BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN HỒNG THÁI TÍCH PHÂN CỦA HÀM SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 NGUYỄN HỒNG THÁI TÍCH PHÂN CỦA HÀM SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS. Tạ Ngọc Trí HÀ NỘI, 2014 LỜI CẢM ƠN Luận văn này được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 dưới sự hướng dẫn nhiệt tình của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Thầy đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học tập cũng như nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, khoa Toán và tổ Giải tích cùng các quý thầy cô đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả kết thúc tốt đẹp chương trình Cao học và hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả Nguyễn Hồng Thái LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí. Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các nhà khoa học và đồng nghiệp với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 7 năm 2014 Tác giả Nguyễn Hồng Thái Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Lý thuyết hàm suy rộng Schwartz . . . . . . . . . . . . 5 1.1. Một số khái niệm và thuật ngữ cơ bản . 5 1.2. Không gian các hàm thử. . . . . . . 6 1.3. Hàm suy rộng Schwartz . . . 11 1.4. Đạo hàm của hàm suy rộng. . . . . . . 14 1.5. Tích hai hàm suy rộng. . . . . . . . 15 Chương 2. Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . . 23 2.1. Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau . . . . . . . 23 2.2. Các tính chất về vi phân trong đại số G (R n ) . . 28 2.3. Số Colombeau . . . . . . 33 2.4. Giá trị tại điểm của hàm G-suy rộng. . . . 36 Chương 3. Tích phân của các hàm suy rộng và ứng dụng 39 3.1. Tích phân của một hàm suy rộng trên một tập compact 39 3.2. Sự liên hệ với tích phân cổ điển . . . 43 3.3. Nguyên hàm. . . . . . . . 46 3.4. Tích chập . . . . . . 49 3.5. Biến đổi Fourier . . . . 58 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Trong toán học việc lấy đạo hàm các hàm số là việc làm thường gặp. Tuy nhiên, không phải với hàm số nào ta cũng làm được điều đó. Ví dụ như hàm số f(x) = |x| là hàm số liên tục trên toàn bộ R nhưng nó chỉ có đạo hàm tại những điểm x = 0. Điều này làm nảy sinh vấn đề là cần thiết phải mở rộng khái niệm hàm để có những lớp hàm mới luôn có thể lấy đạo hàm đồng thời hàm đó bao hàm những hàm đã biết. Từ đó, trong Toán học đã xuất hiện các lý thuyết về lớp các hàm mới gọi là "Hàm suy rộng". Tiêu biểu phải kể đến lý thuyết hàm suy rộng của L.Schwartz và lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau. Lý thuyết hàm suy rộng được phát triển bởi Schwartz đã mở ra cánh cửa quan trọng cho sự phát triển của Toán học hiện đại, đặc biệt là trong lĩnh vực phương trình đạo hàm riêng tuyến tính. Với lý thuyết đó, L.Schwartz đã được nhận giải thưởng Fields vào năm 1950. Tuy nhiên, một số bài toán thực tiễn đã dẫn đến việc xem xét lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ. Về vấn đề này L.Schwartz đã đưa ra kết luận về một "kết quả không thể" trong việc lấy tích hai hàm suy rộng tổng quát. Trong kết luận đó L.Schwartz cho rằng không thể lấy tích hai hàm suy rộng bất kỳ mà vẫn thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích. Tuy nhiên, rất nhiều ứng dụng cần lấy tích hai hàm suy rộng, điều này thu hút nhiều nhà Toán học nghiên cứu để có thể giải quyết vấn đề này. 1 Vào năm 1980, một lý thuyết mới về hàm suy rộng đã được nhà toán học người Pháp là J.F.Colombeau giới thiệu. Trong lý thuyết này, hàm suy rộng Schwartz được coi như một tập con và trong đó có thể lấy tích hai hàm suy rộng tùy ý. Sau khi lý thuyết hàm suy rộng của Colombeau ra đời, nhiều nhà toán học đã ứng dụng và có những kết quả quan trọng trong việc giải các phương trình đạo hàm riêng phi tuyến. Hiện nay, việc nghiên cứu các ứng dụng của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau vẫn thu hút nhiều nhà toán học trên thế giới và có những kết quả quan trọng, (tham khảo trong http://www.uibk.ac.at/techmath/michael/publications.html). Đối với hàm suy rộng Schwartz nói chung, ta không thể xác định được giá trị tại mỗi điểm. Với hàm suy rộng Colombeau, dựa trên việc mở rộng tập số phức C ta có thể xác định được giá trị tại mỗi điểm. Điều này dẫn tới việc cần xây dựng trên tập số phức suy rộng (số Colombeau) sao cho có thể xem xét một số kết quả trong giải tích cổ điển đối với hàm suy rộng Colombeau. Khi có giá trị điểm (suy rộng, xét trên tập số Colombeau) của hàm suy rộng Colombeau một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: “Liệu có thể xem xét khái niệm tích phân của hàm suy rộng Colombeau? Có thể hiểu được  b a δ (x)dx?”. Đây cũng chính là vấn đề quan tâm của luận văn này. Với mục đích tiếp cận một hướng nghiên cứu của toán học hiện đại, dưới sự định hướng và hướng dẫn của TS. Tạ Ngọc Trí, tôi đã lựa chọn đề tài "Tích phân của hàm suy rộng" cho luận văn tốt nghiệp thạc sĩ của mình. Trong luận văn này, ta cũng sẽ tóm tắt các kiến thức cơ bản về lý 2 thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau, cuối cùng luận văn sẽ trình bày tích phân của các hàm suy rộng và các kết quả liên quan. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau, tích phân của hàm suy rộng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng Schwartz; • Tìm hiểu các lý thuyết hàm suy rộng Colombeau; • Tích phân của hàm suy rộng và một số ứng dụng. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau, tích phân của hàm suy rộng. Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, một số bài báo liên quan đến các lý thuyết hàm suy rộng và tích phân của hàm suy rộng. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức, phương pháp và các công cụ của giải tích hàm để tiếp cận vấn đề. Thu thập và nghiên cứu các tài liệu liên quan, đặc biệt là các bài báo mới về ứng dụng tích phân của hàm suy rộng. 3 6. Dự kiến đóng góp mới Luận văn là tài liệu liên quan đến một số kết quả trên tập các số Colombeau, từ đó có thể là cơ sở cho việc phát triển những kết quả tiếp theo. 4 [...]... được đại số thương EM (Rn )/I Định nghĩa 2.1.3 (Hàm suy rộng Colombeau) Đại số thương EM (Rn )/I, ký hiệu G (Rn ) (hoặc G) được gọi là đại số các hàm suy rộng Colombeau Mỗi phần tử thuộc G được gọi là một hàm suy rộng Colombeau Để tiện phân biệt với hàm suy rộng thông thường ta sẽ gọi các hàm suy rộng Colombeau là hàm G -suy rộng Ta thấy rằng f là một hàm suy rộng thuộc G (Rn ) khi và chỉ khi f = f + I,... xem hàm suy rộng ở dạng tích loc x 1 phân Tuy nhiên, ta có thể định nghĩa hàm suy rộng ∈ D (R) là đạo x 1 hàm của hàm ln |x| và ∈ D (R)\L1 (R) Như vậy loc x 1 ∂ ln |x| = x vì [φ( ) − φ(− )] ln | | → 0 khi → 0+ Thực tế − +∞ φ(x) dx thường được ký hiệu là →0 x −∞ +∞ +∞ φ(x) φ(x) dx được gọi là tích phân chính của dx p.v x x −∞ −∞ Biểu thức lim + φ(x) dx + x 1.5 Tích hai hàm suy rộng 1.5.1 Tích chập của. .. tục trên D (Ω) 10 1.3 Hàm suy rộng Schwartz Định nghĩa 1.3.1 Mỗi phiếm hàm u : D (Ω) → C tuyến tính và liên tục với tôpô trên D (Ω), được gọi là một hàm suy rộng hay hàm suy rộng Schwartz Không gian các hàm suy rộng trên Ω được ký hiệu D (Ω) Với mỗi hàm suy rộng u, ta viết u (φ) là u, φ , với φ ∈ D (Ω) Như vậy D (Ω) là không gian đối ngẫu của D (Ω) Dựa vào tính liên tục của phiếm hàm trên D (Ω) ta có... −∞ = 1, φ , ∀φ ∈ D(R) Tích của một hàm trơn với một hàm suy rộng cũng thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm Định lý 1.5.1 Cho f ∈ C ∞ (Ω), u ∈ D (Ω) và α là một đa chỉ số tùy ý Thế thì ta có: ∂ α (f u) = β≤α α! ∂ β f ∂ α−β u β!(α − β)! 17 (1.9) 1.5.3 Vấn đề tích của hai hàm suy rộng tùy ý Ở phần trên, chúng ta đã định nghĩa tích của một hàm trơn f ∈ C ∞ (Ω) và một hàm suy rộng u ∈ D (Ω) Bây giờ... lấy tích hai hàm suy rộng Chẳng hạn, ta có x x = 1 và x.δ = 0 trong D (Ω) Nếu ta áp dụng nó trong D(Ω) ta sẽ có: 1 1 δ = ( x x).δ = x (x.δ) = 0(!) 22 Chương 2 Lý thuyết hàm suy rộng Colombeau Trong chương này, ta trình bày một số vấn đề cơ bản của lý thuyết hàm suy rộng Colombeau Các nội dung được đề cập sau đây tham khảo trong các tài liệu [2] và [4] 2.1 Định nghĩa hàm suy rộng Colombeau 2.1.1 Hàm suy. .. nên (f ∗ g)(x) = Rn f (y)φ(t − y)dy xác định 1.5.2 Tích của một hàm trơn và một hàm suy rộng Định nghĩa 1.5.2 Cho f ∈ C ∞ (Ω) và u ∈ D (Ω) tùy ý Tích của hàm f và hàm suy rộng u được ký hiệu là f u và được xác định như sau: f u, φ = u, f φ với mọi φ ∈ D(Ω) (1.8) Ta nhận thấy φ ∈ D(Ω) nên f φ ∈ D(Ω) do đó vế phải của (1.8) hoàn toàn xác định một hàm suy rộng Nghĩa là định nghĩa trên hoàn toàn xác định... chọn U là lân cận của x sao cho 0 ∈ U , thế thì / δ, φ = φ (0) = 0 (vì φ ∈ D (Rn ) ) 13 1.4 Đạo hàm của hàm suy rộng Trong không gian D (Ω) ta có: Bổ đề 1.4.1 Cho u ∈ D (Ω) là một hàm suy rộng Khi đó, với mỗi đa chỉ số α ∈ Nn toán tử tuyến tính được ký hiệu ∂ α u xác định bởi ∂ α u, φ = (−1)|α| u, ∂ α φ , φ ∈ D (Ω) (1.7) là một hàm suy rộng Định nghĩa 1.4.1 Cho u ∈ D (Ω) Hàm suy rộng xác định bởi (1.7)... vậy f có cấp vô hạn Định nghĩa 1.3.2 Cho u ∈ D (Ω) 1 Hàm suy rộng u được gọi bằng 0 trên tập mở K ⊂ Ω, ký hiệu u |K = 0, nếu u, φ = 0, ∀φ ∈ D(K) 2 Giá của hàm suy rộng u được ký hiệu suppu là phần bù của tập x ∈ Ω : u triệt tiêu trên một lân cận của x Nếu u có suppu là tập compact trong Ω thì ta nói u là hàm suy rộng có giá compact Tập hợp các hàm suy rộng có giá compact được ký hiệu bởi E (Ω) Ví dụ 1.3.5... I Nhận thấy, toán tử ∂ α là toán tử tuyến tính và thỏa mãn công thức Leibniz về lấy đạo hàm của một tích 2.1.2 Hàm suy rộng Colombeau trên tập mở Ω ⊂ Rn Việc định nghĩa hàm suy rộng Colombeau hay ta còn gọi là hàm G -suy rộng trên tập mở Ω ⊂ Rn tương tự định nghĩa trên Rn Khi Ω = Rn thì ta có định nghĩa hàm G -suy rộng trên Rn Trước hết, với x ∈ Rn ta xét phép tịnh tiến xác định bởi τx : D (Rn ) → D... suy rộng u ∈ D (Ω) Bây giờ chúng ta muốn định nghĩa tích của hai hàm suy rộng tùy ý, nói riêng trên Rm , rõ ràng không thể dùng cách Định nghĩa 1.5.2 cho hai hàm suy rộng vì f φ có thể không là hàm thử nếu f ∈ D (Rm ) và φ ∈ D(Rm ) Sau đây chúng ta sẽ xét một số các định nghĩa tích hai hàm suy rộng Định nghĩa 1.5.3 Một dãy (δn ), n = 1, 2, các phần tử của D(Rm ) được gọi là một dãy Delta nếu thỏa mãn: . Schwartz, hàm suy rộng Colombeau, tích phân của hàm suy rộng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu về lý thuyết hàm suy rộng Schwartz; • Tìm hiểu các lý thuyết hàm suy rộng Colombeau; • Tích phân của hàm. lý 2 thuyết hàm suy rộng Schwartz, hàm suy rộng Colombeau, cuối cùng luận văn sẽ trình bày tích phân của các hàm suy rộng và các kết quả liên quan. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết hàm suy rộng. vi phân trong đại số G (R n ) . . 28 2.3. Số Colombeau . . . . . . 33 2.4. Giá trị tại điểm của hàm G -suy rộng. . . . 36 Chương 3. Tích phân của các hàm suy rộng và ứng dụng 39 3.1. Tích phân của