BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 HÀ THIÊN ĐÒNG PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TRONG MIEN KHÔNG TRƠN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số : 60 46 01 02 Người hướng dẫn khoa học TS. Phạm Triều Dương HÀ NỘI, 2014 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Phạm Triều Dương, thầy đã tận tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, đặc biệt là các thầy cô trong khoa Toán, phòng Sau đại học đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập. Qua đây tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới các anh chị, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, giúp đỡ cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả Hà Thiên Đồng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài “Phương trình parabolic trong miền không trơn” được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS. Phạm Triều Dương và bản thân tác giả. Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả Hà Thiên Đồng Mục lục Kiến thức bổ trỢ Công thức Green trên đa tạp Riemann Hàm điều hòa và hàm Green Toán tử Laplace trên đa tạp mẫu M ơ Phân loại các miền theo ý nghĩã xác suất Nửa nhóm nhiệt trên đa tạp Riemann Toán tử Laplace trong metric Riemann Nhân nhiệt và chuyển động Brown trên đa tạp Dung lượng, tập dày, xác suất va chạm và miền ngoài của một tập compact Dung lượng Dung lượng trong miền không trơn Dung lượng của hình cầu trên mô hình đa tạp Tập dày Kết luận Tài liệu tham khảo Mở đầu Chương 1. 1.1. 7 7 7 1 2 1 3 1 3 14 15 1.2. 1.3. Chương 2 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.2. 1 7 17 19 2 2 23 25 27 3 5 3 6 2.2.1. 2.2.2. 2.2 .3. 2.2 .4. 2.2 .5. 2.2.6. Xác suất va chạm Miền ngoài của một tập compact [...]... elliptic bất kỳ với phương pháp đã đặt ra của các tác giả trên Chúng tôi chọn đề tài Phương trình parabolic trong miền không trơn để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích 2 Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng trong miền không trơn trên góc độ của lý thuyết xác suất 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Vai trò của một phương trình parabolic quyết... hòa và hàm Green Định nghĩa 1.2.1 Giả sử ri là một miền trong Mn và u là hàm thuộc lớp ơ2(íỉ) Hàm u(x) thỏa mẫn phương trình Laplace Au = 0, với mọi X thuộc ri được gọi là hàm điều hòa trong fỉ Dạng không thuần nhất của phương trình Laplace được gọi là phương trình Poisson, tức là phương trình dạng Au = f ( x ) Nghiệm của phương trình poisson trong miền íỉ là hàm u thuộc lớp ơ2(fỉ) sao cho Au = f (... parabolic quyết định đến sự tồn tại của hàm Green trong miền không trơn 4 Đối tượng và phạm vi nghiền cứu Phương trình đạo hàm riêng liên hệ với giải tích ngẫu nhiên Bài toán được áp dụng với một lớp rộng các miền chứa điểm kì dị 5 Phương pháp nghiên cứu Chúng tôi muốn áp dụng phương pháp Hàm điều hòa trên (còn được gọi là phương pháp Perron) trong trường hợp miền không Euclide: tìm ra các đánh giá tương tự... lượng trong miền không trơn Cho íì là một miền liên thông tùy ý (không nhất thiết trơn) có độ đo Lebesgue |S~2 Ị hữu hạn Ta định nghĩa Định nghĩa 2.2.2 Cho E c íỉ là một tập con tùy ý Dung lượng bậc p (p- dung lượng) của E được xác định với mọi p > 1 bởi C p ( E ) = inf 11 |Vw|p : u ẽ VF01,p(fi), u > 1 trong một lân cận của #1 trong đó Wg1,p(r2) là bao đóng trong Vl^1,p(rỉ) của tất cả các hàm trơn có... thế còn được gọi là nghiệm cổ điển của phương trình Poisson trong miền íỉ Với một hàm điều hòa u và tập mở tiền compact íỉ bất kì trong miền xác định của hàm u thì thông lượng của hàm u xuyên qua biên ỡíỉ là bằng 0, tức là f l u x u : = [ T^-dịi' — o, dũ Jdĩì trong đó, V là véc tơ pháp tuyến ngoài đơn vị trên d í ì (giả sử biên d í ì đủ trơn) Hơn nữa, phương trình (|1.2.1|) tương đương với tính điều... giá về dung lượng trong các miền có điểm cực (một điểm kì dị tách biệt) chỉ phụ thuộc vào các tích phân của các hàm xác định biên và độ đo về thể tích và chu vi của các miền con, trong những năm gần đây Maz’ya đã phát triển phương pháp trên đây với trường hợp biên chứa các điểm dạng cusps (đỉnh nhọn) hoặc những miền chứa gấp vô hạn (miền Nikodym) Khi nghiên cứu bài toán biên, phương trình được nghiên... bé nhất của toán tử, áp dụng Phương pháp thế vị để nghiên cứu sự tồn tại hàm Green trong M 6 Đóng góp mới của luận văn Tìm hiểu sâu sắc đặc trưng diện tích-chu vi của miền cho tính giải được của bài toán biên Dirichlet Chương 1 Kiến thức bổ trơ 1.1 Công Riemann Giả sử u thức Green trên đa tạp miền tiền compact bất kì trong M n và với các hàm bất kì u , V e C q ( U ) thì trong đó, là tích vô hướng của... chung được chia thành 2 loại chính: loại mặt parabolic (đa tạp parabolic) không cho phép các chuyển động Brown di chuyển tự do linh động trong toàn miền (độ cong của đa tạp đủ lớn), và loại thứ hai là không parabolic - về mặt luân chuyển là tốt hơn (độ cong nhỏ) và cho phép tồn tại các hàm điều hòa trên chấp nhận được khác hằng số Cần ghi nhớ là các kết quả trong chương này mới chỉ phát biểu cho đa tạp... là, G(x, y) là nghiệm cơ bản dương nhỏ nhất của phương trình Laplace trên M Ta quy ước G = +oo nếu không có nghiệm cơ bản dương, điều này có được khi tích phân trên phân kỳ Nếu G Ф oo thì với mỗi y cố định ta có, AG(-,y) = -dy Ví dụ 1.2.1 Trong R đ , d > 2 , hàm Green được cho bởi G „Л _ C d ( X ’ V ) = I _ id—2 ’ \x - У I trong đó Cd — (üJ d {d — 2)_1) Trong M2, ta có G = oo Một cách khác xây dựng hàm... hàm p ( t , x , y ) trong đó x , y là các điểm trên M, theo đó, xác suất chuyển động xuất phát từ điểm X đi vào một tập đo được c M tới thời gian t là Trong nhân nhiệt được tính bằng công thức và nó thỏa mãn phương trình nhiệt dp 1dt~ầAp = 0 ’ ở đây cặp biến (t , X ) ( y được coi là cố định) và điều kiện ban (2.1.1) đầu (2.1.2) trong đó ô y là hàm delta Dirac 2.1.1 Toán tử Laplace trong metric Riemann . thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 20lị Tác giả Hà Thiên Đồng Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Toán giải tích với đề tài Phương trình parabolic trong miền không trơn . bất kỳ với phương pháp đã đặt ra của các tác giả trên. Chúng tôi chọn đề tài Phương trình parabolic trong miền không trơn để thực hiện luận văn tốt nghiệp chương trình đào tạo thạc sĩ chuyên. của 2 véc tơ: Dạng không thuần nhất của phương trình Laplace được gọi là phương trình Poisson, tức là phương trình dạng Au = f ( x ) . Nghiệm của phương trình poisson trong miền íỉ là hàm u thuộc