frchet c trững tẵnh lỗi mÔnh cừa hm số Nhữ biát rơng, tẵnh lỗi mÔnh cừa mởt hm số mởt lƠn cên cừa mởt im thữớng ữủc sỷ dửng viằc xƠy dỹng cĂc iÃu kiằn ừ v cĂc tiảu chuân và tẵnh ờn nh cừa b i to¡n cüc trà Trong [10], c¡c t¡c gi£ ¢ ch náu mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi trản mởt khổng gian Hilbert 62 thẳ ối Ôo hm Fr²chet cõa nâ l mët to¡n tû nûa x¡c ành dữỡng c trững ny l mởt tẵnh chĐt quan trồng  ữủc cĂc tĂc giÊ sỷ dửng chựng minh kát quÊ và viằc c trững tẵnh lỗi mÔnh Trong mưc n y, ta x²t ϕ:E→R h¬ng sè E l mët khổng gian Hilbert thỹc Mởt hm ữủc gồi l lỗi mÔnh trản mởt têp lỗi >0 dom náu tỗn tÔi cho ((1 t)x + ty) ≤ (1 − t)ϕ(x) + tϕ(y) − ρt(1 − t) x − y , vỵi måi x, y ∈ v t (0, 1) Dạ thĐy rơng, iÃu ki»n tr¶n óng v ch¿ h m ψ(x) := (x) x l hm lỗi trản (2.12) ành ngh¾a 2.16 Cho méi y ∈ ∂ϕ(¯), ¯ x Ănh xÔ :E R l mởt hm số hỳu hÔn tÔi (, y ) : E x E x ¯ Vỵi vỵi gi¡ trà ∂ϕ2 (¯, y )(u) = (D∗ ∂ϕ)(¯, y )(u), x ¯ x ¯ vợi mồi u E, tữỡng ựng vợi Náu ữủc gồi l dữợi vi phƠn bêc hai Frchet cừa tÔi x y thuởc lợp C2 mởt lƠn cên cừa xE (tực l, khÊ vi liản tửc án cĐp hai mởt lƠn cên cõa iºm n y) th¼ ∂ ϕ(¯, y )(u) = { x ¯ â, ϕ(¯)∗ x ϕ(¯)∗ u} ∀u ∈ E, x l to¡n tû li¶n hđp cõa Hessian ành ngh¾a 2.17 Mët to¡n tû T :E E T v z ∈ T (u) N¸u z, u > vợi mồi ữủc gồi l toĂn tỷ xĂc ành d÷ìng 63 ϕ(¯) x ÷đc gåi l nûa x¡c nh dữỡng (positive semi-definite) (viát tưt l PSD) náu uE z, u ≥ u ∈ E\{0} v vỵi mồi z T (u) thẳ nh lỵ sau cho ta mởt c trững cừa tẵnh lỗi mÔnh cừa mởt hm số thỹc trản khổng gian Hilbert qua dữợi vi phƠn bêc hai Frchet nh lỵ 2.14 Cho :ER >0 mÔnh vợi hơng số v ch vợi mồi dữợi vi phƠn bêc hai Frchet z, u u vỵi l mët h m thc lỵp ∂ ϕ(x, y) : E vỵi måi E C H m (x, y) G() l lỗi Ănh xÔ thọa m¢n i·u ki»n u ∈ E, z ∈ ∂ ϕ(x, y)(u) (2.13) (x, y) ∈ G(∂ϕ) º chùng minh nh lỵ 2.14 cƯn mởt kát quÊ và mởt c trững cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi qua ối Ôo hm Frchet cừa toĂn tỷ ny Bờ · 2.9 N¸u måi iºm T :E E (x, y) ∈ G(T ) ta câ z, u ≥ tùc l, Ănh xÔ ối Ôo hm Chựng minh LĐy l mởt toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi, thẳ vợi vợi måi z ∈ D∗ T (x, y)(u), D∗ T (x, y) : E (¯, y ) ∈ G(T ) x E l nỷa xĂc nh dữỡng tũy ỵ Xt Ănh xÔ tuyán tẵnh E EìE vợi S : E l Ănh xÔ a tr ữủc xĂc nh bi E H(x, y) = (y + x, y − x) vợi mồi H :Eì (x, y) E ì E °t G(S) = H(G(T )) v (¯, w) = H(¯, y ) Do (¯, y ) ∈ G(T ) nản (, w) G(S) Chú ỵ rơng Mằnh z ¯ x ¯ x ¯ z ¯ · 12.11[27] công óng thay Rn b¬ng khỉng gian Hilbert l to¡n tỷ ỡn iằu cỹc Ôi nản theo [27, Mằnh à 12.11] ta cõ xÔ ỡn tr v Lipschitz vợi hằ sè tø E E S Do T l ¡nh vo chẵnh nõ Vẳ vêy, theo [21, Mằnh à 3.5] ta câ D∗ S(˜)(˜) = ∂ y , S (˜) ∀˜, y ∈ E x y ˜ x x ˜ 64 (2.14) Dạ thĐy G(T ) = H (G(S)) H((¯, y )) = H x ¯ v H l khÊ vi cht tÔi (, y ) x vợi Ôo hm l trn Ănh v H(, y ) (x, y) = (x − y, x + y) ∀(x, y) E ì E x Vẳ vêy, theo [19, H» qu£ 15], ta câ (z, −u) ∈ N ((¯, y ); G(T )) ⇐⇒ (z − u, −z − u) ∈ N ((¯, w); G(S)) x ¯ z ¯ i·u n y câ ngh¾a l z ∈ D∗ T (¯, y )(u) ⇐⇒ z − u ∈ D∗ (¯, w)(z + u) x ¯ z ¯ Vỵi méi y ∈ E, ˜ vỵi h» sè y ˜ (2.14), ta câ tø S Lipschitz vỵi h» sè suy ≤ l Lipschitz u ∈ ∂ y , S (¯) z Vẳ vêy, ta cõ u u ≤ y ˜ ˜ u ∈ D∗ S(¯, w)(˜) p dưng i·u n y vỵi ˜ z ¯ y vỵi måi y ˜ y, S ˜ vỵi måi Do u = z − u v y = z + u vợi bĐt kẳ cp (u, z) v z D T (¯, y )(u), ta ÷đc ˜ ˜ x ¯ zu z+u Vẳ vêy, z, u = 41 ( z + u − z − u ) Chựng minh nh lỵ 2.14 ( iÃu kiằn cƯn): GiÊ sỷ mÔnh trản E hm lỗi trản vợi h¬ng sè E ρ > Khi â, h m ψ l mởt hm lỗi ữủc cho bi (2.12) l Theo cổng thực dữợi vi phƠn cừa mởt tờng [19, M»nh · 107 (i)] cho ψ = ϕ + χ, vỵi χ(x) = −ρ x , ta câ ∂ψ(x) = ∂ϕ(x) − 2ρx ∀x ∈ E °t F (x) := ∂ϕ(x), f (x) := −2ρx (2.15) v sû dửng cổng thực ối Ôo hm cừa tờng [19, Mằnh · 1.629(i)], ta câ D∗ (F + f )(x, y − 2ρx)(u) = D∗ F (x, y)(u) − 2ρu, vỵi måi x ∈ E, y ∈ ∂ϕ(x) v u ∈ E Kát hủp iÃu ny vợi (2.15) ta ữủc ψ(x, y − 2ρx)(u) = ∂ ϕ(x, y)(u) − 2ρu ∀x ∈ E, ∀y ∈ ∂ϕ(x), ∀u ∈ E (2.16) 65 Mt khĂc, l hm lỗi nản theo [19, nh lỵ 56] thẳ F +f : E E l toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi p dửng Bờ à 2.9, ta cõ dữợi vi phƠn bªc hai Fr²chet ∂ ψ(·) l PSD Tø i·u n y v (2.16) suy z − 2ρu, u ≥ 0, z (x, y)(u) iÃu ny tữỡng ữỡng vợi (2.13) óng vỵi måi i·u ki»n õ: Gi£ sû (2.13) vỵi måi (2.17) (x, y) ∈ G(∂ϕ) (x, y) ∈ G(∂ϕ) °t ψ(x) := ϕ(x) − ρ x , x ∈ E Rã r ng, suy ψ ψ l mët hm thuởc lợp l hm lỗi, tực l C Theo (2.17) v [10, nh lỵ 3.1] l hm lỗi mÔnh nh lỵ ữủc chựng minh Trong bi b¡o [10], c¡c t¡c gi£ cơng °t c¥u häi m cho bi toĂn c trững tẵnh lỗi mÔnh cừa mët h m sè thüc mð rëng: C¥u häi mð: L m cĂch no m rởng nh lỵ 2.14 khổng gian Banach tờng quĂt? 66 Kát luên Luên vôn trẳnh by cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn và lợp cĂc toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi v hai ựng dửng cừa nõ viằc chựng minh sỹ tỗn tÔi nghiằm cừa bĐt ng thực bián phƠn ỡn iằu v c trững tẵnh lỗi mÔnh cừa mởt hm số thỹc m rởng Cử th: Chữỡng trẳnh by mởt số kián thực cỡ bÊn GiÊi tẵch lỗi v GiÊi tẵch biản phƠn nhữ: Têp lỗi, cĂc nh lỵ tĂch v cĂc khĂi niằm nõn phĂp tuyán, dữợi vi phƠn v ối Ôo hm Frchet s ữủc sỷ dửng chữỡng sau Chữỡng 2: Mửc 2.1 trẳnh by cĂc tẵnh chĐt cỡ bÊn cừa toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi Mửc 2.2 trẳnh by mởt lợp toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi quan trồng v cõ nhiÃu ựng dửng giÊi tẵch lỗi v lỵ thuyát tối ữu, õ l dữợi vi phƠn cừa mởt hm lỗi v nỷa liản tửc dữợi Mửc 2.3 trẳnh by mởt số lợp toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi khĂc, õ l cĂc toĂn tỷ kiu (D) v toĂn tỷ ỡn iằu cỹc Ôi a phữỡng CĂc vẵ dử phƠn tẵch cĂc khĂi niằm v tẵnh chĐt cừa cĂc lợp toĂn tỷ ny cụng ữủc trẳnh by khõa luên Mửc 2.4 trẳnh by mët sè ùng dưng cõa to¡n tû ìn i»u cüc Ôi Cuối cũng, chúng tổi trẳnh by lÔi vĐn à m cừa bi toĂn c trững tẵnh lỗi mÔnh ữủc t [10] Chúng tổi văn chữa giÊi quyát ữủc bi toĂn trản.Tuy nhiản, chúng tổi s tiáp tửc nghiản cựu bi toĂn ny thới gian tợi v hi vồng cõ th Ôt ữủc mởt số kát quÊ n o â T i li»u tham kh£o [A] T i li»u tiáng Viằt [1] Huýnh Thá Phũng, Cỡ s GiÊi tẵch lỗi, NXB GiĂo dửc Viằt Nam, 2012 [B] Ti liằu ti¸ng Anh [2] D Bednarik, K Pastor, On characterizations of convexity for regularly locally Lipschitz functions, Nonlinear Anal., 57 (2004) 8597 [3] J M Borwein, and Zhu Q J., Techniques of Variational Analysis: an Introduction, CMS Books, Springer-Verlag, 2005 [4] J M Borwein, Maximal montonicity via convex analysis, Fitzpatrick Memorial Issue of J Convex Analysis, 13/14 (2006), 561586 [5] J M Borwein, Maximality of sums of two maximal monotone operators in general Banach space, Pro Am Math Soc., 135(2007), 39173924 [6] H Brezis, Functional Analysis, Sobolev Spaces and Partial Differ- ential Equations, Springer, 2010 [7] F E Browder, Nonlinear Maximal Monotone Operators in Banach Space, Math Annalen, 175 (1968), 89113 [8] F E Browder, The fixed point theory of multi-valued mappings in topological vector spaces, Math Annalen, 177 (1968), 283301 [9] N.H Chieu, T.D Chuong, J.-C Yao, N.D Yen, Characterizing convexity of a function by its Fr²chet and limiting second-order subdifferentials, Set-V Anal, 19 (2011) 7596 [10] N H Chieu and N Q Huy, Second-order subdifferentials and convexity of real-valued functions, Nonlinear Analysis 74 (2011), 154 160 [11] N H Chieu and N T Q Trang, Corderivative and monotonicity of continuous mappings, Taiwanese J Math., 16 (2012), 353365 [12] R Cominetti, R Correa, A generalized second-order derivative in nonsmooth optimization, SIAM J Control Optim., 28 (1990) 789 809 [13] S P Fitzpatrick and R R Phelps, Bounded approximants to monotone operators on Banach spaces, Ann Inst Henri Poincar², Analyse non lin²aire, (1992), 573595 [14] I Ginchev, V.I Ivanov, Second-order characterizations of convex and pseudoconvex functions, J Appl Anal., (2003) 261273 [15] J.-P Gossez, Op²rateurs monotones non lin²aires dans les espaces de Banach non r²flexifs, J Math Anal Appl., 34 (1971), 371395 [16] J.-P Gossez, On the range of a coercive maximal monotone operator in a nonreflexive Banach space, Proc Amer Math Soc., 35 (1972), 8892 [17] J.-P Gossez, On a convexity property of the range of a maximal monotone operator, Proc Amer Math Soc., 55 (1976), 359360 69 [18] J.-P Gossez, On the extensions to the bidual of a maximal monotone operator, Proc Amer Math Soc., 62 (1977), 6771 [19] B S Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differ- entiation, Vol I: Basic Theory, Springer, Berlin, 2006 [20] B S Mordukhovich, Variational Analysis and Generalized Differ- entiation, Vol II: Applications, Springer, Berlin, 2006 [21] B.S Mordukhovich, N.M Nam, N.D Yen, Fr²chet subdifferential calculus and optimality conditions in nondifferentiable programming, Optimization, 55 (2006) 685708 [22] R R Phelps, Convex Functions, Monotone Operators and Differ- entiability, Springer-Verlag, 1993 [23] R R Phelps, Lectures on maximal monotone operators, arXiv:math.FA/9302209, (posted February 1993) [24] R T Rockafellar, On the maximality of sums of nonlinear monotone operators, Trans Amer Math Soc., 149 (1970), 7588 [25] R T Rockafellar, Local boundedness of nonlinear, monotone operators, Michigan Math J., 16 (1969), 397407 [26] R T Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1970 [27] R T Rockafellar and R J.-B Wets, Variational Analysis, Springer, Berlin, 1998 [28] S Simons, The least slope of a convex function and the maximal monotonicity of its subdifferential, J Optimization Theory and Applications, 71 (1991), 127136 70 ... liản tửc f trản X x0 ∈ X\{0} Lóc â, cho f (x0 ) = ||x0 || v ành l½ t¡ch khỉng gian vector Cho khỉng l khỉng gian Lóc â, vợi mồi phiám hm tuyán tẵnh liản tửc tÔi phiám hm tuyán tẵnh liản tửc... nỷa liản tửc dữợi Kẵ hiằu R := R {} l têp số thỹc m rởng nh nghắa 2.6 Cho X l mët khæng gian Hausdorff v cho f MiÃn hỳu hiằu cừa lÔi rơng, vợi mội f f l têp hủp dom (f ) nỷa liản tửc dữợi... v C C l nỷa liản tửc dữợi õng Vẵ dử ny l mởt lẵ ữa cĂc h m sè thüc mð rëng, v¼ ta câ thº suy mởt số tẵnh chĐt cừa mởt têp lỗi õng tứ cĂc tẵnh chĐt cừa hm lỗi, nỷa liản tửc dữợi C C Vẳ vêy,